Definición del número de seno. Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo agudo. Funciones trigonométricas

En este artículo le mostraremos cómo definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulo y número en trigonometría... Aquí hablaremos sobre designaciones, daremos ejemplos de entradas y daremos ilustraciones gráficas. En conclusión, dibujemos un paralelo entre las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente en trigonometría y geometría.

Navegación de página.

Definición de seno, coseno, tangente y cotangente

Tracemos cómo se forma la idea de seno, coseno, tangente y cotangente en curso escolar matemáticas. En las lecciones de geometría, se da la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Y posteriormente se estudia la trigonometría, que se refiere al seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación y número. Daremos todas estas definiciones, daremos ejemplos y daremos los comentarios necesarios.

Ángulo agudo en un triángulo rectángulo

A partir del curso de geometría se conocen las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. Se dan como la razón de los lados de un triángulo rectángulo. Demos sus formulaciones.

Definición.

Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo Es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

Definición.

Coseno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo Es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Definición.

Tangente aguda en un triángulo rectángulo Es la relación entre el cateto opuesto y el adyacente.

Definición.

Cotangente aguda en un triángulo rectángulo- Esta es la relación entre la pierna adyacente y la opuesta.

Las designaciones de seno, coseno, tangente y cotangente también se introducen allí: sin, cos, tg y ctg, respectivamente.

Por ejemplo, si ABC es un triángulo rectángulo con un ángulo recto C, entonces el seno de un ángulo agudo A es igual a la razón del cateto opuesto BC a la hipotenusa AB, es decir, sin∠A = BC / AB .

Estas definiciones le permiten calcular los valores del seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo a partir de las longitudes conocidas de los lados de un triángulo rectángulo, así como de valores conocidos seno, coseno, tangente, cotangente y longitud de uno de los lados calcula las longitudes de los otros lados. Por ejemplo, si supiéramos que en un triángulo rectángulo el cateto AC es 3 y la hipotenusa AB es 7, entonces podríamos calcular el valor del coseno de un ángulo agudo A por definición: cos∠A = AC / AB = 3/7.

Ángulo de giro

En trigonometría, comienzan a mirar el ángulo de manera más amplia: introducen el concepto de ángulo de rotación. El valor del ángulo de rotación, en contraste con el ángulo agudo, no está limitado por los fotogramas de 0 a 90 grados, el ángulo de rotación en grados (y en radianes) se puede expresar mediante cualquier número real de −∞ a + ∞.

En este sentido, las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente ya no son un ángulo agudo, sino un ángulo de magnitud arbitraria: el ángulo de rotación. Se dan a través de las coordenadas xey del punto A 1, en el que el llamado punto inicial A (1, 0) va después de que gira un ángulo α alrededor del punto O, el origen de la coordenada cartesiana rectangular. sistema y el centro del círculo unitario.

Definición.

Ángulo del seno de rotaciónα es la ordenada del punto A 1, es decir, sinα = y.

Definición.

El coseno del ángulo de rotación.α se llama abscisa del punto A 1, es decir, cos α = x.

Definición.

Tangente de rotaciónα es la relación entre la ordenada del punto A 1 y su abscisa, es decir, tgα = y / x.

Definición.

Cotangente de rotaciónα es la relación entre la abscisa del punto A 1 y su ordenada, es decir, ctgα = x / y.

El seno y el coseno se definen para cualquier ángulo α, ya que siempre podemos determinar la abscisa y ordenada de un punto, que se obtiene rotando el punto inicial en un ángulo α. Y la tangente y la cotangente no están definidas para todos los ángulos. La tangente no está definida para tales ángulos α, en los cuales el punto de partida va a un punto con abscisas cero (0, 1) o (0, −1), y esto ocurre en ángulos de 90 ° + 180 ° k, k∈ Z (π / 2 + π k rad). De hecho, en tales ángulos de rotación, la expresión tgα = y / x no tiene sentido, ya que contiene división por cero. En cuanto a la cotangente, no está definida para tales ángulos α, en los que el punto de partida va a un punto con una ordenada cero (1, 0) o (-1, 0), y este es el caso de los ángulos 180 ° k , k ∈Z (π k es rad).

Entonces, el seno y el coseno se definen para cualquier ángulo de rotación, la tangente se define para todos los ángulos excepto 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad), y la cotangente es para todos los ángulos excepto 180 ° K, k∈Z (π k rad).

Las notaciones sin, cos, tg y ctg que ya conocemos aparecen en las definiciones, también se utilizan para denotar el seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación (en ocasiones se pueden encontrar las designaciones tan y cot, correspondientes a la tangente y cotangente). Entonces, el seno del ángulo de rotación de 30 grados se puede escribir como sin30 °, las entradas tg (−24 ° 17 ′) y ctgα corresponden a la tangente del ángulo de rotación −24 grados 17 minutos y la cotangente del ángulo de rotación α . Recuerde que al escribir la medida en radianes de un ángulo, a menudo se omite la designación "rad". Por ejemplo, el coseno de un ángulo de rotación de tres pi rad se denota normalmente como cos3 · π.

Como conclusión de este punto, vale la pena señalar que en una conversación sobre seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación, a menudo se omite la frase "ángulo de rotación" o la palabra "rotación". Es decir, en lugar de la frase "seno del ángulo de rotación alfa" se suele utilizar la frase "seno del ángulo de alfa" o, incluso más corto, "seno de alfa". Lo mismo se aplica al coseno, la tangente y la cotangente.

Digamos también que las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo son consistentes con las definiciones recién dadas de seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación que va de 0 a 90 grados. Justificaremos esto.

Números

Definición.

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número es un número igual al seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación en t radianes, respectivamente.

Por ejemplo, el coseno de 8 · π es, por definición, un número igual al coseno de un ángulo de 8 · π rad. Y el coseno de un ángulo en 8 · π es rad es igual a uno, por lo tanto, el coseno del número 8 · π es 1.

Existe otro método para determinar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un número. Consiste en que cada número real t está asociado a un punto del círculo unitario centrado en el origen de un sistema de coordenadas rectangular, y el seno, coseno, tangente y cotangente se determinan a través de las coordenadas de este punto. Detengámonos en esto con más detalle.

Vamos a mostrar cómo se establece la correspondencia entre números reales y puntos de un círculo:

• el número 0 está asociado con el punto de partida A (1, 0);
• un número positivo t está asociado con el punto del círculo unitario, al que llegaremos, si nos movemos a lo largo del círculo desde el punto de partida en el sentido contrario a las agujas del reloj y recorremos una trayectoria de longitud t;
• numero negativo t está asociado con el punto del círculo unitario, al que llegaremos, si nos movemos a lo largo del círculo desde el punto inicial en el sentido de las agujas del reloj y recorremos una trayectoria de longitud | t | ...

Ahora pasamos a las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente del número t. Supongamos que el número t corresponde al punto del círculo A 1 (x, y) (por ejemplo, el número π / 2; corresponde al punto A 1 (0, 1)).

Definición.

El seno de un número t se llama la ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, sint = y.

Definición.

Número de coseno t se llama abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, costo = x.

Definición.

La tangente del número t es la razón de la ordenada a la abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, tgt = y / x. En otra formulación equivalente, la tangente del número t es la razón del seno de este número al coseno, es decir, tgt = sint / costo.

Definición.

Número cotangente t es la razón entre la abscisa y la ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t, es decir, ctgt = x / y. Otra formulación es la siguiente: la tangente del número t es la razón del coseno del número t al seno del número t: ctgt = costo / sint.

Tenga en cuenta aquí que las definiciones que se acaban de dar son consistentes con la definición dada al comienzo de este párrafo. De hecho, el punto del círculo unitario correspondiente al número t coincide con el punto obtenido al rotar el punto inicial en un ángulo de t radianes.

También vale la pena aclarar este punto. Digamos que tenemos pecado3. ¿Cómo entender si estamos hablando del seno del número 3 o del seno del ángulo de rotación de 3 radianes? Por lo general, esto se desprende del contexto; de lo contrario, lo más probable es que sea irrelevante.

Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico

Según las definiciones dadas en el párrafo anterior, cada ángulo de rotación α corresponde a un valor bien definido de sinα, así como al valor de cosα. Además, todos los ángulos de rotación distintos de 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad) corresponden a los valores de tanα, y valores distintos de 180 ° k, k∈Z (π k) Son los valores de ctgα. Por tanto sinα, cosα, tgα y ctgα son funciones del ángulo α. En otras palabras, son funciones del argumento angular.

De manera similar, podemos hablar de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de un argumento numérico. De hecho, cada número real t tiene un valor sint bien definido, al igual que el costo. Además, los valores de tgt corresponden a todos los números distintos de π / 2 + π k, k∈Z y los valores de ctgt corresponden a los números π k, k∈Z.

Las funciones seno, coseno, tangente y cotangente se denominan funciones trigonométricas básicas.

Por lo general, está claro por el contexto si estamos tratando con funciones trigonométricas de un argumento angular o numérico. De lo contrario, podemos considerar la variable independiente como una medida de un ángulo (argumento angular) y un argumento numérico.

Sin embargo, la escuela estudia principalmente funciones numéricas, es decir, funciones cuyos argumentos, al igual que los valores de función correspondientes, son números. Por tanto, si Viene precisamente sobre funciones, es aconsejable considerar las funciones trigonométricas como funciones de argumentos numéricos.

Vincular definiciones de geometría y trigonometría

Si consideramos el ángulo de rotación α en el rango de 0 a 90 grados, entonces los datos en el contexto de la trigonometría para determinar el seno, coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación concuerdan completamente con las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, que se dan en el curso de geometría. Justifiquemos esto.

Representemos el círculo unitario en el sistema de coordenadas cartesiano rectangular Oxy. Marquemos el punto de partida A (1, 0). Rotémoslo en un ángulo α que va de 0 a 90 grados, obtenemos el punto A 1 (x, y). Dejemos caer la perpendicular A 1 H desde el punto A 1 sobre el eje Ox.

Es fácil ver que en un triángulo rectángulo el ángulo A 1 OH es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto OH adyacente a este ángulo es igual a la abscisa del punto A 1, es decir, | OH | = x, la longitud del cateto opuesto al ángulo del cateto A 1 H es igual a la ordenada del punto A 1, es decir, | A 1 H | = y, y la longitud de la hipotenusa OA 1 es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario. Entonces, por definición de la geometría, el seno de un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo A 1 OH es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, es decir, sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. Y por definición de trigonometría, el seno del ángulo de rotación α es igual a la ordenada del punto A 1, es decir, sin α = y. De esto se puede ver que determinar el seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es equivalente a determinar el seno del ángulo de rotación α en α de 0 a 90 grados.

De manera similar, se puede demostrar que las definiciones de coseno, tangente y cotangente del ángulo agudo α concuerdan con las definiciones de coseno, tangente y cotangente del ángulo de rotación α.

Bibliografía.

1. Geometría. 7-9 grados: libro de texto. para educación general. instituciones / [L. S. Atanasyan, V.F.Butuzov, S. B. Kadomtsev y otros]. - 20ª ed. M.: Educación, 2010. - 384 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. A. V. Pogorelov Geometría: libro de texto. por 7-9 cl. educación general. instituciones / A. V. Pogorelov. - 2ª ed. - M.: Educación, 2001. - 224 p.: Ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Álgebra y funciones elementales : Tutorial para estudiantes de noveno grado escuela secundaria/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editado por Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas ON Golovin.- 4ª ed. Moscú: Educación, 1969.
4. Álgebra: Libro de texto. por 9 cl. miércoles escuela / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educación, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Álgebra y el comienzo del análisis: Libro de texto. por 10-11 cl. educación general. instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14ª ed. - M.: Education, 2004. - 384 p.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. A. G. MordkovichÁlgebra y el comienzo del análisis. Grado 10. A las 2 h. Parte 1: libro de texto para instituciones educativas ( nivel de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4a ed., Add. - M.: Mnemozina, 2007 .-- 424 p .: Ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Álgebra y el comienzo del análisis matemático. Grado 10: libro de texto. para educación general. Instituciones: básica y de perfil. niveles / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3ª ed. - I.: Educación, 2010.- 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I.Álgebra y el comienzo del análisis: libro de texto. por 10-11 cl. miércoles shk. - 3ª ed. - M.: Educación, 1993.- 351 p.: Ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (manual para aspirantes a escuelas técnicas): Libro de texto. manual. - M.; Más alto. shk., 1984.-351 p., ill.

Los conceptos de seno (), coseno (), tangente (), cotangente () están indisolublemente ligados al concepto de ángulo. Para entender bien estos, a primera vista, conceptos complejos(que causa horror en muchos escolares), y para asegurarnos de que "el diablo no es tan terrible como lo pintan", comencemos desde el principio y entendamos el concepto de ángulo.

Concepto de ángulo: radianes, grados

Echemos un vistazo a la imagen. El vector "giró" con relación al punto en una cierta cantidad. Entonces, la medida de esta rotación relativa a la posición inicial será inyección.

¿Qué más necesitas saber sobre el concepto de ángulo? Bueno, por supuesto, ¡unidades angulares!

El ángulo, tanto en geometría como en trigonometría, se puede medir en grados y radianes.

El ángulo (un grado) se denomina ángulo central en un círculo, que descansa sobre un arco circular igual a parte del círculo. Por lo tanto, todo el círculo consta de "piezas" de arcos circulares, o el ángulo descrito por el círculo es igual a.

Es decir, la imagen de arriba muestra un ángulo igual, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular con el tamaño de la circunferencia.

Un ángulo en radianes es el ángulo central de un círculo que descansa sobre un arco circular cuya longitud es igual al radio del círculo. Bueno, lo averiguaste? Si no es así, averigüémoslo dibujando.

Entonces, la figura muestra un ángulo igual a un radián, es decir, este ángulo descansa sobre un arco circular, cuya longitud es igual al radio del círculo (la longitud es igual a la longitud o el radio es igual a la longitud del arco). Por lo tanto, la longitud del arco se calcula mediante la fórmula:

¿Dónde está el ángulo central en radianes?

Bueno, sabiendo esto, ¿puedes responder cuántos radianes contiene el ángulo descrito por el círculo? Sí, para esto debes recordar la fórmula de la circunferencia. Ahí está ella:

Bueno, ahora relacionemos estas dos fórmulas y obtengamos que el ángulo descrito por el círculo es igual. Es decir, correlacionando el valor en grados y radianes, obtenemos eso. Respectivamente,. Como puede ver, a diferencia de "grados", la palabra "radianes" se omite porque la unidad suele ser clara en el contexto.

¿Cuántos radianes hay? ¡Así es!

¿Entendido? Entonces arregla adelante:

¿Tienes dificultades? Entonces mira las respuestas:

Triángulo de ángulo recto: seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo

Entonces, descubrimos el concepto de ángulo. Pero, ¿qué es seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo después de todo? Vamos a averiguarlo. Para ello, nos ayudará un triángulo rectángulo.

¿Cómo se llaman los lados de un triángulo rectángulo? Así es, hipotenusa y piernas: la hipotenusa es el lado opuesto. ángulo recto(en nuestro ejemplo, este es el lado); los catetos son los dos lados restantes y (los que están adyacentes al ángulo recto), además, si consideramos los catetos en relación con el ángulo, entonces el cateto es el cateto adyacente y el cateto es el opuesto. Entonces, ahora respondamos la pregunta: ¿qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo?

Ángulo sinusoidal es la relación entre el cateto opuesto (distante) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo.

Coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente (cercano) y la hipotenusa.

En nuestro triángulo.

Tangente de ángulo es la relación entre la pierna opuesta (distante) y la pierna adyacente (cercana).

En nuestro triángulo.

Cotangente de ángulo es la relación entre la pierna adyacente (cercana) y la pierna opuesta (distante).

En nuestro triángulo.

Estas definiciones son necesarias recordar! Para que sea más fácil recordar qué pierna dividir en qué, debe darse cuenta claramente de que en tangente y cotangense sólo las piernas se sientan, y la hipotenusa aparece sólo en seno y coseno... Y luego puedes crear una cadena de asociaciones. Por ejemplo, este:

Coseno → toque → toque → adyacente;

Cotangente → toque → toque → adyacente.

En primer lugar, es necesario recordar que seno, coseno, tangente y cotangente como razones de los lados de un triángulo no dependen de las longitudes de estos lados (en un ángulo). ¿No creen? Entonces asegúrese de mirar la imagen:

Considere, por ejemplo, el coseno de un ángulo. Por definición, a partir de un triángulo :, pero podemos calcular el coseno de un ángulo a partir de un triángulo :. Verá, las longitudes de los lados son diferentes, pero el valor del coseno de un ángulo es el mismo. Por tanto, los valores de seno, coseno, tangente y cotangente dependen únicamente de la magnitud del ángulo.

Si descubrió las definiciones, ¡adelante y corríjalas!

Para el triángulo que se muestra en la figura siguiente, encuentre.

Bueno, ¿entendido? Entonces pruébelo usted mismo: cuente lo mismo para la esquina.

Círculo unitario (trigonométrico)

Entendiendo los conceptos de grados y radianes, consideramos un círculo con un radio igual a. Tal círculo se llama único... Resulta muy útil para aprender trigonometría. Por lo tanto, detengámonos en ello con un poco más de detalle.

Como puede ver, este círculo está construido en un sistema de coordenadas cartesiano. El radio del círculo es igual a uno, mientras que el centro del círculo se encuentra en el origen, la posición inicial del vector de radio se fija a lo largo de la dirección positiva del eje (en nuestro ejemplo, este es el radio).

Cada punto del círculo corresponde a dos números: la coordenada a lo largo del eje y la coordenada a lo largo del eje. ¿Y qué son estos números-coordenadas? Y en general, ¿qué tienen que ver con el tema en cuestión? Para hacer esto, debe recordar sobre el triángulo rectángulo considerado. En la imagen de arriba, puedes ver dos triángulos enteros en ángulo recto. Considere un triángulo. Es rectangular ya que es perpendicular al eje.

¿A qué es igual el triángulo? Está bien. Además, sabemos que - es el radio del círculo unitario y, por lo tanto,. Sustituye este valor en nuestra fórmula de coseno. Esto es lo que sucede:

¿Y qué es igual a del triángulo? ¡Bueno, por supuesto! Sustituya el valor del radio en esta fórmula y obtenga:

Entonces, ¿puedes decirnos cuáles son las coordenadas de un punto que pertenece a un círculo? Bueno, de ninguna manera? ¿Y si te das cuenta de eso y son solo números? ¿A qué coordenada corresponde? Bueno, por supuesto, ¡la coordenada! ¿Y a qué coordenada corresponde? Eso es correcto, coordina! Entonces el punto.

¿Y entonces qué son iguales a y? Así es, usemos las definiciones correspondientes de tangente y cotangente y obtengamos eso, a.

¿Y si el ángulo es mayor? Aquí, por ejemplo, como en esta figura:

Que ha cambiado en este ejemplo? Vamos a averiguarlo. Para hacer esto, vuelva a girar hacia un triángulo rectángulo. Considere un triángulo rectángulo: esquina (como adyacente a la esquina). ¿Cuál es el valor de seno, coseno, tangente y cotangente para un ángulo? Así es, nos adherimos a las definiciones correspondientes de funciones trigonométricas:

Bueno, como puede ver, el valor del seno del ángulo todavía corresponde a la coordenada; el valor del coseno del ángulo - coordenada; y los valores de la tangente y cotangente a las proporciones correspondientes. Por lo tanto, estas relaciones se aplican a cualquier rotación del vector de radio.

Ya se mencionó que la posición inicial del vector de radio es a lo largo de la dirección positiva del eje. Hasta ahora hemos rotado este vector en sentido antihorario, pero ¿y si lo rotamos en sentido horario? Nada extraordinario, también resultará un ángulo de cierta magnitud, pero solo será negativo. Por lo tanto, cuando gira el vector de radio en sentido antihorario, obtiene ángulos positivos, y al girar en el sentido de las agujas del reloj - negativo.

Entonces, sabemos que toda la revolución del vector de radio en un círculo es o. ¿Es posible rotar el vector de radio por o por? ¡Por supuesto que puede! En el primer caso, por tanto, el vector de radio hará una revolución completa y se detendrá en la posición o.

En el segundo caso, es decir, el vector de radio hará tres revoluciones completas y se detendrá en la posición o.

Por lo tanto, a partir de los ejemplos anteriores, podemos concluir que los ángulos que difieren en o (donde es cualquier número entero) corresponden a la misma posición del vector de radio.

La siguiente imagen muestra el ángulo. La misma imagen corresponde a la esquina, etc. La lista sigue y sigue. Todos estos ángulos se pueden escribir mediante la fórmula general o (donde es un número entero)

Ahora, conociendo las definiciones de las funciones trigonométricas básicas y usando el círculo unitario, intente responder a qué son iguales los valores:

Aquí hay un círculo de unidad para ayudarlo:

¿Tienes dificultades? Entonces averigüémoslo. Entonces, sabemos que:

A partir de aquí, determinamos las coordenadas de los puntos correspondientes a determinadas medidas del ángulo. Bueno, comencemos en orden: la esquina corresponde a un punto con coordenadas, por lo tanto:

No existe;

Además, siguiendo la misma lógica, encontramos que las esquinas en corresponden a puntos con coordenadas, respectivamente. Sabiendo esto, es fácil determinar los valores de las funciones trigonométricas en los puntos correspondientes. Pruébelo usted mismo primero, luego verifique las respuestas.

Respuestas:

No existe

No existe

No existe

No existe

Así, podemos elaborar la siguiente tabla:

No es necesario recordar todos estos significados. Basta recordar la correspondencia entre las coordenadas de los puntos del círculo unitario y los valores de las funciones trigonométricas:

Pero los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos en y, dados en la siguiente tabla, necesito recordar:

No tengas miedo, ahora te mostraremos uno de los ejemplos. memorización bastante sencilla de los valores correspondientes:

Para usar este método, es vital recordar los valores del seno para las tres medidas del ángulo (), así como el valor de la tangente del ángulo en. Conociendo estos valores, es bastante fácil restaurar toda la tabla como un todo: los valores de coseno se transfieren de acuerdo con las flechas, es decir:

Sabiendo esto, puede restaurar los valores de. El numerador "" coincidirá y el denominador "" coincidirá. Los valores cotangentes se transfieren de acuerdo con las flechas de la figura. Si comprende esto y recuerda el diagrama con flechas, será suficiente recordar todos los valores de la tabla.

Coordenadas de puntos en un círculo

¿Es posible encontrar un punto (sus coordenadas) en un círculo, conociendo las coordenadas del centro del círculo, su radio y ángulo de rotación?

¡Bueno, por supuesto que puedes! Vamos a traer fórmula general para encontrar las coordenadas de un punto.

Aquí, por ejemplo, tenemos un círculo de este tipo:

Se nos da que el punto es el centro del círculo. El radio del círculo es. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenidas girando el punto en grados.

Como puede ver en la figura, la longitud del segmento corresponde a la coordenada del punto. La longitud del segmento corresponde a la coordenada del centro del círculo, es decir, es igual a. La longitud de un segmento se puede expresar usando la definición de coseno:

Entonces tenemos eso para el punto la coordenada.

Usando la misma lógica, encontramos el valor de la coordenada y para el punto. De este modo,

Así que en vista general las coordenadas de los puntos están determinadas por las fórmulas:

Coordenadas del centro del círculo,

Radio del círculo,

El ángulo de rotación del radio del vector.

Como puede ver, para el círculo unitario que estamos considerando, estas fórmulas se reducen significativamente, ya que las coordenadas del centro son iguales a cero y el radio es igual a uno:

Bueno, ¿probaremos estas fórmulas practicando la búsqueda de puntos en un círculo?

1. Encuentra las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenidas al girar el punto en.

2. Encuentra las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenidas al girar el punto en.

3. Encuentra las coordenadas de un punto en el círculo unitario obtenidas al girar el punto en.

4. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenidas al rotar el vector de radio inicial en.

5. El punto es el centro del círculo. El radio del círculo es. Es necesario encontrar las coordenadas del punto obtenidas al rotar el vector de radio inicial en.

¿Tiene problemas para encontrar las coordenadas de un punto en un círculo?

Resuelva estos cinco ejemplos (o comprenda bien la solución) y aprenderá a encontrarlos.

1.

Puedes ver eso. Pero sabemos lo que corresponde a una revolución completa del punto de partida. Así, el punto deseado estará en la misma posición que cuando se gira. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas requeridas del punto:

2. El círculo es una unidad con un centro en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Puedes ver eso. Sabemos que coincide con dos vueltas completas punto de partida. Así, el punto deseado estará en la misma posición que cuando se gira. Sabiendo esto, encontramos las coordenadas requeridas del punto:

El seno y el coseno son valores tabulares. Recordamos sus significados y obtenemos:

Por tanto, el punto requerido tiene coordenadas.

3. El círculo es una unidad con un centro en un punto, lo que significa que podemos usar fórmulas simplificadas:

Puedes ver eso. Representemos el ejemplo considerado en la figura:

El radio forma ángulos con el eje igual ay. Saber que los valores tabulares del coseno y del seno son iguales, y determinar que el coseno aquí toma significado negativo, y el seno es positivo, tenemos:

Ejemplos similares se analizan con más detalle al estudiar las fórmulas para convertir funciones trigonométricas en el tema.

Por tanto, el punto requerido tiene coordenadas.

4.

El ángulo de rotación del radio del vector (por condición,)

Para determinar los signos correspondientes del seno y el coseno, construimos el círculo unitario y el ángulo:

Como puede ver, el valor, es decir, positivo, y el valor, es decir, negativo. Conociendo los valores tabulares de las funciones trigonométricas correspondientes, obtenemos que:

Sustituya los valores obtenidos en nuestra fórmula y encuentre las coordenadas:

Por tanto, el punto requerido tiene coordenadas.

5. Para resolver este problema, usaremos fórmulas en forma general, donde

Las coordenadas del centro del círculo (en nuestro ejemplo,

Radio del círculo (por condición)

El ángulo de rotación del radio del vector (por condición,).

Sustituye todos los valores en la fórmula y obtén:

y - valores tabulares. Los recordamos y los sustituimos en la fórmula:

Por tanto, el punto requerido tiene coordenadas.

RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

El seno del ángulo es la razón del cateto opuesto (lejano) a la hipotenusa.

El coseno del ángulo es la razón del cateto adyacente (cercano) a la hipotenusa.

La tangente del ángulo es la relación entre el lado opuesto (lejano) y el lado adyacente (cercano).

La cotangente de un ángulo es la razón del lado adyacente (cercano) al lado opuesto (lejano).

Este articulo contiene tablas de senos, cosenos, tangentes y cotangentes... Primero, damos una tabla de los valores principales de las funciones trigonométricas, es decir, una tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grados ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π radián). Después de eso, daremos una tabla de senos y cosenos, así como una tabla de tangentes y cotangentes de V.M. Bradis, y mostraremos cómo usar estas tablas para encontrar los valores de funciones trigonométricas.

Navegación de página.

Tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes para ángulos 0, 30, 45, 60, 90, ... grados

Bibliografía.

• Álgebra: Libro de texto. por 9 cl. miércoles escuela / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educación, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.Álgebra y el comienzo del análisis: libro de texto. por 10-11 cl. miércoles shk. - 3ª ed. - M.: Educación, 1993.- 351 p.: Ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Álgebra y el comienzo del análisis: Libro de texto. por 10-11 cl. educación general. instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14ª ed. - M.: Education, 2004. - 384 p.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (manual para aspirantes a escuelas técnicas): Libro de texto. manual. - M.; Más alto. shk., 1984.-351 p., ill.
• Bradis V.M. Tablas matemáticas de cuatro dígitos: para educación general. estudio. Instituciones. - 2ª ed. - M.: Avutarda, 1999. - 96 p.: Enfermo. ISBN 5-7107-2667-2

Una de las ramas de las matemáticas con las que los alumnos afrontan mayores dificultades es la trigonometría. No es de extrañar: para dominar libremente esta área del conocimiento, se necesita pensamiento espacial, la capacidad de encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes mediante fórmulas, simplificar expresiones y poder usar pi en los cálculos. Además, debe poder aplicar la trigonometría al demostrar teoremas, y esto requiere una memoria matemática desarrollada o la capacidad de deducir cadenas lógicas complejas.

Orígenes de la trigonometría

El conocimiento de esta ciencia debe comenzar con la determinación del seno, el coseno y la tangente de un ángulo, pero primero debe averiguar qué hace la trigonometría en general.

Históricamente, los triángulos rectángulos fueron el principal objeto de investigación en esta rama de la ciencia matemática. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar diversas operaciones que permiten determinar los valores de todos los parámetros de la figura en cuestión en dos lados y una esquina, o en dos ángulos y un lado. En el pasado, la gente notó este patrón y comenzó a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso en arte.

Primera etapa

Inicialmente, la gente hablaba sobre la relación de ángulos y lados exclusivamente en el ejemplo de triángulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que hicieron posible expandir los límites de uso en La vida cotidiana de esta sección de matemáticas.

El estudio de la trigonometría en la escuela hoy comienza con triángulos rectángulos, luego de lo cual los conocimientos adquiridos son utilizados por los estudiantes de física y la solución de ecuaciones trigonométricas abstractas, cuyo trabajo comienza en la escuela secundaria.

Trigonometría esférica

Más tarde, cuando la ciencia salió a la luz siguiente nivel desarrollo, las fórmulas con seno, coseno, tangente, cotangente comenzaron a usarse en geometría esférica, donde se aplican diferentes reglas, y la suma de los ángulos en un triángulo es siempre mayor de 180 grados. Esta sección no se estudia en la escuela, pero es necesario conocer su existencia al menos porque la superficie de la tierra, y la superficie de cualquier otro planeta, es convexa, lo que significa que cualquier marca de superficie será "arqueada" en tres dimensiones. espacio.

Toma el globo y la cuerda. Sujete la cuerda a dos puntos cualesquiera del globo terráqueo para que quede tenso. Presta atención, tomó la forma de un arco. La geometría esférica, que se utiliza en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados, se ocupa de estas formas.

Triángulo rectángulo

Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, regresemos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar en este caso.

El primer paso es comprender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Es el mas largo. Recordamos que según el teorema de Pitágoras, su valor numérico es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Por ejemplo, si los dos lados miden 3 y 4 centímetros, respectivamente, la longitud de la hipotenusa es 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.

Los dos lados restantes, que forman un ángulo recto, se llaman catetos. Además, debe recordarse que la suma de los ángulos de un triángulo en un sistema de coordenadas rectangular es 180 grados.

Definición

Finalmente, con un conocimiento firme de la base geométrica, se puede recurrir a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.

El seno de un ángulo es la relación entre el cateto opuesto (es decir, el lado opuesto al ángulo deseado) y la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué? Debido a que la hipotenusa es por defecto la más larga, no importa la longitud del cateto, será más corta que la hipotenusa, lo que significa que su relación siempre será menor que uno. Por lo tanto, si tiene un seno o coseno con un valor mayor que 1 en la respuesta a un problema, busque un error en los cálculos o el razonamiento. Esta respuesta es definitivamente incorrecta.

Finalmente, la tangente de un ángulo es la razón del lado opuesto al lado adyacente. Dividir el seno por el coseno dará el mismo resultado. Mira: de acuerdo con la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Por lo tanto, obtenemos la misma relación que en la definición de la tangente.

La cotangente, respectivamente, es la relación entre el lado adyacente a la esquina y el lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado dividiendo la unidad por la tangente.

Entonces, hemos considerado las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente, y podemos hacer las fórmulas.

Las fórmulas más simples

En trigonometría, no puede prescindir de fórmulas: ¿cómo encontrar seno, coseno, tangente, cotangente sin ellas? Pero esto es exactamente lo que se requiere para resolver problemas.

La primera fórmula que necesita saber al comenzar a aprender trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si desea conocer el ángulo, no el lado.

Muchos estudiantes no pueden recordar la segunda fórmula, que también es muy popular cuando se resuelven problemas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente de un ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Eche un vistazo más de cerca: después de todo, esta es la misma afirmación que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad se dividieron por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática hace que la fórmula trigonométrica sea completamente irreconocible. Recuerda: conociendo qué son el seno, el coseno, la tangente y la cotangente, las reglas de transformación y algunas fórmulas básicas, puedes en cualquier momento deducir tú mismo las fórmulas requeridas más complejas en una hoja de papel.

Fórmulas de doble ángulo y suma de argumentos.

Dos fórmulas más que debes aprender están relacionadas con los valores de seno y coseno para la suma y diferencia de ángulos. Se muestran en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo, se suma el producto por pares del seno y el coseno.

También hay fórmulas asociadas con argumentos de doble ángulo. Se derivan completamente de los anteriores: como ejercicio, intente obtenerlos usted mismo, tomando el ángulo alfa igual al ángulo beta.

Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de doble ángulo se pueden transformar para reducir el grado de seno, coseno y tangente alfa.

Teoremas

Los dos teoremas principales de la trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, puede comprender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente y, por lo tanto, el área de la figura y la magnitud de cada lado, etc.

El teorema del seno establece que al dividir la longitud de cada lado de un triángulo por el valor del ángulo opuesto, obtenemos el mismo numero... Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, el círculo que contiene todos los puntos del triángulo dado.

El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto, multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente a ellos; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Por tanto, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.

Errores de falta de atención

Incluso sabiendo qué son el seno, el coseno y la tangente, es fácil cometer un error debido a una distracción o un error en los cálculos más simples. Para evitar tales errores, echemos un vistazo a los más populares.

En primer lugar, no debe convertir fracciones ordinarias a decimales hasta que se obtenga el resultado final; puede dejar la respuesta en el formulario fracción común a menos que se indique lo contrario en la condición. Tal transformación no puede llamarse error, pero debe recordarse que en cada etapa de la tarea pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, deben acortarse. En este caso, perderá tiempo en innecesarios Operaciones matemáticas... Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o dos, porque se encuentran en los problemas en cada paso. Lo mismo ocurre con el redondeo de números "feos".

Además, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si olvida por error restar el producto doble de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no solo obtendrá un resultado completamente incorrecto, sino que también demostrará una falta total de comprensión del tema. Esto es peor que un error por descuido.

En tercer lugar, no confunda los valores de los ángulos de 30 y 60 grados para senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Recuerde estos valores, porque el seno de 30 grados es igual al coseno de 60 y viceversa. Es fácil confundirlos, como resultado de lo cual inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.

Solicitud

Muchos estudiantes no tienen prisa por comenzar a aprender trigonometría porque no comprenden su significado aplicado. ¿Qué es seno, coseno, tangente para un ingeniero o astrónomo? Estos son los conceptos gracias a los cuales se puede calcular la distancia a estrellas distantes, predecir la caída de un meteorito, enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga en una superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son solo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se usa en todas partes, desde la música hasta la medicina.

Por fin

Entonces eres seno, coseno, tangente. Puede usarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.

El objetivo de la trigonometría se reduce al hecho de que los parámetros desconocidos del triángulo deben calcularse utilizando los parámetros conocidos. Hay seis de estos parámetros: longitud tres lados y la magnitud de los tres ángulos. Toda la diferencia en las tareas es que se dan diferentes entradas.

Ahora sabe cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente basándose en las longitudes conocidas de los catetos o hipotenusa. Dado que estos términos no significan más que una relación, y una razón es una fracción, objetivo principal un problema trigonométrico es encontrar las raíces de una ecuación ordinaria o un sistema de ecuaciones. Y aquí te ayudarán las matemáticas escolares ordinarias.

Inicialmente, el seno y el coseno surgieron de la necesidad de calcular cantidades en triángulos rectángulos. Se notó que si el valor de la medida en grados de los ángulos en un triángulo rectángulo no cambia, entonces la relación de aspecto, sin importar cuánto cambien estos lados en longitud, permanece siempre igual.

Así se introdujeron los conceptos de seno y coseno. El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, y el coseno es el adyacente a la hipotenusa.

Teoremas del coseno y del seno

Pero los cosenos y senos se pueden aplicar no solo en triángulos rectángulos. Para encontrar el valor de un ángulo obtuso o agudo, el lado de cualquier triángulo, basta con aplicar el teorema de los senos y cosenos.

El teorema del coseno es bastante simple: "El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el producto doble de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos".

Hay dos interpretaciones del teorema del seno: pequeña y extendida. Según el pequeño: "En un triángulo, los ángulos son proporcionales a los lados opuestos". Este teorema a menudo se extiende debido a la propiedad de un círculo circunscrito alrededor de un triángulo: "En un triángulo, los ángulos son proporcionales a los lados opuestos y su razón es igual al diámetro del círculo circunscrito".

Derivados

Una derivada es una herramienta matemática que muestra qué tan rápido cambia una función en relación con un cambio en su argumento. Las derivadas se utilizan en geometría y en varias disciplinas técnicas.

Al resolver problemas, necesita conocer los valores tabulares de las derivadas de funciones trigonométricas: seno y coseno. La derivada del seno es el coseno y el coseno es el seno, pero con un signo menos.

Aplicación en matemáticas

Especialmente a menudo se utilizan senos y cosenos al resolver triángulos rectángulos y problemas asociados con ellos.

La conveniencia de los senos y cosenos se refleja en la tecnología. Los ángulos y los lados fueron fáciles de evaluar usando los teoremas del coseno y del seno, rompiendo formas y objetos complejos en triángulos "simples". Los ingenieros, que a menudo se ocupan de cálculos de relación de aspecto y medidas de grado, han dedicado mucho tiempo y esfuerzo a calcular los senos y cosenos de ángulos no tabulares.

Luego acudieron al rescate las tablas Bradis, que contenían miles de valores de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de diferentes ángulos. V Tiempo soviético algunos profesores hacían de memoria las páginas de las tablas Bradis para sus pupilos.

Radian: el valor angular del arco, a lo largo de la longitud igual al radio o 57,295779513 ° grados.

Grado (en geometría): 1/360 de un círculo o 1/90 de un ángulo recto.

π = 3,141592653589793238462 ... (valor aproximado de pi).

Tabla de coseno para ángulos: 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 °, 330 °, 360 °.

Ángulo x (en grados)	0°	30 °	45 °	60 °	90 °	120 °	135 °	150 °	180 °	210 °	225 °	240 °	270 °	300 °	315 °	330 °	360 °
Ángulo x (en radianes)	0	π / 6	π / 4	π / 3	π / 2	2 x π / 3	3 x π / 4	5 x π / 6	π	7 x π / 6	5 x π / 4	4 x π / 3	3 x π / 2	5 x π / 3	7 x π / 4	11 x π / 6	2 x π
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1