Profesorii cred că fiecare elev ar trebui să poată efectua calcule, să cunoască formule trigonometrice, dar nu fiecare profesor explică ce sunt sinusul și cosinusul. Care este semnificația lor, unde sunt folosite? De ce vorbim despre triunghiuri, dar în manual este desenat un cerc? Să încercăm să conectăm toate faptele împreună.
Materia școlară
Studiul trigonometriei începe de obicei în clasa 7-8 liceu... În acest moment, elevilor li se explică ce sunt sinusul și cosinusul, li se oferă să rezolve probleme geometrice folosind aceste funcții. Mai târziu, apar formule și expresii mai complexe care trebuie transformate într-un mod algebric (formule cu dublu și jumătate de unghi, funcții de putere), se lucrează cu un cerc trigonometric.
Cu toate acestea, profesorii sunt departe de a fi întotdeauna capabili să explice clar sensul conceptelor utilizate și aplicabilitatea formulelor. Prin urmare, elevul adesea nu vede rostul acestui subiect, iar informațiile memorate sunt rapid uitate. Cu toate acestea, merită să explici unui elev de liceu o dată, de exemplu, legătura dintre funcție și mișcarea oscilativă, iar conexiunea logică va fi amintită de mulți ani, iar glumele despre inutilitatea subiectului vor deveni un lucru din trecut. .
Utilizare
De dragul curiozității, să aruncăm o privire asupra diferitelor ramuri ale fizicii. Doriți să determinați raza de acțiune a proiectilului? Sau calculezi forța de frecare dintre un obiect și o anumită suprafață? Balanțând pendulul, urmărind razele care trec prin sticlă, calculând inducția? Conceptele trigonometrice apar în aproape orice formulă. Deci, ce sunt sinusul și cosinusul?
Definiții
Sinusul unghiului este raportul catetului opus față de ipotenuză, cosinusul este raportul catetei adiacente și aceeași ipotenuză. Nu este absolut nimic complicat aici. Poate că studenții sunt de obicei confuzi de valorile pe care le văd în tabelul trigonometric, deoarece acolo apar rădăcini pătrate. Da, nu este foarte convenabil să obțineți fracții zecimale din ele, dar cine a spus că toate numerele din matematică ar trebui să fie egale?
De fapt, în cărțile de probleme de trigonometrie, puteți găsi un indiciu amuzant: majoritatea răspunsurilor de aici sunt pare și, în cel mai rău caz, conțin rădăcina a doi sau trei. Concluzia este simplă: dacă obțineți o fracțiune „cu mai multe etaje” în răspunsul dvs., verificați soluția pentru erori în calcule sau în raționament. Și cel mai probabil le vei găsi.
Lucruri de amintit
Ca în orice știință, trigonometria are date care trebuie învățate.
În primul rând, amintiți-vă valori numerice pentru sinusuri, cosinusuri ale unui triunghi dreptunghic 0 și 90, precum și 30, 45 și 60 de grade. Acești indicatori se regăsesc în nouă din zece probleme școlare. Privind aceste valori în manual, veți pierde mult timp și nu va fi deloc unde să vă uitați la test sau examen.
Trebuie reținut că valoarea ambelor funcții nu poate depăși una. Dacă oriunde în calcul obțineți o valoare în afara intervalului 0-1, opriți și remediați problema.
Suma pătratelor sinusului și cosinusului este egală cu unu. Dacă ați găsit deja una dintre valori, utilizați această formulă pentru a găsi restul.
Teoreme
Există două teoreme principale în trigonometrie de bază: sinusuri și cosinusuri.
Primul spune că raportul dintre fiecare latură a unui triunghi și sinusul unghiului opus este același. Al doilea este că pătratul oricărei laturi poate fi obținut adunând pătratele celor două laturi rămase și scăzând produsul lor dublu, înmulțit cu cosinusul unghiului aflat între ele.
Astfel, dacă înlocuim valoarea unui unghi de 90 de grade în teorema cosinusului, obținem ... teorema lui Pitagora. Acum, dacă trebuie să calculați aria unei figuri care nu este un triunghi dreptunghic, nu trebuie să vă mai faceți griji - cele două teoreme luate în considerare vor simplifica semnificativ soluția problemei.
Ținte și obiective
Învățarea trigonometriei devine mult mai ușoară când îți dai seama de un fapt simplu: toate acțiunile pe care le faci au ca scop atingerea unui singur obiectiv. Orice parametri ai unui triunghi pot fi găsiți dacă cunoașteți cele mai puține informații despre acesta - poate fi valoarea unui unghi și lungimea a două laturi sau, de exemplu, trei laturi.
Pentru a determina sinusul, cosinusul, tangenta oricărui unghi, aceste date sunt suficiente, cu ajutorul lor puteți calcula cu ușurință aria figurii. Aproape întotdeauna, una dintre valorile menționate este necesară ca răspuns și le puteți găsi folosind aceleași formule.
Incoerențe în învățarea trigonometriei
Una dintre întrebările de neînțeles pe care elevii preferă să le evite este găsirea unei legături între diferitele concepte din trigonometrie. S-ar părea că triunghiurile sunt folosite pentru a studia sinusurile și cosinusurile unghiurilor, dar din anumite motive denumirile se găsesc adesea în figura cu un cerc. În plus, există un grafic sub formă de undă complet de neînțeles numit sinusoid, care nu are nicio asemănare exterioară nici cu un cerc, nici cu triunghiuri.
Mai mult, unghiurile se măsoară în grade, apoi în radiani, iar numărul Pi, scris simplu ca 3,14 (fără unități de măsură), din anumite motive apare în formule, corespunzător la 180 de grade. Cum se leagă toate acestea între ele?
Unități
De ce Pi este exact 3.14? Îți amintești care este acest sens? Acesta este numărul de raze care se potrivesc într-un arc pe jumătate de cerc. Dacă diametrul cercului este de 2 centimetri, circumferința este de 3,14 * 2 sau 6,28.
Al doilea punct: este posibil să fi observat asemănarea dintre cuvintele „radian” și „rază”. Faptul este că un radian este numeric egal cu valoarea unghiului trasat din centrul cercului pe un arc cu o lungime de o rază.
Acum să combinăm cunoștințele dobândite și să înțelegem de ce vârful de pe axa de coordonate în trigonometrie este scris „Pi în jumătate”, iar în stânga - „Pi”. Aceasta este o valoare unghiulară măsurată în radiani, deoarece un semicerc are 180 de grade sau 3,14 radiani. Și acolo unde sunt grade, sunt sinusuri și cosinusuri. Din triunghi se desenează ușor punctul dorit, punând segmentele de linie în centru și pe axa de coordonate.
Să privim în viitor
Trigonometria, studiată la școală, se ocupă de un sistem de coordonate rectiliniu, unde, oricât de ciudat ar suna, o linie dreaptă este o linie dreaptă.
Dar există și moduri mai complexe de a lucra cu spațiul: suma unghiurilor unui triunghi va fi mai mare de 180 de grade, iar o linie dreaptă din punctul nostru de vedere va arăta ca un arc real.
Să trecem de la vorbe la fapte! Luați un măr. Faceți trei tăieturi cu cuțitul pentru a forma un triunghi când este privit de sus. Scoateți felia de măr rezultată și priviți „coastele” unde se termină coaja. Nu sunt drepte deloc. Fructul din mâinile tale poate fi numit în mod condiționat rotund și acum imaginați-vă cât de complexe trebuie să fie formulele, cu ajutorul cărora puteți găsi zona piesei decupate. Dar unii specialiști rezolvă zilnic astfel de probleme.
Funcții trigonometrice în viață
Ați observat că cea mai scurtă rută aeriană de la punctul A la punctul B de pe suprafața planetei noastre are o formă de arc pronunțată? Motivul este simplu: Pământul are forma unei mingi, ceea ce înseamnă că nu poți calcula mare lucru cu ajutorul triunghiurilor - aici trebuie să folosești formule mai complexe.
Sinusul/cosinusul unui unghi ascuțit nu poate fi renunțat la nicio materie legată de spațiu. Interesant este că aici converg o mulțime de factori: funcții trigonometrice necesare atunci când se calculează mișcarea planetelor în cercuri, elipse și diverse traiectorii mai mult forme complexe; procesul de lansare de rachete, sateliți, navete, dezaocare vehicule de cercetare; monitorizarea stele îndepărtateși studiul galaxiilor pe care oamenii nu le vor putea ajunge în viitorul apropiat.
În general, domeniul de activitate al unei persoane care deține trigonometrie este foarte larg și, aparent, se va extinde doar în timp.
Concluzie
Astăzi am învățat, sau cel puțin am repetat ce sunt sinusul și cosinusul. Acestea sunt concepte de care nu trebuie să-ți fie frică - vrei doar și le vei înțelege semnificația. Amintiți-vă că trigonometria nu este un scop, ci doar un instrument care poate fi folosit pentru a răspunde nevoilor umane reale: construiți case, asigurați siguranța traficului, chiar explorați vastitatea universului.
Într-adevăr, știința în sine poate părea plictisitoare, dar de îndată ce vei găsi în ea o modalitate de a-ți atinge propriile obiective, autorealizarea, procesul de învățare va deveni interesant, iar motivația ta personală va crește.
La fel de teme pentru acasăîncercați să găsiți modalități de a aplica funcții trigonometrice în domeniul de lucru care vă interesează personal. Imaginați-vă, porniți-vă imaginația și atunci probabil se va dovedi că noile cunoștințe vă vor fi utile în viitor. Și în plus, matematica este utilă dezvoltare generală gândire.
Se numește raportul dintre catetul opus și ipotenuză unghi acut sinusal triunghi dreptunghic.
\ sin \ alpha = \ frac (a) (c)
Cosinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic
Raportul dintre catetul din apropiere și ipotenuză se numește cosinusul unui unghi ascuțit triunghi dreptunghic.
\ cos \ alpha = \ frac (b) (c)
Tangenta acuta a unui triunghi dreptunghic
Raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent se numește tangenta unui unghi ascutit triunghi dreptunghic.
tg \ alpha = \ frac (a) (b)
Cotangente a unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic
Raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus se numește unghi ascuțit cotangent triunghi dreptunghic.
ctg \ alpha = \ frac (b) (a)
Sinusul unui unghi arbitrar
Se numeste ordonata unui punct de pe cercul unitar caruia ii corespunde unghiul \alpha sinusul unui unghi arbitrar rotatie \ alfa.
\ sin \ alpha = y
Cosinusul unui unghi arbitrar
Se numește abscisa punctului de pe cercul unitar căruia îi corespunde unghiul \alpha cosinus al unui unghi arbitrar rotatie \ alfa.
\ cos \ alpha = x
Tangenta unghiului arbitrar
Raportul dintre sinusul unui unghi arbitrar de rotație \ alfa și cosinusul său se numește tangenta unui unghi arbitrar rotatie \ alfa.
tg \ alpha = y_ (A)
tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha)
Cotangenta unui unghi arbitrar
Raportul dintre cosinusul unui unghi arbitrar de rotație \ alfa și sinusul său se numește cotangenta unui unghi arbitrar rotatie \ alfa.
ctg \ alpha = x_ (A)
ctg \ alpha = \ frac (\ cos \ alpha) (\ sin \ alpha)
Un exemplu de găsire a unui unghi arbitrar
Dacă \alpha este un unghi AOM, unde M este un punct al cercului unitar, atunci
\ sin \ alpha = y_ (M), \ cos \ alpha = x_ (M), tg \ alpha = \ frac (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ alpha = \ frac (x_ (M)) (y_ (M)).
De exemplu, dacă \ unghi AOM = - \ frac (\ pi) (4), atunci: ordonata punctului M este egală cu - \ frac (\ sqrt (2)) (2), abscisa este \ frac (\ sqrt (2)) (2) si de aceea
\ sin \ stânga (- \ frac (\ pi) (4) \ dreapta) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);
\ cos \ stânga (\ frac (\ pi) (4) \ dreapta) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);
tg;
ctg \ stânga (- \ frac (\ pi) (4) \ dreapta) = - 1.
Tabelul valorilor sinusurilor cosinusurilor tangentelor cotangentelor
Valorile principalelor unghiuri comune sunt date în tabel:
| 0 ^ (\ circ) (0) | 30 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (\ pi) (6) \ dreapta) | 45 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (\ pi) (4) \ dreapta) | 60 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (\ pi) (3) \ dreapta) | 90 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (\ pi) (2) \ dreapta) | 180 ^ (\ circ) \ stânga (\ pi \ dreapta) | 270 ^ (\ circ) \ stânga (\ frac (3 \ pi) (2) \ dreapta) | 360 ^ (\ circ) \ stânga (2 \ pi \ dreapta) | |
| \ sin \ alfa | 0 | \ frac12 | \ frac (\ sqrt 2) (2) | \ frac (\ sqrt 3) (2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \ cos \ alfa | 1 | \ frac (\ sqrt 3) (2) | \ frac (\ sqrt 2) (2) | \ frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg \ alfa | 0 | \ frac (\ sqrt 3) (3) | 1 | \ sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg \ alfa | — | \ sqrt3 | 1 | \ frac (\ sqrt 3) (3) | 0 | — | 0 | — |
Relațiile dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - sunt stabilite formule trigonometrice... Și din moment ce există o mulțime de conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangentei unui unghi de jumătate etc.
În acest articol, vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.
Navigare în pagină.
Identități trigonometrice de bază
Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente unui unghi. Ele decurg din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și din conceptul de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.
Formule de turnare
Formule de turnare rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei, precum și proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Rațiunea acestor formule, regula mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Formule pentru dublu, triplu etc. colţ
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (numit și formule cu unghiuri multiple) arată modul în care funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt adunate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. colţ.
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați modul în care funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.
Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.
Formule de reducere a gradului
Formule de reducere a gradului trigonometric concepute pentru a facilita trecerea de la grade naturale funcții trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar multipli de unghiuri. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți gradele funcțiilor trigonometrice la primul.
Formule de sumă și diferență pentru funcții trigonometrice
destinatia principala formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergem la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util atunci când simplificați expresiile trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor.
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Drepturi de autor de către cleverstudents
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului www.site, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.
Conceptele de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt principalele categorii ale trigonometriei - o ramură a matematicii și sunt indisolubil legate de definiția unghiului. Posesia acestei științe matematice necesită memorarea și înțelegerea formulelor și teoremelor, precum și gândirea spațială dezvoltată. De aceea, calculele trigonometrice provoacă adesea dificultăți pentru școlari și elevi. Pentru a le depăși, ar trebui să vă familiarizați cu funcțiile și formulele trigonometrice mai detaliat.
Concepte în trigonometrie
Pentru a înțelege conceptele de bază ale trigonometriei, trebuie mai întâi să determinați ce sunt un triunghi dreptunghic și un unghi dintr-un cerc și de ce toate calculele trigonometrice de bază sunt asociate acestora. Un triunghi în care unul dintre colțuri are 90 de grade este dreptunghiular. Din punct de vedere istoric, această figură a fost adesea folosită de oameni în arhitectură, navigație, artă, astronomie. În consecință, studiind și analizând proprietățile acestei figuri, oamenii au ajuns la calcularea rapoartelor corespunzătoare ale parametrilor ei.
Principalele categorii asociate triunghiurilor dreptunghiulare sunt ipotenuza și catetele. Hipotenuză - latura triunghiului situată opusă unghi drept... Picioarele, respectiv, sunt celelalte două laturi. Suma unghiurilor oricăror triunghiuri este întotdeauna de 180 de grade.
Trigonometria sferică este o secțiune a trigonometriei care nu este studiată la școală, dar în științele aplicate precum astronomia și geodezia, oamenii de știință o folosesc. Particularitatea unui triunghi în trigonometria sferică este că are întotdeauna o sumă de unghiuri de peste 180 de grade.
Unghiurile unui triunghi
Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus unghiului dorit și ipotenuza triunghiului. În consecință, cosinusul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuza. Ambele valori sunt întotdeauna mai mici decât unu, deoarece ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât catetul.
Tangenta unui unghi este o valoare egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent al unghiului dorit sau sinus la cosinus. Cotangenta, la rândul său, este raportul dintre piciorul adiacent al unghiului dorit și piciorul opus. Cotangenta unui unghi se poate obține și prin împărțirea unuia la valoarea tangentei.
Cercul unitar
Un cerc unitar în geometrie este un cerc a cărui rază este egală cu unu. Un astfel de cerc este construit într-un sistem de coordonate carteziene, în timp ce centrul cercului coincide cu punctul de origine, iar poziția inițială a vectorului rază este determinată de-a lungul direcției pozitive a axei X (abscisa). Fiecare punct al cercului are două coordonate: XX și YY, adică coordonatele absciselor și ordonatelor. Selectând orice punct al cercului în planul XX și scăzând perpendiculara de pe acesta pe axa absciselor, obținem un triunghi dreptunghic format din raza punctului selectat (notat cu litera C), prin perpendiculara trasată pe axa X (punctul de intersecție este notat cu litera G), iar un segment axa absciselor dintre origine (punctul este desemnat cu litera A) și punctul de intersecție G. Triunghiul rezultat ACG este un unghi dreptunghic triunghi înscris într-un cerc, unde AG este ipotenuza, iar AC și GC catetele. Unghiul dintre raza cercului AC și segmentul axei absciselor cu denumirea AG, îl definim ca α (alfa). Deci, cos α = AG / AC. Având în vedere că AC este raza cercului unitar și este egală cu unu, rezultă că cos α = AG. În mod similar, sin α = CG.
În plus, cunoscând aceste date, puteți determina coordonatele punctului C pe cerc, deoarece cos α = AG și sin α = CG, ceea ce înseamnă că punctul C are coordonate date(cos α; sin α). Știind că tangenta este egală cu raportul dintre sinus și cosinus, putem determina că tg α = y / x și ctg α = x / y. Având în vedere unghiurile în sistem negativ coordonate, puteți calcula că valorile sinusului și cosinusului unor unghiuri pot fi negative.
Calcule și formule de bază
Valorile funcțiilor trigonometrice
Având în vedere esența funcțiilor trigonometrice prin cercul unitar, puteți obține valorile acestor funcții pentru unele unghiuri. Valorile sunt enumerate în tabelul de mai jos.
Cele mai simple identități trigonometrice
Ecuațiile în care o valoare necunoscută este prezentă sub semnul unei funcții trigonometrice se numesc trigonometrice. Identități cu valoarea sin х = α, k este orice număr întreg:
- sin x = 0, x = πk.
- 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, | a | > 1, fără soluții.
- sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.
Identități cu valoarea cos x = a, unde k este orice număr întreg:
- cos x = 0, x = π / 2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, | a | > 1, fără soluții.
- cos x = a, | a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk.
Identități cu valoarea tg x = a, unde k este orice număr întreg:
- tg x = 0, x = π / 2 + πk.
- tg x = a, x = arctan α + πk.
Identități cu valoarea ctg x = a, unde k este orice număr întreg:
- ctg x = 0, x = π / 2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Formule de turnare
Această categorie formule constante denotă metodele cu care puteți trece de la funcțiile trigonometrice de formă la funcțiile argumentului, adică aduceți sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de orice valoare la indicatorii corespunzători ai unghiului intervalului de la 0 la 90 de grade pentru o mai mare comoditate a calculelor.
Formulele pentru conversia funcțiilor pentru sinusul unui unghi arată astfel:
- sin (900 - α) = α;
- sin (900 + α) = cos α;
- sin (1800 - α) = sin α;
- sin (1800 + α) = -sin α;
- sin (2700 - α) = -cos α;
- sin (2700 + α) = -cos α;
- sin (3600 - α) = -sin α;
- sin (3600 + α) = sin α.
Pentru cosinusul unui unghi:
- cos (900 - α) = sin α;
- cos (900 + α) = -sin α;
- cos (1800 - α) = -cos α;
- cos (1800 + α) = -cos α;
- cos (2700 - α) = -sin α;
- cos (2700 + α) = sin α;
- cos (3600 - α) = cos α;
- cos (3600 + α) = cos α.
Utilizarea formulelor de mai sus este posibilă sub rezerva a două reguli. În primul rând, dacă unghiul poate fi reprezentat ca valoare (π / 2 ± a) sau (3π / 2 ± a), valoarea funcției se modifică:
- de la sin la cos;
- de la cos la sin;
- de la tg la ctg;
- de la ctg la tg.
Valoarea funcției rămâne neschimbată dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ± a) sau (2π ± a).
În al doilea rând, semnul funcției reduse nu se schimbă: dacă a fost inițial pozitiv, așa rămâne. La fel și cu funcțiile negative.
Formule de adunare
Aceste formule exprimă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sumei și diferenței a două unghiuri de rotație în funcție de funcțiile lor trigonometrice. Unghiurile sunt denumite în mod obișnuit α și β.
Formulele arată astfel:
- sin (α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Aceste formule sunt valabile pentru orice valori ale unghiurilor α și β.
Formule cu unghi dublu și triplu
Formulele trigonometrice cu unghi dublu și triplu sunt formule care raportează funcțiile unghiurilor 2α și, respectiv, 3α la funcțiile trigonometrice ale unghiului α. Derivat din formule de adunare:
- sin2α = 2sinα * cosα.
- cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
- cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α).
Trecerea de la sumă la produs
Ținând cont de faptul că 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x-y), simplificând această formulă, obținem identitatea sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2. În mod similar, sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α).
Trecerea de la muncă la suma
Aceste formule decurg din identitățile tranziției sumei la produs:
- sinα * sinβ = 1/2 *;
- cosα * cosβ = 1/2 *;
- sinα * cosβ = 1/2 *.
Formule de reducere a gradului
În aceste identități, puterile pătrate și cubice ale sinusului și cosinusului pot fi exprimate în termenii sinusului și cosinusului primei puteri a unghiului multiplu:
- sin ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
- cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
- sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
- cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
- sin ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
- cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.
Substituție universală
Formulele universale de substituție trigonometrică exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui jumătate de unghi.
- sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), în timp ce x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), unde x = π + 2πn;
- tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), unde x = π + 2πn;
- ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), în timp ce x = π + 2πn.
Cazuri speciale
Mai jos sunt prezentate cazuri particulare ale celor mai simple ecuații trigonometrice (k este orice număr întreg).
Privat pentru sinusuri:
| Valoarea sin x | valoarea X |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 2 + 2πk |
| -1 | -π / 2 + 2πk |
| 1/2 | π / 6 + 2πk sau 5π / 6 + 2πk |
| -1/2 | -π / 6 + 2πk sau -5π / 6 + 2πk |
| √2/2 | π / 4 + 2πk sau 3π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | -π / 4 + 2πk sau -3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | π / 3 + 2πk sau 2π / 3 + 2πk |
| -√3/2 | -π / 3 + 2πk sau -2π / 3 + 2πk |
Coeficientii pentru cosinus sunt:
| Valoarea Cos x | valoarea X |
|---|---|
| 0 | π / 2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ± π / 3 + 2πk |
| -1/2 | ± 2π / 3 + 2πk |
| √2/2 | ± π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | ± 3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | ± π / 6 + 2πk |
| -√3/2 | ± 5π / 6 + 2πk |
Privat pentru tangentă:
| Valoarea Tg x | valoarea X |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3/3 | π / 6 + πk |
| -√3/3 | -π / 6 + πk |
| √3 | π / 3 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
Privat pentru cotangent:
| Valoarea Ctg x | valoarea X |
|---|---|
| 0 | π / 2 + πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3 | π / 6 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
| √3/3 | π / 3 + πk |
| -√3/3 | -π / 3 + πk |
Teoreme
Teorema sinusului
Există două versiuni ale teoremei - simplă și extinsă. Teorema simplă a sinusurilor: a / sin α = b / sin β = c / sin γ. În acest caz, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α, β, γ sunt, respectiv, unghiuri opuse.
Teorema sinusului extins pentru un triunghi arbitrar: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R. În această identitate, R denotă raza cercului în care este înscris triunghiul dat.
Teorema cosinusului
Identitatea este afișată astfel: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α. În formula, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α este unghiul opus laturii a.
Teorema tangentei
Formula exprimă relația dintre tangentele a două unghiuri și lungimea laturilor opuse acestora. Laturile sunt notate cu a, b, c, iar unghiurile opuse corespunzătoare sunt α, β, γ. Formula teoremei tangentei este: (a - b) / (a + b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2).
Teorema cotangentei
Leagă raza unui cerc înscris într-un triunghi cu lungimea laturilor sale. Dacă a, b, c sunt laturile triunghiului și, respectiv, A, B, C sunt unghiuri opuse, r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul triunghiului, următoarele identități sunt valabile:
- ctg A / 2 = (p-a) / r;
- ctg B / 2 = (p-b) / r;
- ctg C / 2 = (p-c) / r.
Aplicație aplicată
Trigonometria nu este doar o știință teoretică legată de formulele matematice. Proprietățile, teoremele și regulile sale sunt utilizate în practică de diferite industrii. activitate umana- astronomie, navigație aeriană și maritimă, teoria muzicii, geodezie, chimie, acustică, optică, electronică, arhitectură, economie, inginerie mecanică, lucrări de măsurare, grafica pe computer, cartografie, oceanografie și multe altele.
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt conceptele de bază ale trigonometriei, cu ajutorul cărora puteți exprima matematic relația dintre unghiurile și lungimile laturilor dintr-un triunghi, și găsiți mărimile necesare prin identități, teoreme și reguli.
Ecuațiile trigonometrice sunt parte integrantă a examenului.
Din păcate, nu există o metodă generală unificată, în urma căreia ar fi posibil să se rezolve orice ecuație în care sunt implicate funcții trigonometrice. Succesul aici poate fi asigurat doar printr-o bună cunoaștere a formulelor și capacitatea de a vedea anumite combinații utile, care se dezvoltă doar prin practică.
Scopul general este, de obicei, de a converti expresia trigonometrică inclusă în ecuație într-o astfel de formă încât rădăcinile să fie găsite din așa-numitele cele mai simple ecuații:
| cos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = d. |
Pentru a face acest lucru, trebuie să fiți capabil să aplicați formule trigonometrice. Este util să le cunoașteți și să le numiți „nume”:
1. Formule pentru argument dublu, argument triplu:
cos 2x = cos 2 x - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x = 2 cos 2 x - 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x / 1 - tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x - 1) / 2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x - 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x - tg 3 x) / (1 - 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x - 3ctg x) / (3ctg 2 x - 1);
2. Formule pentru jumătate de argument sau reducerea unui grad:
sin 2 x / 2 = (1 - cos x) / 2; cos 2 x / 2 = (1 + cos x) / 2;
tg 2 x = (1 - cos x) / (1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x) / (1 - cos x);
3. Introducerea unui argument auxiliar:
Să luăm în considerare exemplul ecuației a sin x + b cos x = c, și anume, determinând unghiul x din condițiile sin y = b / v (a 2 + b 2), cos y = a / v (a 2). + b 2), putem reduce ecuația luată în considerare la cel mai simplu sin (x + y) = c / v (a 2 + b 2) ale cărui soluții pot fi scrise fără dificultate; astfel se determină și soluțiile ecuației inițiale.
4. Formule pentru adunare și scădere:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b;
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a tg b);
tg (a - b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a tg b);
5. Substituție trigonometrică universală:
sin a = 2 tg (a / 2) / (1 + ( tg 2 (a / 2));
cos a = (1 - tg 2 (a / 2)) / (1 + ( tg 2 (a / 2));
tg a = 2 tg a / 2 / (1 - tg 2 (a / 2));
6. Câteva relații importante:
sin x + sin 2x + sin 3x +… + sin mx = (cos (x / 2) -cos (2m + 1) x) / (2 sin (x / 2));
cos x + cos 2x + cos 3x +… + cos mx = (sin (2m + 1) x / 2 - sin (x / 2)) / (2 sin (x / 2));
7. Formule pentru conversia sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs:
sin a + sin b = 2 sin (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
cos a - cos b = -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2;
tg a + tg b = sin (a + b) / (cos a cos b);
tg a - tg b = sin (a - b) / (cos a cos b).
Și, de asemenea, formulele de reducere.
În procesul de rezolvare, trebuie să se monitorizeze în mod deosebit cu atenție echivalența ecuațiilor pentru a preveni pierderea rădăcinilor (de exemplu, atunci când se reduce laturile stânga și dreapta ale ecuației cu un factor comun) sau obținerea de rădăcini suplimentare (pentru exemplu, când ambele părți ale ecuației sunt la pătrat). În plus, este necesar să se controleze dacă rădăcinile receptoare aparțin ODV-ului ecuației luate în considerare.
În toate cazurile necesare (adică atunci când au fost permise transformări neechivalente), este imperativ să faceți o verificare. La rezolvarea unei ecuații, este necesar să-i învățați pe elevi să le reducă la anumite tipuri, de obicei începând cu ecuații ușoare.
Să ne familiarizăm cu metodele de rezolvare a ecuațiilor:
1.Reducere la forma ax 2 + bx + c = 0
2. Omogenitatea ecuațiilor.
3. Factorizarea.
4. Reducerea la forma a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Schimbarea variabilelor.
6. Reducerea unei ecuații la o ecuație cu o variabilă.
7. Evaluarea părților stângi și drepte.
8. Metoda privirii.
9. Introducerea unui unghi auxiliar.
10. Metoda Divide and Cuquer.
Să luăm în considerare câteva exemple:
1. Rezolvați ecuația: sin x + cos 2 x = 1/4.
Soluţie: Să rezolvăm prin metoda reducerii la ecuația pătratică. Exprimați cos 2 x în termeni de sin 2 x
sin x + 1 - sin 2 x = 1/4
4 sin 2 x - 4 sin x - 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2 (nu îndeplinește condiția х € [-1; 1]),
acestea. x = (-1) k + 1 arcsin 1/2 + k, k € z,
Răspuns: (-1) k + 1/6 + k, k € z.
2. Rezolvați ecuația: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
rezolvam prin factoring
2 tg x cos x - 2 cos x + 1 - tg x = 0, unde х / 2 + k, k € z,
2 cos x (tg x - 1) - (tg x - 1) = 0
(2 cos x - 1) (tg x - 1) = 0
2 cos x - 1 = 0 sau tg x - 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
adică x = ± / 3 + 2k, k € z, x = / 4 + m, m € z.
Răspuns: ± / 3 + 2k, k € z, / 4 + m, m € z.
3. Rezolvați ecuația: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.
Soluţie: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 ecuație omogenă de gradul 2. Deoarece cos x = 0 nu este rădăcina acestei ecuații, împărțiți laturile stângă și dreaptă la cos 2 x. Ca rezultat, ajungem la o ecuație pătratică pentru tan x
tg 2 x - 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 și tg x = 2,
de unde x = / 4 + m, m € z,
x = arctan 2 + k, k € z.
Răspuns: / 4 + m, m € z, arctan 2 + k, k € z.
4. Rezolvați ecuația: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Soluţie: Metoda de introducere a unei noi variabile
Fie 5x + 6 = y, apoi cos 2y + 4 2 sin y = 4
1 - 2 sin 2 y + 4 2 sin y - 4 = 0
sin y = t, unde t € [-1; 1]
2t 2 - 4 2t + 3 = 0
t = 2/2 și t = 3 2/2 (nu îndeplinește condiția t € [-1; 1])
sin (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) k / 4 + k, k € z,
x = (-1) k / 20 - 6/5 + k / 5, k € z.
Răspuns: (-1) la? / 20 - 6/5 +? K / 5, k € z.
5. Rezolvați ecuația: (sin x - cos y) 2 + 40x 2 = 0
Rezolvare: Folosim a 2 + b 2 + c 2 = 0, este adevărat dacă a = 0, b = 0, c = 0. Egalitatea este posibilă dacă sin x - cos y = 0 și 40x = 0 de aici:
x = 0 și sin 0 - cos y = 0, prin urmare, x = 0 și cos y = 0, deci: x = 0 și y = / 2 + k, k € z, este de asemenea posibil să scrieți ( 0; / 2 + k) k € z.
Răspuns: (0; / 2 + k) k € z.
6. Rezolvați ecuația: sin 2 x + cos 4 x - 2 sin x + 1 = 0
Rezolvare: Transformați ecuația și aplicați metoda împărțiți și învingeți
(sin 2 x - 2 sin x +1) + cos 4 x = 0;
(sin x - 1) 2 + cos 4 x = 0; acest lucru este posibil dacă
(sin x - 1) 2 = 0 și cos 4 x = 0, prin urmare:
sin x - 1 = 0 și cos x = 0,
sin x = 1, iar cos x = 0, prin urmare
x = / 2 + k, k € z
Răspuns: / 2 + k, k € z.
7. Rezolvați ecuația: sin 5x + sinx = 2 + cos 2x.
Rezolvare: aplicăm metoda de estimare a laturilor stângă și dreaptă și a mărginirii funcțiilor cos și sin.
- 1 sin 5x 1 și -1 sin x 1
0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2
2 2 + cos 2 x 3
sin 5x + sin x 2 și 2 + cos 2 x 2
2 sin 5x + sin x 2, adică.
sin 5x + sin x 2,
avem partea stângă 2 și partea dreaptă 2,
egalitatea este posibilă dacă ambele sunt egale cu 2.
cos 2 x = 0 și sin 5x + sin x = 2, prin urmare
x = / 2 + k, k € z (asigurați-vă că verificați).
Răspuns: / 2 + k, k € z.
8. Rezolvați ecuația: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
Soluţie: Rezolvați prin factorizare. Grupăm termenii din partea stângă în perechi.
(V în acest caz orice metodă de grupare duce la obiectiv.) Utilizați formula cos a + cos b = 2 cos (a + b) / 2 cos (a - b) / 2.
2 cos 3 / 2x cos x / 2 + 2 cos 7 / 2x cos x / 2 = 0,
cos x / 2 (cos 3 / 2x + cos 7 / 2x) = 0,
2 cos 5 / 2x cos x / 2 cos x = 0,
Apar trei cazuri:
Răspuns: + 2k, / 5 + 2 / 5k, / 2 + k, k € z.
Rețineți că al doilea caz îl include pe primul. (Dacă în al doilea caz luăm k = 4 + 5, atunci obținem + 2n). Prin urmare, nu se poate spune care este mai corect, dar, în orice caz, răspunsul va arăta „mai cultivat și mai frumos”: x 1 = / 5 + 2 / 5k, x 2 = / 2 + k, k € z. (Din nou, o situație tipică care duce la diferite forme de înregistrare a răspunsului). Primul răspuns este și el corect.
Ecuația luată în considerare ilustrează o schemă de soluție foarte tipică - factorizarea ecuației în factori datorită grupării în perechi și folosind formulele:
sin a + sin b = 2 sin (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
sin a - sin b = 2 cos (a + b) / 2 sin (a - b) / 2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
cos a - cos b = -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2.
Problema selectării rădăcinilor, eliminării rădăcinilor inutile la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice este foarte specifică și de obicei se dovedește a fi mai complicată decât a fost pentru ecuațiile algebrice. Să prezentăm soluții de ecuații care ilustrează cazuri tipice apariția rădăcinilor (extrane) inutile și a metodelor de „tratare” cu acestea.
Pot apărea rădăcini superflue datorită faptului că în cursul soluției a avut loc o extindere a domeniului de definire a ecuațiilor. Aici sunt cateva exemple.
9. Rezolvați ecuația: (sin 4x - sin 2x - cos 3x + 2sin x -1) / (2sin 2x - 3) = 0.
Soluție: Să echivalăm numărătorul cu zero (în acest caz, domeniul ecuației este extins - se adună valorile lui x, făcând numitorul zero) și vom încerca să îl factorăm în factori. Avem:
2 cos 3x sin x - cos 3x + 2sin x - 1 = 0,
(cos 3x + 1) (2 sinx - 1) = 0.
Obținem două ecuații:
cos 3x + 1 = 0, x = / 3 + 2 / 3k.
Sa vedem care k ni se potriveste. În primul rând, rețineți că partea stângă a ecuației noastre este o funcție periodică cu perioada 2. Prin urmare, este suficient să găsim o soluție a ecuației care satisface condiția 0 x< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Inegalitatea 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
Primul nu se potrivește, deoarece sin 2/3 = 3/2, numitorul dispare.
Răspunsul pentru primul caz: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (puteți x 2 = - / 3 + 2k), k € z.
Să găsim o soluție la această ecuație care să satisfacă condiția 0 x< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Răspuns: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k € z.
10. Aflați rădăcinile ecuațiilor: v (cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.
Rezolvarea acestei ecuații se desfășoară în două etape:
1) soluția ecuației obținute din dat prin pătrarea ambelor părți ale acesteia;
2) selectarea acelor rădăcini care îndeplinesc condiția cos x 0. În acest caz (ca și în cazul ecuațiilor algebrice), nu este nevoie să avem grijă de condiția cos 2x + sin 3x 0. Toate k valorile care satisfac ecuația la pătrat satisfac această condiție.
Primul pas ne conduce la ecuația sin 3x = 1, de unde x 1 = / 6 + 2 / 3k.
Acum este necesar să se determine pentru care k va avea loc cos (/ 6 + 2 / 3k) 0. Pentru aceasta, este suficient ca k să ia în considerare valorile 0, 1, 2, adică. ca de obicei, „înconjurați cercul o dată”, deoarece în continuare valorile cosinusului vor diferi de cele considerate deja cu un multiplu de 2.
Răspuns: / 6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k € z.
11. Rezolvați ecuația: sin 8 x - cos 5 x = 1.
Rezolvarea acestei ecuații se bazează pe următoarea considerație simplă: dacă 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.
Prin urmare, sin 8 x sin 2 x, - cos 5 x cos 2 x;
Adăugând aceste inegalități termen cu termen, vom avea:
sin 8 x - cos 5 x sin 2 x + cos 2 x = 1.
Prin urmare, partea stângă a acestei ecuații este egală cu unu dacă și numai dacă sunt valabile două egalități:
sin 8 x = sin 2 x, cos 5 x = cos 2 x,
acestea. sin x poate lua valori -1, 0
Răspuns: / 2 + k, + 2k, k € z.
Pentru a fi complet, luați în considerare un alt exemplu.
12. Rezolvați ecuația: 4 cos 2 x - 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0.
Soluţie: Vom considera partea stângă a acestei ecuații ca un trinom pătratic în raport cu cos x.
Fie D discriminantul acestui trinom:
1/4 D = 4 (cos 4 3x - cos 2 3x).
Din inegalitatea D 0 rezultă cos 2 3x 0 sau cos 2 3x 1.
Aceasta înseamnă că apar două posibilități: cos 3x = 0 și cos 3x = ± 1.
Dacă cos 3x = 0, atunci din ecuație rezultă că cos x = 0, de unde x = / 2 + k.
Aceste valori x satisfac ecuația.
Dacă cos 3x = 1, atunci din ecuația cos x = 1/2 găsim x = ± / 3 + 2k. Aceste valori satisfac, de asemenea, ecuația.
Răspuns: / 2 + k, / 3 + 2k, k € z.
13. Rezolvați ecuația: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.
Soluţie: Rescrieți expresia sin 4 x + cos 4 x pentru a completa pătratul: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x - 2 sin 2 x cos 2 x = (sin 2 x + cos 2 x) 2 - 2 sin 2 x cos 2 x, de unde sin 4 x + cos 4 x = 1 - 1/2 sin 2 2x. Folosind formula rezultată, scriem ecuația sub forma
1-1 / 2 sin 2 2x = 7/4 sin 2x.
notând sin 2x = t, -1 t 1,
obține ecuație pătratică 2t 2 + 7t - 4 = 0,
Rezolvând care, găsim t 1 = 1/2, t 2 = - 4
ecuația sin 2x = 1/2
2x = (- 1) k / 6 + k, k € z, x = (- 1) k // 12 + k / 2, k € z.
