Մաթեմատիկական օլիմպիադաներ և օլիմպիադայի խնդիրներ

Առաջադրանք 1:

Գտե՛ք a, b և c ոչ զրոյական թվերի բոլոր եռյակները, որոնք կազմում են թվաբանական պրոգրեսիա և այնպիսին, որ , , թվերը կարող են նաև թվաբանական առաջընթաց կազմել:

Լուծում:Թվաբանական առաջընթացի հատկությամբ մենք ունենք a + c = 2b և հետևյալ հավասարումներից մեկը.

Առաջին դեպքը հանգեցնում է b² = 2ac հավասարմանը, որը լուծումներ չունի a + c = 2b-ի համար; մյուս երկուսը տանում են նույն պատասխանին՝ ձևի բոլոր եռյակները՝ 2t, - 0.5t, t, որտեղ t ≠ 0։

Պատասխան՝ - 2t, - 0.5t և t at t ≠ 0:

Առաջադրանք 2:

Գտե՛ք a, b և c թվերի եռյակները, որոնք հինգի հզորություններ են ոչ բացասական ամբողջ թվերով, այնպես որ դրանցից մեկի տասնորդական նշումը մյուսի տասնորդականին վերագրելով՝ ստանում ենք երրորդ թիվը։

Լուծում:Թող a = 5 n , b = 5 m , c = 5 k, իսկ b-ն ունի ճիշտ t տասնորդական տեղեր: Մենք ունենք հավասարում՝ 5 n • 10 t + 5 m = 5 k . Ակնհայտորեն մ< k. Сократив уравнение на 5 в наибольшей степени, получим либо 2 t + 5 m - n - t = 5 k - t , либо 5 n - m + t • 2 t + 1 = 5 k - m . Первое уравнение имеет единственное решение в целых числах t = 2, m - n - t = 0, k - t = 1, откуда b = 25, m = 2, n = 0, k = 3 и искомые числа - 1, 25, 125. Второе уравнение выполняется только при n - m + t = 0, что приводит к предыдущему случаю.

Պատասխան՝ 1, 25 և 125։

Առաջադրանք 3:

Զրոները գրվում են կանոնավոր հնգանկյան անկյունագծերի գագաթներում և հատման կետերում: Մեկ քայլով թույլատրվում է միաժամանակ ավելացնել + 1 կամ - 1 բոլոր թվերին, որոնք գտնվում են հնգանկյան անկյուններից որևէ մեկի վրա: Նկարներում նշված հնգանկյուններից ո՞րը կարելի է ձեռք բերել մի քանի շարժումից հետո:

0.5 մմ em: գծի լայնություն 0.4pt 0.4pt

((Առաջարկվում է Ս. Է. Նոխրինի կողմից):)

Լուծում:Մենք թվարկում ենք հնգանկյան անկյունագծերը 1-ից 5 թվերով, և x i-ը թվարկենք i-րդ անկյունագծին ավելացված միավորների թիվը։ Ցանկացած գագաթի համարը (անկյունագծերի հատման կետը) հավասար է x i թվերի գումարին ամբողջ i-ի վրա այնպես, որ i-րդ անկյունագիծն անցնում է այս գագաթով (անկյունագծերի հատման կետ): Մենք ունենք տասը հավասարումների համակարգ հինգ անհայտներով, որը պարզվում է, որ անհամապատասխան է նկարներում ներկայացված բոլոր դեպքերում:

Պատասխան՝ հնգանկյուն չի ստացվում։

Առաջադրանք 4:

AH, BK և CL բարձրությունները գծված են ABC սուր եռանկյունու մեջ: Գտե՛ք HKL եռանկյան պարագիծը, եթե հայտնի են AH = h բարձրությունը և ∠ BAC = α անկյունը:

((Առաջարկվում է Վ.Ն. Ուշակովի կողմից):)

Լուծում: KL, KH և HL տողերը (տես նկարը) կտրում են ∆ ABC-ի նման եռանկյունները ∆ ABC-ից: Իրոք, ∆ CHA ∽ ∆ CKB ըստ եռանկյունների նմանության I չափանիշի (2 հավասար անկյուն): Այստեղից։ Բայց ապա ∆ KHC ∽ ∆ BAC ըստ եռանկյունների նմանության II նշանի (կողմերի համաչափություն և այս կողմերի միջև անկյունների հավասարություն)։ Նմանապես, մենք ապացուցում ենք, որ ∆AKL ∽ ∆ABC և ∆BHL ∽ ∆ABC: Այսպիսով, մենք ունենք ∠ HLB = ∠ ALK = ∠ C, ∠ AKL = ∠ CKH = ∠ B: Այնուհետև ընկած են H′ և H″ կետերը, որոնք սիմետրիկ են H կետին համապատասխանաբար AB և AC ուղիղների նկատմամբ: KL գծի վրա: Իրոք, ∠HLB = ∠H′LB (որովհետև ∆HLO′ = ∆H′LO′), բայց ∠HLB = ∠ALK, հետևաբար ∠ALK = ∠H′LB, և այստեղից էլ գտնվում են K, L, H′ կետերը: նույն գիծը. Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ H″, K, L ընկած են նույն ուղիղ գծի վրա։ H″H′ հատվածը հավասար է ∆KLH պարագծին (KH = KH″ և LH = LH′): Դիտարկենք հիմա ∆ H″AH′: Այն հավասարաչափ է, քանի որ AH′ = AH = AH", և ∠ H″AH′ = 2 • (∠CAH + ∠BAH) = \ = 2 α: Հետևաբար, H″H′ = 2AH′ sin \, α: Այսպիսով, ∆ KLH պարագիծը հավասար է 2h sin \, α .

1. Լուծիր թվային գլուխկոտրուկը:

2. Իգնատն այժմ չորս անգամ ավելի մեծ է, քան իր քույրը այն ժամանակ, երբ նա իր տարիքի կեսն էր: Հիմա քանի՞ տարեկան է Իգնատը, եթե 15 տարի հետո նա և իր քույրը 100 տարի միասին կլինեն։

3. Երեխաները զույգերով դուրս են գալիս անտառից, որտեղ հավաքում էին ընկույզ: Յուրաքանչյուր զույգում կան մի տղա և մեկ աղջիկ, և տղան ունի կամ երկու անգամ ավելի շատ կամ կես ավելի շատ ընկույզ, քան աղջիկը: Կարո՞ղ է պատահել, որ բոլորը միասին ունեն 2011 թ.

4. 4-րդ և 9-րդ կողմերով ուղղանկյունը կտրեք ամենափոքր թվով, որպեսզի դրանցից քառակուսի կազմեք:

5. Օ կղզում ապրում են ասպետներ, ովքեր միշտ ասում են ճշմարտությունը, իսկ ստախոսները, ովքեր միշտ ստում են: Ճամփորդը հանդիպեց երկու բնիկների՝ Ա-ին և Բ-ին: Բնիկ Ա-ն արտասանեց արտահայտությունը.

Մեզանից գոնե մեկը (Ա կամ Բ) ստախոս է:

Կարելի՞ է ասել, թե ով է Ա-ն և ով Բ-ն (ասպետ կամ դանակ):

Օլիմպիադայի խնդիրներ քաղաքային փուլ Մաթեմատիկա

1. Գտե՛ք բոլոր այն եռանիշ թվերը, որոնց թվանշանների գումարը 11 անգամ փոքր է հենց թվից https://pandia.ru/text/78/035/images/image003_105.gif" width="27 « height="17"> կետերը վերցված են այնպես, որ ուղիղը հատում է կողմը կետում, ուղիղը հատում է կողմը կետում և

https://pandia.ru/text/78/035/images/image015_30.gif" width="96" height="24">

5. Ստախոսների և ասպետների կղզու զորքերի ստուգատեսին (ստախոսները միշտ ստում են, ասպետները միշտ ճշմարտությունն են ասում) առաջնորդը շարեց բոլոր զինվորներին: Շարքում կանգնած զինվորներից յուրաքանչյուրն ասում էր. «Շարքի իմ հարեւանները ստախոս են»։ (Շարքի ծայրերում կանգնած ռազմիկները ասացին. «Շարքի իմ հարևանը ստախոս է»:) Ո՞րն է ասպետների ամենամեծ թիվը, որոնք կարող են լինել շարքում, եթե 2011-ի մարտիկները գան ստուգատեսին:

Օլիմպիադայի խնդիրներ քաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համար Մաթեմատիկա

1. Վասյան գրատախտակին մի քանի ամբողջ թիվ է գրել: Պետյան ստորագրել է իր քառակուսին Վասյայի յուրաքանչյուր համարի տակ։ Դրանից հետո Մաշան հավաքեց գրատախտակին գրված բոլոր թվերը և ստացավ 2011: Ապացուցեք, որ տղաներից մեկը սխալ էր:

2. Կոոպերատիվը ստանում է խնձորի և խաղողի հյութ նույն բանկաների մեջ և արտադրում է խնձոր-խաղողի խմիչք նույն բանկաների մեջ: Մեկ տուփ խնձորի հյութը բավական է ուղիղ 6 բանկա ըմպելիքի համար, իսկ մեկ տուփ խաղողի հյութը բավական է ուղիղ 10 բանկա: Երբ խմիչքի բաղադրատոմսը փոխվեց, խնձորի հյութը բավարարում էր ուղիղ 5 բանկա: խմել. Քանի՞ տուփ խմիչք կբավականացնի մեկ տուփ խաղողի հյութի համար: (Խմիչքը ջրով չի նոսրացվում):

3..gif" width="43" height="21 src=">.gif" width="64" height="21 src=">.gif" width="37" height="19 src="> հավասարաչափ.

4. Ապացուցե՛ք, որ բոլոր դրական https://pandia.ru/text/78/035/images/image023_20.gif" width="13" height="15"> հավասարման արմատների տարբերությունը 3 է:

3. Դանիացիներ Պկետեր, որոնցից ոչ չորսը պատկանում են նույն հարթությանը: Քանի՞ հարթություն կարելի է գծել այս կետերի տարբեր եռյակներով:

4..gif" width="12" height="15 src=">, կազմելով թվաբանական առաջընթաց և այնպիսին, որ թվերից և կարող եք նաև թվաբանական առաջընթաց կատարել:

5. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում: Թող լինեն և լինեն այն շրջանակների հատման կետերը, որոնցից մեկն անցնում է https://pandia.ru/text/78/035/images/image031_14.gif" width="16" height="17 src="> կետերով: , իսկ մյուսը միջոցով և https://pandia.ru/text/78/035/images/image002_138.gif" width="19" height="19"> եթե կետը գտնվում է հատվածի վրա և չի համընկնում դրա հետ. ավարտվում է.

Օլիմպիադայի խնդիրներքաղաքային փուլՄաթեմատիկա

7-րդ դասարան

Մեզանից գոնե մեկը (Ա կամ Բ) ստախոս է:

Կարելի՞ է ասել, թե ով է Ա-ն և ով Բ-ն (ասպետ կամ դանակ):

Օլիմպիադայի խնդիրներքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

8-րդ դասարան

Օլիմպիադայի խնդիրներքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

9-րդ դասարան

1. Ո՞ր հնգանիշ թվերն են ավելի շատ՝ նրանք, որոնց համարները խիստ աճման կարգով են, թե՞ նրանք, ում համարները խիստ նվազման են: (Օրինակ, առաջին խումբը ներառում է 12459 թիվը, բայց չի ներառում 12495 և 12259 համարները)։

Օլիմպիադայի խնդիրներքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

10-րդ դասարան

1. 21-ից 30 թվերը գրվում են անընդմեջ, հնարավո՞ր է նրանց միջև տեղադրել «+» և «-» նշաններ, որպեսզի ստացված արտահայտության արժեքը հավասար լինի զրոյի:
2. Ինչ արժեքներովհավասարման արմատների տարբերությունըհավասար է 3-ի?
3. Դանա ն կետեր, որոնցից ոչ չորսը պատկանում են նույն հարթությանը: Քանի՞ հարթություն կարելի է գծել այս կետերի տարբեր եռյակներով:
4. Գտեք ոչ զրոյական թվերի բոլոր եռապատիկներըև , կազմելով թվաբանական պրոգրեսիա և այնպիսին, որ թվերիցև Կարող եք նաև կատարել թվաբանական առաջընթաց։
5. Զուգահեռագծի անկյունագծերհատվում են մի կետում. Թող և - շրջանագծերի հատման կետեր, որոնցից մեկն անցնում է կետերովև , իսկ մյուսը և . Գտեք կետերի տեղըեթե կետ ընկած է գծի վրաև չի համընկնում դրա ծայրերի հետ:

Օլիմպիադայի խնդիրներքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

11-րդ դասարան

1. Ինչն է ամենափոքր բնականըդա բաժանվում է 770-ի?
2. Ապացուցեք, որ եթե, ապա հավասարումը
3. Գտեք, եթե; ; , , .
4. Կանոնավոր բուրգի հիմքում ընկած է կենտ թվով բազմանկյուն: Հնարավո՞ր է սլաքներ տեղադրել այս բուրգի եզրերին (յուրաքանչյուր եզրին մեկական), որպեսզի ստացված վեկտորների գումարը հավասար լինի.?

1. Դասարանում սովորում է 20 աշակերտ։ Բոլորը ընկերներ են առնվազն 10 ուրիշների հետ: Ապացուցեք, որ այս դասարանում հնարավոր է ընտրել երկու եռյակ ուսանողների, որպեսզի մի եռյակի ցանկացած ուսանող ընկերանա մյուս եռյակի ցանկացած ուսանողի հետ:

Նախադիտում:

7-րդ դասարան (լուծումներ և պատասխաններ)

Պատասխաններ և խնդիրների լուծումքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

1. Պատասխան. 2222 – 999 + 11 – 0 = 1234.
2. Պատասխան՝ 40 տարեկան։

Լուծում: Խնդիրը լուծելու համար օգտագործենք աղյուսակը:

Հավասարումը՝ . Այժմ Իգնատը 40 տարեկան է։

1. Պատասխան՝ չէր կարող։

Լուծում: Նկատի ունեցեք, որ յուրաքանչյուր զույգ երեխաների համար ընկույզների քանակը բաժանվում է 3-ի: Սա նշանակում է, որ ընկույզների ընդհանուր թիվը պետք է բաժանվի 3-ի: Այնուամենայնիվ, 2011 թվականը չի բաժանվում 3-ի:

1. Լուծում:

1. Պատասխան. Ա-ն ասպետ է, Բ-ն դանակ է:

Լուծում: Եթե ​​Ա-ն դանակ է, ապա նրա հայտարարությունը կեղծ է, այսինքն. երկուսն էլ պետք է ասպետներ լինեն: Հակասություն. Այսպիսով, Ա-ն ասպետ է: Ապա նրա հայտարարությունը ճշմարիտ է, իսկ Բ-ն դանակ է:

8-րդ դասարան (լուծումներ և պատասխաններ)

Պատասխաններ և խնդիրների լուծումքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

1. Պատասխան՝ 198։

Լուծում: եռանիշ թիվկարելի է գրել ձևով. Պայմանից հետևում է դրան . Աջ կողմում երկնիշ (միանիշ, եթե c \u003d 0) թիվ է, որը բաժանվում է 89-ի, ինչը նշանակում է, որ. Բայց հետո

1. Պատասխան. տրամագծով շրջանագծի մի մասը OP

Լուծում. Թող Օ շրջանագծի կենտրոնն է,Մ - ակորդի միջնակետը շրջանագծից կտրված է կետով անցնող ուղիղ գծովՊ. Այնուհետեւ PMO = 90o . Հետեւաբար, պահանջվող հավաքածուն տրամագծով շրջանագծի մի մասն է OP պառկած է տվյալ շրջանակի ներսում։

Լուծում: Պայմանից հետևում է եռանկյունների հավասարությունը), որտեղ . Ավելին, . Հետևաբար եռանկյուններհավասար են, ինչը նշանակում է.

1. Պատասխան՝ 31 11 14

Լուծում:

1. Պատասխան՝ 1006 ասպետներ

Լուծում: Նշենք, որ կողք կողքի կանգնած երկու մարտիկները չէին կարող ասպետներ լինել։ Իսկապես, եթե նրանք երկուսն էլ ասպետներ լինեին, երկուսն էլ սուտ կասեին։ Եկեք ընտրենք ձախ կողմում կանգնած մարտիկին և մնացած 2010 մարտիկների շարքը բաժանենք կողք կողքի կանգնած երկու ռազմիկների 1005 խմբերի: Յուրաքանչյուր այդպիսի խմբում կա առավելագույնը մեկ ասպետ, այսինքն. Քննարկվող 2010 ռազմիկների թվում չկան 1005-ից ավելի ասպետներ, այսինքն. ընդհանուր առմամբ շարքում չկա 1005 + 1 = 1006 ասպետից ավելի:

Դիտարկենք RLRLR ... RLRLR տողը: Այդպիսի շարքում կա ուղիղ 1006 ասպետ։

9 դասարան (լուծումներ և պատասխաններ)

Պատասխաններ և խնդիրների լուծումքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

1. Պատասխան. ավելին, քան նրանք, ում թվերը նվազման կարգով են։

Լուծում: 1) Առաջին խմբի թիվը գրենք հակառակ հերթականությամբ։ Կստանանք երկրորդ խմբի համարը, իսկ առաջին խմբի տարբեր թվերից ստացվում են երկրորդ խմբի տարբեր թվեր։ Միևնույն ժամանակ, 0-ով վերջացող երկրորդ խմբի թվերը, օրինակ՝ 98 760, հնարավոր չէր ստանալ առաջին խմբի թվերից «զուգակցելով» (06789 = 6789 թիվը հնգանիշ չէ)։ Այսպիսով, երկրորդ խմբում ավելի շատ թվեր կան:

2) Առաջին խմբի համարները ստացվում են 123 456 789 թվից՝ չորս նիշերը հատելով, այսինքն. նրանց, իսկ երկրորդ խմբի համարները՝ 9 876 543 210 թվից՝ ջնջելով հինգ նիշ, այսինքն. նրանց.

10-րդ դասարան (լուծումներ և պատասխաններ)

Պատասխաններ և խնդիրների լուծումքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

Արտահայտելով և (1) և (3) հավասարումներից և փոխարինելով (2) հավասարումով, մենք պարզեցնում ենք հավասարումը.. Լուծելով այն՝ մենք գտնում ենք.

1. Պատասխան՝ , որտեղ . Լուծում՝ ըստ պայմանի և գործում է հետևյալ հավասարումներից մեկը., կամ . Առաջին դեպքում՝ համակարգը լուծելով, , ստանում ենք . Երկրորդ դեպքում մենք ստանում ենքկամ , . Երրորդ դեպքը նման է երկրորդին.
2. Պատասխան՝ կտրել առանց դրա ծայրերի, որտեղ է իմաստըընկած է ճառագայթի վրա և.

Լուծում. Թող - կետերով անցնող շրջանև և հատվում են մի կետում . Ապա ըստ ներգծված անկյունների հատկության, ուրեմն միավորները , , , պառկել նույն շրջանակի վրա; եթեընկած է գծի վրա, ապա եթե գտնվում է այս հատվածից դուրս (կետպատկերի վրա): Այս կերպ,, քանի որ և , այսինքն. կետերով անցնող շրջանև . Այսպիսով, մենք ցույց տվեցինք, որ կետըպետք է պառկել գծի վրա. Այժմ ցույց տանք, որ այս հատվածի ցանկացած կետ, բացառությամբև , ներառված է կետերի ցանկալի վայրում: Իսկապես, թող. Այնուհետև ընտրելով կետայնպես որ, մենք ստանում ենք այն և.

11-րդ դասարան (լուծումներ և պատասխաններ)

Պատասխաններ և խնդիրների լուծումքաղաքային փուլՀամառուսական օլիմպիադա դպրոցականների համարՄաթեմատիկա

Դիտարկենք առաջին դեպքը. Որովհետեւ, ապա բանաձևով տրված պարաբոլայի ճյուղերը, ուղղված դեպի վեր։ Եվ քանի որ, ապա կան պարաբոլայի կետեր, որոնք ընկած են առանցքի տակ. Այսպիսով, պարաբոլան հատում է առանցքը2 միավորով: Հետեւաբար, հավասարումըերկու իրական արմատներ ունի.

Երկրորդ դեպքում պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, և, ուրեմն պարաբոլան հատում է առանցքը2 միավորով: Հետո հավասարումըկրկին երկու իրական արմատներ ունի.

2 ճանապարհ. Դիտարկենք անհավասարությունը. Ընդլայնելով ձախ կողմի փակագծերը՝ բազմապատկելով անհավասարությունը -4-ով, այնուհետև ավելացնելով անհավասարության երկու կողմերը, ստանում ենք. . Այս անհավասարությունը փոխակերպենք ձևի.. Այդ ժամանակվանից . Հետեւաբար, հավասարումըունի 2 իրական արմատ.

Լուծում: Ակնհայտ լուծումներ, , . Հասկանալի է, որ զրոյական բաղադրիչ ունեցող թվերի այլ եռյակներ այս համակարգի լուծումներ չեն։ Մնում է դիտարկել այն դեպքը, երբ. Հետո ակնհայտորեն- ուղղանկյուն եռանկյունու անկյունները ոտքերով (- բնական): Հետեւաբար, եռակիայլ լուծում է.

4. Պատասխան՝ չես կարող։

Լուծում: Թող սլաքները ինչ-որ կերպ տեղադրվեն: Ստացված բոլոր վեկտորները նախագծում ենք բարձրությունը պարունակող ուղիղ գծի վրաԱՅՍՊԵՍ բուրգեր. Հիմքի հարթությունում ընկած վեկտորների ելուստներն են, իսկ կողային եզրերին ընկած վեկտորների ելուստներն ենկամ - . Քանի որ կողային եզրերի վրա ընկած վեկտորների թիվը տարօրինակ է, հետևաբար, դրանց կանխատեսումների գումարը չի կարող հավասար լինել., ուստի այն չի կարող հավասարվելև ստացված բոլոր վեկտորների գումարը:

5 . Դասարանի բոլոր աշակերտներին համարակալում ենք բնական թվերով 1-ից մինչև 20-ը և նշում ենք դրանովընդհանուր ընկերների թիվըև աշակերտը և բոլոր այդպիսի թվերի գումարըերկայնքով . Ապա, հիմնախնդրի պնդումն ապացուցելու համար բավական է ցույց տալ, որ ոմանց համարև անհավասարությունը.

Ընդհանուր թվերը կլինեն . Քանի որ յուրաքանչյուր աշակերտ դասարանում ունի առնվազն 10 ընկեր, թիվը հաշվելիսյուրաքանչյուր ուսանողի մենք հաշվի ենք առնում առնվազնանգամ, հետևաբար.

Այսպիսով, 1140 ամբողջ թվերի գումարը առնվազն 2400 է, ուստի թվերից մեկը.առնվազն 3, ինչը պետք է ապացուցվեր։