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Las ecuaciones cuadráticas se estudian en octavo grado, por lo que no hay nada difícil aquí. La capacidad para resolverlos es absolutamente esencial.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde los coeficientes a, byc son números arbitrarios y a ≠ 0.
Antes de estudiar métodos específicos para resolver, notamos que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden dividir condicionalmente en tres clases:
- No tiene raíces;
- Tenga exactamente una raíz;
- Tienen dos raíces distintas.
Ésta es una diferencia importante entre las ecuaciones cuadráticas y lineales, donde la raíz siempre existe y es única. ¿Cómo se determina cuántas raíces tiene una ecuación? Hay algo maravilloso en esto: discriminante.
Discriminante
Sea una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0. Entonces el discriminante es simplemente el número D = b 2 - 4ac.
Necesita saber esta fórmula de memoria. De dónde viene, no importa ahora. Otra cosa es importante: mediante el signo del discriminante, puede determinar cuántas raíces tiene una ecuación cuadrática. A saber:
- Si D< 0, корней нет;
- Si D = 0, hay exactamente una raíz;
- Si D> 0, habrá dos raíces.
Tenga en cuenta: el discriminante indica el número de raíces, y no sus signos, como por alguna razón muchos creen. Eche un vistazo a los ejemplos y usted mismo comprenderá todo:
Tarea. ¿Cuántas raíces tienen las ecuaciones cuadráticas?
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6x + 9 = 0.
Anotemos los coeficientes de la primera ecuación y encontremos el discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16
Entonces, el discriminante es positivo, por lo que la ecuación tiene dos raíces diferentes. Analizamos la segunda ecuación de forma similar:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2-4 5 7 = 9-140 = −131.
El discriminante es negativo, no hay raíces. La última ecuación permanece:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2-4 1 9 = 36-36 = 0.
El discriminante es cero, habrá una raíz.
Tenga en cuenta que se han escrito coeficientes para cada ecuación. Sí, es largo, sí, es aburrido, pero no mezclarás los coeficientes y no cometerás errores estúpidos. Elija usted mismo: velocidad o calidad.
Por cierto, si “llenas la mano”, después de un tiempo ya no necesitarás escribir todos los coeficientes. Realizarás este tipo de operaciones en tu cabeza. La mayoría de la gente comienza a hacer esto en algún momento después de que se resuelven 50-70 ecuaciones; en general, no tanto.
Raíces cuadráticas
Ahora pasemos a la solución. Si el discriminante D> 0, las raíces se pueden encontrar mediante las fórmulas:
Fórmula básica para las raíces de una ecuación cuadrática
Cuando D = 0, puede usar cualquiera de estas fórmulas; obtiene el mismo número, que será la respuesta. Finalmente, si D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Primera ecuación:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2-4 1 (−3) = 16.
D> 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces. Vamos a buscarlos:
Segunda ecuación:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2-4 (−1) 15 = 64.
D> 0 ⇒ la ecuación tiene dos raíces nuevamente. Encuéntralos
\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (alinear) \]
Finalmente, la tercera ecuación:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ la ecuación tiene una raíz. Se puede utilizar cualquier fórmula. Por ejemplo, el primero:
Como puede ver en los ejemplos, todo es muy simple. Si conoce las fórmulas y sabe contar, no habrá problemas. La mayoría de las veces, se producen errores al sustituir coeficientes negativos en la fórmula. Aquí, nuevamente, la técnica descrita anteriormente ayudará: mire la fórmula literalmente, describa cada paso, y muy pronto se deshará de los errores.
Ecuaciones cuadráticas incompletas
Sucede que la ecuación cuadrática es algo diferente de lo que se da en la definición. Por ejemplo:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 - 16 = 0.
Es fácil ver que falta uno de los términos en estas ecuaciones. Estas ecuaciones cuadráticas son incluso más fáciles de resolver que las estándar: ni siquiera necesitan calcular el discriminante. Entonces, introduzcamos un nuevo concepto:
La ecuación ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática incompleta si b = 0 o c = 0, es decir coeficiente en la variable x o elemento libre es igual a cero.
Por supuesto, es posible un caso muy difícil cuando ambos coeficientes son iguales a cero: b = c = 0. En este caso, la ecuación toma la forma ax 2 = 0. Obviamente, dicha ecuación tiene una sola raíz: x = 0.
Consideremos el resto de los casos. Sea b = 0, entonces obtenemos una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0. Transformémosla un poco:
Dado que la raíz cuadrada aritmética existe solo a partir de un número no negativo, la última igualdad tiene sentido solo para (−c / a) ≥ 0. Conclusión:
- Si la desigualdad (−c / a) ≥ 0 se cumple en una ecuación cuadrática incompleta de la forma ax 2 + c = 0, habrá dos raíces. La fórmula se da arriba;
- Si (−c / a)< 0, корней нет.
Como puede ver, no se requería el discriminante; en las ecuaciones cuadráticas incompletas no hay cálculos complicados en absoluto. De hecho, ni siquiera es necesario recordar la desigualdad (−c / a) ≥ 0. Basta con expresar el valor x 2 y ver qué está al otro lado del signo igual. Si hay un número positivo, habrá dos raíces. Si es negativo, no habrá raíces en absoluto.
Ahora tratemos con ecuaciones de la forma ax 2 + bx = 0, en las que el elemento libre es igual a cero. Aquí todo es simple: siempre habrá dos raíces. Es suficiente factorizar el polinomio:
Poner entre corchetes un factor comúnEl producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero. De aquí son las raíces. En conclusión, analizaremos varias de estas ecuaciones:
Tarea. Resolver ecuaciones cuadráticas:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2-9 = 0.
x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. No hay raíces, tk. un cuadrado no puede ser igual a un número negativo.
4x 2-9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
Recordemos las principales propiedades de la titulación. Sea a> 0, b> 0, n, m cualquier número real. Luego
1) una n una m = una n + m
2) \ (\ frac (a ^ n) (a ^ m) = a ^ (n-m) \)
3) (un norte) m = un nm
4) (ab) n = a n b n
5) \ (\ izquierda (\ frac (a) (b) \ derecha) ^ n = \ frac (a ^ n) (b ^ n) \)
7) a n> 1 si a> 1, n> 0
8) una n 1, n
9) a n> a m, si 0
En la práctica, las funciones de la forma y = a x se utilizan a menudo, donde a es un número positivo dado, x es una variable. Tales funciones se llaman indicativo... Este nombre se explica por el hecho de que el argumento de la función exponencial es el exponente y la base del exponente es un número dado.
Definición. Una función exponencial es una función de la forma y = a x, donde a es un número dado, a> 0, \ (a \ neq 1 \)
La función exponencial tiene las siguientes propiedades
1) El dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales.
Esta propiedad se deriva del hecho de que el grado a x donde a> 0 se define para todos los números reales x.
2) El conjunto de valores de la función exponencial es el conjunto de todos los números positivos.
Para verificar esto, es necesario demostrar que la ecuación ax = b, donde a> 0, \ (a \ neq 1 \), no tiene raíces si \ (b \ leq 0 \), y tiene una raíz para cualquier b > 0 ...
3) La función exponencial y = a x aumenta en el conjunto de todos los números reales si a> 1, y disminuye si 0 Esto se deduce de las propiedades del grado (8) y (9)
Construyamos las gráficas de las funciones exponenciales y = ax para a> 0 y en 0 Usando las propiedades consideradas, observamos que la gráfica de la función y = ax para a> 0 pasa por el punto (0; 1) y se ubica por encima del eje del Buey.
Si x es 0.
Si x> 0 y | x | aumenta, entonces el gráfico aumenta rápidamente.
La gráfica de la función y = a x en 0 Si x> 0 y aumenta, entonces la gráfica se acerca rápidamente al eje Ox (sin cruzarlo). Por tanto, el eje del Buey es la asíntota horizontal del gráfico.
Si x 
Ecuaciones exponenciales
Considere algunos ejemplos de ecuaciones exponenciales, p. Ej. ecuaciones en las que la incógnita está contenida en el exponente. La solución de ecuaciones exponenciales a menudo se reduce a resolver la ecuación a x = a b donde a> 0, \ (a \ neq 1 \), x es una incógnita. Esta ecuación se resuelve usando la propiedad del grado: grados con la misma base a> 0, \ (a \ neq 1 \) son iguales si y solo si sus exponentes son iguales.
Resolver la ecuación 2 3x 3 x = 576
Dado que 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, la ecuación se puede escribir en la forma 8 x 3 x = 24 2, o en la forma 24 x = 24 2, de donde x = 2.
Respuesta x = 2
Resuelve la ecuación 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Tomando el factor común 3 x - 2 de los corchetes de la izquierda, obtenemos 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
de donde 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Respuesta x = 2
Resuelve la ecuación 3x = 7x
Dado que \ (7 ^ x \ neq 0 \), la ecuación se puede escribir en la forma \ (\ frac (3 ^ x) (7 ^ x) = 1 \), de donde \ (\ left (\ frac (3) (7) \ derecha) ^ x = 1 \), x = 0
Respuesta x = 0
Resuelve la ecuación 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Al reemplazar 3 x = t, esta ecuación se reduce a la ecuación cuadrática t 2 - 4t - 45 = 0. Resolviendo esta ecuación, encontramos sus raíces: t 1 = 9, t 2 = -5, de donde 3 x = 9, 3 x = -5 ...
La ecuación 3 x = 9 tiene una raíz x = 2, y la ecuación 3 x = -5 no tiene raíces, ya que la función exponencial no puede tomar valores negativos.
Respuesta x = 2
Resuelve la ecuación 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Escribimos la ecuación en la forma
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, de donde
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\ (\ left (\ frac (2) (5) \ right) ^ (x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Respuesta x = 2
Resuelve la ecuación 3 | x - 1 | = 3 | x + 3 |
Dado que 3> 0, \ (3 \ neq 1 \), la ecuación original es equivalente a la ecuación | x-1 | = | x + 3 |
Al elevar al cuadrado esta ecuación, obtenemos su corolario (x - 1) 2 = (x + 3) 2, de donde
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
La verificación muestra que x = -1 es la raíz de la ecuación original.
Respuesta x = -1
Te ofrecemos una cómoda y gratuita calculadora en línea para resolver ecuaciones cuadráticas. Puede obtener y comprender rápidamente cómo se resuelven utilizando ejemplos claros.
Para producir resolver una ecuación cuadrática en línea, primero lleve la ecuación a su forma general:
ax 2 + bx + c = 0
Complete los campos del formulario en consecuencia:
Cómo resolver una ecuación cuadrática
| Cómo resolver una ecuación cuadrática: | Tipos de raíces: |
|
1.
Traiga la ecuación cuadrática a una forma general: Vista general Аx 2 + Bx + C = 0 Ejemplo: 3x - 2x 2 + 1 = -1 Llevar a -2x 2 + 3x + 2 = 0 2.
Encuentre el discriminante D. 3.
Encuentra las raíces de la ecuación. |
1.
Raíces válidas. Es más. x1 no es igual a x2 La situación surge cuando D> 0 y A no es igual a 0. 2.
Las raíces válidas son las mismas. x1 es igual a x2 3.
Dos raíces complejas. x1 = d + ei, x2 = d-ei, donde i = - (1) 1/2 5.
La ecuación tiene innumerables soluciones. 6.
La ecuación no tiene soluciones. |
Para solidificar el algoritmo, aquí hay algunos más ejemplos ilustrativos de soluciones a ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 1. Resolver una ecuación cuadrática ordinaria con diferentes raíces reales.
x 2 + 3x -10 = 0
En esta ecuación
A = 1, B = 3, C = -10
D = segundo -4 * A * C = 9-4 * 1 * (- 10) = 9 + 40 = 49
¡la raíz cuadrada se indicará como el número 1/2!
x1 = (- B + D 1/2) / 2A = (-3 + 7) / 2 = 2
x2 = (- B-D 1/2) / 2A = (-3-7) / 2 = -5
Para comprobarlo, sustituyamos:
(x-2) * (x + 5) = x2 -2x + 5x - 10 = x2 + 3x -10
Ejemplo 2. Resolver una ecuación cuadrática con coincidencia de raíces reales.
x 2 - 8x + 16 = 0
A = 1, B = -8, C = 16
D = k 2 - AC = 16 - 16 = 0
X = -k / A = 4
Sustituir
(x-4) * (x-4) = (x-4) 2 = X 2 - 8x + 16
Ejemplo 3. Resolver una ecuación cuadrática con raíces complejas.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A = 1, B = -4, C = 9
D = b 2 - 4AC = 16 - 4 * 13 * 1 = 16 - 52 = -36
El discriminante es negativo, las raíces son complejas.
X1 = (- B + D 1/2) / 2A = (4 + 6i) / (2 * 13) = 2/13 + 3i / 13
x2 = (- B-D 1/2) / 2A = (4-6i) / (2 * 13) = 2 / 13-3i / 13
donde yo es la raíz cuadrada de -1
En realidad, estos son todos los casos posibles de resolver ecuaciones cuadráticas.
Esperamos que nuestro calculadora online resultará de gran utilidad para usted.
Si el material fue útil, puede
Consideremos dos tipos de soluciones a sistemas de ecuaciones:
1. Solución del sistema por el método de sustitución.
2. Solución del sistema mediante la suma (resta) término por término de las ecuaciones del sistema.
Para resolver el sistema de ecuaciones método de sustitución necesitas seguir un algoritmo simple:
1. Expresamos. Expresa una variable de cualquier ecuación.
2. Sustituir. Sustituimos el valor obtenido en otra ecuación en lugar de la variable expresada.
3. Resolvemos la ecuación resultante con una variable. Encontramos una solución al sistema.
Resolver sistema por suma (resta) término por término necesario:
1.Elegir una variable para la que haremos los mismos coeficientes.
2. Sumamos o restamos ecuaciones, al final obtenemos una ecuación con una variable.
3. Resuelva la ecuación lineal resultante. Encontramos una solución al sistema.
La solución del sistema son los puntos de intersección de las gráficas de la función.
Consideremos en detalle la solución de sistemas usando ejemplos.
Ejemplo 1:
Resolvamos por el método de sustitución
Resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución2x + 5y = 1 (1 ecuación)
x-10y = 3 (2 ecuación)
1. Expresamos
Se puede ver que en la segunda ecuación hay una variable x con un coeficiente de 1, de la cual resulta que es más fácil expresar la variable x a partir de la segunda ecuación.
x = 3 + 10 años
2. Después de haber expresado, sustituimos 3 + 10y en la primera ecuación en lugar de la variable x.
2 (3 + 10 años) + 5 años = 1
3. Resuelve la ecuación resultante en una variable.
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (expanda los corchetes)
6 + 20 años + 5 años = 1
25 años = 1-6
25y = -5 |: (25)
y = -5: 25
y = -0,2
La solución al sistema de ecuaciones son los puntos de intersección de las gráficas, por lo tanto, necesitamos encontrar x e y, porque el punto de intersección consiste en x e y. Encuentre x, en el primer párrafo donde expresamos allí sustituimos y.
x = 3 + 10 años
x = 3 + 10 * (- 0,2) = 1
Es costumbre escribir puntos en primer lugar escribimos la variable x, y en el segundo la variable y.
Respuesta: (1; -0,2)
Ejemplo # 2:
Resolvamos por el método de suma (resta) término por término.
Resolver un sistema de ecuaciones por el método de la suma3x-2y = 1 (1 ecuación)
2x-3y = -10 (2 ecuación)
1.Elija una variable, digamos, elija x. En la primera ecuación, la variable x tiene un coeficiente de 3, en la segunda 2. Es necesario igualar los coeficientes, para ello tenemos derecho a multiplicar las ecuaciones o dividir por cualquier número. La primera ecuación se multiplica por 2 y la segunda por 3, y obtenemos un factor total de 6.
3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2
2x-3y = -10 | * 3
6x-9y = -30
2. Reste el segundo de la primera ecuación para deshacerse de la variable x. Resuelva la ecuación lineal.
__6x-4y = 2
5y = 32 | : 5
y = 6,4
3. Encuentre x. Sustituye la y encontrada en cualquiera de las ecuaciones, digamos en la primera ecuación.
3x-2y = 1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 + 12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6
El punto de intersección será x = 4.6; y = 6,4
Respuesta: (4.6; 6.4)
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