Funcție pară sau impară. Funcții pare și impare

O funcție se numește par (impar) dacă pentru oricare și egalitatea

.

Graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa
.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Exemplul 6.2. Examinați funcțiile pare sau impare

1)
; 2)
; 3)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită cu
. Sa gasim
.

Acestea.
. Mijloace, funcţie dată este chiar.

2) Funcția este definită pentru

Acestea.
. Astfel, această funcție este impară.

3) funcția este definită pentru , i.e. pentru

,
. Prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară. Să o numim o funcție generală.

3. Investigarea unei funcţii pentru monotonitate.

Funcţie
se numește crescător (descrescător) pe un anumit interval, dacă în acest interval fiecare valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mari (mai mici) a funcției.

Funcțiile care cresc (descresc) pe un anumit interval sunt numite monotone.

Dacă funcţia
diferențiabilă pe interval
și are o derivată pozitivă (negativă).
, apoi funcția
crește (descrește) în acest interval.

Exemplul 6.3. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor

1)
; 3)
.

Soluţie.

1) Această funcție este definită pe toată axa numerelor. Să găsim derivata.

Derivata este zero daca
Și
. Domeniu de definire - axa numerică, împărțită la puncte
,
pentru intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval.

În interval
derivata este negativa, functia scade pe acest interval.

În interval
derivata este pozitivă, prin urmare, funcția este în creștere pe acest interval.

2) Această funcție este definită dacă
sau

.

Determinăm semnul trinomului pătrat în fiecare interval.

Astfel, domeniul de aplicare al funcției

Să găsim derivata
,
, dacă
, adică
, dar
. Să determinăm semnul derivatei în intervale
.

În interval
derivata este negativă, prin urmare, funcția scade pe interval
. În interval
derivata este pozitiva, functia creste pe interval
.

4. Investigarea unei funcții pentru un extremum.

Punct
se numește punctul maxim (minim) al funcției
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului asta pentru toata lumea
acest cartier satisface inegalitatea

.

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme.

Dacă funcţia
la punct are un extremum, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero sau nu există (o condiție necesară pentru existența unui extremum).

Punctele în care derivata este egală cu zero sau nu există sunt numite critice.

5. Condiții suficiente pentru existența unui extremum.

Regula 1. Dacă în timpul trecerii (de la stânga la dreapta) prin punctul critic derivat
schimbă semnul din „+” în „-”, apoi la punctul funcţie
are un maxim; dacă de la „-” la „+”, atunci minimul; dacă
nu schimbă semnul, atunci nu există extremum.

Regula 2. Lasă la punct
derivata prima a functiei
zero
, iar derivata a doua există și este diferită de zero. Dacă
, apoi este punctul maxim, dacă
, apoi este punctul minim al funcției.

Exemplu 6.4 . Explorați funcțiile maxime și minime:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită și continuă pe interval
.

Să găsim derivata
și rezolvați ecuația
, adică
.de aici
sunt puncte critice.

Să determinăm semnul derivatei în intervalele ,
.

La trecerea prin puncte
Și
derivata își schimbă semnul din „–” în „+”, prin urmare, conform regulii 1
sunt punctele minime.

La trecerea printr-un punct
derivata schimbă semnul de la „+” la „-”, deci
este punctul maxim.

,
.

2) Funcția este definită și continuă în interval
. Să găsim derivata
.

Prin rezolvarea ecuației
, găsi
Și
sunt puncte critice. Dacă numitorul
, adică
, atunci derivata nu există. Asa de,
este al treilea punct critic. Să determinăm semnul derivatei în intervale.

Prin urmare, funcția are un minim la punct
, maxim la puncte
Și
.

3) O funcție este definită și continuă dacă
, adică la
.

Să găsim derivata

.

Să găsim punctele critice:

Vecinătăți de puncte
nu aparțin domeniului definiției, deci nu sunt extremum t. Deci haideți să explorăm punctele critice
Și
.

4) Funcția este definită și continuă pe interval
. Folosim regula 2. Aflați derivata
.

Să găsim punctele critice:

Să găsim derivata a doua
și determinați-i semnul la puncte

La puncte
funcția are un minim.

La puncte
funcția are un maxim.

Graficele funcțiilor pare și impare au următoarele caracteristici:

Dacă o funcție este pară, atunci graficul ei este simetric față de axa y. Dacă o funcție este impară, atunci graficul ei este simetric față de origine.

Exemplu. Trasează funcția \(y=\left|x \right|\).

Soluţie. Luați în considerare funcția: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) și înlocuiți \(x \) cu opusul \(-x \). Ca rezultat al transformărilor simple, obținem: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ În cu alte cuvinte, dacă înlocuiți argumentul cu semnul opus, funcția nu se va schimba.

Aceasta înseamnă că această funcție este pară, iar graficul ei va fi simetric față de axa y (axa verticală). Graficul acestei funcții este prezentat în figura din stânga. Aceasta înseamnă că atunci când trasați un grafic, puteți desena doar jumătate, iar a doua parte (la stânga axei verticale, desenați deja simetric în partea dreaptă). Prin determinarea simetriei unei funcții înainte de a începe reprezentarea graficului acesteia, puteți simplifica foarte mult procesul de construire sau studiere a unei funcții. Dacă este dificil să efectuați o verificare într-o formă generală, o puteți face mai ușor: înlocuiți în ecuație aceleasi valori semne diferite. De exemplu -5 și 5. Dacă valorile funcției sunt aceleași, atunci putem spera că funcția va fi egală. Din punct de vedere matematic, această abordare nu este în întregime corectă, dar din punct de vedere practic, este convenabilă. Pentru a crește fiabilitatea rezultatului, puteți înlocui mai multe perechi de astfel de valori opuse.

Exemplu. Trasează funcția \(y=x\left|x \right|\).

Soluţie. Să verificăm la fel ca în exemplul anterior: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right) ) $$ Aceasta înseamnă că funcția inițială este impară (semnul funcției este inversat).

Concluzie: funcția este simetrică față de origine. Puteți construi doar o jumătate, iar cealaltă jumătate poate fi desenată simetric. Această simetrie este mai dificil de desenat. Aceasta înseamnă că te uiți la diagramă de pe cealaltă parte a foii și chiar te întorci cu susul în jos. Și puteți face și acest lucru: luați partea desenată și rotiți-o în jurul originii cu 180 de grade în sens invers acelor de ceasornic.

Exemplu. Trasează funcția \(y=x^3+x^2\).

Soluţie. Să efectuăm aceeași verificare a schimbării semnului ca în cele două exemple anterioare. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Ceea ce înseamnă că funcția nu este nici pară, nici impară .

Concluzie: funcția nu este simetrică nici față de origine, nici față de centrul sistemului de coordonate. Acest lucru s-a întâmplat deoarece este suma a două funcții: par și impar. Aceeași situație va fi dacă scădeți două diferite funcții. Dar înmulțirea sau împărțirea va duce la un rezultat diferit. De exemplu, produsul dintre o funcție pare și o funcție impară dă una impar. Sau câtul a două impar duce la o funcție pară.

Inapoi inainte

Atenţie! previzualizare diapozitivele au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• pentru a forma conceptul de funcții pare și impare, pentru a preda abilitatea de a determina și utiliza aceste proprietăți când cercetarea funcţiei, complot;
• să dezvolte activitatea creativă a elevilor, gandire logica, capacitatea de a compara, de a generaliza;
• a cultiva hărnicia, cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Clasa de algebră 9 A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră Clasa 9 A.G. Mordkovich. Caiet de sarcini.
3. Algebră clasa a 9-a. Sarcini de învățare și dezvoltare a elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

ÎN CURILE CLASURILOR

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (Cartea cu probleme clasa a IX-a A.G. Mordkovich).

dar) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pentru X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la angajare = - 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit algoritmul de explorare a caracteristicilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat pe diapozitiv.

Umple tabelul
	Domeniu	Zerourile funcției	Intervale de constanță		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizare de cunoștințe

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de definiție pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și - 2.
– Pentru care dintre funcțiile date în domeniul definiției sunt egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pune datele în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafice	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită.

4. material nou

– Performant acest lucru, băieți, am dezvăluit încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru voi, dar nu mai puțin importantă decât restul - aceasta este funcția pară și impară. Scrieți subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm cum să determinăm funcțiile pare și impare, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și al trasării.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. unu Funcţie la = f (X) definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X în curs egalitatea f (–x) = f (x). Dă exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este satisfăcută. Dă exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n este un întreg, se poate argumenta că funcția este impară pentru n este impar și funcția este pară pentru n- chiar.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu este nici par, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt îndeplinite f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul întrebării dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

Definițiile 1 și 2 s-au ocupat de valorile funcției la x și - x, astfel încât se presupune că funcția este definită și la valoarea X, și la - X.

AOD 3. Dacă o mulțime de numere împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus x, atunci mulțimea X se numeste multime simetrica.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt nesimetrice.

- Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție - o mulțime simetrică? Cele ciudate?
- Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) este par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Dar este adevărat invers, dacă domeniul unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
- Deci prezența unei mulțimi simetrice a domeniului definiției este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum putem investiga funcția pentru paritate? Să încercăm să scriem un algoritm.

Slide

Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, mergeți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).Și f(X):

• dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
• dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
• dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Investigați funcția pentru paritate a) la= x 5 +; b) la= ; în) la= .

Soluţie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), mulțime asimetrică, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

în) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

dar); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toți X, îndeplinind condiția X? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toate x care satisface x? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

*** (Atribuirea opțiunii USE).

1. Funcția impară y \u003d f (x) este definită pe întreaga linie reală. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

chiar, dacă pentru toate \(x\) din domeniul său este adevărată: \(f(-x)=f(x)\) .

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa \(y\):

Exemplu: funcția \(f(x)=x^2+\cos x\) este pară, deoarece \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Se apelează funcția \(f(x)\). ciudat, dacă pentru toate \(x\) din domeniul său este adevărată: \(f(-x)=-f(x)\) .

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine:

Exemplu: funcția \(f(x)=x^3+x\) este impară deoarece \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funcțiile care nu sunt nici pare, nici impare se numesc funcții vedere generala. O astfel de funcție poate fi întotdeauna reprezentată în mod unic ca sumă a unei funcții par și impare.

De exemplu, funcția \(f(x)=x^2-x\) este suma unei funcții pare \(f_1=x^2\) și a unei funcții impare \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Unele proprietăți:

1) Produsul și câtul a două funcții cu aceeași paritate - chiar funcția.

2) Produsul și câtul a două funcții de paritate diferită - funcţie impară.

3) Suma și diferența funcțiilor pare este o funcție pare.

4) Suma și diferența funcțiilor impare este o funcție impară.

5) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară, atunci ecuația \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) are o rădăcină unică dacă și numai dacă, când \(x =0\) .

6) Dacă \(f(x)\) este o funcție pară sau impară, iar ecuația \(f(x)=0\) are o rădăcină \(x=b\) , atunci această ecuație va avea în mod necesar o a doua rădăcină \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) O funcție \(f(x)\) se numește periodică pe \(X\) dacă pentru un număr \(T\ne 0\) avem \(f(x)=f(x+). T) \) , unde \(x, x+T\in X\) . Cea mai mică \(T\) , pentru care această egalitate este valabilă, se numește perioada principală (de bază) a funcției.

O funcție periodică are orice număr de forma \(nT\) , unde \(n\in \mathbb(Z)\) va fi, de asemenea, o perioadă.

Exemplu: oricare functie trigonometrica este periodică;
funcțiile \(f(x)=\sin x\) și \(f(x)=\cos x\) perioada principala este egal cu \(2\pi\) , perioada principală a funcțiilor \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) și \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x \) este \ (\pi\) .

Pentru a reprezenta o funcție periodică, puteți reprezenta graficul acesteia pe orice segment de lungime \(T\) (perioada principală); apoi graficul întregii funcții este completat prin deplasarea părții construite cu un număr întreg de perioade la dreapta și la stânga:

\(\blacktriangleright\) Domeniul \(D(f)\) al funcției \(f(x)\) este mulțimea formată din toate valorile argumentului \(x\) pentru care funcția are sens (este definit).

Exemplu: funcția \(f(x)=\sqrt x+1\) are un domeniu de definiție: \(x\in

Sarcina 1 #6364

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Pentru ce valori ale parametrului \(a\) ecuația

Are singura decizie?

Rețineți că, deoarece \(x^2\) și \(\cos x\) sunt funcții pare, dacă ecuația are o rădăcină \(x_0\) , va avea și o rădăcină \(-x_0\) .
Într-adevăr, fie \(x_0\) o rădăcină, adică egalitatea \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) dreapta. Înlocuiește \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Astfel, dacă \(x_0\ne 0\) , atunci ecuația va avea deja cel puțin două rădăcini. Prin urmare, \(x_0=0\) . Apoi:

Avem două valori ale parametrilor \(a\). Rețineți că am folosit faptul că \(x=0\) este exact rădăcina ecuației originale. Dar nu am folosit niciodată faptul că el este singurul. Prin urmare, este necesar să înlocuiți valorile rezultate ale parametrului \(a\) în ecuația originală și să verificați pentru care \(a\) rădăcina \(x=0\) va fi într-adevăr unică.

1) Dacă \(a=0\) , atunci ecuația va lua forma \(2x^2=0\) . Evident, această ecuație are o singură rădăcină \(x=0\) . Prin urmare, valoarea \(a=0\) ni se potrivește.

2) Dacă \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , atunci ecuația ia forma \ Rescriem ecuația sub forma \ pentru că \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), apoi \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Prin urmare, valorile părții drepte a ecuației (*) aparțin intervalului \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Deoarece \(x^2\geqslant 0\) , atunci partea stângă a ecuației (*) este mai mare sau egală cu \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Astfel, egalitatea (*) poate fi valabilă numai atunci când ambele părți ale ecuației sunt egale cu \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Și asta înseamnă că \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Prin urmare, valoarea \(a=-\mathrm(tg)\,1\) ni se potrivește.

Răspuns:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Sarcina 2 #3923

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre acestea graficul funcției \

simetric fata de origine.

Dacă graficul unei funcții este simetric față de origine, atunci o astfel de funcție este impară, adică \(f(-x)=-f(x)\) este valabilă pentru orice \(x\) din funcția domeniu. Astfel, este necesar să se găsească acele valori ale parametrilor pentru care \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aliniat)\]

Ultima ecuație trebuie să fie valabilă pentru toate \(x\) din domeniul \(f(x)\), deci \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Răspuns:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Sarcina 3 #3069

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \ are 4 soluții, unde \(f\) este o funcție periodică pară cu perioadă \(T=\dfrac(16)3\) definit pe întreaga linie reală și \(f(x)=ax^2\) pentru \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(sarcină de la abonați)

Deoarece \(f(x)\) este o funcție pară, graficul său este simetric față de axa y, prin urmare, atunci când \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Astfel, la \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), iar acesta este un segment de lungime \(\dfrac(16)3\) , funcția \(f(x)=ax^2\) .

1) Fie \(a>0\) . Apoi graficul funcției \(f(x)\) va arăta astfel:


Atunci, pentru ca ecuația să aibă 4 soluții, este necesar ca graficul \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) să treacă prin punctul \(A\) :


Prin urmare, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(aliniat) \end(adunat)\dreapta. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( adunat)\ corect.\] Deoarece \(a>0\) , atunci \(a=\dfrac(18)(23)\) este în regulă.

2) Fie \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Avem nevoie de graficul \(g(x)\) pentru a trece prin punctul \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aliniat) \end(adunat)\right.\] Din moment ce \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Cazul în care \(a=0\) nu este potrivit, deoarece atunci \(f(x)=0\) pentru toate \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) și The ecuația va avea doar 1 rădăcină.

Răspuns:

\(a\în \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Sarcina 4 #3072

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are cel puțin o rădăcină.

(sarcină de la abonați)

Rescriem ecuația sub forma \ și luați în considerare două funcții: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) și \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funcția \(g(x)\) este pară, are un punct minim \(x=0\) (și \(g(0)=49\) ).
Funcția \(f(x)\) pentru \(x>0\) este descrescătoare, iar pentru \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Într-adevăr, pentru \(x>0\) al doilea modul se extinde pozitiv (\(|x|=x\) ), prin urmare, indiferent de modul în care se extinde primul modul, \(f(x)\) va fi egal cu \ ( kx+A\) , unde \(A\) este o expresie din \(a\) , iar \(k\) este egal cu \(-9\) sau cu \(-3\) . Pentru \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Găsiți valoarea \(f\) în punctul maxim: \

Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \ \\]

Răspuns:

\(a\în \(-7\)\cup\)

Sarcina 5 #3912

Nivel de sarcină: Egal cu examenul de stat unificat

Găsiți toate valorile parametrului \(a\) , pentru fiecare dintre ele ecuația \

are șase soluții diferite.

Să facem înlocuirea \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Apoi ecuația va lua forma \ Vom scrie treptat condițiile în care ecuația inițială va avea șase soluții.
Rețineți că ecuația pătratică \((*)\) poate avea cel mult două soluții. Orice ecuație cubică \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) nu poate avea mai mult de trei soluții. Prin urmare, dacă ecuația \((*)\) are două soluții diferite (pozitive!, deoarece \(t\) trebuie să fie mai mare decât zero) \(t_1\) și \(t_2\) , atunci, făcând inversul substituție, obținem: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aliniat)\end(adunat)\dreapta.\] Deoarece orice număr pozitiv poate fi reprezentat ca \(\sqrt2\) într-o anumită măsură, de exemplu, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), atunci prima ecuație a mulțimii va fi rescrisă sub formă \ După cum am spus deja, orice ecuație cubică nu are mai mult de trei soluții, prin urmare, fiecare ecuație din mulțime nu va avea mai mult de trei soluții. Aceasta înseamnă că întregul set nu va avea mai mult de șase soluții.
Aceasta înseamnă că, pentru ca ecuația inițială să aibă șase soluții, ecuația pătratică \((*)\) trebuie să aibă două soluții diferite, iar fiecare ecuație cubică rezultată (din mulțime) trebuie să aibă trei soluții diferite (și nu o singură soluție). soluția unei ecuații ar trebui să coincidă cu care - sau prin decizia celei de-a doua!)
Evident, dacă ecuația pătratică \((*)\) are o singură soluție, atunci nu vom obține șase soluții pentru ecuația inițială.

Astfel, planul de soluție devine clar. Să scriem punct cu punct condițiile care trebuie îndeplinite.

1) Pentru ca ecuația \((*)\) să aibă două soluții diferite, discriminantul ei trebuie să fie pozitiv: \

2) De asemenea, avem nevoie ca ambele rădăcini să fie pozitive (pentru că \(t>0\) ). Dacă produsul a două rădăcini este pozitiv și suma lor este pozitivă, atunci rădăcinile în sine vor fi pozitive. Prin urmare, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Astfel, ne-am furnizat deja două rădăcini pozitive distincte \(t_1\) și \(t_2\) .

3) Să ne uităm la această ecuație \ Pentru ce \(t\) va avea trei soluții diferite?
Se consideră funcția \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Poate fi multiplicat: \ Prin urmare, zerourile sale sunt: ​​\(x=-1;2\) .
Dacă găsim derivata \(f"(x)=3x^2-6x\) , atunci obținem două puncte extreme \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Prin urmare, graficul arată astfel:


Vedem că orice linie orizontală \(y=k\) , unde \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) are trei soluții diferite, este necesar ca \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Astfel, aveți nevoie de: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] De asemenea, să observăm imediat că, dacă numerele \(t_1\) și \(t_2\) sunt diferite, atunci numerele \(\log_(\sqrt2)t_1\) și \(\log_(\sqrt2)t_2\) vor fie diferit, deci ecuațiile \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)Și \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) va avea rădăcini diferite.
Sistemul \((**)\) poate fi rescris astfel: \[\begin(cases) 1

Astfel, am stabilit că ambele rădăcini ale ecuației \((*)\) trebuie să se afle în intervalul \((1;4)\) . Cum se scrie această condiție?
Nu vom scrie în mod explicit rădăcinile.
Se consideră funcția \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Graficul său este o parabolă cu ramuri în sus, care are două puncte de intersecție cu axa absciselor (am scris această condiție în paragraful 1)). Cum ar trebui să arate graficul, astfel încât punctele de intersecție cu axa absciselor să fie în intervalul \((1;4)\)? Asa de:


În primul rând, valorile \(g(1)\) și \(g(4)\) ale funcției în punctele \(1\) și \(4\) trebuie să fie pozitive, iar în al doilea rând, vârful parabola \(t_0\ ) trebuie să fie și ea în intervalul \((1;4)\) . Prin urmare, sistemul poate fi scris: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) are întotdeauna cel puțin o rădăcină \(x=0\) . Deci, pentru a îndeplini condiția problemei, este necesar ca ecuația \

avea patru rădăcini diferite de zero, reprezentând împreună cu \(x=0\) o progresie aritmetică.

Rețineți că funcția \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) este pară, deci dacă \(x_0\) este rădăcina ecuației \((* )\ ) , atunci \(-x_0\) va fi și rădăcina acestuia. Atunci este necesar ca rădăcinile acestei ecuații să fie numere ordonate crescător: \(-2d, -d, d, 2d\) (atunci \(d>0\) ). Atunci aceste cinci numere vor forma o progresie aritmetică (cu diferența \(d\) ).

Pentru ca aceste rădăcini să fie numerele \(-2d, -d, d, 2d\) , este necesar ca numerele \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) să fie rădăcinile lui ecuația \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Apoi, după teorema lui Vieta:

Rescriem ecuația sub forma \ și luați în considerare două funcții: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) și \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funcția \(g(x)\) are un punct maxim \(x=0\) (și \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivată zero: \(x=0\) . Pentru \(x<0\) имеем: \(g">0\) , pentru \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funcția \(f(x)\) pentru \(x>0\) este în creștere, iar pentru \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Într-adevăr, pentru \(x>0\) primul modul se extinde pozitiv (\(|x|=x\) ), prin urmare, indiferent de modul în care se extinde al doilea modul, \(f(x)\) va fi egal cu \ ( kx+A\) , unde \(A\) este o expresie din \(a\) , iar \(k\) este fie \(13-10=3\) fie \(13+10=23\) . Pentru \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Să găsim valoarea \(f\) în punctul minim: \

Pentru ca ecuația să aibă cel puțin o soluție, este necesar ca graficele funcțiilor \(f\) și \(g\) să aibă cel puțin un punct de intersecție. Prin urmare, aveți nevoie de: \ Rezolvând acest set de sisteme, obținem răspunsul: \\]

Răspuns:

\(a\în \(-2\)\cup\)

Chiar și funcție.

Chiar Este apelată o funcție al cărei semn nu se schimbă atunci când semnul este schimbat X.

X egalitate f(–X) = f(X). Semn X nu afectează semnul y.

Graficul unei funcții pare este simetric față de axa de coordonate (Fig. 1).

Chiar și exemple de funcții:

y= cos X

y = X 2

y = –X 2

y = X 4

y = X 6

y = X 2 + X

Explicaţie:
Să luăm o funcție y = X 2 sau y = –X 2 .
Pentru orice valoare X functia este pozitiva. Semn X nu afectează semnul y. Graficul este simetric față de axa de coordonate. Aceasta este o funcție uniformă.

funcţie impară.

ciudat este o funcție al cărei semn se schimbă atunci când semnul este schimbat X.

Cu alte cuvinte, pentru orice valoare X egalitate f(–X) = –f(X).

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 2).

Exemple de funcție impară:

y= păcat X

y = X 3

y = –X 3

Explicaţie:

Luați funcția y = - X 3 .
Toate valorile la va avea semnul minus. Acesta este semnul X afectează semnul y. Dacă variabila independentă este un număr pozitiv, atunci funcția este pozitivă; dacă variabila independentă este un număr negativ, atunci funcția este negativă: f(–X) = –f(X).
Graficul funcției este simetric față de origine. Aceasta este o funcție ciudată.

Proprietățile funcțiilor pare și impare:

NOTĂ:

Nu toate caracteristicile sunt pare sau impare. Există funcții care nu sunt supuse unei astfel de gradări. De exemplu, funcția rădăcină la = √X nu se aplică funcțiilor pare sau impare (Fig. 3). Atunci când enumerați proprietățile unor astfel de funcții, trebuie oferită o descriere adecvată: nici par, nici impar.

Funcții periodice.

După cum știți, periodicitatea este repetarea anumitor procese la un anumit interval. Funcțiile care descriu aceste procese sunt numite functii periodice. Adică acestea sunt funcții în ale căror grafice există elemente care se repetă la anumite intervale numerice.