ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ НА ВЪЛНИ
Феномен намесасе състои в такова припокриване на две (или повече) вълни, което води до стационарно (независимо от времето) усилване на трептенията на частиците на средата на някои места и отслабване (или пълно потискане) на други места в пространството. Ако две вълни се разпространяват в някаква еластична среда, тогава всяка частица от средата, през
които двете вълни преминават, ще участват едновременно в две независими осцилаторни движения, причинени от всяка вълна. Полученото движение на частицата зависи от честотите, амплитудите и началните фази на компонентите на вибрацията. Ако обаче разпространяващите се вълни имат еднакви честоти и ако причиняват трептения на частицата по една и съща права линия в дадена точка от пространството, тогава възниква или усилване на трептенията, или тяхното затихване (затихване) в зависимост от фазовата разлика на компоненти на трептенията.
Винаги има точки в пространството, където е фазовата разлика на входящите трептения 2kπ(където ке цяло число). Следователно в тези точки ще има стабилно (неизменно продължаващо през цялото време) усилване на трептенията на частиците на средата. Има и точки, в които фазовата разлика на входящите трептения ще бъде равна (2k +1) π... В такива точки от пространството ще се наблюдава стабилно отслабване на трептенията на частиците на средата. В резултат на това областта на пространството, в която вълните се наслагват една върху друга, ще бъде редуване на области с повишено трептене на частиците на средата и области, където трептенията на частиците са отслабени или частиците не трептят при всичко.
Ясно е, че интерференционна картина възниква само когато се наслагват такива вълни, които имат еднаква честота, постоянна във времето фазова разлика във всяка точка от пространството и създават трептения по една права линия във всяка точка от пространството. Наричат се вълни, които отговарят на тези три условия (и източниците, които ги създават). съгласуван.
Най-простият случай на интерференция се наблюдава, когато пътуващите и отразените вълни се наслагват. Тези вълни са кохерентни (те удовлетворяват и трите условия за кохерентност). Суперпозицията на такива вълни води до образуването на т.нар стояща вълна.
Изместване на стоящата вълна. Нека запишем уравненията на две плоски вълни с еднакви честоти и амплитуди и се разпространяват в противоположни посоки:
Пълното изместване на частица от средата с координатата хе равна на сумата от преместванията ξ 1 и ξ 2
или (след тригонометрични трансформации):
Това е уравнението на стоящата вълна. Той показва, че в резултат на суперпозицията на предните и обратните вълни точките на средата вибрират така, че всички те едновременно преминават равновесното положение (sin ω t = 0) и всички те едновременно достигат най-големите си отклонения (sin ω т= ± 1).
Може да се каже, че частиците в стоящата вълна осцилират в една фаза. Въпреки това, поради факта, че факторът има алгебричен знак, частиците всъщност са
осцилират или в една фаза, ако имат еднакъв знак, или в противофаза, ако имат различни знаци за тях.
За да се изясни казаното, Фигура 4 показва разпределението на изместването на частиците на средата за различни последователни моменти от време. В моменти от времето т 1и т 5частиците имат най-големи отклонения (ако имаме предвид срязващата вълна в шнура, тогава графиките описват истинското положение на частиците в пространството), докато скоростите им са равни на нула. В момента т 3частиците преминават положението на равновесие; скоростите им са максимални. За моменти т 2и т 4са показани разпределенията на преместванията между най-голямото и нулево преместване. На графиката са избрани три точки с координати х 1, х 2, х 3... За всеки момент от времето стрелките показват скоростите на тези точки. Графиката показва, че точките х 1и х 2трептят в противофаза, а точките х 1и х 3- в една фаза. Диапазоните на флуктуациите в различните точки са различни. Така че, точка 4 се колебае в рамките на сегмента а, б.Амплитудата на вибрациите на частиците в стояща вълна зависи от тяхната координата, но не зависи от времето:
Тук се задава знакът на модула, тъй като амплитудата е чисто положителна стойност. Има точки в стоящата вълна, които остават неподвижни през цялото време. Такива характерни точки се наричат възлиизместване. Тяхната позиция се определя от условието
Това уравнение е изпълнено за стойностите на аргумента
където к= 0, 1, 2, .... Оттук
Графиката на стоящата вълна, показана на фигура 6, е условна: тя показва степента, в която различните точки на средата, в която се е образувала стоящата вълна, се колебаят. Възлите и антивъзлите на изместването са ясно видими на тази графика.
Ако няколко вълни се разпространяват едновременно в средата, тогава трептенията на частиците на средата се оказват геометричната сума от трептенията, които частиците биха извършили при разпространението на всяка от вълните поотделно. Това емпирично твърдение се нарича принципът на суперпозицията (суперпозицията) на вълните.
В случай, когато трептенията, причинени от отделни вълни във всяка от точките на средата, имат постоянна фазова разлика, вълните се наричат съгласуван.Когато се добавят кохерентни вълни, възниква феноменът на интерференция, който се състои във факта, че трептенията в някои точки се усилват, а в други точки се отслабват взаимно. Много важен случай на интерференция възниква, когато се наслагват две противоположни плоски вълни с еднаква амплитуда. Полученият осцилаторен процес се нарича стояща вълна.
Стояща вълна- Това е вълна, която се образува, когато се наслагват две вълни с еднаква амплитуда и честота, когато вълните се движат една към друга.
На практика стоящите вълни възникват, когато вълните се отразяват от препятствия. Вълната, падаща върху препятствието, и отразената вълна, бягаща към него, наслагвайки се една върху друга, дават стояща вълна.
Нека напишем уравненията за две плоски вълни, разпространяващи се по оста хв противоположни посоки:
Добавяйки тези уравнения и трансформирайки резултата по формулата за сумата от косинуси, получаваме:
За да опростите това уравнение, изберете началото хтака че разликата става равна на нула, а началото т- така че сборът да е равен на нула. Тогава
- уравнение на стоящата вълна.
Замяна на вълновото число Да сенейната стойност получаваме уравнението на стояща вълна, което е удобно за анализиране на трептенията на частиците в стояща вълна:
.
От това уравнение се вижда, че във всяка точка на стоящата вълна се появяват трептения със същата честота като тези на противоположно разпространяващите се вълни, а амплитудата на трептенията зависи от х:
.
В точки, чиито координати удовлетворяват условието
,
амплитудата на вибрациите достига максималната си стойност. Тези точки се наричат антивъзлистояща вълна. Стойностите на координатите на антивъзлите са равни:
.
В точки, чиито координати удовлетворяват условието:
,
амплитудата на вибрациите изчезва. Тези точки се наричат възлистояща вълна. Точките на средата, разположени във възлите, не вибрират. Координатите на възлите са:
.
От тези формули следва, че разстоянието между съседни антивъзли, както и разстоянието между съседни възли, е равно. Неравностите и възлите са изместени един спрямо друг с една четвърт от дължината на вълната.
 |
Фигурата показва графика на отклоненията на точките от равновесното положение за момента във времето т(плътна линия) и графика на точковите отклонения за даден момент от времето (прекъсната линия). Както се вижда от фигурата, точките, лежащи от противоположните страни на възела, осцилират в противофаза. Всички точки, затворени между два съседни възела, осцилират във фаза (т.е. в една и съща фаза).
Стоящата вълна не пренася енергия. Два пъти през периода енергията на стоящата вълна се трансформира или изцяло в потенциална, концентрирана главно близо до възлите на вълната, след това напълно в кинетична, концентрирана главно близо до антивъзлите на вълната. В резултат на това енергията се прехвърля от всеки възел към съседни антивъзли и обратно. Средният във времето енергиен поток във всеки участък от вълната е нула.
Много важен случай на интерференция възниква, когато се наслагват плоски вълни със същата амплитуда. Полученият осцилаторен процес се нарича стояща вълна.
На практика стоящите вълни възникват, когато вълните се отразяват от препятствия. Вълната, падаща върху препятствието, и отразената вълна, бягаща към него, наслагвайки се една върху друга, дават стояща вълна.
Помислете за резултата от интерференцията на две синусоидални плоски вълни с еднаква амплитуда, разпространяващи се в противоположни посоки.
За простота на разсъжденията, нека приемем, че и двете вълни причиняват трептения в една и съща фаза в началото.
Уравненията на тези вибрации са както следва:
Добавяйки двете уравнения и трансформирайки резултата, използвайки формулата за сумата от синусите, получаваме:
- уравнение на стоящата вълна.
Сравнявайки това уравнение с уравнението на хармоничните вибрации, виждаме, че амплитудата на получените вибрации е:
Тъй като, а, тогава.
В точките на средата, където няма трептения, т.е. ... Тези точки се наричат възли на стояща вълна.
В точките, където амплитудата на трептенията има най-голяма стойност, равна на. Тези точки се наричат антивъзли на стояща вълна... Координатите на антивъзлите се намират от условието, тъй като , тогава .
Оттук:
По същия начин координатите на възлите се намират от условието:
Където:
От формулите за координатите на възлите и антивъзлите следва, че разстоянието между съседни антивъзли, както и разстоянието между съседните възли, е равно. Неравностите и възлите са изместени един спрямо друг с една четвърт от дължината на вълната.
Нека сравним естеството на трептенията в стоящите и пътуващите вълни. При движеща се вълна всяка точка осцилира, чиято амплитуда не се различава от амплитудата на други точки. Но флуктуациите на различни точки възникват от различни фази.
При стояща вълна всички частици от средата, разположени между две съседни места, вибрират в една и съща фаза, но с различни амплитуди. При преминаване през възела фазата на трептенията се променя рязко на, т.к знакът се променя.
Графично стоящата вълна може да бъде изобразена, както следва:
В момента, когато всички точки на средата имат максимални премествания, чиято посока се определя от знака. Тези измествания са показани на фигурата с плътни стрелки.
След една четвърт от периода, когато, изместванията на всички точки са равни на нула. Частиците пътуват през линията с различни скорости.
След още една четвърт от периода, когато частиците отново ще имат максимални измествания, но в обратна посока (пунктирани стрелки).
При описване на осцилаторни процеси в еластични системи като осцилираща величина може да се приеме не само изместването, но и скоростта на частиците, както и големината на относителната деформация на средата.
За да намерим закона за промяна на скоростта на стояща вълна, диференцираме по уравнението на изместване на стояща вълна, а за да намерим закона за промяна на деформацията, диференцираме по уравнението на стоящата вълна.
Анализирайки тези уравнения, виждаме, че възлите и антивъзлите на скоростта съвпадат с възлите и антивъзлите на изместването; възлите и антивъзлите на деформация съвпадат съответно с антивъзлите и възлите на скорост и изместване.
Вибрации на струните
В опъната струна, фиксирана в двата края, когато се възбуждат напречни вибрации, се установяват стоящи вълни и възлите трябва да бъдат разположени на местата, където е фиксирана струната. Следователно в струната се възбуждат само такива вибрации, половината от дължината на които отговаря на дължината на струната цял брой пъти.
Това предполага условието:
където е дължината на низа.
Или иначе. Тези дължини на вълната съответстват на честоти, където е фазовата скорост на вълната. Стойността му се определя от напрежението на струната и нейната маса.
At е основната честота.
При - собствени честоти на вибрациите на струната или обертонове.
Доплер ефект
Помислете за най-простите случаи, когато източникът на вълна и наблюдателят се движат спрямо средата по една права линия:
1. Звуковият източник се движи спрямо средата със скорост, приемникът на звука е в покой.
В този случай, по време на периода на трептения, звуковата вълна ще се отдалечи от източника на разстояние, а самият източник ще се измести на разстояние, равно на.
Ако източникът е отстранен от приемника, т.е. се движат в посока, обратна на посоката на разпространение на вълната, след това дължината на вълната.
Ако източникът на звук се доближи до приемника, т.е. след това се движат в посоката на разпространение на вълната.
Честотата на звука, възприеман от приемника, е равна на:
Нека заместим вместо техните стойности и за двата случая:
Като се има предвид, че където е честотата на трептене на източника, равенството ще приеме формата:
Разделяме числителя и знаменателя на тази дроб на, след което:
2. Източникът на звук е неподвижен, а приемникът се движи спрямо средата със скорост.
В този случай дължината на вълната в средата не се променя и все още е равна на. В същото време две последователни амплитуди, различаващи се във времето с един период на трептене, достигащи до движещия се приемник, ще се различават във времето в моментите на срещата на вълната с приемника за интервал от време, чиято стойност е по-голяма или по-малка в зависимост от дали приемникът се отдалечава или се приближава към източника на звук. С течение на времето звукът преминава на разстояние, а приемникът се движи на разстояние. Сборът от тези стойности ни дава дължината на вълната:
Периодът на трептения, възприемани от приемника, е свързан с честотата на тези трептения чрез съотношението:
Замествайки израза от равенство (1) вместо него, получаваме:
Защото , където е честотата на трептене на източника, a, тогава:
3. Източникът и приемникът на звука се движат спрямо околната среда. Комбинирайки резултатите, получени в двата предишни случая, получаваме:
Звукови вълни
Ако еластичните вълни, разпространяващи се във въздуха, имат честота в диапазона от 20 до 20 000 Hz, тогава, достигайки до човешкото ухо, те предизвикват усещане за звук. Следователно вълните, лежащи в този честотен диапазон, се наричат звукови вълни. Наричат се еластични вълни с честота по-малка от 20 Hz инфразвук ... Наричат се вълни с честота над 20 000 Hz ултразвук... Човешкото ухо не чува ултразвук и инфразвук.
Звуковите усещания се характеризират с височина, тембър и сила на звука. Тонът се определя от честотата на вибрациите. Източникът на звук обаче излъчва не само една, а цял спектър от честоти. Наборът от честоти на вибрации, присъстващи в даден звук, се нарича негов акустичен спектър... Вибрационната енергия се разпределя между всички честоти на акустичния спектър. Тонът се определя от една - основната честота, ако делът на тази честота съдържа много повече енергия от дела на другите честоти.
Ако спектърът се състои от много честоти, разположени в честотния диапазон от до, тогава такъв спектър се нарича твърдо(пример е шум).
Ако спектърът се състои от набор от трептения с дискретни честоти, тогава такъв спектър се нарича управлявал(пример - музикални звуци).
Акустичният спектър на звука, в зависимост от неговия характер и от разпределението на енергията между честотите, определя оригиналността на звуковото усещане, наречено тембър на звука. Различните музикални инструменти имат различен акустичен спектър, т.е. се различават по тембъра на звука.
Интензитетът на звука се характеризира с различни стойности: вибрации на частиците на средата, техните скорости, сили на натиск, напрежения в тях и др.
Той характеризира амплитудата на трептенията на всяка от тези величини. Въпреки това, тъй като тези количества са взаимосвързани, препоръчително е да се въведе една енергийна характеристика. Такава характеристика за вълни от всякакъв тип е предложена през 1877 г. НА. Умов.
Нека мислено изрежем платформа от предната част на пътуващата вълна. С течение на времето тази област ще се премести на разстояние, където е скоростта на вълната.
Да означим с енергията на единица обем на трептяща среда. Тогава енергията на целия обем ще бъде равна.
Тази енергия се пренася във времето от вълна, разпространяваща се през обекта.
Разделяйки този израз на и, получаваме енергията, пренесена от вълната през единица площ за единица време. Тази стойност се обозначава с буква и се извиква на вектора Умов
За звуковото поле Вектор на Умовсе нарича сила на звука.
Интензитетът на звука е физическа характеристика на интензитета на звука. Оценяваме го субективно като сила на звуказвук. Човешкото ухо възприема звуци, чиято сила надвишава определена минимална стойност, която е различна за различните честоти. Тази стойност се нарича праг на слухазвук. За средни честоти от порядъка на Hz, прагът на чуваемост е от порядъка на.
При много голяма сила на звука от порядъка звукът се възприема освен ухото от органите на докосването, а в ушите причинява болезнено усещане.
Стойността на интензитета, при която това се случва, се нарича праг на болка... Прагът на болка, както и прагът на слуха, зависи от честотата.
Човек има доста сложен апарат за възприемане на звуци. Звуковите вибрации се събират от ушната мида и въздействат върху тъпанчето през слуховия канал. Неговите вибрации се предават в малка кухина, наречена кохлея. Голям брой влакна са разположени вътре в кохлеята, които имат различна дължина и напрежение и следователно различни честоти на естествени вибрации. Когато се въздейства на звука, всяко от влакната резонира с тон, чиято честота съвпада с естествената честота на влакното. Наборът от резонансни честоти в слуховия апарат определя обхвата на звуковите вибрации, които възприемаме.
Субективно оценен от нашето ухо, силата на звука нараства много по-бавно от интензитета на звуковите вълни. Докато интензитетът нараства експоненциално, обемът се увеличава в аритметична прогресия. На тази основа нивото на силата на звука се определя като логаритъм на съотношението на интензитета на даден звук към интензитета, взет за начален.
Единицата за нивото на силата на звука се нарича бяло... Използват се и по-малки единици - децибели(10 пъти по-малко бяло).
където е коефициентът на звукопоглъщане.
Коефициентът на поглъщане на звука се увеличава пропорционално на квадрата на звуковата честота, така че ниските звуци се разпространяват по-далеч от високите.
В архитектурната акустика за големи помещения съществена роля играе реверберацияили ехото на помещенията. Звуците, които изпитват множество отражения от ограждащи повърхности, се възприемат от слушателя за доста дълъг период от време. Това увеличава силата на звука, достигащ до нас, но при твърде дълга реверберация отделните звуци се наслагват един върху друг и речта престава да се възприема артикулирано. Поради това стените на залите са покрити със специални звукопоглъщащи материали за намаляване на реверберацията.
Всяко осцилиращо тяло може да служи като източник на звукови вибрации: език на камбана, камертон, струна за цигулка, въздушен стълб в духови инструменти и др. тези тела могат да служат и като приемници на звук, когато се движат под въздействието на вибрациите на околната среда.
Ултразвук
За да получите насоченост, т.е. близо до плоска вълна, размерите на излъчвателя трябва да са многократно по-големи от дължината на вълната. Звуковите вълни във въздуха имат дължина до 15 m; в течности и твърди тела дължината на вълната е дори по-голяма. Следователно е практически невъзможно да се изгради радиатор, който да създаде насочена вълна с такава дължина.
Ултразвуковите вибрации имат честота над 20 000 Hz, така че дължината на вълната им е много малка. С намаляване на дължината на вълната ролята на дифракцията в процеса на разпространение на вълната също намалява. Следователно ултразвуковите вълни могат да се приемат под формата на насочени лъчи, подобни на светлинните лъчи.
За възбуждане на ултразвукови вълни се използват два феномена: обратен пиезоелектричен ефекти магнитострикция.
Обратният пиезоелектричен ефект е, че пластината на някои кристали (рошелова сол, кварц, бариев титанат и др.) се деформира леко под действието на електрическо поле. Поставяйки го между метални пластини, към които се прилага променливо напрежение, е възможно да се предизвикат принудителни вибрации на плочата. Тези вибрации се предават на околната среда и генерират в нея ултразвукова вълна.
Магнитострикцията означава, че феромагнитните вещества (желязо, никел, техните сплави и др.) се деформират под въздействието на магнитно поле. Следователно, чрез поставяне на феромагнитен прът в променливо магнитно поле, могат да се възбудят механични вибрации.
Високите стойности на акустични скорости и ускорения, както и добре развитите методи за изследване и приемане на ултразвукови вибрации, направиха възможно използването им за решаване на много технически проблеми. Нека изброим някои от тях.
През 1928 г. съветският учен С.Я. Соколов предложи използването на ултразвук за откриване на дефекти, т.е. за откриване на скрити вътрешни дефекти като черупки, пукнатини, разхлабване, шлакови включвания и др. в метални изделия. Ако размерите на дефекта надвишават дължината на ултразвуковата вълна, тогава ултразвуковият импулс се отразява от дефекта и се връща обратно. Чрез изпращане на ултразвукови импулси към продукта и регистриране на отразените ехо сигнали е възможно не само да се открие наличието на дефекти в продуктите, но и да се прецени размера и местоположението на тези дефекти. Този метод сега се използва широко в индустрията.
Насочените ултразвукови лъчи се използват широко за целите на локализиране, т.е. за откриване на обекти във водата и определяне на разстоянието до тях. За първи път идеята за ултразвуково местоположение беше показана от изключителен френски физик П. Ланжевени разработена от него по време на Първата световна война за откриване на подводници. Понастоящем принципите на сонара се използват за откриване на айсберги, стаи от риба и др. тези методи могат да определят и дълбочината на морето под дъното на кораба (ехолот).
В момента високоамплитудните ултразвукови вълни намират широко приложение в технологията за механична обработка на твърди материали, почистване на малки предмети (части от часовникови механизми, тръбопроводи и др.), поставени в течност, дегазиране и др.
Създавайки силни пулсации на налягането в средата по време на тяхното преминаване, ултразвуковите вълни предизвикват редица специфични явления: смилане (разпръскване) на частици, суспендирани в течност, образуване на емулсии, ускоряване на дифузионните процеси, активиране на химични реакции, въздействие върху биологичните предмети и др.
6.1 Стоящи вълни в еластична среда
Съгласно принципа на суперпозицията, когато няколко вълни се разпространяват в еластична среда едновременно, те се припокриват и вълните не се смущават една друга: трептенията на частиците на средата са векторната сума от трептения, които частиците биха извършили по време на разпространение на всяка от вълните поотделно...
Наричат се вълни, които създават вибрации на средата, фазовите разлики между които са постоянни във всяка точка от пространството съгласуван.
Когато се добавят кохерентни вълни, възниква явлението намеса, което се състои в това, че в някои точки от пространството вълните се подсилват взаимно, а в други точки - отслабват. Важен случай на интерференция се наблюдава, когато се наслагват две противоположно разпространяващи се плоски вълни със същата честота и амплитуда. Получените трептения се наричат стояща вълна... Най-често стоящите вълни възникват, когато пътуваща вълна се отрази от препятствие. В този случай падащата вълна и отразената към нея вълна, когато се добавят, дават стояща вълна.
Нека получим уравнението на стоящата вълна. Вземете две плоски хармонични вълни, които се разпространяват една към друга по оста хи имащи същата честота и амплитуда:
където е фазата на трептения на точките на средата по време на преминаване на първата вълна;
- фазата на трептения на точките на средата по време на преминаване на втората вълна.
Фазова разлика във всяка точка на оста хняма да зависи от времето, т.е. ще бъде постоянен:
Следователно и двете вълни ще бъдат кохерентни.
Осцилацията на частиците на средата, възникваща в резултат на добавянето на разглежданите вълни, ще бъде както следва:
Преобразуваме сумата от косинусите на ъглите съгласно правилото (4.4) и получаваме:
След като пренаредим факторите, получаваме:
За да опростим израза, ще изберем началото, така че фазовата разлика и началото на времето, така че сумата от фазите да е равна на нула:.
Тогава уравнението за сумата на вълните ще приеме вида:
Уравнение (6.6) се нарича уравнение на стоящата вълна... От него се вижда, че честотата на стоящата вълна е равна на честотата на бягащата вълна, а амплитудата, за разлика от пътуващата вълна, зависи от разстоянието от началото:
Като се вземе предвид (6.7), уравнението на стоящата вълна приема формата:
По този начин точките на средата вибрират с честота, която съвпада с честотата на пътуващата вълна и амплитудата ав зависимост от позицията на точката върху оста х... Съответно амплитудата се променя по косинусния закон и има свои максимуми и минимуми (фиг. 6.1).
За да представим визуално местоположението на минимумите и максимумите на амплитудата, заменяме, съгласно (5.29), вълновото число с неговата стойност:
Тогава изразът (6.7) за амплитудата приема формата
От тук става ясно, че амплитудата на изместването е максимална при, т.е. в точки, чиято координата удовлетворява условието:
От тук получаваме координатите на точките, където амплитудата на изместването е максимална:
Наричат се точките, в които амплитудата на трептенията на средата е максимална вълнови антивъзли.
Амплитудата на вълната е нула в точките, където. Координатите на такива точки, наречени вълнови възли, удовлетворява условието:
От (6.13) се вижда, че координатите на възлите имат стойности:
На фиг. 6.2 показва приблизителен изглед на стояща вълна, маркирано е местоположението на възлите и антивъзлите. Вижда се, че съседните възли и антивъзлите на изместването са разделени един от друг на еднакво разстояние.
Нека намерим разстоянието между съседни антивъзли и възли. От (6.12) получаваме разстоянието между антивъзлите:
Разстоянието между възлите се получава от (6.14):
От получените съотношения (6.15) и (6.16) се вижда, че разстоянието между съседни възли, както и между съседни антивъзли, е постоянно и равно; възлите и антехите са изместени един спрямо друг с (фиг. 6.3).
От дефиницията на дължината на вълната можете да напишете израза за дължината на стоящата вълна: тя е равна на половината от дължината на пътуващата вълна:
Нека напишем, като вземем предвид (6.17), изразите за координатите на възлите и антивъзлите:
Множителят, който определя амплитудата на стоящата вълна, променя знака си при пресичане на нулевата стойност, в резултат на което фазата на трептения от различните страни на възела се различава с. Следователно всички точки, лежащи от противоположните страни на възела, осцилират в противофаза. Всички точки, разположени между съседни възли, осцилират във фаза.
Възлите условно разделят околната среда на автономни области, в които хармоничните трептения възникват независимо. Няма пренос на движение между регионите и следователно няма преливане на енергия между регионите. Тоест няма предаване на смущения по оста. Следователно вълната се нарича стояща.
И така, стояща вълна се образува от две противоположно насочени пътуващи вълни с еднакви честоти и амплитуди. Векторите Umov на всяка от тези вълни са равни по големина и противоположни по посока и когато се добавят, дават нула. Следователно стоящата вълна не носи енергия.
6.2 Примери за стоящи вълни
6.2.1 Стояща вълна в струна
Помислете за низ с дължина Л, фиксирани в двата края (фиг. 6.4).
Поставяме оста по протежение на низа хтака че левият край на низа да има координата х = 0а дясната е х = L... В струната възникват трептения, описани с уравнението:
Нека запишем граничните условия за разглеждания низ. Тъй като краищата му са фиксирани, то в точки с координати х = 0и х = Lбез колебание:
Нека намерим уравнението за вибрациите на струната въз основа на написаните гранични условия. Нека напишем уравнение (6.20) за левия край на низа, като вземем предвид (6.21):
Съотношението (6.23) е валидно за всяко време тв два случая:
едно.. Това е възможно, ако няма вибрации в низа (). Този случай не представлява интерес и ние няма да го разглеждаме.
2.. Ето фазата. Този случай ще ни позволи да получим уравнението за вибрациите на струната.
Заместете получената фазова стойност в граничното условие (6.22) за десния край на низа:
Имайки предвид това
от (6.25) получаваме:
Отново има два случая, в които отношението (6.27) е изпълнено. Няма да разглеждаме случая, когато няма вибрации в низа ().
Във втория случай равенството трябва да е вярно:
и това е възможно само когато аргументът синус е цяло число:
Изхвърляме стойността, т.к в този случай и това би означавало или нулева дължина на низа ( L = 0) или вълна-ново число k = 0... Като се вземе предвид връзката (6.9) между вълновото число и дължината на вълната, може да се види, че за да бъде числото на вълната равно на нула, дължината на вълната трябва да е безкрайна, а това би означавало липса на трептения.
От (6.28) може да се види, че вълновото число по време на вибрации на струна, фиксирана в двата края, може да приеме само определени дискретни стойности:
Като вземем предвид (6.9), записваме (6.30) във вида:
откъдето плъзгаме израза за възможните дължини на вълната в низа:
С други думи, по дължината на низа Лтрябва да отговаря на цяло число нполувълни:
Съответните честоти на вибрации могат да бъдат определени от (5.7):
Ето фазовата скорост на вълната, в зависимост, съгласно (5.102), от линейната плътност на струната и напрежението на струната:
Замествайки (6.34) в (6.33), получаваме израз, описващ възможните честоти на вибрациите на струната:
Честотите се наричат естествени честотиструни. Честота (при н = 1):
са наречени основна честота(или основен тон) струни. Честотите, определени при n> 1са наречени обертоновеили хармоници... Хармоничното число е n-1... Например честотата:
съответства на първия хармоник и честотата:
съответства на втория хармоник и т.н. Тъй като струната може да бъде представена като дискретна система с безкраен брой степени на свобода, всеки хармоник е модавибрации на струната. Като цяло вибрациите на струните са суперпозиция от модове.
Всеки хармоник има своя собствена дължина на вълната. За основния тон (при n = 1) дължина на вълната:
за първия и втория хармоник, съответно (при n = 2 и n = 3) дължините на вълната ще бъдат:
Фигура 6.5 показва изглед на няколко вида вибрации, произведени от струна.
Така струна с фиксирани краища реализира изключителен случай в рамките на класическата физика - дискретен спектър от честота (или дължини на вълната) на вибрациите. Еластичният прът с един или двата захванати края и трептенията на въздушния стълб в тръбите се държат по същия начин, което ще бъде разгледано в следващите раздели.
6.2.2 Влияние на началните условия върху движението
непрекъснат низ. Анализ на Фурие
Вибрациите на струна със захванати краища, освен дискретния спектър на честотите на вибрациите, имат и друго важно свойство: специфичната форма на вибрациите на струната зависи от метода на възбуждане на вибрациите, т.е. от началните условия. Нека разгледаме по-отблизо.
Уравнение (6.20), което описва един режим на стояща вълна в струна, е конкретно решение на диференциалното вълново уравнение (5.61). Тъй като вибрацията на струна се състои от всички възможни режими (за струна - безкраен брой), тогава общото решение на вълновото уравнение (5.61) се състои от безкраен брой конкретни решения:
където иТова е номерът на режима на вибрация. Изразът (6.43) се записва, като се има предвид факта, че краищата на низа са фиксирани:
както и като се вземе предвид честотната връзка и-ти режим и неговия вълнов номер:
Ето вълновото число ита мода;
- вълново число на 1-ви режим;
Нека намерим стойността на началната фаза за всеки режим на вибрация. За да направите това, в момента t = 0придайте на низа формата, описана от функцията е 0 (х), изразът за който ще бъде получен от (6.43):
На фиг. 6.6 показва пример за форма на низ, описана от функция е 0 (х).
В момент от времето t = 0струната все още е в покой, т.е. скоростта на всички негови точки е нула. От (6.43) намираме израза за скоростта на точките на низа:
и заместване в него t = 0, получаваме израз за скоростта на точките на низа в началния момент от времето:
Тъй като в началния момент от време скоростта е равна на нула, изразът (6.49) ще бъде равен на нула за всички точки от низа, ако. От това следва, че началната фаза за всички режими също е нула (). Като се има предвид това, изразът (6.43), който описва движението на низа, приема формата:
и израз (6.47), който описва първоначалната форма на низа, изглежда така:
Стоящата вълна в низ се описва с функция, която е периодична на интервал, където е равна на две дължини на низа (фиг. 6.7):
Това може да се види от факта, че периодичността на интервала означава:
следователно,
което ни води до израз (6.52).
От математическия анализ е известно, че всяка периодична функция може да бъде разширена с висока точност в ред на Фурие:
където,, са коефициентите на Фурие.
В нашия случай, когато функцията е периодична на интервала, коефициентите на Фурие, според, се изчисляват като:
В математиката в хода на анализа на Фурие е показано, че получените по този начин коефициенти на Фурие за разширяване на периодична функция са всъщност коефициентите на разширението на функцията е 0 (х).
Анализът на Фурие ви позволява да разложите вибрацията, извършвана от струната, в спектър, т.е. разберете кои режими на вибрации наистина се случват при даден метод на възбуждане на струни.
Помислете за два начина за възбуждане на вибрациите на струните.
Метод 1. На струната в началния момент от времето се придава форма, съответстваща на първия режим на вибрация и се описва с функцията:
След като струната се освободи, тя започва да вибрира от изходна позиция. Изчисленията показват, че коефициентите на Фурие за този случай са равни на нула, с изключение на едно, което е равно на амплитудата А:
При този метод на възбуждане възниква само един режим на вибрация; няма обертонове.
Метод 2. Струната се прибира от равновесното положение в средата, както се случва при струнните инструменти. Първоначалната форма е показана на фиг. 6.8.
Формата на струната, показана на фиг. 6.8 се описва с функцията:
Функцията, съответстваща на (6.64) и която е периодична на интервала, се записва, както следва:
При, (6,65)
Формата на периодичната функция (6.65) е показана на фигура 6.9:
Изчисленията показват, че всички коефициенти на Фурие за такава функция са равни на нула (включително коефициента). Първите три коефициента А 1 , А 2 , А 3 са съответно равни:
Както вече беше отбелязано, получените по този начин коефициенти на Фурие за разширяване на периодична функция са всъщност коефициентите на разширение на функцията е 0 (х).
Тогава, като се вземат предвид първите три члена от редицата на Фурие, функцията (6.64) може да бъде приблизително представена, както следва:
Открихме само първите три члена от разлагането на Фурие на функцията (6.64). Разбира се, полученият от нас ред на Фурие (6.69) с краен брой членове, в нашия случай равен на три, може да възпроизведе оригиналната функция само приблизително. Въпреки това, изчисляването на коефициентите на Фурие може да продължи. Оказва се, че в случая на вибрации, които разглеждаме, в струната се появяват много хармоници (теоретично, безкрайна поредица от хармоници).
Сравнявайки първия и втория разгледани случаи, виждаме, че в първия от тях имаше само един режим, а във втория има много хармоници.
По този начин, разглежданите случаи показват, че специфичната форма на вибрации на струна, захваната от двете страни, зависи значително от начина на възбуждане на вибрациите, т.е. от началните условия.
Стоящите вълни могат да се образуват при различни условия. Това явление е най-лесно за демонстриране в затворено пространство. Този ефект може да се постигне чрез комбиниране на две вибрации с една и съща дължина на вълната, разпространяващи се в противоположни посоки. Интерференцията на двата сигнала произвежда резултантна вълна, която на пръв поглед не се движи (т.е. стои).
Важно условие е енергията да влиза в системата с определена скорост. Това означава, че честотата на възбуждане трябва да бъде приблизително равна на честотата на естествените вибрации. Това е известно още като резонанс. Постоянните вълни винаги са свързани с. Появата на резонанс може да се определи чрез рязко увеличаване на амплитудата на получените трептения. Много по-малко енергия се изразходва за създаване на стоящи вълни в сравнение с пътуващи вълни със същите амплитуди.
Не забравяйте, че във всяка система, където има стоящи вълни, има и множество естествени честоти. Разнообразието от всички възможни стоящи вълни е известно като системни хармоници. Най-простият от хармониците се нарича основен или първи. Следващите стоящи вълни се наричат втора, трета и т.н. Хармониците, които се различават от основните, понякога се наричат подтекстови.
Видове стоящи вълни
Има няколко вида стоящи вълни в зависимост от физическите характеристики. Всички те могат да бъдат разделени грубо на три големи групи: едномерни, двуизмерни и триизмерни.
Едномерните стоящи вълни се появяват, когато има плоско затворено пространство. В този случай вълната може да се разпространява само в една посока: от източника до границата на пространството. Има три подгрупи едномерни стоящи вълни: с два възела в краищата, с един възел в средата и с възел в един от краищата на вълната. Възелът е точката с най-ниска амплитуда и енергия на сигнала.
Двуизмерните стоящи вълни възникват, когато трептенията се разпространяват в две посоки от източника. След отражение от препятствието се появява стояща вълна.
Триизмерните стоящи вълни са сигнали, които се разпространяват в пространството с ограничена скорост. Възлите в този тип вибрации ще бъдат двуизмерни повърхности. Това значително усложнява изследванията им. Пример за такива вълни е орбитата на движение на електрон в атом.
Практическото значение на стоящите вълни
Стоящите вълни са важни, защото звукът е комбинация от няколко вибрации. Правилното изчисляване на дължината и твърдостта на струните ви позволява да постигнете най-добрия звук на конкретен инструмент.
Постоянните вълни също са много важни. При метода за изследване на частици с помощта на рентгенова спектроскопия, обработката на отразения сигнал дава възможност да се определи приблизителният количествен и качествен състав на обекта.
