Función y = y su gráfica.
OBJETIVOS:
1) introducir la definición de la función y = ;
2) enseñar a construir una gráfica de la función y = usando el programa Agrapher;
3) desarrollar la capacidad de construir bocetos de gráficas de la función y = utilizando las propiedades de transformación de las gráficas de funciones;
I. Material nuevo: una conversación ampliada.
U: Consideremos las funciones definidas por las fórmulas y = ; y = ; y = .
¿Cuáles son las expresiones escritas en el lado derecho de estas fórmulas?
D: Los lados derechos de estas fórmulas tienen la forma de una fracción racional, en la que el numerador es un binomio de primer grado o un número distinto de cero, y el denominador es un binomio de primer grado.
U: Estas funciones generalmente se especifican mediante una fórmula de la forma
Considere los casos en los que a) c = 0 o c) = .
(Si en el segundo caso los estudiantes experimentan dificultades, entonces es necesario pedirles que expresen Con de una proporción dada y luego sustituir la expresión resultante en la fórmula (1)).
D1: Si c = 0, entonces y = x + b es una función lineal.
D2: Si = , entonces c = . Sustituyendo el valor Con en la fórmula (1) obtenemos:
Es decir, y = es una función lineal.
Y: Una función que se puede especificar mediante una fórmula de la forma y =, donde la letra x denota una función independiente.
Esta variable, y las letras a, b, cyd son números arbitrarios, y c0 y ad son todos 0, se llama función fraccionaria lineal.
Demostremos que la gráfica de una función fraccionaria lineal es una hipérbola.
Ejemplo 1. Construyamos una gráfica de la función y = . Separemos la parte entera de la fracción.
Tenemos: = = = 1 + .
La gráfica de la función y = +1 se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = usando dos traslaciones paralelas: un desplazamiento de 2 unidades hacia la derecha a lo largo del eje X y un desplazamiento de 1 unidad hacia arriba en la dirección de la Y. Con estos desplazamientos, las asíntotas de la hipérbola y = se moverán: la línea recta x = 0 (es decir, el eje Y) está 2 unidades a la derecha, y la línea recta y = 0 (es decir, el eje X) está una unidad arriba. Antes de construir una gráfica, dibujemos las asíntotas en el plano de coordenadas con una línea de puntos: líneas rectas x = 2 e y = 1 (Fig. 1a). Considerando que la hipérbola consta de dos ramas, para construir cada una de ellas crearemos, utilizando el programa Agrapher, dos tablas: una para x>2 y otra para x<2.
| X | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
| en | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
| X | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| en | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Marquemos (usando el programa Agrapher) puntos en el plano de coordenadas, cuyas coordenadas están registradas en la primera tabla, y conéctelos con una línea suave y continua. Obtenemos una rama de la hipérbola. De manera similar, usando la segunda tabla, obtenemos la segunda rama de la hipérbola (Fig. 1b).
Ejemplo 2. Construyamos una gráfica de la función y = -, aislamos la parte entera de la fracción dividiendo el binomio 2x + 10 por el binomio x + 3. Obtenemos = 2 + . Por tanto, y = -2.
La gráfica de la función y = --2 se puede obtener a partir de la gráfica de la función y = - usando dos traslaciones paralelas: un desplazamiento de 3 unidades hacia la izquierda y un desplazamiento de 2 unidades hacia abajo. Las asíntotas de la hipérbola son las rectas x = -3 e y = -2. Creemos (usando el programa Agrapher) tablas para x<-3 и для х>-3.
| X | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| en | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| X | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| en | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
Construyendo (usando el programa Agrapher) puntos en el plano de coordenadas y dibujando las ramas de la hipérbola a través de ellos, obtenemos una gráfica de la función y = - (Fig. 2).
Ud:¿Cuál es la gráfica de una función fraccionaria lineal?
D: La gráfica de cualquier función fraccionaria lineal es una hipérbola.
T: ¿Cómo graficar una función fraccionaria lineal?
D: La gráfica de una función lineal fraccionaria se obtiene a partir de la gráfica de la función y = usando traslaciones paralelas a lo largo de los ejes de coordenadas, las ramas de la hipérbola de la función lineal fraccionaria son simétricas con respecto al punto (-. La línea recta x = se llama asíntota vertical de la hipérbola. La recta y = se llama asíntota horizontal.
T: ¿Cuál es el dominio de definición de una función fraccionaria lineal?
T: ¿Cuál es el rango de valores de una función fraccionaria lineal?
D: E(y) = .
T: ¿La función tiene ceros?
D: Si x = 0, entonces f(0) = , d. Es decir, la función tiene ceros: el punto A.
M: ¿La gráfica de una función fraccionaria lineal tiene puntos de intersección con el eje X?
D: Si y = 0, entonces x = -. Esto significa que si a, entonces el punto de intersección con el eje X tiene coordenadas. Si a = 0, b, entonces la gráfica de la función fraccionaria lineal no tiene puntos de intersección con el eje de abscisas.
U: La función disminuye en intervalos de todo el dominio de definición si bc-ad > 0 y aumenta en intervalos de todo el dominio de definición si bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.
P: ¿Es posible indicar los valores mayor y menor de una función?
D: La función no tiene los valores mayor y menor.
M: ¿Qué rectas son las asíntotas de la gráfica de una función fraccionaria lineal?
D: La asíntota vertical es la recta x = -; y la asíntota horizontal es la recta y = .
(Los estudiantes anotan todas las conclusiones generalizadoras, definiciones y propiedades de una función fraccionaria lineal en un cuaderno)
II. Consolidación.
Al construir y "leer" gráficas de funciones fraccionarias lineales, se utilizan las propiedades del programa Agrapher.
III. Trabajo educativo independiente.
- Encuentra el centro de la hipérbola, las asíntotas y grafica la función:
a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; mi) y = ; mi) y = ;
g) y = h) y = -
Cada alumno trabaja a su propio ritmo. Si es necesario, el profesor brinda ayuda haciendo preguntas, cuyas respuestas ayudarán al alumno a completar la tarea correctamente.
Trabajos prácticos y de laboratorio para el estudio de las propiedades de las funciones y = e y = y las características de las gráficas de estas funciones.
OBJETIVOS: 1) continuar desarrollando las habilidades para construir gráficas de funciones y = e y = usando el programa Agrapher;
2) consolidar las habilidades de "leer gráficas" de funciones y la capacidad de "predecir" cambios en las gráficas durante diversas transformaciones de funciones lineales fraccionarias.
I. Repetición diferenciada de las propiedades de una función lineal fraccionaria.
Cada estudiante recibe una tarjeta, una copia impresa con tareas. Todas las construcciones se realizan utilizando el programa Agrapher. Los resultados de cada tarea se discuten inmediatamente.
Cada alumno, utilizando el autocontrol, puede ajustar los resultados obtenidos al realizar una tarea y pedir ayuda a un profesor o asesor estudiantil.
Encuentre el valor del argumento X en el cual f(x) =6; f(x) =-2,5.
3. Construir una gráfica de la función y = Determinar si el punto pertenece a la gráfica de esta función: a) A(20;0.5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?
4. Construya una gráfica de la función y = Encuentre los intervalos en los que y>0 y en los que y<0.
5. Grafica la función y = . Encuentra el dominio y rango de la función.
6. Indique las asíntotas de la hipérbola - la gráfica de la función y = -. Crea un gráfico.
7. Grafica la función y = . Encuentra los ceros de la función.
II.Laboratorio y trabajos prácticos.
Cada estudiante recibe 2 tarjetas: tarjeta No. 1 "Instrucciones" con un plan según el cual se está realizando el trabajo, y el texto con la tarea y la tarjeta No. 2 “ Resultados del estudio funcional. ”.
- Traza una gráfica de la función indicada.
- Encuentra el dominio de la función.
- Encuentra el rango de la función.
- Indique las asíntotas de la hipérbola.
- Encuentra los ceros de la función (f(x) = 0).
- Encuentra el punto de intersección de la hipérbola con el eje X (y = 0).
7. Encuentra los intervalos en los que: a) y<0; б) y>0.
8. Indique los intervalos de aumento (disminución) de la función.
Yo opción.
Usando el programa Agrapher, construye una gráfica de la función y explora sus propiedades:
a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-
En esta lección veremos la función lineal fraccionaria, resolveremos problemas usando la función lineal fraccionaria, módulo y parámetro.
Tema: repetición
Lección: Función lineal fraccionaria
Definición:
Una función de la forma:
Por ejemplo:
Demostremos que la gráfica de esta función fraccionaria lineal es una hipérbola.
Saquemos los dos entre paréntesis en el numerador y obtengamos:
Tenemos x tanto en el numerador como en el denominador. Ahora transformamos para que aparezca la expresión en el numerador:
Ahora reduzcamos la fracción término a término:
Obviamente, la gráfica de esta función es una hipérbola.
Podemos proponer un segundo método de prueba, es decir, dividir el numerador por el denominador en una columna:
Consiguió:
Es importante poder construir fácilmente una gráfica de una función fraccionaria lineal, en particular, para encontrar el centro de simetría de una hipérbola. Resolvamos el problema.
Ejemplo 1: dibuja la gráfica de una función:
Ya convertimos esta función y obtuvimos:
Para construir esta gráfica, no desplazaremos los ejes ni la hipérbola misma. Usamos un método estándar para construir gráficas de funciones, utilizando la presencia de intervalos de signo constante.
Actuamos según el algoritmo. Primero, examinemos la función dada.
Así, tenemos tres intervalos de signo constante: en el extremo derecho () la función tiene un signo más, luego los signos se alternan, ya que todas las raíces tienen primer grado. Entonces, en un intervalo la función es negativa, en un intervalo la función es positiva.
Construimos un boceto del gráfico en las proximidades de las raíces y puntos de ruptura de la ODZ. Tenemos: como en un punto el signo de la función cambia de más a menos, la curva primero está encima del eje, luego pasa por cero y luego se ubica debajo del eje x. Cuando el denominador de una fracción es prácticamente igual a cero, significa que cuando el valor del argumento tiende a tres, el valor de la fracción tiende al infinito. En este caso, cuando el argumento se acerca al triple por la izquierda, la función es negativa y tiende a menos infinito, por la derecha la función es positiva y sale de más infinito.
Ahora construimos un boceto de la gráfica de la función en las proximidades de puntos en el infinito, es decir cuando el argumento tiende a más o menos infinito. En este caso, se pueden despreciar los términos constantes. Tenemos:
Así, tenemos una asíntota horizontal y otra vertical, el centro de la hipérbola es el punto (3;2). Ilustremos:
Arroz. 1. Gráfica de una hipérbola por ejemplo 1
Los problemas con una función lineal fraccionaria pueden complicarse por la presencia de un módulo o parámetro. Para construir, por ejemplo, una gráfica de la función, debes seguir el siguiente algoritmo:
Arroz. 2. Ilustración del algoritmo.
El gráfico resultante tiene ramas que están por encima del eje x y por debajo del eje x.
1. Aplique el módulo especificado. En este caso, las partes del gráfico ubicadas sobre el eje x permanecen sin cambios y las ubicadas debajo del eje se reflejan en relación con el eje x. Obtenemos:
Arroz. 3. Ilustración del algoritmo.
Ejemplo 2: trazar una función:
Arroz. 4. Gráfico de funciones, por ejemplo 2.
Considere la siguiente tarea: construya una gráfica de la función. Para hacer esto, debes seguir el siguiente algoritmo:
1. Grafica la función submodular
Supongamos que obtenemos el siguiente gráfico:
Arroz. 5. Ilustración del algoritmo.
1. Aplique el módulo especificado. Para entender cómo hacer esto, ampliemos el módulo.
Por lo tanto, para valores de función con valores de argumento no negativos, no se producirán cambios. Con respecto a la segunda ecuación, sabemos que se obtiene mapeándola simétricamente con respecto al eje y. tenemos una gráfica de la función:
Arroz. 6. Ilustración del algoritmo.
Ejemplo 3: trazar una función:
Según el algoritmo, primero es necesario construir una gráfica de la función submodular, ya la hemos construido (ver Figura 1)
Arroz. 7. Gráfica de una función por ejemplo 3
Ejemplo 4: encuentre el número de raíces de una ecuación con un parámetro:
Recuerde que resolver una ecuación con un parámetro significa recorrer todos los valores del parámetro e indicar la respuesta para cada uno de ellos. Actuamos según la metodología. Primero, construimos una gráfica de la función, ya lo hicimos en el ejemplo anterior (ver Figura 7). A continuación, debes diseccionar la gráfica con una familia de rectas para diferente a, encontrar los puntos de intersección y escribir la respuesta.
Mirando el gráfico, escribimos la respuesta: cuando y la ecuación tiene dos soluciones; cuando la ecuación tiene una solución; cuando la ecuación no tiene soluciones.
1. Función lineal fraccionaria y su gráfica
Una función de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios, se llama función racional fraccionaria.
Probablemente ya estés familiarizado con el concepto de números racionales. Asimismo funciones racionales son funciones que se pueden representar como el cociente de dos polinomios.
Si una función racional fraccionaria es el cociente de dos funciones lineales, polinomios de primer grado, es decir función de la forma
y = (ax + b) / (cx + d), entonces se llama lineal fraccionario.
Tenga en cuenta que en la función y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (de lo contrario la función se vuelve lineal y = ax/d + b/d) y que a/c ≠ b/d (de lo contrario la la función es constante). La función fraccionaria lineal está definida para todos los números reales excepto x = -d/c. Las gráficas de funciones lineales fraccionarias no difieren en forma de la gráfica y = 1/x que conoces. Una curva que es una gráfica de la función y = 1/x se llama hipérbole. Con un aumento ilimitado de x en valor absoluto, la función y = 1/x disminuye ilimitadamente en valor absoluto y ambas ramas de la gráfica se acercan a la abscisa: la derecha se acerca desde arriba y la izquierda desde abajo. Las líneas a las que se acercan las ramas de una hipérbola se llaman sus asíntotas.
Ejemplo 1.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Solución.
Seleccionemos la parte completa: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: desplazamiento de 3 segmentos unitarios hacia la derecha, estirándose a lo largo del eje Oy 7 veces y desplazándose 2 segmentos unitarios hacia arriba.
Cualquier fracción y = (ax + b) / (cx + d) se puede escribir de manera similar, resaltando la “parte entera”. En consecuencia, las gráficas de todas las funciones lineales fraccionarias son hipérbolas, desplazadas de diversas formas a lo largo de los ejes de coordenadas y estiradas a lo largo del eje Oy.
Para construir una gráfica de cualquier función lineal fraccionaria arbitraria, no es necesario transformar la fracción que define esta función. Como sabemos que la gráfica es una hipérbola, bastará con encontrar las rectas a las que se acercan sus ramas: las asíntotas de la hipérbola x = -d/cy y = a/c.
Ejemplo 2.
Encuentra las asíntotas de la gráfica de la función y = (3x + 5)/(2x + 2).
Solución.
La función no está definida, en x = -1. Esto significa que la recta x = -1 sirve como asíntota vertical. Para encontrar la asíntota horizontal, averigüemos a qué se aproximan los valores de la función y(x) cuando el argumento x aumenta en valor absoluto.
Para hacer esto, divide el numerador y denominador de la fracción por x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Como x → ∞ la fracción tenderá a 3/2. Esto significa que la asíntota horizontal es la recta y = 3/2.
Ejemplo 3.
Grafica la función y = (2x + 1)/(x + 1).
Solución.
Seleccionemos la “parte entera” de la fracción:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Ahora es fácil ver que la gráfica de esta función se obtiene a partir de la gráfica de la función y = 1/x mediante las siguientes transformaciones: un desplazamiento de 1 unidad hacia la izquierda, una visualización simétrica con respecto a Ox y un desplazamiento de 2 segmentos unitarios hacia arriba a lo largo del eje Oy.
Dominio D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Rango de valores E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Puntos de intersección con ejes: c Oy: (0; 1); c Buey: (-1/2; 0). La función aumenta en cada intervalo del dominio de definición.
Respuesta: Figura 1.
2. Función racional fraccionaria
Considere una función racional fraccionaria de la forma y = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios de grado superior al primero.
Ejemplos de tales funciones racionales:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) o y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Si la función y = P(x) / Q(x) representa el cociente de dos polinomios de grado mayor que el primero, entonces su gráfica será, por regla general, más compleja y, a veces, puede resultar difícil construirla con precisión. , con todos los detalles. Sin embargo, muchas veces basta con utilizar técnicas similares a las que ya hemos presentado anteriormente.
Sea la fracción una fracción propia (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
Obviamente, la gráfica de una función racional fraccionaria se puede obtener como la suma de gráficas de fracciones elementales.
Trazar gráficas de funciones racionales fraccionarias
Consideremos varias formas de construir gráficas de una función racional fraccionaria.
Ejemplo 4.
Dibuja una gráfica de la función y = 1/x 2.
Solución.
Usamos la gráfica de la función y = x 2 para construir una gráfica de y = 1/x 2 y usamos la técnica de “dividir” las gráficas.
Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Rango de valores E(y) = (0; +∞).
No hay puntos de intersección con los ejes. La función es par. Aumenta para todo x desde el intervalo (-∞; 0), disminuye para x de 0 a +∞.
Respuesta: Figura 2.
Ejemplo 5.
Grafica la función y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Solución.
Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Aquí utilizamos la técnica de factorización, reducción y reducción a una función lineal.
Respuesta: Figura 3.
Ejemplo 6.
Grafica la función y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
Solución.
El dominio de definición es D(y) = R. Dado que la función es par, la gráfica es simétrica con respecto a la ordenada. Antes de construir un gráfico, transformemos nuevamente la expresión, resaltando toda la parte:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Tenga en cuenta que aislar la parte entera en la fórmula de una función racional fraccionaria es una de las principales al construir gráficas.
Si x → ±∞, entonces y → 1, es decir la recta y = 1 es una asíntota horizontal.
Respuesta: Figura 4.
Ejemplo 7.
Consideremos la función y = x/(x 2 + 1) e intentemos encontrar con precisión su valor más grande, es decir el punto más alto en la mitad derecha del gráfico. Para construir con precisión este gráfico, el conocimiento actual no es suficiente. Obviamente, nuestra curva no puede “subir” muy alto, porque el denominador rápidamente comienza a “superar” al numerador. Veamos si el valor de la función puede ser igual a 1. Para hacer esto, necesitamos resolver la ecuación x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Esta ecuación no tiene raíces reales. Esto significa que nuestra suposición es incorrecta. Para encontrar el valor más grande de la función, necesitas averiguar en qué A más grande tendrá solución la ecuación A = x/(x 2 + 1). Reemplacemos la ecuación original por una cuadrática: Ax 2 – x + A = 0. Esta ecuación tiene solución cuando 1 – 4A 2 ≥ 0. De aquí encontramos el valor más grande A = 1/2. 
Respuesta: Figura 5, máx y(x) = ½.
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hacha +b
Una función lineal fraccionaria es una función de la forma y = --- ,
cx +d
Dónde X- variable, a,b,C,d– algunos números, y C ≠ 0, anuncio -antes de Cristo ≠ 0.
Propiedades de una función lineal fraccionaria:
La gráfica de una función fraccionaria lineal es una hipérbola, que se puede obtener a partir de la hipérbola y = k/x usando traslaciones paralelas a lo largo de los ejes de coordenadas. Para ello, la fórmula de la función lineal fraccionaria debe presentarse de la siguiente forma:
k
y = n + ---
x–m
Dónde norte– el número de unidades que la hipérbola se desplaza hacia la derecha o hacia la izquierda, metro– el número de unidades que la hipérbola se mueve hacia arriba o hacia abajo. En este caso, las asíntotas de la hipérbola se desplazan a rectas x = m, y = n.
Una asíntota es una línea recta a la que se acercan los puntos de la curva a medida que se alejan hacia el infinito (ver la figura siguiente).
En cuanto a las transferencias paralelas, consultar los apartados anteriores.
Ejemplo 1. Encontremos las asíntotas de la hipérbola y grafiquemos la función:
X + 8
y = ---
X – 2
Solución:
k
Representemos la fracción como n + ---
x–m
Para esto X+ 8 lo escribimos de la siguiente forma: x – 2 + 10 (es decir, 8 se representa como –2 + 10).
X+ 8x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
X – 2 X – 2 X – 2 X – 2
¿Por qué la expresión tomó esta forma? La respuesta es sencilla: haz la suma (reduciendo ambos términos a un denominador común), y volverás a la expresión anterior. Es decir, este es el resultado de transformar una expresión determinada.
Entonces, obtuvimos todos los valores necesarios:
k = 10, metro = 2, norte = 1.
Así, encontramos las asíntotas de nuestra hipérbola (basándonos en el hecho de que x = m, y = n):
Es decir, una asíntota de la hipérbola corre paralela al eje y a una distancia de 2 unidades a la derecha de él, y la segunda asíntota corre paralela al eje X a una distancia de 1 unidad por encima de él.
Construyamos una gráfica de esta función. Para ello haremos lo siguiente:
1) dibuja en el plano de coordenadas con una línea de puntos las asíntotas: la recta x = 2 y la recta y = 1.
2) dado que la hipérbola consta de dos ramas, para construir estas ramas compilaremos dos tablas: una para x<2, другую для x>2.
Primero, seleccionemos los valores de x para la primera opción (x<2). Если x = –3, то:
10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3
– 2
Elegimos arbitrariamente otros valores. X(por ejemplo -2, -1, 0 y 1). Calcular los valores correspondientes. y. Los resultados de todos los cálculos obtenidos se ingresan en la tabla:
Ahora creemos una tabla para la opción x>2:
Aquí los coeficientes para X y los términos libres en el numerador y denominador se dan números reales. La gráfica de una función fraccionaria lineal en el caso general es hipérbola.
La función lineal fraccionaria más simple. y = - Tú-
huelgas relación proporcional inversa; la hipérbola que la representa es bien conocida en los cursos de secundaria (figura 5.5).
Arroz. 5.5
Ejemplo. 5.3
Traza una gráfica de una función fraccionaria lineal:
- 1. Dado que esta fracción no tiene sentido cuando x = 3, Eso dominio de la función X consta de dos intervalos infinitos:
- 3) y (3; +°°).
2. Para estudiar el comportamiento de una función en el límite del dominio de definición (es decir, cuando X-»3 y en X-> ±°°), es útil transformar esta expresión en la suma de dos términos de la siguiente manera:
Dado que el primer término es constante, el comportamiento de la función en la frontera en realidad está determinado por el segundo término variable. Habiendo estudiado el proceso de su cambio, cuando X->3 y X->±°°, lo hacemos las siguientes conclusiones relativo a una función dada:
- a) para x->3 a la derecha(es decir, para *>3) el valor de la función aumenta sin límite: en-> +°°: en x->3 izquierda(es decir, en x y - Por lo tanto, la hipérbola deseada se acerca a la línea recta sin límite con la ecuación x = 3 (abajo a la izquierda Y parte superior derecha) y por lo tanto esta línea recta es asíntota vertical hipérbole;
- b) cuando x->±°° el segundo término disminuye sin límite, por lo que el valor de la función se acerca al primer término constante sin límite, es decir valorar y = 2. En este caso, la gráfica de la función se aproxima sin límite. (abajo izquierda y arriba derecha) a la recta dada por la ecuación y = 2; por lo tanto esta línea es asíntota horizontal hipérbole.
Comentario. La información obtenida en este apartado es la más importante para caracterizar el comportamiento de la gráfica de una función en la parte remota del plano (en sentido figurado, en el infinito).
- 3. Suponiendo l = 0, encontramos y = ~. Por lo tanto, la humedad deseada
la perbola corta el eje UNED en el punto M x = (0;-^).
- 4. Función cero ( en= 0) será cuando X= -2; por lo tanto, esta hipérbola corta el eje Oh en el punto M 2 (-2; 0).
- 5. Una fracción es positiva si el numerador y el denominador tienen el mismo signo, y negativa si tienen signos diferentes. Resolviendo los correspondientes sistemas de desigualdades, encontramos que la función tiene dos intervalos positivos: (-°°; -2) y (3; +°°) y un intervalo negativo: (-2; 3).
- 6. Representar una función como la suma de dos términos (ver punto 2) hace que sea bastante fácil detectar dos intervalos de disminución: (-°°; 3) y (3; +°°).
- 7. Obviamente, esta función no tiene extremos.
- 8. Establezca Y de los valores de esta función: (-°°; 2) y (2; +°°).
- 9. Tampoco existe par, impar ni periodicidad. La información recopilada es suficiente para esquemáticamente
dibujar una hipérbole gráficamente reflejando las propiedades de esta función (figura 5.6).
Arroz. 5.6
Las funciones analizadas hasta este punto se denominan algebraico. Pasemos ahora a considerar trascendental funciones.
