La función se llama impar. Funciones pares e impares. Periodo de la función. Extremos de la función

Estudio de funciones.

1) D(y) – Dominio de definición: el conjunto de todos aquellos valores de la variable x. para lo cual tienen sentido las expresiones algebraicas f(x) y g(x).

Si una función viene dada por una fórmula, entonces el dominio de definición consta de todos los valores de la variable independiente para los cuales la fórmula tiene sentido.

2) Propiedades de la función: par/impar, periodicidad:

Extraño Y incluso Se llaman funciones cuyas gráficas son simétricas con respecto a los cambios de signo del argumento.

Función impar- una función que cambia el valor al opuesto cuando cambia el signo de la variable independiente (simétrica con respecto al centro de coordenadas).

incluso función- una función que no cambia su valor cuando cambia el signo de la variable independiente (simétrica con respecto a la ordenada).

Ni función par ni impar (función vista general) - una función que no tiene simetría. Esta categoría incluye funciones que no se incluyen en las 2 categorías anteriores.

Las funciones que no pertenecen a ninguna de las categorías anteriores se denominan ni par ni impar(o funciones generales).

Funciones impares

Potencia impar donde es un número entero arbitrario.

funciones pares

Incluso el poder donde es un número entero arbitrario.

función periódica- una función que repite sus valores en algún intervalo de argumento regular, es decir, no cambia su valor cuando agrega algún número fijo distinto de cero al argumento ( período funciones) en todo el dominio de definición.

3) Los ceros (raíces) de una función son los puntos donde se vuelve cero.

Encontrar el punto de intersección del gráfico con el eje. Oye. Para hacer esto necesitas calcular el valor. F(0). Encuentra también los puntos de intersección de la gráfica con el eje. Buey, ¿por qué encontrar las raíces de la ecuación? F(X) = 0 (o asegúrese de que no haya raíces).

Los puntos en los que la gráfica intersecta al eje se llaman función ceros. Para encontrar los ceros de una función necesitas resolver la ecuación, es decir, encontrar esos significados de "x", en el que la función se vuelve cero.

4) Intervalos de constancia de signos, signos en ellos.

Intervalos donde la función f(x) mantiene signo.

El intervalo de constancia de signo es el intervalo. en cada punto del cual la función es positiva o negativa.

POR ENCIMA del eje x.

DEBAJO del eje.

5) Continuidad (puntos de discontinuidad, naturaleza de la discontinuidad, asíntotas).

Función continua- una función sin “saltos”, es decir, una en la que pequeños cambios en el argumento conducen a pequeños cambios en el valor de la función.

Puntos de ruptura extraíbles

Si el límite de la función existe, pero la función no está definida en este punto, o el límite no coincide con el valor de la función en este punto:

,

entonces el punto se llama punto de ruptura removible funciones (en análisis complejos, un punto singular removible).

Si “corregimos” la función en el punto de discontinuidad removible y ponemos , entonces obtenemos una función que es continua en un punto dado. Esta operación sobre una función se llama extendiendo la función a continua o redefinición de la función por continuidad, lo que justifica el nombre del punto como punto retirable ruptura.

Puntos de discontinuidad de primer y segundo tipo.

Si una función tiene una discontinuidad en un punto dado (es decir, el límite de la función en un punto dado está ausente o no coincide con el valor de la función en un punto dado), entonces para funciones numéricas hay dos opciones posibles asociado con la existencia de funciones numéricas límites unilaterales:

Si ambos límites unilaterales existen y son finitos, entonces ese punto se llama punto de discontinuidad de primer tipo. Los puntos de discontinuidad removibles son puntos de discontinuidad del primer tipo;

si al menos uno de los límites unilaterales no existe o no es un valor finito, entonces ese punto se llama punto de discontinuidad del segundo tipo.

Asíntota - derecho, que tiene la propiedad de que la distancia desde un punto de la curva a este derecho tiende a cero a medida que el punto se aleja a lo largo de la rama hasta el infinito.

Vertical

Asíntota vertical - línea límite .

Como regla general, al determinar la asíntota vertical, no se busca un límite, sino dos unilaterales (izquierda y derecha). Esto se hace para determinar cómo se comporta la función cuando se acerca a la asíntota vertical desde diferentes direcciones. Por ejemplo:

Horizontal

Asíntota horizontal - derecho especie, sujeta a la existencia límite

.

Inclinado

Asíntota oblicua - derecho especie, sujeta a la existencia límites

Nota: una función no puede tener más de dos asíntotas oblicuas (horizontales).

Nota: si al menos uno de los dos límites mencionados anteriormente no existe (o es igual a ), entonces la asíntota oblicua en (o ) no existe.

si está en el punto 2.), entonces , y el límite se encuentra usando la fórmula de asíntota horizontal, .

6) Encontrar intervalos de monotonicidad. Encuentra intervalos de monotonicidad de una función. F(X)(es decir, intervalos de aumento y decrecimiento). Esto se hace examinando el signo de la derivada. F(X). Para hacer esto, encuentre la derivada. F(X) y resuelve la desigualdad F(X)0. En intervalos donde se cumple esta desigualdad, la función F(X)aumenta. Donde se cumple la desigualdad inversa F(X)0, función F(X) está disminuyendo.

Encontrar un extremo local. Habiendo encontrado los intervalos de monotonicidad, podemos determinar inmediatamente los puntos extremos locales donde un aumento se reemplaza por una disminución, se ubican los máximos locales, y donde una disminución se reemplaza por un aumento, se ubican los mínimos locales. Calcula el valor de la función en estos puntos. Si una función tiene puntos críticos que no son puntos extremos locales, entonces también es útil calcular el valor de la función en esos puntos.

Encontrar los valores mayor y menor de la función y = f(x) en un segmento(continuación)

1. Encuentra la derivada de la función: F(X). 2. Encuentra los puntos en los que la derivada es cero: F(X)=0X 1, X 2 ,... 3. Determinar la afiliación de puntos. X 1 ,X 2 , … segmento [ a; b]: dejar X 1a;b, A X 2a;b .

incluso, si para todo \(x\) de su dominio de definición se cumple lo siguiente: \(f(-x)=f(x)\) .

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje \(y\):

Ejemplo: la función \(f(x)=x^2+\cos x\) es par, porque \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) La función \(f(x)\) se llama extraño, si para todo \(x\) de su dominio de definición se cumple lo siguiente: \(f(-x)=-f(x)\) .

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen:

Ejemplo: la función \(f(x)=x^3+x\) es impar porque \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Las funciones que no son ni pares ni impares se llaman funciones de forma general. Una función de este tipo siempre se puede representar de forma única como la suma de una función par y una impar.

Por ejemplo, la función \(f(x)=x^2-x\) es la suma de la función par \(f_1=x^2\) y la impar \(f_2=-x\).

\(\blacktriangleright\) Algunas propiedades:

1) El producto y cociente de dos funciones de la misma paridad - incluso función.

2) El producto y cociente de dos funciones de diferente paridad es una función impar.

3) Suma y diferencia de funciones pares - función par.

4) Suma y diferencia de funciones impares - función impar.

5) Si \(f(x)\) es una función par, entonces la ecuación \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) tiene una raíz única si y solo cuando \( x=0\) .

6) Si \(f(x)\) es una función par o impar, y la ecuación \(f(x)=0\) tiene raíz \(x=b\), entonces esta ecuación necesariamente tendrá una segunda raíz \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) La función \(f(x)\) se llama periódica en \(X\) si para algún número \(T\ne 0\) se cumple lo siguiente: \(f(x)=f( x+T) \) , donde \(x, x+T\in X\) . El \(T\) más pequeño para el cual se cumple esta igualdad se llama período principal (principal) de la función.

Una función periódica tiene cualquier número de la forma \(nT\) , donde \(n\in \mathbb(Z)\) también será un período.

Ejemplo: cualquiera Funcion trigonometrica es periódico;
para las funciones \(f(x)=\sin x\) y \(f(x)=\cos x\) periodo principal es igual a \(2\pi\), las funciones \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) y \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) tienen un período principal igual a \ (\pi\) .

Para construir una gráfica de una función periódica, puedes trazar su gráfica en cualquier segmento de longitud \(T\) (período principal); luego, la gráfica de toda la función se completa desplazando la parte construida un número entero de períodos hacia la derecha y hacia la izquierda:

\(\blacktriangleright\) El dominio \(D(f)\) de la función \(f(x)\) es un conjunto que consta de todos los valores del argumento \(x\) para los cuales la función tiene sentido (se define).

Ejemplo: la función \(f(x)=\sqrt x+1\) tiene un dominio de definición: \(x\in

Tarea 1 #6364

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

¿A qué valores del parámetro \(a\) la ecuación

Tiene única decisión?

Tenga en cuenta que dado que \(x^2\) y \(\cos x\) son funciones pares, si la ecuación tiene una raíz \(x_0\) , también tendrá una raíz \(-x_0\) .
De hecho, sea \(x_0\) una raíz, es decir, la igualdad \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) bien. Sustituyamos \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Por lo tanto, si \(x_0\ne 0\) , entonces la ecuación ya tendrá al menos dos raíces. Por lo tanto, \(x_0=0\) . Entonces:

Recibimos dos valores para el parámetro \(a\) . Tenga en cuenta que utilizamos el hecho de que \(x=0\) es exactamente la raíz de la ecuación original. Pero nunca usamos el hecho de que él es el único. Por lo tanto, debe sustituir los valores resultantes del parámetro \(a\) en la ecuación original y verificar para qué \(a\) específico la raíz \(x=0\) será realmente única.

1) Si \(a=0\) , entonces la ecuación tomará la forma \(2x^2=0\) . Obviamente, esta ecuación tiene una sola raíz \(x=0\) . Por tanto, el valor \(a=0\) nos conviene.

2) Si \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , entonces la ecuación tomará la forma \ Reescribamos la ecuación en la forma \ Porque \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Eso \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). En consecuencia, los valores del lado derecho de la ecuación (*) pertenecen al segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Dado que \(x^2\geqslant 0\) , entonces el lado izquierdo de la ecuación (*) es mayor o igual a \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Por lo tanto, la igualdad (*) solo puede ser verdadera cuando ambos lados de la ecuación son iguales a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Y esto significa que \[\begin(casos) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Por lo tanto, el valor \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nos conviene.

Respuesta:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tarea 2 #3923

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la gráfica de la función \

simétrico respecto al origen.

Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al origen, entonces dicha función es impar, es decir, \(f(-x)=-f(x)\) es válida para cualquier \(x\) del dominio de definición de la función. Por lo tanto, es necesario encontrar aquellos valores de parámetros para los cuales \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(alineado) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(alineado)\]

La última ecuación debe satisfacerse para todo \(x\) del dominio de \(f(x)\), por lo tanto, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Respuesta:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tarea 3 #3069

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \ tiene 4 soluciones, donde \(f\) es una función periódica par con período \(T=\dfrac(16)3\) definido en toda la recta numérica, y \(f(x)=ax^2\) para \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tarea de los suscriptores)

Dado que \(f(x)\) es una función par, su gráfica es simétrica con respecto al eje de ordenadas, por lo tanto, cuando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Así, cuando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), y este es un segmento de longitud \(\dfrac(16)3\) , función \(f(x)=ax^2\) .

1) Sea \(a>0\) . Entonces la gráfica de la función \(f(x)\) se verá así:


Entonces, para que la ecuación tenga 4 soluciones, es necesario que la gráfica \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) pase por el punto \(A\) :


Por eso, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(alineado)\end(reunido)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(alineados) \end( reunidos)\right.\] Dado que \(a>0\) , entonces \(a=\dfrac(18)(23)\) es adecuado.

2) Sea \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Es necesario que la gráfica \(g(x)\) pase por el punto \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(alineado) \end(reunido)\right.\] Desde un<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) El caso en el que \(a=0\) no es adecuado, ya que \(f(x)=0\) para todos \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) y el La ecuación tendrá solo 1 raíz.

Respuesta:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Tarea 4 #3072

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

Encuentre todos los valores de \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \

tiene al menos una raíz.

(Tarea de los suscriptores)

Reescribamos la ecuación en la forma \ y considere dos funciones: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) y \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
La función \(g(x)\) es par y tiene un punto mínimo \(x=0\) (y \(g(0)=49\) ).
La función \(f(x)\) para \(x>0\) es decreciente, y para \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
De hecho, cuando \(x>0\) el segundo módulo se abrirá positivamente (\(|x|=x\) ), por lo tanto, independientemente de cómo se abrirá el primer módulo, \(f(x)\) será igual a \( kx+A\) , donde \(A\) es la expresión de \(a\) y \(k\) es igual a \(-9\) o \(-3\) . Cuando \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Encontremos el valor de \(f\) en el punto máximo: \

Para que la ecuación tenga al menos una solución, es necesario que las gráficas de las funciones \(f\) y \(g\) tengan al menos un punto de intersección. Por lo tanto, necesitas: \ \\]

Respuesta:

\(a\en \(-7\)\taza\)

Tarea 5 #3912

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \

Tiene seis soluciones diferentes.

Hagamos el reemplazo \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Entonces la ecuación tomará la forma \ Gradualmente escribiremos las condiciones bajo las cuales la ecuación original tendrá seis soluciones.
Tenga en cuenta que la ecuación cuadrática \((*)\) puede tener un máximo de dos soluciones. Cualquier ecuación cúbica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) no puede tener más de tres soluciones. Por lo tanto, si la ecuación \((*)\) tiene dos soluciones diferentes (¡positiva!, ya que \(t\) debe ser mayor que cero) \(t_1\) y \(t_2\) , entonces haciendo la sustitución inversa , obtenemos: \[\left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(alineado)\end(reunido)\right.\] Dado que cualquier número positivo se puede representar como \(\sqrt2\) hasta cierto punto, por ejemplo, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), entonces la primera ecuación del conjunto se reescribirá en la forma \ Como ya hemos dicho, cualquier ecuación cúbica no tiene más de tres soluciones, por lo tanto, cada ecuación del conjunto no tendrá más de tres soluciones. Esto significa que todo el conjunto no tendrá más de seis soluciones.
Esto significa que para que la ecuación original tenga seis soluciones, la ecuación cuadrática \((*)\) debe tener dos soluciones diferentes, y cada ecuación cúbica resultante (del conjunto) debe tener tres soluciones diferentes (y no una sola solución de una ecuación debe coincidir con cualquiera -¡por decisión de la segunda!)
Obviamente, si la ecuación cuadrática \((*)\) tiene una solución, entonces no obtendremos seis soluciones a la ecuación original.

De esta forma, el plan de solución queda claro. Anotemos punto por punto las condiciones que se deben cumplir.

1) Para que la ecuación \((*)\) tenga dos soluciones diferentes, su discriminante debe ser positivo: \

2) También es necesario que ambas raíces sean positivas (ya que \(t>0\) ). Si el producto de dos raíces es positivo y su suma es positiva, entonces las raíces mismas serán positivas. Por lo tanto, necesitas: \[\begin(casos) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(casos)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Por lo tanto, ya nos hemos provisto de dos raíces positivas diferentes \(t_1\) y \(t_2\) .

3) Veamos esta ecuación \ ¿Para qué \(t\) tendrá tres soluciones diferentes?
Considere la función \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Se puede factorizar: \ Por tanto, sus ceros son: \(x=-1;2\) .
Si encontramos la derivada \(f"(x)=3x^2-6x\) , entonces obtenemos dos puntos extremos \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Por tanto, el gráfico queda así:


Vemos que cualquier recta horizontal \(y=k\) , donde \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2)t\) tenía tres soluciones diferentes, es necesario que \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Por tanto, necesitas: \[\begin(casos) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notemos también inmediatamente que si los números \(t_1\) y \(t_2\) son diferentes, entonces los números \(\log_(\sqrt2)t_1\) y \(\log_(\sqrt2)t_2\) serán diferente, lo que significa que las ecuaciones \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Y \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) tendrán raíces diferentes.
El sistema \((**)\) se puede reescribir de la siguiente manera: \[\begin(casos) 1

Por lo tanto, hemos determinado que ambas raíces de la ecuación \((*)\) deben estar en el intervalo \((1;4)\). ¿Cómo escribir esta condición?
No escribiremos las raíces explícitamente.
Considere la función \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Su gráfica es una parábola con ramas hacia arriba, que tiene dos puntos de intersección con el eje x (escribimos esta condición en el párrafo 1)). ¿Cómo debería verse su gráfica para que los puntos de intersección con el eje x estén en el intervalo \((1;4)\)? Entonces:


En primer lugar, los valores \(g(1)\) y \(g(4)\) de la función en los puntos \(1\) y \(4\) deben ser positivos, y en segundo lugar, el vértice de la la parábola \(t_0\ ) también debe estar en el intervalo \((1;4)\) . Por tanto, podemos escribir el sistema: \[\begin(casos) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) siempre tiene al menos una raíz \(x=0\) . Esto significa que para cumplir las condiciones del problema es necesario que la ecuación \

tenía cuatro raíces distintas, distintas de cero, que representaban, junto con \(x=0\), una progresión aritmética.

Tenga en cuenta que la función \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) es par, lo que significa que si \(x_0\) es la raíz de la ecuación \( (*)\ ) , entonces \(-x_0\) también será su raíz. Entonces es necesario que las raíces de esta ecuación sean números ordenados en orden ascendente: \(-2d, -d, d, 2d\) (luego \(d>0\)). Es entonces cuando estos cinco números formarán una progresión aritmética (con la diferencia \(d\)).

Para que estas raíces sean los números \(-2d, -d, d, 2d\) , es necesario que los números \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) sean las raíces de la ecuación \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Entonces, según el teorema de Vieta:

Reescribamos la ecuación en la forma \ y considere dos funciones: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) y \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
La función \(g(x)\) tiene un punto máximo \(x=0\) (y \(g_(\text(arriba))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivada cero: \(x=0\) . Cuando \(x<0\) имеем: \(g">0\), para \(x>0\): \(g"<0\) .
La función \(f(x)\) para \(x>0\) es creciente, y para \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
De hecho, cuando \(x>0\) el primer módulo se abrirá positivamente (\(|x|=x\)), por lo tanto, independientemente de cómo se abrirá el segundo módulo, \(f(x)\) será igual a \( kx+A\) , donde \(A\) es la expresión de \(a\) , y \(k\) es igual a \(13-10=3\) o \(13+10 =23\) . Cuando \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Encontremos el valor de \(f\) en el punto mínimo: \

Para que la ecuación tenga al menos una solución, es necesario que las gráficas de las funciones \(f\) y \(g\) tengan al menos un punto de intersección. Por lo tanto, necesitas: \ Resolviendo este conjunto de sistemas, obtenemos la respuesta: \\]

Respuesta:

\(a\en \(-2\)\taza\)

La dependencia de una variable y de una variable x, en la que cada valor de x corresponde a un único valor de y se llama función. Para la designación utilice la notación y=f(x). Cada función tiene una serie de propiedades básicas, como monotonicidad, paridad, periodicidad y otras.

Eche un vistazo más de cerca a la propiedad de paridad.

Se llama a una función y=f(x) incluso si satisface las dos condiciones siguientes:

2. El valor de la función en el punto x, perteneciente al dominio de definición de la función, debe ser igual al valor de la función en el punto -x. Es decir, para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = f(-x).

Gráfica de una función par

Si trazas la gráfica de una función par, será simétrica con respecto al eje Oy.

Por ejemplo, la función y=x^2 es par. Vamos a ver. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.

Tomemos un x=3 arbitrario. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Por lo tanto f(x) = f(-x). Por tanto, se cumplen ambas condiciones, lo que significa que la función es par. A continuación se muestra una gráfica de la función y=x^2.

La figura muestra que la gráfica es simétrica con respecto al eje Oy.

Gráfica de una función impar

Una función y=f(x) se llama impar si satisface las dos condiciones siguientes:

1. El dominio de definición de una función dada debe ser simétrico con respecto al punto O. Es decir, si algún punto a pertenece al dominio de definición de la función, entonces el punto correspondiente -a también debe pertenecer al dominio de definición. de la función dada.

2. Para cualquier punto x, se debe satisfacer la siguiente igualdad desde el dominio de definición de la función: f(x) = -f(x).

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al punto O, el origen de las coordenadas. Por ejemplo, la función y=x^3 es impar. Vamos a ver. El dominio de definición es todo el eje numérico, lo que significa que es simétrico con respecto al punto O.

Tomemos un x=2 arbitrario. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Por lo tanto f(x) = -f(x). Por tanto, se cumplen ambas condiciones, lo que significa que la función es impar. A continuación se muestra una gráfica de la función y=x^3.

La figura muestra claramente que la función impar y=x^3 es simétrica con respecto al origen.

Que te resultaban familiares en un grado u otro. Allí también se señaló que el stock de propiedades funcionales se irá reponiendo gradualmente. En esta sección se analizarán dos nuevas propiedades.

Definición 1.

La función y = f(x), x є X, se llama incluso si para cualquier valor x del conjunto X se cumple la igualdad f (-x) = f (x).

Definición 2.

La función y = f(x), x є X, se llama impar si para cualquier valor x del conjunto X se cumple la igualdad f (-x) = -f (x).

Demuestre que y = x 4 es una función par.

Solución. Tenemos: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Pero(-x) 4 = x 4. Esto significa que para cualquier x se cumple la igualdad f(-x) = f(x), es decir la función es par.

De manera similar, se puede demostrar que las funciones y - x 2, y = x 6, y - x 8 son pares.

Demuestre que y = x 3 ~ una función impar.

Solución. Tenemos: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Pero (-x) 3 = -x 3. Esto significa que para cualquier x se cumple la igualdad f (-x) = -f (x), es decir la función es impar.

De manera similar, se puede demostrar que las funciones y = x, y = x 5, y = x 7 son impares.

Usted y yo ya nos hemos convencido más de una vez de que los nuevos términos en matemáticas suelen tener un origen "terrenal", es decir, se pueden explicar de alguna manera. Este es el caso tanto de funciones pares como impares. Ver: y - x 3, y = x 5, y = x 7 son funciones impares, mientras que y = x 2, y = x 4, y = x 6 son funciones pares. Y en general, para cualquier función de la forma y = x" (a continuación estudiaremos específicamente estas funciones), donde n es un número natural, podemos concluir: si n es un número impar, entonces la función y = x" es extraño; Si n es un número par, entonces la función y = xn es par.

También hay funciones que no son ni pares ni impares. Tal es, por ejemplo, la función y = 2x + 3. De hecho, f(1) = 5, y f (-1) = 1. Como puede ver, aquí, por lo tanto, ni la identidad f(-x) = f ( x), ni la identidad f(-x) = -f(x).

Entonces, una función puede ser par, impar o ninguna de las dos cosas.

El estudio de si una función dada es par o impar suele denominarse estudio de la paridad.

Las definiciones 1 y 2 se refieren a los valores de la función en los puntos x y -x. Esto supone que la función está definida tanto en el punto x como en el punto -x. Esto significa que el punto -x pertenece al dominio de definición de la función simultáneamente con el punto x. Si un conjunto numérico X, junto con cada uno de sus elementos x, también contiene el elemento opuesto -x, entonces X se llama conjunto simétrico. Digamos que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) son conjuntos simétricos, mientras que )