METODE LOGICE PROBABILISTICE PENTRU ANALIZA FIABILITĂȚII
Orice metodă de analiză a fiabilității necesită o descriere a condițiilor de funcționare ale sistemului. Astfel de condiții pot fi formulate pe baza:
Schema structurală a funcționării sistemului (schema de calcul al fiabilității);
Descrierea verbală a funcționării sistemului;
Diagrame grafice;
Funcții de algebră logică.
Metoda logico-probabilistă de analiză a fiabilității ne permite să formalizăm definiția și sensul ipotezelor favorabile. Esența acestei metode este următoarea.
· Starea fiecărui element este codificată cu zero și unu:
În funcțiile de algebră logică, stările elementelor sunt reprezentate în urmatoarea forma:
X i- stare buna a elementului, corespunzator codului 1;
Starea de eroare a elementului corespunzător codului 0.
Folosind funcțiile algebrei logice, condiția de operabilitate a sistemului se scrie prin operabilitatea (starea) elementelor sale. Funcția de sănătate a sistemului rezultată este o funcție binară a argumentelor binare.
FAL rezultat este transformat în așa fel încât să conțină termeni corespunzători ipotezelor favorabile pentru funcționarea corectă a sistemului.
În FAL în loc de variabile binare x i iar probabilitățile de funcționare fără defecțiuni sunt înlocuite în consecință p iși probabilitatea de eșec qi. Semnele pentru conjuncție și disjuncție sunt înlocuite cu înmulțirea și adunarea algebrică.
Expresia rezultată este probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului Pc(t).
Să ne uităm la metoda logico-probabilistă folosind exemple.
EXEMPLU 5.10. Schema bloc a sistemului reprezintă conexiunea principală (în serie) a elementelor (Fig. 5.14).
Pe schema bloc x i, i = 1, 2,..., P- stat i Al-lea element al sistemului, codificat 0 dacă elementul este într-o stare defectuoasă și 1 dacă este în stare de funcționare. ÎN în acest caz, Sistemul este operațional dacă toate elementele sale sunt operaționale. Atunci FAL este o conjuncție de variabile logice, adică. y=x 1,x 2,…..,x p, reprezentând o formă normală disjunctivă perfectă a sistemului.
Înlocuind probabilitățile stărilor sănătoase ale elementelor în loc de variabile logice și înlocuind conjuncția cu înmulțirea algebrică, obținem:
EXEMPLU 5.11. Schema structurală a sistemului este un sistem duplicat cu subsisteme inegal de fiabile, pornite constant (Fig. 5.15).
În fig. 5.15 x 1Și x 2- starea elementelor sistemului. Să creăm un tabel de adevăr pentru două variabile binare (Tabelul 5.2).
În tabel, 0 este starea de defecțiune a elementului, 1 este starea de funcționare a elementului. În acest caz, sistemul este operațional dacă ambele elemente (1,1) sau unul dintre ele ((0,1) sau (1,0)) sunt operaționale. Apoi starea operațională a sistemului este descrisă de următoarea funcție de algebră logică:
Această funcție este o formă normală disjunctivă perfectă. Înlocuind operațiile de disjuncție și conjuncție cu operații algebrice de înmulțire și adunare, iar variabilele logice cu probabilitățile corespunzătoare stării elementelor, obținem probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului:
EXEMPLU 5.12. Schema bloc a sistemului are forma prezentată în Fig. 5.16.
Să creăm un tabel de adevăr (Tabelul 53).
ÎN în acest exemplu sistemul este operațional dacă toate elementele sale sunt operaționale sau un element este operațional x iși unul dintre elementele perechii duplicate (x 2, x 3). Pe baza tabelului de adevăr, SDNF va arăta astfel:
Înlocuirea probabilităților corespunzătoare în loc de variabile binare și în loc de conjuncții și disjuncții - înmulțire algebricăși în plus, obținem probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului:
Funcția algebră logică poate fi reprezentată într-o formă minimă folosind următoarele transformări:
Operațiile de absorbție și lipire nu sunt aplicabile în algebră. În acest sens, este imposibil să minimizezi FAL rezultat și apoi să înlocuiești valorile de probabilitate în loc de variabile logice. Probabilitățile stărilor elementelor ar trebui înlocuite în SDNF și simplificate conform regulilor algebrei.
Dezavantajul metodei descrise este necesitatea de a compila un tabel de adevăr, care necesită enumerarea tuturor stărilor operaționale ale sistemului.
5.3.2. Metodă cele mai scurte căiși secțiuni minime
Această metodă a fost discutată anterior în Sect. 5.2.3. Să o prezentăm din poziţia algebrei logicii.
Funcția de performanță poate fi descrisă folosind cele mai scurte căi de mers pentru funcționarea sistemului și secțiunile transversale minime pentru defectarea acestuia.
Cea mai scurtă cale este conjuncția minimă de stări operabile ale elementelor care formează un sistem funcțional.
Secțiunea minimă este conjuncția minimă a stărilor inoperante ale elementelor care formează starea nefuncțională a sistemului.
EXEMPLU 5.13. Este necesar să se formeze o funcție de operabilitate a sistemului, a cărei diagramă bloc este prezentată în Fig. 5.17, folosind metoda celor mai scurte căi și tăieturi minime.
Soluţie.În acest caz, cele mai scurte căi care formează un sistem funcțional vor fi: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Apoi funcția de performanță va fi scrisă ca următoarea funcție de algebră logică:
În conformitate cu acest FAL, schema bloc a sistemului este Fig. 5.17 poate fi reprezentată prin schema bloc din Fig. 5.18.
Secțiunile minime care formează un sistem inoperabil vor fi: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Apoi funcția de inoperabilitate va fi scrisă ca următoarea funcție de algebră logică:
În conformitate cu acest FAL, schema bloc a sistemului va fi prezentată așa cum se arată în Fig. 5.19.
Trebuie reținut că diagramele bloc din Fig. 5.18 și fig. 5.19 nu sunt scheme de calcul al fiabilității, iar expresiile pentru stările operaționale și inoperante FAL nu sunt expresii pentru determinarea probabilității de funcționare fără defecțiuni și a probabilității de defecțiune:
Principalele avantaje ale FAL-urilor sunt că fac posibilă obținerea formală, fără a compila un tabel de adevăr, SDNF și SKNF (forma normală conjunctivă perfectă), care fac posibilă obținerea probabilității de funcționare fără defecțiuni (probabilitatea de defecțiune) a sistemul prin substituirea în FAL în locul variabilelor logice a valorilor corespunzătoare ale probabilităților de lucru fără eșec, înlocuind operațiile de conjuncție și disjuncție cu operațiile algebrice de înmulțire și adunare.
Pentru a obține SDNF, este necesar să înmulțiți fiecare termen disjunctiv al FAL cu, unde x i- argumentul lipsă și deschideți parantezele. Răspunsul este SDNF. Să ne uităm la această metodă cu un exemplu.
EXEMPLU 5.14. Este necesar să se determine probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului, a cărei diagramă bloc este prezentată în Fig. 5.17. Probabilitățile de funcționare fără defecțiuni a elementelor sunt egale p 1, p 2, p 3, p 4, r 5.
Soluţie. Să folosim metoda celui mai scurt drum. Funcția algebră logică obținută prin metoda drumului cel mai scurt are forma:
Să luăm sistemul SDNF. Pentru a face acest lucru, înmulțiți termenii disjunctivi cu cei lipsă:
Deschizând parantezele și efectuând transformări conform regulilor algebrei logice, obținem SDNF:
Înlocuind în schimb SDNF x 1, x 2, x 3 , x 4, x 5 probabilitatea de funcționare fără defecțiuni p 1, p 2, p 3, p 4, p 5și folosind relații q i = 1–p i, obținem următoarea expresie pentru probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului.
Din exemplul de mai sus reiese clar că metoda celui mai scurt drum ne-a eliberat de determinarea ipotezelor favorabile. Același rezultat poate fi obținut dacă utilizați metoda secțiunilor minime.
5.3.3. Algoritm de tăiere
Algoritmul de tăiere ne permite să obținem un FAL, substituind în care în loc de variabile logice probabilitatea de funcționare fără defecțiuni (probabilitatea de defecțiune) a elementelor, putem găsi probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului. Nu este necesar să obțineți SDNF în acest scop.
Algoritmul de tăiere se bazează pe următoarea teoremă de algebră logică: funcția de algebră logică y(x b x 2,..., x n) poate fi prezentat în următoarea formă:
Să demonstrăm aplicabilitatea acestei teoreme folosind trei exemple:
Aplicând a doua lege distributivă a algebrei logice, obținem:
EXEMPLU 5.15. Determinați probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului, a cărei diagramă bloc este prezentată în Fig. 5.16, folosind algoritmul de tăiere.
Soluţie. Folosind metoda drumului cel mai scurt, obținem următorul FAL:
Să aplicăm algoritmul de tăiere:
Acum înlocuind variabilele logice cu probabilitățile și înlocuind operațiile de conjuncție și disjuncție cu înmulțire și adunare algebrică, obținem:
EXEMPLU 5.16. Determinați probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului, a cărei diagramă bloc este prezentată în Fig. 5.17. Utilizați algoritmul de tăiere.
Soluţie. Funcția algebrică logică obținută prin metoda secțiunilor minime are forma:
Să implementăm algoritmul de tăiere cu privire la X 5:
Să simplificăm expresia rezultată folosind regulile algebrei logice. Să simplificăm expresia din primele paranteze folosind regula de a o scoate din paranteze:
Apoi FAL va arăta astfel:
Această expresie corespunde diagramei bloc din Fig. 5.20.
Schema rezultată este, de asemenea, o schemă de calcul a fiabilității dacă variabilele logice sunt înlocuite cu probabilități de funcționare fără defecțiuni r 1, r 2, r 3, r 4, r 5, iar variabila este probabilitatea de eșec q 5 . Din fig. 5.20 se poate observa că schema bloc a sistemului este redusă la un circuit serie-paralel. Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni este calculată folosind următoarea formulă:
Formula nu are nevoie de explicație; este scrisă direct conform diagramei structurale.
5.3.4. Algoritm de ortogonalizare
Algoritmul de ortogonalizare, ca și algoritmul de tăiere, permite procedurilor formale să formeze o funcție de algebră logică, înlocuind probabilități în loc de variabile logice și în loc de disjuncții și conjuncții - adunare algebricăși multiplicare, obțineți probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului. Algoritmul se bazează pe transformarea funcțiilor de algebră logică în formă normală disjunctivă ortogonală (ODNF), care este semnificativ mai scurtă decât ODNF. Înainte de a prezenta metodologia, vom formula o serie de definiții și vom da exemple.
Două conjuncţii sunt numite ortogonal, dacă produsul lor este identic zero. Forma normală disjunctivă numit ortogonal, dacă toți termenii săi sunt ortogonali pe perechi. SDNF este ortogonal, dar cea mai lungă dintre toate funcțiile ortogonale.
DNF ortogonal poate fi obținut folosind următoarele formule:
Aceste formule sunt ușor de demonstrat dacă folosiți a doua lege distributivă a algebrei logice și teorema lui De Morgan. Algoritmul pentru obținerea unei forme normale disjunctive ortogonale este următoarea procedură de transformare a funcției y(x 1, x 2,..., x n)în ODNF:
Funcţie y(x 1, x 2,..., x n) convertit în DNF utilizând calea cea mai scurtă sau metoda tăierilor minime;
Forma normală disjunctivă ortogonală se găsește folosind formulele (5.10) și (5.11);
Funcția este minimizată prin setarea termenilor ortogonali ai ODNF la zero;
Variabilele logice sunt înlocuite cu probabilitățile de funcționare fără defecțiuni (probabilități de defecțiuni) ale elementelor sistemului;
Soluția finală se obține după simplificarea expresiei obținute în pasul precedent.
Să ne uităm la tehnică folosind un exemplu.
EXEMPLUL 5.17. Determinați probabilitatea funcționării fără defecțiuni a sistemului, a cărei diagramă bloc este prezentată în Fig. 5.17. Aplicați metoda ortogonalizării.
Soluţie.În acest caz, funcționarea sistemului este descrisă de următoarea funcție de algebră logică (metoda secțiunii minime):
Să notăm K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 = x 3 x 5 x 2. Apoi ODNF va fi scris în următoarea formă:
Valori ,i= 1,2,3, pe baza formulei (5.10) va arăta astfel:
Înlocuind aceste expresii în (5.12), obținem:
Înlocuind variabilele logice din această expresie cu probabilitățile corespunzătoare și efectuând operații algebrice de adunare și înmulțire, obținem probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului:
Răspunsul este același cu cel obținut în Exemplul 5.14.
Exemplul arată că algoritmul de ortogonalizare este mai productiv decât metodele discutate mai devreme. Metodele logico-probabilistice de analiză a fiabilității sunt descrise mai detaliat în. Metoda logico-probabilistă, ca oricare alta, are avantajele și dezavantajele ei. Avantajele sale au fost menționate mai devreme. Să-i subliniem deficiențele.
Datele inițiale din metoda logico-probabilistă sunt probabilitățile de funcționare fără defecțiuni a elementelor diagramei structurale a sistemului. Cu toate acestea, în multe cazuri aceste date nu pot fi obținute. Și nu pentru că fiabilitatea elementelor este necunoscută, ci pentru că timpul de funcționare al elementului este o variabilă aleatorie. Acest lucru se întâmplă în cazul redundanței prin înlocuire, prezența efectelor secundare ale defecțiunilor, funcționarea nesimultană a elementelor, prezența restaurării cu diferite discipline de întreținere și în multe alte cazuri.
Să dăm exemple pentru a ilustra aceste neajunsuri. Schema bloc a sistemului are forma prezentată în Fig. 5.21, unde se adoptă următoarele notații: x i- variabile logice cu valorile 0 și 1, corespunzătoare defecțiunii și funcționării corecte a elementului, x i = 1, 2, 3.
În acest caz, variabila logică dc 3 este 0 până în momentul defectării τ a elementului principal și 1 în timpul (t-τ), Unde t- timpul în care se determină probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului. Timp τ este o valoare aleatorie, deci valoarea р(τ) necunoscut. În acest caz, este imposibil să compilați un FAL și, cu atât mai mult, un SDNF. Niciuna dintre metodele logico-probabilistice pe care le-am luat în considerare nu ne permite să găsim probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului.
Iată încă una exemplu tipic. Sistemul de alimentare constă dintr-un regulator de tensiune R n și două generatoare de funcționare paralele G 1 și G 2. Schema bloc a sistemului este prezentată în Fig. 5.22.
Dacă unul dintre generatoare se defectează, cel rămas în stare bună de funcționare operează o sarcină comună. Rata sa de eșec crește. Dacă înainte de momentul τ de defectare a unuia dintre generatoare, intensitatea defectării acestuia a fost egală cu λ , apoi după refuz λ 1 > λ 2. Din timp τ este o cantitate aleatoare, atunci Р(τ) necunoscut. Aici, ca și în cazul rezervării prin substituție, metodele logico-probabilistice sunt neputincioase. Astfel, dezavantajele indicate ale metodelor logico-probabilistice reduc utilizarea lor practică în calcularea fiabilității sistemelor complexe.
5.4. Metode topologice de analiză a fiabilității
Vom numi metode topologice care permit determinarea indicatorilor de fiabilitate fie dintr-un grafic de stare, fie dintr-o diagramă structurală a unui sistem, fără a alcătui sau rezolva ecuații. O serie de lucrări sunt dedicate metodelor topologice, care descriu diferite căi al lor implementare practică. Această secțiune prezintă metode pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate dintr-un grafic de stare.
Metodele topologice fac posibilă calcularea următorilor indicatori de fiabilitate:
- Р(t)- probabilitatea de funcționare fără defecțiuni pentru o perioadă de timp t;
- T 1, - timpul mediu dintre defecțiuni;
- K g (t)- funcția de pregătire (probabilitatea ca sistemul să fie funcțional în orice moment arbitrar în timp t);
- Kg= - factor de disponibilitate;
T- timpul dintre defecțiunile sistemului în curs de restaurare.
Metodele topologice au următoarele caracteristici:
Simplitatea algoritmilor de calcul;
Vizibilitatea ridicată a procedurilor de determinare a caracteristicilor cantitative de fiabilitate;
Posibilitatea de estimari aproximative;
Fără restricții privind tipul de diagramă structurală (sisteme, recuperabile și nerecuperabile, neredundante și redundante cu orice tip de redundanță și orice multiplicitate).
Acest capitol va discuta limitele metodelor topologice:
Ratele de eșec și de recuperare ale elementelor unui sistem complex sunt valori constante”;
Indicatorii temporali de fiabilitate, cum ar fi probabilitatea de funcționare fără defecțiuni și funcția de disponibilitate, sunt determinați în transformările Laplace;
Dificultăți, în unele cazuri de nedepășit, la analizarea fiabilității sistemelor complexe descrise de un graf de stări multiconectate.
Ideea metodelor topologice este următoarea.
Un grafic de stare este una dintre modalitățile de a descrie funcționarea unui sistem. Acesta definește tipul ecuatii diferentiale si numarul lor. Intensitățile tranzițiilor, care caracterizează fiabilitatea elementelor și recuperabilitatea acestora, determină coeficienții ecuațiilor diferențiale. Condițiile inițiale sunt selectate prin codificarea nodurilor graficului.
Graficul de stare conține toate informațiile despre fiabilitatea sistemului. Și acesta este un motiv pentru a crede că indicatorii de fiabilitate pot fi calculați direct din graficul de stare.
5.4.1. Determinarea probabilităților stărilor sistemului
Probabilitatea de a găsi sistemul fiind restaurat într-o stare i la un moment fix în timp tîn transformarea Laplace se poate scrie după cum urmează:
Unde Δ(e)- principalul determinant al unui sistem de ecuaţii diferenţiale scrise în transformate Laplace; Δi(e)- determinant privat al sistemului.
Din expresia (5.13) reiese clar că Pi(e) se va determina dacă se găsesc grade din graficul de stare tip polinoamele numărătorului și numitorului, precum și coeficienții B ij (j = 0,1,2,..., m) Și A i(i = 0,1, 2,..., n-1).
În primul rând, să ne uităm la metoda de determinare Pi(e) graficul de stare numai a unor astfel de sisteme în graficul de stare al cărora nu există tranziții prin stări. Acestea includ toate sistemele neredundante, sistemele redundante cu redundanță generală cu multiplicități întregi și fracționale, sistemele redundante de orice structură cu întreținerea dispozitivelor defectate în ordinea inversă a primirii lor pentru reparație. Această clasă de sisteme include și unele sisteme redundante cu dispozitive la fel de fiabile cu diferite discipline pentru întreținerea lor.
Funcționarea sistemului este descrisă prin ecuații diferențiale, al căror număr este egal cu numărul de noduri din grafic. Aceasta înseamnă că principalul determinant al sistemului Δ(e) V caz general va fi un polinom n gradul, unde n- numărul de noduri din graficul de stare. Este ușor de arătat că polinomul numitorului nu conține un termen inactiv. Într-adevăr, pentru că apoi numitorul funcției Pi(e) trebuie sa contina s ca factor, altfel probabilitatea finală P i (∞) va fi egal cu zero. Excepția este atunci când numărul de reparații este limitat.
Gradul polinom al numeratoruluiΔi se gaseste din expresia:
m i = n - 1 – l i,
Unde n- numărul de noduri ale graficului de stare; eu- numărul de tranziții de la starea inițială a sistemului, determinat de condițiile inițiale de funcționare a acestuia, la starea i de-a lungul drumului cel mai scurt.
Dacă starea inițială a sistemului este starea în care toate dispozitivele sunt operaționale, atunci eu- numărul nivelului de stare i, adică eu egal cu numărul minim de dispozitive de sistem eșuate din stat i. Astfel, gradul polinomului numărătorului de probabilitate P i (s) rămânerea sistemului în i-starea depinde de numărul de stat i si din conditiile initiale. De la numărul de tranziții eu poate 0,1,2,..., n-1, apoi gradul polinomuluiΔi(e) pe baza (5.14) poate lua și valorile m i = 0,1,2,..., n-1.
LVM a apărut ca urmare a cercetării problemelor de securitate ale sistemelor complexe. Poate fi folosit pentru a estima probabilitatea de defectare a unui sistem complex.
LVM se referă la metode axiomatice de luare a deciziilor în condiții de incertitudine stocastică. Vă permite să reduceți această incertitudine cu abordarea bazată pe dovezi și rezultatele experimentale - caracteristicile probabilistice ale alternativelor.
În manual, LVM este luat în considerare folosind exemplul de rezolvare a problemei alegerii celui mai fiabil Sistem informatic.
Fie setul de alternative un set de indicatori de risc pentru sistemele informaționale (SI). Este necesar să găsiți un IP al cărui risc să fie minim.
Sub risc de sistem se consideră suma riscurilor resurselor din care constă:
Unde R i- risc i-a resursă, n– cantitatea de resurse. Fiecare resursă este asociată cu multe stări periculoase (OS), a căror implementare duce la eșecul acestei resurse.
Exemplele de resurse IS pot include resurse de informații, servicii, resurse fizice sau hardware, software. Un exemplu resursă informațională poate acționa ca o bază de date IS.
Sub riscul i-a resursă se înțelege ca suma riscurilor asociate cu implementarea stărilor periculoase ale unei anumite resurse:
Unde r i j– risc de implementare j starea periculoasă i resursa, ; M i– numărul de condiții periculoase i-a resursă.
Exemple de sisteme de operare pentru o resursă „DB” sunt încălcarea confidențialității informațiilor, pierderea completă sau parțială a informațiilor din cauza defecțiunii mediului de stocare și încălcarea accesului.
Sub riscul implementării celei de-a j-a stări periculoase a i-a-a resursă este înțeles ca produs al probabilității P ijși costul pierderilor C ij din implementarea acestei stări periculoase a resursei:
.
Astfel, sarcina de evaluare a riscului sistemului poate fi împărțită în următoarele etape:
1. descrierea structurii resurselor sistemului;
2. descrierea multor stări periculoase ale resurselor sistemului;
3. evaluarea probabilităţii P ij implementarea condițiilor periculoase, inclusiv identificarea măsurilor de influență a amenințărilor asupra implementării condițiilor periculoase;
4. Estimarea costului pierderilor C ij din implementarea condiţiilor periculoase.
Prevederi de bază ale metodei logico-probabilistice
Metodă logico-probabilistă de analiză a siguranței complexului sisteme tehnice a fost propus în anii 70 ai secolului XX
I. A. Ryabinin. Ideea principală aceasta metoda constă într-o combinație de abordări logice și probabiliste în evaluarea indicatorilor de fiabilitate ai complexului tehnic, economic, sistemele socialeși alte sisteme.
În LVM sunt folosite conceptele de bază stare periculoasă a sistemului Și pericole – capacitatea sistemului de a intra într-o stare periculoasă. Descrierea unei stări periculoase a sistemului începe cu elaborarea scenariu de stare periculoasă (OS), care este construit folosind operațiile disjuncție și conjuncție peste condiţii de iniţiere Și evenimente .
Condițiile și evenimentele de declanșare sunt defecțiuni ale unuia sau mai multor elemente ale sistemului. Fiecare element al sistemului este atribuit variabilă booleană x k() cu două stări posibile (de exemplu, operabilitate/eșec, pregătire/nepregătire etc.) cu parametri probabilistici dați ai acestor stări p kȘi q k =1-p k.
Scenariul este baza pentru alcătuirea unei funcții logice, sau a funcției de algebră logică (FAL), care descrie starea periculoasă a sistemului.
Următorul pas este transformarea funcției de algebră logică într-o funcție probabilistică, care este ulterior utilizată pentru a obține o estimare cantitativă a probabilității apariției unei stări periculoase.
Astfel, pe de o parte, metoda oferă un mecanism pentru formalizarea multor stări periculoase ale sistemului și, pe de altă parte, o abordare bazată teoretic pentru evaluarea cantitativă a riscului sistemului.
Pentru un sistem format din diverse resurse, LMM este utilizat pentru a obține estimări cantitative ale probabilităților de apariție a condițiilor periculoase pentru fiecare tip de resursă. La rândul său, fiecare resursă din LVM este, de asemenea, considerată ca un sistem separat.
Enunțarea problemei evaluării probabilităților de apariție a condițiilor de resurse periculoase
Dat:
1. Resursa cu numar i, pentru care au fost identificate condiții periculoase S ij, , Unde m- numărul de stări posibile.
2. Structura sistemului de operare și probabilitățile de declanșare a evenimentelor (amenințări) x k, .
Trebuie să găsiți:
Probabilități P ij implementarea condițiilor periculoase S ij, .
Algoritm de rezolvare
Pasul 1. Întocmirea unui scenariu al unei stări periculoase S ij.
Pasul 2. Construcția funcției de algebră logică (FAL) 
folosind operații de conjuncție și disjuncție bazate pe un scenariu de stare periculoasă S ij.
Pasul 3. Construcția unei funcții probabilistice (PF) 
bazată pe funcția algebră logică.
Pasul 4. Calculul probabilității P ij implementarea unei condiții periculoase folosind o funcție probabilistică.
Baza teoretica LVM
În prezent, logica matematică și teoria probabilității sunt combinate pe baza calculului logico-probabilistic. Se presupune că teoria probabilității face posibilă evaluarea cantitativă a fiabilității sau siguranței sistemelor a căror structură este descrisă prin logica matematica.
Principala problemă în aplicație practică LVM este transformarea FAL-urilor arbitrare în forme de tranziție la substituție completă (TFTS). Pentru a face această transformare standard și riguroasă din punct de vedere matematic, este necesar să apelăm la un aparat teoretic special, ale cărui concepte și teoreme de bază vor fi date mai jos.
Vom presupune că fiecare element al sistemului este atribuit variabilă booleană xk,() cu două stări posibile (operabilitate/eșec, pregătire/nepregătire etc.) cu parametri probabilistici dați ai acestor stări p kȘi q k =1-p k :
În plus, se presupune că toate evenimentele x k sunt independente în agregat și că în intervalul de timp considerat de funcționare a sistemului, parametrii inițiali ai legilor de distribuție a elementelor nu se modifică.
Exprimarea formei 
numit conjuncție elementară
K rang r. O expresie de forma , unde sunt conjuncții elementare de diferite ranguri, se numește forma normală disjunctivă
(DNF). Dacă funcţia scris în DNF, iar rangul fiecărei conjuncții elementare este egal cu n, atunci se numește un astfel de DNF formă normală disjunctivă perfectă
(SDNF).
Exprimarea formei 
numit disjuncție elementară
rang r.
Se numesc două conjuncții elementare ortogonală , dacă produsul lor este egal cu zero (exemplu: și ).
Se numește DNF forma normală disjunctivă ortogonală (ODNF), dacă toți termenii săi sunt ortogonali pe perechi.
DNF fără repetare(BDNF) este un DNF în care fiecare variabilă logică apare exact o dată.
regulile lui De Morgan permit exprimarea înmulțirii logice prin negația sumei logice a enunțurilor inverse, iar suma logică - prin negația produsului logic al propozițiilor inverse. În viitor, vor fi folosite pentru a aduce FAL la tip special:
Și 
Funcția probabilistică(VF) vom numi probabilitatea adevărului FAL:
P(f(x 1 , x 2 , …, x h)=1 )
Funcții ale algebrei logicii care permit o tranziție directă la o funcție probabilistică prin înlocuirea variabilelor logice cu probabilități și operatii logice numim operaţiile aritmetice corespunzătoare forme de trecere la înlocuire (FPZ).
Forme de tranziție la înlocuirea completă(FPZ) se numesc FPZ, în care toate variabilele logice sunt înlocuite simultan.
Diferența booleană funcții 
prin argumentare x k numit
unde simbolul „ ” denotă operația logică „sum modulo doi”.
Funcţie 
numit monoton
, dacă pentru orice seturi ( a 1 , …, a h) Și ( b 1 , …, b h), astfel încât , ( k=1,2,…,h) există o relație f(a 1 , …, a h) f(b 1 , …, b h). În continuare, luăm în considerare o serie de teoreme de bază.
Teorema 1. Derivată parțială a probabilității adevărului unui FAL monoton în raport cu probabilitatea adevărului argumentului x k este numeric egală cu probabilitatea adevărului diferenței booleene a acestei funcție în raport cu argumentul x k:
Teorema 2. Probabilitatea adevărului unui FAL arbitrar prezentat într-un ODNF este egală cu suma probabilităților adevărului tuturor termenilor ortogonali ai acestui FAL:
,
Unde O u– nu numai conjuncții elementare ale ODNF, ci și orice FAL, ortogonală în perechi.
Teorema 3. Disjuncția formelor ortogonale fără repetiție în baza conjuncției-negație este o formă de tranziție la substituția completă.
În prezent, sunt cunoscute mai multe FPZ - acestea sunt forma normală disjunctivă perfectă (PDNF), forma normală disjunctivă ortogonală (ODNF) și FAL-uri fără repetiție (BFAL) în baza „conjuncție-negație”.
Dacă FAL este reprezentat în FPZ, atunci trecerea la funcția probabilistică se realizează conform urmând reguli:
1. Fiecare variabilă logică din FPZ este înlocuită cu probabilitatea egalității sale cu una:
, ;
2. Negarea unei funcții se înlocuiește cu diferența dintre unu și probabilitatea ca această funcție să fie egală cu unu;
3. Operațiile de înmulțire și adunare logică sunt înlocuite cu operațiile de înmulțire și adunare aritmetică.
Elaborarea unui scenariu al unei stări periculoase
Elaborarea unui scenariu pentru o stare periculoasă a unui IS poate fi reprezentată ca următoarea secvență de pași:
1. identificarea evenimentului final - o stare periculoasă (eșec),
2. identificarea evenimentelor intermediare care conduc la implementarea unei stări periculoase și obținute ca o combinație a două sau mai multe evenimente inițiale;
3. identificarea evenimentelor de amenințare inițiatoare.
Un eveniment sau un arbore de erori este folosit pentru a reprezenta o condiție periculoasă.
În fig. Figura 5.2 prezintă un exemplu de scenariu de condiție periculoasă sub forma unui arbore de evenimente.
Orez. 5.2. Un exemplu de arbore de evenimente pentru a descrie o stare periculoasă a sistemului
Construcția unei funcții de algebră logică
Folosind arborele de evenimente, este compilată o funcție de algebră logică care descrie condițiile pentru ca sistemul să treacă la o stare periculoasă.
Pentru a descrie condițiile pentru ca un sistem să treacă într-o stare periculoasă, conceptul „ calea cea mai scurtă către operarea periculoasă „(KPOF), care este înțeles ca conjuncția setului minim de elemente de sistem care împreună asigură tranziția sistemului la o stare periculoasă:
,
Unde Kwl– un set de numere variabile corespunzătoare unei căi date.
Condiție pentru ca sistemul să intre într-o stare periculoasă poate fi reprezentat ca o disjuncție a tuturor QPOF-uri disponibile:
.
Exemplu. Fie arborele de evenimente să aibă forma prezentată în Fig. 5.2.
Atunci KPOF sunt: , , , .
Condiția ca sistemul să intre într-o stare periculoasă are forma:
Construcția unei funcții de probabilitate
În etapa anterioară s-a obținut FAL 
, care descrie starea periculoasă a sistemului ca o disjuncție a tuturor QPOF-urilor. Următorul pas este transformarea FAL în FPPZ - SDNF, ODNF sau FAL fără repetiție în baza de conjuncție-negație (BFAL).
Construcția unei funcții probabilistice bazată pe PPZ se realizează conform regulilor descrise mai sus. Rezultatul acestei etape este o funcție probabilistică
Calculul evaluării probabilității apariției unei stări periculoase
Înlocuirea valorilor 
în WF obținut în etapa anterioară, obținem o estimare a probabilității apariției unei stări periculoase P ij.
Exemplu
Să luăm în considerare un exemplu de utilizare a LVM pentru a evalua riscul condiției periculoase „Încălcarea confidențialității bazei de date IS (IS DB)”.
Pasul 1. Elaborarea unui scenariu al stării periculoase a unei resurse (Fig. 5.3).
Orez. 5.3. Scenariul OS „Încălcarea confidențialității bazei de date IS”
Pasul 2. Construcția unei funcții de algebră logică Conform scenariului descris, funcția logică ia forma:
F=X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 12 X 13 X 14 X 15
Esența metodelor logico-probabilistice este utilizarea funcțiilor de algebră logică (LPF) pentru a înregistra analitic condițiile de funcționare ale sistemului și trecerea de la FAL la funcțiile probabilistice (PF), care exprimă în mod obiectiv fiabilitatea sistemului. Acestea. Folosind metoda logico-probabilistă, este posibil să se descrie circuite IC pentru calcularea fiabilității folosind aparatul logicii matematice, urmată de utilizarea teoriei probabilităților în determinarea indicatorilor de fiabilitate.
Sistemul poate fi doar în două stări: într-o stare de funcționalitate completă ( la= 1) și în stare de eșec complet ( la= 0). Se presupune că acțiunea sistemului depinde determinist de acțiunea elementelor sale, adică. la este o funcție X 1 , X 2 , … , x i , … , x n. De asemenea, elementele pot fi doar în două stări incompatibile: funcționalitate completă ( x i= 1) și eșec complet ( x i = 0).
Funcție de algebră logică care conectează starea elementelor cu starea sistemului la (X 1 , X 2 ,…, x n) sunt numite functie de performanta sisteme F(y)= 1.
Pentru a evalua stările operaționale ale sistemului, se folosesc două concepte:
1) cea mai scurtă cale către funcționarea cu succes (SPUF), care este o astfel de conjuncție a elementelor sale, niciuna dintre componentele cărora nu poate fi îndepărtată fără a perturba funcționarea sistemului. O astfel de conjuncție este scrisă ca următorul FAL:
Unde i– aparține unui set de numere corespunzătoare unui dat
l- cale.
Cu alte cuvinte, KPUF al unui sistem descrie una dintre stările sale operaționale posibile, care este determinată de setul minim de elemente operaționale care sunt absolut necesare pentru a îndeplini funcțiile specificate pentru sistem.
2) secțiunea transversală minimă a defecțiunilor sistemului (MSF), care este o astfel de conjuncție a negațiilor elementelor sale, niciuna dintre componentele cărora nu poate fi îndepărtată fără a încălca condițiile de inoperabilitate a sistemului. O astfel de conjuncție poate fi scrisă ca următorul FAL:
unde înseamnă setul de numere corespunzătoare unei secțiuni date.
Cu alte cuvinte, MCO al sistemului descrie unul dintre moduri posibileîntreruperea sistemului folosind un set minim de elemente defectuoase.
Fiecare sistem redundant are un număr finit de cele mai scurte căi ( l= 1, 2,…, m) și secțiuni minime ( j = 1, 2,…, m).
Folosind aceste concepte, putem nota condițiile de funcționare ale sistemului.
1) sub forma unei disjuncții a tuturor căilor cele mai scurte disponibile către funcționarea cu succes.
;
2) sub forma unei conjuncții de negații ale tuturor MSO-urilor
;
Astfel, condițiile de funcționare ale unui sistem real pot fi reprezentate sub forma condițiilor de funcționare ale unui sistem echivalent (din punct de vedere al fiabilității), a cărui structură reprezintă conexiune paralelă cele mai scurte căi pentru funcționarea cu succes, sau alt sistem echivalent a cărui structură este o combinație de negații ale secțiunilor minime.
De exemplu, pentru o structură IC punte, funcția de operabilitate a sistemului folosind CPUF va fi scrisă după cum urmează:
;
funcția de performanță a aceluiași sistem prin MSO poate fi scrisă în următoarea formă:
Cu un număr mic de elemente (nu mai mult de 20), poate fi utilizată o metodă tabelară pentru calcularea fiabilității, care se bazează pe utilizarea teoremei pentru adăugarea probabilităților evenimentelor comune.
Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului poate fi calculată folosind formula (prin intermediul unei funcție probabilistice a formei):
Metodele logico-probabilistice (metode: tăiere, tabulară, ortogonalizare) sunt utilizate pe scară largă în proceduri de diagnosticare la construirea arborilor de erori și la determinarea evenimentelor de bază (inițiale) care provoacă defecțiunea sistemului.
Pentru fiabilitate sistem informatic cu o structură de redundanță complexă se poate folosi metoda modelării statistice.
Ideea metodei este de a genera variabile logice x i cu o probabilitate dată pi a apariției unei unități, care sunt substituite în funcția de structură logică a sistemului modelat într-o formă arbitrară și apoi se calculează rezultatul.
Totalitate X 1 , X 2 ,…, x n independent evenimente aleatorii, formând un grup complet, se caracterizează prin probabilitățile de apariție a fiecăruia dintre evenimente p(x i), și .
Pentru a modela acest set de evenimente aleatoare, se folosește un generator de numere aleatoare, distribuit uniform în interval
Sens p i este ales egal cu probabilitatea de funcționare fără defecțiuni i subsistemul. În acest caz, procesul de calcul se repetă N 0 ori cu valori ale argumentelor aleatoare noi, independente x i(în acest caz numărul de N(t) valori unice ale funcției de structură logică). Atitudine N(t)/N 0 este o estimare statistică a probabilității de funcționare fără defecțiuni
Unde N(t) – numărul de lucrători fără probleme până la momentul respectiv t obiecte, cu cantitatea lor originală.
Generarea de variabile booleene aleatoare x i cu o probabilitate dată de apariţie a unuia p i efectuate pe baza unor variabile aleatoare distribuite uniform în interval, obținute folosind programe standard incluse în software-ul tuturor calculatoarelor moderne.
1. Numiți o metodă de evaluare a fiabilității unui IS, în care probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului este definită ca Р n ≤Р с ≤Р în.
2. Pentru a calcula fiabilitatea a căror sisteme este folosită metoda traseului și secțiunii?
3. Utilizând ce metodă puteți evalua fiabilitatea dispozitivelor de tip punte?
4. Ce metode sunt cunoscute pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate ai sistemelor restaurate?
5. Reprezentați structural circuitul podului ca un set de trasee și secțiuni minime.
6. Definiți calea minimă și secțiunea minimă.
7. Notați funcția de sănătate pentru un dispozitiv cu structură ramificată?
8. Care este funcția de performanță?
9. Care este calea cea mai scurtă către o operare de succes (CPF). Notați condițiile de funcționare sub formă de KPUF.
10. Unde se utilizează metoda logico-probabilistă de evaluare a fiabilității?
Literatură: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Subiect: Calculul fiabilității sistemelor restaurate (metoda ecuațiilor diferențiale)
1. Metode generale calcularea fiabilității sistemelor restaurate.
2. Construirea unui grafic al stărilor posibile ale sistemului pentru a evalua fiabilitatea sistemelor restaurate.
3. Metoda sistemelor de ecuații diferențiale (SDE), regula lui Kolmogorov pentru compilarea SDE
4. Normalizare și condiții inițiale pentru rezolvarea SDE.
Sistem recuperabil, caracteristici cantitative de fiabilitate, grafic de stare, stare operabilă, sistem de ecuații diferențiale, regula lui Kolmogorov, probabilitate de funcționare fără defecțiuni, rata de recuperare, rata de eșec, condiții de normalizare, condiții inițiale, parametri de fiabilitate, sistem neredundant.
Sarcina principală a calculării fiabilității CI proiectate este de a construi modele matematice adecvate proceselor probabilistice ale funcționării lor. Aceste modele fac posibilă evaluarea gradului în care sunt îndeplinite cerințele de fiabilitate pentru sistemele proiectate sau operate.
Tipul modelului matematic determină posibilitatea obținerii formulelor de calcul. Pentru a calcula fiabilitatea sistemelor redundante și neredundante restaurate se folosesc următoarele: metoda ecuațiilor integrale, metoda ecuațiilor diferențiale, metoda intensităților de tranziție, metoda de evaluare a fiabilității folosind un grafic al stărilor posibile etc.
Metoda ecuației integrale. Metoda ecuațiilor integrale este cea mai generală; poate fi utilizată pentru a calcula fiabilitatea oricăror sisteme (recuperabile și nerecuperabile) pentru orice distribuție FBG și timpul de recuperare.
În acest caz, pentru a determina indicatorii de fiabilitate ai sistemului, sunt compilate și rezolvate ecuații integrale și integro-diferențiale care raportează caracteristicile distribuției FBG-urilor, iar pentru sistemele restaurate, timpul de recuperare a elementelor.
La compilarea ecuațiilor integrale se identifică de obicei unul sau mai multe intervale de timp infinitezimale, pentru care se iau în considerare evenimente complexe care se manifestă sub acțiunea combinată a mai multor factori.
În general, se găsesc soluții metode numerice folosind un calculator. Metoda ecuațiilor integrale nu este utilizată pe scară largă din cauza dificultății rezolvării.
Metoda ecuațiilor diferențiale. Metoda este utilizată pentru a evalua fiabilitatea obiectelor restaurate și se bazează pe ipoteza unor distribuții exponențiale de timp între defecțiuni (timp de funcționare) și timpul de restaurare. În acest caz, parametrul debitului de eșec w =λ = 1/t cp . iar intensitatea de recuperare µ = 1/ staniu, Unde tcp.– timpul mediu dintre defecțiuni, staniu– timpul mediu de recuperare.
Pentru a aplica metoda, este necesar să existe un model matematic pentru multe stări posibile ale sistemului S={S 1 , S 2 ,…, S n), în care poate fi localizat în timpul defecțiunilor sistemului și recuperării. Din când în când sistemul S sare de la o stare la alta sub influența defecțiunilor și restaurărilor elementelor sale individuale.
Când se analizează comportamentul unui sistem în timp în timpul uzurii, este convenabil să se utilizeze un grafic de stare. Un grafic de stare este un grafic direcționat în care stările posibile ale sistemului sunt reprezentate prin cercuri sau dreptunghiuri. Conține tot atâtea vârfuri cât diverse conditii poate la un obiect sau sistem. Marginile graficului reflectă posibile tranziții de la o anumită stare la toate celelalte cu parametri de eșec și rate de recuperare (ratele de tranziție sunt afișate lângă săgeți).
Fiecare combinație de stări de defecțiune și operaționale ale subsistemelor corespunde unei stări de sistem. Numărul de stări ale sistemului n= 2k, Unde k– numărul de subsisteme (elemente).
Legătura dintre probabilitățile de a găsi un sistem în toate stările sale posibile este exprimată printr-un sistem de ecuații diferențiale Kolmogorov (ecuații de ordinul întâi).
Structura ecuațiilor lui Kolmogorov este construită după următoarele reguli: în partea stângă a fiecărei ecuații se scrie derivata probabilității de a găsi un obiect în starea luată în considerare (vârful graficului), iar partea dreaptă conține cât mai multe termeni ca numărul de muchii ale graficului de stare asociat cu acest vârf. Dacă o muchie este direcționată de la un vârf dat, termenul corespunzător are semnul minus; dacă este direcționat către un vârf dat, are semnul plus. Fiecare termen este egal cu produsul dintre parametrul de intensitate a defecțiunii (recuperare) asociat cu o muchie dată și probabilitatea de a fi la vârful graficului din care provine muchia.
Sistemul de ecuații Kolmogorov include atâtea ecuații câte vârfuri există în graficul de stare al obiectului.
Sistemul de ecuații diferențiale este completat cu condiția de normalizare:
Unde Pijamale(t j-a condiție;
n– numărul de stări posibile ale sistemului.
Rezolvarea sistemului de ecuații la conditii specifice dă valoarea probabilităţilor dorite Pijamale(t).
Întregul set de stări posibile ale sistemului este împărțit în două părți: un subset de stări n 1 în care sistemul este operațional și un subset de stări n 2 în care sistemul este inoperabil.
Funcția System Ready:
LA G 
,
Unde Pijamale(t) – probabilitatea de a găsi sistemul în j in stare de functionare;
n 1 – numărul de stări în care sistemul este operațional.
Când este necesar să se calculeze factorul de disponibilitate a sistemului sau factorul de nefuncționare (întreruperile în funcționarea sistemului sunt acceptabile), luați în considerare modul de funcționare în regim de echilibru la t→∞. În acest caz, toate derivatele și sistemul de ecuații diferențiale se transformă într-un sistem de ecuații algebrice care se rezolvă ușor.
Un exemplu de grafic de stare al unui sistem recuperabil neredundant cu n– elementele sunt prezentate în fig. 1.
Orez. 1. Graficul de stare al sistemului care este restaurat (stările inoperante sunt marcate cu umbrire)
Să luăm în considerare stările posibile în care se poate afla sistemul. Următoarele stări sunt posibile aici:
S 0 – toate elementele sunt operaționale;
S 1 – primul element este inoperant, restul sunt operaționali;
S 2 – al doilea element este inoperant, restul sunt operaționali;
S n – n Al treilea element este inoperant, restul sunt operaționali.
Probabilitatea apariției simultane a două elemente inoperante este neglijabilă. Simboluri λ 1 , λ 2 ,…, λ n sunt indicate ratele de eșec, µ 1 , µ 2 ,…, µ n intensitatea refacerii elementelor corespunzătoare;
Folosind graficul de stare (Fig. 1), este compilat un sistem de ecuații diferențiale (ecuația pentru starea S 0 este omis din cauza greutății):
Cu stare de normalizare: .
Condiții inițiale:
În condiții de funcționare în regim stabil (la t→∞) avem:
După rezolvarea sistemului de ecuații algebrice rezultat ținând cont de condiția de normalizare, găsim indicatori de fiabilitate.
Când rezolvați un sistem de ecuații, puteți utiliza transformata Laplace pentru probabilități de stare sau metode numerice.
Întrebări de controlși sarcini
1. Ce metode sunt cunoscute pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate ai sistemelor restaurate?
2. Cum se determină stările elementelor și dispozitivelor IC?
3. Cum se determină zonele stărilor operaționale ale sistemului?
4. De ce s-a răspândit metoda ecuațiilor diferențiale în evaluarea fiabilității sistemelor restaurate?
5. Ce este o conditie necesara la rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale?
6. Cum sunt compilate ecuațiile diferențiale pentru a determina parametrii de fiabilitate ai unui IS?
7. Ce condiție ar trebui completată cu sistemul de ecuații diferențiale (SDE) pentru o soluție mai eficientă.
8. Notați condițiile de funcționare ale sistemului, format din trei elemente.
9. Care este numărul de stări ale unui dispozitiv format din patru elemente?
10. Ce regulă se folosește la compilarea unui CDS?
Literatură: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Subiect: Modele Markov pentru evaluarea fiabilității sistemelor informaționale redundante, recuperabile
1. Conceptul proprietății Markov, definiția stării sistemului.
2. Metodologie și algoritm pentru construirea unui model Markov.
3. Formule de calcul pentru a calcula indicatorii de fiabilitate a vehiculului
4. Matricea intensității tranziției pentru evaluarea indicatorilor de fiabilitate a CI redundante, recuperabile.
Cuvinte cheie
Modelul Markov, starea sistemului, operabilitatea, matricea intensității tranziției, graficul stării, sistemul restaurat, redundanța, circuitul secvenţial, rezervă constantă, sistemul de ecuaţii diferenţiale, regula lui Kolmogorov, schema de calcul al fiabilităţii, metoda aproximativă, algoritmi de construcţie SDE, condiţii de normalizare, condiţii iniţiale , probabilitatea de funcționare fără defecțiuni, rata de defecțiuni.
Funcționarea SI și a acestora componente poate fi reprezentat ca un ansamblu de procese de trecere de la o stare la alta sub influența oricăror motive.
Din punctul de vedere al fiabilității CI restaurate, starea acestora în fiecare moment este caracterizată de care dintre elemente sunt operaționale și care sunt în curs de restaurare.
Dacă fiecare set posibil de elemente operaționale (inoperante) este asociat cu un set de stări ale obiectului, atunci eșecurile și restaurările elementelor vor fi reflectate de tranziția obiectului de la o stare la alta:
Să fie, de exemplu, un obiect format din două elemente. Atunci poate fi într-una din cele patru stări: n = 2k = 2 2 = 4.
S 1 – ambele elemente sunt operaționale;
S 2 – doar primul element este inoperant;
S 3 – doar al doilea element este inoperant;
S 4 – ambele elemente sunt inoperante.
Set de stări posibile ale obiectului: S={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.
Setul complet de stări ale sistemului studiat poate fi discret sau continuu (se completează continuu unul sau mai multe intervale ale axei numerice).
În cele ce urmează vom considera sisteme cu un spațiu de stări discret. Secvența stărilor unui astfel de sistem și procesul de tranziție de la o stare la alta se numește lanț.
În funcție de timpul în care sistemul rămâne în fiecare stare, se disting procesele cu timp continuu și procesele cu timp discret. În procesele în timp continuu, sistemul trece de la o stare la alta în orice moment. În al doilea caz, timpul în care sistemul rămâne în fiecare stare este fix astfel încât momentele tranzițiilor să fie plasate pe axa timpului la intervale egale.
În prezent, cele mai studiate lanțuri sunt cele cu proprietatea Markov. Probabilitățile de tranziție sunt indicate prin simboluri P ij(t), și procesul P ij tranzițiile se numește lanț Markov sau lanț Markov.
Proprietatea Markov este asociată cu absența efectelor secundare. Aceasta înseamnă că comportamentul sistemului în viitor depinde numai de starea lui în acest moment timp și nu depinde de modul în care a ajuns în această stare.
Procesele Markov fac posibilă descrierea secvențelor de defecțiuni și recuperare în sistemele descrise folosind un grafic de stare.
Cel mai adesea, metoda lanțurilor Markov în timp continuu este utilizată pentru a calcula fiabilitatea, pe baza unui sistem de ecuații diferențiale, care sub formă de matrice poate fi scrisă ca:
,
Unde P(t)= P 0 – condiții inițiale;
,
iar Λ este matricea intensității tranziției (matricea coeficienților pentru probabilitățile de stare):
unde λ ij– intensitatea trecerii sistemului de la i-a stare la j-a;
Pijamale este probabilitatea ca sistemul să fie în a j-a stare.
Atunci când se evaluează fiabilitatea sistemelor complexe redundante și recuperabile, metoda lanțului Markov conduce la soluții complexe datorită un numar mare state. În cazul subsistemelor de același tip care funcționează în aceleasi conditii, pentru reducerea numărului de state se utilizează metoda escaladării. State cu aceeasi cantitate subsistemele sunt combinate. Apoi dimensiunea ecuațiilor scade.
Secvența metodologiei de evaluare a fiabilității sistemelor recuperabile redundante folosind metoda lanțului Markov este următoarea:
1. Se analizează compoziția dispozitivului și se întocmește o diagramă bloc de fiabilitate. Conform schemei, se construiește un grafic care ia în considerare toate stările posibile;
2. Ca urmare a analizei diagramei structurale, toate vârfurile graficului sunt împărțite în două submulți: vârfuri corespunzătoare stării de funcționare a sistemului și vârfuri corespunzătoare stării inoperante a sistemului.
3. Folosind graficul stărilor, se alcătuiește un sistem de ecuații diferențiale (se folosește regula lui Kolmogorov);
4. Se selectează condiţiile iniţiale pentru rezolvarea problemei;
5. Se determină probabilitățile ca sistemul să fie într-o stare operațională la un moment arbitrar în timp;
6. Se determină probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului;
7. Dacă este necesar, se determină alți indicatori.
Testați întrebări și sarcini
1. Ce se înțelege prin lanț Markov?
2. Dați un algoritm pentru evaluarea fiabilității unui IS folosind modele Markov.
3. Cum sunt compilate ecuațiile diferențiale pentru a determina parametrii de fiabilitate ai unui IS?
4. Ce indicatori de fiabilitate pot fi obținuți folosind metoda Markov?
5. Enumerați etapele principale ale construirii unui model Markov al fiabilității unui sistem complex.
6. Care este o condiție necesară la rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale?
7. Cum se determină stările elementelor și dispozitivelor stației de comprimare?
8. Definiți conceptul de sisteme recuperabile.
9. Ce este un lanț Markov?
10. Pentru a evalua ce sisteme sunt utilizate modelele de fiabilitate Markov?
Literatură: 1, 2, 3, 10, 11.
Subiect: Metode aproximative de calcul a fiabilității mijloace tehnice IP
1. Ipoteze de bază și limitări la evaluarea fiabilității structurilor serie-paralele.
2. Metode aproximative de calcul a fiabilității CI restaurate, cu secvențiale și conexiune paralelă subsisteme IS.
3. Diagrame bloc pentru calcularea fiabilității IS.
Cuvinte cheie
Fiabilitate, structură serie-paralelă, metode aproximative de calcul a fiabilității, diagramă bloc de calcul a fiabilității, rata de eșec, rata de recuperare, factor de disponibilitate, timp de recuperare, sistem informatic.
alimentare cu energie folosind un arbore de defecțiuni
Metoda logico-probabilistă care utilizează un arbore de defecțiuni este deductivă (de la general la specific) și este utilizată în cazurile în care numărul diferitelor defecțiuni ale sistemului este relativ mic. Utilizarea unui arbore de defecțiuni pentru a descrie cauzele defecțiunii sistemului facilitează trecerea de la o definiție generală a defecțiunii la definiții specifice ale defecțiunilor și modurilor de funcționare ale elementelor sale, de înțeles dezvoltatorilor specialiști atât a sistemului în sine, cât și a elementelor. Trecerea de la un arbore de defecțiuni la o funcție de defecțiune logică deschide oportunități pentru analizarea cauzelor defecțiunii sistemului pe o bază formală. Funcția de defecțiune logică vă permite să obțineți formule pentru calculul analitic al frecvenței și probabilității defecțiunilor sistemului pe baza frecvenței cunoscute și a probabilităților de defecțiuni ale elementelor. Utilizarea expresiilor analitice la calcularea indicatorilor de fiabilitate dă naștere la utilizarea formulelor teoriei acurateții pentru a estima eroarea pătratică medie a rezultatelor.
Eșecul unui obiect de a funcționa ca un eveniment complex este suma unui eveniment de eșec și a unui eveniment 
, constând în apariţia unor influenţe externe critice. Condiția de defecțiune a sistemului este formulată de specialiști în domeniul sistemelor specifice pe baza proiectării tehnice a sistemului și a analizei funcționării acestuia atunci când apar diverse evenimente folosind declarații.
Enunțurile pot fi finale, intermediare, primare, simple, complexe. O afirmație simplă se referă la un eveniment sau o stare care nu este în sine considerată nici ca o sumă logică a lui „SAU” sau ca un produs logic al „ȘI” al altor evenimente sau stări. O declarație complexă, care este o disjuncție a mai multor enunțuri (simple sau complexe), este notă de operatorul „SAU”, conectând enunțurile de un nivel inferior cu enunțurile de un nivel superior (Fig. 3.15, a). O declarație complexă, care este o conjuncție a mai multor enunțuri (simple sau complexe), este notată de operatorul „ȘI”, conectând enunțurile de un nivel inferior cu enunțurile de un nivel superior (Fig. 3.15, b).
Fig.3.15. Elemente de reprezentare a diagramei logice
Este convenabil să codificați instrucțiunile astfel încât codul să poată fi folosit pentru a judeca dacă este simplu sau complex, la ce nivel din cel final se află și ce reprezintă (eveniment, stare, eșec, tip de element).
În teoria grafurilor, un arbore este un graf conectat care nu conține contururi închise. Un arbore de defecțiuni este un arbore logic (Fig. 3.16), în care arcele reprezintă evenimente de defecțiune la nivelul sistemului, subsistemelor sau elementelor, iar vârfurile sunt operații logice care conectează evenimentele de defecțiune inițiale și rezultate.
Orez. 3.16. Exemplu de construire a unui arbore de defecte
Construcția unui arbore de defecte începe cu formularea unei declarații finale despre defecțiunea sistemului. Pentru a caracteriza funcționarea fără defecțiuni a unui sistem, afirmația finală se referă la un eveniment care duce la întreruperea funcționării în intervalul de timp considerat, în condiții date. Același lucru pentru caracteristicile de pregătire.
Exemplul 8. Să construim un arbore de erori pentru diagrama de rețea prezentată în Fig. 3.17.
Fig.3.17. Diagrama rețelei
Substații ÎNȘi CU alimentat de substație A. Evenimentul final al unui arbore de defecte este defectarea sistemului ca întreg. Acest eșec este definit ca evenimentul care
1) sau substație ÎN, sau substație CU pierde complet nutriția;
2) puterea de alimentare a sarcinii totale a substațiilor ÎNȘi CU trebuie transmisă pe o singură linie.
Pe baza definiției evenimentului final și a diagramei schematice a sistemului, construim un arbore de erori (în jos de la evenimentul final) (Fig. 3.18). Scopul analizei arborelui de erori este de a determina probabilitatea unui eveniment terminal. Deoarece evenimentul final este o defecțiune a sistemului, analiza oferă probabilitatea R(F).
Metoda de analiză se bazează pe găsirea și calcularea seturilor secțiuni minime. Secțiune numiți un astfel de set de elemente, a căror defecțiune totală duce la defecțiunea sistemului. O secțiune minimă este un set de elemente din care nu poate fi îndepărtat niciun element, altfel încetează să mai fie o secțiune.
Deplasându-ne cu un nivel mai jos de la evenimentul vârf (final), trecem prin nodul „SAU”, care indică existența a trei secțiuni: ( P}, {Q}, {R} (R,Q, R– evenimente de eșec). Fiecare dintre aceste secțiuni poate fi împărțită în continuare într-un număr mai mare de secțiuni, dar se poate dovedi că eșecul secțiunilor este cauzată de mai multe evenimente, în funcție de tipul de nod logic întâlnit de-a lungul traseului.
Fig.3.18. Arborele de defecțiuni ale sistemului conform diagramei din Fig. 3.17:
–defecțiuni ale subsistemului care pot fi analizate în continuare;
De exemplu, (Q) se transformă mai întâi în secțiune (3, T), apoi T este împărțit în secțiuni ( X Y), ca urmare, în loc de o secțiune (3, T) apar două: (3, X}, {3,U}.
La fiecare dintre pașii următori, se identifică seturi de secțiuni:
Secțiunile minime sunt secțiunile selectate (3,4,5), (2,3), (1,3), (1,2). Secțiunea (1,2,3) nu este minimă, deoarece (1,2) este și o secțiune. La ultimul pas, seturile de secțiuni constau exclusiv din elemente.
Metoda se bazează pe aparatul matematic al algebrei logice. Calcularea fiabilității unui sistem de control presupune determinarea relației dintre un eveniment complex (defecțiunea sistemului) și evenimentele de care depinde acesta (eșecuri ale elementelor sistemului). În consecință, calculele de fiabilitate se bazează pe operațiuni cu evenimente și declarații, care sunt considerate declarații despre operabilitatea sau defecțiunea unui element (sistem). Fiecare element al sistemului este reprezentat de o variabilă logică care ia valoarea 1 sau 0.
Evenimentele și afirmațiile care folosesc operațiile de disjuncție, conjuncție și negație sunt combinate în ecuații logice care corespund condițiilor pentru ca sistemul să funcționeze. Este compilată o funcție logică de performanță. Un calcul bazat pe utilizarea directă a ecuațiilor logice se numește logico-probabilistic și se realizează în șapte etape:
1. Formularea verbală a condițiilor de funcționare a obiectului. Este descrisă dependența performanței unui sistem informațional de starea elementelor sale individuale.
2. Întocmirea unei funcţii de performanţă logică. Reprezintă o ecuație logică corespunzătoare condiției de operabilitate a sistemului de control
care se exprimă într-o formă disjunctivă, de exemplu:
unde x i este condiția de performanță a lui i - al-lea element Fl; X i = 1 – stare operațională, X i = 0 – stare nefuncțională.
3. Aducerea funcției de performanță logică F L la forma ortogonală de nerepetiție F LO. O funcție de performanță logică complexă trebuie redusă la o formă ortogonală fără repetiții.
O funcție de forma (2.2) se numește ortogonală dacă toți termenii săi D i sunt ortogonali pe perechi (adică produsul lor este egal cu zero) și fără repetări dacă fiecare dintre termenii săi D i este format din litere x i cu numere diferite. (adică nu există argumente care se repetă), de exemplu: produsul conjuncțiilor elementare x 1, x 2, x 4 și x 3, x 2 este egal cu zero, deoarece una dintre ele conține x 2, si celalalt - x 2, prin urmare, sunt ortogonale; D 1 = x 1 ×x 2 ×x 2, unde x 2și x 2 au același număr, deci termenul D 1 nu este repetat.
– formă ortogonală nerepetitivă;
– formă ortogonală, dar nu nerepetitivă.
Funcția F l poate fi convertită într-o formă ortogonală fără repetare F lo folosind legile și regulile pentru transformarea enunțurilor complexe. Cele mai frecvent utilizate reguli pentru calcule sunt:
1) x 1 ×x 2 = x 2 ×x 1;
4. Aritmetizarea lui Flo. Din funcția de performanță logică ortogonală fără repetiție găsită F LO, se determină funcția aritmetică F a (2.3).
unde A i este forma aritmetică a termenilor D i ai funcției F lo.
Aritmetizarea termenilor D i, in vedere generala care conține operațiile de disjuncție, conjuncție și negație, se realizează prin înlocuirea operațiilor logice cu operații aritmetice după regulile:
5. Determinarea probabilității de funcționare fără defecțiuni a sistemului.
Probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a sistemului este stabilită ca probabilitatea adevărului funcției logice de operabilitate, prezentată într-o formă ortogonală nerepetitivă și se calculează ca suma probabilităților adevărului tuturor termenilor ortogonali. a acestei funcţii a algebrei logicii. Toate evenimentele (instrucțiunile) sunt înlocuite cu probabilitățile lor (probabilitățile de funcționare fără defecțiuni a elementelor corespunzătoare).
