Hay 100 números naturales diferentes escritos en la pizarra con la suma de 5120.
a) ¿Se puede escribir el número 230?
b) ¿Es posible prescindir del número 14?
c) ¿Cuál es el menor número de múltiplos de 14 en la pizarra?
Solución.
a) Deje que se escriban en la pizarra el número 230 y 99 otros números naturales diferentes. La suma más pequeña posible de los números del tablero se logra siempre que la suma de 99 números naturales diferentes sea mínima. Y esto, a su vez, es posible si 99 números naturales diferentes son una progresión aritmética con el primer término y la diferencia. La suma de estos números, según la fórmula para la suma de una progresión aritmética, es:
Suma de todos los números del tablero S será igual a:
Es fácil ver que la suma resultante es mayor que 5120, lo que significa que cualquier suma de 100 números naturales diferentes, entre los cuales hay 230, es mayor que 5120, por lo tanto, no puede haber 230 en el tablero.
b) Suponga que el número 14 no está escrito en la pizarra. En este caso, la cantidad mínima posible S Los números del tablero constarán de dos sumas de progresiones aritméticas: la suma de los primeros 13 miembros de la progresión con el primer miembro, la diferencia (es decir, la serie 1, 2, 3, .. 13) y la suma de los primeros 87 miembros de la progresión con el primer miembro, la diferencia (es decir, la serie 15,16,17, .. 101). Busquemos esta cantidad:
Es fácil ver que la suma resultante es más de 5120, lo que significa que cualquier suma de 100 números naturales diferentes, entre los cuales no hay 14, es más de 5120, por lo tanto, no se puede prescindir del número 14 en el tablero.
c) Suponga que todos los números del 1 al 100 están escritos en la pizarra. Entonces resulta que la serie resultante es una progresión aritmética con el primer término, la diferencia. Por la fórmula para la suma de una progresión aritmética, encontramos el suma de todos los números del tablero:
La cantidad recibida no satisface la condición del problema. Ahora, para aumentar la suma de todos los números escritos en la pizarra al indicado en la condición, intentaremos reemplazar los números que son múltiplos de 14 por otros números que siguen a la centena: 70 será reemplazado por 110, 84 por 104 y 98 por 108. La suma resultante S será igual a:
Con el reemplazo adicional de números que son múltiplos de 14 con números mayores que 100, la cantidad aumentará y no se corresponderá con la condición del problema. Entonces, el número más pequeño de múltiplos de 14 es 4.
Demos otra solución al punto c).
Pongamos un ejemplo, cuando en la pizarra hay cuatro números que son múltiplos de 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Demostremos que no puede haber tres números que sean múltiplos de 14. Para eliminar el número máximo de números que son múltiplos de 14, es necesario que las diferencias entre los números nuevos y antiguos sean mínimas. Es decir, es necesario reemplazar los números más grandes, múltiplos de 14, por los más pequeños posibles, mayores que cien números. Deje que el número de múltiplos de 14 sea 3. Entonces, la suma mínima de los números escritos en la pizarra es:
La suma resultante es mayor que 5120. Si se reemplazan más números que son múltiplos de 14 por números mayores que 100, la cantidad aumentará, lo que significa que no puede haber menos de cuatro números en el tablero que sean múltiplos de 14.
A) No b) No c) 4.
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Hay 100 números naturales diferentes escritos en la pizarra con la suma de 5120.
a) ¿Se puede escribir el número 230?
b) ¿Es posible prescindir del número 14?
c) ¿Cuál es el menor número de múltiplos de 14 en la pizarra?
Solución.
a) Deje que se escriban en la pizarra el número 230 y 99 otros números naturales diferentes. La suma más pequeña posible de los números del tablero se logra siempre que la suma de 99 números naturales diferentes sea mínima. Y esto, a su vez, es posible si 99 números naturales diferentes son una progresión aritmética con el primer término y la diferencia. La suma de estos números, según la fórmula para la suma de una progresión aritmética, es:
Suma de todos los números del tablero S será igual a:
Es fácil ver que la suma resultante es mayor que 5120, lo que significa que cualquier suma de 100 números naturales diferentes, entre los cuales hay 230, es mayor que 5120, por lo tanto, no puede haber 230 en el tablero.
b) Suponga que el número 14 no está escrito en la pizarra. En este caso, la cantidad mínima posible S Los números del tablero constarán de dos sumas de progresiones aritméticas: la suma de los primeros 13 miembros de la progresión con el primer miembro, la diferencia (es decir, la serie 1, 2, 3, .. 13) y la suma de los primeros 87 miembros de la progresión con el primer miembro, la diferencia (es decir, la serie 15,16,17, .. 101). Busquemos esta cantidad:
Es fácil ver que la suma resultante es más de 5120, lo que significa que cualquier suma de 100 números naturales diferentes, entre los cuales no hay 14, es más de 5120, por lo tanto, no se puede prescindir del número 14 en el tablero.
c) Suponga que todos los números del 1 al 100 están escritos en la pizarra. Entonces resulta que la serie resultante es una progresión aritmética con el primer término, la diferencia. Por la fórmula para la suma de una progresión aritmética, encontramos el suma de todos los números del tablero:
La cantidad recibida no satisface la condición del problema. Ahora, para aumentar la suma de todos los números escritos en la pizarra al indicado en la condición, intentaremos reemplazar los números que son múltiplos de 14 por otros números que siguen a la centena: 70 será reemplazado por 110, 84 por 104 y 98 por 108. La suma resultante S será igual a:
Con el reemplazo adicional de números que son múltiplos de 14 con números mayores que 100, la cantidad aumentará y no se corresponderá con la condición del problema. Entonces, el número más pequeño de múltiplos de 14 es 4.
Demos otra solución al punto c).
Pongamos un ejemplo, cuando en la pizarra hay cuatro números que son múltiplos de 14 (14, 28, 42, 56):
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Demostremos que no puede haber tres números que sean múltiplos de 14. Para eliminar el número máximo de números que son múltiplos de 14, es necesario que las diferencias entre los números nuevos y antiguos sean mínimas. Es decir, es necesario reemplazar los números más grandes, múltiplos de 14, por los más pequeños posibles, mayores que cien números. Deje que el número de múltiplos de 14 sea 3. Entonces, la suma mínima de los números escritos en la pizarra es:
La suma resultante es mayor que 5120. Si se reemplazan más números que son múltiplos de 14 por números mayores que 100, la cantidad aumentará, lo que significa que no puede haber menos de cuatro números en el tablero que sean múltiplos de 14.
A) No b) No c) 4.
