1. Понятие равенства и неравенства
2. Свойства равенств и неравенств. Примеры решения равенств и неравенств
Числовые равенства и неравенства
Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f = g , которое называют числовым равенством.
Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 - 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 - 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = = 7-3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство - это высказывание, истинное или ложное.
Числовое равенство истинно, если значения числовых выражении, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.
Свойства равенств и неравенств
Напомним некоторые свойства истинных числовых равенств.
1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
Пусть f и g - два числовых выражения. Соединим их знаком «>» (или «<»). Получим предложение f > g (или f < g), которое называют числовым неравенством.
Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7. Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6 + 2 < 13-7. Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство - это высказывание, истинное или ложное.
Числовые неравенства обладают рядом свойств. Рассмотрим некоторые.
1. Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.
2. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и положительное значение, то получим также истинное числовое неравенство.
3. Если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и отрицательное значение, а также поменяем знак неравенства на противоположный, то получим также истинное числовое неравенство.
Упражнения
1. Установите, какие из следующих числовых равенств и неравенств истинны:
а) (5,05: 1/40 - 2,8 ·5/6) ·3 +16·0,1875 = 602;
б) (1/14 – 2/7) : (-3) – 6 1/13: (-6 1/13)> (7- 8 4/5) ·2 7/9 – 15: (1/8 – 3/4);
в) 1,0905:0,025 - 6,84·3,07 + 2,38:100 < 4,8:(0,04·0,006).
2. Проверьте, истинны ли числовые равенства: 13 93 = 31 39, 14 82 = 41 28, 23 64 = 32 46. Можно ли утверждать, что произведение любых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?
3. Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:
a)2х > 2у; в) 2х-7< 2у-7;
б)-x /3<-y /3; г)-2х-7<-2у-7?
4. Известно, что а < b - истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:
а) -3,7a * -3,7b ; г) –a /3 * -b /3 ;
б) 0,12а * 0,12b ; д) -2(а + 5) * -2(b + 5);
в)a /7 * b /7; е) 2/7 (a -1) * 2/7 (b -1).
5. Дано неравенство 5 > 3. Умножьте обе его части на 7; 0,1; 2,6; 3/4. Можно ли на основании полученных результатов утверждать, что для любого положительного числа а неравенство 5а > 3а истинно?
6. Выполните задания, которые предназначаются ученикам начальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в начальном курсе математики понятия числового равенства и числового не равенства.
Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.
Например: 3 + 7 = 10 - равенство.
Равенство может быть верным и неверным.
Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти такое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.
Например:
Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.
Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.
Например: 5 < 7; б > 4 - числовые неравенства
Неравенства также могут быть верными и неверными.
Например:
Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.
Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.
Например:
При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:
10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3
Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения.
Наппимеп:
Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2 > 7.
Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 - 3 < 10.
Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.
Сравнить два выражения - значит сравнить их значения. Например:
При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:
Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения. Например:
Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:
Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.
Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 - 5 < 7 - 3.
Частное чисел 90 и 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90: 5 > 90:10.
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:
Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.
Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:
+ 7 < 10; 5 - > 2; > 0; > О
После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:
а + 7>10; 12-d<7.
Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).
Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5 , а = 6 и т. д. - количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подходит любое число а > 3; 12 - d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.
В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.
На данном уроке вы вместе с лягушкой познакомитесь с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», а также со знаками сравнения. На веселых и интересных примерах научитесь сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча.
Тема: Знакомство с основными понятиями в математике
Урок: Равенство и неравенство
На данном уроке мы познакомимся с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство» .
Попробуйте ответить на вопрос:
У стены стоят кадушки,
В каждой ровно по лягушке.
Если б было пять кадушек,
Сколько б было в них лягушек? (рис. 1)
Рис. 1
В стихотворении говорится, что кадушек было 5, в каждой кадушке по 1 лягушке, никто не остался без пары, значит число лягушек равно числу кадушек.
Обозначим кадушки буквой К, а лягушек - буквой Л.
Запишем равенство: К = Л. (рис. 2)
Рис. 2
Сравните по количеству две группы фигур. Фигур много, они разного размера, расположены без порядка. (рис. 3)
Рис. 3
Составим из этих фигур пары. Каждый квадрат соединим с треугольником. (рис. 4)
Рис. 4
Два квадрата остались без пары. Значит, количество квадратов не равно количеству треугольников. Обозначим квадраты буквой К, а треугольники - буквой Т.
Запишем неравенство: К ≠ Т. (рис. 5)
Рис. 5
Вывод : сравнивать количество элементов в двух группах можно, составляя пары. Если всем элементам хватает пары, то соответствующие числа равны , в этом случае ставим между цифрами или буквами знак равно . Эта запись называется равенством . (рис. 6)
Рис. 6
Если не хватает пары, то есть остаются лишние предметы, то эти числа неравны . Ставим между числами или буквами знак неравно . Эта запись называется неравенством. (рис. 7)
Рис. 7
Оставшиеся без пары элементы показывают, какое из двух чисел больше и на сколько. (рис. 8)
Рис. 8
Способ сравнения групп фигур с помощью составления пар не всегда удобен и занимает много времени. Можно сравнивать числа с помощью числового луча. (рис. 9)
Рис. 9
Сравните данные числа с помощью числового луча и поставьте знак сравнения.
Нужно сравнить числа 2 и 5. Посмотрим на числовой луч. Число 2 находится ближе к 0, чем число 5, или говорят, число 2 на числовом луче левее, чем число 5. Значит, 2 не равно 5. Это неравенство.
Знак «≠» (не равно) лишь фиксирует неравенство чисел, но не указывает, какое из них больше, а какое - меньше.
Из двух чисел на числовом луче меньшее расположено левее, а большее - правее. (рис. 10)
Рис. 10
Можно данное неравенство записать по-другому, используя знак меньше « < » или знак больше « > » :
На числовом луче число 7 находится правее, чем число 4, следовательно:
7 ≠ 4 и 7 > 4
Числа 9 и 9 равны, поэтому ставим знак =, это равенство:
Сравните количество точек и число и поставьте соответствующий знак. (рис. 11)
Рис. 11
На первом рисунке нам необходимо поставить знак = или ≠ .
Сравниваем две точки и число 2, ставим между ними знак =. Это равенство.
Сравниваем одну точку и число 3, на числовом луче число 1 находится левее, чем число 3, ставим знак ≠.
Сравниваем четыре точки и 4. Между ними ставим знак =. Это равенство.
Сравниваем три точки и число 4. Три точки - это число 3. На числовом луче оно левее, ставим знак ≠. Это неравенство. (рис. 12)
Рис. 12
На втором рисунке между точками и числами надо поставить знаки = , <, >.
Сравним пять точек и число 5. Между ними ставим знак =. Это равенство.
Сравним три точки и число 3. Здесь тоже можно поставить знак =.
Сравним пять точек и число 6. На числовом луче число 5 левее, чем число 6. Ставим знак <. Это неравенство.
Сравним две точки и единицу, число 2 правее на числовом луче, чем число 1. Ставим знак >. Это неравенство. (рис. 13)
Рис. 13
Вставьте в окошко число, чтобы полученное равенство и неравенство стали верными.
Это неравенство. Посмотрим на числовой луч. Раз мы ищем число меньше, чем число 7, значит оно должно быть левее числа 7 на числовом луче. (рис. 14)
Рис. 14
В окошко можно вставить несколько чисел. Сюда подходят числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Любое из них можно подставить в окошко и получить несколько верных неравенства. Например, 5 < 7 или 2 < 7
На числовом луче найдём числа, которые будут меньше 5. (рис. 15)
Рис. 15
Это числа 4, 3, 2, 1, 0. Следовательно, любое из этих чисел можно подставить в окошко, мы получим несколько верных неравенств. Например, 5 >4, 5 >3
В можно подставить только одно число 8.
На данном уроке мы познакомились с математическими понятиями: «равенство» и «неравенство», научились правильно расставлять знаки сравнения, потренировались сравнивать группы фигур с помощью составления пар и сравнивать числа с помощью числового луча, что поможет в дальнейшем изучении математики.
Список литературы
- Александрова Л.А., Мордкович А.Г. Математика 1 класс. - М: Мнемозина, 2012.
- Башмаков М.И., Нефедова М.Г. Математика. 1 класс. - М: Астрель, 2012.
- Беденко М.В. Математика. 1 класс. - М7: Русское слово, 2012.
- Igraem.pro ().
- Slideshare.net ().
- Iqsha.ru ().
Домашнее задание
1. Какие знаки сравнения вы знаете, в каких случаях они используются? Запишите знаки сравнения чисел.
2. Сравните количество предметов на рисунке и поставьте знак «<», «>» или «=».
3. Сравни числа, поставив знак «<», «>» или «=».
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение города Иркутска средняя общеобразовательная школа № 23
Урок разработала: .
Тип урока : урок открытия нового знания.
Технология построения урока : технология развития критического мышления. Системно-деятельностный подход, здоровьесберегающие технологии.
Тема урока: Верные и неверные равенства и неравенства.
Цели урока
: учить находить (распознавать) верные и неверные равенства и неравенства.
Закрепить умение записывать равенства и неравенства с помощью символов. Формировать умение сравнивать, анализировать, обобщать по разным основаниям, моделировать выбор способов деятельности, группировать.
Развивать умение спрашивать, интересоваться чужим мнением и высказывать своё; вступать в диалог.
Основные термины, понятия : равенства, неравенства, верные, неверные, сравнение., знаки «больше», «меньше», «равно».
Планируемые результаты:
- учащиеся должны иметь представление о верных и неверных неравенствах;
- учащиеся должны иметь общее понятие о верных и неверных равенствах;
- учащиеся должны распознавать верные и неверные равенства и верные и неверные неравенства;
- учащиеся должны уметь провести анализ предложенной ситуации;
- учащиеся должны уметь воспроизводить полученные знания.
Личностные УУД:
- определять общие для всех правила поведения;
- определять правила работы в парах;
- оценивать усваиваемое содержание учебного материала (исходя из личностных ценностей);
- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.
Регулятивные УУД:
- определять и формулировать цель деятельности на уроке ;
- формулировать учебные задачи, делать выводы;
- работать по предложенному плану, инструкции;
- высказывать свое предположение на основе учебного материала;
- отличать верно выполненное задание от неверного.
Познавательные УУД:
- ориентироваться в учебнике, тетради;
- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);
- находить ответы на вопросы, используя свои знания;
- проводить анализ учебного материала;
- проводить сравнение, объясняя критерии сравнения.
Коммуникативные УУД:
- слушать и понимать речь других;
- учиться с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, доказывать свое мнение.
Организация пространства
Формы работы
: фронтальная, работа в парах, индивидуальная.
ХОД УРОКА
Придумано кем-то
Просто и мудро
При встрече здороваться:
«Доброе утро!»
Доброе утро, дорогие мои ученики! Доброе утро всем присутствующим!
Мы рады, что на нашем уроке присутствую гости. Ведь недаром народная мудрость гласит: «Гости в доме – хозяевам радость!» Давайте повернемся к уважаемым учителям, поздороваемся с ними, кивнем головкой. Молодцы, вы показали себя вежливыми , воспитанными учениками.
Ученица:
Мы гостей сегодня ждали
И с волнением встречали:
Хорошо ли мы умеем
И писать и отвечать?
Не судите очень строго,
Ведь учились мы немного.
Учитель : Мы начинаем урок математики, а это значит, нас ждут важные открытия. Какие качества пригодятся вам на уроке математики? (Наблюдательность, находчивость, внимательность, точность, аккуратность и т. д.).
1 стадия. «Вызов».
Учитель: А начнем с зарядки для ума. (Один отвечает, а дети сигналят).
2. Сумма чисел 3 и 3 ?
3. Уменьшаемое 7, вычитаемое 4, значение разности?
4. 1 слагаемое 1, второе слагаемое 6, значение суммы?
5. Разность чисел 6 и 4?
6. 5 увеличить на 1?
7. 6 уменьшить на 6?
8. 4, это 2 и?
9. Число предыдущее числа 7?
10. Число последующее числа 9?
11. Горело 7 свечей, 2 свечи погасили. Сколько свечей осталось? (Две свечи.)
12. Портфель Коли помещается в портфеле Васи, а портфель Васи можно спрятать в портфель Севы. Какой из этих портфелей самый большой?
13. (Схема на доске). В Китае людей живет больше, чем в Индии, а в Индии людей живет больше, чем в России. В какой из этих стран самая большая численность населения?
2 УЗ. Внимательно посмотрите на доску.
5…9 8 … 8 7-1 … 4 8 – 4 … 3 + 1
На какие группы можно разбить все, что изображено, записано на доске?
Ответы детей: - Предметы живой природы, математические записи, геометрические фигуры; - Равенства и неравенства и др.
Дети формулируют тему урока: Равенства и неравенства.
|
|
(На доске)
В рабочей тетради запишите в 1 столбик равенства. (1 ребенок у доски). Во второй столбик запишите неравенства. (1 ребенок у доски, дети запись не видят).
Проверка. Вывод.
Физминутка для глаз.
Методический прием: плюс - минус – вопрос. Учитель: - ребята, у каждого на парте лежит таблица №1. Как вы думаете, какое задание я могу вам предложить? (Варианты детей). В 3 столбце вам нужно на каждое утверждение отметить значком: «+» вы ставите, если утверждение правильно, «-» - если неправильно, и «?» - если затрудняетесь ответить. Значки всегда ставим карандашом. Кому все понятно, вы можете приступить к работе. (Пауза). А с ребятами, которые сомневаются, я предлагаю начать работу вместе.
Таблица № 1.
*Равенство? | ||
*Неравенство? | 3 + 4 = 7 | |
**Равенство? | 6 = 4 + 2 | |
**Равенство? | 6 < 7 | |
Равенство? | ||
Равенство? | 2 + 3 + 1 = 2 + 4 | |
Неравенство? | 9 > 7 | |
Неравенство? | 6 <3 | |
Равенство? | ||
Равенство? | ||
Неравенство? | 2 - 1 < 8 | |
Неравенство? | 8 > 4 + 4 | |
Равенство? | 5 – 3 = 2 | |
Равенство? | 8 – 3 = 2 + 3 | |
Неравенство? | 9 > 9 |
Легко было справиться с заданием? С какими трудностями столкнулись?
Физминутка
1. Сколько точек в этом круге,
столько раз поднимем руки.
2. Сколько елочек зеленых,
столько сделаем наклонов
3. Сколько здесь кружков,
столько сделаем прыжков.
4. Дружно звездочки считаем,
столько вместе приседаем.
Прием: З-Х-У.
Итак, что я знаю?! Заполните 1 столбец таблицы.
Таблица № 2.
- Что бы вам хотелось узнать сегодня на уроке? (Ответы детей). Заполните 2 столбец таблицы. (Дети самостоятельно формулируют тему урока).
2 стадия. Осмысление.
Прием. Инсерт (система маркировки текста (матем. записей)).
Ребята, как вы думаете, как нам узнать, правильно ли мы рассуждали или нет? (Возможные ответы детей: Найти ответ в глобальной сети интернет, спросить у взрослых, спросить у учителя, в учебнике).
Откройте, пожалуйста, учебник на стр. 38 (3, 8), № 96 (9, 6). И найдите мальчика и девочку, которые также как и вы справлялись с заданием. «Катя и Саша выполняли одинаковые задания. Посмотрите, что у них получилось». С помощью каких значков мы можем прокомментировать ответ. В учебнике ставим «+», если правильно, «-», если неправильно. Работаем в паре.
Молодцы! Поднимите руки те, кто узнал новое на уроке математике (Ответы детей: равенства и неравенства бывают верными (правильная запись) и неверными (запись с ошибками). Можем ли мы заполнить 3 столбец таблицы? (Дети заполняют).
Метод «тонких вопросов».
(1 ученик у доски, остальные дети работают в парах).
Раздаточный материал : «равенства», «неравенства», «верные», «верные», «неверные», «неверные», «9>3», «5 + 1 < 8», «6 < 4», «7 > 5 + 4», «5 – 1 = 4», «9 = 4 + 2», «6 = 6», «3 = 8».
|
|
|
|
 |
 |
3 стадия. Рефлексия.
Ребята, продолжите фразу:
«Сегодня на уроке математике я узнал….»;
«Мне было интересно…»;
«Теперь я умею…».
Спасибо за урок! На уроке старались думать, отвечать правильно, доказывая свое мнение, значит, добьетесь больших успехов в математике! Молодцы!
Два числовых математических выражения, соединенные знаком «=» называют равенством.
Например: 3 + 7 = 10 - равенство.
Равенство может быть верным и неверным.
Смысл решения любого примера состоит в том, чтобы найти такое значение выражения, которое превращает его в верное равенство.
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах в учебнике 1 класса используются примеры с окошком.
Например:
Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность равенства вычислением.
Процесс сравнения чисел и обозначение отношений между ними с помощью знаков сравнения приводит к получению неравенств.
Например: 5 < 7; б > 4 - числовые неравенства
Неравенства также могут быть верными и неверными.
Например:
Методом подбора ребенок находит подходящие числа и проверяет верность неравенства.
Числовые неравенства получаются при сравнении числовых выражений и числа.
Например:
При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом, что отражается в выборе соответствующего знака:
10-2>7 5+К7 7 + 3>9 6-3 = 3
Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения.
Наппимеп:
Сумма чисел 7 и 2 будет заведомо больше, чем число 7, значит, 7 + 2 > 7.
Разность чисел 10 и 3 будет заведомо меньше, чем число 10, значит, 10 - 3 < 10.
Числовые неравенства получаются при сравнении двух числовых выражений.
Сравнить два выражения - значит сравнить их значения. Например:
При выборе знака сравнения ребенок вычисляет значения выражений и сравнивает их, что отражается в выборе соответствующего знака:
Возможен другой способ выбора знака сравнения - без ссылки на вычисления значения выражения. Например:
Для постановки знаков сравнения можно провести такие рассуждения:
Сумма чисел 6 и 4 больше суммы чисел 6 и 3, поскольку 4 > 3, значит, 6 + 4 > 6 + 3.
Разность чисел 7 и 5 меньше, чем разность чисел 7 и 3, поскольку 5 > 3, значит, 7 - 5 < 7 - 3.
Частное чисел 90 и 5 больше, чем частное чисел 90 и 10, поскольку при делении одного и того же числа на число большее, частное получается меньшее, значит, 90: 5 > 90:10.
Для формирования представлений о верных и неверных равенствах и неравенствах в новой редакции учебника (2001) используются задания вида:
Для проверки используется метод вычисления значения выражений и сравнения полученных чисел.
Неравенства с переменной практически не используются в последних редакциях стабильного учебника математики, хотя в более ранних изданиях они присутствовали. Неравенства с переменными активно используются в альтернативных учебниках математики. Это неравенства вида:
+ 7 < 10; 5 - > 2; > 0; > О
После введения буквы для обозначения неизвестного числа такие неравенства приобретают привычный вид неравенства с переменной:
а + 7>10; 12-d<7.
Значения неизвестных чисел в таких неравенствах находятся методом подбора, а затем подстановкой проверяется каждое подобранное число. Особенность данных неравенств состоит в том, что могут быть подобраны несколько чисел, подходящих к ним (дающих верное неравенство).
Например: а + 7 > 10; а = 4, а = 5 , а = 6 и т. д. - количество значений для буквы а бесконечно, для данного неравенства подходит любое число а > 3; 12 - d < 7; d = 6, d = 7, d = 8, d = 9, d = 10, d = 11, d = 12 - количество значений для буквы d конечно, все значения могут быть перечислены. Ребенок подставляет каждое найденное значение переменной в выражение, вычисляет значение выражения и сравнивает его с заданным числом. Выбираются те значения переменной, при которых неравенство является верным.
В случае бесконечного множества решений или большого количества решений неравенства ребенок ограничивается подбором нескольких значений переменной, при которых неравенство является верным.
