Hur man löser ojämlikheter med decimallogaritmer. Logaritmiska ekvationer och ojämlikheter. Sätt att lösa logaritmiska ojämlikheter

Lektionens mål:

Didaktisk:

• Nivå 1 - lär ut hur man löser de enklaste logaritmiska ojämlikheterna, med hjälp av definitionen av en logaritm, logaritmernas egenskaper;
• Nivå 2 - lös logaritmiska ojämlikheter, välj din egen lösningsmetod;
• Nivå 3 - kunna tillämpa kunskaper och färdigheter i icke-standardiserade situationer.

Utvecklande: utveckla minne, uppmärksamhet, logiskt tänkande, jämförelseförmåga, kunna generalisera och dra slutsatser

Pedagogisk: att odla noggrannhet, ansvar för utförd uppgift, ömsesidig hjälp.

Lär ut metoder: verbal , visuell , praktisk , partiell sökning , självstyre , kontrollera.

Former för organisering av elevers kognitiv aktivitet: frontal , enskild , arbeta i par.

Utrustning: en uppsättning testuppgifter, en referensnotis, tomma ark för lösningar.

Lektionstyp: lära sig nytt material.

Under lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick. Temat och målen för lektionen tillkännages, lektionens upplägg: varje elev får ett utvärderingsblad som eleven fyller i under lektionen; för varje elevpar - tryckt material med uppgifter måste du slutföra uppgifterna i par; tomma ark för beslut; referensblad: definition av logaritmen; graf över en logaritmisk funktion, dess egenskaper; egenskaper hos logaritmer; algoritm för att lösa logaritmiska ojämlikheter.

Alla beslut efter självbedömning lämnas till läraren.

Studentpoängblad

2. Aktualisering av kunskap.

Lärarens instruktioner. Kom ihåg definitionen av logaritmen, grafen för den logaritmiska funktionen och dess egenskaper. För att göra detta, läs texten på s. 88–90, 98–101 i läroboken “Algebra och början av analys 10–11” redigerad av Sh.A Alimov, Yu.M Kolyagin och andra.

Eleverna får ark där det står: definitionen av logaritmen; visar en graf över en logaritmisk funktion, dess egenskaper; egenskaper hos logaritmer; algoritm för att lösa logaritmiska olikheter, ett exempel på att lösa en logaritmisk olikhet som reduceras till en kvadrat.

3. Att lära sig nytt material.

Lösningen av logaritmiska ojämlikheter är baserad på monotoniteten hos den logaritmiska funktionen.

Algoritm för att lösa logaritmiska olikheter:

A) Hitta definitionsdomänen för olikheten (det sublogaritmiska uttrycket är större än noll).
B) Presentera (om möjligt) de vänstra och högra delarna av olikheten som logaritmer i samma bas.
C) Bestäm om den logaritmiska funktionen ökar eller minskar: om t>1, då ökar; om 0 1, sedan minskande.
D) Gå till en enklare olikhet (sublogaritmiska uttryck), med tanke på att olikhetstecknet kommer att bevaras om funktionen ökar, och ändras om det minskar.

Lärande element #1.

Syfte: att fixa lösningen av de enklaste logaritmiska ojämlikheterna

Organisationsform av elevers kognitiv aktivitet: individuellt arbete.

Arbetsuppgifter för självständigt arbete i 10 minuter. För varje ojämlikhet finns det flera svar, du måste välja rätt och kontrollera med nyckel.

NYCKEL: 13321, maxpoäng - 6 sid.

Lärande element #2.

Syfte: att fixa lösningen av logaritmiska olikheter genom att tillämpa logaritmernas egenskaper.

Lärarens instruktioner. Kom ihåg de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. För att göra detta, läs texten i läroboken på s.92, 103–104.

Arbetsuppgifter för självständigt arbete i 10 minuter.

NYCKEL: 2113, maximalt antal poäng är 8 b.

Lärande element #3.

Syfte: att studera lösningen av logaritmiska ojämlikheter genom metoden för reduktion till kvadraten.

Lärarens instruktioner: metoden för att reducera olikhet till en kvadrat är att du behöver transformera olikheten till en sådan form att en viss logaritmisk funktion betecknas med en ny variabel, samtidigt som du får en kvadratolikhet med avseende på denna variabel.

Låt oss använda intervallmetoden.

Du har klarat den första nivån av assimilering av materialet. Nu måste du självständigt välja en metod för att lösa logaritmiska ekvationer, med alla dina kunskaper och förmågor.

Inlärningselement nummer 4.

Syfte: att konsolidera lösningen av logaritmiska ojämlikheter genom att välja ett rationellt sätt att lösa det själv.

Arbetsuppgifter för självständigt arbete i 10 minuter

Lärelement nummer 5.

Lärarens instruktioner. Bra gjort! Du behärskar lösningen av ekvationer på den andra nivån av komplexitet. Syftet med ditt fortsatta arbete är att tillämpa dina kunskaper och färdigheter i mer komplexa och icke-standardiserade situationer.

Uppgifter för oberoende lösning:

Lärarens instruktioner. Det är bra om du har gjort allt arbete. Bra gjort!

Betyget för hela lektionen beror på antalet poäng för alla utbildningsmoment:

• om N ≥ 20 får du poängen "5",
• för 16 ≤ N ≤ 19 – poäng "4",
• för 8 ≤ N ≤ 15 – poäng "3",
• på N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Beräknade rävar att lämna över till läraren.

5. Läxor: om du inte fick mer än 15 b - arbeta med misstagen (lösningar kan tas från läraren), om du fick mer än 15 b - gör en kreativ uppgift om ämnet "Logaritmiska ojämlikheter".

Med dem finns inuti logaritmer.

Exempel:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Hur man löser logaritmiska ojämlikheter:

Eventuell logaritmisk olikhet bör reduceras till formen \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (symbol \(˅\) betyder någon av ). Denna form låter oss bli av med logaritmer och deras baser genom att gå över till olikheten i uttryck under logaritmer, det vill säga till formen \(f(x) ˅ g(x)\).

Men när man gör denna övergång finns det en mycket viktig subtilitet:
\(-\) om - ett tal och det är större än 1 - olikhetstecknet förblir detsamma under övergången,
\(-\) om basen är ett tal större än 0 men mindre än 1 (mellan noll och ett), så måste olikhetstecknet vändas, d.v.s.

Exempel:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Lösning: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Svar: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0,5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0,5)\) ⁡\(((x+ ett))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Vänsterhögerpil\) \(x\in(2;\infty)\) Lösning: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Svar: \((2;5]\)

Väldigt viktigt! I alla olikheter kan övergången från formen \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) till att jämföra uttryck under logaritmer endast göras om:

Exempel . Lös ojämlikheten: \(\log\)\(≤-1\)

Lösning:

\(\logga\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Låt oss skriva ut ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Vi öppnar parentesen, ger .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Vi multiplicerar olikheten med \(-1\), och kom ihåg att vända jämförelsetecknet.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2))))\)\(≤\) \(0\)	Låt oss bygga en tallinje och markera punkterna \(\frac(7)(3)\) och \(\frac(3)(2)\) på den. Observera att poängen från nämnaren är punkterad, trots att ojämlikheten inte är strikt. Faktum är att denna punkt inte kommer att vara en lösning, eftersom när vi ersätter med en ojämlikhet, kommer det att leda oss till division med noll.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Nu plottar vi ODZ på samma numeriska axel och skriver ner som svar intervallet som faller in i ODZ.
	Skriv ner det slutliga svaret.

Svar: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Exempel . Lös ojämlikheten: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Lösning:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Låt oss skriva ut ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Låt oss komma till lösningen.
Lösning: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Före oss är en typisk kvadrat-logaritmisk olikhet. Vi gör.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Expandera den vänstra sidan av ojämlikheten till .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Nu måste du återgå till den ursprungliga variabeln - x. För att göra detta går vi vidare till , som har samma lösning, och gör det omvända utbytet.
\(\left[ \begin(samlad) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Förvandla \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\vänster[ \begin(samlad) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Låt oss gå vidare till att jämföra argument. Logaritmernas baser är större än \(1\), så olikheternas tecken ändras inte.
\(\left[ \begin(samlad) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Låt oss kombinera lösningen av ojämlikheten och ODZ i en figur.
	Låt oss skriva ner svaret.

Svar: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

LOGARITMISKA OJÄMLIKHET I ANVÄNDNING

Sechin Mikhail Alexandrovich

Liten vetenskapsakademi för studenter i republiken Kazakstan "Seeker"

MBOU "Sovjetisk gymnasieskola nr 1", årskurs 11, stad. Sovjetiska sovjetdistriktet

Gunko Lyudmila Dmitrievna, lärare i MBOU "Sovjetisk gymnasieskola nr 1"

Sovjet-distriktet

Mål: studie av mekanismen för att lösa C3 logaritmiska ojämlikheter med hjälp av icke-standardiserade metoder, avslöjar intressanta fakta om logaritmen.

Studieämne:

3) Lär dig att lösa specifika logaritmiska C3-olikheter med hjälp av icke-standardiserade metoder.

Resultat:

Innehåll

Inledning……………………………………………………………………………………………….4

Kapitel 1. Bakgrund………………………………………………………………...5

Kapitel 2. Insamling av logaritmiska ojämlikheter ………………………… 7

2.1. Ekvivalenta övergångar och den generaliserade metoden för intervall………………… 7

2.2. Rationaliseringsmetod ………………………………………………… 15

2.3. Icke-standardiserad substitution…………………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Uppgifter med fällor……………………………………………………… 27

Slutsats……………………………………………………………………………… 30

Litteratur……………………………………………………………………. 31

Introduktion

Jag går i 11:e klass och jag planerar att börja på ett universitet där matematik är ett kärnämne. Och det är därför jag jobbar mycket med uppgifterna i del C. I uppgift C3 behöver man lösa en icke-standardiserad ojämlikhet eller ett system av ojämlikheter, vanligtvis förknippat med logaritmer. När jag förberedde mig för tentamen stötte jag på problemet med bristen på metoder och tekniker för att lösa de logaritmiska ojämlikheterna i undersökningen som erbjuds i C3. De metoder som studeras i skolans läroplan om detta ämne ger inte underlag för att lösa C3-uppgifter. Matteläraren föreslog att jag skulle arbeta med C3-uppgifterna på egen hand under hennes ledning. Dessutom var jag intresserad av frågan: finns det logaritmer i vårt liv?

Med detta i åtanke valdes temat:

"Logaritmiska ojämlikheter i provet"

Mål: studie av mekanismen för att lösa C3-problem med icke-standardiserade metoder, avslöjar intressanta fakta om logaritmen.

Studieämne:

1) Hitta nödvändig information om icke-standardiserade metoder för att lösa logaritmiska ojämlikheter.

2) Hitta ytterligare information om logaritmer.

3) Lär dig att lösa specifika C3-problem med icke-standardiserade metoder.

Resultat:

Den praktiska betydelsen ligger i utbyggnaden av apparaten för att lösa problem C3. Detta material kan användas i vissa lektioner, för att genomföra cirklar, valfria klasser i matematik.

Projektprodukten blir kollektionen "Logarithmic C3 Inequalities with Solutions".

Kapitel 1. Bakgrund

Under 1500-talet ökade antalet ungefärliga beräkningar snabbt, främst inom astronomi. Förbättringen av instrument, studiet av planetrörelser och annat arbete krävde kolossala, ibland många år, beräkningar. Astronomi var i verklig fara att drunkna i ouppfyllda beräkningar. Svårigheter uppstod även inom andra områden, till exempel behövdes inom försäkringsrörelsen tabeller över ränta på olika procentuella värden. Den största svårigheten var multiplikation, division av flersiffriga tal, speciellt trigonometriska storheter.

Upptäckten av logaritmer baserades på de välkända egenskaperna hos progressioner i slutet av 1500-talet. Arkimedes talade om sambandet mellan medlemmarna i den geometriska progressionen q, q2, q3, ... och den aritmetiska progressionen av deras indikatorer 1, 2, 3, ... i Psalmiten. En annan förutsättning var utvidgningen av gradbegreppet till negativa och fraktionerade exponenter. Många författare har påpekat att multiplikation, division, höjning till en potens och extrahering av en rot exponentiellt motsvarar i aritmetik - i samma ordning - addition, subtraktion, multiplikation och division.

Här var tanken på logaritmen som en exponent.

I historien om utvecklingen av läran om logaritmer har flera stadier passerat.

Steg 1

Logaritmer uppfanns senast 1594 oberoende av den skotske baronen Napier (1550-1617) och tio år senare av den schweiziske mekanikern Burgi (1552-1632). Båda ville tillhandahålla ett nytt bekvämt sätt för aritmetiska beräkningar, även om de närmade sig detta problem på olika sätt. Napier uttryckte kinematiskt den logaritmiska funktionen och gick därmed in i ett nytt område för funktionsteorin. Bürgi stannade på grundval av övervägande av diskreta progressioner. Definitionen av logaritmen för båda liknar dock inte den moderna. Termen "logaritm" (logaritm) tillhör Napier. Det uppstod från en kombination av grekiska ord: logos - "relation" och ariqmo - "antal", vilket betydde "antal relationer". Inledningsvis använde Napier en annan term: numeri artificiella - "artificiella tal", i motsats till numeri naturalts - "naturliga tal".

År 1615, i ett samtal med Henry Briggs (1561-1631), en professor i matematik vid Gresh College i London, föreslog Napier att man skulle ta noll för logaritmen av ett och 100 för logaritmen av tio, eller vad som motsvarar detsamma. , bara 1. Så här skrevs decimallogaritmer och De första logaritmiska tabellerna ut. Senare kompletterades Briggs-tabellerna av den holländska bokhandlaren och matematikern Andrian Flakk (1600-1667). Napier och Briggs, även om de kom till logaritmer före någon annan, publicerade sina tabeller senare än andra - 1620. Tecknen log och Log introducerades 1624 av I. Kepler. Termen "naturlig logaritm" introducerades av Mengoli 1659, följt av N. Mercator 1668, och Londonläraren John Spadel publicerade tabeller över naturliga logaritmer av tal från 1 till 1000 under namnet "Nya logaritmer".

På ryska publicerades de första logaritmiska tabellerna 1703. Men i alla logaritmiska tabeller gjordes fel i beräkningen. De första felfria tabellerna publicerades 1857 i Berlin under bearbetning av den tyske matematikern K. Bremiker (1804-1877).

Steg 2

Ytterligare utveckling av teorin om logaritmer är förknippad med en bredare tillämpning av analytisk geometri och infinitesimalkalkyl. Vid den tiden var kopplingen mellan kvadraturen av en liksidig hyperbel och den naturliga logaritmen etablerad. Teorin om logaritmer från denna period är förknippad med namnen på ett antal matematiker.

Den tyske matematikern, astronomen och ingenjören Nikolaus Mercator i sin uppsats

"Logarithmotechnics" (1668) ger en serie som ger expansionen av ln(x + 1) i termer av

makter x:

Detta uttryck överensstämmer exakt med hans tankegång, även om han naturligtvis inte använde tecknen d, ..., utan mer besvärliga symboler. Med upptäckten av den logaritmiska serien förändrades tekniken för att beräkna logaritmer: de började bestämmas med hjälp av oändliga serier. I sina föreläsningar "Elementär matematik från en högre synvinkel", läst 1907-1908, föreslog F. Klein att man skulle använda formeln som utgångspunkt för att konstruera teorin om logaritm.

Steg 3

Definition av en logaritmisk funktion som funktion av inversen

exponentiell, logaritm som en exponent för en given bas

formulerades inte omedelbart. Verk av Leonhard Euler (1707-1783)

"Introduktion till analysen av infinitesimals" (1748) fungerade som ytterligare

utveckling av teorin om den logaritmiska funktionen. På det här sättet,

134 år har gått sedan logaritmer först introducerades

(räknat från 1614) innan matematiker kom på en definition

begreppet logaritmen, som nu ligger till grund för skolkursen.

Kapitel 2. Insamling av logaritmiska olikheter

2.1. Ekvivalenta övergångar och den generaliserade metoden för intervaller.

Motsvarande övergångar

om en > 1

om 0 < а < 1

Generaliserad intervallmetod

Denna metod är den mest universella för att lösa ojämlikheter av nästan alla typer. Lösningsschemat ser ut så här:

1. För ojämlikheten till en sådan form, där funktionen är placerad på vänster sida
, och 0 till höger.

2. Hitta funktionens omfattning
.

3. Hitta nollorna för en funktion
, det vill säga lös ekvationen
(och att lösa en ekvation är vanligtvis lättare än att lösa en ojämlikhet).

4. Rita definitionsdomänen och nollor för funktionen på en reell linje.

5. Bestäm tecknen för funktionen
med de mottagna intervallen.

6. Välj de intervall där funktionen tar de nödvändiga värdena och skriv ner svaret.

Exempel 1

Lösning:

Använd intervallmetoden

var

För dessa värden är alla uttryck under logaritmernas tecken positiva.

Svar:

Exempel 2

Lösning:

1:a sätt . ODZ bestäms av ojämlikheten x> 3. Att ta logaritmer för sådana x i bas 10 får vi

Den sista ojämlikheten skulle kunna lösas genom att tillämpa nedbrytningsreglerna, d.v.s. jämföra faktorer med noll. Men i det här fallet är det lätt att bestämma konstansintervallen för funktionen

så att intervallmetoden kan tillämpas.

Fungera f(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ är kontinuerlig för x> 3 och försvinner punktvis x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Sålunda bestämmer vi konstansintervallen för funktionen f(x):

Svar:

2:a vägen . Låt oss tillämpa idéerna om intervallmetoden direkt på den ursprungliga ojämlikheten.

För detta erinrar vi om att uttrycken a b- a c och ( a - 1)(b- 1) har ett tecken. Då vår ojämlikhet för x> 3 motsvarar ojämlikheten

eller

Den sista ojämlikheten löses med intervallmetoden

Svar:

Exempel 3

Lösning:

Använd intervallmetoden

Svar:

Exempel 4

Lösning:

Sedan 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 på riktigt x, då

För att lösa den andra ojämlikheten använder vi intervallmetoden

I den första ojämlikheten gör vi förändringen

då kommer vi fram till ojämlikheten 2y 2 - y - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те y, som uppfyller ojämlikheten -0,5< y < 1.

Varifrån, eftersom

vi får ojämlikheten

som genomförs med x, för vilken 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Nu, med hänsyn till lösningen av systemets andra ojämlikhet, får vi äntligen

Svar:

Exempel 5

Lösning:

Ojämlikhet är likvärdig med en uppsättning system

eller

Använd intervallmetoden eller

Svar:

Exempel 6

Lösning:

Ojämlikhet är liktydigt med ett system

Låta

sedan y > 0,

och den första ojämlikheten

systemet tar formen

eller expanderar

kvadrattrinomial till faktorer,

Att tillämpa intervallmetoden på den sista ojämlikheten,

vi ser att dess lösningar uppfyller villkoret y> 0 kommer att vara allt y > 4.

Således är den ursprungliga ojämlikheten ekvivalent med systemet:

Så, lösningarna på ojämlikheten är alla

2.2. rationaliseringsmetod.

Tidigare var metoden för rationalisering av ojämlikhet inte löst, den var inte känd. Detta är "en ny modern effektiv metod för att lösa exponentiella och logaritmiska ojämlikheter" (citat från boken av Kolesnikova S.I.)
Och även om läraren kände honom så fanns det en rädsla – men känner USE-experten honom, och varför ges han inte i skolan? Det fanns situationer när läraren sa till eleven: "Var fick du tag i det? Sätt dig ner - 2."
Nu främjas metoden överallt. Och för experter finns det riktlinjer förknippade med denna metod, och i "De mest kompletta utgåvorna av typvarianterna ..." i lösning C3 används denna metod.
METODEN ÄR BRA!

"Magiskt bord"

I andra källor

om a >1 och b >1, sedan log a b >0 och (a -1)(b -1)>0;

om a >1 och 0

om 0<a<1 и b >1, logga sedan a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

om 0<a<1 и 0O och (a-1)(b-1)>0.

Ovanstående resonemang är enkelt, men förenklar märkbart lösningen av logaritmiska ojämlikheter.

Exempel 4

log x (x 2 -3)<0

Lösning:

Exempel 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Lösning:

Svar. (0; 0,5) U.

Exempel 6

För att lösa denna olikhet skriver vi (x-1-1) (x-1) istället för nämnaren, och produkten (x-1) (x-3-9 + x) istället för täljaren.

Svar : (3;6)

Exempel 7

Exempel 8

2.3. Icke-standardiserad substitution.

Exempel 1

Exempel 2

Exempel 3

Exempel 4

Exempel 5

Exempel 6

Exempel 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Låt oss göra substitutionen y=3 x -1; då tar denna ojämlikhet formen

log 4 log 0,25
.

Eftersom log 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , sedan skriver vi om den sista olikheten som 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Låt oss ersätta t =log 4 y och få olikheten t 2 -2t +≥0, vars lösning är intervallen - .

För att hitta värdena för y har vi alltså en uppsättning av två enklaste ojämlikheter
Lösningen för denna samling är intervallen 0<у≤2 и 8≤у<+.

Därför är den ursprungliga ojämlikheten ekvivalent med mängden av två exponentiella olikheter,
det vill säga aggregat

Lösningen av den första olikheten i denna mängd är intervallet 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Således gäller den ursprungliga olikheten för alla värden på x från intervallen 0<х≤1 и 2≤х<+.

Exempel 8

Lösning:

Ojämlikhet är liktydigt med ett system

Lösningen av den andra ojämlikheten, som bestämmer ODZ, kommer att vara uppsättningen av dessa x,

för vilka x > 0.

För att lösa den första ojämlikheten gör vi förändringen

Då får vi ojämlikheten

eller

Uppsättningen av lösningar för den sista ojämlikheten hittas av metoden

intervaller: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, vi får

eller

Många av dem x, som tillfredsställer den sista ojämlikheten

tillhör ODZ ( x> 0), är därför en lösning på systemet,

och därav den ursprungliga ojämlikheten.

Svar:

2.4. Uppgifter med fällor.

Exempel 1

.

Lösning. Olikhetens ODZ är alla x som uppfyller villkoret 0 . Därför är alla x från intervallet 0

Exempel 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Poängen är att den andra siffran uppenbarligen är större än

Slutsats

Det var inte lätt att hitta speciella metoder för att lösa C3-problem från en mängd olika utbildningskällor. Under arbetets gång kunde jag studera icke-standardiserade metoder för att lösa komplexa logaritmiska ojämlikheter. Dessa är: ekvivalenta övergångar och den generaliserade metoden för intervaller, metoden för rationalisering , icke-standardiserad substitution , uppgifter med fällor på ODZ. Dessa metoder saknas i skolans läroplan.

Med olika metoder löste jag 27 ojämlikheter som erbjöds vid USE i del C, nämligen C3. Dessa ojämlikheter med lösningar genom metoder utgjorde grunden för samlingen "Logarithmic C3 Inequalities with Solutions", som blev projektprodukten av min aktivitet. Hypotesen jag lade fram i början av projektet bekräftades: C3-problem kan effektivt lösas om dessa metoder är kända.

Dessutom upptäckte jag intressanta fakta om logaritmer. Det var intressant för mig att göra det. Mina projektprodukter kommer att vara användbara för både elever och lärare.

Slutsatser:

Därmed uppnås projektets mål, problemet är löst. Och jag fick den mest kompletta och mångsidiga erfarenheten av projektaktiviteter i alla skeden av arbetet. Under arbetet med projektet var min huvudsakliga utvecklingspåverkan mental kompetens, aktiviteter relaterade till logiska mentala operationer, utveckling av kreativ kompetens, personligt initiativ, ansvar, uthållighet och aktivitet.

En garanti för framgång när man skapar ett forskningsprojekt för jag blev: betydande skolerfarenhet, förmågan att extrahera information från olika källor, kontrollera dess tillförlitlighet, rangordna den efter betydelse.

Förutom direkt ämneskunskap i matematik utökade han sina praktiska färdigheter inom datavetenskap, skaffade sig nya kunskaper och erfarenheter inom psykologiområdet, knöt kontakter med klasskamrater och lärde sig att samarbeta med vuxna. Under projektverksamheten utvecklades organisatoriska, intellektuella och kommunikativa allmänna pedagogiska färdigheter och förmågor.

Litteratur

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. System av ojämlikheter med en variabel (typiska uppgifter C3).

2. Malkova A. G. Förbereder sig för Unified State Examination in Mathematics.

3. S. S. Samarova, Lösning av logaritmiska olikheter.

4. Matematik. Samling av träningsverk redigerade av A.L. Semyonov och I.V. Jasjtjenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 s.-

Bland alla olika logaritmiska olikheter studeras olikheter med variabel bas separat. De löses enligt en speciell formel, som av någon anledning sällan lärs ut i skolan:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x) − g (x )) (k (x) − 1) ∨ 0

Istället för en jackdaw "∨", kan du sätta vilket olikhetstecken som helst: mer eller mindre. Huvudsaken är att i båda ojämlikheterna är tecknen desamma.

Så vi blir av med logaritmer och reducerar problemet till en rationell ojämlikhet. Det senare är mycket lättare att lösa, men när man kasserar logaritmer kan extra rötter dyka upp. För att skära av dem räcker det att hitta intervallet för tillåtna värden. Om du har glömt ODZ för logaritmen rekommenderar jag starkt att du upprepar den - se "Vad är en logaritm".

Allt relaterat till intervallet av acceptabla värden måste skrivas ut och lösas separat:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Dessa fyra ojämlikheter utgör ett system och måste uppfyllas samtidigt. När intervallet av acceptabla värden hittats återstår det att korsa det med lösningen av en rationell ojämlikhet - och svaret är klart.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

Låt oss först skriva ODZ för logaritmen:

De två första ojämlikheterna utförs automatiskt, och den sista måste skrivas. Eftersom kvadraten på ett tal är noll om och endast om talet i sig är noll, har vi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Det visar sig att ODZ för logaritmen är alla tal utom noll: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nu löser vi den huvudsakliga ojämlikheten:

Vi utför övergången från den logaritmiska olikheten till den rationella. Den ursprungliga ojämlikheten har ett "mindre än"-tecken, vilket betyder att den resulterande ojämlikheten också ska ha ett "mindre än"-tecken. Vi har:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Nollor i detta uttryck: x = 3; x = -3; x = 0. Dessutom är x = 0 roten till den andra multipliciteten, vilket betyder att funktionens tecken inte ändras när den passerar genom den. Vi har:

Vi får x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Denna uppsättning är helt innesluten i ODZ för logaritmen, vilket betyder att detta är svaret.

Transformation av logaritmiska ojämlikheter

Ofta skiljer sig den ursprungliga ojämlikheten från den ovan. Detta är enkelt att fixa enligt standardreglerna för att arbeta med logaritmer - se "Logaritmers grundläggande egenskaper". Nämligen:

1. Vilket tal som helst kan representeras som en logaritm med en given bas;
2. Summan och skillnaden av logaritmer med samma bas kan ersättas med en enda logaritm.

Separat vill jag påminna dig om intervallet för acceptabla värden. Eftersom det kan finnas flera logaritmer i den ursprungliga olikheten, krävs det att man hittar DPV för var och en av dem. Således är det allmänna schemat för att lösa logaritmiska ojämlikheter som följer:

1. Hitta ODZ för varje logaritm som ingår i olikheten;
2. Minska olikheten till standarden genom att använda formlerna för att addera och subtrahera logaritmer;
3. Lös den resulterande ojämlikheten enligt schemat ovan.

Uppgift. Lös ojämlikheten:

Hitta definitionsdomänen (ODZ) för den första logaritmen:

Vi löser med intervallmetoden. Hitta nollorna i täljaren:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Sedan - nollorna i nämnaren:

x - 1 = 0;
x = 1.

Vi markerar nollor och tecken på koordinatpilen:

Vi får x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Den andra logaritmen för ODZ kommer att vara densamma. Om du inte tror mig kan du kolla. Nu transformerar vi den andra logaritmen så att basen är två:

Som du kan se har trippeln vid basen och före logaritmen krympt. Få två logaritmer med samma bas. Låt oss sätta ihop dem:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Vi har erhållit standard logaritmisk olikhet. Vi blir av med logaritmerna genom formeln. Eftersom det finns ett mindre än-tecken i den ursprungliga olikheten måste det resulterande rationella uttrycket också vara mindre än noll. Vi har:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Vi har två set:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Svarskandidat: x ∈ (−1; 3).

Det återstår att korsa dessa uppsättningar - vi får det verkliga svaret:

Vi är intresserade av skärningspunkten mellan uppsättningar, så vi väljer intervallerna skuggade på båda pilarna. Vi får x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - alla punkter punkteras.

För att lösa logaritmiska ojämlikheter använder vi den logaritmiska funktionens monotoniska egenskap. Vi använder också definitionen av logaritmen och grundläggande logaritmiska formler.

Låt oss sammanfatta vad logaritmer är:

Logaritm ett positivt tal i basen är en indikator på styrkan som du behöver höja till för att få .

Vart i

Grundläggande logaritmisk identitet:

Grundformler för logaritmer:

(Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna)

(Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna)

(Formel för gradens logaritm)

Formeln för att flytta till en ny bas är:

Algoritm för att lösa logaritmiska ojämlikheter

Vi kan säga att logaritmiska ojämlikheter löses enligt en viss algoritm. Vi måste skriva ner intervallet av acceptabla värden (ODV) för ojämlikheten. Ta olikheten till formen. Tecknet här kan vara vilket som helst: Det är viktigt att vänster och höger i olikheten var logaritmer i samma bas.

Och efter det "kasserar" vi logaritmerna! Dessutom, om basen för graden är , förblir olikhetstecknet detsamma. Om basen är sådan att olikhetens tecken vänds.

Naturligtvis "slår vi ut" inte bara logaritmer. Vi använder monotonicitetsegenskapen för den logaritmiska funktionen. Om basen för logaritmen är större än en, ökar den logaritmiska funktionen monotont, och då motsvarar ett större värde på x ett större värde på uttrycket.

Om basen är större än noll och mindre än ett, minskar den logaritmiska funktionen monotont. Ett större värde på argumentet x kommer att motsvara ett mindre värde

Viktig anmärkning: det är bäst att skriva lösningen som en kedja av likvärdiga övergångar.

Låt oss gå vidare till praktiken. Som alltid börjar vi med de enklaste ojämlikheterna.

1. Betrakta ojämlikhetsloggen 3 x > log 3 5.
Eftersom logaritmer endast definieras för positiva tal måste x vara positivt. Villkoret x > 0 kallas området för acceptabla värden (ODV) för den givna olikheten. Endast för ett sådant x är ojämlikheten meningsfull.

Tja, den här formuleringen låter berömd och är lätt att komma ihåg. Men varför kan vi fortfarande göra det?

Vi är människor, vi är intelligenta. Vårt sinne är arrangerat på ett sådant sätt att allt som är logiskt, begripligt, med en inre struktur kommer ihåg och tillämpas mycket bättre än slumpmässiga och orelaterade fakta. Det är därför det är viktigt att inte memorera reglerna mekaniskt, som en tränad matematikerhund, utan att agera medvetet.

Så varför "kasserar vi logaritmer" fortfarande?

Svaret är enkelt: om basen är större än ett (som i vårt fall) ökar den logaritmiska funktionen monotont, vilket innebär att ett större värde på x motsvarar ett större värde på y, och från olikheten log 3 x 1 > logga 3 x 2 det följer att x 1 > x 2.


Observera att vi har gått över till en algebraisk olikhet, och olikhetstecknet är bevarat samtidigt.

Alltså x > 5.

Följande logaritmiska olikhet är också enkel.

2. stock 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Låt oss börja med intervallet av acceptabla värden. Logaritmer definieras bara för positiva tal, alltså

När vi löser detta system får vi: x > 0.

Låt oss nu gå vidare från den logaritmiska olikheten till den algebraiska - vi "kasserar" logaritmerna. Eftersom basen för logaritmen är större än en, bevaras olikhetstecknet.

15 + 3x > 2x.

Vi får: x > −15.

Svar: x > 0.

Men vad händer om basen för logaritmen är mindre än en? Det är lätt att gissa att i det här fallet, när man övergår till en algebraisk olikhet, kommer olikhetstecknet att ändras.

Låt oss ta ett exempel.

Låt oss skriva ODZ. Uttrycken som logaritmer hämtas från måste vara positiva, dvs.

När vi löser detta system får vi: x > 4,5.

Sedan minskar basens logaritmiska funktion monotont. Och detta betyder att ett större värde på funktionen motsvarar ett mindre värde på argumentet:


Och om, då
2x − 9 ≤ x.

Vi får att x ≤ 9.

Med tanke på att x > 4,5 skriver vi svaret:

I följande problem reduceras den exponentiella ojämlikheten till en kvadratisk. Så vi rekommenderar att du upprepar ämnet "fyrkantiga ojämlikheter".

Nu mer komplexa ojämlikheter:

4. Lös ojämlikheten

5. Lös ojämlikheten

Om då . Vi hade tur! Vi vet att basen för logaritmen är större än en för alla x-värden i DPV.

Låt oss göra en ersättare

Observera att vi först helt löser ojämlikheten med avseende på den nya variabeln t. Och först efter det återgår vi till variabeln x. Kom ihåg detta och gör inga misstag på provet!

Låt oss komma ihåg regeln: om det finns rötter, bråk eller logaritmer i en ekvation eller olikhet, måste lösningen utgå från intervallet av acceptabla värden. Eftersom basen för logaritmen måste vara positiv och inte lika med ett, får vi ett system av villkor:

Låt oss förenkla detta system:

Detta är intervallet av acceptabla värden för ojämlikhet.

Vi ser att variabeln finns i basen av logaritmen. Låt oss gå vidare till den permanenta basen. Minnas det

I det här fallet är det bekvämt att gå till bas 4.

Låt oss göra en ersättare

Förenkla ojämlikheten och lös den med intervallmetoden:

Tillbaka till variabeln x:

Vi har lagt till ett villkor x> 0 (från ODZ).

7. Följande problem löses också med intervallmetoden

Som alltid börjar vi lösningen av den logaritmiska olikheten från intervallet av acceptabla värden. I detta fall

Detta villkor måste nödvändigtvis vara uppfyllt, och vi återkommer till det. Låt oss ta en titt på själva ojämlikheten. Låt oss skriva vänster sida som en bas 3-logaritm:

Den högra sidan kan också skrivas som en logaritm till bas 3, och gå sedan till den algebraiska olikheten:

Vi ser att villkoret (det vill säga ODZ) nu är automatiskt uppfyllt. Jo, detta förenklar lösningen av ojämlikheten.

Vi löser ojämlikheten med intervallmetoden:

Svar:

Hände? Nåväl, låt oss öka svårighetsgraden:

8. Lös ojämlikheten:

Ojämlikheten är likvärdig med systemet:

9. Lös ojämlikheten:

Uttryck 5 - x 2 upprepas tvångsmässigt i problemets tillstånd. Och det betyder att du kan byta ut:

Eftersom exponentialfunktionen bara tar positiva värden, t> 0. Sedan

Ojämlikheten kommer att ta formen:

Redan bättre. Låt oss hitta intervallet av tillåtna värden för ojämlikheten. Det har vi redan sagt t> 0. Dessutom, ( t− 3) (5 9 t − 1) > 0

Om detta villkor är uppfyllt, kommer även kvoten att vara positiv.

Och uttrycket under logaritmen på höger sida av ojämlikheten måste vara positivt, det vill säga (625 t − 2) 2 .

Det betyder att 625 t− 2 ≠ 0, dvs.

Skriv noggrant ner ODZ

och lösa det resulterande systemet med intervallmetoden.

Så,

Nåväl, halva striden är gjord - vi kom på ODZ. Låt oss lösa ojämlikheten. Summan av logaritmerna på vänster sida representeras som produktens logaritm.