În această lecție vom arunca o privire detaliată asupra funcției y = sin x, proprietățile sale de bază și graficul. La începutul lecției vom da o definiție functie trigonometrica y = sin t on cerc de coordonateși luați în considerare graficul unei funcții pe un cerc și o dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul unei funcții și proprietățile acesteia.
Tema: Funcții trigonometrice
Lecția: Funcția y=sinx, proprietățile ei de bază și graficul
Când luăm în considerare o funcție, este important să asociați fiecare valoare de argument cu o singură valoare a funcției. Acest legea corespondențeiși se numește funcție.
Să definim legea corespondenței pentru .
Orice număr real corespunde unui singur punct de pe cercul unitar.Un punct are o singură ordonată, care se numește sinusul numărului (Fig. 1).
Fiecare valoare de argument este asociată cu o singură valoare a funcției.
Proprietăți evidente rezultă din definiția sinusului.
Figura arată că 
deoarece este ordonata unui punct de pe cercul unitar.
Luați în considerare graficul funcției. Să ne amintim interpretarea geometrică a argumentului. Argumentul este unghiul central, măsurat în radiani. De-a lungul axei vom reprezenta numere reale sau unghiuri în radiani, de-a lungul axei valorile corespunzătoare ale funcției.
De exemplu, un unghi pe cercul unității corespunde unui punct de pe grafic (Fig. 2)
Am obținut un grafic al funcției din zonă, dar cunoscând perioada sinusului, putem reprezenta graficul funcției pe întregul domeniu de definiție (Fig. 3).
Perioada principală a funcției este. Aceasta înseamnă că graficul poate fi obținut pe un segment și apoi continuat pe întregul domeniu de definiție.
Luați în considerare proprietățile funcției:
1) Domeniul de aplicare al definiției:
2) Interval de valori: 
3) Funcția impară:
4) Cea mai mică perioadă pozitivă:
5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axa absciselor: 
6) Coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa ordonatelor:
7) Intervale la care funcția ia valori pozitive:
8) Intervale la care funcția ia valori negative:
9) Creșterea intervalelor:
10) Intervale descrescătoare:
11) Puncte minime: 
12) Funcții minime:
13) Puncte maxime: 
14) Funcții maxime:
Ne-am uitat la proprietățile funcției și graficul acesteia. Proprietățile vor fi folosite în mod repetat la rezolvarea problemelor.
Bibliografie
1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general ( nivel de profil) ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și calcul pentru clasa a 10-a ( tutorial pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii).-M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat algebră şi analiză matematică.-M.: Educaţie, 1997.
5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanții la instituțiile de învățământ superior (editat de M.I. Skanavi).- M.: Liceu, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.
Teme pentru acasă
Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed.
A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Resurse web suplimentare
3. Portal educațional a se pregăti pentru examene ().
În această lecție vom arunca o privire detaliată asupra funcției y = sin x, proprietățile sale de bază și graficul. La începutul lecției, vom da definiția funcției trigonometrice y = sin t pe cercul de coordonate și vom considera graficul funcției pe cerc și dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul unei funcții și proprietățile acesteia.
Tema: Funcții trigonometrice
Lecția: Funcția y=sinx, proprietățile ei de bază și graficul
Când luăm în considerare o funcție, este important să asociați fiecare valoare de argument cu o singură valoare a funcției. Acest legea corespondențeiși se numește funcție.
Să definim legea corespondenței pentru .
Orice număr real corespunde unui singur punct de pe cercul unitar.Un punct are o singură ordonată, care se numește sinusul numărului (Fig. 1).
Fiecare valoare de argument este asociată cu o singură valoare a funcției.
Proprietăți evidente rezultă din definiția sinusului.
Figura arată că deoarece este ordonata unui punct de pe cercul unitar.
Luați în considerare graficul funcției. Să ne amintim interpretarea geometrică a argumentului. Argumentul este unghiul central, măsurat în radiani. De-a lungul axei vom reprezenta numere reale sau unghiuri în radiani, de-a lungul axei valorile corespunzătoare ale funcției.
De exemplu, un unghi pe cercul unității corespunde unui punct de pe grafic (Fig. 2)
Am obținut un grafic al funcției din zonă, dar cunoscând perioada sinusului, putem reprezenta graficul funcției pe întregul domeniu de definiție (Fig. 3).
Perioada principală a funcției este. Aceasta înseamnă că graficul poate fi obținut pe un segment și apoi continuat pe întregul domeniu de definiție.
Luați în considerare proprietățile funcției:
1) Domeniul de aplicare al definiției:
2) Interval de valori:
3) Funcția impară:
4) Cea mai mică perioadă pozitivă:
5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axa absciselor:
6) Coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa ordonatelor:
7) Intervale la care funcția ia valori pozitive:
8) Intervale la care funcția ia valori negative:
9) Creșterea intervalelor:
10) Intervale descrescătoare:
11) Puncte minime:
12) Funcții minime:
13) Puncte maxime:
14) Funcții maxime:
Ne-am uitat la proprietățile funcției și graficul acesteia. Proprietățile vor fi folosite în mod repetat la rezolvarea problemelor.
Bibliografie
1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii). - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.
5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanții la instituțiile de învățământ superior (editat de M.I. Skanavi).- M.: Liceu, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.
Teme pentru acasă
Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed.
A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Resurse web suplimentare
3. Portal educațional pentru pregătirea examenelor ().
Inapoi inainte
Atenţie! previzualizare Slide-urile au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat acest lucru, vă rugăm să descărcați versiunea completă.
Fierul rugineste fara a-si gasi nici un folos,
apa stătătoare putrezește sau îngheață la frig,
iar mintea unei persoane, negăsindu-și nici un folos, lâncește.
Leonardo da Vinci
Tehnologii folosite:învăţare bazată pe probleme, gândire critică, comunicare comunicativă.
Obiective:
- Dezvoltare interes cognitiv la învățare.
- Studierea proprietăților funcției y = sin x.
- Formarea deprinderilor practice în construirea unui grafic al funcției y = sin x pe baza materialului teoretic studiat.
Sarcini:
1. Utilizați potențialul existent de cunoștințe despre proprietățile funcției y = sin x în situații specifice.
2. Aplicați stabilirea conștientă a conexiunilor între modelele analitice și geometrice ale funcției y = sin x.
Dezvoltați inițiativa, o anumită dorință și interes în găsirea unei soluții; capacitatea de a lua decizii, de a nu te opri aici și de a-ți apăra punctul de vedere.
Să promoveze la elevi activitatea cognitivă, simțul responsabilității, respectul unul față de celălalt, înțelegerea reciprocă, sprijinul reciproc și încrederea în sine; cultura comunicarii.
În timpul orelor
Etapa 1. Actualizarea cunoștințelor de bază, motivarea învățării materialelor noi
— Intrând în lecție.
Pe tablă sunt scrise 3 afirmații:
- Ecuația trigonometrică sin t = a are întotdeauna soluții.
- Programa funcţie ciudată poate fi construit folosind o transformare de simetrie în jurul axei Oy.
- O funcție trigonometrică poate fi reprezentată grafic folosind o jumătate de undă principală.
Elevii discută în perechi: sunt adevărate afirmațiile? (1 minut). Rezultatele discuției inițiale (da, nu) sunt apoi introduse în tabelul din coloana „Înainte”.
Profesorul stabilește scopurile și obiectivele lecției.
2. Actualizarea cunoștințelor (frontal pe un model de cerc trigonometric).
Ne-am familiarizat deja cu funcția s = sin t.
1) Ce valori poate lua variabila t. Care este scopul acestei funcții?
2) În ce interval sunt cuprinse valorile expresiei sin t? Aflați cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției s = sin t.
3) Rezolvați ecuația sin t = 0.
4) Ce se întâmplă cu ordonata unui punct când se deplasează de-a lungul primului sfert? (ordonata crește). Ce se întâmplă cu ordonata unui punct când se deplasează de-a lungul celui de-al doilea sfert? (ordonata scade treptat). Cum se leagă acest lucru cu monotonitatea funcției? (funcția s = sin t crește pe segment și scade pe segment ).
5) Să scriem funcția s = sin t sub forma y = sin x care ne este familiară (o vom construi în sistemul obișnuit de coordonate xOy) și să alcătuim un tabel cu valorile acestei funcție.
| X | 0 | ||||||
| la | 0 | 1 | 0 |
Etapa 2. Percepție, înțelegere, consolidare primară, memorare involuntară
Etapa 4. Sistematizarea primară a cunoștințelor și metodelor de activitate, transferul și aplicarea acestora în situații noi
6. Nr. 10.18 (b,c)
Etapa 5. Control final, corectare, evaluare și autoevaluare
7. Revenim la enunțuri (începutul lecției), discutăm folosind proprietățile funcției trigonometrice y = sin x și completăm coloana „După” din tabel.
8. D/z: clauza 10, nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)
>>Matematică: Funcțiile y = sin x, y = cos x, proprietățile și graficele lor
Funcțiile y = sin x, y = cos x, proprietățile și graficele lor
În această secțiune vom discuta câteva proprietăți ale funcțiilor y = sin x,y= cos x și construiți graficele lor.
1. Funcția y = sin X.
Mai sus, în § 20, am formulat o regulă care permite fiecărui număr t să fie asociat cu un număr cos t, adică. a caracterizat funcţia y = sin t. Să notăm câteva dintre proprietățile sale.
Proprietățile funcției u = sin t.
Domeniul de definiție este mulțimea K de numere reale.
Aceasta rezultă din faptul că oricărui număr 2 îi corespunde un punct M(1) pe cercul numeric, care are o ordonată bine definită; această ordonată este cos t.
u = sin t este o funcție impară.
Aceasta rezultă din faptul că, după cum sa dovedit în § 19, pentru orice t egalitatea
Aceasta înseamnă că graficul funcției u = sin t, ca și graficul oricărei funcții impare, este simetric față de originea în sistemul de coordonate dreptunghiular tOi.
Funcția u = sin t crește pe interval 
Aceasta rezultă din faptul că atunci când un punct se deplasează de-a lungul primului sfert cerc numeric ordonata crește treptat (de la 0 la 1 - vezi Fig. 115), iar când punctul se deplasează de-a lungul celui de-al doilea sfert al cercului numeric, ordonata scade treptat (de la 1 la 0 - vezi Fig. 116).
Funcția u = sint este mărginită atât dedesubt, cât și de sus. Aceasta rezultă din faptul că, după cum am văzut în § 19, pentru orice t inegalitatea este valabilă.
(funcția atinge această valoare în orice punct al formularului 
(funcția atinge această valoare în orice punct al formularului
Folosind proprietățile obținute, vom construi un grafic al funcției care ne interesează. Dar (atentie!) in loc de u - sin t vom scrie y = sin x (la urma urmei, suntem mai obisnuiti sa scriem y = f(x), si nu u = f(t)). Aceasta înseamnă că vom construi un grafic în sistemul obișnuit de coordonate xOy (și nu tOy).
Să facem un tabel cu valorile funcției y - sin x:
Cometariu.
Să dăm una dintre versiunile originii termenului „sinus”. În latină, sinus înseamnă îndoire (coarda arcului).
Graficul construit justifică într-o oarecare măsură această terminologie. 
Linia care servește ca grafic al funcției y = sin x se numește undă sinusoidală. Acea parte a sinusoidei care este prezentată în fig. 118 sau 119 se numește undă sinusoidală, iar acea parte a undei sinusoidale care este prezentată în fig. 117, se numește semiundă sau arc de undă sinusoidală.
2. Funcția y = cos x.
Studiul funcției y = cos x ar putea fi efectuat aproximativ după aceeași schemă folosită mai sus pentru funcția y = sin x. Dar vom alege calea care duce la obiectiv mai repede. În primul rând, vom demonstra două formule care sunt importante în sine (veți vedea asta la liceu), dar deocamdată au doar o semnificație auxiliară pentru scopurile noastre.
Pentru orice valoare a lui t sunt valabile următoarele egalități:
Dovada. Fie numărul t să corespundă punctului M al cercului numeric n, iar numărul * + - punctul P (Fig. 124; de dragul simplității, am luat punctul M în primul trimestru). Arcele AM și BP sunt egale, iar triunghiurile dreptunghiulare OKM și OLBP sunt egale în mod corespunzător. Aceasta înseamnă O K = Ob, MK = Pb. Din aceste egalități și din locația triunghiurilor OCM și OBP în sistemul de coordonate, tragem două concluzii:
1) ordonata punctului P atât ca mărime, cât și ca semn coincide cu abscisa punctului M; înseamnă că
2) abscisa punctului P este egală în valoare absolută cu ordonata punctului M, dar diferă ca semn de aceasta; înseamnă că
Aproximativ același raționament se efectuează în cazurile în care punctul M nu aparține primului trimestru.
Să folosim formula 
(aceasta este formula dovedită mai sus, dar în locul variabilei t folosim variabila x). Ce ne oferă această formulă? Ne permite să afirmăm că funcțiile
sunt identice, ceea ce înseamnă că graficele lor coincid.
Să diagramăm funcția 
Pentru a face acest lucru, să trecem la un sistem de coordonate auxiliar cu originea într-un punct (linia punctată este trasată în Fig. 125). Să asociem funcția y = sin x la sistem nou coordonate - acesta va fi graficul funcției 
(Fig. 125), i.e. graficul funcției y - cos x. Ea, ca și graficul funcției y = sin x, se numește undă sinusoidală (ceea ce este destul de natural).
Proprietățile funcției y = cos x.
y = cos x este o funcție pară.
Etapele construcției sunt prezentate în Fig. 126:
1) construiți un grafic al funcției y = cos x (mai precis, o jumătate de undă);
2) prin întinderea graficului construit de pe axa x cu un factor de 0,5, obținem o jumătate de undă din graficul necesar;
3) folosind semiunda rezultată, construim întregul grafic al funcției y = 0,5 cos x.
În această lecție vom arunca o privire detaliată asupra funcției y = sin x, proprietățile sale de bază și graficul. La începutul lecției, vom da definiția funcției trigonometrice y = sin t pe cercul de coordonate și vom considera graficul funcției pe cerc și dreaptă. Să arătăm periodicitatea acestei funcții pe grafic și să luăm în considerare principalele proprietăți ale funcției. La sfârșitul lecției, vom rezolva câteva probleme simple folosind graficul unei funcții și proprietățile acesteia.
Tema: Funcții trigonometrice
Lecția: Funcția y=sinx, proprietățile ei de bază și graficul
Când luăm în considerare o funcție, este important să asociați fiecare valoare de argument cu o singură valoare a funcției. Acest legea corespondențeiși se numește funcție.
Să definim legea corespondenței pentru .
Orice număr real corespunde unui singur punct de pe cercul unitar.Un punct are o singură ordonată, care se numește sinusul numărului (Fig. 1).
Fiecare valoare de argument este asociată cu o singură valoare a funcției.
Proprietăți evidente rezultă din definiția sinusului.
Figura arată că deoarece este ordonata unui punct de pe cercul unitar.
Luați în considerare graficul funcției. Să ne amintim interpretarea geometrică a argumentului. Argumentul este unghiul central, măsurat în radiani. De-a lungul axei vom reprezenta numere reale sau unghiuri în radiani, de-a lungul axei valorile corespunzătoare ale funcției.
De exemplu, un unghi pe cercul unității corespunde unui punct de pe grafic (Fig. 2)
Am obținut un grafic al funcției din zonă, dar cunoscând perioada sinusului, putem reprezenta graficul funcției pe întregul domeniu de definiție (Fig. 3).
Perioada principală a funcției este. Aceasta înseamnă că graficul poate fi obținut pe un segment și apoi continuat pe întregul domeniu de definiție.
Luați în considerare proprietățile funcției:
1) Domeniul de aplicare al definiției:
2) Interval de valori:
3) Funcția impară:
4) Cea mai mică perioadă pozitivă:
5) Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu axa absciselor:
6) Coordonatele punctului de intersecție a graficului cu axa ordonatelor:
7) Intervale la care funcția ia valori pozitive:
8) Intervale la care funcția ia valori negative:
9) Creșterea intervalelor:
10) Intervale descrescătoare:
11) Puncte minime:
12) Funcții minime:
13) Puncte maxime:
14) Funcții maxime:
Ne-am uitat la proprietățile funcției și graficul acesteia. Proprietățile vor fi folosite în mod repetat la rezolvarea problemelor.
Bibliografie
1. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituțiile de învățământ general (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a (manual pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii). - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Studiu aprofundat al algebrei și analizei matematice.-M.: Educație, 1997.
5. Culegere de probleme de matematică pentru solicitanții la instituțiile de învățământ superior (editat de M.I. Skanavi).- M.: Liceu, 1992.
6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulator algebric.-K.: A.S.K., 1997.
7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Probleme de algebră și principii de analiză (manual pentru elevii din clasele 10-11 din instituțiile de învățământ general) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și principii de analiză: manual. indemnizatie pentru 10-11 clase. cu profunzime studiat Matematică.-M.: Educaţie, 2006.
Teme pentru acasă
Algebră și început de analiză, nota 10 (în două părți). Cartea de probleme pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed.
A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Resurse web suplimentare
3. Portal educațional pentru pregătirea examenelor ().
