Función par o impar. Funciones pares e impares

Una función se llama par (impar) si es para cualquiera y la igualdad

.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje.
.

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo 6.2. Examinar si una función es par o impar

1)
; 2)
; 3)
.

Solución.

1) La función se define cuando
. Lo encontraremos
.

Aquellos.
. Medio, esta función incluso.

2) La función se define cuando

Aquellos.
. Por tanto, esta función es impar.

3) la función está definida para , es decir Para

,
. Por tanto la función no es par ni impar. Llamémosla función de forma general.

3. Estudio de la función de monotonicidad.

Función
se llama creciente (decreciente) en un cierto intervalo si en este intervalo cada valor mas alto El argumento corresponde a un valor mayor (menor) de la función.

Las funciones que aumentan (disminuyen) durante un cierto intervalo se denominan monótonas.

Si la función
diferenciable en el intervalo
y tiene una derivada positiva (negativa)
, entonces la función
aumenta (disminuye) durante este intervalo.

Ejemplo 6.3. Encuentra intervalos de monotonicidad de funciones.

1)
; 3)
.

Solución.

1) Esta función está definida en toda la recta numérica. Encontremos la derivada.

La derivada es igual a cero si
Y
. El dominio de definición es el eje numérico, dividido por puntos.
,
a intervalos. Determinemos el signo de la derivada en cada intervalo.

en el intervalo
la derivada es negativa, la función disminuye en este intervalo.

en el intervalo
la derivada es positiva, por lo tanto, la función aumenta en este intervalo.

2) Esta función se define si
o

.

Determinamos el signo del trinomio cuadrático en cada intervalo.

Por tanto, el dominio de definición de la función.

Encontremos la derivada
,
, Si
, es decir.
, Pero
. Determinemos el signo de la derivada en los intervalos.
.

en el intervalo
la derivada es negativa, por lo tanto, la función disminuye en el intervalo
. en el intervalo
la derivada es positiva, la función aumenta en el intervalo
.

4. Estudio de la función en el extremo.

Punto
llamado punto máximo (mínimo) de la función
, si existe tal vecindad del punto eso es para todos
de este barrio se mantiene la desigualdad

.

Los puntos máximo y mínimo de una función se llaman puntos extremos.

Si la función
en el punto tiene un extremo, entonces la derivada de la función en este punto es igual a cero o no existe (una condición necesaria para la existencia de un extremo).

Los puntos en los que la derivada es cero o no existe se denominan críticos.

5. Condiciones suficientes para la existencia de un extremo.

Regla 1. Si durante la transición (de izquierda a derecha) a través del punto crítico derivado
cambia de signo de “+” a “–”, luego en el punto función
tiene un máximo; si de “–” a “+”, entonces el mínimo; Si
no cambia de signo, entonces no hay extremo.

Regla 2. dejar en el punto
primera derivada de una función
igual a cero
, y la segunda derivada existe y es distinta de cero. Si
, Eso – punto máximo, si
, Eso – punto mínimo de la función.

Ejemplo 6.4 . Explore las funciones máxima y mínima:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Solución.

1) La función está definida y es continua en el intervalo.
.

Encontremos la derivada
y resuelve la ecuación
, es decir.
.De aquí
- puntos críticos.

Determinemos el signo de la derivada en los intervalos ,
.

Al pasar por puntos
Y
la derivada cambia de signo de “-” a “+”, por lo tanto, según la regla 1
– puntos mínimos.

Al pasar por un punto
la derivada cambia de signo de “+” a “–”, por lo que
– punto máximo.

,
.

2) La función está definida y es continua en el intervalo.
. Encontremos la derivada
.

Habiendo resuelto la ecuación
, lo encontraremos
Y
- puntos críticos. Si el denominador
, es decir.
, entonces la derivada no existe. Entonces,
– tercer punto crítico. Determinemos el signo de la derivada en intervalos.

Por lo tanto, la función tiene un mínimo en el punto
, máximo en puntos
Y
.

3) Una función es definida y continua si
, es decir. en
.

Encontremos la derivada

.

Encontremos puntos críticos:

Barrios de puntos
no pertenecen al dominio de la definición, por lo tanto no son extremos. Entonces, examinemos los puntos críticos.
Y
.

4) La función está definida y es continua en el intervalo.
. Usemos la regla 2. Encuentra la derivada.
.

Encontremos puntos críticos:

Encontremos la segunda derivada.
y determinar su signo en los puntos

En puntos
La función tiene un mínimo.

En puntos
la función tiene un máximo.

Las gráficas de funciones pares e impares tienen las siguientes características:

Si una función es par, entonces su gráfica es simétrica con respecto a la ordenada. Si una función es impar, entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.

Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=\left|x \right|\).

Solución. Considere la función: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) y sustituya el opuesto \(-x \) en lugar de \(x \). Como resultado de transformaciones simples obtenemos: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ En otros Es decir, si reemplaza el argumento con el signo opuesto, la función no cambiará.

Esto significa que esta función es par y su gráfica será simétrica con respecto al eje de ordenadas (eje vertical). La gráfica de esta función se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que al construir un gráfico, solo puedes dibujar la mitad y la segunda parte (a la izquierda del eje vertical, dibuja simétricamente a la parte derecha). Al determinar la simetría de una función antes de comenzar a trazar su gráfica, puedes simplificar enormemente el proceso de construir o estudiar la función. Si te resulta difícil realizar una comprobación en forma general, puedes hacerlo de forma más sencilla: sustituye en la ecuación mismos valores diferentes signos. Por ejemplo -5 y 5. Si los valores de la función resultan ser iguales, entonces podemos esperar que la función sea par. Desde un punto de vista matemático, este enfoque no es del todo correcto, pero desde un punto de vista práctico es conveniente. Para aumentar la confiabilidad del resultado, puede sustituir varios pares de valores opuestos.

Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=x\left|x \right|\).

Solución. Comprobemos lo mismo que en el ejemplo anterior: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Esto significa que la función original es impar (el signo de la función ha cambiado al opuesto).

Conclusión: la función es simétrica con respecto al origen. Puedes construir solo la mitad y dibujar la segunda simétricamente. Este tipo de simetría es más difícil de trazar. Esto significa que estás mirando el gráfico desde el otro lado de la hoja, e incluso al revés. O puedes hacer esto: toma la parte dibujada y gírala alrededor del origen 180 grados en sentido antihorario.

Ejemplo. Construye una gráfica de la función \(y=x^3+x^2\).

Solución. Realicemos la misma verificación de cambio de signo que en los dos ejemplos anteriores. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ Como resultado, obtenemos que: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Y esto significa que la función no es par ni impar.

Conclusión: la función no es simétrica ni con respecto al origen ni al centro del sistema de coordenadas. Esto sucedió porque es la suma de dos funciones: par e impar. La misma situación ocurrirá si restamos dos diferentes funciones. Pero la multiplicación o división conducirá a un resultado diferente. Por ejemplo, el producto de una función par y una impar produce una función impar. O el cociente de dos números impares da como resultado una función par.

De vuelta atras

¡Atención! Avance Las diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Objetivos:

• formar el concepto de paridad y rareza de una función, enseñar la capacidad de determinar y utilizar estas propiedades cuando investigación de funciones, Graficado;
• desarrollar la actividad creativa de los estudiantes, pensamiento lógico, capacidad de comparar, generalizar;
• cultivar el trabajo duro y la cultura matemática; desarrollar habilidades de comunicación .

Equipo: instalación multimedia, pizarra interactiva, folletos.

Formas de trabajo: frontal y grupal con elementos de actividades de búsqueda e investigación.

Fuentes de información:

1. Álgebra novena clase A.G. Mordkovich. Libro de texto.
2. Álgebra noveno grado A.G. Mordkovich. Libro de problemas.
3. Álgebra noveno grado. Tareas para el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE LAS CLASES

1. Momento organizacional

Establecer metas y objetivos para la lección.

2. revisando la tarea

No. 10.17 (libro de problemas de noveno grado. A.G. Mordkovich).

A) en = F(X), F(X) =

b) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2. mi( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 en X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La función aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La función está limitada desde abajo.
7. en naím = – 3, en naib no existe
8. La función es continua.

(¿Ha utilizado un algoritmo de exploración de funciones?) Deslizar.

2. Revisemos la tabla que se le pidió en la diapositiva.

Llena la mesa
	Dominio	Ceros de función	Intervalos de constancia de signos.		Coordenadas de los puntos de intersección del gráfico con Oy.
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizando conocimientos

– Se dan funciones.
– Especificar el alcance de la definición de cada función.
– Compare el valor de cada función para cada par de valores de argumento: 1 y – 1; 2 y – 2.
– ¿Para cuál de estas funciones en el dominio de definición se cumplen las igualdades? F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (ingrese los datos obtenidos en la tabla) Deslizar

		F(1) y F(– 1)	F(2) y F(– 2)	gráficos	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		y no definido

4. Nuevo material

– Realización este trabajo Chicos, hemos identificado otra propiedad de la función, que no les resulta familiar, pero no menos importante que las demás: la uniformidad y la imparidad de la función. Escriba el tema de la lección: "Funciones pares e impares", nuestra tarea es aprender a determinar la uniformidad y la imparidad de una función, descubrir el significado de esta propiedad en el estudio de funciones y trazar gráficas.
Entonces, busquemos las definiciones en el libro de texto y leamos (pág. 110) . Deslizar

Def. 1 Función en = F (X), definido en el conjunto X se llama incluso, si por algún valor XЄ X se ejecuta igualdad f(–x)= f(x). Dar ejemplos.

Def. 2 Función y = f(x), definido en el conjunto X se llama extraño, si por algún valor XЄ X se cumple la igualdad f(–х)= –f(х). Dar ejemplos.

¿Dónde encontramos los términos "par" e "impar"?
¿Cuál de estas funciones crees que será par? ¿Por qué? ¿Cuáles son extraños? ¿Por qué?
Para cualquier función de la forma en= xn, Dónde norte– un número entero, se puede argumentar que la función es impar cuando norte– impar y la función es par cuando norte- incluso.
– Ver funciones en= y en = 2X– 3 no son ni pares ni impares, porque las igualdades no se satisfacen F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

El estudio de si una función es par o impar se llama estudio de la paridad de una función. Deslizar

En las definiciones 1 y 2 estábamos hablando de los valores de la función en x y – x, por lo que se supone que la función también está definida en el valor X, y en – X.

Def 3. Si un conjunto numérico, junto con cada uno de sus elementos x, también contiene el elemento opuesto –x, entonces el conjunto X llamado conjunto simétrico.

Ejemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) son conjuntos simétricos y , [–5;4] son ​​asimétricos.

– ¿Las funciones pares tienen un dominio de definición que es un conjunto simétrico? ¿Los raros?
– Si D( F) es un conjunto asimétrico, entonces ¿cuál es la función?
– Así, si la función en = F(X) – par o impar, entonces su dominio de definición es D( F) es un conjunto simétrico. ¿Es cierta la afirmación inversa: si el dominio de definición de una función es un conjunto simétrico, entonces es par o impar?
– Esto significa que la presencia de un conjunto simétrico del dominio de definición es una condición necesaria, pero no suficiente.
– Entonces, ¿cómo se examina la paridad de una función? Intentemos crear un algoritmo.

Deslizar

Algoritmo para estudiar una función de paridad.

1. Determinar si el dominio de definición de la función es simétrico. Si no, entonces la función no es par ni impar. En caso afirmativo, vaya al paso 2 del algoritmo.

2. Escribe una expresión para F(–X).

3. Comparar F(–X).Y F(X):

• Si F(–X).= F(X), entonces la función es par;
• Si F(–X).= – F(X), entonces la función es impar;
• Si F(–X) ≠ F(X) Y F(–X) ≠ –F(X), entonces la función no es par ni impar.

Ejemplos:

Examinar la función a) para determinar la paridad en=x5+; b) en= ; V) en= .

Solución.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => función h(x)= x 5 + impar.

segundo) y =,

en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), un conjunto asimétrico, lo que significa que la función no es ni par ni impar.

V) F(X) = , y = f (x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opcion 2

1. ¿Es simétrico el conjunto dado: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7)?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Examine la función de paridad:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. En la figura. se ha construido un gráfico en = F(X), para todos X, satisfaciendo la condición X? 0.
Grafica la función en = F(X), Si en = F(X) es una función par.

3. En la figura. se ha construido un gráfico en = F(X), para todo x que cumpla la condición x? 0.
Grafica la función en = F(X), Si en = F(X) es una función impar.

Control mutuo deslizar.

6. Tarea: №11.11, 11.21,11.22;

Prueba del significado geométrico de la propiedad de paridad.

***(Asignación de la opción Examen Unificado del Estado).

1. La función impar y = f(x) se define en toda la recta numérica. Para cualquier valor no negativo de la variable x, el valor de esta función coincide con el valor de la función g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Encuentra el valor de la función h( X) = en X = 3.

7. Resumiendo

incluso, si para todo \(x\) de su dominio de definición se cumple lo siguiente: \(f(-x)=f(x)\) .

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje \(y\):

Ejemplo: la función \(f(x)=x^2+\cos x\) es par, porque \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) La función \(f(x)\) se llama extraño, si para todo \(x\) de su dominio de definición se cumple lo siguiente: \(f(-x)=-f(x)\) .

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen:

Ejemplo: la función \(f(x)=x^3+x\) es impar porque \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Las funciones que no son ni pares ni impares se llaman funciones vista general. Una función de este tipo siempre se puede representar de forma única como la suma de una función par y una impar.

Por ejemplo, la función \(f(x)=x^2-x\) es la suma de la función par \(f_1=x^2\) y la impar \(f_2=-x\).

\(\blacktriangleright\) Algunas propiedades:

1) El producto y cociente de dos funciones de la misma paridad - incluso función.

2) El producto y cociente de dos funciones de diferente paridad - Función impar.

3) Suma y diferencia de funciones pares - función par.

4) Suma y diferencia de funciones impares - función impar.

5) Si \(f(x)\) es una función par, entonces la ecuación \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) tiene una raíz única si y solo cuando \( x=0\) .

6) Si \(f(x)\) es una función par o impar, y la ecuación \(f(x)=0\) tiene raíz \(x=b\), entonces esta ecuación necesariamente tendrá una segunda raíz \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) La función \(f(x)\) se llama periódica en \(X\) si para algún número \(T\ne 0\) se cumple lo siguiente: \(f(x)=f( x+T) \) , donde \(x, x+T\in X\) . El \(T\) más pequeño para el cual se cumple esta igualdad se llama período principal (principal) de la función.

Una función periódica tiene cualquier número de la forma \(nT\) , donde \(n\in \mathbb(Z)\) también será un período.

Ejemplo: cualquiera Funcion trigonometrica es periódico;
para las funciones \(f(x)=\sin x\) y \(f(x)=\cos x\) periodo principal es igual a \(2\pi\), las funciones \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) y \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) tienen un período principal igual a \ (\pi\) .

Para construir una gráfica de una función periódica, puedes trazar su gráfica en cualquier segmento de longitud \(T\) (período principal); luego, la gráfica de toda la función se completa desplazando la parte construida un número entero de períodos hacia la derecha y hacia la izquierda:

\(\blacktriangleright\) El dominio \(D(f)\) de la función \(f(x)\) es un conjunto que consta de todos los valores del argumento \(x\) para los cuales la función tiene sentido (se define).

Ejemplo: la función \(f(x)=\sqrt x+1\) tiene un dominio de definición: \(x\in

Tarea 1 #6364

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

¿A qué valores del parámetro \(a\) la ecuación

Tiene única decisión?

Tenga en cuenta que dado que \(x^2\) y \(\cos x\) son funciones pares, si la ecuación tiene una raíz \(x_0\) , también tendrá una raíz \(-x_0\) .
De hecho, sea \(x_0\) una raíz, es decir, la igualdad \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) bien. Sustituyamos \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Por lo tanto, si \(x_0\ne 0\) , entonces la ecuación ya tendrá al menos dos raíces. Por lo tanto, \(x_0=0\) . Entonces:

Recibimos dos valores para el parámetro \(a\) . Tenga en cuenta que utilizamos el hecho de que \(x=0\) es exactamente la raíz de la ecuación original. Pero nunca usamos el hecho de que él es el único. Por lo tanto, debe sustituir los valores resultantes del parámetro \(a\) en la ecuación original y verificar para qué \(a\) específico la raíz \(x=0\) será realmente única.

1) Si \(a=0\) , entonces la ecuación tomará la forma \(2x^2=0\) . Obviamente, esta ecuación tiene una sola raíz \(x=0\) . Por tanto, el valor \(a=0\) nos conviene.

2) Si \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , entonces la ecuación tomará la forma \ Reescribamos la ecuación en la forma \ Porque \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Eso \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). En consecuencia, los valores del lado derecho de la ecuación (*) pertenecen al segmento \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Dado que \(x^2\geqslant 0\) , entonces el lado izquierdo de la ecuación (*) es mayor o igual a \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Por lo tanto, la igualdad (*) solo puede ser verdadera cuando ambos lados de la ecuación son iguales a \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Y esto significa que \[\begin(casos) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Por lo tanto, el valor \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nos conviene.

Respuesta:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tarea 2 #3923

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la gráfica de la función \

simétrico respecto al origen.

Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al origen, entonces dicha función es impar, es decir, \(f(-x)=-f(x)\) es válida para cualquier \(x\) del dominio de definición de la función. Por lo tanto, es necesario encontrar aquellos valores de parámetros para los cuales \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(alineado) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(alineado)\]

La última ecuación debe satisfacerse para todo \(x\) del dominio de \(f(x)\), por lo tanto, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Respuesta:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tarea 3 #3069

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \ tiene 4 soluciones, donde \(f\) es una función periódica par con período \(T=\dfrac(16)3\) definido en toda la recta numérica, y \(f(x)=ax^2\) para \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tarea de los suscriptores)

Dado que \(f(x)\) es una función par, su gráfica es simétrica con respecto al eje de ordenadas, por lo tanto, cuando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Así, cuando \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), y este es un segmento de longitud \(\dfrac(16)3\) , función \(f(x)=ax^2\) .

1) Sea \(a>0\) . Entonces la gráfica de la función \(f(x)\) se verá así:


Entonces, para que la ecuación tenga 4 soluciones, es necesario que la gráfica \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) pase por el punto \(A\) :


Por eso, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(alineado)\end(reunido)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(alineados) \end( reunidos)\right.\] Dado que \(a>0\) , entonces \(a=\dfrac(18)(23)\) es adecuado.

2) Sea \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Es necesario que la gráfica \(g(x)\) pase por el punto \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(alineado) \end(reunido)\right.\] Desde un<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) El caso en el que \(a=0\) no es adecuado, ya que \(f(x)=0\) para todos \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) y el La ecuación tendrá solo 1 raíz.

Respuesta:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Tarea 4 #3072

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

Encuentre todos los valores de \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \

tiene al menos una raíz.

(Tarea de los suscriptores)

Reescribamos la ecuación en la forma \ y considere dos funciones: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) y \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
La función \(g(x)\) es par y tiene un punto mínimo \(x=0\) (y \(g(0)=49\) ).
La función \(f(x)\) para \(x>0\) es decreciente, y para \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
De hecho, cuando \(x>0\) el segundo módulo se abrirá positivamente (\(|x|=x\) ), por lo tanto, independientemente de cómo se abrirá el primer módulo, \(f(x)\) será igual a \( kx+A\) , donde \(A\) es la expresión de \(a\) y \(k\) es igual a \(-9\) o \(-3\) . Cuando \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Encontremos el valor de \(f\) en el punto máximo: \

Para que la ecuación tenga al menos una solución, es necesario que las gráficas de las funciones \(f\) y \(g\) tengan al menos un punto de intersección. Por lo tanto, necesitas: \ \\]

Respuesta:

\(a\en \(-7\)\taza\)

Tarea 5 #3912

Nivel de tarea: igual al examen estatal unificado

Encuentre todos los valores del parámetro \(a\) , para cada uno de los cuales la ecuación \

Tiene seis soluciones diferentes.

Hagamos el reemplazo \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Entonces la ecuación tomará la forma \ Gradualmente escribiremos las condiciones bajo las cuales la ecuación original tendrá seis soluciones.
Tenga en cuenta que la ecuación cuadrática \((*)\) puede tener un máximo de dos soluciones. Cualquier ecuación cúbica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) no puede tener más de tres soluciones. Por lo tanto, si la ecuación \((*)\) tiene dos soluciones diferentes (¡positiva!, ya que \(t\) debe ser mayor que cero) \(t_1\) y \(t_2\) , entonces, haciendo lo contrario sustitución, obtenemos: \[\left[\begin(reunidos)\begin(alineados) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(alineado)\end(reunido)\right.\] Dado que cualquier número positivo se puede representar como \(\sqrt2\) hasta cierto punto, por ejemplo, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), entonces la primera ecuación del conjunto se reescribirá en la forma \ Como ya hemos dicho, cualquier ecuación cúbica no tiene más de tres soluciones, por lo tanto, cada ecuación del conjunto no tendrá más de tres soluciones. Esto significa que todo el conjunto no tendrá más de seis soluciones.
Esto significa que para que la ecuación original tenga seis soluciones, la ecuación cuadrática \((*)\) debe tener dos soluciones diferentes, y cada ecuación cúbica resultante (del conjunto) debe tener tres soluciones diferentes (y no una sola solución de una ecuación debe coincidir con cualquiera -¡por decisión de la segunda!)
Obviamente, si la ecuación cuadrática \((*)\) tiene una solución, entonces no obtendremos seis soluciones a la ecuación original.

De esta forma, el plan de solución queda claro. Anotemos punto por punto las condiciones que se deben cumplir.

1) Para que la ecuación \((*)\) tenga dos soluciones diferentes, su discriminante debe ser positivo: \

2) También es necesario que ambas raíces sean positivas (ya que \(t>0\) ). Si el producto de dos raíces es positivo y su suma es positiva, entonces las raíces mismas serán positivas. Por lo tanto, necesitas: \[\begin(casos) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(casos)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Por lo tanto, ya nos hemos provisto de dos raíces positivas diferentes \(t_1\) y \(t_2\) .

3) Veamos esta ecuación \ ¿Para qué \(t\) tendrá tres soluciones diferentes?
Considere la función \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Se puede factorizar: \ Por tanto, sus ceros son: \(x=-1;2\) .
Si encontramos la derivada \(f"(x)=3x^2-6x\) , entonces obtenemos dos puntos extremos \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Por tanto, el gráfico queda así:


Vemos que cualquier recta horizontal \(y=k\) , donde \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2)t\) tenía tres soluciones diferentes, es necesario que \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Por tanto, necesitas: \[\begin(casos) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Notemos también inmediatamente que si los números \(t_1\) y \(t_2\) son diferentes, entonces los números \(\log_(\sqrt2)t_1\) y \(\log_(\sqrt2)t_2\) serán diferente, lo que significa que las ecuaciones \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Y \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) tendrán raíces diferentes.
El sistema \((**)\) se puede reescribir de la siguiente manera: \[\begin(casos) 1

Por lo tanto, hemos determinado que ambas raíces de la ecuación \((*)\) deben estar en el intervalo \((1;4)\). ¿Cómo escribir esta condición?
No escribiremos las raíces explícitamente.
Considere la función \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Su gráfica es una parábola con ramas hacia arriba, que tiene dos puntos de intersección con el eje x (escribimos esta condición en el párrafo 1)). ¿Cómo debería verse su gráfica para que los puntos de intersección con el eje x estén en el intervalo \((1;4)\)? Entonces:


En primer lugar, los valores \(g(1)\) y \(g(4)\) de la función en los puntos \(1\) y \(4\) deben ser positivos, y en segundo lugar, el vértice de la la parábola \(t_0\ ) también debe estar en el intervalo \((1;4)\) . Por tanto, podemos escribir el sistema: \[\begin(casos) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) siempre tiene al menos una raíz \(x=0\) . Esto significa que para cumplir las condiciones del problema es necesario que la ecuación \

tenía cuatro raíces distintas, distintas de cero, que representaban, junto con \(x=0\), una progresión aritmética.

Tenga en cuenta que la función \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) es par, lo que significa que si \(x_0\) es la raíz de la ecuación \( (*)\ ) , entonces \(-x_0\) también será su raíz. Entonces es necesario que las raíces de esta ecuación sean números ordenados en orden ascendente: \(-2d, -d, d, 2d\) (luego \(d>0\)). Es entonces cuando estos cinco números formarán una progresión aritmética (con la diferencia \(d\)).

Para que estas raíces sean los números \(-2d, -d, d, 2d\) , es necesario que los números \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) sean las raíces de la ecuación \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Entonces, según el teorema de Vieta:

Reescribamos la ecuación en la forma \ y considere dos funciones: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) y \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
La función \(g(x)\) tiene un punto máximo \(x=0\) (y \(g_(\text(arriba))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Derivada cero: \(x=0\) . Cuando \(x<0\) имеем: \(g">0\), para \(x>0\): \(g"<0\) .
La función \(f(x)\) para \(x>0\) es creciente, y para \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
De hecho, cuando \(x>0\) el primer módulo se abrirá positivamente (\(|x|=x\)), por lo tanto, independientemente de cómo se abrirá el segundo módulo, \(f(x)\) será igual a \( kx+A\) , donde \(A\) es la expresión de \(a\) , y \(k\) es igual a \(13-10=3\) o \(13+10 =23\) . Cuando \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Encontremos el valor de \(f\) en el punto mínimo: \

Para que la ecuación tenga al menos una solución, es necesario que las gráficas de las funciones \(f\) y \(g\) tengan al menos un punto de intersección. Por lo tanto, necesitas: \ Resolviendo este conjunto de sistemas, obtenemos la respuesta: \\]

Respuesta:

\(a\en \(-2\)\taza\)

Función uniforme.

Incluso es una función cuyo signo no cambia cuando cambia el signo X.

X la igualdad se mantiene F(–X) = F(X). Firmar X no afecta el signo y.

La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje de coordenadas (Fig. 1).

Ejemplos de una función par:

y= porque X

y = X 2

y = –X 2

y = X 4

y = X 6

y = X 2 + X

Explicación:
Tomemos la función y = X 2 o y = –X 2 .
Por cualquier valor X la función es positiva. Firmar X no afecta el signo y. La gráfica es simétrica con respecto al eje de coordenadas. Esta es una función par.

Función impar.

Extraño es una función cuyo signo cambia cuando cambia el signo X.

En otras palabras, por cualquier valor. X la igualdad se mantiene F(–X) = –F(X).

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen (Fig. 2).

Ejemplos de función impar:

y= pecado X

y = X 3

y = –X 3

Explicación:

Tomemos la función y = – X 3 .
Todos los significados en tendrá un signo menos. eso es una señal X influye en el signo y. Si la variable independiente es un número positivo, entonces la función es positiva, si la variable independiente es un número negativo, entonces la función es negativa: F(–X) = –F(X).
La gráfica de la función es simétrica con respecto al origen. Esta es una función extraña.

Propiedades de funciones pares e impares:

NOTA:

No todas las funciones son pares o impares. Hay funciones que no obedecen a tal gradación. Por ejemplo, la función raíz en = √X no se aplica ni a funciones pares ni impares (Fig. 3). Al enumerar las propiedades de tales funciones, se debe dar una descripción adecuada: ni par ni impar.

Funciones periódicas.

Como sabes, la periodicidad es la repetición de determinados procesos en un intervalo determinado. Las funciones que describen estos procesos se llaman funciones periódicas. Es decir, se trata de funciones en cuyas gráficas hay elementos que se repiten en determinados intervalos numéricos.