Det finns 100 olika naturliga tal skrivna på tavlan med summan 5120.
a) Kan siffran 230 skrivas?
b) Går det att klara sig utan siffran 14?
c) Vilket är det minsta antalet multiplar av 14 som kan finnas på tavlan?
Lösning.
a) Låt siffran 230 och 99 andra olika naturliga tal skrivas på tavlan. Minsta möjliga summa av tal på tavlan uppnås under förutsättning att summan av 99 olika naturliga tal är minimal. Och detta är i sin tur möjligt om 99 olika naturliga tal är en aritmetisk progression med den första medlemmen och en skillnad Summan av dessa tal, enligt formeln för summan av en aritmetisk progression, blir:
Summan av alla siffror på tavlan S kommer att vara lika med:
Det är lätt att se att den resulterande summan är större än 5120, vilket betyder att varje summa av 100 olika naturliga tal, bland vilka det finns 230, är större än 5120, därför kan siffran 230 inte finnas på tavlan.
b) Låt inte siffran 14 skrivas på tavlan, i detta fall minsta möjliga summa S siffror på tavlan kommer att bestå av två summor av aritmetiska progressioner: summan av de första 13 medlemmarna av progressionen med den första medlemmen, skillnaden (det vill säga serien 1,2,3,..13) och summan av första 87 medlemmarna av progressionen med den första medlemmen, skillnad (det vill säga serien 15,16,17,..101). Låt oss hitta detta belopp:
Det är lätt att se att den resulterande summan är större än 5120, vilket betyder att varje summa av 100 olika naturliga tal, bland vilka det inte finns några 14, är större än 5120, därför kan man inte klara sig utan talet 14 på tavlan.
c) Antag att alla tal från 1 till 100 är skrivna på tavlan. Sedan visar det sig att den resulterande serien är en aritmetisk progression med den första medlemmen, skillnaden. Med hjälp av formeln för summan av en aritmetisk progression hittar vi summan av alla siffror på tavlan:
Den resulterande mängden uppfyller inte problemets tillstånd. Nu, för att öka summan av alla siffror som är skrivna på tavlan till det som anges i villkoret, låt oss försöka ersätta talen som är multiplar av 14 med andra tal efter hundra: vi ersätter 70 med 110, 84 med 104 och 98 med 108. Den resulterande summan S kommer att vara lika med:
Med ytterligare ersättning av tal som är multiplar av 14 med tal större än 100, kommer summan att öka och kommer inte att motsvara problemets tillstånd. Så det minsta antalet multiplar av 14 är 4.
Låt oss ge en annan lösning till del c).
Låt oss ge ett exempel när fyra tal som är multiplar av 14 (14, 28, 42, 56) skrivs på tavlan:
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Låt oss bevisa att det inte kan finnas tre tal som är multiplar av 14. För att ta bort det maximala antalet tal som är multiplar av 14, är det nödvändigt att skillnaderna mellan nya och gamla tal är minimala. Det vill säga, det är nödvändigt att ersätta de största talen, multiplar av 14, med de minsta möjliga talen, större än hundra. Låt antalet siffror som är multiplar av 14 vara 3. Då är minimisumman av talen som är skrivna på tavlan:
Den resulterande summan är större än 5120. Med ytterligare ersättning av tal som är multiplar av 14 med tal större än 100, kommer summan att öka, vilket innebär att det inte kan finnas mindre än fyra tal som är multiplar av 14 på tavlan.
A) nej b) nej c) 4.
Videokursen "Få ett A" innehåller alla ämnen som är nödvändiga för att lyckas med provet i matematik med 60-65 poäng. Helt alla uppgifter 1-13 i Profilen ANVÄNDNING i matematik. Även lämplig för att klara Basic USE i matematik. Om du vill klara provet med 90-100 poäng behöver du lösa del 1 på 30 minuter och utan misstag!
Förberedelsekurs inför tentamen för årskurs 10-11, samt för lärare. Allt du behöver för att lösa del 1 av provet i matematik (de första 12 uppgifterna) och uppgift 13 (trigonometri). Och det här är mer än 70 poäng på Unified State Examination, och varken en hundrapoängsstudent eller en humanist kan klara sig utan dem.
All nödvändig teori. Snabba lösningar, fällor och provets hemligheter. Alla relevanta uppgifter i del 1 från Bank of FIPI-uppgifter har analyserats. Kursen uppfyller helt kraven i USE-2018.
Kursen innehåller 5 stora ämnen, 2,5 timmar vardera. Varje ämne ges från grunden, enkelt och tydligt.
Hundratals tentamensuppgifter. Textproblem och sannolikhetsteori. Enkla och lätta att komma ihåg problemlösningsalgoritmer. Geometri. Teori, referensmaterial, analys av alla typer av USE-uppgifter. Stereometri. Listiga trick för att lösa, användbara fuskblad, utveckling av rumslig fantasi. Trigonometri från grunden - till uppgift 13. Förstå istället för att proppa. Visuell förklaring av komplexa begrepp. Algebra. Rötter, potenser och logaritmer, funktion och derivata. Bas för att lösa komplexa problem i den andra delen av tentamen.
Det finns 100 olika naturliga tal skrivna på tavlan med summan 5120.
a) Kan siffran 230 skrivas?
b) Går det att klara sig utan siffran 14?
c) Vilket är det minsta antalet multiplar av 14 som kan finnas på tavlan?
Lösning.
a) Låt siffran 230 och 99 andra olika naturliga tal skrivas på tavlan. Minsta möjliga summa av tal på tavlan uppnås under förutsättning att summan av 99 olika naturliga tal är minimal. Och detta är i sin tur möjligt om 99 olika naturliga tal är en aritmetisk progression med den första medlemmen och en skillnad Summan av dessa tal, enligt formeln för summan av en aritmetisk progression, blir:
Summan av alla siffror på tavlan S kommer att vara lika med:
Det är lätt att se att den resulterande summan är större än 5120, vilket betyder att varje summa av 100 olika naturliga tal, bland vilka det finns 230, är större än 5120, därför kan siffran 230 inte finnas på tavlan.
b) Låt inte siffran 14 skrivas på tavlan, i detta fall minsta möjliga summa S siffror på tavlan kommer att bestå av två summor av aritmetiska progressioner: summan av de första 13 medlemmarna av progressionen med den första medlemmen, skillnaden (det vill säga serien 1,2,3,..13) och summan av första 87 medlemmarna av progressionen med den första medlemmen, skillnad (det vill säga serien 15,16,17,..101). Låt oss hitta detta belopp:
Det är lätt att se att den resulterande summan är större än 5120, vilket betyder att varje summa av 100 olika naturliga tal, bland vilka det inte finns några 14, är större än 5120, därför kan man inte klara sig utan talet 14 på tavlan.
c) Antag att alla tal från 1 till 100 är skrivna på tavlan. Sedan visar det sig att den resulterande serien är en aritmetisk progression med den första medlemmen, skillnaden. Med hjälp av formeln för summan av en aritmetisk progression hittar vi summan av alla siffror på tavlan:
Den resulterande mängden uppfyller inte problemets tillstånd. Nu, för att öka summan av alla siffror som är skrivna på tavlan till det som anges i villkoret, låt oss försöka ersätta talen som är multiplar av 14 med andra tal efter hundra: vi ersätter 70 med 110, 84 med 104 och 98 med 108. Den resulterande summan S kommer att vara lika med:
Med ytterligare ersättning av tal som är multiplar av 14 med tal större än 100, kommer summan att öka och kommer inte att motsvara problemets tillstånd. Så det minsta antalet multiplar av 14 är 4.
Låt oss ge en annan lösning till del c).
Låt oss ge ett exempel när fyra tal som är multiplar av 14 (14, 28, 42, 56) skrivs på tavlan:
1, 2, ... , 69, 71, 72, ... , 83, 85, 86, ... , 97, 100, 101, 102, 103, 115.
Låt oss bevisa att det inte kan finnas tre tal som är multiplar av 14. För att ta bort det maximala antalet tal som är multiplar av 14, är det nödvändigt att skillnaderna mellan nya och gamla tal är minimala. Det vill säga, det är nödvändigt att ersätta de största talen, multiplar av 14, med de minsta möjliga talen, större än hundra. Låt antalet siffror som är multiplar av 14 vara 3. Då är minimisumman av talen som är skrivna på tavlan:
Den resulterande summan är större än 5120. Med ytterligare ersättning av tal som är multiplar av 14 med tal större än 100, kommer summan att öka, vilket innebär att det inte kan finnas mindre än fyra tal som är multiplar av 14 på tavlan.
A) nej b) nej c) 4.
