Dacă un segment cu lungimea D este perpendicular pe linia de observație (mai mult, este perpendiculară mijlocie) și este situat la o distanță L de observator, atunci formula exactă pentru dimensiunea unghiulară a acestui segment este:. Dacă dimensiunea corpului D este mică în comparație cu distanța de la observatorul L, atunci dimensiunea unghiulară (în radiani) este determinată de raportul D / L, deoarece pentru unghiuri mici. Pe măsură ce corpul se îndepărtează de observator (creșterea L), dimensiunea unghiulară a corpului scade.
Conceptul de dimensiune unghiulară este foarte important în optica geometrică, și mai ales în relație cu organul vederii - ochiul. Ochiul este capabil să înregistreze cu precizie dimensiunea unghiulară a unui obiect. Mărimea sa reală, liniară, este determinată de creier prin evaluarea distanței până la obiect și prin comparație cu alte corpuri deja cunoscute.
În astronomie
Mărimea unghiulară a unui obiect astronomic văzut de pe Pământ este de obicei numită diametrul unghiular sau diametru vizibil... Datorită îndepărtării tuturor obiectelor, diametrele unghiulare ale planetelor și stelelor sunt foarte mici și sunt măsurate în minute unghiulare (′) și secunde (″). De exemplu, diametrul aparent mediu al Lunii este de 31′05 ″ (datorită elipticității orbitei lunare, dimensiunea unghiulară variază de la 29′24 ″ la 33′40 ″). Diametrul mediu aparent al Soarelui este de 31′59 ″ (variază de la 31′27 ″ la 32′31 ″). Diametrele aparente ale stelelor sunt extrem de mici și doar în câteva corpuri de iluminat ajung la câteva sutimi de secundă.
Vezi si
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți ce este „Diametrul unghiular” în alte dicționare:
DIAMETRUL ANGULAR, în astronomie, diametrul aparent al unui corp ceresc, exprimat în unități unghiulare (de obicei în grade de arc și minute). Acesta este unghiul, al cărui vârf este ochiul observatorului și a cărui bază este diametrul aparent al corpului observat. Daca stii ... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic
diametrul unghiular- - [A.S. Goldberg. Dicționarul energetic englez rus. 2006] Subiecte energie în general EN diametru unghiular...
Diametrul aparent al unui obiect, măsurat în unități unghiulare, adică în radiani, grade, minute arc sau secunde. Diametrul unghiular depinde atât de diametrul real, cât și de distanța până la obiect... Dicţionar astronomic
diametrul unghiular- kampinis skersmuo statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. diametrul unghiular; diametrul aparent vok. scheinbare Durchmesser, m; Winkeldurchmesser, m rus. diametrul aparent, m; diametru unghiular, m pranc. diamètre angulaire, m; diametru aparent, m… Fizikos terminų žodynas
diametrul unghiular al receptorului- (η2) Unghiul la care se observă cea mai mare zonă vizibilă a receptorului din centrul original (β1 = β2 = 0 °). [GOST R 41.104 2002] Subiectele autovehiculelor... Ghidul tehnic al traducătorului
diametrul unghiular al unui specimen reflectorizant- (η1) Unghiul la care se observă cea mai mare zonă aparentă a specimenului reflectorizant, fie din centrul sursei de lumină, fie din centrul receptorului (β1 = β2 = 0 °). [GOST R 41.104 2002] Subiectele autovehiculelor... Ghidul tehnic al traducătorului
diametrul unghiular al receptorului (η 2)- 2.4.3 diametrul unghiular al receptorului (η2): Unghiul la care se observă cea mai mare zonă aparentă a receptorului din centrul de referință (b1 = b2 = 0 °). O sursă …
diametrul unghiular al specimenului reflectorizant (η 1)- 2.4.2 diametrul unghiular al specimenului retroreflectorizant (η1): Unghiul la care se observă cea mai mare zonă aparentă a specimenului retroreflectorizant, fie din centrul sursei de lumină, fie din centrul receptorului (b1 = b2 = 0 °). O sursă … Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice
În sensul său original, este un segment care leagă două puncte dintr-un cerc și care trece prin centrul cercului, precum și lungimea acestui segment. Diametrul este egal cu două raze. Cuprins 1 Diametrul formelor geometrice ... Wikipedia
Diametrul discului vizibil al acestor stele, exprimat în măsură unghiulară. Cunoscând diametrul aparent și distanța față de Pământ, este ușor de calculat adevăratele dimensiuni ale stelelor. Diametrul unghiular se modifică în funcție de distanță și, deoarece toate mișcările stelelor sunt legate... Dicţionar enciclopedic al lui F.A. Brockhaus și I.A. Efron
Luna este cel mai mare obiect de pe cerul înstelat al nopții. Grecii antici au putut să calculeze diametrul aproximativ al lunii.
- al cincilea satelit natural din sistemul solar, depășit ca dimensiune doar de trei sateliți ai lui Jupiter și o lună a lui Saturn. Luna nu este cu mult mai mică decât Mercur, cea mai mică dintre planete și jumătate din dimensiunea lui Marte. În raport cu dimensiunea planetei sale, Luna se află pe primul loc printre sateliți.
Dimensiuni (editare)
Din cauza rotației în jurul axei, este ușor „aplatizat” la poli, diametrul său la linia polilor este de 3471,94 km, iar la linia ecuatorului - 3476,28 km, ceea ce reprezintă aproximativ un sfert din diametrul Pământului. Deoarece satelitul nostru are o formă sferică, se pot calcula și alte dimensiuni geometrice: lungimea ecuatorului Lunii este de 10.920 km, volumul satelitului nostru este 1/50 din cel al pământului, iar suprafața este de 13 ori mai mică decât cea a Lunii. pământul.
Diametrul colțului
Întrucât orbita lunii este o elipsă, diametrul unghiular al Lunii se modifică de la 33'40 „în cel mai apropiat punct – apogeu, la 29’24” în cel mai îndepărtat punct – perigeu. Când este jos deasupra orizontului, pare mai mare decât la zenit, din cauza unei iluzii optice care nu a fost încă explicată. Dimensiunile unghiulare ale satelitului aproape coincid cu dimensiunile unghiulare, motiv pentru care eclipsele totale de soare sunt posibile atunci când discul lunar îl acoperă complet pe cel solar.
Cât de măsurat
Aristarh din Samos a fost primul care a încercat să determine diametrul lunii în secolul al III-lea î.Hr. NS. pe baza măsurătorilor efectuate în timpul unei eclipse de soare și a calculelor ulterioare bazate pe geometria euclidiană. Din cauza erorii de măsurare, calculele s-au dovedit a fi inexacte. O sută de ani mai târziu
Cerul deasupra capului este cel mai vechi manual de geometrie. Primele concepte precum punct și cerc sunt de acolo. Mai degrabă nici măcar un manual, ci o carte cu probleme. În care nu există o pagină cu răspunsuri. Două cercuri de aceeași dimensiune - soarele și luna - se mișcă pe cer, fiecare cu propria sa viteză. Restul obiectelor - punctele luminoase - se misca toate impreuna, de parca ar fi atasate de o sfera care se roteste cu viteza de 1 rotatie in 24 de ore. Adevărat, există și excepții printre ele - 5 puncte se mută după bunul plac. Pentru ei a fost ales un cuvânt special – „planetă”, în greacă – „vagabond”. Cât timp a existat umanitatea, a încercat să descopere legile acestei mișcări perpetue. Prima descoperire a avut loc în secolul al III-lea î.Hr., când oamenii de știință greci, după ce au adoptat tânăra știință a geometriei, au reușit să obțină primele rezultate asupra structurii Universului. Acesta este ceea ce se va discuta.
Pentru a vă face o idee despre complexitatea problemei, luați în considerare un exemplu. Imaginați-vă o minge luminoasă de 10 cm în diametru atârnând nemișcată în spațiu. Să-i spunem S. O minge mică este trasă în jurul ei la o distanță de puțin peste 10 metri Z cu un diametru de 1 milimetru, și în jur Z la o distanță de 6 cm se trage o minge foarte mică L, diametrul său este de un sfert de milimetru. Pe suprafața mingii din mijloc Z vieţuiesc creaturi microscopice. Au un fel de inteligență, dar nu pot părăsi limitele mingii lor. Tot ce pot face este să se uite la celelalte două bile - Sși L.Întrebarea este: pot afla diametrele acestor bile și pot măsura distanțele până la ele? Indiferent cum ai crede, ar părea o afacere fără speranță. Am desenat un model foarte redus al sistemului solar ( S - Soarele, Z - Pământ, L - Luna).
Aceasta este sarcina cu care se confruntă astronomii antici. Și au rezolvat-o! Cu mai bine de 22 de secole în urmă, folosind nimic altceva decât cea mai elementară geometrie - la nivelul clasei a VIII-a (proprietăți ale unei linii și ale unui cerc, triunghiuri similare și teorema lui Pitagora). Și, desigur, urmărind luna și soarele.
Mai mulți oameni de știință au lucrat la soluție. Vom evidenția două. Aceștia sunt matematicianul Eratosthenes, care a măsurat raza globului, și astronomul Aristarh, care a calculat dimensiunile Lunii, Soarelui și distanțele până la acestea. Cum au făcut-o?
Cum a fost măsurat globul
Oamenii știu de multă vreme că Pământul nu este plat. Navigatorii antici au observat cum imaginea cerului înstelat se schimba treptat: noi constelații au devenit vizibile, în timp ce altele, dimpotrivă, au trecut dincolo de orizont. Navele care navighează în depărtare „trec sub apă”, ultimele care au dispărut din vedere sunt vârfurile catargelor lor. Cine a fost primul care a exprimat ideea sfericității Pământului este necunoscut. Cel mai probabil - pitagoreenii, care considerau mingea ca fiind cea mai perfectă dintre figuri. Un secol și jumătate mai târziu, Aristotel oferă mai multe dovezi că Pământul este o minge. Principalul: în timpul unei eclipse de Lună, o umbră de pe Pământ este clar vizibilă pe suprafața Lunii, iar această umbră este rotundă! De atunci, au existat încercări constante de a măsura raza globului. Două metode simple sunt descrise în exercițiile 1 și 2. Măsurătorile, totuși, au fost obținute inexacte. Aristotel, de exemplu, s-a înșelat de mai multe ori și jumătate. Se crede că primul care a reușit să facă acest lucru cu mare precizie a fost matematicianul grec Eratosthenes din Cirene (276-194 î.Hr.). Numele lui este acum cunoscut de toată lumea datorită sita lui Eratostene - mod de a găsi numere prime (fig. 1).
Dacă ștergeți unul din seria naturală, apoi ștergeți toate numerele pare, cu excepția primului (numărul 2 însuși), apoi toate numerele care sunt multipli de trei, cu excepția primului dintre ele (numărul 3), etc., atunci numai numerele prime vor rămâne ca rezultat... Printre contemporanii săi, Eratosthenes a fost renumit ca un important om de știință enciclopedic, care a fost angajat nu numai în matematică, ci și în geografie, cartografie și astronomie. Multă vreme a condus Biblioteca din Alexandria - centrul științei mondiale la acea vreme. În timp ce lucra la compilarea primului atlas al Pământului (desigur, vorbeam despre o parte din el cunoscută până atunci), el a decis să facă o măsurare precisă a globului. Ideea a fost aceasta. În Alexandria, toată lumea știa că în sud, în orașul Siena (actualul Aswan), o zi pe an, la prânz, Soarele atinge apogeul. Umbra stâlpului vertical dispare, fundul puțului este iluminat timp de câteva minute. Acest lucru se întâmplă în ziua solstițiului de vară, 22 iunie - ziua celei mai înalte poziții a Soarelui pe cer. Eratosthenes își trimite asistenții la Siena, iar aceștia stabilesc că exact la amiază (ceasorul solar) Soarele este exact la zenit. Simultan (cum este scris în sursa originală: „la aceeași oră”), adică la amiază conform cadranului solar, Eratostene măsoară lungimea umbrei de la stâlpul vertical din Alexandria. S-a dovedit un triunghi ABC (LA FEL DE- pol, AB- umbra, fig. 2).
Deci, o rază de soare în Siena ( N) este perpendiculară pe suprafața Pământului, ceea ce înseamnă că trece prin centrul său - punctul Z... O rază paralelă cu ea în Alexandria ( A) face ca unghiul γ = ACB cu verticală. Folosind egalitatea unghiurilor care se intersectează pentru unghiuri paralele, concluzionăm că AZN= γ. Dacă notăm prin l circumferinta, si dupa NS lungimea arcului său UN, atunci obținem proporția. Unghiul γ într-un triunghi ABC Eratostene a măsurat, sa dovedit 7,2 °. Cantitatea NS - nimic mai mult decât lungimea potecii de la Alexandria la Siena, aproximativ 800 km. Eratostene o calculează cu precizie, pe baza duratei medii de călătorie a rulotelor de cămile care mergeau în mod regulat între cele două orașe, precum și folosind date. bematistov - oameni cu o profesie specială care măsurau distanțele în trepte. Acum rămâne să rezolvăm proporția, după ce a primit circumferința (adică lungimea meridianului pământului) l= 40.000 km. Apoi raza Pământului R este egal cu l/ (2π), este aproximativ 6400 km. Faptul că lungimea meridianului pământului este exprimată într-un număr atât de rotund de 40.000 km nu este surprinzător dacă ne amintim că unitatea de lungime de 1 metru a fost introdusă (în Franța la sfârșitul secolului al XVIII-lea) ca unu patruzeci și miliona parte a circumferinței Pământului (prin definiție!). Eratostene, desigur, a folosit o unitate de măsură diferită - etape(aproximativ 200 m). Au existat mai multe etape: egipteană, greacă, babilonică și care dintre ele a folosit Eratostene este necunoscută. Prin urmare, este dificil să judeci cu siguranță cu privire la acuratețea măsurării sale. În plus, eroarea inevitabilă s-a produs din cauza amplasării geografice a celor două orașe. Eratostene a argumentat astfel: dacă orașele sunt situate pe același meridian (adică Alexandria este situată exact la nord de Siena), atunci amiaza are loc în ele simultan. Prin urmare, după ce am făcut măsurători la momentul celei mai înalte poziții a Soarelui în fiecare oraș, trebuie să obținem rezultatul corect. Dar, de fapt, Alexandria și Siena nu sunt pe același meridian. Acum este ușor să te convingi de asta uitându-te pe hartă, dar Eratostene nu a avut o astfel de oportunitate, a lucrat doar la întocmirea primelor hărți. Prin urmare, metoda sa (absolut corectă!) a dus la o eroare în determinarea razei Pământului. Cu toate acestea, mulți cercetători sunt încrezători că acuratețea măsurătorilor lui Eratosthenes a fost mare și că a greșit cu mai puțin de 2%. Omenirea a reușit să îmbunătățească acest rezultat abia după 2 mii de ani, la mijlocul secolului al XIX-lea. La asta au lucrat un grup de oameni de știință din Franța și o expediție a lui V. Ya. Struve din Rusia. Chiar și în epoca marilor descoperiri geografice, în secolul al XVI-lea, oamenii nu au putut obține rezultatul lui Eratostene și au folosit valoarea incorectă a circumferinței pământului de 37.000 km. Nici Columb, nici Magellan nu știau care sunt adevăratele dimensiuni ale Pământului și ce distanțe aveau de parcurs. Ei credeau că lungimea ecuatorului este cu 3 mii de km mai mică decât este de fapt. Dacă ar fi știut, poate că nu ar fi înotat.
Care este motivul pentru o precizie atât de mare a metodei lui Eratosthenes (desigur, dacă a folosit etapă)? Înaintea lui, măsurătorile erau local, pe distanțe vizibile pentru ochiul uman, adică nu mai mult de 100 km. Acestea sunt, de exemplu, metodele din exercițiile 1 și 2. În acest caz, erorile sunt inevitabile din cauza terenului, fenomenelor atmosferice etc. Pentru a obține o precizie mai mare, trebuie să efectuați măsurători. la nivel global, la distanțe comparabile cu raza Pământului. Distanța de 800 km dintre Alexandria și Siena a fost destul de suficientă.
Exerciții
1. Cum se calculează raza Pământului din următoarele date: de pe un munte cu o înălțime de 500 m poți vedea împrejurimile la o distanță de 80 km?
2. Cum se calculează raza Pământului folosind următoarele date: o navă de 20 m înălțime, care a navigat la 16 km de coastă, dispare complet din vedere?
3. Doi prieteni - unul la Moscova, celălalt la Tula, iau câte un stâlp de metru și îi pun pe verticală. În momentul de față, în timpul zilei, când umbra de pe stâlp atinge cea mai mică lungime, fiecare dintre ele măsoară lungimea umbrei. La Moscova s-a dovedit A cm, iar în Tula - b vezi Exprimă raza Pământului în termeni de Ași b. Orașele sunt situate pe același meridian la o distanță de 185 km.
După cum se poate observa din exercițiul 3, experimentul lui Eratosthenes se poate face la latitudinile noastre, unde Soarele nu este niciodată la zenit. Adevărat, acest lucru necesită două puncte pe același meridian. Dacă repetăm experiența lui Eratostene pentru Alexandria și Siena și, în același timp, facem măsurători în aceste orașe în același timp (acum există posibilități tehnice pentru aceasta), atunci vom obține răspunsul corect și nu va conta care meridianul Siena este pornit (de ce?).
Cum au fost măsurate Luna și Soarele. Trei trepte ale lui Aristarh
Insula greacă Samos din Marea Egee este acum o provincie sălbatică. Patruzeci de kilometri lungime, opt lățime. Trei dintre cele mai mari genii s-au născut pe această insulă minusculă în momente diferite - matematicianul Pitagora, filozoful Epicur și astronomul Aristarh. Se știu puține lucruri despre viața lui Aristarh din Samos. Datele vieții sunt aproximative: născut în jurul anului 310 î.Hr., murit în jurul anului 230 î.Hr. Nu știm cum arăta, nici o imagine nu a supraviețuit (monumentul modern lui Aristarh din orașul grecesc Salonic este doar fantezia unui sculptor). A petrecut mulți ani în Alexandria, unde a lucrat în bibliotecă și la observator. Principala sa realizare – cartea „Despre mărimile și distanța soarelui și a lunii” – conform părerii unanime a istoricilor, este o adevărată ispravă științifică. În ea, el calculează raza Soarelui, raza Lunii și distanța de la Pământ la Lună și la Soare. A făcut-o singur, folosind o geometrie foarte simplă și rezultatele binecunoscute ale observațiilor Soarelui și Lunii. Aristarh nu se oprește la asta, el face câteva concluzii importante despre structura Universului, care erau cu mult înaintea timpului lor. Nu întâmplător a fost numit mai târziu „Copernic al Antichității”.
Calculul lui Aristarh poate fi împărțit aproximativ în trei etape. Fiecare pas se reduce la o simplă problemă geometrică. Primii doi pași sunt destul de elementari, al treilea este puțin mai dificil. În construcțiile geometrice, vom nota prin Z, Sși L centrele Pământului, Soarelui și, respectiv, Lunii și prin R, R sși R l sunt razele lor. Toate corpurile cerești vor fi considerate bile și orbitele lor - cercuri, așa cum credea Aristarh însuși (deși, așa cum știm acum, acest lucru nu este în întregime adevărat). Începem cu primul pas, iar pentru asta vom observa puțin Luna.
Pasul 1. De câte ori este Soarele mai departe decât Luna?
După cum știți, luna strălucește cu lumina soarelui reflectată. Dacă luați o minge și aprindeți un reflector mare pe ea din lateral, atunci exact jumătate din suprafața mingii va fi iluminată în orice poziție. Limita emisferei iluminate este un cerc situat într-un plan perpendicular pe razele de lumină. Astfel, Soarele luminează întotdeauna exact jumătate din suprafața Lunii. Forma lunii pe care o vedem depinde de modul în care se află această jumătate iluminată. La lună nouă când luna nu este deloc vizibilă pe cer, soarele își luminează reversul. Apoi emisfera iluminată se întoarce treptat spre Pământ. Începem să vedem o semilună subțire, apoi o lună („lună în creștere”), apoi un semicerc (această fază a lunii se numește „quadratură”). Apoi de la zi la zi (sau mai bine zis, noapte din noapte) semicercul crește până la luna plină. Apoi începe procesul invers: emisfera iluminată se îndepărtează de noi. Luna „îmbătrânește”, transformându-se treptat într-o lună, s-a întors spre noi cu partea stângă, ca litera „C”, și, în cele din urmă, în noaptea de lună nouă dispare. Perioada de la o lună nouă la următoarea durează aproximativ patru săptămâni. În acest timp, Luna face o revoluție completă în jurul Pământului. Un sfert din perioada trece de la luna noua la jumatatea lunii, de unde si denumirea de "patrat".
Conjectura remarcabilă a lui Aristarh a fost că, la pătrat, razele soarelui care iluminează jumătate din Lună sunt perpendiculare pe linia care leagă luna de pământ. Deci într-un triunghi ZLS unghiul apex L - linie dreaptă (fig. 3). Dacă acum măsurați unghiul LZS, o notăm cu α, apoi obținem că = cos α. Pentru simplitate, presupunem că observatorul se află în centrul Pământului. Acest lucru nu va afecta foarte mult rezultatul, deoarece distanțele de la Pământ la Lună și la Soare depășesc semnificativ raza Pământului. Deci, după măsurarea unghiului α dintre raze ZLși ZSîn timp ce face pătrat, Aristarh calculează raportul dintre distanțele față de lună și soare. Cum să prindeți Soarele și Luna pe cer în același timp? Acest lucru se poate face dimineața devreme. Dificultatea apare dintr-un alt motiv, neașteptat. Pe vremea lui Aristarh, nu existau cosinus. Primele concepte de trigonometrie vor apărea mai târziu, în lucrările lui Apollonius și Arhimede. Dar Aristarh știa ce sunt astfel de triunghiuri și asta era suficient. Desenând un mic triunghi dreptunghic Z "L" S " cu același unghi ascuțit α = L "Z" S "și măsurându-și laturile, aflăm că, iar acest raport este aproximativ egal cu 1/400.
Pasul 2. De câte ori este Soarele mai mare decât Luna?
Pentru a afla raportul dintre razele Soarelui și ale Lunii, Aristarh folosește eclipsele de soare (Fig. 4). Ele apar atunci când Luna ascunde Soarele. Cu parțial, sau, după cum spun astronomii, privat, eclipsa, Luna trece doar peste discul Soarelui, fara sa-l acopere complet. Uneori o astfel de eclipsă nu poate fi văzută nici cu ochiul liber, soarele strălucește ca într-o zi normală. Doar printr-o întunecare puternică, de exemplu, sticla fumurie, se poate vedea cum o parte a discului solar este acoperită de un cerc negru. Mult mai rar, are loc o eclipsă totală, când Luna acoperă complet discul solar timp de câteva minute.
În acest moment, se întunecă, apar stele pe cer. Eclipsele i-au îngrozit pe oamenii antici, au fost considerate vestigii de tragedii. O eclipsă de soare este observată în moduri diferite în diferite părți ale Pământului. În timpul unei eclipse totale, pe suprafața Pământului apare o umbră de pe Lună - un cerc al cărui diametru nu depășește 270 km. Doar în acele zone ale globului prin care trece această umbră se poate observa o eclipsă totală. Prin urmare, în același loc, o eclipsă totală are loc extrem de rar - în medie, o dată la 200-300 de ani. Aristarh a avut noroc - a putut observa o eclipsă totală de soare cu propriii ochi. Pe cerul fără nori, Soarele a început treptat să se întunece și să scadă în dimensiune, iar amurgul a fost stabilit. Pentru câteva clipe, Soarele a dispărut. Apoi prima rază de lumină a pătruns prin, discul solar a început să crească și în curând Soarele a strălucit din plin. De ce durează o eclipsă atât de scurtă? Aristarh răspunde: motivul este că Luna are aceleași dimensiuni aparente pe cer ca și Soarele. Ce înseamnă? Să desenăm un plan prin centrele Pământului, Soarelui și Lunii. Secțiunea rezultată este prezentată în Figura 5. A... Unghiul dintre tangente trasate dintr-un punct Z la circumferința lunii se numește dimensiune unghiulară Luna sau ea diametrul unghiular. Se determină și dimensiunea unghiulară a Soarelui. Dacă diametrele unghiulare ale Soarelui și ale Lunii coincid, atunci ele au aceleași dimensiuni aparente pe cer, iar în timpul unei eclipse, Luna ascunde într-adevăr complet Soarele (Fig. 5). b), dar numai pentru o clipă, când razele coincid ZLși ZS... Fotografia unei eclipse totale de soare (vezi Fig. 4) arată clar egalitatea dimensiunilor.
Concluzia lui Aristarh s-a dovedit a fi uimitor de exactă! În realitate, diametrele unghiulare medii ale Soarelui și Lunii diferă doar cu 1,5%. Suntem nevoiți să vorbim despre diametre medii, deoarece acestea se schimbă pe parcursul anului, deoarece planetele se mișcă nu în cercuri, ci în elipse.
Conectarea centrului pământului Z cu centrele soarelui S si luna Lși, de asemenea, cu puncte de contact Rși Q, obținem două triunghiuri dreptunghiulare ZSPși ZLQ(vezi fig. 5 A). Sunt similare prin aceea că au o pereche de unghiuri ascuțite egale β / 2. Prin urmare, 
... Prin urmare, raportul dintre razele soarelui și ale lunii este egal cu raportul dintre distanțele de la centrele lor la centrul Pământului... Asa de, R s/R l= κ = 400. În ciuda faptului că dimensiunile lor aparente sunt egale, Soarele s-a dovedit a fi de 400 de ori mai mare decât Luna!
Egalitatea dimensiunilor unghiulare ale Lunii și Soarelui este o coincidență fericită. Nu decurge din legile mecanicii. Multe planete ale sistemului solar au sateliți: Marte are doi, Jupiter are patru (și câteva zeci mai mici) și toate au dimensiuni unghiulare diferite care nu coincid cu cea solară.
Acum trecem la pasul crucial și cel mai dificil.
Pasul 3. Calcularea dimensiunii Soarelui și Lunii și a distanțelor acestora
Deci, știm raportul dintre dimensiunile Soarelui și Lunii și raportul dintre distanța lor față de Pământ. Aceasta informatie relativ: restabilește imaginea lumii înconjurătoare numai până la asemănare. Puteți elimina Luna și Soarele de pe Pământ de 10 ori, mărindu-le dimensiunea cu aceeași cantitate, iar imaginea vizibilă de pe Pământ va rămâne aceeași. Pentru a găsi dimensiunile reale ale corpurilor cerești, trebuie să le corelați cu o dimensiune cunoscută. Dar dintre toate valorile astronomice, Aristarh cunoaște până acum doar raza globului. R = 6400 km Va ajuta? Apare raza Pământului în vreunul dintre fenomenele vizibile care au loc pe cer? Nu întâmplător se spune „cer și pământ”, adică două lucruri incompatibile. Și totuși există un astfel de fenomen. Aceasta este o eclipsă de lună. Cu ajutorul lui, aplicând o construcție geometrică destul de inteligentă, Aristarh calculează raportul dintre raza Soarelui și raza Pământului, iar lanțul se închide: acum găsim simultan raza Lunii, raza Soarelui și în același timp distanța de la Lună și de la Soare la Pământ.
Cu o eclipsă de lună, Luna merge în umbra Pământului. Ascunsă în spatele Pământului, Luna este lipsită de lumina soarelui și astfel încetează să mai strălucească. Nu dispare complet din vedere, deoarece o mică parte din lumina soarelui este împrăștiată de atmosfera pământului și ajunge pe Lună ocolind Pământul. Luna se întunecă, dobândind o nuanță roșiatică (razele roșii și portocalii trec cel mai bine prin atmosferă). În același timp, umbra de pe Pământ este clar vizibilă pe discul lunar (Fig. 6). Forma rotundă a umbrei confirmă încă o dată sfericitatea Pământului. Aristarh era interesat de mărimea acestei umbre. Pentru a determina raza cercului de umbră al pământului (vom face acest lucru din fotografia din Figura 6), este suficient să rezolvi un exercițiu simplu.
Exercițiul 4. Un arc de cerc este dat pe un plan. Folosind o busolă și o riglă, desenați un segment de linie egal cu raza acestuia.
După finalizarea construcției, constatăm că raza umbrei Pământului este de aproximativ două ori mai mare decât raza Lunii. Să ne întoarcem acum la Figura 7. Zona de umbră a Pământului, în care cade Luna în timpul unei eclipse, este vopsită în gri. Să presupunem că centrele cercurilor S, Zși L culcați pe o singură linie dreaptă. Să desenăm diametrul lunii M 1 M 2 perpendicular pe dreapta LS. Continuarea acestui diametru intersectează tangentele comune ale cercurilor Soarelui și Pământului în puncte D 1 și D 2. Apoi segmentul D 1 D 2 este aproximativ egal cu diametrul umbrei Pământului. Am ajuns la următoarea problemă.
Obiectivul 1. Date trei cercuri cu centre S, Zși L culcat pe o linie dreaptă. Secțiune D 1 D 2 de trecere L, perpendicular pe dreapta SL, iar capetele sale se află pe tangente externe comune la primul și al doilea cerc. Se știe că raportul segmentului D 1 D 2 la diametrul celui de-al treilea cerc este t, iar raportul dintre diametrele primului și celui de-al treilea cerc este ZS/ZL= κ. Aflați raportul dintre diametrele primului și celui de-al doilea cerc.
Dacă această problemă este rezolvată, atunci se va găsi raportul dintre razele Soarelui și Pământul. Aceasta înseamnă că va fi găsită raza Soarelui și, odată cu ea, Luna. Dar nu se va putea rezolva. Puteți încerca - o dată lipsește din sarcină. De exemplu, unghiul dintre tangentele externe comune la primele două cercuri. Dar chiar dacă acest unghi ar fi cunoscut, soluția ar folosi trigonometria, pe care Aristarh nu o cunoștea (formulăm problema corespunzătoare în exercițiul 6). Găsește o cale de ieșire mai ușoară. Să desenăm diametrul A 1 A 2 primul cerc și diametrul B 1 B 2 în al doilea rând, ambele sunt paralele cu linia D 1 D 2 . Lasa C 1 și CU 2 - puncte de intersecție ale segmentului D 1 D 2 cu dreptate A 1 B 1 și A 2 V 2 respectiv (Fig. 8). Apoi luăm segmentul ca diametru al umbrei pământului C 1 C 2 în loc de un segment D 1 D 2. Opreste opreste! Ce înseamnă „luați un segment în loc de altul”? Nu sunt egali! Secțiune C 1 C 2 se află în interiorul segmentului D 1 D 2 înseamnă C 1 C 2 <D 1 D 2. Da, segmentele sunt diferite, dar ele aproape egal. Cert este că distanța de la Pământ la Soare este de multe ori mai mare decât diametrul Soarelui (de aproximativ 215 de ori). Prin urmare distanța ZSîntre centrele primului și celui de-al doilea cerc depășește semnificativ diametrele acestora. Aceasta înseamnă că unghiul dintre tangentele externe comune la aceste cercuri este aproape de zero (în realitate este de aproximativ 0,5 °), adică tangentele sunt „aproape paralele”. Dacă erau exact paralele, atunci punctele A 1 și B 1 ar coincide cu punctele de tangență, deci punctul C 1 s-ar potrivi D 1, a C 2 sec D 2 și, prin urmare C 1 C 2 =D 1 D 2. Astfel, segmentele C 1 C 2 și D 1 D 2 sunt aproape egale. Nici aici intuiția nu l-a dezamăgit pe Aristarh: de fapt, diferența dintre lungimile segmentelor este mai mică de o sutime de procent! Acest lucru nu este nimic în comparație cu posibilele erori de măsurare. După ce am eliminat liniile suplimentare, inclusiv cercurile și tangentele lor comune, ajungem la următoarea problemă.
Sarcina 1 ". Pe părțile laterale ale trapezului A 1 A 2 CU 2 CU 1 punct luat B 1 și V 2 astfel încât segmentul V 1 V 2 este paralel cu bazele. Lasa S, Z u L- mijlocul segmentelor A 1 A 2 , B 1 B 2 și C 1 C 2 respectiv. Bazat C 1 C 2 este un segment M 1 M 2 cu mijlocul L... Se știe că
și . Găsi A 1 A 2 /B 1 B 2 .
Soluţie. De atunci, și de aici triunghiurile A 2 SZși M 1 LZ sunt similare cu coeficientul SZ/LZ= κ. Prin urmare, A 2 SZ= M 1 LZ, și, prin urmare, punctul Z se află pe segment M 1 A 2 .
În mod similar, Z se află pe segment M 2 A 1
(fig. 9). pentru că C 1 C 2 = t M 1 M 2
și 
, atunci .
Prin urmare,
Pe de alta parte,
Mijloace, 
... Din această egalitate obținem imediat că.
Deci, raportul dintre diametrele Soarelui și Pământului este egal, iar Luna și Pământul sunt egale.
Înlocuind valorile cunoscute κ = 400 și t= 8/3, obținem că Luna este de aproximativ 3,66 ori mai mică decât Pământul, iar Soarele este de 109 ori mai mare decât Pământul. De la raza Pământului Rștim, găsim raza lunii R l= R/ 3,66 și raza Soarelui R s= 109R.
Acum distanțele de la Pământ la Lună și la Soare sunt calculate într-un singur pas, acest lucru se poate face folosind diametrul unghiular. Diametrul unghiular β al Soarelui și Lunii este de aproximativ o jumătate de grad (0,53 ° pentru a fi exact). Cum l-au măsurat astronomii antici este discutat mai târziu. Omiterea tangentei ZQ pe circumferința Lunii, obținem un triunghi dreptunghic ZLQ cu un unghi ascuțit β / 2 (Fig. 10).
Din el găsim 
, care este aproximativ egal cu 215 R l, sau 62 R... În mod similar, distanța până la Soare este de 215 R s = 23 455R.
Tot. Se găsesc dimensiunile Soarelui și Lunii și distanțele până la acestea.
Exerciții
5. Demonstrează că liniile drepte A 1 B 1 , A 2 B 2 iar două tangente externe comune la primul și al doilea cerc (vezi Fig. 8) se intersectează într-un punct.
6. Rezolvați problema 1 dacă este cunoscut și unghiul dintre tangentele dintre primul și al doilea cerc.
7. O eclipsă de soare poate fi observată în unele părți ale globului și nu poate fi observată în altele. Ce zici de o eclipsă de lună?
8. Demonstrați că o eclipsă de soare poate fi observată doar în timpul lunii noi, iar o eclipsă de lună numai în timpul lunii pline.
9. Ce se întâmplă pe Lună când are loc o eclipsă de Lună pe Pământ?
Beneficiile greșelilor
De fapt, totul a fost ceva mai complicat. Geometria tocmai se forma și multe lucruri ne sunt familiare încă din clasa a opta de școală nu erau deloc evidente la acea vreme. A fost nevoie de Aristarh pentru a scrie o carte întreagă pentru a prezenta ceea ce am schițat în trei pagini. Și cu măsurători experimentale, de asemenea, totul nu a fost ușor. În primul rând, Aristarh a făcut o greșeală în măsurarea diametrului umbrei pământului în timpul unei eclipse de Lună, primind raportul t= 2 în loc de. În plus, el, se pare, a pornit de la valoarea incorectă a unghiului β - diametrul unghiular al Soarelui, considerându-l egal cu 2 °. Dar această versiune este controversată: Arhimede în tratatul său „Psammit” scrie că, dimpotrivă, Aristarh a folosit o valoare aproape corectă de 0,5 °. Cu toate acestea, cea mai teribilă greșeală a avut loc la primul pas, la calcularea parametrului κ - raportul dintre distanțe de la Pământ la Soare și la Lună. În loc de κ = 400, Aristarh a obținut κ = 19. Cum ați fi putut greși de mai mult de 20 de ori? Să revenim din nou la Pasul 1, Figura 3. Pentru a găsi raportul κ = ZS/ZL, Aristarh a măsurat unghiul α = SZL, și apoi κ = 1 / cos α. De exemplu, dacă unghiul α ar fi egal cu 60 °, atunci am obține κ = 2, iar Soarele ar fi de două ori mai departe de Pământ decât Lună. Dar rezultatul măsurării s-a dovedit a fi neașteptat: unghiul α s-a dovedit a fi aproape corect. Aceasta însemna că catetul ZS de multe ori superior ZL... Aristarh a obținut α = 87 °, iar apoi cos α = 1/19 (amintim că toate calculele noastre sunt aproximative). Valoarea adevărată a unghiului și cos α = 1/400. Deci o eroare de măsurare mai mică de 3 ° a dus la o eroare de 20 de ori! După finalizarea calculelor, Aristarh ajunge la concluzia că raza Soarelui este de 6,5 ori raza Pământului (în loc de 109).
Erorile erau inevitabile, având în vedere instrumentele de măsurare imperfecte ale zilei. Mai important, metoda s-a dovedit a fi corectă. În curând (după standardele istorice, adică după aproximativ 100 de ani), remarcabilul astronom al antichității Hiparh (190 - c. 120 î.Hr.) va elimina toate inexactitățile și, urmând metoda lui Aristarh, va calcula dimensiunile corecte ale Soarelui și ale Luna. Poate că greșeala lui Aristarh s-a dovedit a fi utilă în cele din urmă. Înaintea lui, opinia predominantă a fost că Soarele și Luna fie au aceleași dimensiuni (după cum pare unui observator pământesc), fie diferă ușor. Chiar și diferența de 19 ori i-a surprins pe contemporani. Prin urmare, este posibil ca dacă Aristarh ar fi găsit raportul corect κ = 400, nimeni nu ar fi crezut în acest lucru și poate că însuși savantul și-ar fi abandonat metoda, considerând rezultatul absurd. Un principiu binecunoscut spune că geometria este arta de a raționa bine pe desene prost executate. Pentru a parafraza, putem spune că știința în general este arta de a trage concluzii corecte din observații inexacte, sau chiar eronate. Și Aristarh a făcut o astfel de concluzie. Cu 17 secole înainte de Copernic, el și-a dat seama că în centrul lumii nu se află Pământul, ci Soarele. Așa a apărut pentru prima dată modelul heliocentric și conceptul de sistem solar.
Ce este în centru?
Ideea dominantă în Lumea Antică despre structura Universului, cunoscută nouă din lecțiile de istorie, a fost că în centrul lumii există un Pământ staționar, 7 planete se învârt în jurul lui pe orbite circulare, inclusiv Luna și Soarele. (care era considerată și o planetă). Totul se termină cu o sferă cerească cu stele atașate de ea. Sfera se învârte în jurul Pământului, făcând o revoluție completă în 24 de ore. De-a lungul timpului, acest model a fost revizuit de multe ori. Deci, au început să creadă că sfera cerească este nemișcată, iar Pământul se rotește în jurul axei sale. Apoi au început să corecteze traiectoriile planetelor: cercurile au fost înlocuite cu cicloide, adică linii care descriu punctele unui cerc atunci când acesta se mișcă de-a lungul altui cerc (puteți citi despre aceste linii minunate în cărțile lui GN Berman " Cycloid”, AI Markushevich „Wonderful Curves”, precum și în „Quantum”: articol de S. Verov „Secretele unui cicloid” nr. 8, 1975 și un articol de SG Gindikin „The Star Age of Cycloids”, nr. 6, 1985). Cicloizii au fost mai în acord cu rezultatele observațiilor, în special, au explicat mișcările „înapoi” ale planetelor. Aceasta - geocentric sistemul lumii, în centrul căruia se află Pământul („gay”). În secolul al II-lea, a luat forma finală în cartea „Almagest” a lui Claudius Ptolemeu (87-165), un remarcabil astronom grec, omonim regilor egipteni. Cu timpul, unele cicloide au devenit mai complexe, s-au adăugat tot mai multe cercuri intermediare. Dar, în ansamblu, sistemul lui Ptolemeu a prevalat timp de aproximativ un mileniu și jumătate, până în secolul al XVI-lea, înainte de descoperirile lui Copernic și Kepler. La început, și Aristarh a aderat la modelul geocentric. Totuși, după ce a calculat că raza Soarelui este de 6,5 ori mai mare decât raza Pământului, a pus o întrebare simplă: de ce ar trebui să se învârte un Soare atât de mare în jurul unui Pământ atât de mic? La urma urmei, dacă raza Soarelui este de 6,5 ori mai mare, atunci volumul său este de aproape 275 de ori mai mare! Aceasta înseamnă că soarele ar trebui să fie în centrul lumii. În jurul lui se învârt 6 planete, inclusiv Pământul. Și a șaptea planetă, Luna, se învârte în jurul Pământului. Așa a apărut heliocentric sistem al lumii („helios” - soarele). Deja Aristarh însuși a remarcat că un astfel de model explică mai bine mișcarea aparentă a planetelor pe orbite circulare, este mai în acord cu rezultatele observațiilor. Dar nici oamenii de știință, nici autoritățile oficiale nu au acceptat-o. Aristarh a fost acuzat de ateism și a fost persecutat. Dintre toți astronomii antichității, doar Seleucus a devenit un susținător al noului model. Nimeni altcineva nu a acceptat-o, cel puțin istoricii nu au informații solide în acest sens. Chiar și Arhimede și Hiparh, care l-au venerat pe Aristarh și au dezvoltat multe dintre ideile sale, nu au îndrăznit să pună Soarele în centrul lumii. De ce?
De ce nu a acceptat lumea sistemul heliocentric?
Cum s-a întâmplat ca timp de 17 secole oamenii de știință să nu accepte sistemul simplu și logic al lumii propus de Aristarh? Și asta în ciuda faptului că sistemul geocentric recunoscut oficial al lui Ptolemeu a eșuat adesea, nefiind de acord cu rezultatele observațiilor planetelor și stelelor. A trebuit să adaug din ce în ce mai multe cercuri (așa-numitele bucle imbricate) pentru descrierea „corectă” a mișcării planetelor. Ptolemeu însuși nu se temea de dificultăți, scria: „De ce să fii surprins de mișcarea complexă a corpurilor cerești dacă esența lor ne este necunoscută?” Cu toate acestea, până în secolul al XIII-lea, 75 dintre aceste cercuri se acumulaseră! Modelul a devenit atât de greoi încât au început să se ridice obiecții prudente: Este lumea într-adevăr atât de complexă? Cazul lui Alfonso X (1226-1284), rege al Castiliei și Leonului, stat care a ocupat o parte a Spaniei moderne, este larg cunoscut. El, patronul științelor și artelor, care a adunat la curtea sa cincizeci dintre cei mai buni astronomi ai lumii, a spus la una dintre discuțiile sale științifice că „dacă Domnul m-ar fi onorat și mi-ar fi cerut sfatul la crearea lumii, multe ar fi fost. a fost mai ușor.” O asemenea insolență nu a fost iertată nici măcar regilor: Alphonse a fost destituit și trimis la o mănăstire. Dar au rămas îndoieli. Unele dintre ele ar putea fi rezolvate prin plasarea Soarelui în centrul Universului și adoptarea sistemului Aristarh. Scrierile lui erau bine cunoscute. Cu toate acestea, timp de multe secole, niciunul dintre oamenii de știință nu a îndrăznit să facă un astfel de pas. Motivele nu erau doar de frica autorităților și a bisericii oficiale, care considerau teoria lui Ptolemeu ca fiind singura corectă. Și nu numai în inerția gândirii umane: nu este atât de ușor să admitem că Pământul nostru nu este centrul lumii, ci doar o planetă obișnuită. Totuși, pentru un adevărat om de știință, nici frica, nici stereotipurile nu sunt obstacole în calea către adevăr. Sistemul heliocentric a fost respins din motive destul de științifice, s-ar putea spune chiar, geometrice. Dacă presupunem că Pământul se învârte în jurul Soarelui, atunci traiectoria lui este un cerc cu o rază egală cu distanța de la Pământ la Soare. După cum știm, această distanță este egală cu 23.455 de raze Pământului, adică mai mult de 150 de milioane de kilometri. Aceasta înseamnă că Pământul se mișcă 300 de milioane de kilometri în decurs de șase luni. O dimensiune uriașă! Dar imaginea cerului înstelat pentru un observator terestru rămâne aceeași. Pământul se apropie acum, apoi se îndepărtează de stele cu 300 de milioane de kilometri, dar nici distanțele aparente dintre stele (de exemplu, forma constelațiilor), nici luminozitatea acestora nu se modifică. Aceasta înseamnă că distanțele până la stele trebuie să fie de câteva mii de ori mai mari, adică sfera cerească trebuie să aibă dimensiuni absolut inimaginabile! Acest lucru, de altfel, a fost realizat chiar de Aristarh, care a scris în cartea sa: „Volumul unei sfere de stele fixe este de atâtea ori mai mare decât volumul unei sfere cu raza Pământ-Soare, de câte ori volumul acestuia din urmă este mai mare decât volumul globului”, adică, potrivit lui Aristarh, s-a dovedit că distanța până la stele este (23 455) 2 R, este peste 3,5 trilioane de kilometri. În realitate, distanța de la Soare la cea mai apropiată stea este încă de aproximativ 11 ori mai mare. (În modelul pe care l-am prezentat la început, când distanța de la Pământ la Soare este de 10 m, distanța până la cea mai apropiată stea este de... 2700 de kilometri!) În loc de o lume compactă și confortabilă, în centru dintre care este Pământul și care este plasat în interiorul unei sfere cerești relativ mici, Aristarh a pictat un abis. Și această prăpastie i-a înspăimântat pe toată lumea.
Venus, Mercur și imposibilitatea sistemului geocentric
Între timp, imposibilitatea unui sistem geocentric al lumii, cu mișcări circulare ale tuturor planetelor din jurul Pământului, poate fi stabilită folosind o simplă problemă geometrică.
Obiectivul 2. Pe plan sunt date două cercuri cu un centru comun. O, două puncte se deplasează uniform de-a lungul lor: punct M de-a lungul unui cerc și punct V pe de altă parte. Demonstrați că fie se mișcă în aceeași direcție cu aceeași viteză unghiulară, fie la un moment dat unghiul MOV prost.
Soluţie. Dacă punctele se mișcă în aceeași direcție cu viteze diferite, atunci după un timp razele OMși OV se va dovedi a fi codirecțional. Unghi suplimentar MOVîncepe să crească monoton până la următoarea coincidență, adică până la 360 °. Prin urmare, la un moment dat este egal cu 180 °. Cazul în care punctele se mișcă în direcții diferite este considerat în același mod.
Teorema. O situație în care toate planetele sistemului solar se rotesc uniform în jurul Pământului pe orbite circulare este imposibilă.
Dovada. Lasa O- centrul Pământului, M- centrul lui Mercur și V - centrul lui Venus. Conform observațiilor pe termen lung, Mercur și Venus au perioade diferite de revoluție, iar unghiul MOV nu depășește niciodată 76 °. În virtutea rezultatului problemei 2 se demonstrează teorema.
Desigur, grecii antici au întâlnit în mod repetat astfel de paradoxuri. De aceea, pentru a salva modelul geocentric al lumii, au făcut planetele să se miște nu în cercuri, ci în cicloide.
Dovada teoremei nu este în întregime corectă, deoarece Mercur și Venus nu se rotesc în același plan, ca în problema 2, ci în altul diferit. Deși planurile orbitelor lor aproape coincid: unghiul dintre ele este de doar câteva grade. În exercițiul 10, vă sugerăm să eliminați această deficiență și să rezolvați un analog al Problemei 2 pentru punctele care se rotesc în planuri diferite. O altă obiecție: poate un unghi MOV uneori plictisitor, dar nu o vedem, pentru că este zi pe Pământ la această oră? Acceptăm și asta. În exercițiul 11, trebuie să dovediți că pentru Trei razele de rotație, va veni întotdeauna un moment în care formează unghiuri obtuze între ele. Dacă la capetele razelor se află Mercur, Venus și Soare, atunci în acest moment Mercur și Venus vor fi vizibile pe cer, dar Soarele nu, adică va fi noapte pe pământ. Dar trebuie să vă avertizăm: Exercițiile 10 și 11 sunt mult mai dificile decât Problema 2. În cele din urmă, în Exercițiul 12 vă sugerăm, nu mai puțin, să calculați distanța de la Venus la Soare și de la Mercur la Soare (ele, desigur, , se învârte în jurul Soarelui, nu în jurul Pământului). Vedeți singuri cât de ușor este după ce am învățat metoda Aristarh.
Exerciții
10. Două cercuri cu un centru comun sunt date în spațiu O, două puncte se deplasează uniform de-a lungul lor cu viteze unghiulare diferite: punct M de-a lungul unui cerc și punct V pe de altă parte. Demonstrați că la un moment dat unghiul MOV prost.
11. Pe plan sunt date trei cercuri cu un centru comun. O, trei puncte se deplasează de-a lungul lor uniform cu viteze unghiulare diferite. Demonstrați că la un moment dat toate cele trei unghiuri dintre raze cu vârf Oîndreptate către punctele date sunt obtuze.
12. Se știe că distanța unghiulară maximă dintre Venus și Soare, adică unghiul maxim dintre razele direcționate de la Pământ către centrele lui Venus și Soare, este de 48 °. Aflați raza orbitei lui Venus. Același lucru este și pentru Mercur dacă se știe că distanța unghiulară maximă dintre Mercur și Soare este de 28 °.
Atingerea finală: măsurarea dimensiunilor unghiulare ale soarelui și lunii
Urmând pas cu pas raționamentul lui Aristarh, am omis doar un aspect: cum a fost măsurat diametrul unghiular al Soarelui? Aristarh însuși nu a făcut acest lucru, folosind măsurătorile altor astronomi (aparent, nu complet corecte). Amintiți-vă că a fost capabil să calculeze razele Soarelui și Lunii fără a implica diametrele unghiulare ale acestora. Priviți din nou pașii 1, 2 și 3: diametrul unghiului nu este folosit nicăieri! Este necesar doar să se calculeze distanțele până la Soare și Lună. O încercare de a determina dimensiunea unghiulară „prin ochi” nu aduce succes. Dacă cereți câțiva oameni să estimeze diametrul unghiular al lunii, cei mai mulți vor spune că unghiul este de 3 până la 5 grade, ceea ce este de multe ori mai mare decât valoarea adevărată. Înșelăciunea optică afectează: Luna albă strălucitoare pare masivă pe fundalul unui cer întunecat. Primul care a efectuat o măsurare riguroasă din punct de vedere matematic a diametrului unghiular al Soarelui și al Lunii a fost Arhimede (287-212 î.Hr.) și-a conturat metoda în cartea Psammit (Calcul grăuntelor de nisip). Era conștient de complexitatea sarcinii: „Nu este ușor să obțineți valoarea exactă a acestui unghi, deoarece nici ochii, nici mâinile, nici instrumentele cu care se face numărarea nu oferă suficientă acuratețe”. Prin urmare, Arhimede nu se angajează să calculeze valoarea exactă a diametrului unghiular al Soarelui, el o estimează doar de sus și de jos. El plasează un cilindru circular la capătul unei rigle lungi, vizavi de ochiul observatorului. Rigla este îndreptată spre Soare, iar cilindrul este mutat spre ochi până când ascunde complet Soarele. Apoi, observatorul pleacă și un segment este marcat la capătul riglei MN egală cu mărimea pupilei umane (Fig. 11).
Apoi unghiul α 1 dintre drepte DOMNULși NQ mai mic decât diametrul unghiular al Soarelui, iar unghiul α 2 = POQ- Mai mult. Am notat prin PQ diametrul bazei cilindrului și prin O - mijlocul segmentului MN... Deci, α 1< β < α 2 (докажите это в упражнении 13). Так Архимед находит, что угловой диаметр Солнца заключен в пределах от 0,45° до 0,55°.
Rămâne neclar de ce Arhimede măsoară Soarele și nu Luna. Cunoștea bine cartea lui Aristarh și știa că diametrele unghiulare ale Soarelui și ale Lunii sunt aceleași. Luna este mult mai convenabil de măsurat: nu orbește ochii și marginile ei sunt mai clar vizibile.
Unii astronomi antici au măsurat diametrul unghiular al Soarelui pe baza duratei unei eclipse de soare sau de lună. (Încercați să restabiliți această metodă în exercițiul 14.) Sau puteți face același lucru fără a aștepta eclipsele, ci pur și simplu urmăriți apusul. Să alegem pentru aceasta ziua echinocțiului de primăvară pe 22 martie, când Soarele răsare exact în est, și apune exact în vest. Aceasta înseamnă că punctele de creștere Eși apusul soarelui W diametral opus. Pentru un observator terestru, Soarele se mișcă într-un cerc cu un diametru EW... Planul acestui cerc formează un unghi de 90 ° - γ cu planul orizontal, unde γ este latitudinea geografică a punctului M, în care se află observatorul (de exemplu, pentru Moscova γ = 55,5 °, pentru Alexandria γ = 31 °). Dovada este prezentată în Figura 12. Linie dreaptă ZP- axa de rotatie a Pamantului, perpendiculara pe planul ecuatorului. Latitudinea punctului M- unghiul dintre segment ZPși planul ecuatorului. Să o luăm prin centrul soarelui S planul α perpendicular pe ax ZP.
Planul orizontului atinge globul într-un punct M... Pentru un observator la punct M, Soarele în timpul zilei se mișcă într-un cerc în planul α cu centrul R si raza PS... Unghiul dintre planul α și planul orizontului este egal cu unghiul MZP, care este egal cu 90 ° - γ, deoarece planul α este perpendicular pe ZP, iar planul orizontului este perpendicular pe ZM... Deci, în ziua echinocțiului, Soarele apune în spatele orizontului la un unghi de 90 ° - γ. În consecință, în timpul apusului, acesta străbate un arc de cerc egal cu β / cos γ, unde β este diametrul unghiular al Soarelui (Fig. 13). Pe de altă parte, în 24 de ore parcurge o revoluție completă de-a lungul acestui cerc, adică 360 °.
Obținem proporția în care Exact șase, nu nouă, deoarece Uranus, Neptun și Pluto au fost descoperite mult mai târziu. Cel mai recent, pe 13 septembrie 2006, prin decizia Uniunii Astronomice Internaționale (IAU), Pluto și-a pierdut statutul de planetar. Deci acum există opt planete în sistemul solar.
Adevăratul motiv pentru dizgrația regelui Alphonse a fost, se pare, lupta obișnuită pentru putere, dar remarca lui ironică despre structura lumii a servit drept motiv întemeiat pentru dușmanii săi.
Satelitul nostru natural, Luna, atrage privirile oamenilor de mai bine de un mileniu. Este al doilea cel mai strălucitor obiect de pe cer după Soare și are în multe privințe un impact asupra vieții pământești, de exemplu, datorită Lunii, există flux și reflux. Pentru prima dată distanța până la Lună a fost măsurată de astronomul și matematicianul grec antic Hiparh în secolul al II-lea î.Hr.
Dimensiunea unghiulară a lunii
Mai întâi, să decidem asupra datelor de intrare de care avem nevoie pentru calcule. În timpul unei eclipse totale de soare, putem observa că discul lunar se suprapune aproape perfect pe suprafața soarelui. Această observație le spune astronomilor că dimensiunile unghiulare ale Lunii și ale Soarelui sunt practic aceleași. Diametrul unghiular se referă la unghiul dintre două raze emise de ochii observatorului care trec prin punctele extrem opuse ale obiectului măsurat (vezi figura de mai jos).
Principiul de bază al măsurării diametrului unghiular al Soarelui (accesibil).
Nu aveți nevoie de instrumente speciale pentru a efectua măsurători. Pe o lună plină, îndoiți o bucată mică de hârtie astfel încât să acopere complet discul lunii. Împărțind lățimea hârtiei la distanța de la ea la ochi, obțineți dimensiunea unghiulară exprimată în radiani. În acest caz, nu este nevoie să aplicați o formulă exactă din punct de vedere matematic, deoarece pentru unghiuri mici tg α ≈ α... Nu faceți astfel de măsurători pentru Soare! Vă puteți deteriora grav ochii.
Determinarea dimensiunilor unghiulare ale obiectelor îndepărtate și a distanțelor unghiulare dintre obiecte este o parte importantă a observațiilor astronomice și va fi menționată în mod repetat în materialele viitoare. Minutele și secundele de arc sunt de obicei folosite pentru a le indica. Pentru a converti minutele de arc în grade, pur și simplu împărțiți valoarea la 60, de exemplu, diametrul aparent al lunii este de aproximativ 30 ′ sau 0,5 grade. A doua unitate de măsură, adesea folosită, este radianii, vă permite să simplificați calculele preliminare și să scăpați de trigonometrie. Un radian este unghiul care corespunde unui arc care este lungimea razei cercului (vezi figura). Pentru a converti minutele de arc în radiani, indicatorul trebuie înmulțit cu π / 10800, astfel obținem o valoare de ~ 0,0087 pentru Lună.
Cunoaștem deja una aproximativă din articolul precedent și știm și despre existența eclipselor de Lună, în timpul cărora planeta noastră aruncă o umbră pe suprafața Lunii. Pentru calcule suplimentare, avem nevoie și de dimensiunea unghiulară a umbrei pământului într-o eclipsă totală de Lună. Are mai mult de două ori și jumătate diametrul Lunii și, în consecință, măsurarea directă a umbrei este oarecum problematică. Cu toate acestea, în cursul observațiilor, este posibil să se detecteze timpul în care Luna va fi acoperită complet de o umbră de pe o margine a Pământului pentru prima dată și apoi să se măsoare timpul până la momentul în care umbra de la marginea opusă începe să părăsească discul lunar. Rezolvarea proporției dă o valoare aproximativă de 80 ′ sau 0,023 radiani. Acum că avem toate datele de intrare necesare, putem începe să calculăm.
Distanța până la lună
Toate calculele se bazează pe geometrie euclidiană simplă, prezentată în figura de mai jos, care arată schematic o eclipsă de Lună. Ne vom baza pe presupunerea că distanța dintre Pământ și Soare este mult mai mare decât distanța până la Lună. Astfel, putem lua în considerare unghiul α egal cu diametrul unghiular al Soarelui, care, la rândul său, este aproximativ egal cu lunar.
Schema de determinare a distanței până la lună prin metoda lui Aristarh. Calculele au fost efectuate mai întâi de Giparh.
Revista Natură, nr. 7, 2008
Diametrul pământului este baza triunghiului ABCși până acum necunoscută pentru noi lungimea umbrei în timpul unei eclipse de Lună servește drept bază A′BC ′... Aceste triunghiuri isoscele sunt similare, deoarece au aceleași unghiuri, prin urmare, raportul dintre înălțimile lor este egal cu coeficientul de similitudine. Facem proporția:
Dacă notăm distanța până la Lună cu L, atunci diametrul umbrei pământului va fi D ЗТ = L * β... De asemenea, înălțimea triunghiului A′BC ′ este egal cu H L = H Z - L, și înălțimea ABC este egal cu H З = D З / α... Să facem o serie de înlocuiri:
Înmulțind distanța până la Lună cu dimensiunea sa unghiulară, obținem un diametru aproximativ de 3497 km, ceea ce este foarte aproape de realitate. Pentru comparație, vă prezentăm exact datele moderne: semiaxa mare este de 384 399 km, diametrul mediu este de 3474 km. A ieșit destul de bine, având în vedere precizia scăzută a măsurătorilor unghiulare. Puteți calcula singur diametrul umbrei pământului, am primit deja toate datele necesare pentru aceasta.
În momentul de față știm că orbita Lunii este eliptică cu o excentricitate de 0,0549. În punctul său cel mai apropiat (perigeu), satelitul se apropie de noi 356 400 km, iar distanța sa maximă (apogeu) este de 406 700 km. Distanța până la Lună în vremea noastră este determinată cu o acuratețe fantastică utilizând distanța laser. Pe 21 iulie 1969, astronauții Apollo 11 au lăsat primul reflector de colț de pe suprafața lunară pentru acest tip de măsurare. Esența metodei este că un fascicul laser focalizat este trimis de la Pământ la reflector (pe suprafața lunară, aria fasciculului este de aproximativ 25 km 2), o parte din lumină se întoarce înapoi la detector. Cunoscând timpul exact petrecut de lumină pe drumul înapoi și înapoi, precum și viteza luminii, puteți determina cu ușurință distanța.
Aproape toți știm că Luna este întotdeauna îndreptată către Pământ de una și aceeași parte. De la cursurile școlare de fizică, știm și că motivul pentru aceasta este mareele Pământului, care ne-au ascuns pentru totdeauna partea opusă, „întunecată” a Lunii. Principiul captării mareelor postulează că planeta gazdă este aproape întotdeauna situată într-un punct de pe cerul satelitului său. Cu toate acestea, am spus acest lucru prea fără ambiguitate, pentru că de fapt acest lucru este posibil doar în condiții ideale. Lumea, spre fericirea noastră, este departe de a fi ideală, ceea ce ne permite să observăm răsărituri și apusuri cu drepturi depline ale Pământului pe Lună...
Astronomii au observat de mult că Luna „se clătina” într-un mod deosebit în timpul lunii lunare, înlocuindu-ne până la 10% din suprafața părții „întunecate”. Drept urmare, chiar înainte de zborul stației „Luna 3”, astronomii aveau hărți de 60% din suprafața lunii.
Acest fenomen a fost numit librare. În acest moment, există 4 tipuri de librari, dar ne vom concentra pe două principale - librari în latitudine și longitudine.
1. Librațiile în latitudine sunt cauzate de înclinarea axei de rotație diurnă a Lunii față de planul orbitei sale (amplitudine 6° 50 min), în urma căreia Luna ne „substituie” fie Polul Nord, fie Polul Sud.
2. Librațiile în longitudine sunt cauzate de excentricitatea diferită de zero a orbitei lunare.
Excentricitatea orbitală într-o formă simplificată reflectă gradul de abatere a orbitei unui satelit sau planetă de la un cerc ideal. 0 înseamnă o orbită perfect circulară. Mai mare de 0, dar mai mică de 1, într-un grad sau altul, o orbită alungită (eliptică), parabolică pentru e = 1 și hiperbolică pentru e> 1. După cum ați observat, orbita se întinde treptat cu o creștere a excentricității de la 0 la 1, rupându-se la e = 1 (atingând a doua cosmică pe această orbită).
Bibliotecile Lunii, vedere de pe Pământ. 
Excentricitatea Lunii este în medie de 0,05, ceea ce este suficient pentru apariția unor mici abateri între viteza de rotație a Lunii în jurul Pământului și propria rotație a Lunii în jurul axei sale. Acest lucru provoacă librarea în longitudine cu o amplitudine de 7 ° și 54 min.
Evident, ambele tipuri de librare fac ca Pământul să se miște pe cerul Lunii – unde planeta albastră descrie o elipsă uriașă cu un diametru maxim de 18 ° timp de o lună. Având în vedere că dimensiunile unghiulare ale Pământului față de Lună sunt „doar” de aproximativ 2° (de patru ori mai mari decât dimensiunile Lunii văzute de pe Pământ), acest lucru va permite viitorilor coloniști lunari să observe, deși încet, răsărituri și apusuri spectaculoase. a planetei lor natale în anumite regiuni ale Lunii.
Ridicarea Pământului în „zonele de librare”, polul lunar, latitudinile medii și ecuatorul (programul Stellarium).
Cu toate acestea, cei mai puțin răbdători coloniști pot observa acest lucru „în avans rapid” de pe orbita lunii (sondă Kaguya / JAXA).
Și un mic bonus. Deși pe Iapet, luna lui Saturn, cel mai probabil nu există nicio poartă stelară unde eroul cărții de Arthur Clarke „A Space Odyssey 2001” a reușit să cadă, dar totuși, datorită neregulilor orbitei acestui satelit, se poate observați acolo răsărituri destul de epice ale „Stăpânului inelelor”.
