Formulați proprietatea dreptelor paralele la unghiurile corespunzătoare. Drepte paralele în plan și în spațiu

Într-un plan, liniile se numesc paralele dacă nu au puncte comune, adică nu se intersectează. Pentru a indica paralelismul folosiți o pictogramă specială || (linii paralele a || b).

Pentru liniile care se află în spațiu, cerința că nu există puncte comune nu este suficientă - pentru ca acestea să fie paralele în spațiu, trebuie să aparțină aceluiași plan (altfel vor fi înclinate).

Nu trebuie să mergeți departe pentru exemple de linii paralele, ele ne însoțesc peste tot, în cameră sunt liniile de intersecție a peretelui cu tavanul și podeaua, pe foaia de caiet sunt margini opuse etc.

Este destul de evident că, având două linii paralele și o a treia linie paralelă cu una dintre primele două, va fi paralelă cu a doua.

Dreptele paralele din plan sunt legate printr-o afirmație care nu poate fi demonstrată folosind axiomele planimetriei. Se acceptă ca fapt, ca axiomă: pentru orice punct dintr-un plan care nu se află pe o dreaptă, există o singură dreaptă care trece prin el paralelă cu cea dată. Fiecare elev de clasa a șasea cunoaște această axiomă.

Generalizarea ei spațială, adică afirmația că pentru orice punct din spațiu care nu se află pe o dreaptă, există o dreaptă unică care trece prin el paralel cu cea dată, este ușor de demonstrat folosind axioma deja cunoscută a paralelismului în avion.

Proprietățile dreptelor paralele

• Dacă oricare dintre cele două linii paralele este paralelă cu a treia, atunci ele sunt reciproc paralele.

Liniile paralele au această proprietate atât în ​​plan cât și în spațiu.
Ca exemplu, luați în considerare justificarea sa în stereometrie.

Fie dreptele b paralele cu dreapta a.

Cazul în care toate liniile se află în același plan va fi lăsat la planimetrie.

Să presupunem că a și b aparțin planului betta, iar gamma este planul căruia îi aparțin a și c (prin definiția paralelismului în spațiu, liniile trebuie să aparțină aceluiași plan).

Dacă presupunem că planurile betta și gamma sunt diferite și marchează un anumit punct B pe linia b din planul betta, atunci planul trasat prin punctul B și linia c trebuie să intersecteze planul betta în linie dreaptă (notăm ea b1).

Dacă linia rezultată b1 intersectează planul gamma, atunci, pe de o parte, punctul de intersecție ar trebui să se afle pe a, deoarece b1 aparține planului betta și, pe de altă parte, trebuie să aparțină și lui c, deoarece b1 aparține celui de-al treilea plan.
Dar dreptele paralele a și c nu trebuie să se intersecteze.

Astfel, dreapta b1 trebuie să aparțină planului betta și, în același timp, să nu aibă puncte comune cu a, prin urmare, conform axiomei paralelismului, coincide cu b.
Am obținut o dreaptă b1 care coincide cu dreapta b, care aparține aceluiași plan cu dreapta c și nu o intersectează, adică b și c sunt paralele

• Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată paralelă cu dreapta dată poate trece doar o singură linie.

• Două drepte situate pe un plan perpendicular pe al treilea sunt paralele.

• Dacă una dintre cele două drepte paralele intersectează planul, a doua dreaptă intersectează același plan.

• Unghiurile interne corespondente și transversale formate prin intersecția a două linii paralele ale celei de-a treia sunt egale, suma celor interne unilaterale formate în acest caz este de 180 °.

Sunt adevărate și afirmațiile inverse, care pot fi luate ca semne de paralelism a două drepte.

Starea liniilor paralele

Proprietățile și semnele formulate mai sus sunt condițiile paralelismului dreptelor și pot fi dovedite prin metodele geometriei. Cu alte cuvinte, pentru a demonstra paralelismul a două drepte disponibile, este suficient să se demonstreze paralelismul lor cu cea de-a treia dreaptă sau egalitatea unghiurilor, indiferent dacă acestea sunt corespunzătoare sau transversale și așa mai departe.

Pentru demonstrație, ei folosesc în principal metoda „prin contradicție”, adică cu presupunerea că dreptele nu sunt paralele. Pe baza acestei presupuneri, se poate demonstra cu ușurință că, în acest caz, condițiile date sunt încălcate, de exemplu, unghiurile interne încrucișate se dovedesc a fi inegale, ceea ce demonstrează incorectitudinea ipotezei făcute.

Obiectivele lecției: În această lecție, vă veți familiariza cu conceptul de „drepte paralele”, veți afla cum vă puteți asigura că liniile sunt paralele și, de asemenea, ce proprietăți au unghiurile formate din drepte paralele și o secanta.

Linii paralele

Știți că conceptul de „linie dreaptă” este unul dintre așa-numitele concepte nedefinite ale geometriei.

Știți deja că două drepte pot coincide, adică au toate punctele comune, se pot intersecta, adică au un punct comun. Liniile se intersectează în unghiuri diferite, în timp ce unghiul dintre linii este considerat cel mai mic dintre unghiurile pe care le formează. Un caz special de intersectie poate fi considerat cazul perpendicularitatii, cand unghiul format de drepte este 90 0 .

Dar este posibil ca două linii să nu aibă puncte comune, adică să nu se intersecteze. Astfel de linii sunt numite paralel.

lucra cu electronica resursă educațională « ».

Pentru a vă familiariza cu conceptul de „linii paralele”, lucrați în materialele lecției video

Astfel, acum cunoașteți definiția dreptelor paralele.

Din materialele fragmentului de lecție video, ați aflat despre tipuri variate unghiuri formate când două drepte se intersectează cu o a treia.

Perechi de unghiuri 1 și 4; 3 și 2 sunt numite colțuri interioare unilaterale(se află între rânduri Ași b).

Perechi de unghiuri 5 și 8; 7 și 6 sunt numite colțuri exterioare unilaterale(se află în afara liniilor Ași b).

Perechi de unghiuri 1 și 8; 3 și 6; 5 și 4; 7 și 2 se numesc unghiuri unilaterale la dreapta Ași b si secante c. După cum puteți vedea, din perechea de unghiuri corespunzătoare, unul se află între dreapta Ași b iar celălalt în afara lor.

Semne de linii paralele

Evident, folosind definiția, este imposibil de concluzionat că două drepte sunt paralele. Prin urmare, pentru a concluziona că două drepte sunt paralele, folosiți semne.

Puteți formula deja una dintre ele, familiarizându-vă cu materialele primei părți a lecției video:

Teorema 1. Două drepte perpendiculare pe o treime nu se intersectează, adică sunt paralele.

Veți face cunoștință cu alte semne de paralelism ale liniilor drepte bazate pe egalitatea anumitor perechi de unghiuri lucrând cu materialele din a doua parte a lecției video„Semne de linii paralele”.

Astfel, ar trebui să cunoașteți încă trei semne de linii paralele.

Teorema 2 (primul semn al dreptelor paralele). Dacă la intersecția a două drepte cu o transversală, unghiurile de culcare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.

Orez. 2. Ilustrație pentru primul semn linii paralele

Repetați din nou primul semn al liniilor paralele lucrând cu o resursă educațională electronică « ».

Astfel, la demonstrarea primului semn de paralelism al dreptelor se folosește semnul egalității triunghiurilor (pe două laturi și unghiul dintre ele), precum și semnul paralelismului dreptelor ca perpendicular pe o singură dreaptă.

Exercitiul 1.

Notați în caiete formularea primului semn de paralelism al liniilor și demonstrația acestuia.

Teorema 3 (al doilea criteriu pentru drepte paralele). Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante unghiurile corespunzătoare sunt egale, atunci liniile sunt paralele.

Încă o dată, repetați al doilea semn al liniilor paralele lucrând cu o resursă educațională electronică « ».

La demonstrarea celui de-al doilea criteriu pentru drepte paralele se utilizează proprietatea unghiurilor verticale și primul criteriu pentru drepte paralele.

Sarcina 2.

Notați în caiete formularea celui de-al doilea semn de paralelism al dreptelor și demonstrația acestuia.

Teorema 4 (al treilea criteriu pentru drepte paralele). Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante suma unghiurilor unilaterale este egală cu 180 0, atunci liniile sunt paralele.

Repetați al treilea semn al liniilor paralele încă o dată lucrând cu o resursă educațională electronică « ».

Astfel, la demonstrarea primului criteriu pentru drepte paralele se utilizează proprietatea unghiurilor adiacente și primul criteriu pentru drepte paralele.

Sarcina 3.

Notați în caiete formularea celui de-al treilea semn de paralelism al liniilor și dovada acestuia.

Pentru a exersa rezolvarea celor mai simple probleme, lucrați cu materialele resursei educaționale electronice « ».

Semnele dreptelor paralele sunt folosite în rezolvarea problemelor.

Acum luați în considerare exemple de rezolvare a problemelor pentru semne de paralelism de linii, după ce ați lucrat cu materialele lecției video„Rezolvarea problemelor pe tema „Semne de linii paralele”.

Acum verificați-vă completând sarcinile resursei educaționale electronice de control « ».

Oricine dorește să lucreze cu rezolvarea unor probleme mai complexe poate lucra cu materialele tutorialului video „Probleme la semnele liniilor paralele”.

Proprietățile dreptelor paralele

Liniile paralele au un set de proprietăți.

Veți afla care sunt aceste proprietăți lucrând cu materialele tutorialului video „Proprietățile liniilor paralele”.

În acest fel, fapt important, despre care ar trebui să știți că este axioma paralelismului.

Axioma paralelismului. Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trasa o dreaptă paralelă cu cea dată și, în plus, doar una.

După cum ați învățat din materialele lecției video, pe baza acestei axiome, se pot formula două consecințe.

Consecința 1. Dacă o linie intersectează una dintre liniile paralele, atunci ea intersectează cealaltă linie paralelă.

Consecința 2. Dacă două linii sunt paralele cu o a treia, atunci sunt paralele între ele.

Sarcina 4.

Notați în caiete formularea corolarelor formulate și dovezile acestora.

Proprietățile unghiurilor formate din drepte paralele și o secantă sunt teoreme inverse semnelor corespunzătoare.

Deci, din materialele lecției video, ați învățat proprietatea unghiurilor încrucișate.

Teorema 5 (teorema, inversă primului criteriu pentru liniile paralele). Când două drepte paralele intersectează o transversală, unghiurile de culcare sunt egale.

Sarcina 5.

Repetați prima proprietate a liniilor paralele din nou lucrând cu o resursă educațională electronică « ».

Teorema 6 (teorema, inversă celui de-al doilea criteriu pentru liniile paralele). Când două drepte paralele se intersectează, unghiurile corespunzătoare sunt egale.

Sarcina 6.

Notați enunțul acestei teoreme și demonstrația ei în caiete.

Repetați a doua proprietate a liniilor paralele din nou lucrând cu o resursă educațională electronică « ».

Teorema 7 (teorema, inversă celui de-al treilea criteriu pentru liniile paralele). Când două drepte paralele se intersectează, suma unghiurilor unilaterale este 180 0 .

Sarcina 7.

Notați enunțul acestei teoreme și demonstrația ei în caiete.

Repetați a treia proprietate a liniilor paralele din nou lucrând cu o resursă educațională electronică « ».

Toate proprietățile liniilor paralele sunt, de asemenea, utilizate în rezolvarea problemelor.

Considera exemple tipice rezolvarea problemelor prin lucrul cu materialele lecției video „Linii paralele și probleme cu privire la unghiurile dintre ele și secantă”.

Acest capitol este dedicat studiului dreptelor paralele. Acesta este numele dat două drepte dintr-un plan care nu se intersectează. Vedem segmente de linii paralele în mediu inconjurator- acestea sunt două margini ale unei mese dreptunghiulare, două margini ale copertei unei cărți, două bare de troleibuz etc. Liniile paralele joacă foarte mult în geometrie rol important. În acest capitol, veți afla despre ce sunt axiomele de geometrie și din ce constă axiomele dreptelor paralele - una dintre cele mai cunoscute axiome ale geometriei.

În Secțiunea 1, am observat că două drepte fie au un punct comun, adică se intersectează, fie nu au un singur punct comun, adică nu se intersectează.

Definiție

Paralelismul dreptelor a și b se notează astfel: a || b.

Figura 98 prezintă liniile a și b perpendiculare pe dreapta c. În secțiunea 12 am stabilit că astfel de drepte a și b nu se intersectează, adică sunt paralele.

Orez. 98

Alături de liniile paralele, sunt adesea luate în considerare segmentele paralele. Cele două segmente sunt numite paralel dacă se află pe drepte paralele. În figura 99, iar segmentele AB și CD sunt paralele (AB || CD), iar segmentele MN și CD nu sunt paralele. În mod similar, se determină paralelismul unui segment și o dreaptă (Fig. 99, b), o rază și o dreaptă, un segment și o rază, două raze (Fig. 99, c).

Orez. 99 Semne de paralelism a două drepte

Direct cu este numit secantăîn raport cu dreptele a şi b, dacă le intersectează în două puncte (fig. 100). La intersecția dreptelor a și b, secanta c formează opt unghiuri, care sunt indicate prin numere în figura 100. Unele perechi de aceste unghiuri au denumiri speciale:

colțuri încrucișate: 3 și 5, 4 și 6;
colțuri unilaterale: 4 și 5, 3 și 6;
unghiurile corespunzătoare: 1 și 5, 4 și 8, 2 și 6, 3 și 7.

Orez. 100

Luați în considerare trei semne de paralelism a două drepte asociate acestor perechi de unghiuri.

Teorema

Dovada

Să presupunem că la intersecția dreptelor a și b cu o secanta AB, unghiurile situate sunt egale: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Să demonstrăm că a || b. Dacă unghiurile 1 și 2 sunt drepte (Fig. 101, b), atunci dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta AB și, prin urmare, paralele.

Orez. 101

Luați în considerare cazul când unghiurile 1 și 2 nu sunt drepte.

Din mijlocul O al segmentului AB, trasați o perpendiculară OH pe dreapta a (Fig. 101, c). Pe linia b din punctul B, punem deoparte segmentul VH 1, egal cu segmentul AH, așa cum se arată în Figura 101, c, și desenăm segmentul OH 1. Triunghiurile ONA și OH 1 V sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), deci ∠3 = ∠4 și ∠5 = ∠6. Din egalitatea ∠3 = ∠4 rezultă că punctul H 1 se află pe continuarea razei OH, adică punctele H, O și H 1 se află pe aceeași dreaptă, iar din egalitatea ∠5 = ∠6 este rezultă că unghiul 6 este o linie dreaptă (deoarece unghiul 5 este un unghi drept). Deci liniile a și b sunt perpendiculare pe dreapta HH 1, deci sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Teorema

Dovada

Fie la intersecția dreptelor a și b secanta cu unghiurile corespunzătoare să fie egală, de exemplu ∠1 = ∠2 (Fig. 102).

Orez. 102

Deoarece unghiurile 2 și 3 sunt verticale, atunci ∠2 = ∠3. Aceste două egalități implică faptul că ∠1 = ∠3. Dar unghiurile 1 și 3 sunt transversale, deci liniile a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Teorema

Dovada

Fie, la intersecția dreptelor a și b, secanta cu suma unghiurilor unilaterale să fie de 180°, de exemplu ∠1 + ∠4 = 180° (vezi Fig. 102).

Deoarece unghiurile 3 și 4 sunt adiacente, atunci ∠3 + ∠4 = 180°. Din aceste două egalități rezultă că unghiurile transversale 1 și 3 sunt egale, deci dreptele a și b sunt paralele. Teorema a fost demonstrată.

Modalități practice de a desena linii paralele

Semnele liniilor paralele stau la baza modalităților de construire a liniilor paralele cu ajutorul diverselor instrumente folosite în practică. Luați în considerare, de exemplu, o metodă de construire a liniilor paralele folosind un pătrat de desen și o riglă. Pentru a construi o linie dreaptă care trece prin punctul M și paralelă cu dreapta dată a, aplicăm un pătrat de desen pe linia dreaptă a și o riglă, așa cum se arată în Figura 103. Apoi, deplasând pătratul de-a lungul riglei, vom se va asigura că punctul M este pe latura pătratului și se va trage o linie b. Dreptele a și b sunt paralele, deoarece unghiurile corespunzătoare, notate în figura 103 cu literele α și β, sunt egale.

Orez. 103 Figura 104 prezintă o metodă de construire a liniilor paralele folosind un pătrat în T. Această metodă este folosită în practica desenului.

Orez. 104 O metodă similară este utilizată la executarea lucrărilor de tâmplărie, unde se folosește o teșitură pentru a marca liniile paralele (două scânduri de lemn prinse cu o balama, Fig. 105).

Orez. 105

Sarcini

186. În figura 106, liniile a și b sunt intersectate de linia c. Demonstrați că un || b dacă:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, iar unghiul 7 este de trei ori mai mare decât unghiul 3.

Orez. 106

187. Conform figurii 107 demonstrează că AB || D.E.

Orez. 107

188. Segmentele AB și CD se intersectează în mijlocul lor comun. Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

189. Folosind datele din figura 108, demonstrați că BC || ANUNȚ.

Orez. 108

190. În figura 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Demonstrați că DE || LA FEL DE.

Orez. 109

191. Segmentul VK este bisectoarea triunghiului ABC. Se trasează o dreaptă prin punctul K, intersectând latura BC în punctul M, astfel încât BM = MK. Demonstrați că dreptele KM și AB sunt paralele.

192. În triunghiul ABC, unghiul A este de 40°, iar unghiul ALL adiacent unghiului ACB este de 80°. Demonstrați că bisectoarea unghiului ALL este paralelă cu dreapta AB.

193. În triunghiul ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Linia BD este trasată prin vârful B, astfel încât raza BC să fie bisectoarea unghiului ABD. Demonstrați că dreptele AC și BD sunt paralele.

194. Desenați un triunghi. Prin fiecare vârf al acestui triunghi, folosind un pătrat de desen și o riglă, trageți o linie dreaptă paralelă cu latura opusă.

195. Desenați triunghiul ABC și marcați punctul D pe latura AC. Prin punctul D, folosind un pătrat de desen și o riglă, trageți linii drepte paralele cu celelalte două laturi ale triunghiului.

§ 1. Semne de paralelism a două drepte - Geometrie Gradul 7 (Atanasyan L. S.)

Scurta descriere:

Veți afla despre ce sunt liniile paralele în acest paragraf. Veți obține o definiție simplă, dar în același timp oarecum neobișnuită - două linii dintr-un plan se numesc paralele dacă nu se intersectează. Cu alte cuvinte, dacă două linii nu se intersectează, atunci ele vor fi paralele. Sau, dacă liniile nu au puncte de intersecție, atunci ele sunt paralele.
Neobișnuirea acestei definiții constă în faptul că, dacă ai două linii drepte în fața ta și nu vezi punctul lor de intersecție, atunci asta nu înseamnă deloc că nu există. Aceasta înseamnă că este posibil să nu îl vedeți.
Prin urmare, această definiție nu poate fi utilizată direct pentru a demonstra că două drepte sunt paralele. La urma urmei, nu puteți urmări continuarea liniilor la infinit pentru a vă asigura că acestea nu se intersectează.
Dar acest lucru nu este necesar. Există semne după care se poate judeca paralelismul liniilor. Sunt trei. În conformitate cu fiecare dintre ele, sunt luate în considerare unghiuri speciale sau combinațiile lor, care se formează la intersecția acestor două linii aflate în studiu de a treia linie - secanta. Aceste unghiuri sunt folosite pentru a aprecia paralelismul liniilor drepte.
Demonstrațiile acestor semne - teorema liniilor paralele - se bazează pe teorema pe care ați considerat-o deja în capitolul 1 al manualului - două drepte perpendiculare pe a treia nu se intersectează. Abia acum această teoremă arată diferit - două linii perpendiculare pe a treia sunt paralele.

Semne de paralelism a două drepte

Teorema 1. Dacă la intersecția a două drepte ale unei secante:

unghiurile situate în diagonală sunt egale sau

unghiurile corespunzătoare sunt egale sau

atunci suma unghiurilor unilaterale este de 180°

liniile sunt paralele(Fig. 1).

Dovada. Ne limităm la proba din cazul 1.

Să presupunem că la intersecția dreptelor a și b cu o secanta AB peste unghiurile situate sunt egale. De exemplu, ∠ 4 = ∠ 6. Să demonstrăm că a || b.

Să presupunem că liniile a și b nu sunt paralele. Apoi se intersectează la un punct M și, în consecință, unul dintre unghiurile 4 sau 6 va fi unghiul exterior al triunghiului ABM. Fie, pentru certitudine, ∠ 4 colțul exterior al triunghiului ABM și ∠ 6 cel interior. Din teorema unghiului exterior al unui triunghi rezultă că ∠ 4 este mai mare decât ∠ 6, iar aceasta contrazice condiția, ceea ce înseamnă că dreptele a și 6 nu se pot intersecta, deci sunt paralele.

Corolarul 1. Două drepte distincte într-un plan perpendicular pe aceeași dreaptă sunt paralele(Fig. 2).

Cometariu. Modul în care tocmai am demonstrat cazul 1 al teoremei 1 se numește metoda demonstrației prin contradicție sau reducere la absurd. Această metodă și-a primit prenumele deoarece la începutul raționamentului se face o presupunere opusă (opusă) a ceea ce se cere să fie demonstrat. Se numește reducere la absurd datorită faptului că, argumentând pe baza presupunerii făcute, ajungem la o concluzie absurdă (absurd). Primirea unei astfel de concluzii ne obligă să respingem presupunerea făcută la început și să o acceptăm pe cea care se cerea dovedită.

Sarcina 1. Construiți o dreaptă care trece printr-un punct dat M și paralelă cu o dreaptă dată a, care nu trece prin punctul M.

Soluţie. Desenăm o dreaptă p prin punctul M perpendicular pe dreapta a (Fig. 3).

Apoi trasăm o dreaptă b prin punctul M perpendicular pe dreapta p. Linia b este paralelă cu dreapta a conform corolarului teoremei 1.

Din problema luată în considerare rezultă o concluzie importantă:
Printr-un punct care nu se află pe o dreaptă dată, se poate trage întotdeauna o dreaptă paralelă cu dreapta dată..

Proprietatea principală a dreptelor paralele este următoarea.

Axioma dreptelor paralele. Printr-un punct dat, care nu se află pe o dreaptă dată, există o singură linie paralelă cu dreapta dată.

Luați în considerare câteva proprietăți ale dreptelor paralele care decurg din această axiomă.

1) Dacă o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea o intersectează pe cealaltă (Fig. 4).

2) Dacă două linii diferite sunt paralele cu a treia linie, atunci ele sunt paralele (Fig. 5).

Următoarea teoremă este de asemenea adevărată.

Teorema 2. Dacă două drepte paralele sunt încrucișate de o secantă, atunci:

unghiurile culcate sunt egale;

unghiurile corespunzătoare sunt egale;

suma unghiurilor unilaterale este de 180°.

Consecința 2. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendiculară pe cealaltă.(vezi Fig.2).

Cometariu. Teorema 2 se numește inversul teoremei 1. Concluzia teoremei 1 este condiția teoremei 2. Și condiția teoremei 1 este concluzia teoremei 2. Nu orice teoremă are o inversă, adică dacă o anumită teoremă este adevărată, atunci teorema inversă poate fi falsă.

Să explicăm acest lucru prin exemplul teoremei de pe colțuri verticale. Această teoremă poate fi formulată după cum urmează: dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale. Teorema inversă ar fi următoarea: dacă două unghiuri sunt egale, atunci ele sunt verticale. Și acest lucru, desigur, nu este adevărat. Două unghiuri egale nu trebuie să fie verticală.

Exemplul 1 Două linii paralele sunt traversate de o a treia. Se știe că diferența dintre două unghiuri interne unilaterale este de 30°. Găsiți acele unghiuri.

Soluţie. Figura 6 îndeplinește condiția.