Alexander Gaifullin është një laureat i Çmimit të Presidentit. Alexander Gaifullin: ne jetojmë në një botë shumëdimensionale. Pse keni filluar të merreni me këto poliedra

Bota jonë nuk është aspak tredimensionale, vetëm neve na duket kështu. Ky fakt konfirmohet nga hulumtimet themelore. Alexander Alexandrovich Gaifullin, Anëtar korrespondues i Akademisë Ruse të Shkencave, Profesor i Mekanikës dhe Matematikës në Universitetin Shtetëror të Moskës, Hulumtues kryesor në V.I. V.A. Instituti Steklov i RAS. Për një sërë punimesh që lidhen me ndërtime komplekse matematikore, ai mori çmimin e Presidentit për shkencëtarët e rinj.

Aleksandër, është e vështirë edhe të të drejtohem me emër dhe patronim, je kaq i ri. Dhe në të njëjtën kohë - një profesor, një anëtar korrespondues ... Ju jeni ndoshta anëtari më i ri i Akademisë së Shkencave?

Me sa di unë, jo. por një nga më të rinjtë. Unë u bëra doktor shkencash në moshën 26-vjeçare dhe u zgjodha në akademi në moshën 32-vjeçare - në zgjedhjet e fundit, të vjeshtës. Më duhet të them se matematika është përgjithësisht shkencë e të rinjve.

- Sepse truri funksionon kështu: sa më i ri, aq më mirë funksionon?

Ndoshta. Edhe pse ka raste kur njerëzit në moshë madhore kanë marrë rezultate shumë të mira. Por në përgjithësi, në matematikë, ka shumë shembuj kur veprat e para bëhen më të forta. Në shkencat e tjera, për shembull, në kimi, në fizikë, veçanërisht në fizikën eksperimentale, është jashtëzakonisht e rëndësishme koha kur një person duhet të zhvillojë disa aftësi, të mësojë metodat e punës.

Eksperimentet shpesh kërkojnë një kohë të gjatë, kështu që njerëzit priren të marrin rezultate serioze në fusha të tilla më vonë.

- Ju jeni bërë laureate e Çmimit të Presidentit për Shkencëtarët e Rinj. Për çfarë hulumtimi?

Unë kam pesë vjet që punoj në këtë temë. Po flasim për një cikël punimesh mbi të ashtuquajturat poliedra fleksibël. Ky është një objekt gjeometrik shumë interesant. A e dini se si fëmijët ngjitin poliedra kartoni? Vizatojnë skajet, presin modelin e sheshtë dhe më pas fillojnë të palosin dhe ngjitin. Kështu që ju mund të bëni, të themi, një kub. Dhe atëherë lind pyetja: këtu ne ngjitëm një poliedron të mbyllur, por a do të jetë një strukturë e ngurtë apo mund të deformohet disi me një ndryshim në këndet midis fytyrave? Kjo quhet lakim.

Për ta imagjinuar më mirë këtë, ju mund, siç thonë matematikanët, të zbrisni dimensionin poshtë dhe në vend të poliedrit në hapësirën tredimensionale, të shikoni shumëkëndëshat në një plan. Nëse marrim një trekëndësh dhe e bëjmë brinjë të ngurtë dhe mentesha në kulmet, ai do të mbetet ende një figurë e ngurtë dhe nuk do të mund ta deformojmë në asnjë mënyrë. Dhe nëse marrim një katërkëndësh, pesëkëndësh ose shumëkëndësh me një numër të madh brinjësh, atëherë ai gjithmonë do të ketë deformime jo të parëndësishme. Për shembull, një katror mund të shndërrohet në romb, etj. Megjithatë, nëse i kthehemi poliedrit, situata është ndryshe atje. Shumë pak prej tyre janë fleksibël dhe të vështirë për t'u ndërtuar.

Shembulli i parë i një poliedri fleksibël u ndërtua vetëm në 1977.

Fakti është se në vitin 1813, matematikani i famshëm francez Augustin Louis Cauchy (kjo ishte një nga veprat e tij të para matematikore) vërtetoi se nëse një poliedron është konveks, atëherë nuk do të ketë kurrë përkulje.

Dhe nëse nuk është konveks? Siç doli pas një shekulli e gjysmë, lakimi është i mundur. Për më tepër, kur ata filluan të ndërtonin poliedra të tillë fleksibël, doli se ata kishin shumë veti të mahnitshme.

- Cilet?

Ata u zbuluan fillimisht në mënyrë eksperimentale. Le të themi një gjë kaq të mahnitshme: një poliedron përkulet, deformohet, por vëllimi i tij mbetet konstant. Në fillim kishte mendime se ndoshta kjo është një rastësi. Ne filluam të shikojmë shembuj të tjerë, dhe atje, gjithashtu, vëllimi është konstant. Dhe ekzistonte një hipotezë se vëllimi i çdo poliedri të përkulshëm është konstant gjatë përkuljes. U quajt shumë bukur - hipoteza e shakullit. Një shakull është një pajisje që pompon ajrin në një farkë. U ngrit pyetja: a është e mundur të bëhet një pajisje e tillë, duke detyruar ajrin, nga një poliedron i përkulur? Kjo do të ishte e mundur vetëm nëse do të kishte një poliedron që ndryshon vëllimin e tij. Hipoteza e shakullit mbeti e hapur për një kohë të gjatë dhe u vërtetua në vitet '90. i shekullit të kaluar, matematikani rus I.Kh. Sabitov.

Detyra ime ishte të ndërtoja një teori të poliedrave fleksibël shumëdimensionale. Ne jetojmë në hapësirën tonë të zakonshme tredimensionale, por në fakt matematikanët studiojnë edhe hapësirat shumëdimensionale, dhe kjo është shumë e rëndësishme jo vetëm për matematikën, por edhe për aplikimet e saj të ndryshme - fizikë, mekanikë, astrofizikë dhe fusha të tjera.

- Çfarë tregoi hulumtimi juaj?

Ne shikuam poligonet në aeroplan. pastaj në hapësirën tredimensionale dhe më pas lindi një pyetje tjetër: po sikur të studiojmë objekte të ngjashme, të njëjtat poliedra fleksibël, në hapësira shumëdimensionale me dimension arbitrar? Dhe doli që këtu ne nuk dimë pothuajse asgjë. Në kapërcyell të shekujve XX-XXI. U ndërtuan shembuj individualë të poliedrave fleksibël katër-dimensionale, por nuk ishte e mundur të shkohej më tej. Në dimensione të mëdha, nuk kishte fare një shembull të vetëm.

Para së gjithash, unë munda të ndërtoj shembuj të poliedrave fleksibël në hapësira të të gjitha dimensioneve. Së dyti, kishte një pyetje në lidhje me hipotezën e shakullit dhe I.Kh. Sabitov se vëllimi i një poliedri fleksibël është gjithmonë konstant. Kishte çdo arsye për të supozuar se, ndoshta, e njëjta gjë është e vërtetë në dimensionet "më të larta".

Prova që ai dha funksionoi shumë mirë në një situatë tredimensionale, por nuk funksionoi fare në një situatë shumëdimensionale. Arrita të dal me një qasje krejtësisht të re që më lejoi të vërtetoj hipotezën e shakullit, domethënë deklaratën për qëndrueshmërinë e vëllimit në procesin e lakimit të poliedrave për poliedra me dimension arbitrar.

Hapësira jonë, siç thonë matematikanët, është me lakim zero. Dhe ka hapësira të lakuara. Është më e lehtë të imagjinosh hapësira të lakuara pozitivisht. Shembulli më i thjeshtë është sipërfaqja e një sfere, siç është sipërfaqja e Tokës në të cilën jetojmë. Kjo do të thotë, gjeometria jonë tokësore nuk është euklidiane, jo e sheshtë, por sferike.

Dhe ekziston gjithashtu një hapësirë ​​e lakimit negativ - ky është avioni Lobachevsky dhe gjithë gjeometria e tij e famshme, e cila u ngrit në shekullin e 19-të. Këto janë hapësira dydimensionale, por në të njëjtën mënyrë ka hapësira të lakimit pozitiv dhe negativ të të gjitha dimensioneve. Dhe në to, gjithashtu, ju mund të studioni poliedra fleksibël.

Dhe doli që situata atje është shumë kurioze. Nëse lakimi është pozitiv, atëherë hipoteza e shakullit është e pasaktë. Ka shembuj të poliedroneve të përkulshëm që ndryshojnë volumin ndërsa përkulen. Në dimensionin tonë të zakonshëm, një shembull i tillë u ndërtua nga V.A. S.L. Sobolev SB RAS, dhe në të gjitha dimensionet e mëdha këto janë rezultatet e mia.

Dhe gjëja më kurioze është kjo. Nëse jemi në një hapësirë ​​me lakim negativ, rezulton se nëse dimensioni është tek - 3.5, 7, etj., atëherë hipoteza e shakullit është e vërtetë dhe vëllimi është konstant.

- Dhe nëse dimensioni është i barabartë, atëherë është i pasaktë dhe vëllimi ndryshon?

Jo, nëse është i barabartë, atëherë askush nuk e di. Kjo është një pyetje që mbetet e hapur edhe sot...

Po, gjithçka filloi me studimin e poliedrave fleksibël, por kjo shkencë është zhvilluar në drejtime të ndryshme. Në përgjithësi, kjo është një pjesë e shkencës së mekanizmave të menteshës, e cila ka shumë aplikime që lindin në kaq shumë struktura inxhinierike. Ose, le të themi, ekziston një strukturë kaq e mrekullueshme - një aeroplan, i ndarë në shumë paralelogramë, të cilët mund të palosen në një shumë kompakt. Ajo ka qenë e njohur që nga kohërat e lashta nga origami japoneze, dhe tani quhet miura-ori për nder të astrofizikanit japonez Kore Miura, i cili propozoi përdorimin e një strukture të tillë për të palosur qelizat diellore.

Natyrisht, struktura të tilla mund të krijohen edhe për ndërtimin e banesave të përkohshme, spitaleve të lëvizshme dhe laboratorëve shkencorë - për shembull, në veri, për zhvillimin e tokave të reja.

Mund të fantazoni sa të doni, por unë nuk jam ekspert në fushën e aplikimit. Megjithatë, dua të them se përveç opsioneve të tilla "naive" si përdorimi në praktikë i disa sipërfaqeve të përkulshme, mundësitë e aplikimeve më të thella dhe më të padukshme jo të vetë poliedrave të përkulshëm, por të metodave matematikore që u shfaqën në studimin e tyre janë. jo më pak e rëndësishme. Në përgjithësi, shpesh ndodh që rezultatet matematikore të përdoren në një farë mënyre, fillimisht të papritura. Historia tregon se shpesh pritet të aplikohet në një vend, por shfaqet në një vend krejtësisht tjetër.

Duke iu rikthyer poliedrave fleksibël, dëshiroj të vë në dukje lidhjen e tyre me probleme të këtij lloji që hasen shpesh në praktikë. Ekziston një grup pikash në hapësirë, dhe ne e dimë distancën midis disa çifteve të këtyre pikave (për shembull, ne ishim në gjendje të masnim), por jo midis të tjerave. A është e mundur të zbuloni të gjitha distancat që mungojnë, t'i llogaritni ato?

Ky problem reduktohet në studimin e një lloji të caktuar të sistemeve të ekuacioneve algjebrike, dhe i njëjti lloj sistemesh ekuacionesh lindin në problemet e poliedrave fleksibël. Prandaj, këtu, pa dyshim, metodat e zhvilluara në teorinë e poliedrave fleksibël mund të jenë të dobishme.

Pikërisht.

- Si është ndërtuar e gjitha? Përdorni programe kompjuterike?

Mjaft e çuditshme, jo. Modeli kompjuterik zakonisht krijohet më vonë. Vizatimi i kësaj në letër është gjithashtu problematik - gjithçka është e sheshtë atje. Dhe duhet të pranoj se nuk di vërtet se si të ngjis forma të tilla komplekse nga kartoni.

- Po i ndërton të gjitha këto në kokën tënde?

- Një lloj përshkrimi matematikor në formën e formulave?

Po. Pastaj, kur ka formula, ato mund të ngarkohen në një kompjuter dhe të marrin një objekt.

- A përputhen fotografia në kompjuter dhe ajo që kishte në kokë më parë?

Jo gjithmone.

- Do të vazhdoni të punoni në këtë temë? Çfarë dëshironi të arrini në këtë drejtim?

Për mua, kjo zonë nuk është tërësisht vendase. Fillimisht, u specializova në një fushë tjetër të matematikës - topologjinë algjebrike. Topologjia është shkenca e përshkrimit të një objekti gjeometrik nga pikëpamja e vetive që nuk ndryshojnë kur ai deformohet. Dhe topologjia algjebrike kërkon të japë një përshkrim të tillë në terma algjebrikë. dmth, për shembull, t'i caktohet secilës sipërfaqe një objekt algjebrik dhe të tregohet se ky objekt është i ndryshëm, le të themi, për një sferë dhe për një sipërfaqe prej donut, dhe kështu të tregohet se ato nuk mund të shndërrohen në njëra-tjetrën me anë të deformimit të vazhdueshëm. Kjo shkencë filloi të formohej në fund të shekullit të 19-të, por që atëherë ajo është zhvilluar ndjeshëm dhe është bërë më komplekse.

- Pse keni filluar të punoni me këto poliedra?

Anëtari korrespondues i Akademisë Ruse të Shkencave V.M. Buchstaber, dhe tema ime ishte vetëm topologjia algjebrike. Dhe edhe kur isha në vitin e parë, isha shumë me fat që seminaret e analizës matematikore në grupin tonë u mbajtën nga profesori i mekanikës dhe matematikës I.Kh. Sabitov, për të cilin kam folur tashmë. Kështu që unë tashmë mësova për poliedrat fleksibël dhe rezultatet e tij në këtë fushë. Dhe tashmë në vitin 2011, kur sapo kisha mbrojtur disertacionin tim të doktoraturës, Ijad Khakovich më tha se më këshilloi të merresha me këtë problem, sepse atij i dukej se do të ishte e mundur të zbatoja njohuritë e mia topologjike atje.

- Dhe kishte të drejtë?

Absolutisht. Pra, një pjesë e detyrës është zgjidhur, pjesa tjetër, shpresoj, është përpara.

Victor Matveevich Buchstaber... Anëtar korrespondues i Akademisë Ruse të Shkencave, Profesor i Universitetit Shtetëror të Moskës. M.V. Lomonosov. Kryehulumtues, Instituti i Matematikës. V.A. Steklov:

Unë besoj se për sa i përket kontributit në shkencën themelore, rezultatet e kësaj pune janë absolutisht të jashtëzakonshme. Ata tashmë kanë ndikuar në zhvillimin e matematikës dhe do të vazhdojnë ta bëjnë këtë. Mund të rendisim matematikanët e mëdhenj që janë përpjekur t'i zgjidhin këto probleme për shumë vite, por gjithmonë kanë mbetur të penguar. Aleksandri, natyrisht, u mbështet në rezultatet e paraardhësve të tij, por ai gjeti metoda të reja që e lejuan atë të depërtonte së pari në botën katër-dimensionale, dhe më pas në botën e më shumë dimensioneve.

Fakti është se problemi i poliedrave fleksibël, siç e thoshin klasikët, bazohej në botën tonë tredimensionale, në përvojën e përditshme. Por nëse marrim veprën themelore të Henri Poincaré, themeluesit të shkencës sonë - topologjisë, ai nis me faktin se mekanika klasike merret me një botë tredimensionale. Megjithatë, nëse doni të përshkruani dinamikën e një objekti dhe vetitë e sistemit në tërësi, atëherë nuk mund të bëni pa hapësira shumëdimensionale, ku përfshihen jo vetëm koordinatat, por edhe shpejtësia, nxitimi, etj. Kjo është, është e nevojshme të kalojmë nga hapësira tre-dimensionale në atë shumëdimensionale. Kuptimi i këtij fakti shërbeu si një nxitje për krijimin dhe zhvillimin e topologjisë.

Kontributi themelor i Aleksandrit në vëll. se ai fillimisht i transferoi problemet klasike të lidhura me botën tre-dimensionale në botën katërdimensionale, dhe më pas zhvilloi metoda që janë të zbatueshme për dimensionet më të larta. Para tij, analogët shumëdimensionale të problemeve klasike në poliedrat fleksibël dukeshin të paarritshëm. Kjo është arsyeja pse formulimi i çmimit të presidentit thotë "për zgjidhjen e problemeve themelore": Aleksandri zhvilloi metoda të reja që bënë të mundur zgjidhjen e analogëve shumëdimensionale të problemeve klasike.

Në pamje të parë duket se e gjithë kjo është një lojë e imagjinatës sonë. Në fakt, ne nuk jetojmë në një botë tredimensionale, por në një botë shumëdimensionale. Bota tredimensionale është shumë e thjeshtë dhe e dukshme.

Për shembull, dihet që ju jeni tani në Institutin Matematikor në një audiencë të tillë. Gjetja ju është një detyrë 3D.

Por nëse dua t'ju ndjek, kam nevojë për informacione për dinamikën tuaj, duke kuptuar se ku do të jeni në hapësirë ​​pas disa kohësh. Ky është tashmë një problem katërdimensional.

Hapësira fazore është koncepti mbi të cilin bazohen rezultatet themelore të të gjithë matematikës moderne. Ne jetojmë në një botë shumëdimensionale, ku koordinatat tona nuk janë vetëm të dhënat e vendndodhjes, por edhe shumë informacione të tjera për gjendjen tonë.

Tani këtu janë shfaqur mundësi absolutisht unike falë teknologjisë moderne kompjuterike dhe mjeteve të reja të komunikimit. I njëjti sistem navigimi përdor hapësira shumëdimensionale. Prej shumë vitesh studioj jo vetëm topologjinë, por edhe aplikimet e saj në problemet e fizikës dhe kimisë dhe çdo herë ndjej avantazhin që më jep topologjia. Krahasuar me një person që beson se jeton në një botë tredimensionale, unë kam një kuti mjetesh shumë më të pasura.

Sasha është studenti im, dhe nuk ka ish studentë. Jam krenar për rezultatet që ai ka arritur, pasi ky është një zbulim i vërtetë në shkencë. Është mirë kur merrni një rezultat që mund ta përdorni menjëherë. Në të njëjtën kohë, rezultatet themelore kanë një vlerë të veçantë. Rezulton se në botën tonë gjithçka nuk është aspak ashtu. siç duket në shikim të parë. Së pari, është me të vërtetë shumëdimensionale dhe së dyti, në këtë botë shumëdimensionale, kur punon me objekte të caktuara, duhet të njohësh ndalesat që të vendos kjo botë. Dhe personi që zbuloi këto ndalime përfshihet në historinë e matematikës, sepse ai i dha të gjithë njerëzimit një kuptim të ri të kushteve të ekzistencës në këtë botë. Dhe së treti, duke i ditur këto ndalime, ne mund të vendosim një detyrë të mrekullueshme - të ndërtojmë diçka shumë të mirë në mënyrë që ta përdorim atë për të mirën e njerëzimit. Nuk kam dyshim se do të ketë shumë të tjera ndërtime dhe blerje të tilla.

Akademiku Valery Kozlov: "Për mrekulli - në Institutin Matematik"

Valery Vasilievich Kozlov, ushtrues detyre i Presidentit të Akademisë Ruse të Shkencave, Akademik, Drejtor i V.I. V.A. Steklov (2004-2016).

Do të doja të them disa fjalë për të rinjtë që punojnë në institutin tonë. Gjithmonë jemi përpjekur të tërheqim në punë më të aftët dhe më të talentuarit. Instituti ynë është i vogël, pak më shumë se njëqind punonjës hulumtues. Dhe prandaj, shfaqja e çdo personi të ri është një ngjarje për ne. Një ngjarje e tillë ishte shfaqja e Sasha Gaifullin, i cili tani është anëtar korrespondues i Akademisë së Shkencave Ruse, profesor.

Më kujtohet mirë se si e punësuam. Sinqerisht, ishte ideja ime. Më pas ai punoi në Universitetin e Moskës, në Fakultetin tim të lindjes së Mekanikës dhe Matematikës, në një nga tre departamentet e gjeometrisë. Në përgjithësi, ne kemi shumë të diplomuar të Fakultetit të Mekanikës dhe Matematikës të Universitetit Shtetëror të Moskës në institutin tonë. Duke ditur që në horizontin tonë matematikor u shfaq një djalë i ri i talentuar, pasi u konsultova me kolegët, vendosa ta çoja tek ne me çdo kusht.

- Me sa di unë, A.A. Gaifullin vazhdon të japë mësim në Universitetin Shtetëror të Moskës.

Po, por tani me kohë të pjesshme.

- Dhe ai nuk është fituesi juaj i vetëm i çmimit presidencial.

Po, ai është i treti. I pari ishte A.G. Kuznetsov është algjebrist ynë i shquar, i zgjedhur gjithashtu anëtar korrespondues i Akademisë së Shkencave për arritjet e tij të jashtëzakonshme në fushën e algjebrës dhe gjeometrisë algjebrike. Dhe gjithashtu N.N. Andreev është një popullarizues i talentuar i matematikës, drejtues i laboratorit për popullarizimin dhe propagandën e matematikës.

- Por të kthehemi te A.A. Gaifullin.

Ai është vërtet një gjeometër i shkëlqyer. Një tipar karakteristik i punës së tij shkencore - ai përpiqet të bëjë gjithçka deri në fund, me hijeshi dhe bukuri. Në lidhje me këtë, kujtoj fjalët e matematikanit të madh gjerman Gauss: "Nëse diçka është e papërfunduar, do të thotë se asgjë nuk është bërë". Pra, Sasha çon gjithçka deri në fund. Merrni, për shembull, ciklin e tij të shkëlqyer të punimeve mbi hipotezën e shakullit, i cili thotë se vëllimet e poliedroneve fleksibël, si rregull, nuk ndryshojnë (të paktën kur bëhet fjalë për hapësirën Euklidiane me të cilën jemi mësuar). Ai shqyrtoi rastin shumëdimensional dhe rastin e një hapësire të lakimit pozitiv dhe negativ. Nxirren veçoritë e këtij problemi që lidhen me shenjën e lakimit, e cila është gjithashtu shumë e rëndësishme. Ai e çoi çështjen në përfundimin e saj logjik. Dhe kjo është gjëja më e vlefshme.

Kjo hipotezë dhe të gjitha temat janë të lidhura ngushtë, duke përfshirë edhe Fakultetin e Mekanikës dhe Matematikës. Siç dihet, në rastin tredimensional kjo hipotezë u vërtetua nga gjeometri i shquar I.Kh. Sabitov. Unë isha ende student kur ai na mësonte. Dhe tani ai jep leksione. Më vjen shumë mirë që ishte ai që pati mundësinë ta zgjidhte këtë problem, ta lëvizte nga pikënisja. Aleksandr Aleksandrovich mori rezultatet përfundimtare në rastin shumëdimensional, madje edhe në hapësirat e lakimit të vazhdueshëm. Ky është një rezultat i madh.

- Sa të rëndësishëm janë mësuesit për një shkencëtar të ri?

Shume e rendesishme. Por jo vetëm mësuesit. Sasha ka një baba të mrekullueshëm - A.M. Gaifullin, gjithashtu një shkencëtar, anëtar korrespondues i Akademisë së Shkencave Ruse, punon në Zhukovsky, një nga specialistët kryesorë të vendit në teorinë e lëvizjes së vorbullës së një mediumi të vazhdueshëm. Prandaj, edukimi i Aleksandrit është një punë kolektive.

Valery Vasilievich, instituti juaj është një institucion serioz shkencor. Por kam dëgjuar se di edhe të argëtohesh.

Jo kjo fjalë! Ne kemi një traditë për Vitin e Ri të vjetër: të gjithë mblidhemi dhe zhvillojmë detyra intelektuale, konkurse. Dhe ne patjetër kemi Santa Claus dhe Snow Maiden. Pra, Sasha luajti në mënyrë të përsosur rolin e magjistarit kryesor të dimrit, doli të ishte shumë artistik dhe bindës, përkundër faktit se nga pamja e jashtme ai duket të jetë një person i turpshëm. Ishte e papritur për mua, por shumë e këndshme. Prandaj, nëse doni mrekulli të vërteta, ejani tek ne.

Natalia Leskova

Publikimet

1. A. Gaifullin, "Mbi grupin më të lartë të homologjisë së kernelit Johnson" [PDF: Anglisht, arXiv: 1903.03864]
2. A. A. Gaifullin, Y. A. Neretin, "Grupi simetrik i pafund, pseudomanifolds, dhe strukturat e ngjashme me kobordizmin kombinator", J. Topol. Anal., Https://doi.org/10.1142/S179352531850022X
3. A. Gaifullin, "Mbi homologjinë e krijuar pafundësisht të grupeve Torelli", [PDF: Anglisht, arXiv: 1803.09311]
4. A. Gaifullin, L. Ignashchenko, “Dehn invariant of flexible polyhedra” [PDF: Anglisht, arXiv: 1710.11247]
5. A. A. Gaifullin, “Mbi një shtrirje të homomorfizmit Birman – Craggs – Johnson”, Matematikë Ruse. Sondazhe, 72: 6 (2017), 1171-1173
6. A. A. Gaifullin, “Kopertinat e vogla të graf-asociaedrës dhe realizimi i cikleve” [PDF: Anglisht, arXiv: 1611.01816]
7. A. A. Gaifullin, “The bellows conjecture for small polyhedra flexible in non-Euklidean spaces”, 2016, [PDF: Anglisht, arXiv: 1605.04568]
8. A. A. Gaifullin, Polyhedra fleksibël dhe vëllimet e tyre, 2016, [PDF: Anglisht, arXiv: 1605.09316]
9. AA Gaifullin, “Problemi i realizimit të cikleve dhe mbulesave të vogla mbi graf-associahedra”, lexime Aleksandrovskie. Abstrakte (Moskë, 22–26 maj 2016), Fakulteti i Mekanikës dhe Matematikës, Universiteti Shtetëror i Moskës, Moskë, 2016
10. AA Gaifullin, “Mbulime të vogla mbi graf-asociaedrat dhe realizimi i cikleve”, Mat. sb., 207: 11 (2016), 53–81 [“Kopertinat e vogla të graf-asociaedrës dhe realizimi i cikleve”, Sb. Math., 207: 11 (2016), 1537-1561
11. A. A. Gaifullin, Yu. A. Neretin, "Grupi i pafund simetrik dhe bordizmat e pseudomanifolds", [PDF: Anglisht, arXiv: 1501.04062]
12. AA Gaifullin, "Polytope të ndërthurura fleksibël sferike me vëllime të ndryshueshme, gjeometri, topologji dhe aplikacione, letra të mbledhura. Dedikuar ditëlindjes së 70-të të profesor Nikolai Petrovich Dolbilin, Tr. Instituti Matematik Steklov, 288, MAIK, M., 2015, 67–94 [PDF: Anglisht, arXiv: 1501.06198]
13. AA Gaifullin, “Vazhdimi analitik i volumit dhe hamendja e shakullit në hapësirat Lobachevsky”, Mat. Sb., 206: 11 (2015), 61–112 [“Vazhdimi analitik i vëllimit dhe hamendja e Bellows në hapësirat Lobachevsky”, Sb. Math., 206: 11 (2015), 1564-1609]
14. A. A. Gaifullin, "Algjebrat aktuale në sipërfaqet e Riemann: rezultate dhe aplikime të reja (de Gruyter Expositions in Mathematics 58) Nga Oleg K. Sheinman", Rishikimi i librit, Bull. Matematika e Londrës. Soc., 47: 6 (2015), 1029-1032
15. A. A. Gaifullin, "Polinomet e Sabitov për vëllimet e poliedrave në katër dimensione", Adv. Math., 252 (2014), 586–611 [PDF: Anglisht, arXiv: 1108.6014]
16. A. A. Gaifullin, S. A. Gaifullin, "Deformimet e grilave periodike të sipërfaqeve fleksibël poliedrike", llogaritja diskrete. Geom., 51: 3 (2014), 650–665 [PDF: Anglisht, arXiv: 1306.0240]
17. AA Gaifullin, "Politopët kryq të përkulshëm në hapësirat e lakimit konstant", Topologji algjebrike, politope konvekse dhe tema të ngjashme, Punime të mbledhura. Me rastin e 70-vjetorit të lindjes së anëtarit korrespondent të Akademisë së Shkencave Ruse Viktor Matveevich Buchstaber, Tr. Instituti Matematik Steklov, 286, MAIK, M., 2014, 88–128 [PDF: Anglisht, arXiv: 1312.7608]
18. A. A. Gaifullin, "Përgjithësimi i teoremës së Sabitov në poliedra të dimensioneve arbitrare", Llogaritja diskrete. Geom., 52: 2 (2014), 195–220 [PDF: Anglisht, arXiv: 1210.5408]
19. A. A. Gaifullin, "Vëllimet e poliedrave fleksibël", Abstrakte të Konferencës Ndërkombëtare "Ditët e Gjeometrisë në Novosibirsk - 2014" kushtuar 85 vjetorit të Akademikut Yuri Grigorievich Reshetnyak (Novosibirsk, 24–27 shtator 2014), 2014. I. A. Taimanov, A. Yu. Vesnin, Instituti i Matematikës. S. L. Soboleva SB RAS, Novosibirsk, 2014, 98–99
20. A. A. Gaifullin, A. V. Penskoy, S. V. Smirnov, Probleme në algjebrën lineare dhe gjeometrinë, MTsNMO, Moskë, 2014, 152 f. http://biblio.mccme.ru/node/5173
21. A. A. Gaifullin, "Vëllimi i një simpleksi si një funksion algjebrik shumëvlerësor i zonave të dy fytyrave të tij", Topologjia, Gjeometria, Sistemet e Integrueshme dhe Fizika Matematike: Seminari i Novikov 2012–2014, Përparimet në Shkencat Matematikore, Amer. Math. Soc. Përkth. Ser. 2, 234, botime. V. M. Buchstaber, B. A. Dubrovin, I. M. Krichever, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, 201–221 [PDF: Anglisht, arXiv: 1310.3417]
22. A. A. Gaifullin, "Polyedrat fleksibël dhe vëllimet e tyre", Geometrie, Raporti Nr. 29/2014 (Oberwolfach, 15-21 qershor 2014), Oberwolfach Reports, 11, eds. J. Lott, I. Taimanov, B. Wilking, Matematika Evropiane. Soc., 2014, 1584-1586
23. A. M. Vershik, A. P. Veselov, A. A. Gaifullin, B. A. Dubrovin, A. B. Zhizhchenko, I. M. Krichever, A. A. Maltsev, D. V. Millionshchikov, S. P. Novikov, TE Panov, AG Sergeev, IA Taimaber i shtatë i rastit të tij, "Viktorvich i shtatë ditëlindjen)”, Uspekhi Mat. nauk, 68: 3 (411) (2013), 195–204 ["Viktor Matveevich Buchstaber (në ditëlindjen e tij të 70-të)", Matematika Ruse. Sondazhe, 68: 3 (2013), 581-590]
24. A. A. Gaifullin, "Realizuesit universalë për klasat e homologjisë", Geometri & Topology, 17: 3 (2013), 1745–1772 [PDF: Anglisht, arXiv: 1201.4823]
25. A. A. Gaifullin, "Grupe Coxeter, mbulesa të vogla dhe realizimi i cikleve", Konferenca Ndërkombëtare e Hapur Kineze-Ruse "Veprimet Torus: Topologjia, Gjeometria dhe Teoria e Numrave". Abstrakte (Khabarovsk, 2-7 shtator 2013), Shtëpia Botuese PNU, Khabarovsk, 2013, 35-36
26. A. A. Gaifullin, "Polyedra fleksibël dhe vendet e fushave", Konferenca Ndërkombëtare e Yaroslavl "Geometria, Topology, and Applications", 23–27 shtator 2013. Abstrakte, Yaroslavl State University. P.G. Demidova, Yaroslavl, 2013
27. A. A. Gaifullin, T. E. Panov, “Buchstaber Viktor Matveevich”, Tr. MMO, 74, nr. 2, MCNMO, M., 2013, 209 [“70-vjetori i ditëlindjes së Victor Matveevich Buchstaber”, Trans. Matematika e Moskës. Soc., 2013 (2013), 173]
28. A. A. Gaifullin, “Realizimi kombinues i cikleve dhe kopertinave të vogla”, Kongresi Evropian i Matematikës (Krakow, 2–7 korrik, 2012), botimet. R. Latala et al., European Mathematical Society, 2013, 315–330 [PDF: Anglisht, arXiv: 1204.0208]
29. A. A. Gaifullin, “Realizimi i kombinuar i cikleve dhe kopertinave të vogla”, Kongresi i 6-të Evropian i Matematikës. Abstrakte & Tituj (Krakow, Poloni, 2–7 korrik 2012), 6ECM, Krakow, 2012, 25–26
30. A. A. Gaifullin, "Realizimi i kombinuar i cikleve dhe vëllimi i thjeshtë", Abstrakte të Konferencës Ndërkombëtare "Ditët e Gjeometrisë në Novosibirsk, 2012", kushtuar 100 vjetorit të lindjes së Akademik A.D. Aleksandrova (Novosibirsk, 30 gusht - 1 shtator 2012), Instituti i Matematikës me emrin S. L. Soboleva SO RAN, 2012, 12–13
31. A. A. Gaifullin, "Polinomet e Sabitov për vëllimet e poliedrës katërdimensionale", Takimi i Katërt i Gjeometrisë kushtuar njëqindvjetorit të A. D. Alexandrov. Abstrakte (Shën Petersburg, 20-24 gusht 2012), Shtëpia Botuese VVM, Shën Petersburg, 2012
32. A. A. Gaifullin, "Polinomet e Sabitov për vëllimet e poliedrave katërdimensionale", Konferenca Ndërkombëtare e Yaroslavl "Gjeometria diskrete" kushtuar njëqindvjetorit të A.D. Aleksandrov. Abstrakte (Yaroslavl, 13-18 gusht 2012), Universiteti Shtetëror Yaroslavl me emrin P.G. Demidova, Yaroslavl, 2012, 36–37
33. A. A. Gaifullin, "Polinomet e Sabitov për poliedrat në katër dimensione", Konferenca ndërkombëtare "Topologjia torike dhe funksionet automorfike". Abstrakte (Moskë, 5–10 shtator 2011), Shtëpia Botuese PNU, Khabarovsk, 2011, 27–35
34. AA Gaifullin, "Hapësirat e konfigurimeve, transformimet bistelare dhe formulat kombinuese për klasën e parë Pontryagin", Ekuacione diferenciale dhe topologji. Unë, Mblodha letra. Kushtuar 100 vjetorin e Akademik Lev Semenovich Pontryagin, Tr. Instituti Matematik Steklov, 268, MAIK, M., 2010, 76–93 [PDF: Anglisht, arXiv: 0912.3933]
35. A. A. Gaifullin, "Grupe lidhjesh të kulmeve të manifoldeve të thjeshta dhe kubike", 2010 Konferenca Ndërkombëtare për Topologjinë dhe Zbatimet e saj. Abstrakte (Nafpaktos, Greqi, 26-30 qershor 2010), Instituti Arsimor Teknologjik i Messolongjisë, Nafpaktos, 2010, 101-103
36. A. A. Gaifullin, "Grupe lidhjesh të kulmeve të manifoldeve të trekëndëshuar dhe qasje kombinuese ndaj problemit të Steenrod-it mbi realizimin e cikleve", Gjeometri, Topologji, Algjebër dhe Teoria e Numrave, Aplikime. Konferenca ndërkombëtare kushtuar 120 vjetorit të B.N. Delone. Abstrakte (Moskë, 16–20 gusht 2010), Instituti Matematik me emrin V.A. Instituti i Matematikës Steklov, Akademia Ruse e Shkencave, Universiteti Shtetëror i Moskës M.V. Lomonosov, Moskë, 2010-11
37. AA Gaifullin, Problemi i llogaritjes kombinuese të klasave racionale Pontryagin, Diss. ... dokt. fizik.-matematik. Shkenca, Instituti Matematik. V.A. Steklov RAN, Moskë, 2010, 341 f.
38. AA Gaifullin, "Një trekëndëshim minimal i një plani projektiv kompleks që pranon një thjeshtësi katërdimensionale me ngjyrë shahu", Gjeometri, topologji dhe fizikë matematikore. II, Punime të mbledhura. Me rastin e ditëlindjes së 70-të të Akademik Sergei Petrovich Novikov, Tr. Instituti Matematik Steklov, 266, MAIK, M., 2009, 33–53 [PDF: Anglisht, arXiv: 0904.4222]
39. AA Gaifullin, “Ndërtimi i manifoldeve kombinuese me grupe të dhëna lidhjesh kulmesh”, Izv. RAS. Ser. Mat., 72: 5 (2008), 3–62 [PDF: Anglisht, arXiv: 0801.4741]
40. AA Gaifullin, “Realizimi i cikleve nga manifoldet asferike”, Uspekhi Mat. nauk, 63: 3 (381) (2008), 157–158 [PDF: Anglisht, arXiv: 0806.3580]
41. AA Gaifullin, "Larmia e matricave simetrike tridiagonale izospektrale dhe realizimi i cikleve nga manifoldet asferike", Gjeometria, topologjia dhe fizika matematikore. Unë, Mblodha letra. Me rastin e ditëlindjes së 70-të të Akademik Sergei Petrovich Novikov, Tr. MIAN, 263, MAIK, M., 2008, 44–63 [“The Manifold of Isospectral Symmetric Tridiagonal Matrices and Realization of Cicles by Aspherical Manifolds”, Proc. Steklov Inst. Math., 263 (2008), 38–56]
42. AA Gaifullin, "Formulat kombinuese lokale për klasat Pontryagin të manifoldeve trekëndore", Ekuacionet diferenciale dhe topologjia: Konferencë ndërkombëtare kushtuar 100 vjetorit të lindjes së L.S. Pontryagin: Abstrakte (Moskë, 17-22 qershor 2008), Departamenti i Botimit të Fakultetit të Matematikës Kompjuterike dhe Kibernetikës, Universiteti Shtetëror i Moskës. M.V. Lomonosov, 2008, 16
43. AA Gaifullin, Zbatimi i kombinuar i cikleve, Diss. ... Cand. fizik.-matematik. Shkenca, Universiteti Shtetëror i Moskës M.V. Lomonosov, Fakulteti i Mekanikës dhe Matematikës, Moskë, 2008, 121 f.
44. AA Gaifullin, “Ndërtimi eksplicit i manifoldeve duke realizuar klasa të dhëna të homologjisë”, Uspekhi Mat. Nauk, 62: 6 (378) (2007), 167–168 [“Ndërtimi eksplicit i manifoldeve që realizojnë klasat e përshkruara të homologjisë”, Matematika Ruse. Sondazhe, 62: 6 (2007), 1199-1201]
45. AA Gaifullin, PV Yagodovskii, "Mbi integrueshmërinë e dinamikës me vlerë m me anë të grupeve me vlerë m të gjeneruar një", Uspekhi Mat. Nauk, 62: 1 (373) (2007), 201–202 ["Integrueshmëria e dinamikës me vlerë m me anë të grupeve me vlerë m të gjeneruar të vetme", Matematika Ruse. Sondazhe, 62: 1 (2007), 181-183]
46. VM Bukhshtaber, AA Gaifullin, “Përfaqësimet e grupeve me vlerë m mbi trekëndëshat e manifoldeve”, Uspekhi Mat. Nauk, 61: 3 (369) (2006), 171–172 [“Përfaqësimet e grupeve me vlerë m mbi trekëndëshat e manifoldeve”, Matematika Ruse. Sondazhe, 61: 3 (2006), 560-562]
47. AA Gaifullin, “Llogaritja e klasave karakteristike të një manifoldi nga trekëndëshimi i tij”, Uspekhi Mat. Nauk, 60: 4 (364) (2005), 37–66 ["Llogaritja e klasave karakteristike të një manifoldi nga një trekëndëshim i tij", Matematika Ruse. Sondazhe, 60: 4 (2005), 615-644]
48. AA Gaifullin, "Formulat lokale për klasat kombinuese Pontryagin", Izv. RAS. Ser. Mat., 68: 5 (2004), 13–66 [PDF: Anglisht, arXiv: matematikë / 0407035]
49. AA Gaifullin, "Mbi formulat lokale për klasat kombinuese Pontryagin të manifoldeve", Uspekhi Mat. Nauk, 59: 2 (356) (2004), 189–190 ["Mbi formulat lokale për klasat kombinuese Pontryagin të manifoldeve", Matematika Ruse. Sondazhe, 59: 2 (2004), 379-380]
50. AA Gaifullin, “Nervat e grupeve Coxeter”, Uspekhi Mat. Nauk, 58: 3 (351) (2003), 189–190 ["Nervat e grupeve Coxeter", Matematika Ruse. Sondazhet 58: 3 (2003) 615-616].
51. A.A. Gaifullin, "Mbi thurjet izotopike", Arch. Math. (Basel), 81: 5 (2003), 596-600
52. A. A. Gaifullin, V. O. Manturov, "Për njohjen e gërshetat", J. Knot Theory Ramifications, 11: 8 (2002), 1193-1209
53. AA Gaifullin, "Projeksionet e nyjeve me një pikë të vetme të vetë-kryqëzimit tërthor të shumëfishtë", Kërkim modern në matematikë dhe mekanikë, Punimet e Konferencës së 23-të të shkencëtarëve të rinj të Fakultetit të Mekanikës dhe Matematikës të Universitetit Shtetëror të Moskës, Shtëpia Botuese e Instituti Qendror Politeknik në mekanikë-matematikë. fac. Universiteti Shtetëror i Moskës, Moskë, 2001, 88–92