Acasă Sfaturi utile Colțurile adiacente au o latură comună. Colțuri verticale și adiacente. Ce este un colț adiacent

Sfaturi utile

Colțurile adiacente au o latură comună. Colțuri verticale și adiacente. Ce este un colț adiacent

Două colțuri sunt numite adiacente dacă au o parte în comun, iar celelalte laturi ale acestor colțuri sunt raze suplimentare. În Figura 20, unghiurile AOB și BOC sunt adiacente.

Suma unghiurilor adiacente este de 180 °

Teorema 1. Suma unghiurilor adiacente este de 180 °.

Dovadă. Fasciculul OB (vezi Fig. 1) trece între părțile laterale ale colțului desfăcut. prin urmare ∠ AOB + ∠ BOC = 180 °.

Din teorema 1 rezultă că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile adiacente acestora sunt egale.

Unghiurile verticale sunt egale

Două colțuri sunt numite verticale dacă laturile unui colț sunt raze complementare ale laturilor celuilalt. Unghiurile AOB și COD, BOD și AOC, formate la intersecția a două linii drepte, sunt verticale (Fig. 2).

Teorema 2. Unghiurile verticale sunt egale.

Dovadă. Luați în considerare unghiurile verticale AOB și COD (a se vedea Fig. 2). Colțul BOD este adiacent fiecărui colț AOB și COD. Prin teorema 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.

Prin urmare, concluzionăm că ∠ AOB = ∠ COD.

Corolar 1. Unghiul adiacent unui unghi drept este un unghi drept.

Luați în considerare două linii drepte care se intersectează AC și BD (Fig. 3). Ele formează patru colțuri. Dacă unul dintre ele este drept (unghiul 1 din Fig. 3), atunci și celelalte unghiuri sunt drepte (unghiurile 1 și 2, 1 și 4 sunt adiacente, unghiurile 1 și 3 sunt verticale). În acest caz, se spune că aceste linii se intersectează în unghi drept și se numesc perpendiculare (sau reciproc perpendiculare). Perpendicularitatea liniilor drepte AC și BD este desemnată după cum urmează: AC ⊥ BD.

Punctul mediu perpendicular pe un segment este o linie dreaptă perpendiculară pe acest segment și care trece prin punctul său mediu.

AH - perpendicular pe o linie dreaptă

Luați în considerare o dreaptă a și un punct A care nu se află pe ea (Fig. 4). Să conectăm punctul A cu un segment cu punctul H pe o linie dreaptă Un segment AH se numește perpendicular trasat din punctul A până la dreapta a dacă liniile AH și a sunt perpendiculare. Punctul H se numește baza perpendicularei.

Desen pătrat

Următoarea teoremă este adevărată.

Teorema 3. Din orice punct care nu se află pe o linie, se poate trasa o perpendiculară pe această linie și, în plus, doar una.

Pentru a desena o perpendiculară de la un punct la o dreaptă în desen, utilizați un pătrat de desen (Fig. 5).

Cometariu. Enunțul teoremei constă de obicei în două părți. O parte vorbește despre ceea ce este dat. Această parte se numește condiția teoremei. Cealaltă parte vorbește despre ceea ce trebuie dovedit. Această parte se numește concluzia teoremei. De exemplu, condiția teoremei 2 este că unghiurile sunt verticale; concluzie - aceste unghiuri sunt egale.

Orice teoremă poate fi exprimată în detaliu în cuvinte, astfel încât starea sa să înceapă cu cuvântul „dacă”, iar concluzia - cu cuvântul „atunci”. De exemplu, teorema 2 poate fi afirmată în detaliu după cum urmează: „Dacă două unghiuri sunt verticale, atunci ele sunt egale”.

Exemplul 1. Unul dintre unghiurile adiacente este de 44 °. Cu ce este egal celălalt?

Soluţie. Notăm măsura gradului celuilalt unghi cu x, apoi conform teoremei 1.
44 ° + x = 180 °.
Rezolvând ecuația rezultată, constatăm că x = 136 °. Prin urmare, celălalt unghi este de 136 °.

Exemplul 2. Fie ca unghiul COD din Figura 21 să fie de 45 °. Care sunt unghiurile AOB și AOC?

Soluţie. Unghiurile COD și AOB sunt verticale, prin urmare, conform teoremei 1.2, acestea sunt egale, adică ∠ AOB = 45 °. Unghiul AOC este adiacent unghiului COD, deci, prin Teorema 1.
∠ AOC = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

Exemplul 3. Găsiți colțuri adiacente dacă unul dintre ele este de 3 ori mai mare decât celălalt.

Soluţie. Să notăm măsura gradului unghiului mai mic prin x. Apoi, măsurarea gradului unghiului mai mare va fi Zx. Deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180 ° (teorema 1), atunci x + 3x = 180 °, de unde x = 45 °.
Aceasta înseamnă că unghiurile adiacente sunt de 45 ° și 135 °.

Exemplul 4. Suma celor două unghiuri verticale este de 100 °. Găsiți magnitudinea fiecăruia dintre cele patru unghiuri.

Soluţie. Fie figura 2 să corespundă stării problemei. Unghiurile verticale ale COD față de AOB sunt egale (teorema 2), prin urmare, măsurile lor de grad sunt, de asemenea, egale. Prin urmare, ∠ COD = ∠ AOB = 50 ° (suma lor prin condiție este de 100 °). Unghiul BOD (de asemenea, unghiul AOC) este adiacent unghiului COD și, prin urmare, de Teorema 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180 ° - 50 ° = 130 °.

CAPITOLUL I.

NOȚIUNI DE BAZĂ.

§unsprezece. UNGHII ADJACENTE ȘI VERTICALE.

1. Colțuri adiacente.

Dacă extindem partea unui colț dincolo de vârful său, vom obține două colțuri (Fig. 72): / A BC și / CBD, în care o parte a BC este comună, iar celelalte două AB și BD formează o linie dreaptă.

Două colțuri în care o parte este comună și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc colțuri adiacente.

Unghiurile adiacente pot fi obținute în acest fel: dacă tragem o rază dintr-un punct pe o linie dreaptă (care nu se află pe această linie dreaptă), atunci obținem unghiuri adiacente.
De exemplu, / ADF și / FDВ - colțuri adiacente (Fig. 73).

Colțurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (Fig. 74).

Unghiurile adiacente se adaugă la un unghi desfășurat, deci cu umma a două colțuri adiacente este 2d.

De aici, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând magnitudinea unuia dintre unghiurile adiacente, putem găsi magnitudinea celuilalt unghi adiacent.

De exemplu, dacă unul dintre colțurile adiacente este 3/5 d, atunci al doilea unghi va fi egal cu:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile colțului dincolo de vârful său, vom obține colțuri verticale. În desenul 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt, de asemenea, verticale.

Două colțuri sunt numite verticale dacă laturile unui colț sunt extensii ale laturilor celuilalt colț.

Lasa / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Adiacent lui / 2 va fi egal cu 2 d- 7 / 8 d, adică 1 1/8 d.

În același mod, puteți calcula la ce sunt egale / 3 și / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Vedem asta / 1 = / 3 și / 2 = / 4.

Puteți rezolva mai multe din aceleași probleme și, de fiecare dată, obțineți același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Cu toate acestea, pentru a ne asigura că unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele, nu este suficient să luăm în considerare exemple numerice individuale, deoarece concluziile trase din exemple particulare pot fi uneori eronate.

Este necesar să se verifice validitatea proprietății unghiurilor verticale prin raționament, prin dovadă.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este 2 d).

/ a +/ c = / b +/ c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este de 2 d, iar partea sa dreaptă este, de asemenea, egală cu 2 d).

Această egalitate include același unghi cu.

Dacă scădem în mod egal din valori egale, atunci acesta va rămâne în mod egal. Rezultatul va fi: / A = / b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

Când ne gândim la problema unghiurilor verticale, am explicat mai întâi care unghiuri sunt numite verticale, adică date definiție colțuri verticale.

Apoi am exprimat o judecată (afirmație) despre egalitatea unghiurilor verticale și am fost convinși de validitatea acestei judecăți prin dovezi. Astfel de judecăți, a căror validitate trebuie dovedită, sunt numite teoreme... Astfel, în această secțiune, am dat o definiție a unghiurilor verticale și am exprimat și demonstrat o teoremă despre proprietatea lor.

În viitor, atunci când vom studia geometria, va trebui să întâlnim în mod constant definiții și dovezi ale teoremelor.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

Desen 79 / 1, / 2, / 3 și / 4 sunt situate pe o parte a unei linii drepte și au un vârf comun pe această linie dreaptă. Împreună, aceste unghiuri alcătuiesc unghiul extins, adică
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

La desenul 80 / 1, / 2, / 3, / 4 și / 5 au un top comun. Împreună, aceste unghiuri alcătuiesc unghiul complet, adică / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Exerciții.

1. Unul dintre unghiurile adiacente este 0,72 d. Calculați unghiul alcătuit de bisectoarele acestor unghiuri adiacente.

2. Demonstrați că bisectoarele a două unghiuri adiacente formează un unghi drept.

3. Demonstrați că dacă două unghiuri sunt egale, atunci unghiurile lor adiacente sunt, de asemenea, egale.

4. Câte perechi de colțuri adiacente sunt în desenul 81?

5. O pereche de colțuri adiacente poate consta din două colțuri ascuțite? din două colțuri obtuze? dintr-un unghi drept și obtuz? dintr-un unghi drept și acut?

6. Dacă unul dintre unghiurile adiacente este drept, atunci ce poți spune despre valoarea unghiului adiacent?

7. Dacă la intersecția a două linii drepte un colț de linie dreaptă, atunci ce poți spune despre valoarea celorlalte trei unghiuri?

Geometria este o știință foarte polivalentă. Ea dezvoltă logică, imaginație și inteligență. Desigur, datorită complexității sale și a unui număr imens de teoreme și axiome, elevilor nu le place întotdeauna. În plus, este nevoie să vă demonstrați în mod constant constatările folosind standarde și reguli general acceptate.

Colțurile adiacente și verticale fac parte integrantă din geometrie. Cu siguranță, mulți școlari îi adoră pur și simplu pentru că proprietățile lor sunt clare și ușor de dovedit.

Formarea colțurilor

Orice unghi este format prin intersecția a două linii drepte sau prin trasarea a două raze dintr-un punct. Ele pot fi numite fie o literă, fie trei, care desemnează consecutiv punctele de construcție ale colțului.

Unghiurile sunt măsurate în grade și pot fi (în funcție de valoarea lor) numite diferit. Deci, există un unghi drept, acut, obtuz și desfășurat. Fiecare dintre nume corespunde unei anumite măsuri de grad sau intervalului său.

Un unghi se numește acut, a cărui măsură nu depășește 90 de grade.

Un unghi obtuz este mai mare de 90 de grade.

Un unghi se numește drept atunci când măsurarea gradului său este de 90.

În cazul în care este format dintr-o singură linie continuă și măsura gradului său este 180, se numește desfăcută.

Unghiurile care au o latură comună, a cărei cealaltă parte se continuă, sunt numite adiacente. Ele pot fi ascuțite sau contondente. Intersecția liniei formează colțuri adiacente. Proprietățile lor sunt după cum urmează:

Suma acestor unghiuri va fi egală cu 180 de grade (există o teoremă care demonstrează acest lucru). Prin urmare, una dintre ele poate fi ușor calculată dacă cealaltă este cunoscută.
Din primul punct rezultă că colțurile adiacente nu pot fi formate din două unghiuri obtuse sau două unghiuri acute.

Datorită acestor proprietăți, puteți calcula întotdeauna măsurarea gradului unui unghi, având valoarea unui alt unghi sau cel puțin raportul dintre ele.

Colțuri verticale

Unghiurile, ale căror laturi sunt o continuare a celeilalte, se numesc verticale. Oricare dintre soiurile lor poate acționa ca o astfel de pereche. Unghiurile verticale sunt întotdeauna egale între ele.

Ele sunt formate la intersecția liniilor drepte. Colțurile adiacente sunt întotdeauna prezente împreună cu ele. Unghiul poate fi simultan adiacent cu unul și vertical cu celălalt.

Când se traversează o linie arbitrară, sunt luate în considerare și mai multe tipuri de unghiuri. O astfel de linie se numește secantă și formează unghiuri corespunzătoare, unilaterale și încrucișate. Sunt egali. Acestea pot fi vizualizate în lumina proprietăților pe care unghiurile verticale și adiacente le au.

Astfel, tema unghiurilor pare a fi destul de simplă și simplă. Toate proprietățile lor sunt ușor de reținut și de dovedit. Rezolvarea problemelor nu este dificilă atât timp cât unghiurile corespund unei valori numerice. Deja mai departe, când începe studiul păcatului și cosului, va trebui să memorați multe formule complexe, concluziile și consecințele lor. Până în acel moment, vă puteți bucura de sarcini ușoare în care trebuie să găsiți colțuri adiacente.

În procesul studierii cursului geometriei, conceptele de „unghi”, „unghiuri verticale”, „unghiuri adiacente” sunt întâlnite destul de des. Înțelegerea fiecăruia dintre termeni vă va ajuta să înțelegeți sarcina la îndemână și să o rezolvați corect. Ce sunt unghiurile adiacente și cum le definiți?

Colțurile adiacente - definiția conceptului

Termenul „unghiuri adiacente” caracterizează cele două unghiuri formate dintr-o rază comună și două jumătăți de linii suplimentare situate pe o singură linie dreaptă. Toate cele trei raze ies dintr-un punct. Semilinea comună este simultan latura atât a unuia, cât și a celui de-al doilea colț.

Colțuri adiacente - proprietăți de bază

1. Pe baza formulării unghiurilor adiacente, este ușor de văzut că suma acestor unghiuri formează întotdeauna un unghi extins, a cărui măsură de grad este de 180 °:

Dacă μ și η sunt unghiuri adiacente, atunci μ + η = 180 °.
Cunoscând valoarea unuia dintre unghiurile adiacente (de exemplu, μ), puteți calcula cu ușurință măsura gradului celui de-al doilea unghi (η) folosind expresia η = 180 ° - μ.

2. Această proprietate a unghiurilor ne permite să realizăm următoarea concluzie: un unghi adiacent unui unghi drept va fi și el drept.

3. Având în vedere funcțiile trigonometrice (sin, cos, tg, ctg), pe baza formulelor de reducere pentru unghiurile adiacente μ și η, este adevărat următoarele:

sinη = sin (180 ° - μ) = sinμ,
cosη = cos (180 ° - μ) = -cosμ,
tgη = tg (180 ° - μ) = -tgμ,
ctgη = ctg (180 ° - μ) = -ctgμ.

Colțuri adiacente - exemple

Exemplul 1

Se dă un triunghi cu vârfurile M, P, Q - ΔMPQ. Găsiți colțurile adiacente colțurilor ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

Extindeți fiecare parte a triunghiului cu o linie dreaptă.
Știind că colțurile adiacente se completează reciproc până la colțul desfășurat, aflăm că:

QMP este adiacent ∠LMP,

adiacent unghiului ∠MPQ este ∠SPQ,

PQM este adiacent ∠HQP.

Exemplul 2

Dimensiunea unui unghi adiacent este de 35 °. Care este măsura gradului celui de-al doilea unghi adiacent?

Două unghiuri adiacente se adaugă la 180 °.
Dacă ∠μ = 35 °, atunci ∠η adiacent = 180 ° - 35 ° = 145 °.

Exemplul 3

Determinați valorile unghiurilor adiacente, dacă se știe că măsurarea gradului unuia din fund este de trei ori mai mare decât măsurarea gradului celuilalt unghi.

Să notăm valoarea unui unghi (mai mic) prin - ∠μ = λ.
Apoi, în funcție de starea problemei, valoarea celui de-al doilea unghi va fi egală cu ∠η = 3λ.
Pe baza proprietății de bază a unghiurilor adiacente, urmează μ + η = 180 °

λ + 3λ = μ + η = 180 °,

λ = 180 ° / 4 = 45 °.

Prin urmare, primul unghi ∠μ = λ = 45 °, iar al doilea unghi ∠η = 3λ = 135 °.

Capacitatea de a face apel la terminologie, precum și cunoașterea proprietăților de bază ale colțurilor adiacente vor ajuta la rezolvarea soluției multor probleme geometrice.

1. Colțuri adiacente.

Dacă extindem latura oricărui colț dincolo de vârful său, obținem două unghiuri (Fig. 72): ∠ABS și ∠СВD, în care o parte BC este comună, iar celelalte două, AB și BD, formează o linie dreaptă.

Două colțuri în care o parte este comună și celelalte două formează o linie dreaptă se numesc colțuri adiacente.

Unghiurile adiacente pot fi obținute în acest fel: dacă tragem o rază dintr-un punct pe o linie dreaptă (care nu se află pe această linie dreaptă), atunci obținem unghiuri adiacente.

De exemplu, ∠ADF și ∠FDB sunt unghiuri adiacente (Fig. 73).

Colțurile adiacente pot avea o mare varietate de poziții (fig. 74).

Unghiurile adiacente se adaugă la un unghi plat, deci suma a două unghiuri adiacente este de 180 °

De aici, un unghi drept poate fi definit ca un unghi egal cu unghiul său adiacent.

Cunoscând magnitudinea unuia dintre unghiurile adiacente, putem găsi magnitudinea celuilalt unghi adiacent.

De exemplu, dacă unul dintre unghiurile adiacente este de 54 °, atunci al doilea unghi va fi:

180 ° - 54 ° = l26 °.

2. Unghiuri verticale.

Dacă extindem laturile colțului dincolo de vârful său, vom obține colțuri verticale. În Figura 75, unghiurile EOF și AOC sunt verticale; unghiurile AOE și COF sunt, de asemenea, verticale.

Două colțuri sunt numite verticale dacă laturile unui colț sunt extensii ale laturilor celuilalt colț.

Fie ∠1 = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° (Fig. 76). Adjacent2 adiacent va fi 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °, adică 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 °.

În același mod, puteți calcula la ce sunt egali ∠3 și ∠4.

∠3 = 180 ° - 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 °;

∠4 = 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° = 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° (Fig. 77).

Vedem că ∠1 = ∠3 și ∠2 = ∠4.

Puteți rezolva mai multe din aceleași probleme și, de fiecare dată, obțineți același rezultat: unghiurile verticale sunt egale între ele.

Este necesar să se verifice validitatea proprietății unghiurilor verticale prin dovadă.

Dovada poate fi efectuată după cum urmează (Fig. 78):

∠a +∠c= 180 °;

∠b +∠c= 180 °;

(deoarece suma unghiurilor adiacente este de 180 °).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(deoarece partea stângă a acestei egalități este egală cu 180 °, iar partea dreaptă a acesteia este, de asemenea, egală cu 180 °).

Această egalitate include același unghi cu.

Dacă scădem în mod egal din valori egale, atunci acesta va rămâne în mod egal. Rezultatul va fi: ∠A = ∠b, adică unghiurile verticale sunt egale între ele.

3. Suma unghiurilor care au un vârf comun.

În desen 79 ∠1, ∠2, ∠3 și ∠4 sunt situate pe o parte a unei linii drepte și au un vârf comun pe această linie dreaptă. Împreună, aceste unghiuri alcătuiesc unghiul extins, adică

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 °.