Investigarea funcţiilor cu ajutorul graficelor. Exemplu complet de cercetare funcțională online

Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul de aplicare al funcției;

2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptotele orizontale și oblice;

4) investigați funcția pentru uniformitate (ciudățenie) și pentru periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune;

7) găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate, dacă este posibil, și câteva puncte suplimentare care rafinați graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.

1. Domeniu de definire: ;

2. Funcția se întrerupe în puncte
,
;

Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică, dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
. Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa y.

5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.

Să găsim punctele critice, adică puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;
. Avem trei puncte
;

. Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele pe fiecare dintre ele.

La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) scade. La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment, funcția are un maxim
.

6. Să găsim intervale de convexitate, puncte de inflexiune.

Să găsim punctele în care este 0 sau nu există.

nu are rădăcini reale.
,
,

puncte
și
împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul la fiecare interval.

Astfel, curba pe intervale
și
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția la puncte
și
nedeterminat.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.

cu ax
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa
graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Elasticitatea funcției

Pentru a studia procesele economice și a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a funcției.

Definiție. Elasticitatea funcției
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
, . (VII)

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția
la modificarea variabilei independente cu 1%.

Elasticitatea unei funcții este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea unei funcții
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII) elasticitatea functiei:

Fie x=3 atunci
Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze in ceea ce priveste pretul are forma
, Unde ─ coeficient constant. Aflați valoarea indicelui de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)

Presupunând
unități monetare, obținem
. Asta înseamnă că la preț
unitate monetara o crestere a pretului cu 1% va determina o scadere a cererii cu 6%, i.e. cererea este elastică.

Astăzi vă invităm să explorați și să trasați un grafic al funcției cu noi. După un studiu atent al acestui articol, nu va trebui să transpirați mult timp pentru a finaliza acest gen de sarcină. Nu este ușor să explorezi și să construiești un grafic al unei funcții, munca este voluminoasă, necesitând atenție maximă și acuratețe a calculelor. Pentru a facilita percepția materialului, vom studia treptat aceeași funcție, vom explica toate acțiunile și calculele noastre. Bun venit în lumea uimitoare și fascinantă a matematicii! Merge!

Domeniu

Pentru a explora și a reprezenta o funcție, trebuie să cunoașteți câteva definiții. O funcție este unul dintre conceptele de bază (de bază) în matematică. Reflectă dependența dintre mai multe variabile (două, trei sau mai multe) cu modificări. Funcția arată, de asemenea, dependența mulțimilor.

Imaginați-vă că avem două variabile care au interval specific schimbări. Deci, y este o funcție a lui x, cu condiția ca fiecare valoare a celei de-a doua variabile să corespundă unei valori a celei de-a doua. În acest caz, variabila y este dependentă și se numește funcție. Se obișnuiește să spunem că variabilele x și y sunt în Pentru o mai mare claritate a acestei dependențe, se construiește un grafic al funcției. Ce este un grafic al funcției? Acesta este un set de puncte plan de coordonate unde fiecare valoare a lui x corespunde unei valori a lui y. Graficele pot fi diferite - o linie dreaptă, hiperbolă, parabolă, sinusoidă și așa mai departe.

Un grafic al funcției nu poate fi trasat fără explorare. Astăzi vom învăța cum să efectuăm cercetări și să trasăm un grafic al funcției. Este foarte important să iei notițe în timpul studiului. Deci va fi mult mai ușor să faceți față sarcinii. Cel mai convenabil plan de studiu:

1. Domeniu.
2. Continuitate.
3. Par sau impar.
4. Periodicitate.
5. Asimptote.
6. Zerouri.
7. Constanţă.
8. Urcând și coborând.
9. Extreme.
10. Convexitatea și concavitatea.

Să începem cu primul punct. Să găsim domeniul definiției, adică la ce intervale există funcția noastră: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). În cazul nostru, funcția există pentru orice valoare a lui x, adică domeniul de definiție este R. Aceasta poate fi scrisă ca xОR.

Continuitate

Acum vom explora funcția de discontinuitate. În matematică, termenul de „continuitate” a apărut ca rezultat al studiului legilor mișcării. Ce este infinitul? Spațiul, timpul, unele dependențe (un exemplu este dependența variabilelor S și t în problemele de mișcare), temperatura obiectului încălzit (apă, tigaie, termometru și așa mai departe), o linie continuă (adică una care poate fi desenat fără a-l scoate de pe foaie de creion).

Un grafic este considerat continuu dacă nu se rupe la un moment dat. Una dintre cele mai exemple bune un astfel de grafic este o undă sinusoidală, pe care o puteți vedea în imaginea din această secțiune. Funcția este continuă la un punct x0 dacă sunt îndeplinite un număr de condiții:

• o funcție este definită la un punct dat;
• limitele din dreapta și din stânga la un punct sunt egale;
• limita este egală cu valoarea funcției în punctul x0.

Dacă cel puțin o condiție nu este îndeplinită, se spune că funcția se întrerupe. Iar punctele în care funcția se întrerupe se numesc puncte de întrerupere. Un exemplu de funcție care se va „rupe” atunci când este afișată grafic este: y=(x+4)/(x-3). Mai mult, y nu există în punctul x = 3 (deoarece este imposibil de împărțit la zero).

În funcția pe care o studiem (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) totul s-a dovedit a fi simplu, deoarece graficul va fi continuu.

Chiar ciudat

Acum examinați funcția pentru paritate. Să începem cu o mică teorie. O funcție pară este o funcție care îndeplinește condiția f (-x) = f (x) pentru orice valoare a variabilei x (din intervalul de valori). Exemple sunt:

• modulul x (graficul arată ca un coroi, bisectoarea primului și al doilea sferturi ale graficului);
• x pătrat (parabolă);
• cosinus x (undă cosinus).

Rețineți că toate aceste grafice sunt simetrice atunci când sunt privite în raport cu axa y.

Atunci ce se numește o funcție impară? Acestea sunt acele funcții care îndeplinesc condiția: f (-x) \u003d - f (x) pentru orice valoare a variabilei x. Exemple:

• hiperbolă;
• parabolă cubică;
• sinusoid;
• tangentă și așa mai departe.

Vă rugăm să rețineți că aceste funcții sunt simetrice față de punctul (0:0), adică originea. Pe baza a ceea ce s-a spus în această secțiune a articolului, chiar și funcţie impară trebuie să aibă proprietatea: x aparține mulțimii de definiții și -x de asemenea.

Să examinăm funcția pentru paritate. Putem vedea că ea nu se potrivește cu niciuna dintre descrieri. Prin urmare, funcția noastră nu este nici pară, nici impară.

Asimptote

Să începem cu o definiție. O asimptotă este o curbă care este cât mai aproape de grafic, adică distanța de la un punct tinde spre zero. Există trei tipuri de asimptote:

• verticală, adică paralelă cu axa y;
• orizontală, adică paralelă cu axa x;
• oblic.

În ceea ce privește primul tip, aceste linii ar trebui căutate în unele puncte:

• decalaj;
• capete ale domeniului.

În cazul nostru, funcția este continuă, iar domeniul de definiție este R. Prin urmare, nu există asimptote verticale.

Graficul unei funcții are o asimptotă orizontală, care îndeplinește următoarea cerință: dacă x tinde spre infinit sau minus infinit, iar limita este egală cu un anumit număr (de exemplu, a). LA acest caz y=a este asimptota orizontală. Nu există asimptote orizontale în funcția pe care o studiem.

O asimptotă oblică există numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Apoi poate fi găsită prin formula: y=kx+b. Din nou, în cazul nostru nu există asimptote oblice.

Zerourile funcției

Următorul pas este să examinăm graficul funcției pentru zerouri. De asemenea, este foarte important să rețineți că sarcina asociată cu găsirea zerourilor unei funcții are loc nu numai în studiul și reprezentarea grafică a unei funcții, ci și ca sarcină independentă, și ca o modalitate de a rezolva inegalitățile. Vi se poate cere să găsiți zerourile unei funcții pe un grafic sau să utilizați notația matematică.

Găsirea acestor valori vă va ajuta să reprezentați mai precis funcția. Dacă să vorbească limbaj simplu, atunci zeroul funcției este valoarea variabilei x, la care y=0. Dacă căutați zerourile unei funcții pe un grafic, atunci ar trebui să acordați atenție punctelor în care graficul se intersectează cu axa x.

Pentru a găsi zerourile funcției, trebuie să rezolvați următoarea ecuație: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. După efectuarea calculelor necesare, obținem următorul răspuns:

constanța semnului

Următoarea etapă în studiul și construcția unei funcții (grafică) este găsirea intervalelor de constanță a semnului. Aceasta înseamnă că trebuie să stabilim pe ce intervale ia funcția valoare pozitivă, iar pe unele - negativ. Zerourile funcțiilor găsite în secțiunea anterioară ne vor ajuta să facem acest lucru. Deci, trebuie să desenăm o linie dreaptă (separată de grafic) și în ordinea corectă distribuiți zerourile funcției peste ea de la cel mai mic la cel mai mare. Acum trebuie să determinați care dintre intervalele rezultate are semnul „+” și care dintre intervale are semnul „-”.

În cazul nostru, funcția ia o valoare pozitivă pe intervalele:

• de la 1 la 4;
• de la 9 la infinit.

Sens negativ:

• de la minus infinit la 1;
• de la 4 la 9.

Acest lucru este destul de ușor de determinat. Înlocuiți orice număr din interval în funcție și vedeți ce semn este răspunsul (minus sau plus).

Funcția Crescător și Descrescător

Pentru a explora și a construi o funcție, trebuie să știm unde va crește graficul (urge în sus pe Oy) și unde va cădea (trebuie în jos de-a lungul axei y).

Funcția crește numai dacă îi corespunde valoarea mai mare a variabilei x valoare mai mare y. Adică, x2 este mai mare decât x1 și f(x2) este mai mare decât f(x1). Și observăm un fenomen complet opus într-o funcție descrescătoare (cu cât mai mult x, cu atât mai puțin y). Pentru a determina intervalele de creștere și scădere, trebuie să găsiți următoarele:

• domeniul de aplicare (o avem deja);
• derivată (în cazul nostru: 1/3(3x^2-28x+49);
• rezolvați ecuația 1/3(3x^2-28x+49)=0.

După calcule, obținem rezultatul:

Obținem: funcția crește pe intervalele de la minus infinit la 7/3 și de la 7 la infinit și scade pe intervalul de la 7/3 la 7.

Extreme

Funcția investigată y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) este continuă și există pentru orice valoare a variabilei x. Punctul extremum arată maximul și minimul acestei funcții. În cazul nostru, nu există, ceea ce simplifică foarte mult sarcina de construcție. În caz contrar, se găsesc și folosind funcția derivată. După ce ați găsit, nu uitați să le marcați pe diagramă.

Convexitatea și concavitatea

Continuăm să studiem funcția y(x). Acum trebuie să-l verificăm pentru convexitate și concavitate. Definițiile acestor concepte sunt destul de greu de perceput, este mai bine să analizăm totul cu exemple. Pentru test: o funcție este convexă dacă este o funcție nedescrescătoare. De acord, acest lucru este de neînțeles!

Trebuie să găsim derivata funcției de ordinul doi. Se obține: y=1/3(6x-28). Acum echivalăm partea dreaptă cu zero și rezolvăm ecuația. Raspuns: x=14/3. Am găsit punctul de inflexiune, adică locul în care graficul se schimbă de la convex la concav sau invers. Pe intervalul de la minus infinit la 14/3, funcția este convexă, iar de la 14/3 la plus infinit, este concavă. De asemenea, este foarte important să rețineți că punctul de inflexiune de pe diagramă ar trebui să fie neted și moale, nu colțuri ascuțite nu ar trebui să fie prezent.

Definiția punctelor suplimentare

Sarcina noastră este să explorăm și să trasăm graficul funcției. Am finalizat studiul, nu va fi dificil să trasăm funcția acum. Pentru o reproducere mai exactă și detaliată a unei curbe sau a unei linii drepte pe planul de coordonate, puteți găsi mai multe puncte auxiliare. Este destul de ușor să le calculezi. De exemplu, luăm x=3, rezolvăm ecuația rezultată și găsim y=4. Sau x=5 și y=-5 și așa mai departe. Puteți lua câte puncte suplimentare aveți nevoie pentru a construi. Se găsesc cel puțin 3-5 dintre ele.

Complot

Am avut nevoie să investigăm funcția (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Toate marcajele necesare în cursul calculelor au fost făcute pe planul de coordonate. Tot ce rămâne de făcut este să construiești un grafic, adică să conectezi toate punctele între ele. Conectarea punctelor este lină și precisă, aceasta este o chestiune de îndemânare - puțină practică și programul tău va fi perfect.

Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă următoarea schemă:
A) găsiți domeniul de definiție, punctele de întrerupere; investigați comportamentul funcției în apropierea punctelor de discontinuitate (găsiți limitele funcției în stânga și în dreapta în aceste puncte). Specificați asimptotele verticale.
B) determinați uniformitatea sau neobișnuirea funcției și trageți o concluzie despre prezența simetriei. Dacă , atunci funcția este pară, simetrică față de axa OY; pentru , funcția este impară, simetrică față de origine; iar dacă este o funcție vedere generala.
C) găsiți punctele de intersecție ale funcției cu axele de coordonate OY și OX (dacă este posibil), determinați intervalele de constanță ale funcției. Limitele intervalelor de constanță de semn ale unei funcții sunt determinate de punctele în care funcția este egală cu zero (zerurile funcției) sau nu există și de limitele domeniului de definire a acestei funcții. În intervalele în care graficul funcției este situat deasupra axei OX și unde - sub această axă.
D) găsiți derivata întâi a funcției, determinați zerourile și intervalele de constanță ale acesteia. În intervalele în care funcția crește și în care scade. Faceți o concluzie despre prezența extremelor (punctele în care există funcția și derivata și la trecere prin care își schimbă semnul. Dacă schimbă semnul din plus în minus, atunci în acest moment funcția are un maxim, iar dacă de la minus la minus plus, apoi un minim). Găsiți valorile funcției la punctele extreme.
E) găsiți derivata a doua, zerourile și intervalele sale de constanță. În intervalele în care< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) găsiți asimptote oblice (orizontale) ale căror ecuații au forma ; Unde
.
La Graficul funcției va avea două asimptote oblice și fiecare valoare a lui x la și poate corespunde la două valori ale lui b.
G) găsiți puncte suplimentare pentru a rafina graficul (dacă este necesar) și construiți un grafic.

Exemplul 1 Investigați funcția și trasați graficul acesteia. Rezolvare: A) domeniul de definire ; funcția este continuă în domeniul definiției; – punctul de rupere, pentru că ; . Apoi este asimptota verticală.
B)
acestea. y(x) este o funcție generală.
C) Găsim punctele de intersecție ale graficului cu axa OY: punem x=0; atunci y(0)=–1, adică. graficul funcției traversează axa în punctul (0;-1). Zerourile funcției (punctele de intersecție ale graficului cu axa OX): presupunem y=0; apoi
.
discriminant ecuație pătratică mai putin de zero, deci nu există zerouri. Atunci limita intervalelor de constanță este punctul x=1, unde funcția nu există.
Semnul funcției în fiecare dintre intervale este determinat de metoda valorilor parțiale:

Din diagramă se poate observa că în interval graficul funcției este situat sub axa OX, iar în intervalul deasupra axei OX.
D) Aflam prezenta punctelor critice.
.
Punctele critice (unde sau nu există) se găsesc din egalitățile și .

Se obține: x1=1, x2=0, x3=2. Să compunem masa auxiliara

tabelul 1

(Prima linie conține punctele critice și intervalele în care aceste puncte sunt împărțite de axa OX; a doua linie indică valorile derivatei în punctele critice și semnele de pe intervale. Semnele sunt determinate prin metoda de valori parțiale.A treia linie indică valorile funcției y(x) în punctele critice și arată comportamentul funcției - crescând sau descrescând la intervalele corespunzătoare ale axei numerice.În plus, prezența unui minim sau maxim este indicat.
E) Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției.
; construim un tabel ca la paragraful D); doar în al doilea rând notăm semnele, iar în al treilea indicăm tipul de umflătură. pentru că ; atunci punctul critic este unul x=1.
masa 2

Punctul x=1 este punctul de inflexiune.
E) Găsiți asimptote oblice și orizontale

Atunci y=x este o asimptotă oblică.
G) Conform datelor obținute, construim un grafic al funcției

Exemplul2 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați graficul acesteia. Soluţie.

1). Domeniul de aplicare a funcției.
Evident, această funcție este definită pe întreaga linie numerică, cu excepția punctelor „” și „”, deoarece în aceste puncte, numitorul este egal cu zero și, prin urmare, funcția nu există, iar liniile și sunt asimptote verticale.

2). Comportamentul funcției când argumentul tinde spre infinit, existența punctelor de discontinuitate și verificarea asimptotelor oblice.
Să verificăm mai întâi cum se comportă funcția când se apropie de infinit la stânga și la dreapta.

Astfel, la , funcția tinde spre 1, adică. este asimptota orizontală.
În vecinătatea punctelor de discontinuitate, comportamentul funcției este definit după cum urmează:


Acestea. la apropierea punctelor de discontinuitate din stânga, funcția scade la infinit, în timp ce la dreapta, crește infinit.
Determinăm prezența unei asimptote oblice luând în considerare egalitatea:

Nu există asimptote oblice.

3). Puncte de intersecție cu axe de coordonate.
Aici este necesar să luăm în considerare două situații: să găsim punctul de intersecție cu axa Ox și cu axa Oy. Un semn de intersectie cu axa x este valoarea zero a functiei, i.e. trebuie sa rezolvi ecuatia:

Această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, graficul acestei funcții nu are puncte de intersecție cu axa Ox.
Un semn de intersecție cu axa Oy este valoarea x \u003d 0. În acest caz
,
acestea. - punctul de intersecție a graficului funcției cu axa Oy.

4).Determinarea punctelor extreme și a intervalelor de creștere și scădere.
Pentru a investiga această problemă, definim prima derivată:
.
Echivalăm cu zero valoarea primei derivate.
.
O fracție este zero atunci când numărătorul ei este zero, adică. .
Să determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției.

Astfel, funcția are un punct extremum și nu există în două puncte.
Astfel, funcția crește pe intervalele și și scade pe intervalele și .

5). Puncte de inflexiune și zone de convexitate și concavitate.
Această caracteristică a comportamentului funcției este determinată folosind derivata a doua. Să determinăm mai întâi prezența punctelor de inflexiune. A doua derivată a funcției este

Pentru și funcția este concavă;

pentru și funcția este convexă.

6). Trasarea graficului unei funcții.
Folosind valorile găsite în puncte, construim un grafic schematic al funcției:

Exemplul 3 Funcția de explorare și complotează-l.

Soluţie
Funcția dată este o funcție neperiodică de formă generală. Graficul său trece prin origine, deoarece .
Domeniul funcției date sunt toate valorile variabilei , cu excepția și , la care numitorul fracției dispare.
Prin urmare, punctele și sunt puncte de întrerupere ale funcției.
pentru că ,

pentru că ,
, atunci punctul este un punct de discontinuitate de al doilea fel.
Liniile drepte și sunt asimptotele verticale ale graficului funcției.
Ecuații de asimptotă oblică , unde , .
La ,
.
Astfel, pentru și graficul funcției are o asimptotă .
Să găsim intervalele de creștere și scădere a funcției și punctele extremelor.
.
Prima derivată a funcției la și , prin urmare, la și funcția crește.
Pentru , prin urmare, pentru , funcția este descrescătoare.
nu există pentru , .
, prin urmare, la graficul funcției este concav.
La , prin urmare, la graficul funcției este convex.

La trecerea prin punctele , , își schimbă semnul. Când , funcția nu este definită, prin urmare, graficul funcției are un punct de inflexiune .
Să construim un grafic al funcției.

Punctele de referință în studiul funcțiilor și construcția graficelor acestora sunt puncte caracteristice - puncte de discontinuitate, extremum, inflexiune, intersecție cu axele de coordonate. Cu ajutorul calculului diferenţial se poate stabili caracteristici modificări ale funcției: creștere și scădere, maxime și minime, direcția convexității și concavității graficului, prezența asimptotelor.

O schiță a graficului funcției poate (și ar trebui) să fie schițată după găsirea asimptotelor și a punctelor extreme și este convenabil să completați tabelul rezumat al studiului funcției în cursul studiului.

De obicei, se folosește următoarea schemă de cercetare a funcției.

1.Găsiți domeniul, intervalele de continuitate și punctele de întrerupere ale unei funcții.

2.Examinați funcția pentru par sau impar (axial sau simetrie centrală Arte grafice.

3.Găsiți asimptote (verticale, orizontale sau oblice).

4.Găsiți și investigați intervalele de creștere și scădere ale funcției, punctele sale extreme.

5.Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale curbei, punctele sale de inflexiune.

6.Aflați punctele de intersecție ale curbei cu axele de coordonate, dacă acestea există.

7.Alcătuiește un tabel rezumativ al studiului.

8.Construiți un grafic, ținând cont de studiul funcției, realizat conform punctelor de mai sus.

Exemplu. Funcția de explorare

și complotează-l.

7. Să facem un tabel rezumativ al studiului funcției, unde vom introduce toate punctele caracteristice și intervalele dintre ele. Având în vedere paritatea funcției, obținem următorul tabel:

				Caracteristicile graficului
[-1, 0[			Crescând	Convex
				(0; 1) – punct maxim
]0, 1[			Scăderi	Convex
				Punct de inflexiune, forme cu axa Bou unghi obtuz

Unul dintre sarcini critice calculul diferenţial este dezvoltarea exemple comune studii ale comportamentului funcţiilor.

Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe segment și derivata sa este pozitivă sau egală cu 0 pe intervalul (a, b), atunci y \u003d f (x) crește cu (f "(x) 0). Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe segment și derivata sa este negativă sau egală cu 0 pe intervalul (a,b), atunci y=f(x) scade cu (f"( x)0)

Intervalele în care funcția nu scade sau nu crește se numesc intervale de monotonitate a funcției. Natura monotonității unei funcții se poate modifica numai în acele puncte ale domeniului său de definire, la care semnul derivatei întâi se schimbă. Punctele în care derivata întâi a unei funcții dispare sau se rupe se numesc puncte critice.

Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie definită funcția y=f(x) în punctul x 0 și să existe o vecinătate δ>0 astfel încât funcția să fie continuă pe segmentul , diferențiabilă pe intervalul (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , iar derivata ei păstrează un semn constant pe fiecare dintre aceste intervale. Atunci, dacă pe x 0 -δ, x 0) și (x 0, x 0 + δ) semnele derivatei sunt diferite, atunci x 0 este un punct extrem, iar dacă se potrivesc, atunci x 0 nu este un punct extrem. . Mai mult, dacă, la trecerea prin punctul x0, derivata își schimbă semnul din plus în minus (la stânga lui x 0, se execută f „(x)> 0, atunci x 0 este punctul maxim; dacă derivata își schimbă semnul de la minus la plus (la dreapta lui x 0 este executat de f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme ale funcției, iar maximele și minimele funcției sunt numite valorile sale extreme.

Teorema 2 (criteriul necesar pentru un extremum local).

Dacă funcția y=f(x) are un extremum la curentul x=x 0, atunci fie f'(x 0)=0, fie f'(x 0) nu există.
La punctele extreme ale unei funcții diferențiabile, tangenta la graficul acesteia este paralelă cu axa Ox.

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1) Aflați derivata funcției.
2) Găsiți punctele critice, de ex. punctele în care funcția este continuă și derivata este zero sau nu există.
3) Luați în considerare vecinătatea fiecăruia dintre puncte și examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta acestui punct.
4) Determinați coordonatele punctelor extreme, pentru această valoare a punctelor critice, înlocuiți în această funcție. Folosind suficiente condiții extreme, trageți concluziile adecvate.

Exemplul 18. Investigați funcția y=x 3 -9x 2 +24x

Soluţie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Echivalând derivata cu zero, găsim x 1 =2, x 2 =4. În acest caz, derivata este definită peste tot; prin urmare, în afară de cele două puncte găsite, nu există alte puncte critice.
3) Semnul derivatei y "=3(x-2)(x-4) se modifică în funcție de interval, așa cum se arată în figura 1. Când trece prin punctul x=2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, iar la trecerea prin punctul x=4 - de la minus la plus.
4) În punctul x=2, funcția are un maxim y max =20, iar în punctul x=4 - un minim y min =16.

Teorema 3. (a 2-a condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie f "(x 0) și f "" (x 0) există în punctul x 0. Atunci dacă f "" (x 0)> 0, atunci x 0 este punctul minim și dacă f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pe segment, funcția y \u003d f (x) poate atinge cea mai mică (cel puțin) sau cea mai mare (cel mult) valoare fie în punctele critice ale funcției aflate în intervalul (a; b), fie la capete a segmentului.

Algoritmul pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue y=f(x) pe segment:

1) Găsiți f „(x).
2) Găsiți punctele în care f „(x) = 0 sau f” (x) - nu există și selectați dintre ele pe cele care se află în interiorul segmentului.
3) Calculați valoarea funcției y \u003d f (x) la punctele obținute la paragraful 2), precum și la capetele segmentului și alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele: acestea sunt, respectiv, cele mai mari ( pentru cele mai mari) și cele mai mici (pentru cele mai mici) valori ale funcției de pe segment.

Exemplul 19. Aflați cea mai mare valoare a unei funcții continue y=x 3 -3x 2 -45+225 pe segmentul .

1) Avem y "=3x 2 -6x-45 pe segment
2) Derivata y" există pentru tot x. Să găsim punctele în care y"=0; primim:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calculați valoarea funcției în punctele x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Numai punctul x=5 aparține segmentului. Cea mai mare dintre valorile găsite ale funcției este 225, iar cea mai mică este numărul 50. Deci, la max = 225, la max = 50.

Investigarea unei funcții pe convexitate

Figura prezintă graficele a două funcții. Primul dintre ele este răsturnat cu o umflătură în sus, al doilea - cu o umflătură în jos.

Funcția y=f(x) este continuă pe un segment și diferențiabilă în intervalul (a;b), se numește convexă sus (jos) pe acest segment dacă, pentru axb, graficul său nu este mai sus (nu mai jos) decât tangenta trasata in orice punct M 0 (x 0 ;f(x 0)), unde axb.

Teorema 4. Fie funcția y=f(x) să aibă o derivată a doua în orice punct interior x al segmentului și să fie continuă la capetele acestui segment. Atunci dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în jos pe segment ; dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (а;b), atunci funcția este convexă în sus pe .

Teorema 5. Dacă funcția y \u003d f (x) are o derivată a doua pe intervalul (a; b) și dacă își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0, atunci M (x 0 ; f (x 0)) este un punct de inflexiune.

Regula pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1) Găsiți punctele în care f""(x) nu există sau dispare.
2) Examinați semnul f""(x) la stânga și la dreapta fiecărui punct găsit la primul pas.
3) Pe baza teoremei 4, trageți o concluzie.

Exemplul 20. Găsiți punctele extreme și punctele de inflexiune ale graficului funcției y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Avem f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Evident, f"(x)=0 pentru x 1 =0, x 2 =1. Derivata, la trecerea prin punctul x=0, isi schimba semnul din minus in plus, iar la trecerea prin punctul x=1, nu isi schimba semnul. Aceasta înseamnă că x=0 este punctul minim (y min =12) și nu există un extremum în punctul x=1. În continuare, găsim . A doua derivată dispare în punctele x 1 =1, x 2 =1/3. Semnele derivatei a doua se schimba astfel: Pe raza (-∞;) avem f""(x)>0, pe intervalul (;1) avem f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prin urmare, x= este punctul de inflexiune al graficului funcției (tranziția de la convexitate în jos la convexitate în sus) și x=1 este, de asemenea, un punct de inflexiune (tranziție de la convexitate în sus la convexitate în jos). Dacă x=, atunci y= ; dacă, atunci x=1, y=13.

Un algoritm pentru găsirea asimptotei unui grafic

I. Dacă y=f(x) ca x → a , atunci x=a este o asimptotă verticală.
II. Dacă y=f(x) ca x → ∞ sau x → -∞ atunci y=A este asimptota orizontală.
III. Pentru a găsi asimptota oblică, folosim următorul algoritm:
1) Calculați. Dacă limita există și este egală cu b, atunci y=b este asimptota orizontală; dacă , atunci treceți la pasul al doilea.
2) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu k, atunci treceți la pasul al treilea.
3) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu b, atunci treceți la pasul al patrulea.
4) Notați ecuația asimptotei oblice y=kx+b.

Exemplul 21: Găsiți o asimptotă pentru o funcție

1)
2)
3)
4) Ecuația asimptotă oblică are forma

Schema studiului funcției și construcția graficului acesteia

I. Găsiți domeniul funcției.
II. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.
III. Găsiți asimptote.
IV. Găsiți puncte de extremum posibil.
V. Găsiți punctele critice.
VI. Folosind desenul auxiliar, investigați semnul primei și a doua derivate. Determinați ariile de creștere și scădere ale funcției, găsiți direcția convexității graficului, punctele extreme și punctele de inflexiune.
VII. Construiți un grafic, ținând cont de studiul efectuat în paragrafele 1-6.

Exemplul 22: Trasează graficul unei funcții conform schemei de mai sus

Soluţie.
I. Domeniul funcției este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x=1.
II. Deoarece ecuația x 2 +1=0 nu are rădăcini reale, atunci graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axa Ox, ci intersectează axa Oy în punctul (0; -1).
III. Să clarificăm problema existenței asimptotelor. Investigăm comportamentul funcției în apropierea punctului de discontinuitate x=1. Deoarece y → ∞ pentru x → -∞, y → +∞ pentru x → 1+, atunci linia x=1 este o asimptotă verticală a graficului funcției.
Dacă x → ​​+∞(x → -∞), atunci y → +∞(y → -∞); prin urmare, graficul nu are o asimptotă orizontală. Mai departe, din existența limitelor

Rezolvând ecuația x 2 -2x-1=0, obținem două puncte ale unui extremum posibil:
x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2

V. Pentru a găsi punctele critice, calculăm derivata a doua:

Deoarece f""(x) nu dispare, nu există puncte critice.
VI. Investigăm semnul primei și a doua derivate. Posibile puncte extreme de luat în considerare: x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2, împarte aria de existență a funcției în intervale (-∞;1-√2),(1-√2). ;1+√2) și (1+√2;+∞).

În fiecare dintre aceste intervale, derivata își păstrează semnul: în primul - plus, în al doilea - minus, în al treilea - plus. Secvența de semne a primei derivate se va scrie astfel: +, -, +.
Obținem că funcția pe (-∞;1-√2) crește, pe (1-√2;1+√2) scade, iar pe (1+√2;+∞) crește din nou. Puncte extreme: maxim la x=1-√2, în plus f(1-√2)=2-2√2 minim la x=1+√2, în plus f(1+√2)=2+2√2. Pe (-∞;1) graficul este convex în sus, iar pe (1;+∞) - în jos.
VII Să facem un tabel cu valorile obţinute

VIII Pe baza datelor obținute, construim o schiță a graficului funcției