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Fuente de empleo: Solución 3754. Examen estatal unificado 2016. Matemáticas, I. V. Yashchenko. 30 variantes de tareas de prueba típicas.
Tarea 19. 20 estaba escrito en la pizarra números naturales(no necesariamente diferentes), cada uno de los cuales no excede 40. En lugar de algunos de los números (posiblemente uno), se escribieron en la pizarra números que eran uno menos que los originales. Los números que luego resultaron ser iguales a 0 fueron borrados del tablero.
a) ¿Podría resultar que la media aritmética de los números del tablero haya aumentado?
b) La media aritmética de los números escritos originalmente era 27. ¿Podría la media aritmética de los números que quedaron en el tablero ser igual a 34?
c) La media aritmética de los números escritos originalmente fue 27. Encuentra el mayor valor posible de la media aritmética de los números que quedaron en el tablero.
Solución.
A) Sí, tal vez, por ejemplo, si toma 19 números iguales a 10 y el 20 igual a 1, luego de disminuir el número 20 en 1, se vuelve igual a 0 y el valor promedio ya no es 20 números, sino 19. entonces tenemos:
Promedio inicial: ;
Valor medio después del cambio: 
.
Como puede ver, el segundo valor promedio se ha vuelto mayor que el original.
b) Supongamos que para cumplir esta condición necesitas tomar unidades, luego tomar números y un número, para un total de 20 números. Su media aritmética será igual a
,
y después de borrar las unidades deberías obtener
,
es decir, tenemos un sistema de ecuaciones:
Restando la segunda de la primera ecuación obtenemos:
Por lo tanto, para cumplir con las condiciones de este párrafo, es necesario tomar una fracción de números, lo cual es imposible en el marco de esta tarea.
Respuesta: No.
V) Para obtener el promedio máximo de los números restantes en el tablero, primero debe escribir un conjunto de números que consta del mayor número de unos (que luego se borrarán del tablero), y los números restantes deben ser el máximo. Escribamos esta condición en la forma
,
¿Dónde está el número de unidades? - Número 20 (se elige para que la media sea 27). De aquí tenemos:
De la expresión resultante queda claro que valor mínimo, en el que obtenemos el valor máximo. Por tanto, tenemos una secuencia de números cuya suma es igual a
Publicado el 14/03/2018
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Hay 100 números naturales diferentes escritos en la pizarra y se sabe que la suma de estos números es 5120.
a) ¿Se puede escribir el número 230 en la pizarra?
b) ¿Es posible que el número 14 no esté escrito en la pizarra?
c) ¿Cuál es el menor número de números divisibles por 14 escritos en la pizarra?
¿Cómo resolver? Preferiblemente debajo de todas las letras.
matemáticas,
educación
respuesta
comentario
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Tristeza
hace 2 minutos
A) Calculemos la opción en la que el monto será el menor. Naturalmente, esto es simplemente la suma de los primeros cien números, es decir 1+2+3…+100
. Puede calcular clasificando o puede utilizar la fórmula " cantidades progresión aritmética
".
Ahora calculemos la cantidad. S100=((1+100)/2)*1-00=5050;
Necesitamos intentar de alguna manera reemplazar cualquier número de nuestra serie con 230 . Averigüemos qué cantidad nos falta del monto especificado en la condición: 5120-5050=70 , sí, ¿cuál fue el número más grande de nuestra serie? Bien, 100 . Resulta que el número más grande con el que podemos reemplazar cualquier número de nuestra serie es 170 . lo que significa los números 230 en una fila no puede ser.
Sin respuesta;
b) Tomemos la misma fila de 1 a 100, pero eliminemos el número de ahí 14 e intenta reemplazarlo por otro. Por ejemplo, intentemos tomar el número más pequeño después 100 , es decir 101 y haremos un reemplazo. Suma de los primeros cien números. lo encontramos, lo que significa que para reemplazarlo, necesitamos restarle 14 Y agregar nuevo valor 101: 5050-14+101=5137 -. Desafortunadamente, la condición dice que la cantidad es igual a 5120 , por lo tanto, ay, No podemos excluir el número 14 de nuestra lista..
Respuesta: b) No;
V) Encontremos todos los números que son múltiplos. 14 de nuestra serie ( de 1 a 100). Hay muchas formas de encontrar múltiples valores, pero en nuestro caso, el número no es tan grande, puedes revisarlos manualmente, obtenemos una serie mediante la suma: 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98 . Sólo hay 7 números que son múltiplos de 14.. Ahora intentemos reemplazarlos con más valores grandes no múltiplos de 14, porque en este momento, nuestra cantidad es 5050. Reemplace el múltiplo más grande con el múltiplo más pequeño no utilizado: 98 a 101;
Nuestro total será: (101-98)+5050=5053- ;
Suma: (102-84)+5053=5071-;
Aún hay sitio, sigamos. Reemplace 70 con 103;
Suma: (103-70)+5071=5104-;
5104 , aún menos de 5120, así que sigamos adelante. Reemplace 56 con 104;
Suma: (104-56)+5104=5152-;
Resultó más de lo necesario., lo que significa que es necesario
Hay 100 números naturales diferentes escritos en la pizarra cuya suma es 5120.
a) ¿Se puede escribir el número 230?
b) ¿Es posible prescindir del número 14?
c) ¿Cuál es el menor número de números divisibles por 14 que puede haber en el tablero?
Solución.
a) Se escribe en la pizarra el número 230 y 99 otros números naturales diferentes. La mínima suma posible de números en el tablero se consigue siempre que la suma de 99 números naturales diferentes sea mínima. Y esto, a su vez, es posible si 99 números naturales diferentes son una progresión aritmética con el primer término y la diferencia. La suma de estos números, según la fórmula para la suma de una progresión aritmética, será:
Suma de todos los números en el tablero. S será igual a:
Es fácil ver que la suma resultante es mayor que 5120, lo que significa que cualquier suma de 100 números naturales diferentes, incluido el 230, es mayor que 5120, por lo tanto, el número 230 no puede estar en el tablero.
b) Que no esté escrito en la pizarra el número 14. En este caso, la mínima suma posible S Los números del tablero consistirán en dos sumas de progresiones aritméticas: la suma de los primeros 13 términos de la progresión con el primer término, la diferencia (es decir, la serie 1,2,3,..13) y la suma de los primeros 87 términos de la progresión con el primer término, la diferencia (es decir, la serie 15,16,17,..101). Encontremos esta cantidad:
Es fácil ver que la suma resultante es mayor que 5120, lo que significa que cualquier suma de 100 números naturales diferentes, entre los cuales no está el 14, es mayor que 5120, por lo tanto, es imposible prescindir del número 14 en el junta.
c) Supongamos que en la pizarra están escritos todos los números del 1 al 100. Entonces resulta que la serie resultante constituye una progresión aritmética con el primer término, la diferencia. Usando la fórmula para la suma de una progresión aritmética, encontramos la suma de todos los números en el tablero:
La cantidad resultante no satisface las condiciones del problema. Ahora, para aumentar la suma de todos los números escritos en la pizarra al indicado en la condición, intentemos reemplazar los números que son múltiplos de 14 con otros números después de la centena: reemplace 70 con 110, 84 con 104 y 98 con 108. La suma resultante S será igual a:
Con una mayor sustitución de números múltiplos de 14 por números mayores que 100, la suma aumentará y no corresponderá a las condiciones del problema. Por tanto, el menor número de múltiplos de 14 es 4.
Demos otra solución al punto c).
Pongamos un ejemplo cuando en la pizarra se escriben cuatro números que son múltiplos de 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Demostremos que no puede haber tres números que sean múltiplos de 14. Para eliminar cantidad máxima números que son múltiplos de 14, es necesario que las diferencias entre los números nuevos y antiguos sean mínimas. Es decir, hay que cambiarlo. números más grandes, múltiplos de 14, al menor número posible mayor que cien. Sea 3 el número de números que son múltiplos de 14. Entonces la suma mínima de números escritos en la pizarra es:
La suma resultante es mayor que 5120. Al reemplazar números que son múltiplos de 14 con números mayores que 100, la suma aumentará, lo que significa que no puede haber menos de cuatro números que sean múltiplos de 14 en el tablero.
A) No b) No c) 4.
