Anterior, am studiat ce sunt numerele naturale și ce proprietăți există pentru a efectua scăderea. Acest articol prezintă regulile de bază care ne vor ajuta să efectuăm scăderea numere naturale. Pentru ca informațiile să fie înțelese și reținute rapid, am oferit materialului teoretic exerciții detaliate și exemple tipice.
Cum sunt legate adunarea și scăderea?
Adunarea și scăderea sunt strâns legate. Scăderea este inversul adunării. Pentru a înțelege aceste informații, luați în considerare un exemplu detaliat.
Imaginați-vă că, ca urmare a adăugării de obiecte cȘi b, primim articolul a . Pe baza elementelor de bază ale adunării numerelor naturale, putem concluziona că c+b=a. Dacă folosim proprietatea comutativă a adunării, putem transforma egalitatea rezultată ca b+c=a. Tragem concluzia că dacă scădem din a b, atunci va rămâne c. Această egalitate a − b = c va fi considerată validă. Prin analogie, obținem asta, scăzând din a numărul c, atunci va rămâne b, adică a − c = b.
Datorită exemplului pe care l-am considerat mai sus, putem concluziona că dacă suma numerelor cȘi b este egal cu A, apoi numărul c este diferența numerelor naturale b, și numărul b- diferența de numere AȘi c. adica c = a - bȘi b = a - c, dacă c+b=a.
Transformăm această afirmație și obținem o regulă importantă.
Definiția 1
Dacă suma a două numere cȘi b este egal cu A, apoi diferența a - c este egal cu b, și diferența a-b este egal cu c.
Acum putem vedea clar că adunarea și scăderea sunt indisolubil legate. Pe baza acestui fapt, putem deduce conceptul.
Definiția 2
Scădere- aceasta este o actiune prin care se gaseste un termen, cand se cunosc suma si celalalt termen.
Această definiție este adesea folosită în diverse exempleși sarcini.
Un tabel de adunare poate fi adesea folosit pentru a găsi suma a două numere și pentru a găsi un termen dacă suma și celălalt termen sunt cunoscuți.
Să luăm în considerare această afirmație cu un exemplu. Luați în considerare un exercițiu în care este necesar să găsiți un termen necunoscut dacă se știe că al doilea termen este egal cu 5 , iar suma este 8 .
Acest lucru se poate face în două moduri. Să folosim o ilustrație grafică, în care numerele cunoscute sunt evidențiate cu roșu, iar cele găsite sunt cu albastru.
Să luăm în considerare mai multe moduri.
Prima cale. Este necesar să găsiți un rând în tabel, termenul cunoscut este situat în celula din stânga (luăm număr cunoscut cinci). După aceea, trebuie să găsiți o coloană care se intersectează cu rândul găsit în celulă. Această linie trebuie să conțină o sumă cunoscută (după exemplu, numărul 8 ). Numărul pe care trebuie să-l găsim este situat în celula de sus a coloanei găsite. Conchidem că numărul 3 - e acesta este termenul dorit.
A doua cale. Este necesar să găsiți o coloană în tabelul de adăugare, în celula superioară a căreia există un termen cunoscut. Găsim o linie care se intersectează cu o coloană cunoscută într-o celulă care corespunde unei sume cunoscute. Concluzionăm că termenul de găsit se află în celula din stânga a acestui rând.
Deoarece știm că adunarea și scăderea sunt strâns legate, acest tabel poate fi folosit și pentru a găsi diferența dintre numerele naturale. Să aruncăm o privire mai atentă la această teorie cu un exemplu.
Imaginează-ți că trebuie să scazi numărul 7 din număr 16 . Concluzionăm că scăderea se reduce la găsirea unui număr care, în sumă cu un număr 7 va da numarul 16 . Să folosim tabelul de mai sus.
scade din număr 16 număr 7 , obținem diferența dorită 9 .
Pentru a utiliza acest tabel, vă recomandăm să memorați informațiile și să aduceți procesul de găsire a numerelor în tabel la automatism.
Cum să scazi cifrele numerelor
Folosind tabelul de adunare, despre care am discutat mai sus, puteți scădea zeci din zeci, sute din sute, mii din mii. Așa cum putem lucra cu ușurință cu numere prime, la fel, prin analogie, putem scădea zeci și sute. De exemplu, 6 sute minus 2 sute egale 4 sute, adică 600 − 200 = 400 . Putem folosi tabelul și în alte cazuri.
Dacă ne amintim că o sută este 10 zeci, o mie este 10 sute, atunci putem calcula diferența dintre zeci, sute, mii și alte numere.
Luați în considerare un exemplu.
Exemplul 2
100 − 70 .
Convertiți numerele în zeci. Primim zece zeci și șapte zeci. Din tabelul de adunare obținem 10 − 7 = 3 , apoi diferența 10 zeci și 7 zeci este 3 zeci, adică 100 − 70 = 30 .
Exemplul 3
Trebuie să calculăm diferența 100 000 − 80 000 .
pentru că 100 000 - acest 10 zeci de mii, iar 80.000 este 8 zeci de mii și 10 − 8 = 2 . Înțelegem asta 100 000 − 80 000 = 20 000 .
Scăderea unui număr natural dintr-o sumă de numere
Pentru a afla diferența dintre suma a două numere și a unui număr, trebuie mai întâi să calculați suma din care se scade numărul. Pentru a simplifica procesul de scădere, puteți utiliza o anumită proprietate a scăderii. Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 4
De scăzut din total 50 + 8 numar natural 20 .
Sumă 50 + 8 este suma termeni de biți numerele 58 . Caut solutii. Folosim regula de scădere de mai sus: din moment ce 20 < 50 , apoi egalitatea (50 + 8) − 20 = (50 − 20) + 8 . Putem concluziona că 50 − 20 = 30 ( 5 zeci - 2 zeci), apoi (50 − 20) + 8 = 30 + 8 . Numărul dorit este 38.
Soluția poate fi reprezentată ca un lanț de egalități: (50 + 8) − 20 = (50 − 20) + 8 = 30 + 8 = 38 .
Exemplul 5
De scăzut din total 21 + 8 număr 3 . Deci, ca 3 < 21 Și 3 < 8 , atunci sunt valabile egalitățile (21 + 8) − 3 = (21 − 3) + 8 și (21 + 8) − 3 = 21 + (8 − 3).
Să alegem cea mai potrivită opțiune de calcul. Scădeți din numărul mai mic. În exemplu 8 < 21 . Asa de, (21 + 8) − 3 = 21 + (8 − 3) = 21 + 5 = 26 .
Să complicăm exemplul. Este necesar să se calculeze diferența numărului 20 din suma 20 000 + 6 000 + 300 + 50 + 1 . Să folosim proprietatea scăderii, pe care am studiat-o mai sus.
Calcularea diferenței este destul de ușoară: (20.000 + 6.000 + 300 + 50 + 1) - 20 = 20.000 + 6.000 + 300 + (50 - 20) + 1 = = 20.000 + 6.000 + 300 + 30 + 131.
Luați în considerare un alt exemplu de soluție: (107 + 42 + 9) − 3 = 107 + 42 + (9 − 3) = 107 + 42 + 6 = 155 .
Scăderea sumei numerelor dintr-un număr natural
Definiția 2Pentru a scădea suma două numere dintr-un număr natural, trebuie să calculați suma și apoi să scădeți.
Puteți folosi proprietatea de scădere de mai sus. Să ne uităm la câteva exemple.
Exemplul 6
Trebuie scazut din 100 Cantitate 90 + 8 .
În funcție de proprietate, obținem: 100 − (90 + 8) = (100 − 90) − 8 . Găsim 100 − 90 = 10 .
Să ne imaginăm calculul ca: (100 − 90) − 8 = 10 − 8 = 2 .
Exemplul 7
Trebuie să găsim diferența între 17 și sume de numere 8 Și 4 .
Primim ca: 17 − (8 + 4) = (17 − 8) − 4 . Să folosim tabelul și să obținem că 17 − 8 = 9, atunci (17 − 8) − 4 = 9 − 4 = 5 . Soluția poate fi scrisă pe scurt astfel: 17 − (8 + 4) = (17 − 8) − 4 = 9 − 4 = 5 .
Partea dreaptă a egalității a - (b + c) = (a - b) - c uneori scris ca a − (b + c) = a − b − c. În acest caz, se presupune că a − b − c = (a − b) − c. Diferență 15 − (7 + 2) poate fi imaginat ca 15 − 7 − 2 . Calculăm diferența - scădem numărul din 15 7. Scădea 2 din rezultat.
În acest fel, 15 − (7 + 2) = 15 − 7 − 2 = 8 − 2 = 6 .
Folosind proprietatea de scădere și proprietatea asociativă a adunării, puteți găsi diferența dintre suma a două, trei sau mai multe numere.
Exemplul 8
Trebuie să scazi dintr-un număr 1 000 sumele a trei numere ale formei 900 + 90 + 1 .
Cantitate 900 + 90 + 1 imagina cum 900 Și 90 + 1 , adică 900 + 90 + 1 = 900 + (90 + 1) (consultați secțiunea relevantă pentru o mai bună înțelegere). Folosim proprietatea de scădere învățată mai sus: 1 000 − (900 + (90 + 1)) = (1 000 − 900) − (90 + 1) . Deoarece 1000 − 900 = 100 , atunci (1000 − 900) − (90 + 1) = 100 − (90 + 1) . Scădeți suma din număr: 100 − (90 + 1) = (100 − 90) − 1 = 10 − 1 = 9 .
O scurtă înregistrare a soluției este: 1000 − (900 + 90 + 1) = (1000 − 900) − (90 + 1) = 100 − (90 + 1) = (100 − 90) − 1 = 10 − 1 = nouă
Diferență 1 000 − (900 + 90 + 1) poate arăta și ca ((1 000 − 900) − 90) − 1 . Puteți scrie altfel ca 1 000 − 900 − 90 − 1 . În aceste cazuri, mai întâi se găsește diferența dintre primele două numere, apoi se scade al treilea număr din rezultat și așa mai departe.
Exemplul 9
Trebuie scazut din 20 suma numerelor 10, 4, 3 și 1 . Primim ca: 20 − (10 + 4 + 3 + 1) = 20 − 10 − 4 − 3 − 1 = 10 − 4 − 3 − 1 = 6 − 3 − 1 = 3 − 1 = 2 .
Scăderea unităților din zeci, sute, mii
Din număr 10 orice număr de la 1 inainte de 9 . Folosim tabelul de mai sus. Dar ce să faci în alte cazuri? Este necesar să se reprezinte reducerea ca suma a doi termeni, dintre care unul este egal cu 10 , apoi scădeți-l din sumă. Să ne consolidăm cunoștințele despre material cu un exemplu:
Exemplul 10
trebuie scazut din 60 număr 5 .
Număr 60 reprezentați ca suma a două numere, dintre care unul este egal cu 10 . Al doilea număr se găsește scăzând din 60 număr 10 . pentru că 60 − 10 = 50 , apoi 60 = 50 + 10 . Să înlocuim 60 sumă 50 + 10 , obținând 60 − 5 = (50 + 10) − 5 . Primim ca: (50 + 10) − 5 = 50 + (10 − 5) = 50 + 5 = 55 .
După ce am luat în considerare scăderea unilor din zeci, să trecem la scăderea unilor din sute.
La ieșire 100 scade un numar din 1 inainte de 10 necesar 100 imagina cum 90+10 90 + 10 și recurgeți la regulă.
Exemplul 11
Trebuie să găsim diferența 100 − 7 .
Imagina 100 Cum 90 + 10 si executa: 100 − 7 = (90 + 10) − 7 = 90 + (10 − 7) = 90 + 3 = 93 . Să complicăm exemplul. Scădeți din număr 500 număr 3 . Să reprezentăm 500 ca sumă. Al doilea termen = 500 − 100, adică 400 . Avem 500 = 400 + 100 . 100 = 90 + 10 , 500 = 400 + 90 + 10 .
În acest fel, 500 − 3 = (400 + 90 + 10) − 3 .
Să terminăm calculul: (400 + 90 + 10) - 3 = 400 + 90 + (10 - 3) = 400 + 90 + 7 = 497 .
Să trecem la scăderea unităților din mii.
Exemplul 12
Este necesar să se calculeze diferența 1 000 − 8 .
pentru că 1 000 = 900 + 100 , dar 100 = 90 + 10 , apoi 1 000 = 900 + 90 + 10 .
Apoi 1 000 − 8 = (900 + 90 + 10) − 8 = 900 + 90 + (10 − 8) = 900 + 90 + 2 = 992 .
Exemplul 13
trebuie scazut din 7 000 unitate.
7 000 scrie ca 7 000 = 6 000 + 1 000 = 6 000 + 900 + 100 = 6 000 + 900 + 90 + 10 .
Încheiem:
7 000 − 1 = (6 000 + 900 + 90 + 10) − 1 = 6 000 + 900 + 90 + (10 − 1) = 6 000 + 900 + 90 + 9 = 6 999
.
Exemplul 14
Trebuie să calculăm diferența 100 000 − 4 .
pentru că
100 000 = 90 000 + 10 000 = 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
apoi
100 000 − 4 = (90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) − 4 = = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 4) = 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 6 = 99 996 .
Exemplul 15
trebuie scazut din 4 000 000 număr 5 .
pentru că
4 000 000 = 3 000 000 + 1 000 000 = 3 000 000 + 900 000 + 100 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 10 000 = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 1 000 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10
apoi
4 000 000 − 5 = (3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 10) − 5 = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + (10 − 5) = = 3 000 000 + 900 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 90 + 5 = 3 999 995
.
Scăderea unităților din numere arbitrare
Definiția 3
Pentru a scădea un număr cu o singură cifră dintr-un astfel de număr, trebuie să descompuneți numărul redus în cifre, apoi să scădeți numărul din sumă.
Considera exemple tipice pentru a vă ajuta să înțelegeți materialul.
Exemplul 16
Este necesar să se determine diferența de numere 46 Și 2 .
Număr 46 reprezenta ca 40 + 6 , apoi 46 − 2 = (40 + 6) − 2 = 40 + (6 − 2) = 40 + 4 = 44 . Pentru a complica sarcina, găsim diferența 46 Și 8 . Avem 46 − 8 = (40 + 6) − 8 . pentru că 8 mai mult decât 6 , apoi: ( 40 + 6) - 8 = (40 - 8) + 6 . 40 − 8 calculăm conform exemplului: 40 − 8 = (30 + 10) − 8 = 30 + (10 − 8) = 30 + 2 = 32 . Apoi (40 − 8) + 6 = 32 + 6 = 38 . Acum să scădem din 6 047 număr 5 . Întindeți-vă 6 047 si scade numarul din suma: 6 047 − 5 = (6 000 + 40 + 7) − 5 = 6 000 + 40 + (7 − 5) = 6 000 + 40 + 2 = 6 042
Să întărim abilitățile cu un alt exemplu.
Exemplul 17
Trebuie scazut din 2 503 număr 8 .
Extindeți și obțineți: 2 503 − 8 = (2 000 + 500 + 3) − 8
. pentru că 8
mai mult decât 3
, dar mai puțin decât 500
, apoi (2 000 + 500 + 3) − 8 = 2 000 + (500 − 8) + 3
. Calculați diferența 500 − 8
, pentru aceasta reprezentăm numărul 500
ca sumă 400 + 100 = 400 + 90 + 10
(dacă este necesar, reveniți la paragraful anterior al acestui articol) și efectuați calculele necesare:
500 − 8 = (400 + 90 + 10) − 8 = 400 + 90 + (10 − 8) = 400 + 90 + 2 = 492 . 2 000 + (500 − 8) + 3 = 2 000 + 492 + 3 = 2 495 .
Scăderea din numere naturale arbitrare
Pentru a scădea zeci, sute dintr-un număr, trebuie să reprezentați reducerea sub formă de sumă și să efectuați scăderea. Să analizăm acest proces cu câteva exemple.
Exemplul 18
Găsiți diferența dintre 400 și 70 .
Să extindem 400 ca 300 + 100 . Apoi 400 − 70 = (300 + 100) − 70 . În funcție de proprietate, obținem: (300 + 100) − 70 = 300 + (100 − 70) = 300 + 30 = 330 . Putem scădea și din număr 1 000 număr 40 . Să ne imaginăm asta 1 000 − 40 = (900 + 100) − 40 = 900 + (100 − 40) = 900 + 60 = 960 .
Conform regulii, (7 000 + 900 + 100) − 10 = 7 000 + 900 + (100 − 10) = 7 000 + 900 + 90 = 7 990 .
Folosim această regulă în cazuri similare.
Exemplul 19
Sa gasim 400 000 − 70 .
400 000
extinde ca 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100
, apoi
400 000 − 70 = (300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 100) − 70 = 300 000 + 90 000 + 9 000 + + 900 + (100 − 70) = 300 000 + 90 000 + 9 000 + 900 + 30 = 399 993
Să folosim principii similare pentru a calcula sute, mii și altele.
Exemplul 20
Sa gasim 5 000 − 800 .
Imagina 5 000 Cum 4 000 + 1 000 . Apoi 5 000 − 800 = (4 000 + 1 000) − 800 . Folosim proprietatea: (4 000 + 1 000) − 800 = 4 000 + (1 000 − 800) . Întrucât o mie este zece sute, 1 000 − 800 = 200 . Deci 4000 + (1000 − 800) = 4000 + 200 = 4200 .
Această regulă poate fi folosită pentru calcul. Amintiți-vă, vă va fi util de mai multe ori.
Exemplul 21
Găsiți diferența dintre 140 și 40 .
pentru că 140 = 100 + 40 , apoi 140 − 40 = (100 + 40) − 40 . Se obține: (100 + 40) - 40 = 100 + (40 - 40) = 100 + 0 = 100 (40 - 40) = 0 datorită proprietăților și 100 + 0 = 100 .
Sa gasim 140 – 60 . Avem 140 − 60 = (100 + 40) − 60 . Din moment ce 60 este mai mult decât 40 , apoi: (100 + 40) − 60 = (100 − 60) + 40 = 40 + 40 = 80 .
Scăderea numerelor arbitrare
Luați în considerare regula când subtraend este descompus în cifre. După reprezentarea unui număr ca sumă de termeni de biți, este utilizată proprietatea de scădere descrisă mai sus. Scăderea începe cu unități, apoi zeci, sute și așa mai departe.
Exemplul 22
Calcula 45 − 32 .
Să descompunăm 32 în cifre: 32 = 30 + 2 . Avem 45 − 32 = 45 − (30 + 2) . Imaginează-ți cum 45 − (30 + 2) = 45 − (2 + 30) . Acum aplicăm proprietatea de a scădea suma dintr-un număr: 45 − (2 + 30) = (45 − 2) − 30 . Rămâne de calculat 45 − 2 , apoi scădeți numărul 30 .
După ce ați învățat regulile anterioare, puteți face acest lucru cu ușurință.
Asa de, 45 − 2 = (40 + 5) − 2 = 40 + (5 − 2) = 40 + 3 = 43 . Apoi (45 − 2) − 30 = 43 − 30 . Rămâne să reprezinți valoarea redusă ca sumă de termeni de biți și să completezi calculele: 43 − 30 = (40 + 3) − 30 = (40 − 30) + 3 = 10 + 3 = 13
Este convenabil să scrieți întreaga soluție ca un lanț de egalități:
45 − 32 = 45 − (2 + 30) = (45 − 2) − 30 = ((40 + 5) − 2) − 30 = = (40 + (5 − 2)) − 30 = (40 + 3) − 30 = (40 − 30) + 3 = 10 + 3 = 13
Să complicăm puțin exemplul.
Scădeți din numărul 85 numărul 18 .
Defalcarea numărului 18
, și obținem 18 = 10 + 8
. Schimbați termenii: 10 + 8 = 8 + 10. Acum scădeți suma rezultată a termenilor de biți din număr 85
și aplicați proprietatea de a scădea suma dintr-un număr: 85 − 18 = 85 − (8 + 10) = (85 − 8) − 10
. Calculăm diferența între paranteze:
85 − 8 = (80 + 5) − 8 = (80 − 8) + 5 = ((70 + 10) − 8) + 5 = (70 + (10 − 8)) + 5 = (70 + 2) + 5 = 70 + 7 = 77
Apoi (85 − 8) − 10 = 77 − 10 = (70 + 7) − 10 = (70 − 10) + 7 = 60 + 7 = 67
Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția unui alt exemplu.
Exemplul 23
Scădeți din număr 23 555 număr 715 .
pentru că 715 = 700 + 10 + 5 = 5 + 10 + 700 = 5 + (10 + 700) , atunci 23555 − 715 = 23555 − (5 + 10 + 700) . Scădem suma din număr după cum urmează: 23 555 − (5 + (10 + 700)) = (23 555 − 5) − (10 + 700) .
Calculați diferența între paranteze:
23 555 − 5 = (20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 5) − 5 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + (5 − 5) = = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 + 0 = 20 000 + 3 000 + 500 + 50 = 23 550 .
Apoi (23 555 − 5) − (10 + 700) = 23 550 − (10 + 700) .
Încă o dată, ne întoarcem la proprietatea de a scădea un număr natural dintr-o sumă: 23 550 − (10 + 700) = (23 550 − 10) − 700
.
(23 550 − 10) − 700 = 23 540 − 700 = (20 000 + 3 000 + 500 + 40) − 700 = = 20 000 + (3 000 − 700) + 500 + 40
Scădeți numărul 700 din 3.000 și: 3 000 − 700 = (2 000 + 1 000) − 700 = 2 000 + (1 000 − 700) = 2 000 + 300 = 2 300 , apoi 20 000 + (3 000 − 700) + 500 + 40 = 20 000 + 2 300 + 500 + 40 = 22 840 .
Luați în considerare ce este scăderea din punct de vedere geometric. Folosim un fascicul de coordonate. Scăderea dintr-un număr b cu fascicul de coordonate este situat astfel: determinăm punctul, coordonata este A. Puneți deoparte în direcția punctului O segmente unice într-o cantitate determinată de subtraend b. Deci vom găsi un punct pe raza de coordonate, coordonata este egală cu diferența a-b. Cu alte cuvinte, este o mișcare spre stânga dintr-un punct cu coordonate A de la distanță b, lovind punctul cu coordonatele a-b.
Luați în considerare scăderea pe raza de coordonate cu ajutorul figurii. Deci ajungem la punctul cu coordonata 2 astfel încât 6 − 4 = 2 .
Verificarea rezultatului scăderii prin adunare
Verificarea rezultatului scăderii a două numere naturale se bazează pe relația dintre scădere și adunare. Acolo am constatat că dacă c+b=a, apoi a − b = cȘi a − c = b. Dacă a − b = c, apoi c+b=a; dacă a − c = b, apoi b+c=a. Să demonstrăm validitatea acestor egalități.
Lasă dintr-o dată deoparte b, după care rămâne c. Această acțiune corespunde egalității a − b = c . Vom rambursa în așteptare b pe loc, apoi plânge A. Apoi putem vorbi despre validitatea egalității c+b=a.
Acum putem formula o regulă care să ne permită să verificăm rezultatul scăderii prin adunare: trebuie să adunăm scăderea la diferența obținută, iar aceasta ar trebui să rezulte într-un număr egal cu cel care se reduce. Dacă numărul rezultat nu este egal cu cel care se reduce, atunci a fost făcută o eroare în timpul scăderii.
Rămâne doar să analizăm soluțiile mai multor exemple în care rezultatul unei scăderi este verificat folosind adunarea.
Exemplul 24
Scăzut din 50 42 si primit 6 . Scăderea a fost făcută corect?
Să verificăm rezultatul scăderii. Pentru a face acest lucru, adăugați subtraendul la diferența rezultată: 6 + 42 = 48 (dacă este necesar, studiați alte paragrafe pe această temă). Deoarece am obținut un număr care nu este egal cu cel care se reduce 50 , atunci se poate argumenta că scăderea a fost efectuată incorect. A fost o greseala.
Exemplul 25
Este necesar să se determine diferența 1 024 − 11 si verifica rezultatul.
Calculăm diferența: 1 024 − 11 = 1 024 − (1 + 10) = (1 024 − 1) − 10 = 1 023 − 10 = 1 013 .
Acum verificăm:
1 013 + 11 = (1 000 + 10 + 3) + (10 + 1) = = 1 000 + 10 + 10 + 3 + 1 = 1 000 + 20 + 4 = 1 024
Am obținut un număr egal cu cel care se reduce, prin urmare, diferența este calculată corect. 1 024 − 11 = 1 023 .
Verificarea rezultatului unei scăderi prin scădere
Corectitudinea rezultatului scăderii numerelor naturale poate fi verificată nu numai cu ajutorul adunării, ci și cu ajutorul scăderii. Pentru a face acest lucru, trebuie să scădeți diferența găsită din cea redusă. Acest lucru ar trebui să rezulte într-un număr egal cu cel scăzut. În caz contrar, s-a făcut o eroare în calcule.
Considera această regulă Mai Mult. Acest lucru vă va permite să verificați rezultatul scăderii numerelor prin scădere. Să ne prefacem că avem A fructe, inclusiv b mere și c pere Dacă punem deoparte mere, atunci vom avea doar c pere, cât avem a − b = c. Dacă punem deoparte toate perele, atunci am avea doar b mere, în timp ce a − c = b.
Exemplul 26
Numărul a fost scăzut din numărul 543 343 , rezultând numărul 200 .
Verifica.
Amintiți-vă legătura dintre scădere și adunare: 200 + 343 = 543 . Scădeți diferența din 543 redus 200 , primim 543 − 200 = (500 + 43) − 200 = (500 − 200) + 43 = 30 + 43 = 343 .
Acest număr este egal cu numărul de scăzut, scăderea este corectă.
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Dacă adunarea este asociată cu unirea a două mulțimi într-una singură, atunci scăderea este asociată cu separarea unei mulțimi date în două sau mai multe mulțimi. Să presupunem că avem o grămadă de plastice pentru cârnați pe o farfurie. Să luăm unul sau mai multe plastice din acest set și să le lăsăm deoparte, ci mai degrabă să le mâncăm. Am îndepărtat, adică am luat mai multe materiale plastice din setul inițial de plastice pentru cârnați, în timp ce rezultatul pe farfurie s-a schimbat în jos. Acesta este sensul scăderii.
Schematic, scăderea a două numere naturale este următoarea:
minuend − subtraend = diferență.
Pentru a indica scăderea în scris, utilizați semnul minus „-”.
În primul rând, se scrie minuendul, după aceea - semnul minus, apoi - subtrahendul. De exemplu, scrierea 9 - 5 înseamnă că 5 este scăzut din 9.
Descăzut este numărul din care se scade. În exemplul nostru, acesta este numărul „9”
Descăzut este numărul care se scade din minuend. În exemplul nostru, acesta este numărul „5”
Diferență este numărul care este rezultatul scăderii.
Expresii „găsește diferența”, "calculeaza diferenta", „scăderea numărului 9 din numărul natural 86” se înțelege astfel: se cere să se determine numărul care este rezultatul scăderii numerelor naturale date.
PROPRIETĂȚI DE SCADERE A NUMERELOR NATURALE
Proprietatea 1. Diferența a două numere naturale egale este egală cu zero.
a − a = 0, unde a este orice număr natural.
Proprietatea 2. Scăderea numerelor naturale NU are proprietatea comutativă.
Dacă a și b sunt numere naturale inegale, atunci a − b ≠ b − a
45 − 20 ≠ 20 − 45.
Proprietatea 3. Scăderea dintr-un număr natural dat a unei sume date a două numere naturale este același lucru cu scăderea primului termen al acestei sume dintr-un număr natural dat și apoi scăderea celui de-al doilea termen din diferența rezultată.
a − (b + c) = (a − b) − c, unde a, b și c sunt niște numere naturale, iar condițiile a > b + c sau a = b+c sunt îndeplinite.
10 - (2+1) = (10 - 2) - 1 = 7
Proprietatea 4. Scăderea unui număr natural dat dintr-o sumă dată de două numere este la fel cu scăderea unui număr dat dintr-unul dintre termeni și apoi adăugarea diferenței rezultate și a celuilalt termen. Trebuie remarcat faptul că numărul scăzut NU trebuie să fie mai mare decât termenul din care se scade acest număr.
În lecție veți învăța ce sunt directe și acțiuni inverseîn matematică. Profesorul va vorbi despre toate componentele scăderii și, de asemenea, va arăta două moduri de a scădea o sumă dintr-un număr.
În viață, ne confruntăm constant cu acțiuni directe și opuse. Puteți turna apă într-o cană, puteți turna apă afară. Poti intra in casa si apoi iesi din casa. Există multe astfel de exemple.
În matematică, putem găsi cu ușurință și o pereche de astfel de acțiuni opuse. Aceasta este adunarea și scăderea.
Orez. 1. Ilustrarea adăugării
Scăderea: au fost 5 mere, au fost luate 2, au rămas 3. S-a dovedit scăderea (Fig. 2).
Orez. 2. Scăderea
Este clar că adunarea și scăderea sunt acțiuni opuse, deci adunarea și scăderea sunt acțiuni reciproc opuse.
Pentru a efectua adunarea sau scăderea, nu luăm obiecte care să ne ajute și nu le punem într-o grămadă. Rezolvăm o astfel de problemă abstract, folosind numere și operații opuse.
De exemplu, pentru a scădea 2 din 5, trebuie să ne dăm seama ce a mai rămas.
Și pentru aceasta trebuie să reprezentăm 5 ca sumă a două părți.
Și înțelegem că dacă scadeți 2, atunci rămâne 3.
Aceeași cantitate poate fi reprezentată și scrisă căi diferite. Toate aceste metode sunt echivalente: . Întotdeauna îl putem folosi pe cel care ne este convenabil acest caz. Acum este convenabil pentru noi să ne imaginăm că 5 este suma lui 3 și 2. Prin urmare, dacă scoatem, scădem o parte (2), atunci a doua parte (3) va rămâne.
Cum se scade 7 din 15?
Vă prezentăm imediat că. Deci, după scăderea lui 7, rămâne 8.
Devine clar că scăderea înseamnă găsirea unui număr de expansiune necunoscut.
Să ne uităm din nou la exemplu. Pentru a scădea numărul 2 din 5, trebuie să reprezentați 5 ca doi termeni și să găsiți termenul necunoscut. Va fi rezultatul scăderii.
Dacă doriți să scădeți un număr dintr-un număr:
Aceasta înseamnă că numărul trebuie reprezentat sub forma a doi termeni și .
Un termen ne este necunoscut. El trebuie găsit. Este rezultatul scăderii.
Este clar ce să ia din vază mai multe mere ceea ce era acolo este imposibil. Prin urmare, atunci când vorbim despre scăderea numerelor naturale, nu putem scădea un număr mai mare dintr-un număr mai mic. Apoi vor fi alte numere, nu numai naturale, iar scăderea dintr-un număr mai mic dintr-un număr mai mare va deveni posibilă.
Sau un alt raționament de genul acesta: a scădea înseamnă a prezenta sub forma a doi termeni, dar până la urmă termenii, părțile, nu pot fi mai mari decât întregul.
Dar, deocamdată, acordul este următorul: scădem numărul din număr numai dacă nu este mai mic de . Rezultatul va fi un nou număr.
Orez. 3. Numele componentelor la scădere
Cuvântul „diferență” este foarte asemănător cu cuvântul „diferență”. Într-adevăr, care este diferența, cât de mult diferă numărul 15 de numărul 7, 15 mere de 7 mere? Pentru 8 mere. Adică, diferența dintre numerele 15 și 7 este diferența dintre ele.
Astfel, pe de o parte, diferența este rezultatul scăderii din Mai mult mai puțin. Pe de altă parte, atât de mult diferă un număr de altul, diferența dintre ele.
Tata are 36 de ani, iar mama cu 2 ani mai mică. Cati ani are mama?
Scădeți 2 din 36.
Acesta este primul tip de problemă pe care îl rezolvăm prin scădere: cunoașteți un număr, trebuie să găsiți al doilea, care este mai puțin cu o sumă cunoscută. Adică știm imediat minuendul și subtrahendul, numerele și.
În clasă sunt 25 de elevi, dintre care 14 sunt fete. Câți băieți sunt în clasă?
Este clar că sunt doar 25 de fete și băieți. 14 fete, număr necunoscut de băieți.
Trebuie să găsim termenul necunoscut. Iar căutarea unui termen necunoscut este deja o problemă de scădere. Scădeți 14 din 25.
Sunt 11 băieți în clasă.
Acesta este al doilea tip de problemă când se adună două numere, unul dintre ele este cunoscut și celălalt nu. Dar rezultatul, suma, este cunoscut.
Cunoscute și sunt evidențiate cu albastru. Trebuie să găsim termenul necunoscut. Dar căutarea unui termen necunoscut este o scădere.
Sora are 12 ani, iar fratele 9. Cu câți ani este sora mai mare decât fratele?
Sora este mai mare decât fratele cu 3 ani.
Acesta este al treilea tip de sarcini - sarcini pentru comparație.
În vază erau 17 mere. Petya a luat 4 mere, Masha a luat 3. Câte mere au rămas în vază?
Soluţie
Petya a luat 4, Masha - 3, în total au luat mere. Pentru a afla cât a mai rămas, scade:
Dacă este scris pe un rând:
Să calculăm câte mere au rămas de fiecare dată când Petya și Masha au luat mere. Petya a luat 4, a plecat. Masha a mai luat 3, a plecat.
Sau, într-o singură linie, .
Au mai rămas 10 mere în vază.
Ambele metode sunt echivalente, răspunsul este același. Adică, scăderea sumei este la fel cu scăderea fiecărui termen din această sumă separat.
Operația de scădere între orice numere naturale are o serie de caracteristici numite proprietăți. În acest articol vom lua în considerare principalele proprietăți ale numerelor naturale și vom oferi exemple explicative.
Proprietatea de scădere a numerelor naturale egale
Proprietatea de scădere a două numere naturale egalePentru două numere naturale egale, diferența lor este zero. Dacă a este orice număr natural, atunci a - a = 0 .
Aceasta este cea mai simplă proprietate. Numărul zero indică absența a ceva. Dacă scadeți același set de obiecte dintr-un set de obiecte, obțineți zero. De exemplu, Petya a avut 15 mere, a decis să o trateze pe Masha și i-a dat toate cele 15 bucăți. Acum Petya are zero mere.
Legea comutativă (nu este valabilă pentru scădere)
Se știe că atunci când se adună numere dintr-o modificare a locurilor termenilor, suma nu se modifică. La fel ca în cazul înmulțirii, produsul nu se schimbă atunci când factorii sunt rearanjați. Această caracteristică se numește legea comutativă sau comutativă. Totuși, la scădere, legea comutativă funcționează doar într-un singur caz: când numărul care se scade este egal cu cel care se reduce.
În cazurile în care numărul redus devine mai mic decât cel scăzut, însuși sensul scăderii numerelor naturale se pierde. De exemplu:
38 - 21 evident nu este egal cu 21 - 38
ÎN vedere generalaîl poți scrie astfel: a - b ≠ b - a.
Proprietățile de scădere ale numerelor naturale
Pentru operația de scădere a numerelor naturale, legea comutativă nu este valabilă!
Scăderea sumei a două numere dintr-un număr natural
Formulăm proprietatea și apoi luăm în considerare un exemplu care va oferi o înțelegere profundă și va ajuta la înțelegerea a ceea ce s-a spus.
Proprietatea de a scădea suma a două numere dintr-un număr natural
Scăderea sumei a două numere naturale dintr-un alt număr natural echivalează cu scăderea succesivă a unui termen al sumei din număr și apoi a celuilalt.
Din punct de vedere matematic, aceasta va fi scrisă astfel:
a - (b + c) = (a - b) - c
Să ne uităm la un exemplu. Petya și Vasya aveau câte 8 monede. Petya a cumpărat imediat o băutură pentru două monede și o bomboană pentru o monedă. Vasya a cumpărat mai întâi o băutură, apoi s-a gândit și a cumpărat și o bomboană. Drept urmare, ambilor le-au mai rămas cinci monede. Operațiunile cu monedele lui Petya și Vasya pot fi scrise după cum urmează:
8 - (2 + 1) = 5 (8 - 2) - 1 = 5
Este important de reținut că această operațiune pentru numerele naturale, are sens numai atunci când numărul care se reduce este mai mare sau egal cu suma numerelor care se scad din el.
În conformitate cu proprietatea considerată și legea combinației, suma a două, trei sau mai multe numere poate fi scăzută dintr-un număr natural.
Scăderea unui număr dintr-o sumă
Imaginează-ți că Rodion are 3 bomboane într-un buzunar și 5 bomboane în celălalt. El a promis că îi va da 2 dulciuri lui Zuhra. În ce moduri îi poate oferi Rodion bomboane lui Zuhra?
În primul rând, puteți pune toate dulciurile într-un buzunar și puteți obține 2 bucăți de acolo. Bomboane rămase: 3 + 5 - 2.
În al doilea rând, puteți obține imediat două dulciuri din primul buzunar. Bomboane rămase: 3 + 5 - 2.
În cele din urmă, în al treilea rând, puteți obține două dulciuri din al doilea buzunar. Ca rezultat, avem: 5 + (3 - 2) .
Numărul de dulciuri rămâne în final neschimbat și sunt valabile egalitățile:
3 + 5 - 2 = 5 + (3 - 2) = (3 + 5) - 2 .
Acum putem formula regula pentru scăderea unui număr din suma altor numere naturale.
Proprietatea de a scădea un număr natural din suma a două numere
Scăderea unui număr natural din suma altor numere naturale echivalează cu scăderea succesivă a numărului dat dintr-un termen și adăugarea diferenței rezultate la un alt termen.
În formă literală, proprietatea arată astfel:
(a + b) - c = (a - c) + b
Dacă condiția b ≥ c este îndeplinită, se poate scrie (a + b) - c = a + (b - c) .
Pentru a ≥ c și b ≥ c, ambele egalități pot fi rescrise ca (a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) .
Proprietatea de a scădea un număr natural din suma a trei sau mai multe numere este formulată similar și decurge din proprietatea de a scădea un număr din suma a două numere.
Luați în considerare un exemplu.
Exemplu. Scăderea unui număr dintr-o sumă
a , b , c , d sunt niște numere naturale.
Dacă a ≥ d atunci a + b + c - d = (a - d) + b + c .
Dacă b ≥ d atunci a + b + c - d = a + (b - d) + c .
Dacă c ≥ d atunci a + b + c - d = a + b + (c - d) .
Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter
Asa de, în caz general scăderea numerelor naturale NU are proprietatea comutativă. Să scriem această afirmație cu litere. Dacă a și b sunt numere naturale inegale, atunci a−b≠b−a. De exemplu, 45−21≠21−45 .
Proprietatea de a scădea suma a două numere dintr-un număr natural.
Următoarea proprietate este legată de scăderea sumei a două numere dintr-un număr natural. Să ne uităm la un exemplu care ne va oferi o înțelegere a acestei proprietăți.
Imaginează-ți că avem 7 monede în mâini. Ne hotărâm mai întâi să păstrăm 2 monede, dar crezând că acest lucru nu va fi suficient, decidem să mai economisim o monedă. Pe baza semnificației adunării numerelor naturale, se poate argumenta că în acest caz am decis să salvăm numărul de monede, care este determinat de suma 2 + 1. Deci, luăm două monede, le adăugăm o altă monedă și le punem într-o pușculiță. În acest caz, numărul de monede rămase în mâinile noastre este determinat de diferența 7−(2+1) .
Acum să ne imaginăm că avem 7 monede și punem 2 monede în pușculiță, iar după aceea - o altă monedă. Din punct de vedere matematic, acest proces este descris prin următoarea expresie numerică: (7−2)−1 .
Dacă numărăm monedele care rămân în mâini, atunci în primul și al doilea caz avem 4 monede. Adică 7−(2+1)=4 și (7−2)−1=4 , deci 7−(2+1)=(7−2)−1 .
Exemplul luat în considerare ne permite să formulăm proprietatea de a scădea suma a două numere dintr-un număr natural dat. A scădea dintr-un număr natural dat o sumă dată a două numere naturale este același lucru cu scăderea primului termen al acestei sume dintr-un număr natural dat și apoi scăderea celui de-al doilea termen din diferența rezultată.
Amintiți-vă că am dat sens scăderii numerelor naturale numai în cazul în care minuendul este mai mare decât subtraend sau egal cu acesta. Prin urmare, putem scădea o sumă dată dintr-un număr natural dat numai dacă această sumă nu este mai mare decât numărul natural care se reduce. Rețineți că în această condiție, fiecare dintre termeni nu depășește numărul natural din care se scade suma.
Folosind litere, proprietatea de a scădea suma a două numere dintr-un număr natural dat se scrie ca o egalitate a−(b+c)=(a−b)−c, unde a , b și c sunt niște numere naturale, iar condițiile a>b+c sau a=b+c sunt îndeplinite.
Proprietatea luată în considerare, precum și proprietatea asociativă de adunare a numerelor naturale, vă permit să scădeți suma a trei sau mai multe numere dintr-un număr natural dat.
Proprietatea de a scădea un număr natural din suma a două numere.
Trecem la următoarea proprietate, care este legată de scăderea unui număr natural dat dintr-o sumă dată a două numere naturale. Luați în considerare exemple care ne vor ajuta să „vedem” această proprietate de a scădea un număr natural din suma a două numere.
Să presupunem că avem 3 bomboane în primul buzunar și 5 bomboane în al doilea și trebuie să dăm 2 bomboane. O putem face căi diferite. Să le luăm pe rând.
Mai întâi, putem pune toate bomboanele într-un buzunar, apoi scoatem 2 bomboane de acolo și le dăm. Să descriem aceste acțiuni matematic. După ce punem bomboanele într-un buzunar, numărul lor va fi determinat de suma 3 + 5. Acum, din numărul total de bomboane, vom oferi 2 bomboane, în timp ce numărul rămas de bomboane pe care îl avem va fi determinat de următoarea diferență (3+5)−2 .
În al doilea rând, putem da 2 bomboane scoțându-le din primul buzunar. În acest caz, diferența 3−2 determină numărul de bomboane rămase în primul buzunar, iar numărul total de bomboane rămase va fi determinat de suma (3−2)+5 .
În al treilea rând, putem oferi 2 bomboane din al doilea buzunar. Apoi diferența 5−2 va corespunde numărului de bomboane rămase în al doilea buzunar, iar numărul total de bomboane rămase va fi determinat de suma 3+(5−2) .
Este clar că în toate cazurile vom avea acelasi numar bomboane. Prin urmare, egalitățile (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) sunt adevărate.
Dacă ar trebui să dăm nu 2, ci 4 bomboane, atunci am putea face asta în două moduri. Mai întâi, dă 4 bomboane, punându-le anterior pe toate într-un buzunar. În acest caz, numărul rămas de dulciuri este determinat de o expresie ca (3+5)−4 . În al doilea rând, am putea da 4 bomboane din al doilea buzunar. În acest caz, numărul total de bomboane dă următoarea sumă 3+(5−4) . Este clar că în primul și al doilea caz vom avea același număr de dulciuri, prin urmare, egalitatea (3+5)−4=3+(5−4) este adevărată.
După analizarea rezultatelor obținute în rezolvarea exemplelor anterioare, putem formula proprietatea de a scădea un număr natural dat dintr-o sumă dată de două numere. Scăderea unui număr natural dat dintr-o sumă dată de două numere este la fel cu scăderea unui număr dat dintr-unul dintre termeni și apoi adăugarea diferenței rezultate și a unui alt termen. Trebuie remarcat faptul că numărul scăzut NU trebuie să fie mai mare decât termenul din care se scade acest număr.
Să scriem proprietatea de a scădea un număr natural dintr-o sumă folosind litere. Fie a, b și c niște numere naturale. Atunci, cu condiția ca a să fie mai mare sau egal cu c, atunci egalitatea (a+b)−c=(a−c)+b, iar cu condiția ca b este mai mare sau egal cu c , egalitatea (a+b)−c=a+(b−c). Dacă ambele a și b sunt mai mari sau egale cu c, atunci ambele ultime egalități sunt adevărate și pot fi scrise după cum urmează: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
Prin analogie, se poate formula proprietatea de a scădea un număr natural din suma a trei și Mai mult numerele. În acest caz, acest număr natural poate fi scăzut din orice termen (desigur, dacă este mai mare sau egal cu numărul care se scade), iar termenii rămași pot fi adăugați la diferența rezultată.
Pentru a vizualiza proprietatea vocală, ne putem imagina că avem multe buzunare și conțin dulciuri. Să presupunem că trebuie să dăm 1 bomboană. Este clar că putem da 1 bomboană din orice buzunar. În același timp, nu contează din ce buzunar îl dăm, deoarece acest lucru nu afectează numărul de dulciuri care ne-au rămas.
Să luăm un exemplu. Fie a , b , c și d niște numere naturale. Dacă a>d sau a=d , atunci diferența (a+b+c)−d este egală cu suma lui (a−d)+b+c . Dacă b>d sau b=d , atunci (a+b+c)−d=a+(b−d)+c . Dacă c>d sau c=d , atunci egalitatea (a+b+c)−d=a+b+(c−d) este adevărată.
Trebuie remarcat că proprietatea de a scădea un număr natural din suma a trei sau mai multe numere nu este o proprietate nouă, deoarece rezultă din proprietățile adunării numerelor naturale și proprietatea de a scădea un număr din suma a două numere.
Bibliografie.
- Matematica. Orice manuale pentru clasele 1, 2, 3, 4 ale instituțiilor de învățământ.
- Matematica. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.
