Teorie detaliată cu exemple (2019). Suma membrilor unei progresii aritmetice. Progresie aritmetică. nivel mediu

Așa că hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți (în cazul nostru, ele). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență numerică
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr de secvență. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Să presupunem că avem o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
O astfel de succesiune numerică se numește progresie aritmetică.
Termenul de „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o secvență numerică nesfârșită. Numele „aritmetică” a fost transferat din teoria proporțiilor continue, în care s-au implicat grecii antici.

Aceasta este o succesiune numerică, fiecare membru al căruia este egal cu cel precedent, adăugat cu același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și se notează.

Încercați să determinați ce secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

A)
b)
c)
d)

Am înțeles? Comparați răspunsurile noastre:
Este un progresie aritmetică - b, c.
Nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al-lea membru al acesteia. Există Două mod de a o găsi.

1. Metoda

Putem adăuga la valoarea anterioară a numărului de progresie până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al-lea membru al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar fi luat mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am fi greșit la adunarea numerelor.
Desigur, matematicienii au venit cu o modalitate prin care nu trebuie să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Privește cu atenție imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit model, și anume:

De exemplu, să vedem ce alcătuiește valoarea celui de-al-lea membru al acestei progresii aritmetice:


Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți în mod independent în acest fel valoarea unui membru al acestei progresii aritmetice.

Calculat? Comparați intrările dvs. cu răspunsul:

Atenție că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat succesiv membrii unei progresii aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - o aducem într-o formă generală și obținem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice sunt fie în creștere, fie în scădere.

Crescând- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în ​​termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere:

De atunci:

Astfel, am fost convinși că formula funcționează atât în ​​progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri membrii --lea și --lea din această progresie aritmetică.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm sarcina - derivăm proprietatea unei progresii aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
E ușor, zici tu, și începeți să numărați după formula pe care o cunoașteți deja:

Fie, a, atunci:

Absolut corect. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face greșeli în calcule.
Acum gândiți-vă, este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Desigur, da, și vom încerca să-l scoatem acum.

Să notăm termenul dorit al progresiei aritmetice, deoarece știm formula pentru a-l găsi - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, atunci:

• membrul anterior al progresiei este:
• următorul termen al progresiei este:

Să însumăm membrii anteriori și următorii ai progresiei:

Rezultă că suma membrilor anteriori și următori ai progresiei este de două ori valoarea membrului progresiei situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui membru de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, este necesar să le adunăm și să le împărțim la.

Așa e, avem același număr. Să reparăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, pentru că nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progresie! Rămâne să aflăm o singură formulă, pe care, potrivit legendei, unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Karl Gauss, a dedus-o cu ușurință pentru el însuși...

Când Carl Gauss avea 9 ani, profesorul, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a cerut următoarea sarcină la lecție: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la până la (după alte surse până la) inclusiv. " Care a fost surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (era Karl Gauss) după un minut a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor de clasă ai temerului după calcule lungi au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un model pe care îl puteți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică formată din membri -ti: Trebuie să găsim suma membrilor dați ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă trebuie să găsim suma termenilor săi în sarcină, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Priviți cu atenție numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.


Încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale

Acum răspunde, câte astfel de perechi vor fi în progresia dată nouă? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală și perechile egale similare, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme, nu cunoaștem al treilea termen, dar cunoaștem diferența de progresie. Încercați să înlocuiți în formula sumei formula celui de-al-lea membru.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost dată lui Carl Gauss: calculați singuri care este suma numerelor care încep de la -th și suma numerelor începând de la -th.

Cât ai primit?
Gauss a dovedit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asa te-ai hotarat?

De fapt, formula pentru suma membrilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit proprietățile unei progresii aritmetice cu putere și principal.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare șantier de construcție din acea vreme - construcția unei piramide ... Figura arată o parte a acesteia.

Unde este progresia aici spui tu? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.


De ce nu o progresie aritmetică? Numărați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate în bază. Sper că nu vei număra mișcând degetul pe monitor, îți amintești ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia arată astfel:
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de membri ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (numărăm numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula și pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. A fost de acord? Bravo, ai stăpânit suma celor trei termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocurile de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Ai reușit?
Răspunsul corect este blocurile:

A face exerciții fizice

Sarcini:

1. Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori se va ghemui Masha în săptămâni dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament.
2. Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
3. Când depozitează buștenii, tăietorii de lemne le stivuiesc în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă baza zidăriei este bușteni.

Raspunsuri:

1. Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
   (săptămâni = zile).

   Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să se ghemuiască o dată pe zi.

2. Primul număr impar, ultimul număr.
   Diferența de progresie aritmetică.
   Cu toate acestea, numărul de numere impare din - jumătate, verificați acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al-lea membru al unei progresii aritmetice:

   Numerele conțin numere impare.
   Înlocuim datele disponibile în formula:

   Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală cu.

3. Amintiți-vă problema despre piramide. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, există doar o grămadă de straturi, adică.
   Înlocuiți datele din formula:

   Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Rezumând

1. - o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Este în creștere și în scădere.
2. Găsirea formulei Al-lea membru al unei progresii aritmetice se scrie prin formula - , unde este numărul de numere din progresie.
3. Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde - numărul de numere din progresie.
4. Suma membrilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:
   
   , unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență numerică

Să ne așezăm și să începem să scriem niște numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți. Dar poți spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem număra. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență numerică este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și doar unul. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al-lea membru al secvenței poate fi dat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o secvență (primul termen aici este egal și diferența). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim recurentă o formulă în care, pentru a afla al --lea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau pe mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, al treilea termen al progresiei folosind o astfel de formulă, trebuie să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa. Atunci:

Ei bine, acum e clar care este formula?

În fiecare linie, adunăm la, înmulțit cu un anumit număr. Pentru ce? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai confortabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul membru este egal. Și care este diferența? Și iată ce:

(la urma urmei, se numește diferență deoarece este egală cu diferența membrilor succesivi ai progresiei).

Deci formula este:

Atunci al sutelea termen este:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, fiind un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. El a observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.

Soluţie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare următor se obține prin adăugarea unui număr la cel precedent. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula pentru al treilea termen pentru această progresie este:

Câți termeni sunt în progresie dacă toți trebuie să fie de două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns: .

Acum decideți singuri:

1. În fiecare zi, sportivul aleargă cu 1 m mai mult decât în ​​ziua precedentă. Câți kilometri va alerga în săptămâni dacă a alergat km m în prima zi?
2. Un biciclist parcurge mai multe mile în fiecare zi decât precedentul. În prima zi a parcurs km. Câte zile trebuie să conducă pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi de călătorie?
3. Prețul unui frigider în magazin este redus cu aceeași sumă în fiecare an. Stabiliți cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

1. Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
   .
   Răspuns:
2. Aici este dat:, este necesar să se găsească.
   Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
   .
   Înlocuiți valorile:

   Rădăcina evident nu se potrivește, deci răspunsul.
   Să calculăm distanța parcursă în ultima zi folosind formula celui de-al-lea membru:
   (km).
   Răspuns:

3. Dat: . Găsi: .
   Nu devine mai ușor:
   (freca).
   Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Aceasta este o succesiune numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică este în creștere () și în scădere ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice

se scrie sub formă de formulă, unde este numărul de numere din progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Ușurează găsirea unui membru al progresiei dacă membrii săi vecini sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma membrilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Unde este numărul de valori.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? Nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 899 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Când studiezi algebra într-o școală secundară (clasa a 9-a), una dintre subiectele importante este studiul secvențelor numerice, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare o progresie aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se dea o definiție a progresiei luate în considerare, precum și să se dea formulele de bază care vor fi utilizate în continuare în rezolvarea problemelor.

Se știe că în unele progresii algebrice primul termen este egal cu 6, iar al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să găsim diferența și să restabilim această secvență la al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1 . Înlocuim datele cunoscute din condiție, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 \u003d 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, s-a răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili secvența celui de-al 7-lea membru, ar trebui să utilizați definiția unei progresii algebrice, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca rezultat, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 și 7 = 18.

Exemplul #3: realizarea unei progresii

Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum trebuie să răspundeți la întrebarea cum să găsiți o progresie aritmetică. Se poate da următorul exemplu: se dau două numere, de exemplu, 4 și 5. Este necesar să se facă o progresie algebrică astfel încât să mai fie plasați trei termeni între aceștia.

Înainte de a începe să rezolvați această problemă, este necesar să înțelegeți ce loc vor ocupa numerele date în progresia viitoare. Întrucât vor mai exista trei termeni între ei, apoi un 1 \u003d -4 și un 5 \u003d 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la o sarcină care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De la: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aici, diferența nu este o valoare întreagă, ci este un număr rațional, deci formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum să adăugăm diferența găsită la un 1 și să restabilim membrii lipsă ai progresiei. Obținem: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u, 50 care a coincis cu starea problemei.

Exemplul #4: primul membru al progresiei

Continuăm să dăm exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, era cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să fie date două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să aflăm de la ce număr începe această succesiune.

Formulele care au fost folosite până acum presupun cunoașterea a 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste cifre în starea problemei. Cu toate acestea, să scriem expresiile pentru fiecare termen despre care avem informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Avem două ecuații în care există 2 mărimi necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Sistemul specificat este cel mai ușor de rezolvat dacă exprimați un 1 în fiecare ecuație și apoi comparați expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de unde diferența d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (sunt date doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți folosi oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru a 1 . De exemplu, mai întâi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, determinați al 43-lea membru al progresiei, care este specificat în condiție. Obținem: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. O mică eroare se datorează faptului că în calcule a fost utilizată rotunjirea la miimi.

Exemplul #5: Sumă

Acum să ne uităm la câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum se calculează suma a 100 dintre aceste numere?

Datorită dezvoltării tehnologiei informatice, această problemă poate fi rezolvată, adică adunarea secvenţială a tuturor numerelor, ceea ce computerul va face imediat ce o persoană apasă tasta Enter. Problema poate fi însă rezolvată mental dacă acordați atenție că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența ei este 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este curios de observat că această problemă se numește „gaussiană”, întrucât la începutul secolului al XVIII-lea celebrul german, încă la vârsta de doar 10 ani, a putut să o rezolve în minte în câteva secunde. Băiatul nu știa formula sumei unei progresii algebrice, dar a observat că dacă adaugi perechi de numere situate la marginile șirului, obții întotdeauna același rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ... și, deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100 / 2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul #6: suma termenilor de la n la m

Un alt exemplu tipic al sumei unei progresii aritmetice este următorul: având în vedere o serie de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați care va fi suma termenilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ei implică găsirea de termeni necunoscuți de la 8 la 14 și apoi însumarea lor secvenţial. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma unei progresii algebrice între termenii m și n, unde n > m sunt numere întregi. Pentru ambele cazuri, scriem două expresii pentru suma:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n > m, este evident că suma 2 o include pe prima. Ultima concluzie înseamnă că dacă luăm diferența dintre aceste sume și îi adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1-m/2). Este necesar să se înlocuiască formule pentru a n și a m în această expresie. Atunci obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie, totuși, suma S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate observa din soluțiile de mai sus, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și a formulei pentru suma mulțimii primilor termeni. Înainte de a începe să rezolvați oricare dintre aceste probleme, este recomandat să citiți cu atenție condiția, să înțelegeți clar ce doriți să găsiți și abia apoi să continuați cu soluția.

Un alt sfat este să depuneți eforturi pentru simplitate, adică dacă puteți răspunde la întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact asta, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția nr. 6, se poate opri la formula S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, și împărțiți sarcina generală în subsarcini separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii an și am).

Dacă există îndoieli cu privire la rezultat, se recomandă să-l verificați, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Cum să găsești o progresie aritmetică, am aflat. Odată ce îți dai seama, nu este atât de greu.

Progresie aritmetică infinită A 1 , A 2 , ..., A n, ... este format din diverse numere naturale.

a) Există o progresie în care dintre numere A 1 , A 2 , ..., A Sunt exact trei numere divizibile cu 36?

b) Există o astfel de progresie în care printre numere A 1 , A 2 , ..., A Sunt 30 exact 9 numere divizibile cu 36?

c) Pentru care este cel mai mare natural n s-ar putea dovedi că printre numere A 1 , A 2 , ..., A 2n mai mulți multipli de 36 decât printre numere A 2n + 1 , A 2n + 2 , ..., A 5n ?

Soluţie.

a) Un exemplu potrivit este o progresie cu un prim termen de 18 și o diferență de 18. Dintre primii săi șapte termeni (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126), exact trei sunt divizibili cu 36.

b) Notează prin d diferența unei progresii aritmetice A 1 , A 2 , ..., A n, .... Din condiţia rezultă că d- numar natural. Lăsa mși n- numere întregi, m > n, gcd( d, 36) indică cel mai mare divizor comun al numerelor dşi 36. Avem

Prin urmare, diferența A m − A n este divizibil cu 36 dacă și numai dacă diferența m − n este divizibil prin mijloace, dacă între membrii unei progresii aritmetice A 1 , A 2 , ..., A n, ... sunt multipli ai lui 36, atunci aceștia sunt membri cu numere de forma unde q- numărul primului termen, un multiplu al lui a p parcurge toate numerele întregi nenegative. Prin urmare, printre oricare k A 1 , A 2 , ..., A n, ... exact unul va fi divizibil cu 36. Dacă atunci și printre numere A 1 , A 2 , ..., A 30 va fi cel puțin 10 multipli ai lui 36. Dacă atunci și printre numere A 1 , A 2 , ..., A 30 nu vor exista mai mult de 8 numere care sunt multipli ai lui 36. Aceasta înseamnă că nu există o astfel de progresie în care dintre numere A 1 , A 2 , ..., A 30 exact 9 numere sunt divizibile cu 36.

c) Se notează cu [ X] partea întreagă a numărului X este cel mai mare număr întreg care nu depășește X. După cum s-a dovedit la punctul b) dintre oricare k membrii succesivi ai progresiei A 1 , A 2 , ..., A n, ... exact unul va fi divizibil cu 36, unde d este diferența unei progresii aritmetice.

Deci printre numere A 1 , A 2 , ..., A 2n multiplii lui 36 nu vor fi mai mult decât numere. La fel, printre numere A 2n + 1 , A 2n + 2 , ..., A 5n multiplii lui 36 vor fi cel puțin numere. Inegalitatea este satisfăcută dacă și numai dacă Fie satisfăcută această egalitate. Apoi diferența dintre numere și este mai mică decât 1. Obținem că și Prin urmare, și Din moment ce numărul k nu depășește 36, de unde rezultă că Luați în considerare o progresie cu primul termen 27 și diferența 1. Apoi, printre numere A 1 , A 2 , ..., A 46 este exact divizibil cu doi cu 36 ( A 10 = 36 și A 46 = 72). Printre numere A 47 , A 48 , ..., A 115 este exact unu divizibil cu 36 ( A 82 = 108). Acest exemplu arată că n poate fi 23.

Răspuns: a) Da, de exemplu, progresia 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; b) nu; c) 23.