Netinkami pirmosios rūšies integralai. Iš esmės tai yra tas pats apibrėžtasis integralas, tačiau tais atvejais, kai integralai turi begalinę viršutinę arba apatinę integravimo ribas arba abi integracijos ribos yra begalinės.

Netinkami antrojo tipo integralai. Iš esmės tai yra tas pats apibrėžtasis integralas, tačiau tais atvejais, kai integralas imamas iš neapribotų funkcijų, integrandas, esantis baigtiniame taškų skaičiuje, neturi baigtinio integravimo segmento, besisukančio į begalybę.

Palyginimui.Įvedant apibrėžtojo integralo sąvoką buvo daroma prielaida, kad funkcija f(x) yra tęstinis intervale [ a, b], o integravimo segmentas yra baigtinis, tai yra, jį riboja skaičiai, o ne begalybė. Dėl kai kurių užduočių reikia atsisakyti šių apribojimų. Taip atsiranda netinkami integralai.

Netinkamo integralo geometrinė reikšmė Pasirodo gana paprastai. Tuo atveju, kai funkcijos grafikas y = f(x) yra virš ašies Jautis, apibrėžtasis integralas išreiškia kreivinės trapecijos, apribotos kreive, plotą y = f(x) , x ašis ir ordinatės x = a , x = b. Savo ruožtu netinkamas integralas išreiškia neribotos (begalinės) kreivinės trapecijos, esančios tarp eilučių, plotą y = f(x) (paveikslėlyje žemiau - raudona), x = a ir abscisių ašį.

Netinkami integralai apibrėžiami panašiai ir kitiems begaliniams intervalams:

Begalinės kreivos trapecijos plotas gali būti baigtinis skaičius, tokiu atveju netinkamas integralas vadinamas konvergentiniu. Plotas taip pat gali būti begalinis, ir šiuo atveju netinkamas integralas vadinamas divergentiniu.

Integralo ribos naudojimas vietoj paties netinkamo integralo. Norint įvertinti netinkamą integralą, reikia naudoti apibrėžtojo integralo ribą. Jeigu ši riba egzistuoja ir yra baigtinė (nelygu begalybei), tai netinkamas integralas vadinamas konvergentiniu, o kitaip – ​​divergentiniu. Tai, kas kintamasis yra po ribinio ženklo, priklauso nuo to, ar mes susiduriame su netinkamu pirmosios ar antrosios rūšies integralu. Išsiaiškinkime tai dabar.

Netinkami pirmosios rūšies integralai – su begalinėmis ribomis ir jų konvergencija

Netinkami integralai su begaline viršutine riba

Taigi netinkamo integralo rašymas skiriasi nuo įprasto apibrėžtojo integralo tuo, kad viršutinė integralo riba yra begalinė.

Apibrėžimas. Netinkamas integralas su begaline viršutine tolydžios funkcijos integravimo riba f(x) intervale nuo a prieš ∞ vadinama šios funkcijos integralo riba su viršutine integravimo riba b ir apatinė integracijos riba a su sąlyga, kad viršutinė integracijos riba auga neribotai, t.y.

.

Jei ši riba egzistuoja ir yra lygi tam tikram skaičiui, o ne begalybei, tada netinkamas integralas vadinamas konvergentiniu, o jo reikšme laikomas skaičius, kuriam lygi riba. Priešingu atveju netinkamas integralas vadinamas divergentiniu ir jam nepriskiriama jokia prasmė.

1 pavyzdys. Apskaičiuokite netinkamą integralą(jei jis susilieja).

Sprendimas. Remdamiesi netinkamo integralo apibrėžimu, randame

Kadangi riba egzistuoja ir yra lygi 1, tai tai netinkamas integralas konverguoja ir yra lygus 1.

Toliau pateiktame pavyzdyje integrandas yra beveik toks pat kaip 1 pavyzdyje, tik laipsnis x yra ne du, o raidė alfa, o užduotis yra ištirti netinkamą integralą konvergencijai. Tai yra, dar reikia atsakyti į klausimą: prie kokių alfa verčių šis netinkamas integralas susilieja, o prie kokių – skiriasi?

2 pavyzdys. Ištirkite konvergencijos netinkamą integralą(apatinė integracijos riba yra didesnė už nulį).

Sprendimas. Pirmiausia manykime, kad tada

Gautoje išraiškoje pereiname prie ribos ties:

Nesunku pastebėti, kad riba dešinėje egzistuoja ir yra lygi nuliui kai , tai yra, ir neegzistuoja, kai , tai yra .

Pirmuoju atveju, tai yra, kai . Jei tada ir neegzistuoja.

Mūsų tyrimo išvada yra tokia: tai netinkamas integralas konverguoja ir skiriasi adresu .

Niutono-Leibnizo formulės taikymas tiriamo netinkamo integralo tipui , galite gauti šią formulę, kuri yra labai panaši į ją:

.

Tai apibendrinta Niutono-Leibnizo formulė.

3 pavyzdys. Apskaičiuokite netinkamą integralą(jei jis susilieja).

Egzistuoja šio integralo riba:

Antrasis integralas, sudarantis pradinį integralą išreiškiančią sumą:

Taip pat egzistuoja šio integralo riba:

.

Randame dviejų integralų sumą, kuri yra ir pradinio netinkamo integralo su dviem begalinėmis ribomis vertė:

Netinkami antrojo tipo integralai - iš neribotų funkcijų ir jų konvergencijos

Tegul funkcija f(x) pateikta segmente nuo a prieš b ir yra neribotas. Tarkime, kad funkcija taške eina į begalybę b , o visuose kituose atkarpos taškuose jis yra tęstinis.

Apibrėžimas. Netinkamas funkcijos integralas f(x) segmente nuo a prieš b vadinama šios funkcijos integralo riba su viršutine integravimo riba c , jei kai stengiamasi c Į b funkcija didėja neribotai, ir taške x = b funkcija neapibrėžta, t.y.

.

Jei ši riba egzistuoja, tada netinkamas antrosios rūšies integralas vadinamas konvergentiniu, o kitu atveju jis vadinamas divergentiniu.

Naudodami Niutono-Leibnizo formulę išvedame.

Netinkami integralai

5,6 Lk (4 val.)

Sąvoka buvo pristatyta darant prielaidą, kad:

1) integravimo intervalas yra baigtinis (segmentas [ a;b]),

2) funkcija f(x) yra apribotas [ a;b].

Toks apibrėžtasis integralas vadinamas savo(žodis „savas“ praleistas). Jei kuri nors iš šių sąlygų neįvykdoma, tada iškviečiamas apibrėžtasis integralas ne savo. Yra netinkami pirmosios ir antrosios rūšies integralai.

1. Pirmosios rūšies netinkamojo integralo apibrėžimas

Apibendrinkime apibrėžtojo integralo sąvoką iki begalinio intervalo. Leisti f(x) yra apibrėžtas intervale [ a;+¥) ir yra integruojamas į kiekvieną baigtinę dalį, t.y. Šiuo atveju yra integralas. Akivaizdu, kad yra funkcija, apibrėžta [ a;+¥). Pasvarstykime. Ši riba gali egzistuoti arba nebūti, bet nepaisant to, ji vadinama netinkamas pirmosios rūšies integralas ir yra paskirtas.

Apibrėžimas. Jei egzistuoja ir yra baigtinis, vadinasi netinkamasis integralas susiliejantis, o šios ribos reikšmė yra netinkamo integralo reikšmė. . Jei neegzistuoja arba yra lygus ¥, tada iškviečiamas netinkamas integralas skiriasi.

Panašiai apibrėžta,

1 pavyzdys. Ištirkite integralo , konvergenciją.

D yra ištisinis [ a;+¥) .

Jei , tada , ir Þ integralas suartėja.

Jei , tai integralas išsiskiria.

Taigi, susilieja ties ir ;

skiriasi ties .D

2. Pirmosios rūšies netinkamojo integralo savybės

Kadangi netinkamas integralas apibrėžiamas kaip Riemann integralo riba, tai visos savybės, kurios išsaugomos pereinant prie ribos, perkeliamos į netinkamą integralą, tai yra, savybės 1-8 yra tenkinamos. Vidutinės vertės teorema neturi prasmės.

3. Niutono – Leibnizo formulė

Tegul funkcija f yra nuolatinis [ a;+¥), F- yra antiderivatinis ir egzistuoja. Tada galioja Niutono-Leibnizo formulė:

Iš tikrųjų,

2 pavyzdys. D. D

Pirmosios rūšies netinkamo integralo geometrinė reikšmė

Tegul funkcija f yra neneigiamas ir tęstinis [ a;+¥) ir netinkamasis integralas suartėja. lygus lenktos trapecijos su pagrindu plotui [ a;b] ir yra lygus plotui su pagrindu [ a;+¥).

4. Netinkami neneigiamų funkcijų integralai

1 teorema. Leisti f(x)³0 [ a;+¥) ir integruojamas [ a;b] "b>a. Netinkamo integralo konvergencijai būtina ir pakanka, kad integralų aibė būtų apribota iš viršaus, ir .

Įrodymas.

Apsvarstykite funkciją, a£ b. Nes f(x)³0, tada F iš tikrųjų nesumažėja " b 1 , b 2: a£ b 1 <b 2 dėl to, kad , yra įvykdytas

Pagal apibrėžimą netinkamas integralas susilieja tada ir tik tada, kai yra baigtinis . Nes F(b) nesumažėja, tada ši riba egzistuoja tada ir tik tada, kai funkcija F(b) yra ribojamas iš viršaus, tai yra $ M>0: "b>a. Kuriame

Netinkamo integralo divergencija reiškia, kad t.y.

2 teorema. Tegul funkcijos f Ir g ne neigiamas [ a;+¥) ir integruojamas [ a;b] "b>a. Leisk [ a;+¥) padaryta

1) iš integralo (2) konvergencijos seka integralo (3) konvergencija;

2) iš integralo (3) divergencijos seka integralo (2) divergencija.

Įrodymas.

Nuo (1) " b>a.

1) Tegul integralas (2) suartėja. Pagal 1 teoremą aibė yra apribota ribojama. Pagal 1 teoremą jis suartėja.

2) Leisk jiems išsiskirstyti. Įrodykime, kad integralas (2) skiriasi. Iš priešingos pusės. Tarkime, kad integralas (2) konverguoja, bet tada pagal pirmąją teoremos dalį integralas (3) suartėja – tai prieštarauja sąlygai.

3 teorema. Tegul funkcijos f Ir g ne neigiamas [ a;+¥) ir integruojamas [ a;b] "b>a. Jei yra (0 £ k£ ¥), tada

1) nuo integralo at konvergencijos k<¥ следует сходимость интеграла ,

2) nuo integralo divergencijos at k>0 seka integralo divergenciją.

Įrodymas.

1) Leiskite k<¥ и сходится.

Kadangi jis susilieja, susilieja, vadinasi, susilieja. Tada, remiantis (4), susilieja. Iš čia jis susilieja.

2) Leiskite k>0 ir skiriasi. Šiuo atveju – baigtinis skaičius. Jei darysime prielaidą, kad integralas suartėja, tai pagal tai, kas buvo įrodyta 1) punkte, pamatysime, kad jis taip pat konverguoja, ir tai prieštarauja sąlygai. Todėl padaryta prielaida yra neteisinga ir skiriasi. absoliučiai suartėja, tada pagal apibrėžimą suartėja. Taigi tinka. Bet tinka.

TemaNETINKAMI INTEGRALIAI

Temoje „Apibrėžtasis integralas“ buvo nagrinėjama apibrėžtojo integralo sąvoka baigtinio intervalo atveju
ir ribota funkcija
(žr. 1 teoremą iš §3). Dabar apibendrinkime šią sąvoką begalinio intervalo ir neribotos funkcijos atvejais. Tokio apibendrinimo poreikį parodo, pavyzdžiui, šios situacijos.

1. Jei, naudodami lanko ilgio formulę, pabandykite apskaičiuoti ketvirčio apskritimo ilgį
,
, tada gauname neribotos funkcijos integralą:

, Kur
.

2. Tegul kūnas turi masę
juda pagal inerciją terpėje su pasipriešinimo jėga
, Kur
- kūno greitis. Naudojant antrąjį Niutono dėsnį (
, Kur
pagreitis), gauname lygtį:
, Kur
. Nesunku parodyti, kad šios (diferencialinės!) lygties sprendimas yra funkcija
Jei reikia apskaičiuoti kūno nueitą kelią iki visiško sustojimo, t.y. iki to momento, kai
, tada gauname integralą per begalinį intervalą:

§1. Netinkami 1-osios rūšies integralai

I Apibrėžimas

Tegul funkcija
apibrėžtas ir tęstinis intervale
. Tada bet kam
jis integruotas į intervalą
, tai yra, yra integralas
.

1 apibrėžimas . Šio integralo baigtinė arba begalinė riba ties
vadinamas netinkamu 1-osios funkcijos integralu
išilgai intervalo
ir yra pažymėtas simboliu
. Be to, jei nurodyta riba yra baigtinė, netinkamas integralas vadinamas konvergentiniu, kitaip (
arba neegzistuoja) – divergentinis.

Taigi, pagal apibrėžimą

Pavyzdžiai

2.
.

3.
- neegzistuoja.

Netinkamas integralas iš 1 pavyzdžio suartėja; 2 ir 3 pavyzdžiuose integralai skiriasi.

II Niutono-Leibnizo formulė netinkamam pirmosios rūšies integralui

Leisti
- tam tikras funkcijos antidarinys
(egzistuoja
, nes
- tęstinis). Tada

Iš čia aišku, kad netinkamo integralo (1) konvergencija yra lygiavertė baigtinės ribos egzistavimui
. Jei ši riba yra apibrėžta
, tada galime parašyti Niutono-Leibnizo formulę integralui (1):

, Kur
.

Pavyzdžiai .

5.
.

6. Sudėtingesnis pavyzdys:
. Pirmiausia suraskime antidarinį:

Dabar galime rasti integralą , turint omenyje

:

III Savybės

Pateiksime keletą netinkamo integralo (1) savybių, kurios išplaukia iš bendrųjų ribų ir apibrėžtojo integralo savybių:

IV Kiti apibrėžimai

2 apibrėžimas . Jeigu
nuolatinis
, Tai

.

3 apibrėžimas . Jeigu
nuolatinis
, tada mes priimame pagal apibrėžimą

(- savavališkas),

Be to, kairėje pusėje esantis netinkamas integralas susilieja, jei tik abu dešinės pusės integralai susilieja.

Šiems integralams, kaip ir integralui (1), galima parašyti atitinkamas Niutono – Leibnizo formules.

7 pavyzdys .

§2. 1-osios rūšies netinkamo integralo konvergencijos testai

Dažniausiai pagal apibrėžimą neįmanoma apskaičiuoti netinkamo integralo, todėl jie naudoja apytikslę lygybę

(didiesiems ).

Tačiau šis ryšys prasmingas tik konvergentiniams integralams. Būtina turėti metodus, kaip paaiškinti integralo elgesį apeinant apibrėžimą.

aš Teigiamų funkcijų integralai

Leisti
įjungta
. Tada apibrėžtasis integralas
kaip viršutinės ribos funkcija tai didėjanti funkcija (tai išplaukia iš bendrųjų apibrėžtojo integralo savybių).

1 teorema . Netinkamas pirmosios rūšies neneigiamos funkcijos integralas suartėja tada ir tik tada, kai funkcija
išlieka ribotas, didėjant .

Ši teorema yra monotoniškų funkcijų bendrųjų savybių pasekmė. Teorema beveik neturi praktinės reikšmės, tačiau leidžia gauti vadinamąją konvergencijos požymiai.

2 teorema (1-asis palyginimo ženklas). Tegul funkcijos
Ir
tęstinis už
ir patenkinti nelygybę
. Tada:

1) jeigu integralas
tada susilieja
susilieja;

2) jeigu integralas
tada skiriasi
skiriasi.

Įrodymas . Pažymime:
Ir
. Nes
, Tai

. Tegul integralas
konverguoja, tada (pagal 1 teoremą) funkcija
- ribotas. Bet tada
yra ribotas, taigi ir integralas
taip pat susilieja. Antroji teoremos dalis įrodyta panašiai.

Šis kriterijus netaikomas, jei integralas skiriasi nuo
arba integralo konvergencija
. Šio trūkumo 2-oje palyginimo savybėje nėra.

3 teorema (2-asis palyginimo ženklas). Tegul funkcijos
Ir
nuolatinis ir neneigiamas
. Tada jei
adresu
, tada netinkami integralai
Ir
suartėti arba skirtis vienu metu.

Įrodymas . Iš teoremos sąlygų gauname tokią lygiaverčių teiginių grandinę:

, ,

.

Tegu pvz.
. Tada:

Taikykime 2 teoremą ir 1) savybę iš §1 ir gaukime 3 teoremos teiginį.

Standartinė funkcija, su kuria ši lyginama, yra galios funkcija
,
. Kviečiame mokinius patiems įrodyti, kad integralas

susilieja ties
ir skiriasi ties
.

Pavyzdžiai . 1.
.

Panagrinėkime intervalo integrandą
:

,
.

Integralinis
susilieja, nes
. Remiantis 2-uoju palyginimo kriterijumi, integralas taip pat suartėja
, o dėl 2) savybės iš §1 suartėja ir pradinis integralas.

2.
.

Nes
, tada egzistuoja
toks, kad kada

. Tokioms kintamosioms reikšmėms:

Yra žinoma, kad logaritminė funkcija auga lėčiau nei galios funkcija, t.y.

,

o tai reiškia, kad pradedant nuo tam tikros kintamojo reikšmės ši trupmena yra mažesnė už 1. Todėl

.

Integralinis susilieja kaip nuoroda. Pagal 1-ąjį palyginimo kriterijų jis susilieja ir
. Taikydami 2-ąjį kriterijų, gauname, kad integralas
susilieja. Ir vėl savybė 2) iš §1 įrodo pradinio integralo konvergenciją.

Paskaita 24. NETINKIEJI INTEGRALIAI

Planas:

1. Netinkamo integralo samprata
2. Netinkami pirmosios rūšies integralai.
3. Netinkami antrojo tipo integralai.

1. Netinkamo integralo samprata

Apsvarstykime galimybę rasti abiejų tipų netinkamus integralus.

Tegu funkcija duota y=f(x), nuolatinis intervale [ a;+∞). Jei yra baigtinė riba, tada ji vadinama netinkamas pirmosios rūšies integralas ir pažymėti .

susilieja skiriasi .

Pirmosios rūšies netinkamo integralo geometrinė reikšmė yra tokia: jei susilieja (su sąlyga, kad f(x)≥0), tai reiškia „be galo ilgos“ išlenktos trapecijos plotą (24.1 pav.).

Panašiai ištisinei linijai intervale ( -∞ ;b] funkcijos: = .

Netinkamas integralas su dviem begalinėmis integravimo ribomis apibrėžiamas formule: = + , kur Su– savavališkas skaičius.

Panagrinėkime netinkamų pirmosios rūšies integralų radimo pavyzdžius.

24.1 pavyzdys.

Sprendimas. Norėdami rasti netinkamą integralą su begaline viršutine tolydžios funkcijos riba, naudojame formulę: = . Tada =. Pirmiausia apskaičiuokime integralą e x:

= = = =∞. Mes nustatėme, kad netinkamas integralas skiriasi.

Atsakymas: skiriasi.

24.2 pavyzdys. Apskaičiuokite netinkamąjį integralą arba nustatykite jo divergenciją: .

Sprendimas. Integrandas yra tęstinis intervale ( -∞ ;- 1]. Norėdami rasti netinkamą pirmosios rūšies integralą su begaline apatine riba, naudojame formulę: = . Tada =. Apskaičiuokime integralą, esantį po ribiniu ženklu: = . Atsikratykime minuso ženklo sukeisdami integracijos ribas:

1. Mes nustatėme, kad nagrinėjamas netinkamas integralas konverguoja.

Atsakymas: =1.

1. Netinkami antrojo tipo integralai.

Tegu funkcija duota y=f(x), nuolatinis intervale [ a;b). Leisti b– antrojo tipo nenutrūkstamumo taškas. Jei yra baigtinė riba, tada ji vadinama netinkamas antrojo tipo integralas ir pažymėti .

Taigi pagal apibrėžimą = .

Jei rasta riba lygi baigtiniam skaičiui, tada sakoma, kad netinkamas integralas yra susilieja . Jei nurodytos ribos neegzistuoja arba ji yra begalinė, tada sakoma, kad integralas yra skiriasi .

Antros rūšies netinkamo integralo geometrinė reikšmė, Kur b– antrojo tipo nenutrūkstamumo taškas, f(x)≥0, yra taip: jei jis susilieja, tai reiškia „be galo aukštos“ kreivinės trapecijos plotą (24.2 pav.).

Panašiai įvedama antrojo tipo netinkamo integralo sąvoka ištisinei linijai intervale ( a;b]funkcijos su sąlyga, kad A– antrojo tipo nenutrūkstamumo taškas: = .

24.3 pavyzdys. Apskaičiuokite antrosios rūšies netinkamąjį integralą: .

Sprendimas. Integrandas yra tęstinis intervale (0;1], ir x= 0 - antrojo tipo nepertraukiamumo taškas (). Netinkamam integralui apskaičiuoti naudojame formulę: = . Mes tai gauname

= = = = = = ∞. Matome, kad antrosios rūšies netinkamasis integralas išsiskiria.

Atsakymas: skiriasi.

Kontroliniai klausimai:

1. Kaip vadinamas netinkamas integralas?
2. Kokie integralai vadinami netinkamais pirmosios rūšies integralais?
3. Kokia yra pirmosios rūšies netinkamo integralo geometrinė reikšmė?
4. Kurie netinkamieji integralai vadinami konvergentiniais, o kurie – divergentiniais?
5. Kokie integralai vadinami netinkamais antrosios rūšies integralais?
6. Kokia yra antrosios rūšies netinkamo integralo geometrinė reikšmė?

BIBLIOGRAFIJA:

1. Abdrakhmanova I.V. Aukštosios matematikos elementai: vadovėlis. vadovas – M.: Intensyviųjų ugdymo technologijų centras, 2003. – 186 p.

2. Algebra ir analizės pradžia (1 dalis, 2 dalis): Vadovėlis vidurinio ugdymo įstaigoms / red. G.N.Jakovleva. – M.: Nauka, 1981 m.

3. Aleksandrova N.V. Matematiniai terminai. Katalogas.- M.: Aukštasis. mokykla, 1978. - 190 p.

4. Valutse I.I., Diligul G.D. Matematika technikos mokykloms pagal vidurines mokyklas: Proc. pašalpa. – M.: Nauka, 1989. – 576 p.

5. Grigorjevas V.P., Dubinsky Yu.A. Aukštosios matematikos elementai: vadovėlis. studentams profesinio mokymo įstaigos. - M.: Leidybos centras "Akademija", 2004. – 320 p.

6. Lisičkinas V.T., Soloveičikas I.L. Matematika: vadovėlis. vadovas technikos mokykloms. – M.: Aukštesnis. mokykla, 1991. – 480 p.

7. Lukankinas G.L., Martynovas N.N., Šadrinas G.A., Jakovlevas G.N. Aukštoji matematika: vadovėlis. vadovas pedagogikos studentams. institucijose. – M.: Išsilavinimas, 1988. – 431 p.

8. Parašytas D.T. Aukštosios matematikos paskaitų konspektas: 1 dalis. – M.:Iris-press, 2006.- 288 p.

9. Filimonova E.V. Matematika: vadovėlis. pašalpa kolegijoms. – Rostovas n/d: Feniksas, 2003. – 384 p.

10. Šipačiovas V.S. Aukštoji matematika: vadovėlis universitetams. – M.: Aukštoji mokykla, 2003. – 479 p.

11. Šipačiovas V.S. Aukštosios matematikos kursas: aukštasis išsilavinimas. – M.: PROYUL M.A. Zacharovas, 2002. – 600 p.

12. Enciklopedija vaikams. T.11. Matematika / Ch. red. M.V.Aksenova. - M.: Avanta+, 2000.- 688 p.

Jei integrandas turi antrosios rūšies netolydumą (ribiniame) integravimo intervale, mes kalbame apie netinkamą antrojo tipo integralą.

10.2.1 Apibrėžimas ir pagrindinės savybės

Integravimo intervalą pažymėkime $\left[ a, \, b \right ]$; toliau abu šie skaičiai laikomi baigtiniais. Jei yra tik 1 nenutrūkstamumas, jis gali būti taške $a$ arba taške $b$ arba intervale $(a,\,b)$. Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai taške $a$ yra antrojo tipo nenuoseklumas, o kituose taškuose integrando funkcija yra tolydi. Taigi mes kalbame apie integralą

\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(lygtis)

ir $f(x) \rightarrow \infty $, kai $x \rightarrow a+0$. Kaip ir anksčiau, pirmiausia reikia įprasminti šį posakį. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite integralą

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Apibrėžimas. Tegul būna ribota riba

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Tada sakoma, kad antrosios rūšies (22) netinkamas integralas susilieja ir jam priskiriama reikšmė $A$; pati funkcija $f(x)$ yra integruojama intervale $\left[ a, \ , b\right]$.

Apsvarstykite integralą

\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]

Integrando funkcija $1/\sqrt(x)$ ties $x \rightarrow +0$ turi begalinę ribą, taigi taške $x=0$ ji turi antrojo tipo nenutrūkstamumą. Padėkime

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]

Šiuo atveju žinomas antidarinys,

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2\]

ties $\epsilon \rightarrow +0$. Taigi pradinis integralas yra konvergentinis antrosios rūšies netinkamasis integralas ir lygus 2.

Panagrinėkime variantą, kai integrando funkcijoje yra antrojo tipo nenutrūkstamumas ties integravimo intervalo viršutine riba. Šį atvejį galima sumažinti iki ankstesnio, pakeitus kintamąjį $x=-t$ ir tada pertvarkant integravimo ribas.

Panagrinėkime variantą, kai integrando funkcija turi antrojo tipo pertrūkį integravimo intervale, taške $c \in (a,\,b)$. Šiuo atveju pradinis integralas

\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(lygtis)

pateikta kaip suma

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

Apibrėžimas. Jei abu integralai $I_1, \, I_2$ susilieja, tai netinkamas integralas (23) vadinamas konvergentiniu ir jam priskiriama reikšmė lygi integralų $I_1, \, I_2$ sumai, funkcija $f(x)$. vadinamas integruojamu intervale $\left [a, \, b\right]$. Jei bent vienas iš integralų $I_1,\, I_2$ yra divergentinis, netinkamas integralas (23) vadinamas divergentiniu.

Konvergentiniai 2-osios rūšies netinkamieji integralai turi visas standartines paprastųjų apibrėžtųjų integralų savybes.

1. Jei $f(x)$, $g(x)$ yra integruojami intervale $\left[ a, \,b \right ]$, tada jų suma $f(x)+g(x)$ taip pat integruoti į šį intervalą ir \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Jei $f(x)$ yra integruojamas intervale $\left[ a, \, b \right ]$, tai bet kuriai pastoviai $C$ funkcija $C\cdot f(x)$ taip pat yra integruojamas šiame intervale ir \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Jei $f(x)$ yra integruojamas intervale $\left[ a, \, b \right ]$ ir šiame intervale $f(x)>0$, tada \[ \int _a^ (b ) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Jei $f(x)$ yra integruojamas intervale $\left[ a, \, b \right ]$, tai bet kurio $c\in (a, \,b)$ integralai \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] taip pat susilieja ir \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (integralo adityvumas per intervalą).

Apsvarstykite integralą

\begin(lygtis) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(lygtis)

Jei $k>0$, integralas linkęs į $\infty$ kaip $x \rightarrow +0$, todėl integralas yra netinkamas antrojo tipo. Supažindinkime su funkcija

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

Šiuo atveju antidarinys yra žinomas, todėl

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

už $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

už $k = 1$. Atsižvelgdami į elgesį ties $\epsilon \rightarrow +0$, darome išvadą, kad integralas (20) konverguoja ties $k

10.2.2 2 tipo netinkamų integralų konvergencijos testai

Teorema (pirmasis palyginimo ženklas). Tegul $f(x)$, $g(x)$ yra ištisiniai $x\in (a,\,b)$ ir $0 1. Jei integralas \[ \int _a^(b)g(x) dx \] suartėja, tada integralas \[ \int _a^(b)f(x)dx konverguoja. \] 2. Jei integralas \[ \int _a^(b)f(x)dx \] išsiskiria, tai integralas \[ \int _a^(b)g(x)dx išsiskiria. \]

Teorema (antrasis palyginimo kriterijus). Tegul $f(x)$, $g(x)$ yra tęstinis ir teigiamas $x\in (a,\,b)$, ir tegul yra baigtinė riba

\[ \theta = \lim_(x \arrow dešinėn a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

Tada integralai

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

suartėti arba skirtis vienu metu.

Apsvarstykite integralą

\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Integrandas yra teigiama integravimo intervalo funkcija, integrandas linkęs į $\infty$ kaip $x \rightarrow +0$, todėl mūsų integralas yra netinkamas antrojo tipo integralas. Be to, $x \rightarrow +0$ turime: jei $g(x)=1/x$, tada

\[ \lim _(x \rightarrow +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \rightarrow +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]

Taikydami antrąjį palyginimo kriterijų, darome išvadą, kad mūsų integralas konverguoja arba skiriasi kartu su integralu

\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]

Kaip buvo parodyta ankstesniame pavyzdyje, šis integralas skiriasi ($k=1$). Vadinasi, pirminis integralas taip pat skiriasi.

Apskaičiuokite netinkamą integralą arba nustatykite jo konvergenciją (divergenciją).

1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]