Logaritminės lygtys. Nuo paprasto iki sudėtingo. Logaritminių lygčių sprendimas. Kaip išspręsti, su pavyzdžiais Kvadratinių logaritminių lygčių sprendimas

Šioje pamokoje apžvelgsime pagrindinius teorinius faktus apie logaritmus ir svarstysime, kaip išspręsti paprasčiausias logaritmines lygtis.

Prisiminkime pagrindinį apibrėžimą – logaritmo apibrėžimą. Tai apima eksponentinės lygties sprendimą. Ši lygtis turi vieną šaknį, ji vadinama logaritmu iš b pagrindo a:

Apibrėžimas:

B logaritmas iki bazės a yra eksponentas, iki kurio bazę reikia pakelti, kad gautume b.

Leiskite jums priminti pagrindinė logaritminė tapatybė.

Išraiška (1 išraiška) yra lygties šaknis (2 išraiška). Pakeiskite x reikšmę iš 1 išraiškos vietoj x į 2 išraišką ir gaukite pagrindinę logaritminę tapatybę:

Taigi matome, kad kiekviena vertė yra susieta su verte. B pažymime x(), c – y ir taip gauname logaritminę funkciją:

Pavyzdžiui:

Prisiminkime pagrindines logaritminės funkcijos savybes.

Dar kartą atkreipkime dėmesį, nes po logaritmu gali būti griežtai teigiama išraiška, kaip logaritmo pagrindas.

Ryžiai. 1. Logaritminės funkcijos grafikas įvairiais pagrindais

Funkcijos at grafikas rodomas juodai. Ryžiai. 1. Jei argumentas didėja nuo nulio iki begalybės, funkcija didėja nuo minuso iki pliuso begalybės.

Funkcijos at grafikas rodomas raudonai. Ryžiai. 1.

Šios funkcijos savybės:

Domenas: ;

Vertybių diapazonas: ;

Funkcija yra monotoniška visoje apibrėžimo srityje. Kai monotoniškai (griežtai) didėja, didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę. Kai monotoniškai (griežtai) mažėja, didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Logaritminės funkcijos savybės yra raktas sprendžiant įvairias logaritmines lygtis.

Panagrinėkime paprasčiausią logaritminę lygtį, kaip taisyklė, sumažinamos iki šios formos.

Kadangi logaritmų pagrindai ir patys logaritmai yra lygūs, funkcijos pagal logaritmą taip pat yra lygios, tačiau neturime praleisti apibrėžimo srities. Pagal logaritmą gali atsirasti tik teigiamas skaičius, turime:

Išsiaiškinome, kad funkcijos f ir g yra lygios, todėl pakanka pasirinkti bet kurią nelygybę, kad atitiktų ODZ.

Taigi, mes turime mišrią sistemą, kurioje yra lygtis ir nelygybė:

Paprastai nelygybės spręsti nereikia, užtenka išspręsti lygtį ir rastąsias šaknis pakeisti į nelygybę, taip atliekant patikrinimą.

Suformuluokime paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimo būdą:

Išlyginti logaritmų pagrindus;

Sulyginti sublogaritmines funkcijas;

Atlikite patikrinimą.

Pažvelkime į konkrečius pavyzdžius.

1 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Iš pradžių logaritmų pagrindai yra lygūs, turime teisę sulyginti sublogaritmines išraiškas, nepamirškite apie ODZ, pasirenkame pirmąjį logaritmą nelygybei sudaryti:

2 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Ši lygtis skiriasi nuo ankstesnės tuo, kad logaritmų bazės yra mažesnės už vieną, tačiau tai neturi jokios įtakos sprendimui:

Raskime šaknį ir pakeiskime ją nelygybe:

Gavome neteisingą nelygybę, vadinasi, rasta šaknis netenkina ODZ.

3 pavyzdys – išspręskite lygtį:

Iš pradžių logaritmų pagrindai yra lygūs, turime teisę sulyginti sublogaritmines išraiškas, nepamirškite apie ODZ, nelygybei sudaryti pasirenkame antrą logaritmą:

Raskime šaknį ir pakeiskime ją nelygybe:

Akivaizdu, kad tik pirmoji šaknis tenkina DD.

Pavyzdžiai:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Kaip išspręsti logaritmines lygtis:

Spręsdami logaritminę lygtį, turėtumėte stengtis ją transformuoti į formą \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), tada pereikite į \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Pavyzdys:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Sprendimas: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Egzaminas:\(10>2\) – tinka DL Atsakymas:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Labai svarbus!Šis perėjimas gali būti atliktas tik jei:

Jūs parašėte pradinę lygtį, o pabaigoje patikrinsite, ar rastos yra įtrauktos į DL. Jei tai nebus padaryta, gali atsirasti papildomų šaknų, o tai reiškia neteisingą sprendimą.

Skaičius (arba išraiška) kairėje ir dešinėje yra vienodas;

Logaritmai kairėje ir dešinėje yra „grynieji“, tai yra, neturėtų būti daugybos, padalijimo ir pan. – tik pavieniai logaritmai abiejose lygybės ženklo pusėse.

Pavyzdžiui:

Atkreipkite dėmesį, kad 3 ir 4 lygtis galima nesunkiai išspręsti pritaikius reikiamas logaritmų savybes.

Pavyzdys . Išspręskite lygtį \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Sprendimas :

		Parašykime ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Kairėje prieš logaritmą yra koeficientas, dešinėje - logaritmų suma. Tai mus trikdo. Perkelkime juos į eksponentą \(x\) pagal savybę: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Pavaizduokime logaritmų sumą kaip vieną logaritmą pagal savybę: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Sumažinome lygtį į formą \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) ir užrašėme ODZ, o tai reiškia, kad galime pereiti prie formos \(f(x) =g(x)\ ).
		Įvyko . Mes tai išsprendžiame ir gauname šaknis.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Mes patikriname, ar šaknys tinka ODZ. Norėdami tai padaryti, \(x>0\) vietoj \(x\) pakeičiame \(5\) ir \(-5\). Šią operaciją galima atlikti žodžiu.
\(5>0\), \(-5>0\)		Pirmoji nelygybė tiesa, antroji – ne. Tai reiškia, kad \(5\) yra lygties šaknis, bet \(-5\) nėra. Užrašome atsakymą.

Atsakymas : \(5\)

Pavyzdys : išspręskite lygtį \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Sprendimas :

		Parašykime ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Tipinė lygtis, išspręsta naudojant . Pakeiskite \(\log_2⁡x\) į \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Gavome įprastą. Ieškome jo šaknų.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Atvirkštinis pakeitimas
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Transformuojame dešiniąsias puses, pateikdami jas logaritmais: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) ir \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Dabar mūsų lygtys yra \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), ir galime pereiti prie \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Mes patikriname ODZ šaknų atitiktį. Norėdami tai padaryti, vietoj \(x\) nelygybėje \(x>0\) pakeiskite \(4\) ir \(2\).
\(4>0\) \(2>0\)		Abi nelygybės yra teisingos. Tai reiškia, kad ir \(4\) ir \(2\) yra lygties šaknys.

Atsakymas : \(4\); \(2\).

Šiame straipsnyje pateikiamas sistemingas logaritminių lygčių sprendimo viename kintamajame metodų pristatymas. Tai padės mokytojui pirmiausia didaktine prasme: pratimų pasirinkimas leidžia kurti individualias užduotis mokiniams, atsižvelgiant į jų galimybes. Šie pratimai gali būti naudojami apibendrinimo pamokai ir ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui.
Trumpa teorinė informacija ir problemų sprendimai leidžia studentams savarankiškai ugdyti logaritminių lygčių sprendimo įgūdžius.

Logaritminių lygčių sprendimas.

Logaritminės lygtys - lygtys, kuriose po ženklu yra nežinomasis logaritmas Sprendžiant logaritmines lygtis dažnai naudojama teorinė informacija:

Paprastai logaritminių lygčių sprendimas prasideda nuo ODZ nustatymo. Logaritminėse lygtyse rekomenduojama visus logaritmus transformuoti taip, kad jų bazės būtų lygios. Tada lygtys arba išreiškiamos vienu logaritmu, kuris žymimas nauju kintamuoju, arba lygtis konvertuojama į formą, patogią stiprinti.
Logaritminių reiškinių transformacijos neturėtų lemti OD susiaurėjimo, tačiau jei taikomas sprendimo būdas susiaurina OD, nenagrinėjant atskirų skaičių, tada šie skaičiai užduoties pabaigoje turi būti patikrinti pakeičiant pradinę lygtį, nes Kai ODZ susiaurėja, galimas šaknų praradimas.

1. Formos lygtys– išraiška, kurioje yra nežinomas skaičius, o skaičius .

1) naudokite logaritmo apibrėžimą: ;
2) patikrinkite arba suraskite priimtinų nežinomo skaičiaus verčių diapazoną ir pasirinkite atitinkamas šaknis (sprendimus).
Jei) .

2. Pirmojo laipsnio lygtys logaritmo atžvilgiu, kurių sprendimui panaudotos logaritmų savybės.

Norėdami išspręsti tokias lygtis, jums reikia:

1) naudodamiesi logaritmų savybėmis transformuokite lygtį;
2) išspręskite gautą lygtį;
3) patikrinkite arba suraskite priimtinų nežinomo skaičiaus verčių diapazoną ir pasirinkite atitinkamas šaknis (sprendimus).
).

3. Antrojo ir aukštesnio laipsnio lygtis logaritmo atžvilgiu.

Norėdami išspręsti tokias lygtis, jums reikia:

1. atlikti kintamą pakeitimą;
2. išspręsti gautą lygtį;
3. atlikti atvirkštinį pakeitimą;
4. išspręsti gautą lygtį;
5. patikrinkite arba suraskite priimtinų nežinomo skaičiaus verčių diapazoną ir pasirinkite atitinkamas šaknis (sprendimus).

4. Lygtys, kurių bazėje ir eksponente yra nežinomasis.

Norėdami išspręsti tokias lygtis, jums reikia:

1. paimkite lygties logaritmą;
2. išspręsti gautą lygtį;
3. patikrinkite arba suraskite priimtinų nežinomo skaičiaus verčių diapazoną ir pasirinkite atitinkamas
   šaknys (sprendimai).

5. Lygtys, kurios neturi sprendimo.

1. Norint išspręsti tokias lygtis, reikia rasti ODZ lygtis.
2. Išanalizuokite kairę ir dešinę lygties puses.
3. Padarykite atitinkamas išvadas.

Pradinė lygtis yra lygiavertė sistemai:

Įrodykite, kad lygtis neturi sprendinio.

Lygties ODZ nustatoma pagal nelygybę x ≥ 0. ODZ turime

Teigiamojo ir neneigiamo skaičiaus suma nėra lygi nuliui, todėl pradinė lygtis neturi sprendinių.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Tik viena šaknis x = 0 patenka į ODZ. Atsakymas: 0.

Atliksime atvirkštinį pakeitimą.

Rastos šaknys priklauso ODZ.

ODZ lygtis yra visų teigiamų skaičių rinkinys.

Nes

Šios lygtys sprendžiamos panašiai:

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Naudotos knygos.

1. Beschetnovas V.M. Matematika. Maskvos demiurgas 1994 m
2. Borodulya I.T. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos. (užduotys ir pratimai). Maskvos „Švietimas“ 1984 m
3. Vavilovas V.V., Melnikovas I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Matematikos uždaviniai. Lygtys ir nelygybės. Maskvos „Mokslas“ 1987 m
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrinis simuliatorius. Maskvos „Ilexa“ 2007 m
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V.. Algebros problemos ir analizės principai. Maskvos „Švietimas“ 2003 m

Logaritminės lygtys. Mes ir toliau svarstome Vieningo valstybinio matematikos egzamino B dalies uždavinius. Kai kurių lygčių sprendimus jau išnagrinėjome straipsniuose „“, „“. Šiame straipsnyje apžvelgsime logaritmines lygtis. Iš karto pasakysiu, kad sprendžiant tokias lygtis vieningo valstybinio egzamino metu nebus jokių sudėtingų transformacijų. Jie yra paprasti.

Pakanka žinoti ir suprasti pagrindinį logaritminį tapatumą, žinoti logaritmo savybes. Atkreipkite dėmesį, kad ją išsprendę PRIVALOTE atlikti patikrinimą – gautą reikšmę pakeiskite į pradinę lygtį ir apskaičiuokite, galų gale turėtumėte gauti teisingą lygybę.

Apibrėžimas:

Skaičiaus logaritmas iki bazės b yra eksponentas,į kurią b turi būti pakeltas norint gauti a.

Pavyzdžiui:

Log 3 9 = 2, nes 3 2 = 9

Logaritmų savybės:

Ypatingi logaritmų atvejai:

Išspręskime problemas. Pirmajame pavyzdyje atliksime patikrinimą. Tolesnį patikrinimą atlikite patys.

Raskite lygties šaknį: log 3 (4–x) = 4

Kadangi log b a = x b x = a, tai

3 4 = 4 – x

x = 4–81

x = – 77

Egzaminas:

3 žurnalas (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Teisingai.

Atsakymas: – 77

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 2 (4 – x) = 7

Raskite lygties log 5 šaknį(4 + x) = 2

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę.

Kadangi log a b = x b x = a, tai

5 2 = 4 + x

x =5 2–4

x = 21

Egzaminas:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Teisingai.

Atsakymas: 21

Raskite lygties šaknį log 3 (14 – x) = log 3 5.

Vyksta tokia savybė, jos reikšmė tokia: jei kairėje ir dešinėje lygties pusėse turime logaritmus su ta pačia baze, tai po logaritmų ženklus galime sutapatinti išraiškas.

14 – x = 5

x=9

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 9

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį log 5 (5 – x) = log 5 3.

Raskite lygties šaknį: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Jei log c a = log c b, tai a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 6

Raskite lygties log 1/8 (13 – x) = – 2 šaknį.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13–64

x = – 51

Atlikite patikrinimą.

Nedidelis papildymas – turtas čia naudojamas

laipsnių ().

Atsakymas: 51

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 1/7 (7 – x) = – 2

Raskite lygties šaknį log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Paverskime dešinę pusę. Naudokimės turtu:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Jei log c a = log c b, tai a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 21

Spręskite patys:

Raskite lygties šaknį: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Išspręskite lygtį log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jei log c a = log c b, tai a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 2,75

Spręskite patys:

Raskite lygties log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10) šaknį.

Išspręskite lygtį log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Būtina gauti formos išraišką dešinėje lygties pusėje:

2 žurnalas (......)

Mes atstovaujame 1 kaip bazinį 2 logaritmą:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = 2 log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Mes gauname:

2 žurnalas (2 – x) = 2 log 2 (2 – 3x)

Jei log c a = log c b, tai a = b, tada

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 0,4

Spręskite patys: Toliau reikia išspręsti kvadratinę lygtį. Beje,

šaknys yra 6 ir – 4.

Šaknis "-4" nėra sprendimas, nes logaritmo bazė turi būti didesnė už nulį, o su "– 4" tai lygu " – 5" Sprendimas yra 6 šaknis.Atlikite patikrinimą.

Atsakymas: 6.

R valgyti savarankiškai:

Išspręskite lygtį log x –5 49 = 2. Jei lygtis turi daugiau nei vieną šaknį, atsakykite mažesne.

Kaip matėte, jokių sudėtingų transformacijų su logaritminėmis lygtimisNr. Pakanka žinoti logaritmo savybes ir mokėti jas taikyti. USE uždaviniuose, susijusiuose su logaritminių išraiškų transformavimu, atliekamos rimtesnės transformacijos ir reikalingi gilesni sprendimo įgūdžiai. Mes pažvelgsime į tokius pavyzdžius, nepraleiskite jų!Linkiu sėkmės!!!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Šiuo vaizdo įrašu pradedu ilgą pamokų apie logaritmines lygtis seriją. Dabar jūs turite tris pavyzdžius, kurių pagrindu mes išmoksime išspręsti paprasčiausias problemas, kurios vadinamos - pirmuonys.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Leiskite jums priminti, kad paprasčiausia logaritminė lygtis yra tokia:

log a f(x) = b

Šiuo atveju svarbu, kad kintamasis x būtų tik argumento viduje, tai yra tik funkcijoje f (x). O skaičiai a ir b yra tik skaičiai ir jokiu būdu nėra funkcijos, turinčios kintamąjį x.

Pagrindiniai sprendimo būdai

Yra daug būdų, kaip išspręsti tokias struktūras. Pavyzdžiui, dauguma mokytojų mokykloje siūlo tokį metodą: Nedelsdami išreikškite funkciją f (x) naudodami formulę f ( x) = a b . Tai yra, kai susiduriate su paprasčiausia konstrukcija, galite iškart pereiti prie sprendimo be papildomų veiksmų ir konstrukcijų.

Taip, žinoma, sprendimas bus teisingas. Tačiau šios formulės problema yra ta, kad dauguma studentų nesuprasti, iš kur ji kilusi ir kodėl a raidę keliame į raidę b.

Dėl to dažnai matau labai erzinančių klaidų, kai, pavyzdžiui, sukeičiamos šios raidės. Šią formulę reikia arba suprasti, arba prikimšti, o antrasis metodas priveda prie klaidų pačiais netinkamiausiais ir svarbiausiais momentais: per egzaminus, testus ir pan.

Todėl visiems savo mokiniams siūlau atsisakyti standartinės mokyklos formulės ir sprendžiant logaritmines lygtis naudoti antrąjį metodą, kuris, kaip tikriausiai atspėjote iš pavadinimo, vadinasi kanoninė forma.

Kanoninės formos idėja yra paprasta. Dar kartą pažvelkime į savo problemą: kairėje turime log a, o raide a reiškia skaičių, o jokiu būdu ne funkciją, kurioje yra kintamasis x. Todėl šiai raidei taikomi visi apribojimai, taikomi logaritmo pagrindui. būtent:

1 ≠ a > 0

Kita vertus, iš tos pačios lygties matome, kad logaritmas turi būti lygus skaičiui b, ir šiai raidei nėra taikomi jokie apribojimai, nes ji gali įgauti bet kokią reikšmę – ir teigiamą, ir neigiamą. Viskas priklauso nuo to, kokias reikšmes įgyja funkcija f(x).

Ir čia mes prisimename mūsų nuostabią taisyklę, kad bet kuris skaičius b gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baziniu a iš a iki b laipsnio:

b = log a a b

Kaip atsiminti šią formulę? Taip, labai paprasta. Parašykime tokią konstrukciją:

b = b 1 = b log a a

Žinoma, tokiu atveju atsiranda visi apribojimai, kuriuos užsirašėme pradžioje. Dabar panaudokime pagrindinę logaritmo savybę ir įveskime daugiklį b kaip a laipsnį. Mes gauname:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Dėl to pradinė lygtis bus perrašyta taip:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Tai viskas. Naujojoje funkcijoje nebėra logaritmo ir ją galima išspręsti naudojant standartinius algebrinius metodus.

Žinoma, dabar kas nors paprieštaraus: kodėl išvis reikėjo sugalvoti kokią nors kanoninę formulę, kam atlikti du papildomus nereikalingus veiksmus, jei buvo galima iš karto pereiti nuo pirminio dizaino prie galutinės formulės? Taip, jei tik todėl, kad dauguma studentų nesupranta, iš kur atsiranda ši formulė, ir dėl to reguliariai klysta ją taikydami.

Tačiau ši veiksmų seka, susidedanti iš trijų žingsnių, leidžia išspręsti pradinę logaritminę lygtį, net jei nesuprantate, iš kur kyla galutinė formulė. Beje, šis įrašas vadinamas kanonine formule:

log a f (x) = log a a b

Kanoninės formos patogumas slypi ir tame, kad ja galima išspręsti labai plačią logaritminių lygčių klasę, o ne tik pačias paprasčiausias, kurias šiandien svarstome.

Sprendimų pavyzdžiai

Dabar pažvelkime į tikrus pavyzdžius. Taigi, nuspręskime:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Perrašykime taip:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Daugelis studentų skuba ir stengiasi iš karto pakelti skaičių 0,5 iki galios, kuri mums kilo iš pradinės problemos. Iš tiesų, kai jau esate gerai apmokytas spręsti tokias problemas, galite nedelsdami atlikti šį veiksmą.

Tačiau jei dabar tik pradedate nagrinėti šią temą, geriau niekur neskubėkite, kad išvengtumėte įžeidžiančių klaidų. Taigi, turime kanoninę formą. Mes turime:

3x − 1 = 0,5 −3

Tai nebėra logaritminė lygtis, o tiesinė kintamojo x atžvilgiu. Norėdami tai išspręsti, pirmiausia pažvelkime į skaičių 0,5 iki −3 laipsnio. Atminkite, kad 0,5 yra 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Spręsdami logaritminę lygtį, visas dešimtaines trupmenas paverskite paprastosiomis trupmenomis.

Perrašome ir gauname:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Štai ir gavome atsakymą. Pirmoji problema išspręsta.

Antra užduotis

Pereikime prie antrosios užduoties:

Kaip matome, ši lygtis nebėra pati paprasčiausia. Jei tik dėl to, kad kairėje yra skirtumas, o ne vieno pagrindo logaritmas.

Todėl turime kažkaip atsikratyti šio skirtumo. Šiuo atveju viskas labai paprasta. Pažvelkime atidžiau į pagrindus: kairėje yra skaičius po šaknimi:

Bendra rekomendacija: visose logaritminėse lygtyse stenkitės atsikratyti radikalų, t. y. nuo įrašų su šaknimis ir pereikite prie laipsnių funkcijų vien todėl, kad šių galių rodikliai lengvai pašalinami iš logaritmo ženklo ir galiausiai tokie. įrašas žymiai supaprastina ir pagreitina skaičiavimus. Užrašykime taip:

Dabar prisiminkime nuostabią logaritmo savybę: galias galima išvesti iš argumento, taip pat iš bazės. Esant pagrindams, atsitinka taip:

log a k b = 1/k loga b

Kitaip tariant, skaičius, kuris buvo bazinėje galioje, pakeliamas į priekį ir tuo pačiu apverčiamas, tai yra, jis tampa abipusiu skaičiumi. Mūsų atveju bazinis laipsnis buvo 1/2. Todėl galime jį išimti kaip 2/1. Mes gauname:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Atkreipkite dėmesį: šiame žingsnyje jokiu būdu neturėtumėte atsikratyti logaritmų. Prisiminkite 4-5 klasių matematiką ir operacijų eiliškumą: pirmiausia atliekama daugyba, o tik tada sudėjimas ir atėmimas. Šiuo atveju iš 10 elementų atimame vieną iš tų pačių elementų:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Dabar mūsų lygtis atrodo taip, kaip turėtų. Tai paprasčiausia konstrukcija, kurią išsprendžiame naudodami kanoninę formą:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Tai viskas. Antroji problema išspręsta.

Trečias pavyzdys

Pereikime prie trečios užduoties:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Leiskite jums priminti šią formulę:

log b = log 10 b

Jei dėl kokių nors priežasčių jus glumina žymėjimo žurnalas b , tada atlikdami visus skaičiavimus galite tiesiog įrašyti log 10 b . Su dešimtainiais logaritmais galite dirbti taip pat, kaip ir su kitais: imkite laipsnius, sudėkite ir pavaizduokite bet kokius skaičius lg 10 forma.

Būtent šias savybes dabar naudosime spręsdami problemą, nes tai nėra pati paprasčiausia, kurią užsirašėme pačioje pamokos pradžioje.

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad koeficientas 2 priešais lg 5 gali būti pridėtas ir tampa 5 bazės laipsniu. Be to, laisvasis terminas 3 taip pat gali būti pavaizduotas kaip logaritmas – tai labai lengva pastebėti iš mūsų užrašymo.

Spręskite patys: bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip žurnalas iki 10 bazės:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Perrašykime pradinę problemą, atsižvelgdami į gautus pakeitimus:

log (x – 3) = log 1000 + log 25
log (x – 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Prieš mus vėl yra kanoninė forma, kurią gavome neperėję transformacijos etapo, t.y., niekur neatsirado paprasčiausia logaritminė lygtis.

Būtent apie tai kalbėjau pačioje pamokos pradžioje. Kanoninė forma leidžia išspręsti platesnę problemų klasę nei standartinė mokyklos formulė, kurią pateikia daugumos mokyklų mokytojai.

Na, štai, atsikratome dešimtainio logaritmo ženklo ir gauname paprastą tiesinę konstrukciją:

x + 3 = 25 000
x = 24 997

Viskas! Problema išspręsta.

Pastaba apie taikymo sritį

Čia norėčiau pateikti svarbią pastabą dėl apibrėžimo apimties. Tikrai dabar atsiras mokinių ir mokytojų, kurie sakys: „Spręsdami reiškinius logaritmais, turime atsiminti, kad argumentas f (x) turi būti didesnis už nulį! Šiuo atžvilgiu kyla logiškas klausimas: kodėl mes nereikalavome, kad ši nelygybė būtų patenkinta nė vienoje iš nagrinėjamų problemų?

Nesijaudink. Tokiais atvejais neatsiras papildomų šaknų. Ir tai dar vienas puikus triukas, leidžiantis paspartinti sprendimą. Tiesiog žinokite, kad jei uždavinyje kintamasis x yra tik vienoje vietoje (tiksliau, viename vieno logaritmo argumente), o niekur kitur mūsų atveju kintamasis x nepasirodo, tada užrašykite apibrėžimo sritį. nereikia, nes jis bus vykdomas automatiškai.

Spręskite patys: pirmoje lygtyje gavome, kad 3x − 1, t.y. argumentas turi būti lygus 8. Tai automatiškai reiškia, kad 3x − 1 bus didesnis už nulį.

Su ta pačia sėkme galime rašyti, kad antruoju atveju x turėtų būti lygus 5 2, t.y. jis tikrai didesnis už nulį. Ir trečiuoju atveju, kur x + 3 = 25 000, t.y., vėlgi, akivaizdžiai didesnis už nulį. Kitaip tariant, apimtis tenkinama automatiškai, bet tik tuo atveju, jei x yra tik vieno logaritmo argumente.

Tai viskas, ką reikia žinoti norint išspręsti paprasčiausias problemas. Vien ši taisyklė kartu su transformacijos taisyklėmis leis išspręsti labai plačią problemų klasę.

Bet būkime sąžiningi: norint pagaliau suprasti šią techniką ir išmokti taikyti kanoninę logaritminės lygties formą, neužtenka tik žiūrėti vieną vaizdo pamoką. Todėl jau dabar atsisiųskite nepriklausomų sprendimų parinktis, kurios pridedamos prie šios vaizdo pamokos, ir pradėkite spręsti bent vieną iš šių dviejų savarankiškų darbų.

Tai užtruks tiesiog kelias minutes. Tačiau tokių mokymų poveikis bus daug didesnis nei tuo atveju, jei tiesiog žiūrėtumėte šią vaizdo pamoką.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės suprasti logaritmines lygtis. Naudokite kanoninę formą, supaprastinkite išraiškas, naudodamiesi darbo su logaritmais taisyklėmis - ir jūs nebijosite jokių problemų. Tai viskas, ką šiandien turiu.

Atsižvelgiant į apibrėžimo sritį

Dabar pakalbėkime apie logaritminės funkcijos apibrėžimo sritį ir kaip tai veikia logaritminių lygčių sprendimą. Apsvarstykite formos konstrukciją

log a f(x) = b

Tokia išraiška vadinama paprasčiausia – joje yra tik viena funkcija, o skaičiai a ir b yra tik skaičiai, ir jokiu būdu ne funkcija, kuri priklauso nuo kintamojo x. Tai galima išspręsti labai paprastai. Jums tereikia naudoti formulę:

b = log a a b

Ši formulė yra viena iš pagrindinių logaritmo savybių, o pakeitę pradinę išraišką gauname:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Tai pažįstama formulė iš mokyklinių vadovėlių. Daugeliui studentų tikriausiai kils klausimas: kadangi pradinėje išraiškoje funkcija f (x) yra po žurnalo ženklu, jai taikomi šie apribojimai:

f(x) > 0

Šis apribojimas taikomas, nes neigiamų skaičių logaritmas neegzistuoja. Taigi, galbūt dėl ​​šio apribojimo reikėtų pradėti tikrinti atsakymus? Galbūt juos reikia įterpti į šaltinį?

Ne, paprasčiausiose logaritminėse lygtyse papildomas tikrinimas nereikalingas. Ir todėl. Pažvelkite į mūsų galutinę formulę:

f (x) = a b

Faktas yra tas, kad skaičius a bet kuriuo atveju yra didesnis nei 0 - šį reikalavimą taip pat nustato logaritmas. Skaičius a yra pagrindas. Šiuo atveju skaičiui b netaikomi jokie apribojimai. Bet tai nesvarbu, nes kad ir kokia galia padidintume teigiamą skaičių, vis tiek gausime teigiamą skaičių išvestyje. Taigi reikalavimas f(x) > 0 tenkinamas automatiškai.

Tikrai verta patikrinti funkcijos domeną po žurnalo ženklu. Gali būti gana sudėtingų struktūrų, todėl sprendimo proceso metu tikrai turite jas stebėti. Pažiūrėkime.

Pirma užduotis:

Pirmas žingsnis: konvertuokite dešinėje esančią trupmeną. Mes gauname:

Atsikratome logaritmo ženklo ir gauname įprastą neracionalią lygtį:

Iš gautų šaknų mums tinka tik pirmoji, nes antroji šaknis mažesnė už nulį. Vienintelis atsakymas bus skaičius 9. Štai ir viskas, problema išspręsta. Norint įsitikinti, kad išraiška po logaritmo ženklu yra didesnė už 0, papildomų patikrų nereikia, nes ji ne tik didesnė už 0, bet pagal lygties sąlygą lygi 2. Todėl reikalavimas „didesnis už nulį “ patenkinamas automatiškai.

Pereikime prie antrosios užduoties:

Čia viskas taip pat. Perrašome konstrukciją, pakeisdami trigubą:

Atsikratome logaritmo ženklų ir gauname neracionalią lygtį:

Atsižvelgdami į apribojimus išlyginame abi puses ir gauname:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Gautą lygtį išsprendžiame per diskriminantą:

D = 49 - 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Bet x = −6 mums netinka, nes jei šį skaičių pakeisime į savo nelygybę, gausime:

−6 + 4 = −2 < 0

Mūsų atveju reikalaujama, kad jis būtų didesnis nei 0 arba, kraštutiniais atvejais, lygus. Bet x = −1 mums tinka:

−1 + 4 = 3 > 0

Vienintelis atsakymas mūsų atveju bus x = −1. Štai ir sprendimas. Grįžkime į pačią mūsų skaičiavimo pradžią.

Pagrindinė šios pamokos pamoka yra ta, kad jums nereikia tikrinti funkcijos apribojimų paprastose logaritminėse lygtyse. Kadangi sprendimo proceso metu visi apribojimai tenkinami automatiškai.

Tačiau tai jokiu būdu nereiškia, kad galite visiškai pamiršti apie patikrinimą. Darbo su logaritmine lygtimi procese ji gali virsti neracionalia, kuri turės savo apribojimus ir reikalavimus dešinei pusei, kurią šiandien matėme dviejuose skirtinguose pavyzdžiuose.

Nedvejodami spręskite tokias problemas ir būkite ypač atsargūs, jei ginče yra šaknis.

Logaritminės lygtys su skirtingais pagrindais

Toliau tiriame logaritmines lygtis ir apžvelgiame dar du gana įdomius metodus, kuriais madinga spręsti sudėtingesnes konstrukcijas. Tačiau pirmiausia prisiminkime, kaip išsprendžiamos paprasčiausios problemos:

log a f(x) = b

Šiame įraše a ir b yra skaičiai, o funkcijoje f (x) turi būti kintamasis x ir tik ten, tai yra, x turi būti tik argumente. Tokias logaritmines lygtis transformuosime naudodami kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į tai

b = log a a b

Be to, a b yra būtent argumentas. Perrašykime šią išraišką taip:

log a f (x) = log a a b

Būtent to mes ir siekiame, kad būtų logaritmas, pagrįsti a kairėje ir dešinėje. Šiuo atveju galime, vaizdžiai tariant, perbraukti rąsto ženklus, o matematiniu požiūriu galime teigti, kad argumentus tiesiog tapatiname:

f (x) = a b

Dėl to gausime naują išraišką, kurią bus daug lengviau išspręsti. Taikykime šią taisyklę savo problemoms šiandien.

Taigi, pirmasis dizainas:

Pirmiausia atkreipiu dėmesį, kad dešinėje yra trupmena, kurios vardiklis yra log. Kai matote tokią išraišką, verta prisiminti nuostabią logaritmų savybę:

Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia, kad bet kurį logaritmą galima pavaizduoti kaip dviejų logaritmų su bet kuria baze c koeficientą. Žinoma 0< с ≠ 1.

Taigi: ši formulė turi vieną nuostabų ypatingą atvejį, kai kintamasis c yra lygus kintamajam b. Šiuo atveju gauname tokią konstrukciją:

Būtent tokią konstrukciją matome iš ženklo dešinėje mūsų lygtyje. Pakeiskime šią konstrukciją log a b , gausime:

Kitaip tariant, palyginus su pradine užduotimi, mes sukeitėme argumentą ir logaritmo bazę. Vietoj to, mes turėjome pakeisti trupmeną.

Primename, kad bet koks laipsnis gali būti išvestas iš bazės pagal šią taisyklę:

Kitaip tariant, koeficientas k, kuris yra bazės laipsnis, išreiškiamas kaip atvirkštinė trupmena. Pateiksime ją kaip apverstą trupmeną:

Trupmeninio koeficiento negalima palikti priekyje, nes tokiu atveju šio žymėjimo negalėsime pavaizduoti kaip kanoninės formos (juk kanoninėje formoje prieš antrąjį logaritmą papildomo koeficiento nėra). Todėl kaip laipsnį prie argumento pridėkime trupmeną 1/4:

Dabar sulyginame argumentus, kurių pagrindai yra vienodi (o mūsų pagrindai iš tikrųjų yra tokie patys), ir rašome:

x + 5 = 1

x = −4

Tai viskas. Gavome atsakymą į pirmąją logaritminę lygtį. Atkreipkite dėmesį: pradinėje užduotyje kintamasis x rodomas tik viename žurnale ir jo argumente. Todėl nereikia tikrinti domeno, o mūsų skaičius x = −4 iš tikrųjų yra atsakymas.

Dabar pereikime prie antrosios išraiškos:

log 56 = log 2 log 2 7 – 3 log (x + 4)

Čia, be įprastų logaritmų, teks dirbti su log f (x). Kaip išspręsti tokią lygtį? Nepasiruošusiam mokiniui gali atrodyti, kad tai sunki užduotis, bet iš tikrųjų viską galima išspręsti elementariai.

Atidžiai pažvelkite į terminą lg 2 log 2 7. Ką apie tai galime pasakyti? Log ir lg pagrindai ir argumentai yra vienodi, ir tai turėtų suteikti tam tikrų idėjų. Dar kartą prisiminkime, kaip galios išimamos iš po logaritmo ženklo:

log a b n = nlog a b

Kitaip tariant, tai, kas argumente buvo b galia, tampa veiksniu prieš patį logą. Šią formulę pritaikykime reiškiniui lg 2 log 2 7. Neišsigąskite lg 2 – tai dažniausiai pasitaikanti išraiška. Galite perrašyti taip:

Jam galioja visos taisyklės, taikomos bet kuriam kitam logaritmui. Visų pirma prie argumento laipsnio gali būti pridėtas veiksnys priešais. Užsirašykime:

Labai dažnai mokiniai šio veiksmo tiesiogiai nemato, nes nėra gerai įvesti vieną rąstą po kito ženklu. Tiesą sakant, tame nėra nieko nusikalstamo. Be to, gauname formulę, kurią lengva apskaičiuoti, jei atsimenate svarbią taisyklę:

Šią formulę galima laikyti ir apibrėžimu, ir viena iš jos savybių. Bet kokiu atveju, jei konvertuojate logaritminę lygtį, turėtumėte žinoti šią formulę taip, kaip žinotumėte bet kurio skaičiaus logaritmą.

Grįžkime prie savo užduoties. Perrašome atsižvelgdami į tai, kad pirmasis lygybės ženklo dešinėje esantis narys bus tiesiog lygus lg 7. Turime:

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Perkelkime lg 7 į kairę, gausime:

lg 56 – log 7 = –3 lg (x + 4)

Atimame kairėje esančias išraiškas, nes jų pagrindas yra tas pats:

lg (56/7) = –3 lg (x + 4)

Dabar atidžiau pažvelkime į gautą lygtį. Tai praktiškai kanoninė forma, tačiau dešinėje yra koeficientas −3. Pridėkime jį prie tinkamo lg argumento:

log 8 = log (x + 4) −3

Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl išbraukiame lg ženklus ir sulyginame argumentus:

(x + 4) –3 = 8

x + 4 = 0,5

Tai viskas! Išsprendėme antrąją logaritminę lygtį. Šiuo atveju papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje užduotyje x buvo tik viename argumente.

Leiskite dar kartą išvardinti pagrindinius šios pamokos dalykus.

Pagrindinė formulė, kuri mokoma visose šio puslapio pamokose, skirtose logaritminėms lygtims spręsti, yra kanoninė forma. Ir neišsigąskite dėl to, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių tokias problemas mokoma spręsti kitaip. Šis įrankis veikia labai efektyviai ir leidžia išspręsti daug platesnę užduočių grupę nei pačios paprasčiausios, kurias nagrinėjome pačioje pamokos pradžioje.

Be to, norint išspręsti logaritmines lygtis, bus naudinga žinoti pagrindines savybes. Būtent:

1. Perėjimo prie vienos bazės formulė ir specialus atvejis, kai registruojame atvirkščiai (tai mums buvo labai naudinga atliekant pirmąją problemą);
2. Logaritmo ženklo galių pridėjimo ir atėmimo formulė. Čia daugelis studentų įstringa ir nemato, kad paimtame ir įvestame laipsnyje gali būti log f (x). Nieko blogo tame. Vieną rąstą galime įvesti pagal kito ženklą ir tuo pačiu gerokai supaprastinti problemos sprendimą, ką ir stebime antruoju atveju.

Baigdamas noriu pridurti, kad nebūtina tikrinti apibrėžimo srities kiekvienu iš šių atvejų, nes visur kintamasis x yra tik viename log ženkle, o tuo pačiu yra ir jo argumente. Dėl to visi taikymo srities reikalavimai įvykdomi automatiškai.

Problemos su kintamu pagrindu

Šiandien pažvelgsime į logaritmines lygtis, kurios daugeliui studentų atrodo nestandartinės, jei ne visiškai neišsprendžiamos. Kalbame apie išraiškas, pagrįstas ne skaičiais, o kintamaisiais ir net funkcijomis. Tokias konstrukcijas spręsime naudodami standartinę techniką, būtent per kanoninę formą.

Pirmiausia prisiminkime, kaip sprendžiamos paprasčiausios problemos, remiantis įprastais skaičiais. Taigi, vadinama paprasčiausia konstrukcija

log a f(x) = b

Norėdami išspręsti tokias problemas, galime naudoti šią formulę:

b = log a a b

Perrašome savo pradinę išraišką ir gauname:

log a f (x) = log a a b

Tada sulyginame argumentus, t.y. rašome:

f (x) = a b

Taip atsikratome rąsto ženklo ir išsprendžiame įprastą problemą. Šiuo atveju iš sprendinio gautos šaknys bus pradinės logaritminės lygties šaknys. Be to, įrašas, kai ir kairė, ir dešinė yra tame pačiame logaritme su ta pačia baze, tiksliai vadinamas kanonine forma. Būtent iki tokio rekordo mes stengsimės sumažinti šiandienos dizainą. Taigi, eime.

Pirma užduotis:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Pakeiskite 1 log x − 2 (x − 2) 1 . Laipsnis, kurį stebime argumente, iš tikrųjų yra skaičius b, esantis lygybės ženklo dešinėje. Taigi, perrašykime savo išraišką. Mes gauname:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ką mes matome? Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl galime saugiai sulyginti argumentus. Mes gauname:

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes ši lygtis nėra lygiavertė pradinei. Galų gale, gauta konstrukcija susideda iš funkcijų, kurios yra apibrėžtos visoje skaičių eilutėje, o mūsų pradiniai logaritmai yra apibrėžti ne visur ir ne visada.

Todėl apibrėžimo sritį turime užrašyti atskirai. Neskaidykime plaukų ir pirmiausia surašykime visus reikalavimus:

Pirma, kiekvieno logaritmo argumentas turi būti didesnis nei 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Antra, bazė turi būti ne tik didesnė nei 0, bet ir skirtis nuo 1:

x – 2 ≠ 1

Kaip rezultatas, mes gauname sistemą:

Tačiau neišsigąskite: apdorojant logaritmines lygtis tokia sistema gali būti gerokai supaprastinta.

Spręskite patys: viena vertus, iš mūsų reikalaujama, kad kvadratinė funkcija būtų didesnė už nulį, kita vertus, ši kvadratinė funkcija prilyginama tam tikrai tiesinei išraiškai, kuri taip pat reikalaujama, kad ji būtų didesnė už nulį.

Šiuo atveju, jei reikalaujame, kad x − 2 > 0, tada reikalavimas 2x 2 − 13x + 18 > 0 bus automatiškai įvykdytas. Todėl galime saugiai išbraukti nelygybę, kurioje yra kvadratinė funkcija. Taigi mūsų sistemoje esančių išraiškų skaičius bus sumažintas iki trijų.

Žinoma, su tokia pačia sėkme galėtume nubraukti tiesinę nelygybę, tai yra, nubraukti x − 2 > 0 ir reikalauti, kad 2x 2 − 13x + 18 > 0. Tačiau sutiksite, kad paprasčiausią tiesinę nelygybę išspręsti yra daug greičiau. ir paprastesnis, nei kvadratinis, net su sąlyga, kad išsprendę visą šią sistemą gausime tas pačias šaknis.

Apskritai, kai tik įmanoma, stenkitės optimizuoti skaičiavimus. O logaritminių lygčių atveju išbraukite sunkiausias nelygybes.

Perrašykime savo sistemą:

Čia yra trijų posakių sistema, iš kurių dvi iš tikrųjų jau nagrinėjome. Atskirai išrašykime kvadratinę lygtį ir išspręskime:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Prieš mus yra sumažintas kvadratinis trinaris, todėl galime naudoti Vietos formules. Mes gauname:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

Dabar grįžtame į savo sistemą ir nustatome, kad x = 2 mums netinka, nes reikalaujama, kad x būtų griežtai didesnis už 2.

Bet x = 5 mums puikiai tinka: skaičius 5 didesnis už 2, o tuo pačiu 5 nelygus 3. Todėl vienintelis šios sistemos sprendimas bus x = 5.

Štai viskas, problema išspręsta, įskaitant atsižvelgiant į ODZ. Pereikime prie antrosios lygties. Daugiau įdomių ir informatyvių skaičiavimų mūsų laukia čia:

Pirmas žingsnis: kaip ir praėjusį kartą, visą šį reikalą perkeliame į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, skaičių 9 galime parašyti taip:

Šaknies pagrindą galima palikti nepaliestą, tačiau argumentą geriau pakeisti. Pereikime nuo šaknies prie laipsnio su racionaliuoju rodikliu. Užsirašykime:

Leiskite neperrašyti visos mūsų didelės logaritminės lygties, o tiesiog iš karto sulyginti argumentus:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Prieš mus yra naujai sumažintas kvadratinis trinaris, panaudokime Vietos formules ir parašykime:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Taigi, gavome šaknis, bet niekas negarantavo, kad jos atitiks pradinę logaritminę lygtį. Juk rąsto ženklai nustato papildomus apribojimus (čia turėjome užsirašyti sistemą, bet dėl ​​visos struktūros gremėzdiškumo nusprendžiau apibrėžimo sritį skaičiuoti atskirai).

Visų pirma, atminkite, kad argumentai turi būti didesni nei 0, būtent:

Tai yra apibrėžimo apimties keliami reikalavimai.

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad kadangi pirmąsias dvi sistemos išraiškas prilyginsime viena kitai, bet kurią iš jų galime išbraukti. Pirmąjį išbraukime, nes jis atrodo grėsmingesnis nei antrasis.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad antrosios ir trečiosios nelygybės sprendiniai bus tos pačios aibės (kai kurių skaičių kubas yra didesnis už nulį, jei pats skaičius yra didesnis už nulį; panašiai ir su trečiojo laipsnio šaknimi - šios nelygybės yra visiškai analogiški, todėl galime jį išbraukti).

Tačiau su trečiąja nelygybe tai neveiks. Atsikratykime radikalaus ženklo kairėje, pakeldami abi dalis į kubą. Mes gauname:

Taigi gauname šiuos reikalavimus:

− 2 ≠ x > −3

Kuri iš mūsų šaknų: x 1 = −3 arba x 2 = −1 atitinka šiuos reikalavimus? Akivaizdu, kad tik x = −1, nes x = −3 netenkina pirmosios nelygybės (nes mūsų nelygybė yra griežta). Taigi, grįžtant prie uždavinio, gauname vieną šaknį: x = −1. Štai ir viskas, problema išspręsta.

Dar kartą, pagrindiniai šios užduoties punktai:

1. Nedvejodami pritaikykite ir spręskite logaritmines lygtis naudodami kanoninę formą. Studentai, kurie daro tokį žymėjimą, užuot pereidami tiesiai nuo pradinės problemos prie tokios konstrukcijos kaip log a f (x) = b, daro daug mažiau klaidų nei tie, kurie kažkur skuba, praleidžiant tarpinius skaičiavimo veiksmus;
2. Kai tik logaritme atsiranda kintamoji bazė, problema nustoja būti pati paprasčiausia. Todėl sprendžiant ją būtina atsižvelgti į apibrėžimo sritį: argumentai turi būti didesni už nulį, o pagrindai turi būti ne tik didesni už 0, bet ir nelygūs 1.

Galutiniai reikalavimai gali būti taikomi galutiniams atsakymams įvairiais būdais. Pavyzdžiui, galite išspręsti visą sistemą, kurioje yra visi apibrėžimo srities reikalavimai. Kita vertus, pirmiausia galite išspręsti pačią problemą, o tada prisiminti apibrėžimo sritį, atskirai ją parengti sistemos pavidalu ir pritaikyti gautoms šaknims.

Kurį metodą pasirinkti sprendžiant konkrečią logaritminę lygtį, priklauso nuo jūsų. Bet kokiu atveju atsakymas bus tas pats.