Problemi i llogaritjes së numrit të biletave me fat është i njohur prej kohësh. Është kërkuar nga pothuajse çdo student që mëson programim. Në internet, ju mund të gjeni shumë nga zgjidhjet e tij në gjuhë të ndryshme programimi. Të gjitha këto opsione zbresin në renditjen e të gjitha biletave ekzistuese dhe kontrollimin e tyre për "lumturi". Ka një milion opsione.
Por ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, duke kaluar vetëm në një mijë opsione.
Më lejoni t'ju kujtoj se biletat janë me fat, shuma e tre shifrave të para të numrit të të cilave është e barabartë me shumën e tre shifrave të fundit të numrit. Për shembull, numri i biletës "546780" është me fat sepse shuma e tre shifrave të para (5+4+6) është e barabartë me shumën e tre shifrave të fundit (7+8+0). Problemi është të përcaktohet se sa bileta me fat ka.
Në të gjithë shembujt, zgjidhet kokë më kokë, por po sikur të shkojmë në anën tjetër? Së pari, le t'i përgjigjemi një pyetjeje tjetër. Sa kombinime të ndryshme të tre shifrave (tre) ka që mblidhen deri në n? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet të kaloni nëpër të gjitha treshe të mundshme (një mijë opsione).
Shuma e çdo treshe është ndërmjet zeros (0+0+0) dhe 27 (9+9+9). Prandaj, mund të përgatisni një grup shumash:
{n_0, n_1, n_2, n_3, …., n_25, n_26, n_27}
ku n _ i- numri i trinjakëve që mblidhen i. Në këtë rast, shuma e shifrave është e barabartë me indeksin e këtij elementi në grup.
Mirë, ne do të përgatisim një grup të tillë, por çfarë lidhje ka kjo me biletat? Le të shqyrtojmë një rast të veçantë. Totali ekziston n_25 treshe që mblidhen deri në 25. Për çdo treshe të tillë, ekziston n_25 treshe, kur kombinohen me secilën prej të cilave do të rezultojë në një numër me fat. Prandaj, ekziston n_25*n_25 biletat me fat, shuma e tre shifrave të para të të cilave është 25. Po kështu për shumat e tjera. Kështu, numri i përgjithshëm i biletave me fat është i barabartë me:
n_0*n_0 + n_1*n_1 + …. + n_26*n_26 + n_27*n_27
Më poshtë është kodi i plotë burimor i aplikacionit që zbaton këtë algoritëm.
#përfshi
Kodi është komentuar mirë, kështu që nuk duhet të lindin pyetje.
Duke parë grupin e shumave, mund të bëjmë dy vëzhgime.
1. Është simetrik:
n_13 = n_14,
n_12 = n_15,
n_11 = n_16,
n_10 = n_17,
………………
n_1 = n_26,
n_0 = n_27.
2. Mbi të gjitha ka bileta, shuma e tre shifrave të para të të cilave është 13 dhe 14 (janë 75 të tilla).
Një grup shumash prej 28 elementësh përgatitet në një kalim treshe. Prandaj, për të llogaritur numrin e biletave me fat, mjafton të renditni 1000 opsione.
Shumica e studentëve e dinë mirë se çfarë është një "biletë me fat". Po, dhe shpesh edhe nxënësit e shkollës. Vërtetë, çfarë saktësisht janë dhe çfarë të bëni me ta - këtu mendimet më shpesh ndryshojnë.
Para së gjithash, "Studenti i lumtur" konsiderohet një biletë, përgjigjet e të cilave ju i dini. Mos shkoni as te gjyshja juaj këtu - keni pasur fat në provim, keni nxjerrë një biletë me fat dhe e keni kaluar herën e parë, edhe pse nga njëqind pyetje, vetëm këta të dy arritën të mësojnë. Po, ai u përgjigj aq vrullshëm sa mësuesi, i lodhur nga "be-canning and me-canning", as që të dëgjoi deri në fund - të dërgoi me një pesë në librin e regjistrimeve dhe me udhëzime për të mbeturit: "Ja! Shiko dhe mëso si ta kalosh temën! Merr shembull nga ky njeri i mirë!"
Kjo është ajo që kuptoj - "Biletë e lumtur"!
Por ka bileta, janë edhe kuponë udhëtimi, që konsiderohen ose të lumtura ose të bukura. E dyta është jashtëzakonisht e rrallë. Më shpesh ata quhen pikërisht "të lumtur"! Çfarë lloj biletash konsiderohen si të tilla?
Së pari, dhe ky është një rast jashtëzakonisht i rrallë, një biletë konsiderohet me fat nëse shifrat e numrit janë të njëjta ose simetrike.
Për shembull: 555555
ose 252252
. Ka simetri të plotë.
Por ndonjëherë simetria është e paplotë ose e pasqyruar. Për shembull si kjo: 251251
- numrat janë renditur në mënyrë simetrike këtu, por numrat nuk janë.
Në çdo rast, shembujt e mësipërm janë vërtet "i lumtur" biletat. A ka shumë prej tyre? Epo, unë mendoj se mund ta llogarisni lehtësisht atë shumë, shumë pak - një mijë për milion, ose çdo biletë të njëmijtë. Probabiliteti që një biletë e tillë të bjerë në duart e një pasagjeri është jashtëzakonisht e vogël. Deri tani kam marrë vetëm dy bileta të tilla në jetën time, megjithëse udhëtoj mjaft shpesh me transport publik.
Dëshironi lumturi? Prandaj, pasagjerët e dyshimtë dhe mendjemprehtë në mërzinë e rrugës menjëherë dolën me opsione të tjera për "lumturinë". Për shembull, të njëjtat numra në numër, të renditur në mënyrë të rastësishme: 251521
, për shembull. Këtu nuk ka simetri, por të gjithë numrat janë të pranishëm. Më tej më shumë. Një biletë konsiderohej me fat, shuma e trinjakëve të shifrave të së cilës është e njëjtë. Për shembull, 474195:
4+7+4=15= 1+9+5
1. Shembuj të biletave, "i lumtur në përgjithësi":
Përsëri, të gjithë e dinë që bileta të tilla gjenden, megjithëse jo çdo ditë, por ende mjaft shpesh. Përafërsisht çdo biletë e 18-të është "e lumtur për nga shuma". Dhe nëse udhëtoni vazhdimisht, atëherë ata takohen të paktën një herë në javë. Disi bëra një eksperiment të vogël: nuk e hodha, por i vendosa këto bileta në xhepin e çantës për t'i numëruar në fund të muajit. Ishte shumë kohë më parë, nuk mbaj mend saktësisht se sa, por brenda një muaji kisha të paktën dhjetë prej tyre. Duke marrë parasysh që unë udhëtoj me transport komunal mesatarisht dy ose tre herë në ditë (pjesën tjetër të kohës është minibus, dhe për ndonjë arsye nuk është zakon të lëshohen bileta atje), rezulton se çdo 6-9 udhëtim "shpërblehet". "Me një lumturi kaq të thjeshtë. Epo, ose një biletë në tre ditë. Por kjo, e shihni, sapo pata një muaj të mirë, sepse çdo biletë e 18-të duhet të ndeshet sikur më rrallë.
Në të vërtetë, ka raste kur nuk kapet asnjë në një muaj. Pra, çfarë të bëni? Dhe nevoja për shpikje është dinake. Për shembull, ka bileta "Gëzuar në Moskë"(ata janë - "Në Leningrad") është kur nuk numërohen treshe numrash, por çiftet e tyre. Për shembull, shuma e çdo numri çift me tek: 6 3
49
86
.
Këtu:
3+9+6= 18= 6+4+8
Si mendoni, a është e mundur, përveç shtesës, të aplikohet edhe operacioni zbritje? Natyrisht ju mund të! Gjëja kryesore është të vendosni vetë se si të zbrisni - në mënyrë ose nga më e madhe në më të vogël: 720821 . Këtu:
7-2-0=5= 8-2-1
Por ... nuk është e zakonshme që ne të "zbresim lumturinë" disi. Është më mirë kur shtohet apo edhe shumëzohet!
Kështu që unë dola me një lloj tjetër biletash me fat për veten time: "Me fat nga shumëzimi"!
Mjafton të shumëzoni numrat në treshe për të marrë një shtesë "shumëzues" gëzim. Për shembull: 338924.
Këtu:
3*3*8=72= 9*2*4
Përdorni për shëndetin! Por pse përmbledhni gjithçka dhe përmbledhni ... Mund edhe të shumëzoni!
Përditësim: Për më tepër, nuk mund të shumëzohesh! Këtu në komente docbrowns Vura re që mund të ngrihesh edhe në një fuqi! Për shembull 261812 :
(2^6)^1 = 64 = (8^1)^2
Dhe kjo ende shumë herë rrit si shanset për të “gjetur lumturinë” dhe argëtimin e udhëtimit.
2. Shembull i biletës, "Me fat nga shumëzimi" a la: 
Nëse përdorni transportin publik, shikoni më nga afër pasagjerët. Shumë, shumë shpesh mund të shihni se si, kur marrin një biletë, ata fillojnë të studiojnë numrat e saj. Të gjithë janë në kërkim të lumturisë ... Dhe atëherë çfarë të bëjmë me të? Një herë dëgjova një bisedë mes dy vajzave që po shkonin në test: "Uaa! Unë kam një biletë me fat!" - bërtiti njëri. "Haje! Pastaj do ta kalosh testin!!!" - u përgjigj menjëherë i dyti. E drejtë, unë qesha. Më mirë ata shpresonin për atë të lumtur "student" biletën që përmenda në fillim. Dhe akoma më mirë - në mënyrë që të pesëdhjetë biletat e kursit të jenë të lumtura për ta. Por... preferojnë të hanë trolejbus sesa të japin leksione.
Djema! Nuk ka nevojë për të ngrënë kupona! Madje nuk është aspak e dobishme. Dhe nuk do t'ju sjellë lumturi. Trajtoni biletat me fat më lehtë - koha ai ra për ty, atëherë lumturia nuk do të vijë, jo - ju tashmë i lumtur ose më thjesht, me fat njerëzore! Kjo eshte e gjitha. Ky është vetëm një justifikim për të përmirësuar pak humorin tuaj. Mos u besoni shenjave - ato nuk bazohen gjithmonë në fakte, dhe shpesh ato mund të sjellin edhe dëm, veçanërisht nëse filloni të hani lule me katër gjethe nga toka ose kupona letre të riciklueshme në autobus! Si në atë shaka: hëngri një biletë me fat, dhe më pas erdhi lumturia - hyri kontrollori!
Trajtojini “biletat me fat” si një mënyrë për të kaluar paksa kohën e udhëtimit me ushtrime aritmetike dhe si një arsye shtesë për t'u gëzuar me të.
Nga rruga, vini re për baballarët dhe nënat: është shumë e dobishme t'u tregoni fëmijëve për ushtrime të tilla. Atyre nuk u pëlqen shumë numërimi mendor në shkollë, ndaj lërini të paktën të argëtohen në trolejbusë, duke përmbledhur ose shumëzuar numra. Dhe nuk do t'i dëmtojë as të rriturit: si me radhë ashtu edhe përmes një, duke asimiluar konceptet e barazisë, simetrisë, shumëfishimit ... Dhe gjithashtu nuk mund të harroni zbritjen me ndarje. Në çdo rast, për zhvillimin e fëmijës, enigma të tilla argëtuese nuk do të dëmtojnë.
Dhe nëse jeni të pafat me një biletë - mos u dekurajoni! Ka kaq shumë makina me "numra me fat" që lëvizin nëpër rrugë!
Fat i mirë për ju, dhe lumturi!
"Bileta e lumtur"
Jemi të gjithë në transport. Rrugës për në punë, në shtëpi, në një vend pushimi dhe
etj. Dhe shumë shpesh ne blejmë një biletë, e cila ka në shumicën
rastet numër gjashtëshifror. Duke shtuar tre shifrat e para të numrit të biletës dhe
Duke i krahasuar me shumën e trefishit të dytë të numrave, përcaktojmë "lumturinë"
këtë biletë. Me një numër “fat”, gjithçka është pak a shumë e qartë dhe
shumica e dinë. Po numrat e tjerë jo zero? Është e qartë se
diferenca në numra varion nga 0 në 27. Kështu lindi kjo tabletë ...
Veprimi i biletës është i parëndësishëm (nga rruga, nuk është e nevojshme ta hani fare!) -
bileta është e vlefshme për 24 orë nga momenti i aktivizimit ose deri në blerje
bileta tjetër me një numër të pakuptimtë. Aktivizimi i biletës
ndodh pas numërimit të numrit dhe realizimit të kuptimit të tij – pra
le të themi, një ritual magjik.
(Shënim: Nëse bileta tjetër ka një vlerë të pavarur, dhe
e mëparshmja nuk është shuar ende - një vlerë mbivendoset mbi një tjetër. Epo,
për shembull - keni marrë një biletë me një ndryshim në numra = 1 = - që do të thotë
datë. Transferuar në një transport tjetër, duke mos takuar askënd të njohur -
pra bileta është ende aktive dhe nuk ka “funksionuar”. Ata morën një biletë të re - dhe
atij ndryshimi i shifrave = 7 = - kjo është gëlqere. Pra, çfarë ose mund të ndodhë
dy ngjarje, ose ato bashkohen në një - në një datë që do të merrni akoma
lajme ("Unë jam shtatzënë!" - një shaka ...). Epo, e kështu me radhë. Kombinimet e
sekuencat e tre numrave nuk u testuan nga autorët - nuk janë të mëdhenj
të dhëna statistikore kur vozitni me tre transferime - një gjë e rrallë,
kuptoj).
Kjo skemë përcaktohet në mënyrë empirike. Si në çdo eksperiment
Në fakt, gabimet janë të mundshme. Paraqitni vëzhgimet tuaja dhe ata do të bëjnë
merret parasysh herën tjetër.
Diferenca e shifrave Interpretimi i kuptimit
0 Fat Çdo biznes i konceptuar do të përfundojë me sukses ose ju do të përfundoni
diçka është padyshim e mirë.
1 Data Do të takoni një person të cilin do të jeni të lumtur ta shihni (takimi
personale, jo pune).
2 Takimi Do të keni një takim pune.
3 Përsëritje Diçka do të duhet të përsëritet, përndryshe nuk do të funksionojë.
4 Paralajmërim Kini kujdes! Sot mund të jeni vonë në pikën
destinacion! Mos u relaksoni dhe gjithçka do të jetë mirë. Por nëse hedh gojën -
me vonesë e garantuar!
5 Kënaqësia Një takim apo ngjarje e këndshme do të përmirësojë disponimin tuaj!
6 Probleme Një takim ose një ngjarje e pakëndshme mund t'ju llambë
Humor. Mos u shqetësoni shumë!
7 Mesazh Do të merrni lajme nga dikush!
8 Kaos Diçka sot nuk do të jetë në gjendje të rritet së bashku, të ankorohet, të përfundojë ...
9 Përfundimi Disa biznese të nisura sot do të mbyllen plotësisht.
10 Filloni Sot do të filloni një projekt të ri ose një mendim i ri do t'ju lindë,
ideja.
11 Ecni mirë, ose një bllokim trafiku, ose thjesht duhet të bëni një shëtitje ...
12 duzina mundësi për të pirë alkool...
13 Duzina e Djallit
shtetet…
14 Nuk do të thotë asgjë
15 Nuk do të thotë asgjë
16 Nuk do të thotë asgjë
17 Nuk do të thotë asgjë
18 Nuk do të thotë asgjë
19 Nuk do të thotë asgjë
20 Nuk do të thotë asgjë
21 Nuk do të thotë asgjë
22 Nuk do të thotë asgjë
23 Nuk do të thotë asgjë
24 Nuk do të thotë asgjë
25 Përsëritje Diçka do të duhet të përsëritet, përndryshe nuk do të funksionojë.
26 Takimi Ju jeni duke zhvilluar një takim pune.
27 Takimi Do të takoni një person që do të jeni të lumtur ta shihni
(takim personal, jo në punë).
Sa mënyra ka për të paguar 50 cent? Ne mendojmë se mund të paguani në 1 qindarkë, 5 nikel, 10 cent, 25 çerek dhe 50 gjysmë dollarë. György Pólya e popullarizoi këtë problem duke demonstruar një mënyrë udhëzuese për ta zgjidhur atë duke përdorur funksione gjeneruese.
Le të shkruajmë një shumë të pafundme që përfaqëson të gjitha mënyrat e mundshme të shkëmbimit. Vendi më i lehtë për të filluar është kur ka më pak lloje monedhash, kështu që le të fillojmë duke thënë se nuk kemi asnjë monedhë tjetër përveç një qindarke. Shuma e të gjitha mënyrave për të paguar një sasi të caktuar qindarkesh (dhe vetëm qindarka) mund të shkruhet si
meqenëse çdo opsion pagese përfshin disa nikel të zgjedhur nga shumëzuesi i parë dhe disa qindarkë të zgjedhur nga P. (Vini re se N nuk barazohet 1 + 1 + 5 + (1 + 5 ) 2 + (1 + 5 ) 3 + ..., pasi kjo shumë përfshin shumë lloje pagesash më shumë se një herë. Për shembull, termi (1 + 5 ) 2 = 1 1 + 1 5 + 5 1 + 5 5 i trajton 1 5 dhe 5 1 sikur të ishin të dallueshme, por ne duam t'i numërojmë të gjitha grupet e monedhave një herë, pavarësisht renditjes së tyre. )
Në mënyrë të ngjashme, nëse lejojmë edhe monedha, marrim një shumë të pafundme
Detyra jonë është të gjejmë sa terma janë C kushton saktësisht 50 cent.
Problemi zgjidhet me një truk të thjeshtë. Le të zëvendësojmë 1 me z, 5 për z 5, 10 në z 10, 25 në z 25 dhe 50 në z pesëdhjetë. Çdo term më pas zëvendësohet me z n, ku nështë vlera e termit origjinal në qindarka. Për shembull, termi 50 10 5 5 1 do të kthehet në z 50+10+5+5+1 = z 71 . Secila nga katër mënyrat e mundshme për të paguar 13 cent, përkatësisht 10 1 3 , 5 1 8 , 5 2 1 3 dhe 1 13 , zvogëlohet në z 13 ; prandaj, koeficienti në z 13 pas z-Zëvendësimet do të jenë 4.
Le te jete P n N n D n P n dhe C n tregon numrin e mënyrave për të paguar shumën n cent, nëse mund të përdorni monedha jo më të vjetra, përkatësisht 1, 5, 10, 25 dhe 50 cent. Analiza jonë ka treguar se këta numra janë koeficientë në z n në serinë përkatëse të fuqisë
| P = | 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + ... , |
| N = | (1 + z 5 + z 10 + z 15 + z 20 + ...)P, |
| D = | (1 + z 10 + z 20 + z 30 + z 40 + ...)N, |
| P = | (1 + z 25 + z 50 + z 75 + z 100 + ...)D, |
| C = | (1 + z 50 + z 100 + z 150 + z 200 + ...)P. |
Është e qartë se P n= 1 për të gjithë n≥0. Me një reflektim të shkurtër është e lehtë ta vërtetosh këtë N n = [n/5] + 1: për të mbledhur deri në n cent nga qindarkat dhe nikelet, duhet të marrim 0, ose 1, ose..., ose [ n/5] nikel, pas së cilës ka vetëm një mënyrë për të zgjedhur numrin e kërkuar të penave. Pra vlerat P n Dhe N n lehtë për t'u llogaritur, por D n , P n Dhe C nçështja është shumë më e ndërlikuar.
Një nga qasjet për studimin e këtyre formulave bazohet në vëzhgimin se 1 + z m + z 2m+ ... është vetëm 1/(1 - z m). Prandaj, ne mund të shkruajmë
Tani, duke barazuar koeficientët në z n në këto ekuacione, marrim marrëdhënie të përsëritura, nga të cilat koeficientët e dëshiruar llogariten lehtësisht:
Për shembull, koeficienti në z n në D= (1 - z 25)P barazohet P n P n-25; kështu duhet të jetë P n P n-25 = D n, siç është shkruar më sipër.
Do të ishte e mundur të zbuloheshin këto marrëdhënie dhe të shpreheshin P n, për shembull, në formën P n = D n + D n–25+ D n-50+ D n–75 + ..., ku shuma mbaron kur indekset shkojnë negative. Megjithatë, forma origjinale, jo përsëritëse është e përshtatshme në atë që çdo koeficient llogaritet duke përdorur vetëm një mbledhje, si në trekëndëshin e Paskalit.
Ne i përdorim këto marrëdhënie për të gjetur C pesëdhjetë. Së pari, C 50 = C 0 + P 50 kështu që ne duhet ta dimë P pesëdhjetë. Me tutje, P 50 = P 25 + D 50 dhe P 25 = P 0 + D 25; ndaj edhe ne jemi të interesuar D 50 dhe D 25 . Këto vlera D n nga ana tjetër varen nga D 40 , D 30 , D 20 , D 15 , D 10 dhe D 5 dhe nga N 50 , N 45 , ..., N pesë. Kështu, për të përcaktuar të gjithë koeficientët e nevojshëm, mjafton të kryhen llogaritjet e thjeshta:
| n | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| P n | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| N n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| D n | 1 | 2 | 4 | 6 | 9 | 12 | 16 | 25 | 36 | ||
| Qn | 1 | 13 | 49 | ||||||||
| C n | 1 | 50 | |||||||||
Përgjigja është në fund të tabelës. C 50: Ka saktësisht 50 mënyra për të bakshish 50 cent.
Çfarë mund të thuhet për formën e mbyllur për C n? Shumëzimi i të gjitha ekuacioneve na jep një shprehje kompakte për funksionin gjenerues
që është një funksion racional i z, emëruesi i të cilit ka fuqinë 91. Kështu, mund të faktorizojmë emëruesin në 91 faktorë dhe të shprehim C n në një "formë të mbyllur", e përbërë nga 91 terma. Por një shprehje e tillë e tmerrshme nuk ngjitet në asnjë portë. A është e mundur të gjesh diçka më të mirë në këtë rast të veçantë, në vend që të zbatosh metodën e përgjithshme?
Dhe këtu është drita e parë e shpresës: nëse hyni C(z) zëvendëso 1/(1 - z) në (1 + z + z 2 + z 3 + z 4)/(1 - z 5):
atëherë shkalla e emëruesit të funksionit "të ngjeshur". Č (z) është tashmë vetëm 19, kështu që ky funksion është shumë më i mirë se ai origjinal. Shprehje e re për C(z) tregon, në veçanti, se C 5n = C 5n+1 = C 5n+2 = C 5n+3 = C 5n+4 ; në të vërtetë, raporti është i lehtë për t'u shpjeguar: ka saktësisht po aq mënyra për të bakshish 53 cent sa ka për të bakshish 50 cent, pasi numri i qindarkave moduli 5 dihet paraprakisht.
Megjithatë, edhe për Č (z) nuk ka shprehje të thjeshtë të bazuar në rrënjët e emëruesit. Ndoshta mënyra më e thjeshtë për të llogaritur koeficientët Č (z) do të fitohet nëse vërejmë se çdo faktor në emërues është pjesëtues i 1 - z 10 . Prandaj, ne mund të shkruajmë
Këtu, për hir të plotësimit, është një shprehje e zgjeruar për A(z):
(1 + z + ... + z 9) 2 (1 + z 2 + ... + z 8)(1 + z 5) =
= 1 + 2z + 4z 2 + 6z 3 + 9z 4 + 13z 5 + 18z 6 + 24z 7 +
+ 31z 8 + 39z 9 + 45z 10 + 52z 11 +57z 12 + 63z 13 + 67z 14 + 69z 15 +
+ 69z 16 + 67z 17 + 63z 18 + 57z 19 + 52z 20 + 45z 21 + 39z 22 + 31z 23 +
+ 24z 24 + 18z 25 + 13z 26 + 9z 27 + 6z 28 + 4z 29 + 2z 30 + z 31 .
Dhe së fundi, duke përdorur faktin se
marrim shprehjen e mëposhtme për koeficientët Č n në gradë z n në zgjerimin e funksionit Č (z), në të cilën n = 10q + r dhe 0≤ r<1 0:
| Č 10q+r = | ∑ | A j | ( | k + 4 k |
) | = | ||||||||||||||||
| j, k 10k+j=n |
||||||||||||||||||||||
| = A r | ( | q + 4 q |
) | + A r+10 | ( | q + 3 q |
) | + A r+20 | ( | q + 2 q |
) | + A r+30 | ( | q + 1 q |
) | . |
Kjo në fakt përmban 10 raste të ndryshme, një për secilën vlerë r; por është ende një formulë e mirë e mbyllur në krahasim me alternativat që përfshijnë fuqitë e numrave kompleksë.
Duke përdorur këtë shprehje, ne mund të zbulojmë, për shembull, vlerën C 50q = Č 10q. Këtu r=0 dhe kemi
për një shumë prej 1 dollari, rezulton
| ( | 6 4 |
) | + 45 | ( | 5 4 |
) | + 52 | ( | 4 4 |
) | = 292 mënyra; |
dhe për një milion dollarë ky numër do të jetë
| ( | 2000004 4 |
) | + 45 | ( | 2000003 4 |
) | + 52 | ( | 2000002 4 |
) | + 2 | ( | 2000001 4 |
) | = |
= 66666793333412666685000001.
