Dacă plasăm unul singur cerc numeric pe planul de coordonate, apoi pentru punctele sale este posibil să se găsească coordonatele. Cercul numeric este poziționat astfel încât centrul său să coincidă cu originea planului, adică punctul O (0; 0).
De obicei, pe un cerc cu număr de unitate, punctele sunt marcate corespunzător originii pe cerc
- sferturi - 0 sau 2π, π/2, π, (2π)/3,
- sferturi din mijloc - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- al treilea trimestru - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
Pe planul de coordonate, cu aranjamentul de mai sus a cercului unitar pe acesta, se pot găsi coordonatele corespunzătoare acestor puncte ale cercului.
Este foarte ușor să găsești coordonatele capetelor de sferturi. În punctul 0 al cercului, coordonata x este 1, iar y este 0. Putem scrie A (0) = A (1; 0).
Sfârșitul primului trimestru va fi situat pe axa y pozitivă. Prin urmare, B (π/2) = B (0; 1).
Sfârșitul celui de-al doilea trimestru este pe abscisa negativă: C (π) = C (-1; 0).
Sfârșitul celui de-al treilea trimestru: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Dar cum să găsiți coordonatele punctelor medii ale sferturii? Pentru a face acest lucru, construiți un triunghi dreptunghic. Ipotenuza sa este un segment de la centrul cercului (sau originea) până la mijlocul sfertului de cerc. Aceasta este raza cercului. Deoarece cercul este unitate, ipotenuza este egală cu 1. Apoi, se trasează o perpendiculară dintr-un punct al cercului pe orice axă. Lasă-l pe axa x. Rezultă un triunghi dreptunghic, ale cărui lungimi ale catetelor sunt coordonatele x și y ale punctului cercului.
Un sfert de cerc are 90º. Și jumătate de sfert este 45º. Deoarece ipotenuza este trasă în punctul din mijlocul sfertului, unghiul dintre ipotenuză și catetul care iese din origine este de 45º. Dar suma unghiurilor oricărui triunghi este 180º. Prin urmare, unghiul dintre ipotenuză și celălalt catete rămâne și el 45º. Se dovedește un triunghi dreptunghic isoscel.
Din teorema lui Pitagora obținem ecuația x 2 + y 2 = 1 2 . Deoarece x = y și 1 2 = 1, ecuația se simplifică la x 2 + x 2 = 1. Rezolvând-o, obținem x = √1 = 1/√2 = √2/2.
Astfel, coordonatele punctului M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
În coordonatele punctelor punctelor mijlocii ale altor sferturi, doar semnele se vor schimba, iar modulele de valori vor rămâne aceleași, deoarece triunghiul dreptunghic se va întoarce doar. Primim:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)
Atunci când se determină coordonatele celor trei părți ale sferturilor de cerc, se construiește și un triunghi dreptunghic. Dacă luăm punctul π/6 și desenăm o perpendiculară pe axa x, atunci unghiul dintre ipotenuză și catetul situat pe axa x va fi de 30º. Se știe că piciorul situat opus unui unghi de 30º este egal cu jumătate din ipotenuză. Deci am găsit coordonata y, este egală cu ½.
Cunoscând lungimile ipotenuzei și ale unuia dintre catete, după teorema lui Pitagora găsim celălalt catete:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2
Astfel T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
Pentru punctul din a doua treime a primului trimestru (π / 3), este mai bine să desenați o perpendiculară pe axa pe axa y. Apoi unghiul de la origine va fi, de asemenea, de 30º. Aici, coordonata x va fi deja egală cu ½, respectiv y, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Pentru alte puncte din al treilea trimestru, semnele și ordinea valorilor coordonatelor se vor schimba. Toate punctele care sunt mai aproape de axa x vor avea o valoare modulo a coordonatei x egală cu √3/2. Acele puncte care sunt mai aproape de axa y vor avea o valoare modulo y egală cu √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T4 ((5π)/6) = T4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T8 ((11π)/6) = T8 (√3/2; -½)
Să se bucure previzualizare prezentări creează un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
Cercul numeric în planul de coordonate
Să repetăm: Cercul unitar este un cerc numeric, a cărui rază este egală cu 1. R=1 C=2 π + - y x
Dacă punctul M al cercului numeric corespunde numărului t, atunci îi corespunde și numărul de forma t+2 π k , unde k este orice număr întreg (k ϵ Z) . M(t) = M(t+2 π k), unde k ϵ Z
Structuri de bază Primul aspect 0 π y x Al doilea aspect y x
x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y
Aflați coordonatele punctului M corespunzătoare punctului. 1) 2) x y M P 45° O A
Coordonatele punctelor principale ale primului aspect 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x
M P x y O A Aflați coordonatele punctului M corespunzătoare punctului. 1) 2) 30°
M P Găsiți coordonatele punctului M corespunzătoare punctului. 1) 2) 30° x y O A B
Folosind proprietatea de simetrie, găsim coordonatele punctelor care sunt multipli ai lui y x
Coordonatele punctelor principale ale celui de-al doilea aspect x y x y y x
Exemplu Găsiți coordonatele unui punct pe un cerc numeric. Rezolvare: P y x
Exemplu Găsiți puncte cu ordonată pe un cerc numeric Soluție: y x x y x y
Exerciții: Aflați coordonatele punctelor cercului numeric: a) , b) . Găsiți puncte cu o abscisă pe cercul numeric.
Coordonatele punctelor cheie 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Coordonatele punctelor cheie ale primului aspect x y x y Coordonatele punctelor cheie ale celui de-al doilea aspect
Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note
Material didactic despre algebră și începuturile analizei în clasa a 10-a (nivel de profil) „Cercul numeric pe planul de coordonate”
Opțiunea 1.1.Găsiți un punct pe cercul numeric: A) -2∏ / 3B) 72. Cărui sfert din cerc numeric îi aparține punctul 16.3.Găsiți cărui...
Cercul numeric este un cerc unitar ale cărui puncte corespund unor numere reale.
Un cerc unitar este un cerc cu raza 1.
Vedere generală a cercului numeric.
1) Raza sa este luată ca unitate de măsură.
2) Diametrele orizontale și verticale împart cercul numeric în patru sferturi (vezi figura). Ele sunt numite, respectiv, primul, al doilea, al treilea și al patrulea trimestru.
3) Diametrul orizontal este desemnat AC, cu A fiind punctul cel mai din dreapta.
Diametrul vertical este desemnat BD, cu B fiind punctul cel mai înalt.
Respectiv:
primul sfert este arcul AB
al doilea sfert - arc î.Hr
al treilea sfert - arc CD
al patrulea trimestru - arc DA
4) Punctul de pornire al cercului numeric este punctul A.
Cercul numeric poate fi numărat fie în sensul acelor de ceasornic, fie în sens invers acelor de ceasornic.
Numărarea din punctul A se numește în sens invers acelor de ceasornic direcție pozitivă.
Se numește numărătoarea din punctul A în sensul acelor de ceasornic direcție negativă.
Cercul numeric pe planul de coordonate.
Centrul razei cercului numeric corespunde originii (numărul 0).
Diametrul orizontal corespunde axei X, verticală - axe y.
Punctul de pornire A al cercului numeric este pe axă Xși are coordonatele (1; 0).
ValoriXșiyîn sferturi de cerc numeric:
Principalele valori ale cercului numeric:
Numele și locațiile principalelor puncte ale cercului numeric:
Cum să vă amintiți numele cercului numeric.
Există câteva modele simple care vă vor ajuta să vă amintiți cu ușurință numele de bază ale cercului numeric.
Înainte de a începe, reamintim: numărătoarea inversă este în sens pozitiv, adică din punctul A (2π) în sens invers acelor de ceasornic.
1) Să începem cu puncte extreme pe axele de coordonate.
Punctul de pornire este 2π (punctul cel mai din dreapta pe axă X egal cu 1).
După cum știți, 2π este circumferința unui cerc. Deci jumătate din cerc este 1π sau π. Axă Xîmparte cercul în jumătate. În consecință, punctul cel mai din stânga pe axă X egal cu -1 se numește π.
Cel mai înalt punct de pe axă la, egal cu 1, traversează semicercul superior. Deci, dacă semicercul este π, atunci jumătate din semicerc este π/2.
În același timp, π/2 este și un sfert de cerc. Numărăm trei astfel de sferturi de la primul la al treilea - și vom ajunge la punctul cel mai de jos al axei la egal cu -1. Dar dacă include trei sferturi, atunci numele său este 3π/2.
2) Acum să trecem la restul punctelor. Vă rugăm să rețineți: toate punctele opuse au același numărător - în plus, acestea sunt puncte opuse și relativ la axă la, și relativ la centrul axelor și relativ la axă X. Acest lucru ne va ajuta să le cunoaștem valorile punctuale fără a înghesui.
Este necesar să ne amintim doar valoarea punctelor primului trimestru: π / 6, π / 4 și π / 3. Și apoi vom „vedea” câteva modele:
- Despre axa y la punctele celui de-al doilea trimestru, opus punctelor primului trimestru, numerele din numărători sunt cu 1 mai mici decât numitorii. De exemplu, luați punctul π/6. Punctul opus în jurul axei la are de asemenea 6 la numitor și 5 la numărător (1 mai puțin). Adică numele acestui punct: 5π/6. Punctul opus lui π/4 are, de asemenea, 4 la numitor și 3 la numărător (1 mai mic decât 4) - adică acesta este punctul 3π/4.
Punctul opus lui π/3 are și 3 la numitor și 1 mai puțin la numărător: 2π/3.
- Raportat la centrul axelor de coordonate opusul este adevărat: numerele din numărătorii punctelor opuse (în al treilea trimestru) cu 1 mai multă valoare numitori. Luați din nou punctul π/6. Punctul opus acestuia față de centru are și 6 la numitor, iar la numărător numărul este cu 1 mai mult - adică este 7π / 6.
Punctul opus punctului π/4 are și el 4 la numitor, iar numărul din numărător este cu 1 mai mult: 5π/4.
Punctul opus punctului π/3 are și el 3 la numitor, iar numărul din numărător este cu 1 mai mult: 4π/3.
- Relativul Axei X(al patrulea sfert) treaba este mai grea. Aici este necesar să adăugați la valoarea numitorului un număr care este mai mic decât 1 - această sumă va fi egală cu partea numerică a numărătorului punctului opus. Să începem din nou cu π/6. Să adăugăm la valoarea numitorului, egal cu 6, un număr care este cu 1 mai mic decât acest număr - adică 5. Se obține: 6 + 5 = 11. Prin urmare, opus acestuia față de axă. X punctul va avea 6 la numitor și 11 la numărător, adică 11π/6.
Punctul π/4. Adăugăm la valoarea numitorului un număr cu 1 mai mic: 4 + 3 = 7. Prin urmare, opus acestuia față de axă X punctul are 4 la numitor și 7 la numărător, adică 7π/4.
Punctul π/3. Numitorul este 3. Adăugăm la 3 un număr mai puțin - adică 2. Obținem 5. Prin urmare, punctul opus are 5 la numărător - și acesta este punctul 5π / 3.
3) O altă regularitate pentru punctele de mijloc ale sferturilor. Este clar că numitorul lor este 4. Să fim atenți la numărători. Numătorul mijlocului primului trimestru este 1π (dar 1 nu se obișnuiește să scrie). Numătorul mijlocului celui de-al doilea trimestru este 3π. Numătorul mijlocului celui de-al treilea trimestru este 5π. Numătorul mijlocului celui de-al patrulea trimestru este 7π. Se dovedește că în numărătorii punctelor mijlocii ale sferturilor există primele patru numere impare în ordine crescătoare:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
De asemenea, este foarte simplu. Deoarece punctele de mijloc ale tuturor sferturilor au 4 la numitor, le știm deja nume complete: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Caracteristicile cercului numeric. Comparație cu o dreaptă numerică.
După cum știți, pe linia numerică, fiecărui punct îi corespunde singular. De exemplu, dacă punctul A de pe o dreaptă este egal cu 3, atunci nu poate fi egal cu niciun alt număr.
Este diferit pe cercul numeric pentru că este un cerc. De exemplu, pentru a ajunge de la punctul A al cercului la punctul M, o puteți face ca pe o linie dreaptă (doar după ce treceți arcul), sau puteți ocoli întregul cerc și apoi ajungeți la punctul M. Concluzie:
Fie punctul M egal cu un număr t. După cum știm, circumferința unui cerc este 2π. Prin urmare, putem scrie punctul cercului t în două moduri: t sau t + 2π. Acestea sunt valori echivalente.
Adică t = t + 2π. Singura diferență este că în primul caz ați ajuns imediat la punctul M fără a face un cerc, iar în al doilea caz ați făcut un cerc, dar ați ajuns în același punct M. Puteți face două, trei și două sute de astfel de cercuri.. Dacă notăm numărul de cercuri prin literă k, obținem o nouă expresie:
t = t + 2π k.
De aici formula:
Ecuația cercului numeric
(a doua ecuație este în secțiunea „Sinus, cosinus, tangent, cotangent”):
x2 + y2 = 1 |
Cercul numeric este un cerc unitar ale cărui puncte corespund unor numere reale.
Un cerc unitar este un cerc cu raza 1.
Vedere generală a cercului numeric.
1) Raza sa este luată ca unitate de măsură.
2) Diametrele orizontale și verticale împart cercul numeric în patru sferturi. Ele sunt numite, respectiv, primul, al doilea, al treilea și al patrulea trimestru.
3) Diametrul orizontal este desemnat AC, cu A fiind extrema dreapta punct.
Diametrul vertical este desemnat BD, cu B fiind punctul cel mai înalt.
Respectiv:
primul sfert este arcul AB
al doilea sfert - arc î.Hr
al treilea sfert - arc CD
al patrulea trimestru - arc DA
4) Punctul de pornire al cercului numeric este punctul A.
Cercul numeric poate fi numărat fie în sensul acelor de ceasornic, fie în sens invers acelor de ceasornic.
Numărând de la punctul A împotrivaîn sensul acelor de ceasornic se numește direcție pozitivă.
Numărând de la punctul A peîn sensul acelor de ceasornic se numește direcție negativă.
Cercul numeric pe planul de coordonate.
Centrul razei cercului numeric corespunde originii (numărul 0).
Diametrul orizontal corespunde axei X, verticală - axe y.
Punctul de plecare Un cerc numericti este pe axaXși are coordonatele (1; 0).
Numele și locațiile principalelor puncte ale cercului numeric:
Cum să vă amintiți numele cercului numeric.
Există câteva modele simple care vă vor ajuta să vă amintiți cu ușurință numele de bază ale cercului numeric.
Înainte de a începe, reamintim: numărătoarea inversă este în sens pozitiv, adică din punctul A (2π) în sens invers acelor de ceasornic.
1) Să începem de la punctele extreme de pe axele de coordonate.
Punctul de pornire este 2π (punctul cel mai din dreapta pe axă X egal cu 1).
După cum știți, 2π este circumferința unui cerc. Deci jumătate de cerc este 1π sau π. Axă Xîmparte cercul în jumătate. În consecință, punctul cel mai din stânga pe axă X egal cu -1 se numește π.
Cel mai înalt punct de pe axă la, egal cu 1, traversează semicercul superior. Deci, dacă semicercul este π, atunci jumătate din semicerc este π/2.
În același timp, π/2 este și un sfert de cerc. Numărăm trei astfel de sferturi de la primul la al treilea - și vom ajunge la punctul cel mai de jos al axei la egal cu -1. Dar dacă include trei sferturi, atunci numele său este 3π/2.
2) Acum să trecem la restul punctelor. Vă rugăm să rețineți: toate punctele opuse au același numitor - în plus, acestea sunt puncte opuse și relativ la axă la, și relativ la centrul axelor și relativ la axă X. Acest lucru ne va ajuta să le cunoaștem valorile punctuale fără a înghesui.
Este necesar să ne amintim doar valoarea punctelor primului trimestru: π / 6, π / 4 și π / 3. Și apoi vom „vedea” câteva modele:
- Relativul Axei la
la punctele celui de-al doilea trimestru, opus punctelor primului trimestru, numerele din numărători sunt cu 1 mai mici decât numitorii. De exemplu, luați punctul π/6. Punctul opus în jurul axei la are de asemenea 6 la numitor și 5 la numărător (1 mai puțin). Adică numele acestui punct: 5π/6. Punctul opus lui π/4 are, de asemenea, 4 la numitor și 3 la numărător (1 mai mic decât 4) - adică acesta este punctul 3π/4.
Punctul opus lui π/3 are și 3 la numitor și 1 mai puțin la numărător: 2π/3.
- Raportat la centrul axelor de coordonate opusul este adevărat: numerele din numărătorii punctelor opuse (în al treilea trimestru) sunt cu 1 mai mult decât valorile numitorilor. Luați din nou punctul π/6. Punctul opus acestuia față de centru are și 6 la numitor, iar la numărător numărul este cu 1 mai mult - adică este 7π / 6.
Punctul opus punctului π/4 are și el 4 la numitor, iar numărul din numărător este cu 1 mai mult: 5π/4.
Punctul opus punctului π/3 are și el 3 la numitor, iar numărul din numărător este cu 1 mai mult: 4π/3.
- Relativul Axei X(al patrulea sfert) treaba este mai grea. Aici este necesar să adăugați la valoarea numitorului un număr care este cu 1 mai mic - această sumă va fi egală cu partea numerică a numărătorului punctului opus. Să începem din nou cu π/6. Să adăugăm la valoarea numitorului, egal cu 6, un număr care este cu 1 mai mic decât acest număr - adică 5. Se obține: 6 + 5 = 11. Prin urmare, opus acestuia față de axă. X punctul va avea 6 la numitor și 11 la numărător - adică 11π / 6.
Punctul π/4. Adăugăm la valoarea numitorului un număr cu 1 mai mic: 4 + 3 = 7. Prin urmare, opus acestuia față de axă X punctul are 4 la numitor și 7 la numărător, adică 7π/4.
Punctul π/3. Numitorul este 3. Adăugăm la 3 un număr mai puțin - adică 2. Obținem 5. Prin urmare, punctul opus are 5 la numărător - și acesta este punctul 5π / 3.
3) O altă regularitate pentru punctele de mijloc ale sferturilor. Este clar că numitorul lor este 4. Să fim atenți la numărători. Numătorul mijlocului primului trimestru este 1π (dar 1 nu se obișnuiește să scrie). Numătorul mijlocului celui de-al doilea trimestru este 3π. Numătorul mijlocului celui de-al treilea trimestru este 5π. Numătorul mijlocului celui de-al patrulea trimestru este 7π. Se dovedește că în numărătorii punctelor mijlocii ale sferturilor există primele patru numere impare în ordine crescătoare:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
De asemenea, este foarte simplu. Deoarece mijlocul tuturor sferturilor are 4 la numitor, știm deja numele lor complete: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.
Caracteristicile cercului numeric. Comparație cu o dreaptă numerică.
După cum știți, pe linia numerică, fiecărui punct îi corespunde un singur număr. De exemplu, dacă punctul A de pe o dreaptă este egal cu 3, atunci nu poate fi egal cu niciun alt număr.
Este diferit pe cercul numeric pentru că este un cerc. De exemplu, pentru a ajunge de la punctul A al cercului la punctul M, o puteți face ca pe o linie dreaptă (doar după ce treceți arcul), sau puteți ocoli întregul cerc și apoi ajungeți la punctul M. Concluzie:
Fie punctul M egal cu un număr t. După cum știm, circumferința unui cerc este 2π. Prin urmare, putem scrie punctul cercului t în două moduri: t sau t + 2π. Acestea sunt valori echivalente.
Adică t = t + 2π. Singura diferență este că în primul caz ați ajuns imediat la punctul M fără a face un cerc, iar în al doilea caz ați făcut un cerc, dar ați ajuns în același punct M. Puteți face două, trei și două sute de astfel de cercuri.. Dacă notăm numărul de cercuri prin literă n, obținem o nouă expresie:
t = t + 2π n.
De aici formula:
Este dedicat mult timp cercului numeric din clasa a 10-a. Acest lucru se datorează semnificației acestui obiect matematic pentru întregul curs de matematică.
Alegerea corectă a mijloacelor didactice este de mare importanță pentru o bună asimilare a materialului. Tutorialele video sunt printre cele mai eficiente dintre aceste instrumente. LA timpuri recente ating apogeul popularității. Prin urmare, autorul nu a rămas în urmă cu prezentul și a dezvoltat un manual atât de minunat pentru a ajuta profesorii de matematică - o lecție video pe tema „Cercul numeric pe planul de coordonate”.
Această lecție durează 15:22 minute. Acesta este practic timpul maxim pe care un profesor îl poate petrece pentru o explicație independentă a materialului pe tema. Deoarece este nevoie de atât de mult timp pentru a explica materialul nou, este necesar să selectați cele mai eficiente sarcini și exerciții pentru consolidare, precum și să evidențiați încă o lecție în care elevii vor rezolva sarcini pe această temă.
Lecția începe cu imaginea unui cerc numeric într-un sistem de coordonate. Autorul construiește acest cerc și își explică acțiunile. Apoi autorul numește punctele de intersecție ale cercului numeric cu axele de coordonate. În cele ce urmează se explică ce coordonate vor avea punctele cercului în diferite sferturi.
După aceea, autorul își amintește cum arată ecuația cercului. Iar atenția ascultătorilor este prezentată la două machete cu imaginea unor puncte de pe cerc. Datorită acestui fapt, la pasul următor, autorul arată cum sunt corespunzând coordonatele cercului anumite numere marcate pe șabloane. Rezultă un tabel de valori pentru variabilele x și y din ecuația cercului.
În plus, se propune să se ia în considerare un exemplu în care este necesar să se determine coordonatele punctelor cercului. Înainte de a începe rezolvarea exemplului, se introduce o remarcă care ajută la rezolvare. Și apoi pe ecran apare o soluție completă, clar structurată și ilustrată. Există și tabele care fac mai ușor de înțeles esența exemplului.
Apoi sunt luate în considerare încă șase exemple, care consumă mai puțin timp decât primul, dar nu mai puțin importante și reflectă Ideea principală lecţie. Aici sunt prezentate soluțiile în în întregime, cu o poveste detaliată și cu elemente vizuale. Și anume, soluția conține desene care ilustrează cursul soluției și o notație matematică care formează alfabetizarea matematică a elevilor.
Profesorul se poate limita la acele exemple care sunt luate în considerare în lecție, dar acest lucru poate să nu fie suficient pentru o asimilare calitativă a materialului. Prin urmare, alegerea sarcinilor de consolidat este pur și simplu extrem de importantă.
Lecția poate fi utilă nu numai pentru profesori, al căror timp este limitat în mod constant, ci și pentru elevi. Mai ales pentru cei care primesc o educație familială sau sunt angajați în autoeducație. Materialele pot fi folosite de acei elevi care au ratat lecția pe această temă.
INTERPRETAREA TEXTULUI:
Tema lecției noastre este „CERCUL NUMERIC PE PLAN DE COORDONATE”
Suntem deja familiarizați cu sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy (x o y). În acest sistem de coordonate, vom aranja cercul numeric astfel încât centrul cercului să fie aliniat cu originea, iar raza acestuia să fie luată ca segment de scară.
Punctul de pornire A al cercului numeric este aliniat cu punctul cu coordonatele (1; 0) , B - cu punctul (0; 1), C - cu (-1; 0) (minus unu, zero) și D - cu (0; - 1)(zero, minus unu).
(vezi poza 1)
Deoarece fiecare punct al cercului numeric are propriile coordonate în sistemul xOy (x despre y), atunci pentru punctele primului sfert ikx este mai mare decât zero și y este mai mare decât zero;
Al doilea sfert ich mai putin de zero iar y este mai mare decât zero,
pentru punctele din al treilea trimestru, uh este mai mic decât zero și y este mai mic decât zero,
iar pentru al patrulea trimestru, uh este mai mare decât zero și y este mai mic decât zero
Pentru orice punct E (x; y) (cu coordonatele x, y) al cercului numeric, inegalitățile -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x este mai mare sau egal cu minus unu, dar mai mic decât sau egal cu unu; y este mai mare decât sau este egal cu minus unu, dar mai mic sau egal cu unu).
Reamintim că ecuația pentru un cerc cu raza R centrat la origine este x 2 + y 2 = R 2 (x pătrat plus y pătrat este egal cu er pătrat). Și pentru cercul unitar R \u003d 1, deci obținem x 2 + y 2 \u003d 1
(x pătrat plus y pătrat este egal cu unu).
Să găsim coordonatele punctelor cercului numeric, care sunt prezentate pe două scheme (vezi Fig. 2, 3)
Fie punctul E, care îi corespunde
(pi cu patru) - mijlocul primului trimestru prezentat în figură. Din punctul E aruncăm perpendiculara EK pe dreapta OA și luăm în considerare triunghiul OEK. Unghiul AOE =45 0 , deoarece arcul AE este jumătate din arcul AB. Prin urmare, triunghiul OEK este unul dreptunghic isoscel, în care OK = EK. Prin urmare, abscisa și ordonata punctului E sunt egale, i.e. x este egal cu y. Pentru a găsi coordonatele punctului E, rezolvăm sistemul de ecuații: (x este egal cu y - prima ecuație a sistemului și x pătrat plus y pătrat este egal cu unu - a doua ecuație a sistemului). ecuația sistemului, în loc de x, înlocuim y, obținem 2y 2 \u003d 1 (două y pătrat egal cu unul), de unde y \u003d (y = unul împărțit la rădăcina a doi este egal cu rădăcina a două împărțite cu doi) (ordonata este pozitivă). Aceasta înseamnă că punctul E din sistemul de coordonate dreptunghiular are coordonatele (,) (rădăcina a doi împărțită la doi, rădăcina a doi împărțită la doi).
Argumentând în mod similar, găsim coordonatele punctelor corespunzătoare altor numere din primul aspect și obținem: corespunde unui punct cu coordonate (- ,) (minus rădăcina a doi împărțită la doi, rădăcina a doi împărțită la doi); pentru - (-,-) (minus rădăcina a doi împărțită la doi, minus rădăcina a doi împărțită la doi); pentru (șapte pi ori patru) (,) (rădăcina a doi împărțită la doi, minus rădăcina pătrată a doi împărțită la doi).
Fie punctul D să corespundă cu (Fig. 5). Să lăsăm perpendiculara de la DP(de pe) la OA și să luăm în considerare triunghiul ODP. Ipotenuza acestui triunghi OD este egală cu raza cercului unitar, adică unul, iar unghiul DOP este egal cu treizeci de grade, deoarece arcul AD \u003d digi AB (a de este egal cu o treime dintr-un be ), iar arcul AB este de nouăzeci de grade. Prin urmare, DP \u003d (de pe este egal cu o secundă O de este egal cu o secundă) Deoarece piciorul opus unghiului de treizeci de grade este egal cu jumătate din ipotenuză, adică y \u003d (y este egal cu o secundă ). Aplicând teorema lui Pitagora, obținem OR 2 \u003d OD 2 - DP 2 (o pe pătrat este egal cu o de pătrat minus de pe pătrat), dar OR \u003d x (o pe este egal cu x). Deci x 2 \u003d OD 2 - DP 2 \u003d
deci x 2 \u003d (x pătrat este egal cu trei sferturi) și x \u003d (x este egal cu rădăcina lui trei câte doi).
X este pozitiv, deoarece este in primul trimestru. Am obținut că punctul D într-un sistem de coordonate dreptunghiular are coordonatele (,) rădăcina lui trei împărțită la doi, o secundă.
Argumentând într-un mod similar, găsim coordonatele punctelor corespunzătoare altor numere ale celui de-al doilea aspect și scriem toate datele obținute în tabele:
Luați în considerare exemple.
EXEMPLUL 1. Aflați coordonatele punctelor cercului numeric: a) C 1 ();
b) C2 (); c) C3 (41π); d) C4 (- 26π). (tse unu corespunzând la treizeci și cinci pi cu patru, tse doi corespunzând minus patruzeci și nouă pi la trei, tse trei corespunzând la patruzeci și unu pi, tse patru corespunzând minus douăzeci și șase pi).
Soluţie. Să folosim afirmația obținută mai devreme: dacă punctul D al cercului numeric corespunde numărului t, atunci îi corespunde și oricărui număr de forma t + 2πk(te plus două vârfuri), unde ka este orice număr întreg, adică. kϵZ (ka aparține lui zet).
a) Se obține = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (treizeci și cinci pi ori patru este treizeci și cinci ori patru, înmulțit cu pi este egal cu suma a opt și trei sferturi, înmulțită cu pi este egal cu trei pi ori patru plus produsul a doi pi ori patru).Aceasta înseamnă că numărul treizeci și cinci de pi ori patru corespunde aceluiași punct de pe cerc numeric ca și numărul trei pi ori patru. Folosind tabelul 1, obținem С 1 () = С 1 (-;) .
b) În mod similar, coordonatele С 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Prin urmare, numărul
corespunde aceluiași punct al cercului numeric cu numărul. Și numărul corespunde pe cercul numeric cu același punct cu numărul
(afișați al doilea aspect și tabelul 2). Pentru un punct avem x = , y =.
c) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20. Prin urmare, numărul 41π corespunde aceluiași punct al cercului numeric ca și numărul π - acesta este un punct cu coordonate (-1; 0).
d) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), adică numărul - 26π corespunde aceluiași punct al cercului numeric ca și numărul zero, acesta este punctul cu coordonatele (1; 0).
EXEMPLU 2. Găsiți puncte pe cercul numeric cu ordonata y \u003d
Soluţie. Linia y = intersectează cercul numeric în două puncte. Un punct corespunde unui număr, al doilea punct corespunde unui număr,
Prin urmare, toate punctele sunt obținute prin adăugarea unei ture complete 2πk unde k arată cât revoluții complete face un punct, adică primim
iar pentru orice număr toate numerele de forma + 2πk. Adesea în astfel de cazuri ei spun că au primit două serii de valori: + 2πk, + 2πk.
EXEMPLU 3. Găsiți puncte pe cercul numeric cu abscisa x = și scrieți la ce numere t corespund.
Soluţie. Drept X= intersectează cercul numeric în două puncte. Un punct corespunde unui număr (vezi al doilea aspect),
și deci orice număr de forma + 2πk. Iar al doilea punct corespunde unui număr și, prin urmare, oricărui număr de forma + 2πk. Aceste două serii de valori pot fi acoperite într-o singură intrare: ± + 2πk (plus minus doi pi cu trei plus doi pi).
EXEMPLU 4. Găsiți puncte cu o ordonată pe un cerc numeric la> și notează ce numere t corespund.
Linia y \u003d intersectează cercul numeric în două puncte M și P. Și inegalitatea y\u003e corespunde punctelor arcului deschis MP, aceasta înseamnă arce fără capete (adică fără și), atunci când se deplasează în jurul cercului în sens invers acelor de ceasornic, începând din punctul M și terminând în punctul P. Prin urmare, nucleul reprezentării analitice a arcului MP este inegalitatea< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
EXEMPLUL 5. Găsiți puncte cu ordonate pe un cerc numeric la < и записать, каким числам t они соответствуют.
Linia y \u003d intersectează cercul numeric în două puncte M și P. Și inegalitatea y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
EXEMPLU 6. Găsiți puncte cu o abscisă pe un cerc numeric X> și notează ce numere t corespund.
Linia dreaptă x = intersectează cercul numeric în două puncte M și P. Inegalitatea x > corespunde punctelor arcului deschis PM atunci când se deplasează de-a lungul cercului în sens invers acelor de ceasornic cu începutul în punctul P, care corespunde, iar sfârșitul la punctul M, care corespunde. Prin urmare, nucleul notației analitice pentru arcul PM este inegalitatea< t <
(te este mai mare decât minus doi pi pe trei, dar mai mic de doi pi pe trei), iar notația analitică a arcului în sine are forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
EXEMPLU 7. Găsiți puncte cu o abscisă pe un cerc numeric X < и записать, каким числам t они соответствуют.
Linia x = intersectează cercul numeric în două puncte M și P. Inegalitatea x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te este mai mult de doi pi pe trei, dar mai mic de patru pi pe trei), iar notația analitică a arcului în sine are forma + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
