Tarea 16. Organizar los signos de puntuación: incluya todos los números, en su lugar en la oración debe haber comas.

1. Desde la distancia (1) vio una casa (2) diferente a las otras (3) construida (4) por algún arquitecto italiano.

2. Sobre el mar interminable (3) que aún no se había asentado (1) después de la reciente tormenta (2), el cielo (4) estaba cubierto de (5) estrellas centelleantes.

3. Un gran estanque (1) densamente cubierto de nenúfares (2) estaba ubicado (3) en una parte del antiguo parque alejado de la casa (4).

4. Vladimir (1) agitando una guadaña sin detenerse (2) cortó la hierba (3) sin mostrar (4) el menor esfuerzo.

5. La nube (1) que colgaba (2) sobre las altas cimas de los álamos (3) ya estaba cayendo (4) bajo una llovizna.

6. Entre los excéntricos (1) que vivieron en Moscú durante la era Griboyedov (2) estaba un hombre (3) descrito en la comedia "Ay de Wit" con el nombre (4) Maxim Petrovich.

7. Habiendo hecho nuestro camino (1) a través de un helecho húmedo y alguna (2) vegetación rastrera (3) salimos a un camino apenas perceptible.

8. Anya (2) que bajó la cabeza (1) se sentó inmóvil en un chal suave (3) que cubrió cuidadosamente (4) sus hombros.

9. Ippolit Matveyevich (1) languideciendo de vergüenza (2) se paró debajo de la acacia y (3) sin mirar a la gente que caminaba (4) repitió tres frases memorizadas.

10. Pasando las páginas (1) del libro (3) traído del estudio (2), el padre se detuvo en la puerta entreabierta (4) escuchando la conversación en la cocina.

11. Ya en nuestro tiempo, los investigadores de la obra de E. A. Poe (1) habiendo recibido a su disposición (2) materiales previamente ocultos (3) (4) pudieron establecer una conexión entre la vida y obra del escritor norteamericano.

12. Las palabras (1) formadas a partir de nombres geográficos (2) se presentan con bastante frecuencia al hablante y al escritor (3) preguntas (4) relacionadas con el uso normativo de las palabras.

13. El gorrión (1) despegó repentinamente (2) desapareció en la luz verde del jardín (3) brillando transparentemente (4) en el cielo del atardecer.

14. Con mal tiempo, los pinos gimen y sus ramas (1) se doblan por ráfagas de viento furioso (2) crepitan (3) a veces se rascan (4) con agujas en la corteza del árbol.

15. Bajo el sol (1) compitiendo con él (2) trajes de baño inusualmente altos, jugosos y de grandes colores (3) similares a rosas amarillas brillaban intensamente.

16. Masha se sentó en la esquina hasta la cena (1) mirando atentamente a su hermana mayor y (2) escuchando atentamente (3) las palabras que pronunció (4).

17. Inmediatamente más allá del río (1), subiendo (2), se podían ver montañas rocosas (3) delineadas a continuación (4) por una línea discontinua de arbustos bajos ennegrecidos.

18. Hierba alta (1) doblada hacia el suelo (2) envuelta suavemente alrededor de (3) troncos de árboles empapados por la lluvia (4).

19. Ramas de árboles (1) entrelazadas con extremos rígidos y rígidos (2) sonando tristemente (3) sobreviviendo (4) al frío invernal.

20. Pushkin (1) trajo a colación la "Historia del Estado Ruso" de N. M. Karamzin (2) dijo sobre la historia rusa (3) su propia palabra (4) superó en muchos sentidos a la de Karamzin.

Aprobé las matemáticas y corrí descuidadamente hacia el atardecer de shashlik. ¿No es sobre ti? Así es, porque un futuro feliz parpadea al final del túnel, y la física, la historia, el inglés y otros atributos para la admisión a una universidad están en el túnel mismo. Las pruebas de ciencias sociales y química se aprobaron en Rusia hoy. Y se creó la impresión de que, al menos, los budistas zen transmitían la química. Pero la mayoría de las críticas recibidas sobre estudios sociales - "una prueba muy difícil, me siento rugiendo", "¿quién salta conmigo desde el noveno piso?", "Me temo que el umbral no ha pasado". Esto es lo que nos escriben.

Sociedad

“El examen fue más fácil que el de ruso y mucho más fácil que el de matemáticas. En general, creo que los kims están bien compuestos, pero también hubo un momento de humor. Entonces, por ejemplo, tenía una pregunta sobre la antiinflación, y cuál fue mi sorpresa de que el método para combatir la inflación fuera aumentar el desempleo. ¿Tratamos una cosa, lisiamos la otra? ¿O si no hay dinero, no hay inflación?

(Elmira, Ryazan)

“El examen pasó sin incidentes. En general, las tareas no fueron difíciles, a la par con las sondas y pruebas del "Resolver el Examen del Estado Unificado" (sorprendentemente). Pensé que sería más difícil. Hasta ahora, de todos los exámenes que he aprobado (de momento solo he aprobado ruso y matemáticas), la sociedad parecía ser la más simple. La Parte C también era factible. El texto fue captado con razón, y el resto de los "tseshki" trataban de temas que eran bastante populares en el curso de la sociedad (factores de producción, tipos de sociedad, leyes, moralidad, etc.). Estoy aprobando el examen porque planeo entrar en relaciones internacionales ".

(Iván, Tyumen)

“Elegí estudios sociales porque es necesario para ingresar al económico. El examen fue extremadamente fácil, incluso para mí, una persona que tomó lecciones de sociedad por última vez hace seis años y que no se preparó en absoluto. Ya tengo mi superior incompleto, pero no lo voy a terminar. Me preparé exactamente para un día, leí jurisprudencia y la transmití sobre conocimientos generales, afortunadamente, las ciencias sociales te permiten hacer esto. ¿Ayuda la experiencia de vida? Creo que una formación universitaria puede considerarse una ventaja, aunque sea incompleta. La universidad me enseñó a trabajar realmente con la cabeza ".

(Christina, r. Bashkortostán)

“Cuando te preparas para una cosa y te encuentras con otra, es muy ofensivo. Yo, como todos, probablemente todo esté temblando, me temo que el umbral no se ha cruzado, ¡estoy muy preocupado! Me estaba preparando para el "Solucionar el Examen del Estado Unificado", muy pocos coincidieron, muy pocos. La escuela decidió las pruebas para 2012-14, hay poco uso. Sí, y en ruso coincidieron muchas cosas, pero no hay matemáticas en absoluto, nuestras chicas rugieron después del examen ".

(Pavel, Satka)

“Es realmente posible prepararse para la sociedad. Me preparé productivamente durante un año (4 horas a la semana), me sentí cómodo en el examen. Puedo decir que hay tiempo suficiente si sabes qué escribir. Nuevamente, las tareas son las mismas que en los portales de Internet. Nada nuevo.

La organización es excelente. Los probadores están muy atentos, no interfieren, no distraen. En general, el examen salió bien, espero que no sea lo mismo para mí ".

(Angelina, Rostov del Don)

“La prueba no es tanto difícil como estúpida, hay muchas tareas dudosas y ambiguas. Pero de alguna manera no tuve mucha suerte con la parte C (¿dónde has visto que ya a los 28 había 3 subpreguntas?). En general, no estoy satisfecho con el resultado, esperaré los números sin muchas esperanzas ".

(Daria, San Petersburgo)

Química

“El examen de química salió bien, sin incidentes. En general, todo fue bastante tranquilo y silencioso: en mi pueblo se pasaba química y sociedad en la misma escuela, porque hay pocos graduados, solo 10 químicos. Las tareas no fueron particularmente difíciles, incluso diría que fueron fáciles. No hubo bloqueo, como en matemáticas. Es cierto que yo mismo, por falta de atención, cometí un error en C5, ya que ambas supuestas sustancias contenían la misma fracción de masa de elementos químicos (había ácido acético, pero escribí formaldehído). En general, no todo está mal, no había tanto nerviosismo como en ruso y matemáticas ”.

(Roma, Agidel, Bashkiria)

“El examen fue relativamente simple (puramente subjetivo), no hubo dificultades. Elegí la química porque quiero ingresar al departamento de química (todavía me gusta la química). Entregaron a 4 personas de mi clase de física y matemáticas y 24 personas de toda la clase de química y biología. Todo el mundo tiene una actitud diferente hacia la química. Me gusta la química y la literatura. Aquí se puede especular sobre los "técnicos" y las "humanidades", pero ¿por qué? Y el juicio crítico de que casi todo el mundo considera que la química es un tema odiado, de alguna manera no encaja realmente con mi experiencia de vida ".

(Denis, Arkhangelsk)

“El examen de química pasó rápido y de manera completamente imperceptible, pero llevo mucho tiempo esperando este momento, porque después de los exámenes te sientes más libre. No había ninguna emoción en absoluto, porque estaba completamente inmerso en el trabajo. Pero esperar los resultados es algo más serio que el examen en sí. Hubo tiempo más que suficiente, los observadores fueron amables, el público acogedor. En general, en comparación con las matemáticas y el ruso, más difícil de lo esperado. El problema C4 provocó dificultades: tuve que pensar y razonar. Los orgánicos, mi amor, me hicieron feliz. Pero el error ya existe con el acetileno. ¡Es una vergüenza, estúpido error! Si comparamos la preparación para el ruso y las matemáticas, entonces las tareas en química son un nivel más alto. En ruso, las asignaciones estaban en el nivel de preparación. Pero quizás todo esto se deba a que la química no es tan fácil para mí. Para mí es mucho más interesante cuando el sujeto tiene que "comprender". Probablemente sea extraño, pero incluso cuando algo no funciona, todavía me interesa la química ".

(Marina, Magnitogorsk)

“Estaré encantado de contarles sobre mi examen. Elegí la química porque quiero conectar mi vida con la medicina. El examen no fue tan difícil, por supuesto, para quienes se han estado preparando durante todo este año académico. Si. Hubo dificultades en 39 y 40 tareas, pero creo que me las arreglé bastante bien en el examen. A los 39, por ejemplo, pensé en la reacción en sí y, por lo tanto, no pude resolver más el problema. Analicé con mucho cuidado pruebas similares en la tarea 40, pero por alguna razón la tarea de examen me causó dificultades, porque, en mi opinión, varias respuestas eran apropiadas ".

(Artur, Omsk)

Educación secundaria general

Línea UMK G.K. Muravin. Álgebra y los inicios del análisis matemático (10-11) (en profundidad)

Línea UMK Merzlyak. Álgebra y los inicios del análisis (10-11) (U)

Matemáticas

Preparación para el examen de matemáticas (nivel de perfil): tareas, soluciones y explicaciones

Analizamos tareas y resolvemos ejemplos con un profesor

El trabajo de examen a nivel de perfil dura 3 horas 55 minutos (235 minutos).

Umbral mínimo- 27 puntos.

El examen consta de dos partes, que difieren en contenido, complejidad y número de tareas.

La característica definitoria de cada parte del trabajo es la forma de las asignaciones:

• la parte 1 contiene 8 tareas (tareas 1-8) con una respuesta corta en forma de número entero o fracción decimal final;
• La parte 2 contiene 4 tareas (tareas 9-12) con una respuesta corta en forma de un número entero o una fracción decimal final y 7 tareas (tareas 13-19) con una respuesta detallada (un registro completo de la solución con la justificación de las acciones realizadas).

Panova Svetlana Anatolievna, profesor de matemáticas de la categoría más alta de la escuela, experiencia laboral 20 años:

“Para recibir un certificado escolar, un graduado debe aprobar dos exámenes obligatorios en forma de Examen Estatal Unificado, uno de los cuales es matemáticas. De acuerdo con el Concepto para el Desarrollo de la Educación Matemática en la Federación de Rusia, el Examen Estatal Unificado de Matemáticas se divide en dos niveles: básico y especializado. Hoy consideraremos opciones para el nivel de perfil ".

Tarea número 1- evalúa la capacidad de los participantes de USE para aplicar las habilidades adquiridas en el curso de 5-9 grados en matemáticas elementales en actividades prácticas. El participante debe tener habilidades computacionales, ser capaz de trabajar con números racionales, ser capaz de redondear fracciones decimales, ser capaz de convertir una unidad de medida en otra.

Ejemplo 1. En el apartamento donde vive Peter, se instaló un contador de agua fría. El 1 de mayo, el medidor mostró un consumo de 172 metros cúbicos. m de agua, y el 1 de junio - 177 metros cúbicos. m) ¿Qué cantidad debe pagar Peter por el agua fría para mayo, si el precio de 1 metro cúbico. m de agua fría es 34 rublos 17 kopeks? Da tu respuesta en rublos.

Solución:

1) Encontremos la cantidad de agua gastada por mes:

177-172 = 5 (metros cúbicos)

2) Busquemos cuánto dinero se pagará por el agua gastada:

34,17 5 = 170,85 (frotar)

Respuesta: 170,85.

Tarea número 2-es una de las tareas de examen más simples. La mayoría de los graduados lo enfrentan con éxito, lo que atestigua la posesión de la definición del concepto de función. El tipo de tarea número 2 según el codificador de requisitos es una tarea para utilizar los conocimientos y habilidades adquiridos en actividades prácticas y en la vida cotidiana. La tarea número 2 consiste en la descripción usando funciones de varias relaciones reales entre cantidades y la interpretación de sus gráficas. La tarea número 2 evalúa la capacidad de extraer información presentada en tablas, diagramas y gráficos. Los graduados deben poder determinar el valor de una función por el valor del argumento en varias formas de definir una función y describir el comportamiento y las propiedades de una función de acuerdo con su programa. También es necesario poder encontrar el valor más grande o más pequeño en la gráfica de la función y trazar las gráficas de las funciones estudiadas. Los errores cometidos son aleatorios al leer el enunciado del problema, leer el diagrama.

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Ejemplo 2. La figura muestra el cambio en el valor de mercado de una acción de una empresa minera en la primera quincena de abril de 2017. El 7 de abril, el empresario adquirió 1.000 acciones de esta empresa. El 10 de abril vendió las tres cuartas partes de las acciones compradas y el 13 de abril vendió el resto. ¿Cuánto perdió el empresario como resultado de estas operaciones?

Solución:

2) 1000 3/4 = 750 (acciones) - constituyen 3/4 de todas las acciones compradas.

6) 247500 + 77500 = 325000 (rublos) - el empresario recibió 1000 acciones después de la venta.

7) 340.000 - 325.000 = 15.000 (rublos) - el empresario perdió como resultado de todas las operaciones.

Respuesta: 15000.

Tarea número 3- Es una tarea del nivel básico de la primera parte, prueba la capacidad para realizar acciones con formas geométricas según el contenido de la asignatura "Planimetría". En la tarea 3, se prueba la capacidad de calcular el área de una figura en papel cuadriculado, la capacidad de calcular las medidas en grados de los ángulos, calcular los perímetros, etc.

Ejemplo 3. Encuentre el área de un rectángulo representado en papel cuadriculado con un tamaño de celda de 1 cm por 1 cm (ver figura). Da tu respuesta en centímetros cuadrados.

Solución: Para calcular el área de una figura determinada, puede usar la fórmula de Selección:

Para calcular el área de este rectángulo, usaremos la fórmula de Selección:

S= B +	GRAMO
	2

donde B = 10, G = 6, por lo tanto

S = 18 +	6
	2

Respuesta: 20.

Ver también: Examen estatal unificado en física: solución de problemas de oscilación

Tarea número 4- la tarea del curso "Teoría de la probabilidad y estadística". Se prueba la capacidad de calcular la probabilidad de un evento en la situación más simple.

Ejemplo 4. Hay 5 puntos rojos y 1 azul marcados en el círculo. Determina qué polígonos son más: los que tienen todos los vértices rojos o los que tienen uno de los vértices azul. En su respuesta, indique cuántos de algunos son más que otros.

Solución: 1) Usamos la fórmula para el número de combinaciones de norte elementos por k:

en el que todos los vértices son rojos.

3) Un pentágono con todos los vértices rojos.

4) 10 + 5 + 1 = 16 polígonos con todos los vértices rojos.

cuyos vértices son rojos o con un vértice azul.

cuyos vértices son rojos o con un vértice azul.

8) Un hexágono, con picos rojos con un pico azul.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 polígonos en los que todos los vértices son rojos o con un vértice azul.

10) 42 - 16 = 26 polígonos usando el punto azul.

11) 26 - 16 = 10 polígonos - cuántos polígonos con uno de los vértices - un punto azul, más polígonos con todos los vértices solo rojos.

Respuesta: 10.

Tarea número 5- el nivel básico de la primera parte evalúa la capacidad para resolver las ecuaciones más simples (irracionales, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas).

Ejemplo 5. Resuelve la ecuación 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Solución. Divida ambos lados de esta ecuación por 5 3 + NS≠ 0, obtenemos

2 3 + X	= 0.4 o		2		3 + NS	=	2	,
5 3 + NS			5				5

de donde se sigue que 3 + X = 1, X = –2.

Respuesta: –2.

Tarea número 6 en planimetría para encontrar cantidades geométricas (longitudes, ángulos, áreas), modelar situaciones reales en el lenguaje de la geometría. Investigación de los modelos construidos utilizando conceptos y teoremas geométricos. El origen de las dificultades es, por regla general, el desconocimiento o la aplicación incorrecta de los teoremas de planimetría necesarios.

Área de un triángulo A B C es igual a 129. Delaware- la línea media paralela al lateral AB... Halla el área de un trapezoide UNA CAMA.

Solución. Triángulo CDE como un triangulo TAXI en dos esquinas, ya que el ángulo del vértice C general, ángulo CDE igual al ángulo TAXI como los ángulos correspondientes en Delaware || AB secante C.A.... Porque Delaware- la línea media del triángulo por la condición, luego por la propiedad de la línea media | Delaware = (1/2)AB... Esto significa que el coeficiente de similitud es 0,5. Las áreas de tales figuras están relacionadas como el cuadrado del coeficiente de similitud, por lo tanto

Por eso, S ABED = S Δ A B C – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tarea número 7- comprueba la aplicación de la derivada al estudio de la función. Para una implementación exitosa, se requiere un conocimiento significativo y no formal del concepto de derivado.

Ejemplo 7. Ir al gráfico de funciones y = F(X) en el punto con la abscisa X 0 se dibuja una tangente, que es perpendicular a la línea recta que pasa por los puntos (4; 3) y (3; –1) de este gráfico. Encontrar F′( X 0).

Solución. 1) Usemos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados y calculemos la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos (4; 3) y (3; –1).

(y – y 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–y + 3 = –4X+ 16 | · (-1)

y – 3 = 4X – 16

y = 4X- 13, donde k 1 = 4.

2) Encuentra la pendiente de la tangente k 2, que es perpendicular a la línea recta y = 4X- 13, donde k 1 = 4, según la fórmula:

3) La pendiente de la tangente es la derivada de la función en el punto de tangencia. Medio, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Respuesta: –0,25.

Tarea número 8- pone a prueba a los participantes del examen el conocimiento de estereometría elemental, la capacidad de aplicar fórmulas para encontrar las áreas de superficies y volúmenes de figuras, ángulos diedros, comparar los volúmenes de figuras similares, para poder realizar acciones con figuras geométricas, coordenadas y vectores, etc.

El volumen del cubo descrito alrededor de la esfera es 216. Calcula el radio de la esfera.

Solución. 1) V cubo = a 3 (donde a Es la longitud del borde del cubo), por lo tanto

a 3 = 216

a = 3 √216

2) Dado que la esfera está inscrita en un cubo, significa que la longitud del diámetro de la esfera es igual a la longitud del borde del cubo, por lo tanto D = a, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tarea número 9- Requiere que el graduado convierta y simplifique expresiones algebraicas. Tarea número 9 de mayor nivel de dificultad con una respuesta corta. Las tareas de la sección "Cálculos y transformaciones" del examen se dividen en varios tipos:

convertir expresiones racionales numéricas;

transformaciones de expresiones y fracciones algebraicas;

convertir expresiones irracionales numéricas / alfabéticas;

acciones con grados;

transformación de expresiones logarítmicas;

1. conversión de expresiones trigonométricas numéricas / alfabéticas.

Ejemplo 9. Calcule tgα si se sabe que cos2α = 0.6 y

3π	< α < π.
4

Solución. 1) Usemos la fórmula del argumento doble: cos2α = 2 cos 2 α - 1 y encontremos

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Por tanto, tg 2 α = ± 0,5.

3) Por condición

3π	< α < π,
4

por lo tanto, α es el ángulo del cuarto II y tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Respuesta: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Tarea número 10- evalúa la capacidad de los estudiantes para utilizar los conocimientos y habilidades adquiridos en la práctica y la vida cotidiana. Podemos decir que estos son problemas de física y no de matemáticas, pero todas las fórmulas y cantidades necesarias se dan en la condición. Las tareas se reducen a resolver una ecuación lineal o cuadrática, o una desigualdad lineal o cuadrática. Por lo tanto, es necesario poder resolver tales ecuaciones y desigualdades y determinar la respuesta. La respuesta debe ser un número entero o una fracción decimal final.

Dos cuerpos pesando metro= 2 kg cada uno, moviéndose a la misma velocidad v= 10 m / s en un ángulo de 2α entre sí. La energía (en julios) liberada durante su colisión absolutamente inelástica está determinada por la expresión Q = mv 2 pecado 2 α. ¿Cuál es el ángulo más pequeño 2α (en grados) en el que deberían moverse los cuerpos de modo que se liberen al menos 50 julios como resultado de la colisión?
Solución. Para resolver el problema, necesitamos resolver la desigualdad Q ≥ 50, en el intervalo 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Dado que α ∈ (0 °; 90 °), solo resolveremos

Representemos la solución de la desigualdad gráficamente:

Dado que, por hipótesis, α ∈ (0 °; 90 °), significa 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tarea número 11- es típico, pero resulta difícil para los estudiantes. La principal fuente de dificultad es la construcción de un modelo matemático (elaboración de una ecuación). La tarea número 11 evalúa la capacidad para resolver problemas en forma de enunciado.

Ejemplo 11. Durante las vacaciones de primavera, Vasya, estudiante de undécimo grado, tuvo que resolver 560 problemas de entrenamiento para prepararse para el Examen del Estado Unificado. El 18 de marzo, el último día de clases, Vasya resolvió 5 problemas. Luego, todos los días, resolvió la misma cantidad de problemas más que el día anterior. Determina cuántos problemas resolvió Vasya el 2 de abril en el último día de vacaciones.

Solución: Nosotros denotamos a 1 = 5 - la cantidad de problemas que Vasya resolvió el 18 de marzo, D- el número diario de tareas resueltas por Vasya, norte= 16 - el número de días del 18 de marzo al 2 de abril inclusive, S 16 = 560 - el número total de tareas, a 16: la cantidad de problemas que Vasya resolvió el 2 de abril. Sabiendo que todos los días Vasya resolvió la misma cantidad de problemas más en comparación con el día anterior, entonces puede usar las fórmulas para encontrar la suma de una progresión aritmética:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Respuesta: 65.

Tarea número 12- probar la capacidad de los estudiantes para realizar acciones con funciones, ser capaz de aplicar una derivada al estudio de una función.

Encuentra el punto máximo de una función y= 10ln ( X + 9) – 10X + 1.

Solución: 1) Encuentra el dominio de la función: X + 9 > 0, X> –9, es decir, x ∈ (–9; ∞).

2) Encuentra la derivada de la función:

4) El punto encontrado pertenece al intervalo (–9; ∞). Determinemos los signos de la derivada de la función y describamos el comportamiento de la función en la figura:

Buscando el punto máximo X = –8.

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Tarea número 13-nivel de dificultad aumentado con una respuesta detallada, que pone a prueba la capacidad para resolver ecuaciones, la que se resuelve con más éxito entre las tareas con una respuesta detallada de un mayor nivel de complejidad.

a) Resuelva la ecuación 2log 3 2 (2cos X) - 5log 3 (2cos X) + 2 = 0

b) Encuentra todas las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento.

Solución: a) Sea log 3 (2cos X) = t, luego 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3 (2cos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		porque X =	4,5	⇔ desde | porque X| ≤ 1,
	log 3 (2cos X) =	1			2cos X = √3			porque X =	√3
		2							2

entonces porque X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Encuentra las raíces que se encuentran en el segmento.

Se puede ver en la figura que las raíces

11π	y	13π	.
6		6

Respuesta: a)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; B)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Tarea número 14- nivel avanzado se refiere a las tareas de la segunda parte con una respuesta detallada. La tarea evalúa la capacidad de realizar acciones con formas geométricas. La tarea contiene dos elementos. En el primer párrafo, se debe probar la tarea y en el segundo, se debe calcular.

El diámetro de la circunferencia de la base del cilindro es 20, la generatriz del cilindro es 28. El plano interseca su base a lo largo de cuerdas de longitud 12 y 16. La distancia entre las cuerdas es 2√197.

a) Demuestre que los centros de las bases del cilindro se encuentran en un lado de este plano.

b) Encuentre el ángulo entre este plano y el plano de la base del cilindro.

Solución: a) Una cuerda con una longitud de 12 se ubica a una distancia = 8 del centro del círculo base, y una cuerda con una longitud de 16, de manera similar, a una distancia de 6. Por lo tanto, la distancia entre sus proyecciones sobre un El plano paralelo a las bases de los cilindros es 8 + 6 = 14, o 8 - 6 = 2.

Entonces la distancia entre los acordes es

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Por condición, se realizó el segundo caso, en el que las proyecciones de las cuerdas se encuentran en un lado del eje del cilindro. Esto significa que el eje no interseca este plano dentro del cilindro, es decir, las bases se encuentran en un lado del mismo. Lo que se requería para probar.

b) Designemos los centros de las bases para O 1 y O 2. Dibujemos desde el centro de la base con una cuerda de longitud 12 un medio perpendicular a esta cuerda (tiene una longitud de 8, como ya se señaló) y desde el centro de la otra base hasta la otra cuerda. Se encuentran en el mismo plano β, perpendiculares a estas cuerdas. Llamamos al punto medio de la cuerda menor B mayor que A y la proyección de A sobre la segunda base H (H ∈ β). Entonces AB, AH ∈ β y por lo tanto AB, AH son perpendiculares a la cuerda, es decir, la línea de intersección de la base con el plano dado.

Por tanto, el ángulo requerido es

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
	Bh		8 – 6

Tarea número 15- un mayor nivel de dificultad con una respuesta detallada, prueba la capacidad para resolver desigualdades, la que se resuelve con más éxito entre las tareas con una respuesta detallada de un mayor nivel de complejidad.

Ejemplo 15. Resolver la desigualdad | X 2 – 3X| Registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Solución: El dominio de esta desigualdad es el intervalo (–1; + ∞). Considere tres casos por separado:

1) Deja X 2 – 3X= 0, es decir NS= 0 o NS= 3. En este caso, esta desigualdad se vuelve verdadera, por lo tanto, estos valores se incluyen en la solución.

2) Ahora deja X 2 – 3X> 0, es decir X∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Además, esta desigualdad se puede reescribir como ( X 2 – 3X) Registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 y dividir por positivo X 2 – 3X... Obtenemos log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 -1 o X≤ –0,5. Teniendo en cuenta el dominio de la definición, tenemos X ∈ (–1; –0,5].

3) Finalmente, considere X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). En este caso, la desigualdad original se reescribirá como (3 X – X 2) registro 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Después de la división por expresión positiva 3 X – X 2, obtenemos log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Teniendo en cuenta la región, tenemos X ∈ (0; 1].

Combinando las soluciones obtenidas obtenemos X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Respuesta: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tarea número 16- nivel avanzado se refiere a las tareas de la segunda parte con una respuesta detallada. La tarea evalúa la capacidad de realizar acciones con formas geométricas, coordenadas y vectores. La tarea contiene dos elementos. En el primer párrafo, se debe probar la tarea y en el segundo, se debe calcular.

En un triángulo isósceles ABC con un ángulo de 120 ° en el vértice A, se dibuja una bisectriz BD. El rectángulo DEFH está inscrito en el triángulo ABC de modo que el lado FH se encuentra en el segmento BC y el vértice E se encuentra en el segmento AB. a) Demuestre que FH = 2DH. b) Encuentre el área del rectángulo DEFH si AB = 4.

Solución: a)

1) ΔBEF - rectangular, EF⊥BC, ∠B = (180 ° - 120 °): 2 = 30 °, luego EF = BE por la propiedad de la pierna opuesta al ángulo de 30 °.

2) Sea EF = DH = X, entonces BE = 2 X, BF = X√3 por el teorema de Pitágoras.

3) Dado que ΔABC es isósceles, significa que ∠B = ∠C = 30˚.

BD es la bisectriz de ∠B, entonces ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Considere ΔDBH - rectangular, ya que DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 - √3

2) S DEFH = ED EF = (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH = 24 - 12√3.

Respuesta: 24 – 12√3.

Tarea número 17- una tarea con una respuesta detallada, esta tarea prueba la aplicación de conocimientos y habilidades en la práctica y la vida cotidiana, la capacidad para construir y explorar modelos matemáticos. Esta tarea es un problema de texto con contenido económico.

Ejemplo 17. Está previsto que el depósito por un monto de 20 millones de rublos se abra durante cuatro años. Al final de cada año, el banco aumenta su depósito en un 10% en comparación con su tamaño a principios de año. Además, al comienzo del tercer y cuarto año, el depositante repone anualmente el depósito por NS millones de rublos, donde NS - entero número. Encuentra el valor más grande NS, en el que el banco acumulará menos de 17 millones de rublos en el depósito en cuatro años.

Solución: Al final del primer año, la contribución será 20 + 20 · 0,1 = 22 millones de rublos, y al final del segundo - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 millones de rublos. Al comienzo del tercer año, la contribución (en millones de rublos) será (24,2 + NS), y al final - (24,2 + NS) + (24,2 + NS) 0,1 = (26,62 + 1,1 NS). Al comienzo del cuarto año, la contribución será (26.62 + 2.1 NS), y al final - (26,62 + 2,1 NS) + (26,62 + 2,1NS) 0,1 = (29,282 + 2,31 NS). Por hipótesis, necesitas encontrar el entero más grande x para el cual la desigualdad

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

La solución entera más grande para esta desigualdad es el número 24.

Respuesta: 24.

Tarea número 18- una tarea de mayor nivel de complejidad con una respuesta detallada. Esta tarea está destinada a la selección competitiva de universidades con mayores requisitos para la formación matemática de los postulantes. Una tarea de alto nivel de complejidad no es una tarea para aplicar un método de solución, sino para una combinación de diferentes métodos. Para completar con éxito la tarea 18, además de un conocimiento matemático sólido, también se requiere un alto nivel de cultura matemática.

Bajo que a sistema de desigualdades

	X 2 + y 2 ≤ 2sí – a 2 + 1
	y + a ≤ |X| – a

tiene exactamente dos soluciones?

Solución: Este sistema se puede reescribir como

	X 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |X| – a

Si dibujamos en el plano el conjunto de soluciones de la primera desigualdad, obtenemos el interior de un círculo (con un límite) de radio 1 centrado en el punto (0, a). El conjunto de soluciones de la segunda desigualdad es la parte del plano que se encuentra debajo de la gráfica de la función y = | X| – a, y el último es el gráfico de funciones
y = | X| desplazado hacia abajo por a... La solución de este sistema es la intersección de los conjuntos de soluciones para cada una de las desigualdades.

En consecuencia, este sistema tendrá dos soluciones solo en el caso mostrado en la Fig. 1.

Los puntos de tangencia del círculo con líneas rectas serán dos soluciones del sistema. Cada una de las líneas rectas está inclinada hacia los ejes en un ángulo de 45 °. Entonces el triangulo PQR- isósceles rectangulares. Punto Q tiene coordenadas (0, a), y el punto R- coordenadas (0, - a). Además, los segmentos PR y PQ son iguales al radio del círculo igual a 1. Por lo tanto,

Qr= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Respuesta: a =	√2	.
	2

Tarea número 19- una tarea de mayor nivel de complejidad con una respuesta detallada. Esta tarea está destinada a la selección competitiva de universidades con mayores requisitos para la formación matemática de los postulantes. Una tarea de alto nivel de complejidad no es una tarea para aplicar un método de solución, sino para una combinación de diferentes métodos. Para completar con éxito la tarea 19, es necesario poder buscar una solución, eligiendo varios enfoques de entre los conocidos, modificando los métodos estudiados.

Permitir Sn suma NS miembros de la progresión aritmética ( un). Se sabe que S n + 1 = 2norte 2 – 21norte – 23.

a) Indique la fórmula NS th miembro de esta progresión.

b) Encuentra la suma mínima del módulo S n.

c) Encuentra el más pequeño NS en el cual S n será el cuadrado de un número entero.

Solución: a) Es obvio que un = S n – S n- 1. Usando esta fórmula, obtenemos:

S n = S (norte – 1) + 1 = 2(norte – 1) 2 – 21(norte – 1) – 23 = 2norte 2 – 25norte,

S n – 1 = S (norte – 2) + 1 = 2(norte – 1) 2 – 21(norte – 2) – 23 = 2norte 2 – 25norte+ 27

medio, un = 2norte 2 – 25norte – (2norte 2 – 29norte + 27) = 4norte – 27.

B) Desde S n = 2norte 2 – 25norte, luego considere la función S(X) = | 2X 2 – 25x |... Su gráfico se puede ver en la figura.

Obviamente, el valor más pequeño se alcanza en los puntos enteros más cercanos a los ceros de la función. Obviamente estos son puntos NS= 1, NS= 12 y NS= 13. Dado que, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 169 - 25 13 | = 13, entonces el valor más pequeño es 12.

c) Del punto anterior se sigue que Sn positivamente a partir de norte= 13. Dado que S n = 2norte 2 – 25norte = norte(2norte- 25), entonces el caso obvio cuando esta expresión es un cuadrado perfecto se realiza cuando norte = 2norte- 25, es decir, a las NS= 25.

Queda por comprobar los valores del 13 al 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 2321, S 24 = 24 23.

Resulta que para valores menores NS no se logra el cuadrado completo.

Respuesta: a) un = 4norte- 27; b) 12; c) 25.

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* Desde mayo de 2017, el grupo editorial conjunto "DROFA-VENTANA" es parte de la corporación "Libro de texto ruso". La corporación también incluye la editorial Astrel y la plataforma educativa digital LECTA. Alexander Brychkin, graduado de la Academia Financiera del Gobierno de la Federación de Rusia, Ph.D.en Economía, jefe de proyectos innovadores de la editorial DROFA en el campo de la educación digital (formularios electrónicos de libros de texto, Russian Electronic School, digital plataforma educativa LECTA) ha sido nombrada Directora General. Antes de unirse a la editorial DROFA, ocupó el cargo de Vicepresidente de Desarrollo Estratégico e Inversiones de EKSMO-AST Publishing Holding. En la actualidad, la corporación editorial "Russian Textbook" tiene la mayor cartera de libros de texto incluidos en la Lista Federal: 485 títulos (aproximadamente el 40%, excluyendo los libros de texto para una escuela especial). Las editoriales de la corporación poseen los conjuntos de libros de texto más demandados por las escuelas rusas sobre física, dibujo, biología, química, tecnología, geografía, astronomía, áreas de conocimiento necesarias para desarrollar el potencial productivo del país. La cartera de la corporación incluye libros de texto de escuela primaria y material didáctico que han recibido el Premio de Educación del Presidente. Se trata de libros de texto y manuales sobre áreas temáticas necesarias para el desarrollo del potencial científico, técnico y productivo de Rusia.

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Evaluación

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Respuestas

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El examen consta de dos partes incluso 19 tareas. Parte 1 contiene 8 tareas de un nivel básico de dificultad con una respuesta corta. Parte 2 Contiene 4 tareas de un mayor nivel de dificultad con una respuesta corta y 7 tareas de un alto nivel de dificultad con una respuesta detallada.

El trabajo de examen en matemáticas se asigna 3 horas 55 minutos(235 minutos).

Respuestas a las tareas 1-12 están escritas como un número entero o decimal final... Escriba los números en los campos de respuesta en el texto del trabajo y luego transfiéralos al formulario de respuesta número 1, emitido en el examen.

Al realizar el trabajo, puede utilizar los emitidos junto con el trabajo. Usa solo una regla pero puedes hacer una brújula hazlo tu mismo. No utilice herramientas con materiales de referencia impresos. Calculadoras en examen no utilizado.

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