X 3 0 Rezolvați ecuația. Diverse metode de rezolvare a ecuațiilor. Cum se rezolvă o ecuație pătratică

a rezolva matematica. Găsiți repede rezolvarea unei ecuații matematiceîn mod pe net... Site-ul www.site permite rezolva ecuația aproape orice dat algebric, trigonometric sau ecuație transcendentală online... Când studiezi aproape orice ramură a matematicii în diferite etape, trebuie să rezolvi ecuații online... Pentru a obține un răspuns imediat și, cel mai important, un răspuns exact, aveți nevoie de o resursă care vă permite să faceți acest lucru. Multumesc site-ului www.site rezolvarea de ecuații online va dura câteva minute. Principalul avantaj al www.site-ului în rezolvarea matematicii ecuații online este viteza și acuratețea răspunsului dat. Site-ul este capabil să rezolve orice ecuații algebrice online, ecuații trigonometrice online, ecuații transcendentale online, precum și ecuații cu parametri necunoscuți în modul pe net. Ecuații servesc ca un puternic aparat matematic solutii sarcini practice. Cu ajutor ecuatii matematice poți exprima fapte și relații care pot părea confuze și complexe la prima vedere. Cantitati necunoscute ecuații poate fi găsit prin formularea problemei pe matematic limba în formă ecuațiiși decide sarcina primită în modul pe net pe site-ul www.site. Orice ecuație algebrică, ecuație trigonometrică sau ecuații conținând transcendental vă funcționează cu ușurință decide online și obțineți răspunsul exact. Studiind științele naturii, inevitabil dai peste nevoia rezolvarea ecuatiilor... În acest caz, răspunsul trebuie să fie corect și trebuie primit imediat în modul pe net... Prin urmare pentru rezolvarea ecuațiilor matematice online vă recomandăm site-ul www.site, care va deveni calculatorul dumneavoastră de neînlocuit pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice online, ecuații trigonometrice online, precum și ecuații transcendentale online sau ecuații cu parametri necunoscuți. Pentru sarcini practice de găsire a rădăcinilor diverselor ecuatii matematice resursa www .. Prin rezolvare ecuații online pe cont propriu, este util să verificați răspunsul primit folosind rezolvarea de ecuații online pe site-ul www.site. Este necesar să scrieți corect ecuația și să obțineți instantaneu soluție online, după care rămâne doar să comparăm răspunsul cu soluția ta la ecuație. Va dura mai puțin de un minut pentru a verifica răspunsul, suficient rezolva ecuația onlineși comparați răspunsurile. Acest lucru vă va ajuta să evitați greșelile în decizia si corecteaza raspunsul la timp pentru rezolvarea de ecuații online dacă algebric, trigonometric, transcendental sau ecuația cu parametri necunoscuți.

Ecuațiile cuadratice sunt studiate în clasa a 8-a, așa că nu este nimic dificil aici. Capacitatea de a le rezolva este absolut esențială.

O ecuație pătratică este o ecuație de forma ax 2 + bx + c = 0, unde coeficienții a, b și c sunt numere arbitrare și a ≠ 0.

Înainte de a studia metode specifice de rezolvare, observăm că toate ecuațiile pătratice pot fi împărțite condiționat în trei clase:

1. Nu au rădăcini;
2. Au exact o rădăcină;
3. Au două rădăcini distincte.

Aceasta este o diferență importantă între ecuațiile pătratice și liniare, unde rădăcina există întotdeauna și este unică. Cum se stabilește câte rădăcini are o ecuație? Există un lucru minunat pentru asta - discriminant.

discriminant

Să fie dată o ecuație pătratică ax 2 + bx + c = 0. Atunci discriminantul este doar numărul D = b 2 - 4ac.

Trebuie să știi această formulă pe de rost. De unde vine - nu contează acum. Un alt lucru este important: prin semnul discriminantului, puteți determina câte rădăcini are o ecuație pătratică. Și anume:

1. Daca D< 0, корней нет;
2. Dacă D = 0, există exact o rădăcină;
3. Dacă D> 0, vor exista două rădăcini.

Vă rugăm să rețineți: discriminantul indică numărul de rădăcini și deloc semnele acestora, așa cum cred mulți din anumite motive. Aruncă o privire la exemple - și tu însuți vei înțelege totul:

Sarcină. Câte rădăcini au ecuațiile pătratice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Să notăm coeficienții pentru prima ecuație și să găsim discriminantul:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Deci discriminantul este pozitiv, deci ecuația are două rădăcini diferite. Analizăm a doua ecuație într-un mod similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Ultima ecuație rămâne:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Discriminantul este zero - va exista o singură rădăcină.

Rețineți că s-au scris coeficienți pentru fiecare ecuație. Da, este lung, da, este plictisitor - dar nu vei amesteca coeficienții și nu vei face greșeli stupide. Alegeți singuri: viteza sau calitatea.

Apropo, dacă vă „umpleți mâna”, după un timp nu va mai fi nevoie să scrieți toți coeficienții. Vei efectua astfel de operații în capul tău. Majoritatea oamenilor încep să facă asta undeva după ce 50-70 de ecuații sunt rezolvate - în general, nu atât de mult.

Rădăcinile pătratice

Acum să trecem la soluție. Dacă discriminantul D> 0, rădăcinile pot fi găsite prin formulele:

Formula de bază pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Când D = 0, puteți folosi oricare dintre aceste formule - obțineți același număr, care va fi răspunsul. În sfârșit, dacă D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Prima ecuație:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ ecuația are două rădăcini. Să le găsim:

A doua ecuație:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ ecuația are din nou două rădăcini. Gaseste-i

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ stânga (-1 \ dreapta)) = 3. \\ \ sfârşitul (alinierea) \]

În sfârșit, a treia ecuație:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ ecuația are o rădăcină. Se poate folosi orice formulă. De exemplu, primul:

După cum puteți vedea din exemple, totul este foarte simplu. Dacă știi formulele și poți număra, nu vor fi probleme. Cel mai adesea, erorile apar la înlocuirea coeficienților negativi în formulă. Aici, din nou, tehnica descrisă mai sus vă va ajuta: priviți formula literal, descrieți fiecare pas - și foarte curând veți scăpa de greșeli.

Ecuații patratice incomplete

Se întâmplă ca ecuația pătratică să fie oarecum diferită de ceea ce este dat în definiție. De exemplu:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Este ușor de observat că unul dintre termeni lipsește din aceste ecuații. Astfel de ecuații pătratice sunt chiar mai ușor de rezolvat decât cele standard: nici măcar nu trebuie să calculeze discriminantul. Deci, să introducem un nou concept:

Ecuația ax 2 + bx + c = 0 se numește ecuație pătratică incompletă dacă b = 0 sau c = 0, adică. coeficientul la variabila x sau elementul liber este egal cu zero.

Desigur, un caz foarte dificil este posibil când ambii acești coeficienți sunt egali cu zero: b = c = 0. În acest caz, ecuația ia forma ax 2 = 0. Evident, o astfel de ecuație are o singură rădăcină: x = 0.

Să luăm în considerare restul cazurilor. Fie b = 0, atunci obținem o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0. Să o transformăm puțin:

Deoarece rădăcina pătrată aritmetică există doar dintr-un număr nenegativ, ultima egalitate are sens doar pentru (−c / a) ≥ 0. Concluzie:

1. Dacă inegalitatea (−c / a) ≥ 0 este valabilă într-o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 + c = 0, vor exista două rădăcini. Formula este dată mai sus;
2. Dacă (−c / a)< 0, корней нет.

După cum puteți vedea, discriminantul nu a fost necesar - în ecuațiile pătratice incomplete nu există deloc calcule complicate. De fapt, nici măcar nu este necesar să ne amintim inegalitatea (−c / a) ≥ 0. Este suficient să exprimăm valoarea x 2 și să vedem ce stă de cealaltă parte a semnului egal. Dacă există un număr pozitiv, vor exista două rădăcini. Dacă este negativ, nu vor exista deloc rădăcini.

Acum să ne ocupăm de ecuații de forma ax 2 + bx = 0, în care elementul liber este egal cu zero. Totul este simplu aici: vor exista întotdeauna două rădăcini. Este suficient să factorizezi polinomul:

Bracketing un factor comun

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero. De aici sunt rădăcinile. În concluzie, vom analiza mai multe astfel de ecuații:

Sarcină. Rezolvarea ecuațiilor pătratice:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nu există rădăcini, tk. un pătrat nu poate fi egal cu un număr negativ.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Să ne amintim principalele proprietăți ale gradului. Fie a> 0, b> 0, n, m orice numere reale. Atunci
1) a n a m = a n + m

2) \ (\ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \ (\ stânga (\ frac (a) (b) \ dreapta) ^ n = \ frac (a ^ n) (b ^ n) \)

7) a n> 1 dacă a> 1, n> 0

8) a n 1, n
9) a n> a m, dacă 0

În practică, funcțiile de forma y = a x sunt adesea folosite, unde a este un număr pozitiv dat, x este o variabilă. Astfel de funcții sunt numite indicativ... Acest nume se explică prin faptul că argumentul funcției exponențiale este exponentul, iar baza exponentului este un număr dat.

Definiție. O funcție exponențială este o funcție de forma y = a x, unde a este un număr dat, a> 0, \ (a \ neq 1 \)

Funcția exponențială are următoarele proprietăți

1) Domeniul funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor reale.
Această proprietate rezultă din faptul că gradul a x unde a> 0 este definit pentru toate numerele reale x.

2) Setul de valori ale funcției exponențiale este mulțimea tuturor numerelor pozitive.
Pentru a verifica acest lucru, este necesar să arătăm că ecuația ax = b, unde a> 0, \ (a \ neq 1 \), nu are rădăcini dacă \ (b \ leq 0 \) și are o rădăcină pentru orice b > 0...

3) Funcția exponențială y = a x crește pe mulțimea tuturor numerelor reale dacă a> 1 și descrește dacă 0. Aceasta rezultă din proprietățile gradului (8) și (9)

Să construim graficele funcțiilor exponențiale y = ax pentru a> 0 și pentru 0 Folosind proprietățile considerate, observăm că graficul funcției y = ax pentru a> 0 trece prin punctul (0; 1) și este situat deasupra axei Ox.
Dacă x este 0.
Dacă x> 0 și | x | crește, apoi graficul crește rapid.

Graficul funcției y = a x la 0 Dacă x> 0 și crește, atunci graficul se apropie rapid de axa Ox (fără a o traversa). Astfel, axa Ox este asimptota orizontală a graficului.
Dacă x

Ecuații exponențiale

Luați în considerare câteva exemple de ecuații exponențiale, de ex. ecuații în care necunoscutul este conținut în exponent. Soluția ecuațiilor exponențiale este adesea redusă la rezolvarea ecuației a x = a b unde a> 0, \ (a \ neq 1 \), x este o necunoscută. Această ecuație se rezolvă folosind proprietatea gradului: grade cu aceeași bază a> 0, \ (a \ neq 1 \) sunt egale dacă și numai dacă exponenții lor sunt egali.

Rezolvați ecuația 2 3x 3 x = 576
Deoarece 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, ecuația poate fi scrisă sub forma 8 x 3 x = 24 2, sau sub forma 24 x = 24 2, de unde x = 2.
Răspuns x = 2

Rezolvați ecuația 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Luând factorul comun 3 x - 2 din parantezele din stânga, obținem 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
de unde 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Răspuns x = 2

Rezolvați ecuația 3x = 7x
Deoarece \ (7 ^ x \ neq 0 \), ecuația poate fi scrisă sub forma \ (\ frac (3 ^ x) (7 ^ x) = 1 \), de unde \ (\ left (\ frac (3)) ( 7) \ dreapta) ^ x = 1 \), x = 0
Răspuns x = 0

Rezolvați ecuația 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Prin înlocuirea 3 x = t această ecuație se reduce la ecuația pătratică t 2 - 4t - 45 = 0. Rezolvând această ecuație, găsim rădăcinile ei: t 1 = 9, t 2 = -5, de unde 3 x = 9, 3 x = -5 ...
Ecuația 3 x = 9 are rădăcină x = 2, iar ecuația 3 x = -5 nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială nu poate lua valori negative.
Răspuns x = 2

Rezolvați ecuația 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Scriem ecuația sub forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, de unde
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\ (\ stânga (\ frac (2) (5) \ dreapta) ^ (x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Răspuns x = 2

Rezolvați ecuația 3 | x - 1 | = 3 | x + 3 |
Deoarece 3> 0, \ (3 \ neq 1 \), ecuația inițială este echivalentă cu ecuația | x-1 | = | x + 3 |
Punând la pătrat această ecuație, obținem corolarul ei (x - 1) 2 = (x + 3) 2, de unde
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Verificarea arată că x = -1 este rădăcina ecuației originale.
Răspuns x = -1

Vă oferim un gratuit convenabil calculator online pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice. Puteți obține și înțelege rapid cum sunt rezolvate folosind exemple clare.
A produce rezolvarea unei ecuații pătratice online, mai întâi aduceți ecuația la forma sa generală:
ax 2 + bx + c = 0
Completați câmpurile formularului corespunzător:

Cum se rezolvă o ecuație pătratică

Cum se rezolvă o ecuație pătratică:	Tipuri de rădăcină:
1. Aduceți ecuația pătratică într-o formă generală: Vedere generală Аx 2 + Bx + C = 0 Exemplu: 3x - 2x 2 + 1 = -1 Aduceți la -2x 2 + 3x + 2 = 0 2. Găsiți discriminantul D. D = B 2 -4 * A * C. Pentru exemplul nostru, D = 9- (4 * (- 2) * 2) = 9 + 16 = 25. 3. Găsiți rădăcinile ecuației. x1 = (- B + D 1/2) / 2A. Pentru cazul nostru, x1 = (- 3 + 5) / (- 4) = - 0,5 x2 = (- B-D 1/2) / 2A. Pentru exemplul nostru, x2 = (- 3-5) / (- 4) = 2 Dacă B este un număr par, atunci discriminantul și rădăcinile sunt mai convenabile de calculat prin formulele: D = K2-ac x1 = (- K + D 1/2) / A x2 = (- K-D 1/2) / A, Unde K = B / 2	1. Rădăcini valide. În plus. x1 nu este egal cu x2 Situația apare când D> 0 și A nu este egal cu 0. 2. Rădăcinile valide sunt aceleași. x1 este egal cu x2 Situația apare când D = 0. Cu toate acestea, în acest caz, nici A, nici B, nici C nu ar trebui să fie egal cu 0. 3. Două rădăcini complexe. x1 = d + ei, x2 = d-ei, unde i = - (1) 1/2 Situația apare când D 4. Ecuația are o singură soluție. A = 0, B și C nu sunt egale cu zero. Ecuația devine liniară. 5. Ecuația are nenumărate soluții. A = 0, B = 0, C = 0. 6. Ecuația nu are soluții. A = 0, B = 0, C nu este 0.

Pentru a consolida algoritmul, iată mai multe exemple ilustrative de soluții ale ecuațiilor pătratice.

Exemplul 1. Rezolvarea unei ecuații pătratice obișnuite cu diferite rădăcini reale.
x 2 + 3x -10 = 0
În această ecuație
A = 1, B = 3, C = -10
D = B 2 -4 * A * C = 9-4 * 1 * (- 10) = 9 + 40 = 49
rădăcina pătrată se va nota cu numărul 1/2!
x1 = (- B + D 1/2) / 2A = (-3 + 7) / 2 = 2
x2 = (- B-D 1/2) / 2A = (-3-7) / 2 = -5

Pentru a verifica, înlocuim:
(x-2) * (x + 5) = x2 -2x + 5x - 10 = x2 + 3x -10

Exemplul 2. Rezolvarea unei ecuații pătratice cu coincidența rădăcinilor reale.
x 2 - 8x + 16 = 0
A = 1, B = -8, C = 16
D = k 2 - AC = 16 - 16 = 0
X = -k / A = 4

Substitui
(x-4) * (x-4) = (x-4) 2 = X 2 - 8x + 16

Exemplul 3. Rezolvarea unei ecuații pătratice cu rădăcini complexe.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A = 1, B = -4, C = 9
D = b 2 - 4AC = 16 - 4 * 13 * 1 = 16 - 52 = -36
Discriminantul este negativ - rădăcinile sunt complexe.

X1 = (- B + D 1/2) / 2A = (4 + 6i) / (2 * 13) = 2/13 + 3i / 13
x2 = (- B-D 1/2) / 2A = (4-6i) / (2 * 13) = 2 / 13-3i / 13
unde I este rădăcina pătrată a lui -1

Acestea sunt de fapt toate cazurile posibile de rezolvare a ecuațiilor pătratice.
Sperăm că noastre calculator online se va dovedi a fi de mare folos pentru tine.
Dacă materialul a fost de ajutor, puteți

Să luăm în considerare două tipuri de soluții ale sistemelor de ecuații:

1. Rezolvarea sistemului prin metoda substituției.
2. Rezolvarea sistemului prin adunarea (scăderea) termen cu termen a ecuațiilor sistemului.

Pentru a rezolva sistemul de ecuaţii metoda de substitutie trebuie să urmați un algoritm simplu:
1. Ne exprimăm. Exprimați o variabilă din orice ecuație.
2. Înlocuitor. Inlocuim valoarea obtinuta intr-o alta ecuatie in locul variabilei exprimate.
3. Rezolvăm ecuația rezultată cu o variabilă. Găsim o soluție la sistem.

A rezolva sistem prin adunare (scădere) termen cu termen trebuie sa:
1.Alegeți o variabilă pentru care vom face aceiași coeficienți.
2. Adunăm sau scădem ecuații, în final obținem o ecuație cu o variabilă.
3. Rezolvați ecuația liniară rezultată. Găsim o soluție la sistem.

Soluția sistemului este punctele de intersecție ale graficelor funcției.

Să luăm în considerare în detaliu soluția sistemelor folosind exemple.

Exemplul # 1:

Să rezolvăm prin metoda substituției

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda substituției

2x + 5y = 1 (1 ecuație)
x-10y = 3 (ecuația 2)

1. Ne exprimăm
Se poate observa că în cea de-a doua ecuație există o variabilă x cu coeficientul 1, din care rezultă că este cel mai ușor să exprimăm variabila x din a doua ecuație.
x = 3 + 10y

2. După ce am exprimat, înlocuim 3 + 10y în prima ecuație în locul variabilei x.
2 (3 + 10y) + 5y = 1

3. Rezolvați ecuația rezultată într-o variabilă.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (extindeți parantezele)
6 + 20y + 5y = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0,2

Soluția sistemului de ecuații este punctele de intersecție ale graficelor, de aceea trebuie să găsim x și y, deoarece punctul de intersecție este format din x și y. Găsiți x, în primul paragraf unde am exprimat acolo înlocuim y.
x = 3 + 10y
x = 3 + 10 * (- 0,2) = 1

Se obișnuiește să scriem puncte în primul rând scriem variabila x, iar în al doilea variabila y.
Răspuns: (1; -0,2)

Exemplul # 2:

Să rezolvăm prin metoda adunării (scăderii) termen cu termen.

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda adunării

3x-2y = 1 (1 ecuație)
2x-3y = -10 (ecuația 2)

1. Alegeți o variabilă, să spunem, alegeți x. În prima ecuație, variabila x are un coeficient de 3, în a doua 2. Este necesar să facem coeficienții la fel, pentru aceasta avem dreptul să înmulțim ecuațiile sau să împărțim cu orice număr. Prima ecuație este înmulțită cu 2, iar a doua cu 3 și obținem un factor total de 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30

2. Scădeți a doua din prima ecuație pentru a scăpa de variabila x. Rezolvați ecuația liniară.
__6x-4y = 2

5y = 32 | :5
y = 6,4

3. Găsiți x. Înlocuiți y găsit în oricare dintre ecuații, să spunem în prima ecuație.
3x-2y = 1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Punctul de intersecție va fi x = 4,6; y = 6,4
Răspuns: (4,6; 6,4)

Vrei să studiezi pentru examene gratis? Tutor online este gratuit... Fara gluma.