Rădăcina aritmetică de gradul doi
Definiția 1
A doua rădăcină (sau rădăcină pătrată) a lui $a$ numiți numărul care, la pătrat, devine egal cu $a$.
Exemplul 1
$7^2=7 \cdot 7=49$, deci $7$ este a doua rădăcină a lui $49$;
$0,9^2=0,9 \cdot 0,9=0,81$, deci $0,9$ este a doua rădăcină a lui $0,81$;
$1^2=1 \cdot 1=1$, deci $1$ este a doua rădăcină a lui $1$.
Observația 2
Mai simplu spus, pentru orice număr $a
$a=b^2$ este fals pentru $a$ negativ, deoarece $a=b^2$ nu poate fi negativ pentru nicio valoare de $b$.
Se poate concluziona că pentru numerele reale, nu poate exista o a doua rădăcină a unui număr negativ.
Observația 3
pentru că $0^2=0 \cdot 0=0$, atunci din definiție rezultă că zero este a doua rădăcină a lui zero.
Definiția 2
Rădăcina aritmetică a gradului 2 din numărul $a$($a \ge 0$) este un număr nenegativ care, la pătrat, este egal cu $a$.
Se mai numesc rădăcini de gradul 2 rădăcini pătrate.
Desemnați rădăcina aritmetică a gradului 2 al numărului $a$ ca $\sqrt(a)$ sau puteți îndeplini denumirea $\sqrt(a)$. Dar cel mai adesea pentru rădăcina pătrată a numărului $2$ - exponent rădăcină- nespecificat. Semnul „$\sqrt( )$” este semnul rădăcină aritmetică gradul 2, care se mai numește și „ semn radical". Conceptele „rădăcină” și „radical” sunt denumirile aceluiași obiect.
Dacă există un număr sub semnul rădăcinii aritmetice, atunci se numește numărul rădăcinii, iar dacă expresie, atunci - expresie radicală.
Intrarea $\sqrt(8)$ este citită ca „rădăcina aritmetică a gradului 2 de opt”, iar cuvântul „aritmetică” nu este adesea menționat.
Definiția 3
Prin definitie rădăcina aritmetică de gradul II se poate scrie:
Pentru orice $a \ge 0$:
$(\sqrt(a))^2=a$,
$\sqrt(a)\ge 0$.
Am arătat diferența dintre rădăcina gradului doi și rădăcina aritmetică a gradului doi. În plus, vom lua în considerare numai rădăcinile numerelor și expresiilor nenegative, adică numai aritmetica.
Rădăcina aritmetică de gradul trei
Definiția 4
A treia rădăcină aritmetică (sau rădăcină cubă) a lui $a$($a \ge 0$) este un număr nenegativ care devine egal cu $a$ atunci când este cubit.
Adesea se omite cuvântul aritmetică și se spune „rădăcina gradului 3 din numărul $a$”.
Ele denotă rădăcina aritmetică a gradului 3 de $a$ ca $\sqrt(a)$, semnul „$\sqrt( )$” este semnul rădăcinii aritmetice de gradul 3, iar numărul $3$ în această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul sau expresia care se află sub semnul rădăcinii este numită înrădăcinată.
Exemplul 2
$\sqrt(3,5)$ este a treia rădăcină a lui $3,5$ sau rădăcină cubă a $3,5$;
$\sqrt(x+5)$ este a treia rădăcină a lui $x+5$ sau rădăcina cubă a lui $x+5$.
Rădăcina aritmetică de gradul al n-lea
Definiția 5
Aritmetic rădăcina celui de-al n-lea grad din numărul $a \ge 0$ se numește un număr nenegativ, care, ridicat la puterea $n$-a, devine egal cu $a$.
Notația pentru rădăcina aritmetică de gradul $n$ a lui $a \ge 0$:
unde $a$ este un număr radical sau o expresie,
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Colectat de noi informatii personale ne permite să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.
Dezvăluirea către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în litigii, și/sau pe baza cererilor publice sau a solicitărilor de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Menținerea confidențialității la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.
În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom acționa secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de la ea vom trece la descriere rădăcină cubă, după aceea generalizăm conceptul de rădăcină prin definirea rădăcinii de gradul al n-lea. În același timp, vom introduce definiții, notație, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.
Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică
Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr, și în special a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment, vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.
Sa incepem cu definiții de rădăcină pătrată.
Definiție
Rădăcina pătrată a lui a este numărul al cărui pătrat este un .
Pentru a aduce exemple rădăcini pătrate , luați mai multe numere, de exemplu, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 și pătrați-le, obținem numerele 25 , 0.09 , 0.09 și respectiv 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3 0,3=0,09 şi 02 =00=0). Apoi, după definiția de mai sus, 5 este rădăcina pătrată a lui 25, -0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate a lui 0,09, iar 0 este rădăcina pătrată a lui zero.
Trebuie remarcat faptul că nu pentru niciun număr există a , al cărui pătrat este egal cu a . Și anume, pentru orice număr negativ a, nu există un număr real b al cărui pătrat să fie egal cu a. Într-adevăr, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b . În acest fel, pe mulțimea numerelor reale nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.
Acest lucru duce la o întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Raspunsul este da. Rațiunea acestui fapt poate fi considerată o metodă constructivă folosită pentru a găsi valoarea rădăcinii pătrate.
Atunci apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul la acesta: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate din numărul a este egal cu doi, iar rădăcinile sunt . Să argumentăm acest lucru.
Să începem cu cazul a=0 . Să arătăm mai întâi că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.
Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.
Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Mai sus am spus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie b rădăcina pătrată a lui a. Să presupunem că există un număr c , care este și rădăcina pătrată a lui a . Atunci, prin definiția rădăcinii pătrate, sunt valabile egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0, dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , atunci (b−c) (b+c)=0 . Egalitatea rezultată în vigoare proprietățile acțiunilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel numerele b și c sunt egale sau opuse.
Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.
Pentru confortul lucrului cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „separată” de cea pozitivă. În acest scop, introduce definiția rădăcinii pătrate aritmetice.
Definiție
Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a .
Pentru rădăcina pătrată aritmetică a numărului a se acceptă notația. Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radicalului. Prin urmare, puteți auzi parțial atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.
Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește numărul rădăcinii, iar expresia de sub semnul rădăcinii - expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație, numărul 151 este un număr radical, iar în notație, expresia a este o expresie radicală.
Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcină pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă sutimi”. Cuvântul „aritmetică” este folosit doar atunci când vor să sublinieze asta vorbim despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.
În lumina notației introduse, din definiția rădăcinii pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .
Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a sunt scrise folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atașa semnificații intrărilor până când nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.
Pe baza definiției rădăcinii pătrate, sunt dovedite proprietățile rădăcinilor pătrate, care sunt adesea folosite în practică.
Pentru a încheia această subsecțiune, observăm că rădăcinile pătrate ale unui număr sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x .
rădăcină cub de
Definiția rădăcinii cubice al numărului a este dat într-un mod similar cu definiția rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.
Definiție
Rădăcina cubă a lui a se numește un număr al cărui cub este egal cu a.
Să aducem exemple de rădăcini cubice. Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7 , 0 , −2/3 , și cubează-le: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , 
. Apoi, pe baza definiției rădăcinii cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.
Se poate demonstra că rădăcina cubă a numărului a, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna și nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcina pătrată.
Mai mult, există o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.
Este ușor de arătat că pentru a pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici negativă, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a , atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a . Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.
Acum să presupunem că, în plus față de numărul b, mai există o rădăcină cubă din numărul a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0 , dar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b c+c 2 =0 . Din prima egalitate avem b=c, iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2 , b c și c 2 . Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.
Pentru a=0, singura rădăcină cubă a lui a este zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b , care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil numai când b=0 .
Pentru negativ a , se poate argumenta similar cu cazul pentru pozitiv a . În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.
Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și numai unul.
Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.
Definiție
Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.
Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este numărul rădăcinii, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.
Deși rădăcina cubului aritmetic este definită numai pentru numere nenegative a, este, de asemenea, convenabil să se utilizeze intrări în care semnul rădăcinii cubului aritmetic conține numere negative. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, 
.
Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.
Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice, această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.
Pentru a încheia această subsecțiune, spunem că rădăcina cubă a lui a este o soluție de forma x 3 =a.
Rădăcina a N-a, rădăcina aritmetică a lui n
Generalizăm conceptul de rădăcină dintr-un număr - introducem determinarea rădăcinii a n-a pentru n.
Definiție
a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.
Din această definiție este clar că rădăcina primului grad din numărul a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu un indicator natural, am luat un 1 \u003d a.
Mai sus, am luat în considerare cazuri speciale ale rădăcinii de gradul al n-lea pentru n=2 și n=3 - rădăcina pătrată și rădăcina cubă. Adică rădăcina pătrată este rădăcina gradului al doilea, iar rădăcina cubă este rădăcina gradului al treilea. Pentru a studia rădăcinile gradului al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcinile de grade pare (adică pentru n=4, 6 , 8, ...), al doilea grup - rădăcinile puteri impare (adică pentru n=5, 7, 9, ... ). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile de grade pare sunt similare cu rădăcina pătrată, iar rădăcinile de grade impare sunt similare cu rădăcina cubică. Să ne ocupăm de ei pe rând.
Să începem cu rădăcinile, ale căror puteri sunt numerele pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt similare cu rădăcina pătrată a numărului a. Adică, rădăcina oricărui grad par din numărul a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par din numărul a și sunt numere opuse.
Să justificăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină de grad par (o notăm ca 2 m, unde m este ceva numar natural) de la numărul a . Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de 2 m a lui a. Atunci b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Dar știm de forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0 , sau b+c=0 , sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Și ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0 , deoarece partea stângă conține o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.
În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar din numărul a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.
Unicitatea rădăcinii de grad impar 2·m+1 din numărul a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice din a . Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, pentru m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b c , care se află între paranteze. grad înalt imbricarea este pozitivă ca suma numerelor pozitive. Acum, trecând succesiv la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de imbricare, ne asigurăm că acestea sunt și pozitive ca sume de numere pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 posibil numai când b−c=0 , adică când numărul b este egal cu numărul c .
Este timpul să ne ocupăm de notarea rădăcinilor gradului al n-lea. Pentru aceasta, este dat determinarea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea.
Definiție
Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu a.
Gradul de rădăcină n dintr-un număr real A, Unde n- un număr natural, se numește un astfel de număr real X, n a cărui putere este egală cu A.
rădăcină de grad n din număr A indicat prin simbol. Conform acestei definiţii.
Găsirea rădăcinii n gradul dintre A numită extragerea rădăcinilor. Număr A se numește număr rădăcină (expresie), n- un indicator al rădăcinii. Pentru ciudat n există o rădăcină n-gradul pentru orice număr real A. Chiar n există o rădăcină n-gradul numai pentru numărul nenegativ A. Pentru a elimina ambiguitatea rădăcinii n gradul dintre A, este introdus conceptul de rădăcină aritmetică n gradul dintre A.
Conceptul de rădăcină aritmetică de gradul N
Dacă și n- număr natural mai mare decât 1 , atunci există și un singur număr nenegativ X, astfel încât egalitatea să fie valabilă. Acest număr X numită rădăcină aritmetică n a-a putere a unui număr nenegativ A si se noteaza. Număr A numit numărul rădăcină n- un indicator al rădăcinii.
Deci, conform definiției, notația , unde , înseamnă, în primul rând, că și, în al doilea rând, că , i.e. .
Conceptul de grad cu un exponent rațional
Gradul cu exponent natural: lat A este un număr real și n este un număr natural mai mare decât unu n-a-a putere a unui număr A sunați la lucru n multiplicatori, fiecare dintre care este egal cu A, adică . Număr A- baza diplomei, n- exponent. Exponent cu exponent zero: prin definiție, dacă , atunci . Puterea zero a unui număr 0 nu are sens. Putere cu un exponent întreg negativ: prin definiție, dacă și n este un număr natural, atunci . Gradul cu un exponent fracționar: prin definiție, dacă și n- numar natural, m este un număr întreg, atunci .
Operații cu rădăcini.
În toate formulele de mai jos, simbolul înseamnă rădăcina aritmetică (expresia radicală este pozitivă).
1. Rădăcina produsului mai multor factori este egală cu produsul rădăcinilor acestor factori:
2. Rădăcina relației este egal cu raportul rădăcinile dividendului și divizorului:
3. Când ridicați o rădăcină la o putere, este suficient să ridicați numărul rădăcinii la această putere: 
4. Dacă creșteți gradul rădăcinii de n ori și ridicați simultan numărul rădăcinii la a n-a putere, atunci valoarea rădăcinii nu se va schimba: 
5. Dacă reduceți gradul rădăcinii de n ori și, în același timp, extrageți rădăcina gradului al n-lea din numărul radical, atunci valoarea rădăcinii nu se va modifica:
Extinderea conceptului de grad. Până acum, am luat în considerare grade doar cu un indicator natural; dar operațiile cu puteri și rădăcini pot duce și la exponenți negativi, zero și fracționari. Toți acești exponenți necesită o definiție suplimentară.
Gradul cu exponent negativ. Puterea unui număr cu un exponent negativ (întreg) este definită ca fiind una împărțită la puterea aceluiași număr cu un exponent egal cu valoare absolută indicator negativ:
Acum formula a m: a n \u003d a m - n poate fi folosită nu numai pentru m mai mare decât n, ci și pentru m mai mic decât n.
EXEMPLU a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .
Dacă dorim ca formula a m: a n = a m - n să fie valabilă pentru m = n , trebuie să definim gradul zero.
Gradul cu exponent zero. Gradul oricărui număr diferit de zero cu exponent zero este 1.
EXEMPLE. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.
Gradul cu exponent fracționar. Pentru a ridica un număr real a la puterea m / n, trebuie să extrageți rădăcina gradului al n-lea din puterea a m a acestui număr a:
Despre expresii care nu au sens. Există mai multe astfel de expresii.
Cazul 1
Unde a ≠ 0 nu există.
Într-adevăr, dacă presupunem că x este un anumit număr, atunci, în conformitate cu definiția operației de împărțire, avem: a = 0 · x, i.e. a = 0, ceea ce contrazice condiția: a ≠ 0
Cazul 2
Orice număr.
Într-adevăr, dacă presupunem că această expresie este egală cu un număr x, atunci conform definiției operației de împărțire, avem: 0 = 0 · x . Dar această egalitate este valabilă pentru orice număr x, care trebuia demonstrat.
Într-adevăr,
Soluție. Luați în considerare trei cazuri principale:
1) x = 0 - această valoare nu satisface această ecuație
2) pentru x > 0 obținem: x / x = 1, adică. 1 = 1, de unde rezultă că x este orice număr; dar dat fiind că în cazul nostru x > 0 , răspunsul este x > 0 ;
3) la x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
in acest caz nu exista solutie. Deci x > 0.
Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ este un număr nenegativ, puterea a n-a care este egal cu:
Gradul unei rădăcini este un număr natural mai mare decât 1.
3. 
4. 
Cazuri speciale:
1. Dacă exponentul rădăcină nu este un număr întreg număr par (), atunci expresia radicală poate fi negativă.
În cazul unui exponent impar, ecuația pentru orice valoare reală și întreg ÎNTOTDEAUNA are o singură rădăcină:
Pentru o rădăcină de grad impar, identitatea este adevărată:
,
2. Dacă exponentul rădăcinii este un întreg par (), atunci expresia radicală nu poate fi negativă.
În cazul unui exponent par, ecuația Are
la o singură rădăcină
iar dacă și
Pentru o rădăcină de grad par, identitatea este adevărată:
Pentru o rădăcină de grad par, sunt valabile următoarele egalități::
Funcția de putere, proprietățile și graficul acestuia.
Funcția de putere și proprietățile acesteia.
Funcție de putere cu exponent natural. Funcția y \u003d x n, unde n este un număr natural, se numește funcție de putere cu un exponent natural. Pentru n = 1 obținem funcția y = x, proprietățile ei:
direct proportional. Proporționalitatea directă este o funcție dată de formula y \u003d kx n, unde numărul k se numește coeficient de proporționalitate.
Enumerăm proprietățile funcției y = kx.
Domeniul funcției este mulțimea tuturor numerelor reale.
y = kx - nu chiar funcția(f (- x) \u003d k (- x) \u003d - kx \u003d -k (x)).
3) Pentru k > 0, funcția crește, iar pentru k< 0 убывает на всей числовой прямой.
Graficul (linia dreaptă) este prezentat în Figura II.1.
Orez. II.1.
Cu n=2 obținem funcția y = x 2, proprietățile ei:
Funcția y -x 2 . Enumerăm proprietățile funcției y \u003d x 2.
y \u003d x 2 - o funcție pară (f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2 \u003d f (x)).
Funcția este în scădere pe interval.
În fracția în sine, dacă, atunci - x 1 > - x 2 > 0 și, prin urmare
(-x 1) 2 > (- x 2) 2, adică și aceasta înseamnă că funcția este în scădere.
Graficul funcției y \u003d x 2 este o parabolă. Acest grafic este prezentat în Figura II.2.
Orez. II.2.
Pentru n \u003d 3, obținem funcția y \u003d x 3, proprietățile sale:
Domeniul de aplicare al funcției este întreaga linie numerică.
y \u003d x 3 - funcţie ciudată(f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d - x 3 \u003d - f (x)).
3) Funcția y \u003d x 3 crește pe întreaga linie numerică. Graficul funcției y \u003d x 3 este prezentat în figură. Se numește parabolă cubică.
Graficul (parabola cubică) este prezentat în Figura II.3.
Orez. II.3.
Fie n un număr natural par arbitrar mai mare decât doi:
n = 4, 6, 8,... . În acest caz, funcția y \u003d x n are aceleași proprietăți ca și funcția y \u003d x 2. Graficul unei astfel de funcții seamănă cu o parabolă y \u003d x 2, numai ramurile graficului la |n| >1, cu cât urcă mai abrupte, cu atât n este mai mare și cu cât „presează” mai mult pe axa x, cu atât n este mai mare.
Fie n un număr impar arbitrar mai mare de trei: n = 5, 7, 9, ... . În acest caz, funcția y \u003d x n are aceleași proprietăți ca și funcția y \u003d x 3. Graficul unei astfel de funcții seamănă cu o parabolă cubică (numai ramurile graficului urcă și coboară mai abrupt, cu cât n este mai mare. De asemenea, observăm că pe intervalul (0; 1) graficul funcției de putere y \u003d x n cu atât se îndepărtează mai lent de axa x cu creșterea x, decât mai mult decât n.
Funcția de putere cu exponent negativ întreg. Luați în considerare funcția y \u003d x - n, unde n este un număr natural. Cu n = 1 obținem y = x - n sau y = Proprietățile acestei funcții:
Graficul (hiperbola) este prezentat în Figura II.4.
