Lecția video 2: Teorema pe trei perpendiculare. Teorie

Lecția video 3: Teorema pe trei perpendiculare. O sarcină

Lectura: Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan, semne și proprietăți; perpendicular și oblic; teorema celor trei perpendiculare

Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan

Să ne amintim care este perpendicularitatea liniilor drepte în general. Liniile perpendiculare sunt cele care se intersectează la un unghi de 90 de grade. În acest caz, unghiul dintre ele poate fi, atât în ​​cazul intersecției într-un anumit punct, cât și în cazul traversării. Dacă unele drepte se intersectează în unghi drept, atunci ele pot fi numite și drepte perpendiculare dacă, datorită translației paralele, linia este transferată într-un punct de pe a doua dreaptă.

Definiție: Dacă o dreaptă este perpendiculară pe orice dreaptă care aparține unui plan, atunci poate fi considerată perpendiculară pe acest plan.

Caracteristică: Dacă există două drepte perpendiculare pe un plan și o a treia dreaptă este perpendiculară pe fiecare dintre ele, atunci această a treia dreaptă este perpendiculară pe plan.

Proprietăți:

• Dacă unele drepte sunt perpendiculare pe un plan, atunci ele sunt reciproc paralele între ele.

• Dacă există două plane paralele, precum și o linie dreaptă care este perpendiculară pe unul dintre planuri, atunci este și perpendiculară pe al doilea.
• Se poate face și afirmația inversă: dacă o anumită dreaptă este perpendiculară pe două plane diferite, atunci astfel de planuri sunt în mod necesar paralele.

oblic

Dacă o linie conectează un punct arbitrar care nu se află pe plan cu niciun punct din plan, atunci o astfel de linie va fi numită oblic.

Vă rugăm să rețineți că este înclinat doar dacă unghiul dintre el și plan nu este de 90 de grade.

În figură, AB este α înclinat față de plan. În acest caz, punctul B se numește baza pantei.

Dacă desenați un segment din punctul A spre plan, care va face un unghi de 90 de grade cu planul, atunci acest segment va fi numit perpendiculară. Perpendiculara se mai numește și cea mai mică distanță față de plan.

AC este o perpendiculară trasată din punctul A pe planul α. Punctul C se numește baza perpendicularei.

Dacă în acest desen se desenează un segment care va lega baza perpendicularei (C) de baza înclinului (B), atunci segmentul rezultat se va numi proiecție.

Ca rezultat al construcțiilor simple, am obținut un triunghi dreptunghic. În acest triunghi, unghiul ABC se numește unghiul dintre oblic și proiecție.

Teorema trei perpendiculare

Schiță a unei lecții de geometrie în clasa a 10-a pe tema „Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan”

Obiectivele lecției:

educational

introducerea unui semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan;

să formeze ideile elevilor despre perpendicularitatea unei drepte și a unui plan, proprietățile acestora;

să formeze capacitatea elevilor de a rezolva probleme tipice pe tema, capacitatea de a demonstra afirmații;

în curs de dezvoltare

dezvoltarea independenței, a activității cognitive;

dezvoltarea capacității de a analiza, de a trage concluzii, de a sistematiza informațiile primite,

dezvoltarea gândirii logice;

dezvolta imaginația spațială.

educational

educarea culturii vorbirii a elevilor, perseverență;

insufla elevilor interesul pentru subiect.

Tip de lecție: Lecție de studiu și consolidare primară a cunoștințelor.

Forme de lucru ale elevilor: sondaj frontal.

Echipament: computer, proiector, ecran.

Literatură:„Geometrie 10-11”, Manual. Atanasyan L.S. si etc.

(2009, 255 p.)

Planul lecției:

Moment organizatoric (1 minut);

Actualizarea cunoștințelor (5 minute);

Învățarea de materiale noi (15 minute);

Consolidarea primară a materialului studiat (20 minute);

Rezumat (2 minute);

Tema pentru acasă (2 minute).

În timpul orelor.

Moment organizatoric (1 minut)

Salutarea elevilor. Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție: verificarea disponibilității caietelor, manualelor. Verificarea absenteismului.

Actualizare de cunoștințe (5 minute)

Profesor. Care dreptă se numește perpendiculară pe plan?

Student. O linie perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan se numește drept perpendiculară pe acest plan.

Profesor. Cum sună lema despre două linii paralele perpendiculare pe o a treia?

Student. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe o a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe această dreaptă.

Profesor. Teoremă privind perpendicularitatea a două drepte paralele pe un plan.

Student. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe un plan, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe acel plan.

Profesor. Care este inversul acestei teoreme?

Student. Dacă două drepte sunt perpendiculare pe același plan, atunci sunt paralele.

Verificarea temelor

Temele sunt verificate dacă elevii întâmpină dificultăți în a le rezolva.

Învățarea de materiale noi (15 minute)

Profesor. Tu și cu mine știm că, dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci va fi perpendiculară pe orice dreaptă situată în acest plan, dar în definiție, perpendicularitatea unei drepte pe un plan este dată ca fapt. În practică, este adesea necesar să se determine dacă linia va fi perpendiculară pe plan sau nu. Astfel de exemple pot fi date din viață: în timpul construcției clădirilor, piloții sunt conduși perpendicular pe suprafața pământului, altfel structura se poate prăbuși. Definiția unei drepte perpendiculare pe plan nu poate fi utilizată în acest caz. De ce? Câte linii pot fi trase într-un plan?

Student. Există o infinitate de linii drepte care pot fi trasate într-un plan.

Profesor. Corect. Și este imposibil să verificați perpendicularitatea unei linii drepte pe fiecare plan individual, deoarece va dura un timp infinit de lung. Pentru a înțelege dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, introducem semnul de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan. Scrie in caietul tău. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acel plan.

Intrare caiet. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci este perpendiculară pe acel plan.

Profesor. Astfel, nu trebuie să verificăm perpendicularitatea unei drepte pentru fiecare plan drept, este suficient să verificăm perpendicularitatea doar pentru două drepte ale acestui plan.

Profesor. Să demonstrăm acest semn.

Dat: pși q- Drept, p ∩ q = O, A⊥ p, A⊥ q, p ϵ α, q ϵ α.

Dovedi: A⊥ α.

Profesor. Și totuși, pentru dovadă, folosim definiția unei drepte perpendiculare pe plan, cum sună?

Student. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acel plan.

Profesor. Corect. Desenați orice dreaptă m în planul α. Desenați o dreaptă l ║ m prin punctul O. Pe linia a marcați punctele A și B astfel încât punctul O să fie punctul de mijloc al segmentului AB. Să desenăm dreapta z în așa fel încât să intersecteze dreptele p, q, l, punctele de intersecție ale acestor drepte vor fi notate cu P, Q, L, respectiv. Conectați capetele segmentului AB cu punctele P, Q și L.

Profesor. Ce putem spune despre triunghiurile ∆APQ și ∆BPQ?

Student. Aceste triunghiuri vor fi egale (după al 3-lea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor).

Profesor. De ce?

Student. pentru că liniile p și q sunt bisectoare perpendiculare, atunci AP = BP , AQ = BQ , iar latura PQ este comună.

Profesor. Corect. Ce putem spune despre triunghiurile ∆APL și ∆BPL?

Student. Aceste triunghiuri vor fi de asemenea egale (după 1 semn de egalitate a triunghiurilor).

Profesor. De ce?

Student. AP = BP, PL- partea comună APL =  BPL(din egalitatea ∆ APQși ∆ BPQ)

Profesor. Corect. Deci AL = BL . Deci, ce va fi ∆ALB?

Student. Deci ∆ALB va fi isoscel.

Profesor. LO este mediana în ∆ALB, deci care va fi în acest triunghi?

Student. Deci LO va fi și înălțimea.

Profesor. De aici linia dreaptălva fi perpendicular pe linieA. Și din moment ce linia dreaptăleste orice dreptă aparținând planului α, apoi prin definiție dreaptaA⊥ A. Q.E.D.

Dovedit cu prezentare

Profesor. Dar dacă dreapta a nu intersectează punctul O, ci rămâne perpendiculară pe dreptele p și q? Dacă dreapta a intersectează orice alt punct al planului dat?

Student. Este posibil să construiți o linie 1 , care va fi paralelă cu dreapta a, va intersecta punctul O, iar prin lema pe două drepte paralele perpendiculare pe a treia, putem demonstra căA 1 ⊥ p, A 1 ⊥ q.

Profesor. Corect.

Consolidarea primară a materialului studiat (20 minute)

Profesor. Pentru a consolida materialul studiat, vom rezolva numărul 126. Citiți sarcina.

Student. Linia MB este perpendiculară pe laturile AB și BC ale triunghiului ABC. Determinați tipul de triunghi MBD, unde D este un punct arbitrar al dreptei AC.

Imagine.

Dat: ∆ ABC, MB⊥ BA, MB⊥ î.Hr, D ϵ AC.

Găsiți: ∆ MBD.

Soluţie.

Profesor. Poți să desenezi un plan prin vârfurile unui triunghi?

Student. Da, poti. Avionul poate fi desenat în trei puncte.

Profesor. Cum vor fi situate liniile BA și CB față de acest plan?

Student. Aceste linii se vor afla în acest plan.

Profesor. Se pare că avem un plan și există două linii care se intersectează în el. Cum se raportează linia MW la aceste linii?

Student. MV direct⊥ VA, MV ⊥ BC.

Scrierea la tablă și în caiete. pentru că MV⊥ VA, MV ⊥ VS

Profesor. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci linia va aparține acestui plan?

Student. Linia dreaptă MB va fi perpendiculară pe planul ABC.

⊥ ABC.

Profesor. Punctul D este un punct arbitrar pe segmentul AC, deci cum se va raporta linia BD cu planul ABC?

Student. Deci BD aparține planului ABC.

Scrierea la tablă și în caiete. pentru că BD ϵ ABC

Profesor. Care vor fi liniile MB și BD una față de alta?

Student. Aceste drepte vor fi perpendiculare după definiția unei drepte perpendiculare pe plan.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔ MV⊥ BD

Profesor. Dacă MB este perpendicular pe BD, atunci care va fi triunghiul MBD?

Student. Triunghiul MBD va fi în unghi drept.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔ ∆MBD – dreptunghiular.

Profesor. Corect. Să rezolvăm numărul 127. Citiți sarcina.

Student. Într-un triunghiABC suma unghiurilor Ași Beste egal cu 90°. DreptBDperpendicular pe planABC. Demonstrează asta CD⊥ AC.

Elevul merge la tablă. Desenează un desen.

Scrieți pe tablă și într-un caiet.

Dat: ∆ ABC,  A +  B= 90°, BD⊥ ABC.

Dovedi: CD⊥ AC.

Dovada:

Profesor. Care este suma unghiurilor unui triunghi?

Student. Suma unghiurilor dintr-un triunghi este 180°.

Profesor. Ce este unghiul C în triunghiul ABC?

Student. Unghiul C din triunghiul ABC va fi de 90°.

Scrierea la tablă și în caiete. C = 180° - A- B= 90°

Profesor. Dacă unghiul C este de 90°, cum se află liniile AC și BC una față de alta?

Student. Înseamnă AC⊥ Soarele.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔ AC⊥ Soarele

Profesor. Linia BD este perpendiculară pe planul ABC. Ce rezultă din asta?

Student. Deci BD este perpendicular pe orice linie din ABC.

BD⊥ ABC ↔ BDperpendicular pe orice dreptăABC(prin definitie)

Profesor. În conformitate cu aceasta, cum vor fi legate direct BD și AC?

Student. Deci aceste linii sunt perpendiculare.

BD⊥ AC

Profesor. AC este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în planul DBC, dar AC nu trece prin punctul de intersecție. Cum să o repar?

Student. Desenați o dreaptă prin punctul B și paralela AC. Deoarece AC este perpendicular pe BC și BD, atunci a va fi și perpendicular pe BC și BD după lemă.

Scrierea la tablă și în caiete. Desenați o dreaptă prin punctul B a ║AC ↔ a⊥ î.Hr, și ⊥ BD

Profesor. Dacă dreapta a este perpendiculară pe BC și BD, atunci ce se poate spune despre poziția relativă a dreptei a și a planului BDC?

Student. Aceasta înseamnă că linia a va fi perpendiculară pe planul BDC și, prin urmare, linia AC va fi perpendiculară pe BDC.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔ a⊥ bdc↔ AC ⊥ bdc.

Profesor. Dacă AC este perpendicular pe BDC, atunci cum vor fi situate liniile AC și DC una față de alta?

Student. AC și DC vor fi perpendiculare după definiția unei drepte perpendiculare pe plan.

Scrierea la tablă și în caiete. pentru că AC⊥ bdc↔ AC ⊥ DC

Profesor. Bine făcut. Să rezolvăm numărul 129. Citiți sarcina.

Student. DreptA.Mperpendicular pe planul pătratuluiABCD, ale căror diagonale se intersectează în punctul O. Demonstrați că: a) dreaptaBDperpendicular pe planAMO; b)MO⊥ BD.

Un student vine la tablă. Desenează un desen.

Scrieți pe tablă și într-un caiet.

Dat:ABCD- pătrat,A.M⊥ ABCD, AC ∩ BD = O

Dovedi:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Dovada:

Profesor. Trebuie să dovedim căBD⊥ AMO. Ce condiții trebuie îndeplinite pentru ca acest lucru să se întâmple?

Student. Este necesar ca direct BD este perpendiculară pe cel puțin două drepte care se intersectează din plan AMO.

Profesor. Condiția spune că BD perpendicular pe două drepte care se intersectează AMO?

Student. Nu.

Profesor. Dar știm asta A.M perpendicular ABCD . Ce concluzie se poate trage din asta?

Student. Înseamnă ceea ce A.M perpendicular pe orice dreptă din acest plan, adică A.M perpendicular B.D.

A.M⊥ ABCD ↔ A.M⊥ BD(prin definitie).

Profesor. O dreaptă este perpendiculară BD există. Acordați atenție pătratului, cum vor fi amplasate liniile unul față de celălalt AC și BD?

Student. AC vor fi perpendiculare BD prin proprietatea diagonalelor unui pătrat.

Scrieți pe tablă și într-un caiet. pentru căABCD- pătrat, atunciAC⊥ BD(prin proprietatea diagonalelor unui pătrat)

Profesor. Am găsit două linii care se intersectează situate într-un plan AMO perpendicular pe linie BD . Ce rezultă din asta?

Student. Înseamnă ceea ce BD perpendicular pe plan AMO.

Scrierea la tablă și în caiete. pentru căAC⊥ BDșiA.M⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(prin semn)

Profesor. Care dreptă se numește dreptă perpendiculară pe plan?

Student. Se spune că o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.

Profesor. Cum sunt liniile legate între ele? BD și OM?

Student. Înseamnă BD perpendicular OM . Q.E.D.

Scrierea la tablă și în caiete. ↔BD⊥ MO(prin definitie). Q.E.D.

Debriefing (2 minute)

Profesor. Astăzi am studiat semnul perpendicularității unei drepte și a unui plan. Cum sună?

Student. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate într-un plan, atunci această dreaptă este perpendiculară pe acest plan.

Profesor. Corect. Am învățat să aplicăm această caracteristică în rezolvarea problemelor. Care a răspuns la tablă și a ajutat de la loc, bravo.

Tema pentru acasă (2 minute)

Profesor. Paragraful 1, paragrafele 15-17, învață: lema, definiția și toate teoremele. nr. 130, 131.

Două drepte în spațiu se numesc perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de 90 o .

orez. 37

Liniile perpendiculare se pot intersecta și pot fi înclinate. Lema. Dacă una dintre cele două drepte paralele este perpendiculară pe o a treia dreaptă, atunci cealaltă dreaptă este de asemenea perpendiculară pe această dreaptă. Definiție. Se spune că o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă situată în plan. Mai spunem că planul este perpendicular pe dreapta a.

orez. 38

Dacă linia a este perpendiculară pe plan, atunci în mod evident intersectează acest plan. Într-adevăr, dacă linia a nu ar intersecta planul, atunci s-ar afla în acest plan sau ar fi paralelă cu acesta. Dar în ambele cazuri ar exista drepte în plan nu perpendiculare pe dreapta a, de exemplu, linii paralele cu aceasta, ceea ce este imposibil. Deci linia a intersectează planul.

Relația dintre drepte paralele și perpendicularitatea lor pe plan.

Semn de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

Remarci.

1. Prin orice punct din spațiu trece un plan perpendicular pe o dreaptă dată și, în plus, singurul.
2. Prin orice punct din spațiu trece o dreaptă perpendiculară pe un plan dat și, în plus, doar una.
3. Dacă două plane sunt perpendiculare pe o dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Sarcini și teste pe tema „Tema 5. „Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan”.

• Perpendicularitatea unei drepte și a unui plan
• Unghi diedru. Perpendicularitatea planului - Perpendicularitatea dreptelor si planelor clasa 10

  Lecții: 1 Teme: 10 Chestionare: 1

• Perpendicular și oblic. Unghiul dintre linie și plan - Perpendicularitatea dreptelor si planelor clasa 10

  Lecții: 2 Teme: 10 Teste: 1

• Paralelismul dreptelor, dreptei și planului - Paralelismul dreptelor și planelor gradul 10

  Lecții: 1 Teme: 9 Teste: 1

• Linii perpendiculare - Informații geometrice de bază Clasa 7

  Lecții: 1 Teme: 17 Teste: 1

Materialul temei rezumă și sistematizează informațiile despre perpendicularitatea liniilor cunoscute de dvs. din planimetrie. Studiul teoremelor privind relația dintre paralelismul și perpendicularitatea dreptelor și planelor în spațiu, precum și materialul pe perpendiculară și oblică, ar trebui să fie combinat cu o repetare sistematică a materialului relevant din planimetrie.

Soluțiile aproape tuturor problemelor de calcul se reduc la aplicarea teoremei lui Pitagora și a consecințelor acesteia. În multe probleme, posibilitatea aplicării teoremei lui Pitagora sau a consecințelor acesteia este justificată de teorema celor trei perpendiculare sau de proprietățile paralelismului și perpendicularității planelor.

GEOMETRIE
Planuri de lecție pentru clasele a 10-a

Subiect. Proprietățile unei drepte și ale unui plan perpendicular unul pe celălalt

Scopul lecției: formarea cunoștințelor elevilor despre proprietățile dreptelor și planelor perpendiculare.

Echipament: set stereometric, diagrama „Proprietățile unei drepte și ale unui plan perpendicular între ele” (p. 116).

În timpul orelor

I. Verificarea temelor

1. Discuție colectivă a soluției problemei nr. 10.

2. Dictarea matematică.

Se oferă o imagine a unui cub: opțiunea 1 - fig. 151, varianta 2 - fig. 152.

Folosind imaginea, notează:

1) un plan care trece prin punctul M al dreptei AM și este perpendicular pe acesta; (2 puncte)

2) o dreaptă care este perpendiculară pe planul ABC și trece prin punctul D; (2 puncte)

3) o dreaptă care este perpendiculară pe planul ABC și trece prin punctul N; (2 puncte)

4) un plan care este perpendicular pe dreapta BD; (2 puncte)

5) drepte perpendiculare pe planul AMC; (2 puncte)

6) plane care sunt perpendiculare pe dreapta DC. (2 puncte)

Opțiunea 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (ASM); 5) BD și KN; 6) (ADK) și (BCL).

Opțiunea 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (ASM); 5) BD i KL; 6) (BCN) și (ADM).

II. Percepția și conștientizarea noului material

Proprietățile unei drepte și ale unui plan perpendicular unul pe celălalt

Teorema 1.

Dacă un plan este perpendicular pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendicular pe cealaltă.

Aducând

Fie a1 || a2 și a1α. Să demonstrăm că αa2 (Fig. 153). Punctele A1 și A2 sunt punctele de intersecție ale lui a1 și a2 cu planul α.

Desenați o dreaptă arbitrară x2 prin punctul A2 în planul α și trasați o dreaptă x1 prin punctul A1 astfel încât x1 || x2. Din moment ce a1 || a2, x1 || x2 și a1x1, apoi prin Teorema 3.1 a2x2. Deoarece x2 este ales arbitrar în planul α, atunci a2α.

Teorema 2.

Dacă două drepte sunt perpendiculare pe același plan, atunci liniile sunt paralele.

Aducând

Fie aα, bα . Să demonstrăm că a || b (Fig. 154). Să presupunem că ab. Apoi prin punctul C al dreptei b desenăm b 1 paralel cu a. Și din moment ce α , atunci b1α prin teorema demonstrată și prin condiția bα . Dacă punctele A și B sunt punctele de intersecție ale liniilor b 1 și b cu planul α, atunci rezultă din ipoteza că în triunghiul A \u003d B \u003d 90 °, care nu poate fi. Prin urmare, și || b.

Rezolvarea problemelor

1. Determinați tipul patrulaterului AA 1B 1B dacă:

a) AA1α; AA1 || BB1; Aa, Ba; AA1 ≠ BB1 (Fig. 155);

b) AA1α; BB1α; α, Вα (Fig. 156);

c) α ; α; AA1a; BB1α; AA1 = BB1 (Fig. 156).

2. Sarcina numărul 12 din manual (pag. 35).

3. Sarcina numărul 13 din manual (pag. 35).

4. Sarcina numărul 16 din manual (pag. 35).

Teorema 3.

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe unul dintre cele două plane paralele, atunci este și perpendiculară pe celălalt.

Aducând

Fie α || β, aα. Să demonstrăm că α β . (Fig. 157). Fie punctele A și B punctele de intersecție ale dreptei a cu planele α și β. În planul β trasăm o dreaptă arbitrară b prin punctul B. Prin dreapta b și punctul A trasăm planul γ , care intersectează α de-a lungul dreptei c, și cu || b. Și din moment ce α, atunci ac (prin definiție, o dreaptă perpendiculară pe plan). Deci ac, b || c și a, b, c se află în γ, apoi ab. Considerând că b este o dreaptă arbitrară a planului β, avem aβ.

Teorema 4.

Dacă două plane sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt paralele.

Aducând

Fie α a β a, demonstrăm că α || β (Fig. 158). Fie punctele A și B punctele de intersecție ale dreptei a cu planele α și β. Să presupunem că α β . Luați un punct C pe dreapta de intersecție a planelor α și β. Ca, pentru că altfel două plane diferite α și β ar trece prin punctul C, perpendicular pe dreapta a, ceea ce este imposibil. Să desenăm planul γ prin punctul C și dreapta a; acest plan intersectează α și β de-a lungul dreptelor AC și, respectiv, BC. Și din moment ce α , atunci aAC, similar cu aBC. În consecință, două drepte distincte AC și BC trec prin punctul C în planul α și sunt perpendiculare pe dreapta a, ceea ce este imposibil. Prin urmare, α || β .

Rezolvarea problemelor

1. Fie ABCD un dreptunghi, BSAB, AMAB (Fig. 159). Cum sunt situate avioanele AMD și BSC?

2. B1p; AA1a, AA1p; B B1 || AA1; AA1 = 12 cm, A1B = 13 cm (Fig. 160). Găsiți AB.

Definiție. Se spune că o dreaptă care intersectează un plan este perpendiculară pe acel plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă care se află în planul dat și trece prin punctul de intersecție.
semn perpendicularitatea unei drepte și a unui plan. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte care se intersectează ale unui plan, atunci este perpendiculară pe planul dat.
Dovada. Lăsa A- linie dreaptă perpendiculară pe liniile drepte bși Cu aparținând avionului A. A este punctul de intersecție al dreptelor. In avion A Desenați o dreaptă prin punctul A d, care nu coincide cu liniile drepte bși Cu. Acum plat A hai sa tragem o linie dreapta k, care intersectează liniile dși Cuși care nu trec prin punctul A. Puncte de intersecție, respectiv, D, B și C. Puneți o linie dreaptă Aîn direcții diferite față de punctul A segmente egale AA 1 și AA 2. Triunghiul A 1 CA 2 isoscel, deoarece înălțimea AC este, de asemenea, mediana (caracteristică 1), adică A 1 C \u003d CA 2. În mod similar, într-un triunghi A 1 BA 2, laturile A 1 B și BA 2 sunt egale. Prin urmare, triunghiurile A 1 BC și A 2 BC sunt egale la al treilea criteriu.De aceea, unghiurile A 1 BD și A 2 BD sunt egale. Aceasta înseamnă că triunghiurile A 1 BD și A 2 BD sunt de asemenea egale conform primului semn. Prin urmare, A 1 D și A 2 D. Prin urmare, triunghiul A 1 DA 2 isoscel prin definiție. Într-un triunghi isoscel A 1 D A 2 D A este mediana (prin construcție) și, prin urmare, înălțimea, adică unghiul A 1 AD este o linie dreaptă, ceea ce înseamnă o linie dreaptă A perpendicular pe linie d. Astfel, se poate dovedi că linia A perpendicular pe orice dreptă care trece prin punctul A și aparținând planului A. Din definiție rezultă că linia A perpendicular pe plan A.

Clădire o dreaptă perpendiculară pe un plan dat dintr-un punct luat în afara acestui plan.
Lăsa A- plan, A - punct din care trebuie coborâtă perpendiculara. Desenați o linie dreaptă în plan A. Prin punctul A și o dreaptă A desenează un avion b(o linie și un punct definesc un plan și doar unul). In avion b coborâți din punctul A la o linie dreaptă A perpendicular AB. Din punctul B din plan A restabiliți perpendiculara și notați dreapta pe care se află această perpendiculară dincolo Cu. Prin segmentul AB și linie dreaptă Cu desenează un avion g(două drepte care se intersectează definesc un plan și doar una). In avion g coborâți din punctul A la o linie dreaptă Cu perpendicular AC. Să demonstrăm că segmentul AC este perpendicular pe plan b. Dovada. Drept A perpendiculare pe liniile drepte Cuși AB (prin construcție), ceea ce înseamnă că este perpendicular pe planul însuși g, în care se află aceste două drepte care se intersectează (după criteriul perpendicularității dreptei și planului). Și deoarece este perpendicular pe acest plan, atunci este și perpendicular pe orice dreaptă din acest plan, ceea ce înseamnă o linie A perpendicular pe AC. Linia AC este perpendiculară pe două drepte situate în planul α: Cu(prin construcție) și A(dupa dovedit), inseamna ca este perpendiculara pe planul α (dupa criteriul perpendicularitatii dreptei si planului)

Teorema 1 . Dacă două drepte care se intersectează sunt paralele, respectiv, cu două drepte perpendiculare, atunci ele sunt și perpendiculare.
Dovada. Lăsa Ași b- linii perpendiculare A 1 și b 1 - linii drepte care se intersectează paralele cu acestea. Să demonstrăm că liniile A 1 și b 1 sunt perpendiculare.
Dacă drept A, b, A 1 și b 1 se află în același plan, atunci au proprietatea indicată în teoremă, așa cum se știe din planimetrie.
Să presupunem acum că liniile noastre nu se află în același plan. Apoi liniile Ași b se află într-un anumit plan α , iar liniile A 1 și b 1 - într-un anumit plan β . Pe baza paralelismului planelor, planele α și β sunt paralele. Fie C punctul de intersecție al dreptelor Ași b, și С 1 - intersecții de linii A 1 și b unu . Desenați în planul dreptelor paralele Ași A Ași A 1 în punctele A și A 1 . În planul dreptelor paralele bși b 1 dreaptă paralelă cu dreapta SS 1 . Ea va trece liniile bși b 1 la punctele B și B 1 .
Patrulaterele CAA 1 C 1 și CBB 1 C 1 sunt paralelograme, deoarece laturile lor opuse sunt paralele. Cadrilaterul ABB 1 A 1 este, de asemenea, un paralelogram. Laturile sale AA 1 și BB 1 sunt paralele, deoarece fiecare dintre ele este paralelă cu dreapta CC 1. Astfel, patrulaterul se află într-un plan care trece prin dreptele paralele AA 1 și BB 1. Și intersectează planele paralele α și β de-a lungul liniilor paralele AB și A 1 B 1.
Deoarece laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale, atunci AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . După al treilea semn de egalitate, triunghiurile ABC și A 1 B 1 C 1 sunt egale. Deci, unghiul A 1 C 1 B 1, egal cu unghiul DIA, este drept, adică. Drept A 1 și b 1 sunt perpendiculare. Ch.t.d.

Proprietăți perpendicular pe dreapta și pe plan.
Teorema 2 . Dacă un plan este perpendicular pe una dintre cele două drepte paralele, atunci este și perpendicular pe cealaltă.
Dovada. Lăsa A 1 și A 2 - două drepte paralele și α - plan, perpendicular pe dreapta A unu . Să demonstrăm că acest plan este perpendicular pe dreapta A 2 .
Desenați prin punctul A 2 intersecții ale dreptei A 2 cu planul α o dreaptă arbitrară Cu 2 în planul α. Să desenăm în planul α prin punctul A 1 intersecția dreptei A 1 cu plan α drepte Cu 1 paralel cu linia Cu 2. Din moment ce linia dreaptă A 1 este perpendicular pe planul α, apoi liniile A 1 și Cu 1 sunt perpendiculare. Și prin teorema 1, liniile care se intersectează sunt paralele cu ele A 2 și Cu 2 sunt de asemenea perpendiculare. Astfel, direct A 2 este perpendicular pe orice dreptă Cu 2 în planul α. Și asta înseamnă că direct A 2 este perpendicular pe planul α . Teorema a fost demonstrată.

Teorema 3 . Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele între ele.
Avem un plan α și două drepte perpendiculare pe acesta Ași b. Să demonstrăm asta A || b.
Desenați o dreaptă prin punctele de intersecție ale liniilor planului Cu. Conform semnului pe care îl primim A ^ cși b ^ c. Prin linii drepte Ași b să desenăm un plan (două drepte paralele definesc un plan și, în plus, doar unul). În acest plan avem două drepte paralele Ași b si secante Cu. Dacă suma unghiurilor interioare unilaterale este de 180°, atunci liniile sunt paralele. Avem doar un astfel de caz - două unghiuri drepte. De aceea A || b.