Задачите „за интерес“ се появяват за първи път в живота на младите математици в 5. клас и ги съпътстват до финалните изпити. Задачите, свързани с интереси, са налични в опциите USE (по-специално задача № 17 от профилния изпит) и OGE. Интересът неизбежно ще се срещне в курсовете по физика, химия, икономика. В крайна сметка в ежедневието ние постоянно се сблъскваме с тази концепция (помнете например лихвените проценти по заемите или щедрите обещания за 90% отстъпки в магазините).

В тази статия ще започнем с най-простите дефиниции и примери, постепенно ще увеличаваме нивото на сложност, а до 4-та част ще стигнем до доста трудни проблеми.

Интерес. Първоначална информация.

Как да намерите процента от число

Изненадващо, много завършили не могат разбираемо да обяснят какво процента. Но всичко е много просто:

Проценте стотна от число.

Защо стотна? Да, просто защото е удобно да се дели на 100, а сто не е твърде много и не е твърде малко (не е много строго определение).

За да намерите 1% от числото, просто трябва да разделите това число на 100.

Пример 1. Намерете 1% от 1200, 1% от 2, 1% от 98765.

1% от 1200 е 12, тъй като 1200:100 = 12;
1% от 2 е 0,02, защото 2:100 = 0,02;
1% от 98765 = 98765:100 = 987,65.

Упражнение 1. Изчислете 1% от 450, 1% от 12000, 1% от 9.

Задача 2. Изчислете 1% от 1% от 6700.

Как да намерите няколко процента от числото

Сега да предположим, че трябва да намерим не 1% от числото, а, да речем, 12%. Как да го направя? Можете, разбира се, първо да намерите един процент и след това да умножите резултата по 12. Но защо да извършвате две действия, ако можете да се справите с едно? Един процент е една стотна, а t процента е t стотни. За да намерите например 12 стотни от числото, трябва да умножите числото по 0,12. Получаваме общото правило:

За да намерите t% от число, умножете това число по t 100.
t процента от A = A ⋅ t 100

Пример 2. Намерете 17% от 300, 86% от 20, 140% от 2, 0,1% от 4000.

17% от 300 е 51, защото 300 * 0,17 \u003d 51 (умножаваме числото по седемнадесет стотни);
86% от 20 е 17,2, защото 20 * 0,86 \u003d 17,2 (умножете по 86/100);
140% от 2 = 2*1,4 = 2,8 (1,4 е просто 140/100);
0,1% от 4000 = 0,001*4000 = 4 (0,001 е 0,1/100).

Задача 3. Изчислете 14% от 1200, 57% от 50, 250% от 4, 0,02% от 1000000.

Пример 3. Изчислете 18% от 80% от 1000. Наистина ли е същото като 98% от 1000?

Нека първо намерим 80% от 1000: 1000*0,8 = 800.
От полученото число търсим 18%: 800 * 0,18 \u003d 144.
Сега нека намерим 98% от 1000. Умножете 1000 по 98/100 и вземете 980.
Както можете да видите, резултатите са различни.

Задача 4. Изчислете 120% от 40% от 350.

Как да намерите "процент на лихва"

И ако трябва да изчислим дълга последователност от "процент на процента"? Да кажем 10% от 10% от 10% от 10% от 200. Можете, разбира се, да действате последователно и да разделите задачата на 4 стъпки, но има по-лесен начин.

Пример 4. Изчислете 20% от 30% от 40% от 10000.

Защо да правите множество последователни умножения, когато всичко може да се сведе до един ред:
0,2*0,3*0,4*10000 = 24.

Вижте колко е просто! Между другото, в този случай не са необходими скоби.

Задача 5. Изчислете 50% от 50% от 40% от 2000 г.

Задача 6. През първата седмица на януари са паднали 40% от месечната норма за сняг (90 мм), като 90% от това количество са паднали в сряда, а 70% от валежите са паднали през първата половина на този ден. Колко мм сняг падна в сряда сутринта?

Така че нека обобщим някои неща:

• Процентът е една стотна от числото.
• За да изчислите 1%, разделете числото на 100 (или умножете по 0,01).
• За да намерите t% от число, трябва да умножите числото по t стотни.

Малък тест на тема "Процент"

Отделете няколко минути, направете кратък тест на тема „Интерес“. Дайте отговора си като цяло число или десетичен знак. Винаги използвайте запетая като десетичен разделител (напр. 1.2, а не 1.2!) Успех!

Концепцията за процент се среща в живота ни твърде често, така че е много важно да знаем как да решаваме проблеми с проценти. По принцип това не е труден въпрос, основното е да разберете принципа на работа с интерес.

Какво е процент

Работим с концепцията за 100 процента и съответно един процент е една стотна от определено число. И всички изчисления вече се основават на това съотношение.

Например 1% от 50 е 0,5, 15 от 700 е 7.

Как да решим

1. Знаейки, че един процент е една стотна от представеното число, можете да намерите произволен брой необходими проценти. За да стане по-ясно, нека се опитаме да намерим 6 процента от числото 800. Това се прави просто.
   • Първо намираме един процент. За да направите това, разделете 800 на 100. Оказва се 8.
   • Сега умножаваме точно този един процент, тоест 8, по броя на процентите, от които се нуждаем, тоест по 6. Оказва се 48.
   • Фиксирайте резултата чрез повторение.

   15% от 150. Решение: 150/100*15=22.

   28% от 1582. Решение: 1582/100*28=442.

2. Има и други проблеми, когато ви се дават стойности и трябва да намерите проценти. Например, знаете, че има 5 алени рози от 75 бели рози в магазина и трябва да знаете какъв процент алени рози. Ако не знаем този процент, тогава ще го означим с x.

   Има формула за това: 75 - 100%

   В тази формула числата се умножават кръст по кръст, тоест x \u003d 5 * 100/75. Оказва се, че x \u003d 6% Така че процентът на алените рози е 6%.

3. Има и друг вид задача за процентите, когато трябва да намерите с колко процента едно число е по-голямо или по-малко от друго. Как да решим проблемите с процентите в този случай?

   В класа има 30 ученици, 16 от които са момчета. Въпросът е колко процента от момчетата са повече от момичетата. Първо трябва да изчислите какъв процент от учениците са момчета, след това трябва да разберете какъв процент от момичетата. И накрая намерете разликата.

   Така че нека започваме. Правим пропорция от 30 акаунта. - сто%

   16 акаунта -Х %

   Сега броим. X=16*100/30, x=53,4% от всички ученици в класа са момчета.

   Сега намерете процента на момичетата в същия клас. 100-53,4=46,6%

Сега остава само да се намери разликата. 53,4-46,6=6,8%. Отговор: момчетата са повече от момичетата с 6,8%.

Ключови точки в решаването на интереси

Така че, за да нямате проблеми с това как да решавате проблеми за проценти, запомнете няколко основни правила:

1. За да не се бъркате в проблеми с процентите, винаги бъдете бдителни: преминете от конкретни стойности към проценти и обратно, ако е необходимо. Основното нещо е никога да не бъркате едното с другото.
2. Бъдете внимателни, когато изчислявате процентите. Важно е да знаете от каква конкретна стойност трябва да отчитате. За последователни промени в стойностите процентът се изчислява от последната стойност.
3. Преди да запишете отговора, прочетете отново целия проблем, защото може да се окаже, че сте намерили само междинен отговор и трябва да извършите още едно или две действия.

По този начин решаването на задачи с проценти не е толкова труден въпрос, основното в него е вниманието и точността, както всъщност във всяка математика. И не забравяйте, че за подобряване на всяко умение е необходима практика. Така че решете повече и всичко ще бъде наред или дори отлично за вас.

Текстът на творбата е поставен без изображения и формули.
Пълната версия на работата е налична в раздела „Данни файлове“ в PDF формат

Въведение

Уместността на изследванията

Съвременният живот прави задачите за лихви актуални, тъй като обхватът на практическото приложение на лихвените изчисления се разширява. Проблемите с инфлацията, покачването на цените, покачването на цените на акциите, спадащата покупателна способност засягат всеки човек в нашето общество. Планирането на семеен бюджет, печеливша инвестиция в банки, е невъзможно без възможността да се правят прости процентни изчисления.

Концепцията за „процент“ не може да бъде заличена нито в счетоводството, нито във финансовия анализ, нито в статистиката.

Интересът е математическо понятие, което често се среща в ежедневието.Всеки човек трябва да може да решава проблеми, предлагани от самия живот. Ние плащаме данъци. Как да изчислим материалното възнаграждение, което получаваме, когато поставим пари на депозит, какво възнаграждение получава банката, когато теглим заем, ипотека. Всички тези и много други въпроси относно процентните изчисления се решават чрез познаване на процентите и умението да се решават задачи за проценти.

Навсякъде - във вестниците, по радиото, телевизията и на работното място се обсъждат повишения на цените, заплатите, пенсиите, покачването на цените на акциите, намаляването на покупателната способност на населението. Така често чуваме или четем, че например цените са се увеличили с 20%, млякото съдържа 4% мазнини, пенсиите са се увеличили с 10%, 76% от избирателите са участвали в изборите.

За да изчислите заплатата на служител, трябва да знаете процента на данъчните облекчения; за да откриете депозитна сметка в спестовна банка, трябва да знаете размера на лихвата върху сумата на депозита; за да знаем приблизителното покачване на цените през следващата година, ние се интересуваме от процента на инфлация.

Решаването на математически задачи с практическо съдържание дава възможност да се убедим в значението на математиката за различни сфери на човешката дейност, да видим широчината на възможните приложения на математиката, да разберем нейната роля в съвременния живот.

Моите наблюдения и анкета сред съученици и приятели показаха, че ние, учениците, младите хора, имаме най-общи и доста малки познания за процентите и още по-малко за различните методи за изчисляване на лихвите.

Идентифицираните недостатъци в нашите познания и способност за процентно решаване на задачи се обясняват с наличието на обективно развиващи се противоречия: между съществуващата необходимост от изчисляване на процента в различни области от живота на хората и липсата на информираност по този въпрос и почти пълната невъзможност това да се направи бързо и лесно.

Като се имат предвид установените противоречия, изследователски проблем:Каква е историята и методите за решаване на проблеми с интереси?

Неотложността на проблема, неговата значимост в съвременния свят определят темамоята изследвания: "Решаване на проблеми с проценти".

Цел на изследването: да се изучава информация за проценти, видове задачи, начини за решаването им и да се научат да използват придобитите знания на практика.

Обект на изследване: Минали и настоящи интереси.

Предмет на изследване: историческа информация за проценти, решаване на задачи за проценти и проценти, концентрация, смеси и сплави с преобладаващо използване на основните правила за действие с десетични и обикновени дроби.

В съответствие с целта на изследването, следното изследователски цели:

Да се ​​изучава историята на понятието ПРОЦЕНТ.

Помислете за използването на процента в ежедневието.

Помислете за различни видове проблеми и техните решения.

Премахнете пропуските в знанията при решаване на основни задачи за интерес: намиране на процент от стойност, намиране на стойност по нейния процент, намиране на процент от една стойност от друга.

Обобщавайте придобитите знания и умения и формулирайте изводите.

Използвахме следното изследователски методи: изучаване на литература по темата, анализ, синтез, обобщение.

Глава 1. Актуалността на интересите от древността до наши дни

Проучването на информацията в интернет показа, че думата "процент" идва от латинската дума "procentum", което означава "сто". Идеята частите от цялото да се изразяват постоянно в едни и същи пропорции се ражда в древни времена сред вавилонците.Техните клинописни плочки вече съдържаха задачи за изчисляване на лихвите. Лихва била известна и в Индия, където дълго време сметката се водила в десетичната бройна система. Индийските математици са изчислявали процентите, използвайки така нареченото тройно правило, т.е. Те са били в състояние да извършват и по-сложни изчисления с помощта на проценти.

На руски език думата "процент" има друго семантично значение - тя изразява факта, че кредитополучателят, в допълнение към връщането на предоставените му от кредитора средства, трябва допълнително да плати на кредитора за използването на тези средства. Това се доказва например от съобщението: „Банката отпуска заеми на населението под лихва“.

Паричните разплащания с лихви са били особено разпространени в Древен Рим. Римляните наричали лихва парите, които длъжникът плащал на кредитора за всеки сто. Дори римският сенат беше принуден да установи максимално допустимата лихва, начислена от длъжника, тъй като някои заемодатели ревностно се сдобиха с пари за лихви. От римляните процентите преминават към други народи.

През Средновековието в Европа, във връзка с широкото развитие на търговията, много внимание се обръща на умението за изчисляване на лихвите. По това време беше необходимо да се изчисляват не само лихви, но и лихви върху лихви, тоест сложни лихви, както се наричат ​​​​в наше време. Отделни офиси и предприятия, с цел улесняване на труда при начисляване на лихви, разработиха свои специални таблици, които представляваха търговска тайна на фирмата.

В Европа десетичните дроби се появяват 1000 години по-късно, те са въведени от белгийския учен Симон Стевин. През 1584г той за първи път публикува таблица с проценти.Въвеждането на проценти беше удобно за определяне съдържанието на едно вещество в друго; като процент започна да се измерва количественото изменение в производството на стоки, покачването и падането на цените, ръстът на паричните доходи и т.н.

Смята се, че знакът "%" идва от италианската дума cento (сто), която в процентните изчисления често е била съкратена cto. От това, чрез допълнително опростяване на буквата t в наклонена черта, произлиза съвременният символ за процент.

Друга версия за произхода на този знак е, че в Париж през 1685 г. наборникът на книга-ръководство по търговска аритметика е направил печатна грешка - вместо cto е написал %.

Дълго време лихвите се разбираха изключително като печалба или загуба за всеки 100 рубли. Използвали са се само при търговски и парични сделки.Още в древни времена е широко разпространено лихварството – издаването на пари срещу лихва. Разликата между сумата, която беше върната на лихваря и тази, която първоначално беше взета от него, се наричаше лихва. И така, в Древен Вавилон беше 20% или повече! Известно е, че през XIV-XV в. банките са били широко разпространени в Западна Европа – институции, които дават пари на заем на князе, търговци, занаятчии и пр. Разбира се, банките не дават пари безкористно: те взимат такса за използването на предоставените пари, като древни лихвари. Тази такса обикновено се изразявала като процент от сумата на парите, дадени назаем. След това обхватът на тяхното приложение се разшири, проявява се интерес към икономически и финансови изчисления, статистика, наука и технологии.

Сега процентът е специален вид десетични дроби, една стотна от цялото (взета като единица). Процентите са много удобни за използване на практика, тъй като изразяват части от цяло в едни и същи дялове. Това дава възможност за опростяване на изчисленията и лесно сравняване на части помежду си и с цялото.

Процентът е една стотна от числото, взето като цяло. Ако говорим за процент от дадено число, тогава това число се приема за 100%.

Например 1% от заплатата е една стотна от заплатата; 100% от заплатата е стотни от заплатата, тоест цялата заплата. Стотната от метъра е сантиметър, една стотна от ценнера е килограм.1% е една стотна от числото.

Както е известно от практиката, с помощта на проценти често се показва промяна в определена стойност. Тази форма е визуална цифрова характеристика на промяната, характеризираща значимостта на настъпилата промяна. Стойността, изразена като процент, е по-визуална, разбираема, лесно се сравнява с други стойности.

1.2.„Интерес“ към ежедневието

Смятаме, че в момента е актуално едно по-задълбочено изследване на темата „Интерес“ в различни ситуации. Причината за тази необходимост е нейната значимост, тъй като задачи по тази тема често се срещат в различни изпити, а също така се използват не само в уроците по математика, химия и икономика. Лихвите са твърдо включени в нашето ежедневие: заеми, банкови лихви, химически състави.

За цялостно проучване на използването на интереса в живота ни, проведох анкета сред моите съученици, където се срещнаха с тази концепция. Резултатите от анкетата изненадаха дори самите момчета. Заедно си спомнихме толкова много области на приложение, представляващи интерес, ето списък с дадени примери:

Прилага се лихва:

При изчисляване на отстъпки в магазин, съставяне на споразумение в банка, определяне на зрителната острота, съотношението на нишките в тъканта, определяне на съдържанието на мазнини в продуктите, определяне на зареждането на програми на компютър или зареждане на батерии, стойността на съотношение на гласовете на избори или при гласуване, при разпределяне на печалби на компанията, изчисляване на изпълнението на тестове за USE, изчисляване на данъци от заплатите, при събиране на реколтата и определяне на загубите от елементите, съотношението на водата в човешкото тяло или вода и земя върху Земя, в съотношението на примесите и златото в бижутата, получени от университетите от общия нетен входящ, информация за автомобилиста за оставащия бензин в резервоара, при оценка на ударените участници в парада и определяне на прага на епидемията.

От гореизложеното се вижда, че интересът се използва в следните области: търговия, програмиране, икономика, производствени технологии, статистика, медицина, социален живот, ежедневие, различни области на науката, изкуство.

Лихвата е неразделна част от банкови, търговски, данъчни, фармацевтични и др. операции. Те влязоха в живота ни не само с печене на кулинарни изделия и готварски деликатеси, те буквално ни атакуват по време на пазарни отношения в икономиката, по време на фалити, инфлации и кризи.

Вложителят на спестявания в банка се научава да живее с лихва, мъдро влагайки пари в печеливш бизнес. Правилното използване на ипотечен кредит в банка също ще помогне на лихвата. Компетентното извършване на лихвени изчисления означава печалба от банкови транзакции, печеливш бизнес и търговски предложения.

По този начин, интересе едно от математическите понятия, които са много разпространени в ежедневието.

След проучването най-накрая стана ясно, че без способността за разбиране на този вид информация в съвременното общество просто би било трудно да съществува. Следователно става необходимо да се идентифицират и проучат всички съществуващи задачи за интерес и начини за решаването им, които ще разкрием в следващия параграф.

Глава 2. Видове задачи по интерес и начини за решаването им 2.1. Видове задачи за интерес

2.1.1. Намиране на проценти от число

За да намерите процента от число, трябва:

Запишете процента като десетичен знак.

Умножете числото по този десетичен знак.

Задача: 14 тона зеле бяха докарани в магазина, 70% от цялото зеле беше продадено. Колко тона зеле са останали?

Останалата част от зелето е: 100% - 70% = 30% = 0,3

Отговор: 4,2 тона.

1. 1. Намиране на число по неговия процент

За да намерите число по неговия процент, трябва:

Запишете процента като десетичен знак;

Разделете числото на този десетичен знак.

Задача: Тракторната бригада изора за ден 25% от цялото поле, което е 60 хектара. Каква е площта на цялото поле?

25% = 0,25;

60: 0.25 = 240

Отговор: 240 ха.

1. 1. Намиране на процента на числата

За да разберете колко процента е едно число от второто, трябва:

Разделете първото число на второто.

Умножете резултата по 100%.

Задача: Дължината на правоъгълника е 40 dm, площта е 200 dm 2. Какъв процент е ширината на дължината?

ширината е 200: 40 = 5

5:40 100% = 12,5%

Отговор: 12,5%

1. 1. Увеличение с p%

За увеличаване на положително число ана p%, трябва:

умножете число акъм коефициента на увеличение k = (1 + 0,01r)

Задача: Цената на ябълките се увеличи с 30%. Каква е цената на ябълките след увеличението, ако първоначалната цена е 250 рубли?

k = 1 + 0,01 30 = 1,3

250 1,3 = 325

Отговор: 325 рубли.

1. 1. Намаляване с p%

За намаляване на положително число ана p%, трябва:

умножете число ачрез редукционен фактор k = (1- 0,01 p)

Задача: Цената на билета за санаториум е намалена с 10%. Колко струва един билет, ако първоначалната му цена е 12 рубли?

k = 1 - 0,01 10 = 0,9;

12 0,9 = 10,8

Отговор: 10,8 рубли.

2.2.Решаване на задачи за проценти чрез съставяне на пропорция

При решаване на задачи за проценти, определена стойност b се приема за 100%, а нейната част е стойността а- взето за х% и се изготвя пропорцията:

От пропорцията на две известни величини се определя неизвестно трето количество, като се използва основното свойство на пропорцията: b х=100 а

Задача 1. В театралното студио има 36 момичета. Колко ученици са в това студио, ако момчетата съставляват 52%?

Момичетата съставляват 100% - 52% = 48% от всички ученици.

момичета: 36 души - 48%

Общо ученици: x души - сто%

Правим пропорция:

Отговор: 75 ученици.

Задача 2. Заплатата на стругаря беше вдигната първо с 10%, а след това година по-късно с още 20%. С колко процента се е увеличила заплатата на стругара спрямо първоначалната?

а- начална заплата

1 след увеличение от 10% - 1.1 а

една година след увеличението с 20% - 1.1 а 1,2 = 1,32 а

Нека направим пропорция:

132% - 100% = 32%

Отговор: 32%.

2.3.Решаване на задачи за интерес по алгебричния метод

Задача 1. Едната страна на правоъгълника е с 42% по-голяма от другата. Площта на правоъгълника е 568 см2. Намерете най-малката страна.

Позволявам х- едната страна на правоъгълника, тогава втората страна ще бъде 1,42 х.

Нека напишем уравнение и да го решим:

х 1.42 х = 568

1,42х 2 = 568

х 2 = 400

х 1 = 20 и х 2 = - 20 - не е подходящо

Отговор: 20 см.

Задача 2.Туристът измина 40% от маршрута през първия ден, 45% от останалата част от маршрута на втория ден, след което трябваше да измине 6 км повече, отколкото през втория ден. Целият маршрут е

х(км) - целият маршрут

0,4 х(км) - туристът премина през първия ден от пътуването

0,45(x - 0,4x) = 0,27x(км) - туристът премина на втория ден от пътуването

x - (0,4x + 0,27x) = 0,33x(км) - туристът трябва да премине

Защото туристът трябва да измине 6 км повече, отколкото на втория ден, ще направим уравнение и ще го решим:

0,33x - 0,27x = 6

0,06x = 6

х = 100

Отговор: 100 км.

2.4.Решаване на задачи за концентрация и процент

За да разрешим проблемите от този раздел, въвеждаме основните понятия:

Нека са дадени две различни вещества A и B с маси m A и m B. Масата на сместа, съставена от тези вещества, е M = m A + m B.

Масова концентрация на вещество А в сместа (процент чисто вещество в сместа) C A = = .

Масовите концентрации са свързани с равенство: C A + C B \u003d 1

Процентът на веществото А в тази смес се изчислява по формулата: P A = C A 100%

Задача 1.Има 50 g разтвор, съдържащ 8% сол. Трябва да получите 5% разтвор. Каква е масата на прясната вода, която трябва да се добави към първоначалния разтвор?

Нека добавим хкг прясна вода. Приемаме солта като чисто вещество. Нека сложим решението в таблица.

Нека направим уравнение: 0,08 50 = (50 + x) 0,05

50 + x = 80

Отговор: 30 кг.

Задача 2.Разтворът съдържа 15% сол. Ако добавите 150 g сол, тогава разтворът ще съдържа 45% сол. Намерете масата на солта в първоначалния разтвор.

Нека масата на разтвора е хг. Ще съставим решението с таблица.

Нека направим и решим уравнението: 0,15x + 150 = (x + 150) 0,45

0,3х = 82,5

х = 275

Нека намерим масата на чистото вещество в първоначалния разтвор: 275 0,15 = 41,25.

Отговор: 41,25гр.

Разгледахме 8 вида задачи за интерес. Както показва анализът, изпитните работи за ОГЕ включват задачи за проценти, някои от тях са представени в приложението.

Заключение

В заключение искам да кажа, че процентите са една от най-трудните теми в математиката и много ученици се затрудняват или изобщо не знаят как да решават задачи с проценти. А разбирането на процентите и способността да се правят процентни изчисления са необходими на всеки човек, тъй като ние постоянно се сблъскваме с проценти в ежедневието. Затова вярвам, че моята работа ще намери практическо приложение в уроците по алгебра, като пример за решаване на задачи от различен тип с практическо съдържание. Това ще помогне на завършилите да запомнят основните начини за решаване на проблеми с проценти.

Библиография

Глейзър Г.И. История на математиката в училище (4-6 клас): ръководство за учители. - М.: Просвещение, 1981.-240-те.

Крамор, В.С. Повтаряме и систематизираме училищния курс по алгебра и началото на анализа.- М.: Образование 1990.-416г.

Новик, И А. Задачи по математика: 4-8 клас. Книга. за студенти / I. A. Novik, N. K. Peshchenko, N. V. Brovka. – Минск: Нар.асвета, 1984. – 96 с.

"Енциклопедичен речник на един млад математик"

Интернет ресурси

Www math-on-line.Com

Www edu.yar.ru/russian/pedba

Www nk/sor_uch/math/Kalmyk/

Www процент.html

Приложение

Задачи за интерес към OGE опции по математика

Бюджетът на града е 45 милиона рубли, а цената на един от елементите му възлиза на 12,5%. Колко рубли бяха похарчени за този бюджетен елемент?

Нека преведем 45 милиона в рубли = 45000000, тъй като 45 милиона е целият бюджет, следователно - 100%, тъй като 12,5% от общия бюджет са изразходвани за статията, обозначена с хтова е числото в рубли, ще направим пропорция

45000000-100%

х-12,5%

x=45000000 12,5:100=5625000(триване)

Отговор: 5625000 (rub)

Преди представянето пред цирка бяха подготвени определен брой балони за продажба. Всички балони бяха продадени преди началото на представлението, а още 12 по време на антракта. След това остана половината от всички топки. Колко топки имаше първоначално?

Оставете топките да останат х.

Всички топки 2x

Продава се преди шоуто: 2x = 2x 0,4 = 0,8x

Продават се в антракта 12 бр

напишете уравнение

2x-0.8x-12=x

2x-0.8x-x=12

0,2x=12

х=12:0,2

х=60топки останаха

60 2=120топките бяха

Отговор: 120 топки

Спестовната каса начислява 20% годишно по срочен депозит. Вложителят депозира 800 рубли по сметката. Каква сума ще бъде по тази сметка след една година, ако не се извършват операции със сметката?

Година по-късно сътрудникът-chik po-lu-chit 20% to-ho-yes, което е така-sta-vit

800 · 0,2=160 Р.

По този начин за една година сметката ще има:

800+160=960 Р.

Отговор: 960r.

Продуктът в продажба беше намален с 20%, докато започна да струва 680 рубли. Колко струва продуктът преди продажбата? Решение: 100-20 \u003d 80% нова цена е 80% от старата цена. Нека направим пропорция

680 рубли - 80%x рубли - 100%

680 100:80 = 850рубли струват стоките преди продажбата

Отговор: 850 рубли.

Държавата притежава 60% от акциите на дружеството, останалите акции са собственост на частни лица. Общата печалба на предприятието след данъци за годината възлиза на 40 милиона рубли. Каква част от тази печалба трябва да отиде за изплащане на частни акционери?

Решение:

Един процент от 40 милиона е равен на: 40 000 000:100 = 400 000 рубли.

На вие-плащате-този частен ak-qi-o-ne-ram отиде: 400 000 · 40= 16000000 rub.

Отговор: 16000000.

Акциите на дружеството се разпределят между държавата и частните лица в съотношение 3:5. Общата печалба на предприятието след данъци за годината възлиза на 32 милиона рубли. Каква част от тази печалба трябва да отиде за изплащане на частни акционери?

Решение:

Позволявам хмилиона рубли за една част от дела, тогава 5xс-хо-дит-ся частен ак-чи-о-не-рам, и 3х - го-су-дар-ство. Знаейки, че всички печалби са 32 милиона рубли, ние поставяме уравнението:

3x+5x=32

х=4милиона рубли

По този начин частните ak-qi-o-ne-rams получават пет пъти повече или 20 милиона рубли.

Отговор: 20 000 000.

Броят на иглолистните дървета в парка е свързан с броя на широколистните дървета като 1:4. Какъв процент от дърветата в парка са широколистни?

Решение:

Има общо пет части, от които има четири части, от които има четири части, това е 4: 5 = 0,8 или 80%.

Средното тегло на момчетата на същата възраст като Сергей е 48 кг. Теглото на Сергей е 120% от средното тегло. Колко тежи Сергей?

Решение:

Намерете теглото на Ser-gay: 48 · 120:100=57,6 кг.

Отговор: 57,6 кг.

В началото на годината абонатите на телефонна компания „Север“ бяха 200 хиляди души, а в края на годината бяха 210 хиляди души. С колко процента се е увеличил броят на абонатите на тази компания през годината?

Решение: Нека определим като 100% броя на абонатите в 200 хиляди души. , но за х-210 хиляди души абонати. Нека направим пропорция:

200 хиляди души - 100%210 хиляди души - Х%

x=210 100/200=105 (%)

105%-100%=5% (броят на абонатите се увеличи с този процент) Отговор: 5%

Тестът по математика съдържа 30 задачи, от които 18 задачи са по алгебра, останалите са по геометрия. В каква връзка се съдържат алгебричните и геометричните задачи в теста?

Решение:

Броят на задачите за геометрии е: 30-18 = 12 бр. По този начин, al-geb-ra-i-che-sky и geo-met-ri-che-sky for-da-chi on-ho-dyat-sya in from-no-she-nii: 18 :12= 3:2.

Отговор: 3:2

24 хиляди рубли бяха депозирани в банкова сметка с доход от 15% годишно. Колко хиляди рубли ще бъдат на тази сметка за една година, ако не се извършват операции със сметката?

Решение:

Нека намерим колко процента ще бъдат за една година: 100% + 15% = 115%. Така за една година банката ще има: 2400 · 115:100=27600 rub.

Отговор: 27600 рубли.

Каква сума (в рубли) ще бъде въведена в касовата бележка, ако цената на стоката е 520 рубли и купувачът я плаща с карта за отстъпка с 5% отстъпка?

Решение:

Изчислете-та-яжте отстъпка-ку, някой-руу-лу-ча-ет-ку-па-тел, плащайте за стоки с помощта на карта за отстъпка с 5% отстъпка -coy: 520 · 5:100=26 търкайте. Така общата намалена цена е: 520 - 26 = 494 рубли.

Отговор: 494.

В понеделник някои стоки бяха пуснати в продажба на цена от 1000 рубли. Съгласно правилата, приети в магазина, цената на продукта остава непроменена през седмицата, като на първия ден от всяка следваща седмица се намалява с 20% от предходната цена. Колко рубли ще струва продуктът на деветия ден след пускането му в продажба?

Решение:

Като от-запад-но, след не-де-ле 7 дни. И така, на 12-ия ден вие-па-да-ет на втория не-де-лу, когато цената падне с 20%, по този начин стоките ще струват 80% . Ние имаме:

1000· 80:100=800

Отговор: 800.

По време на периода на разпродажба магазинът намалява цените два пъти: първия път с 30%, втория път с 50%. Колко рубли струваше чайникът след второто намаление на цената, ако преди началото на продажбата струваше 700 рубли?

Решение:

Първият път цената падна със 700 · 30:100 = 210 рубли И така, след първата по-ниска цена чай-ник започна да струва 700 - 210 = 490 рубли. Вторият път цената падна с 490 · 45:100 = 220,5 рубли И така, след втората по-ниска цена, чайният ник започна да струва 490 - 220,5 = 269,5 рубли.

Отговор: 269,5.

При плащане на услуги чрез платежен терминал се начислява комисионна от 5%. Терминалът приема суми, кратни на 10 рубли. Николай иска да депозира най-малко 320 рубли в сметката на мобилния си телефон. Каква е минималната сума, която той трябва да постави в приемното устройство на този терминал?

Решение:

Като се има предвид съвместната мисия, Аня трябва да излезе навън към приемащото устройство в размер на най-малко 300 + 300 · 0,05 = 315 рубли. Така че, мини-не-малка сума, някой трябва да постави Аня в приемащото устройство на този ter-mi-na-la - 320 rub-lei Доказваме, че тази сума е до сто точни точки: 5% от нея са 16 рубли. (това е комисионна), останалите 304 рубли ще отидат по сметката на te-le-fo-on.

Отговор: 320.

Мобилният телефон струва 5000 рубли. След известно време цената на този модел беше намалена до 3000 рубли. С колко процента беше намалена цената?

Решение:

Намалете цената на te-le-background с 5000 − 3000 = 2000 рубли. Raz-de-lim 2000 за 5000:

Така че намалете цената с 40%.

За да купят таблет, те взеха заем от 20 000 рубли за 1 година при 16% годишно. Изчислете колко пари трябва да върнете в банката, какъв е месечният размер на плащанията?

Решение:

20000· 16:100 = 3200 (руб.) - една година

20000 + 3200 = 23200 (рубли) - пълна сума с лихва

23200:12= 1933 (руб.) - сума на месечното плащане

Отговор: 1933 рубли.

Една опаковка чай струва 100 рубли. Първо цената беше увеличена с 10%, а след това намалена с 10% (от новата цена). Колко струва една опаковка чай сега?

Тъй като цената е увеличена с 10%, тогава трябва да умножите първоначалната цена по 1,1 и ако намалите с 10%, трябва да умножите по 0,9,

100 (1 + 0,1) (1-0,1) \u003d 99 рубли.

Отговор: 99 рубли.

През септември 1 кг грозде струваше 60 рубли, през октомври цената на гроздето се повиши с 25%, а през ноември с още 20%. Колко рубли струваше 1 кг грозде след поскъпването през ноември?

Решение:

В ok-tab-re vi-no-grad on-do-ro-sting на 60 · 25:100 = 15 рубли и цената беше 60 + 15 = 75 рубли. In no-yab-re vi-no-grad on-do-ro-sting на 75 · 20:100 = 15 рубли. И така, след po-do-ro-zha-niya в Nov-Jab-re, 1 кг vi-no-gra-da струва 75 + 15 = 90 рубли.

В училището се обучават 800 ученици, от които 30% са ученици от началното училище. Сред учениците от средните и средните училища 20% изучават немски език. Колко ученици изучават немски език в училище, ако немски не се преподава в началното училище?

Решение:

Уче-ни-ков в ОУ 800 · 30:100 = 240, а ученици от средните и гимназиалните - 800 - 240 \u003d 560. И така, немският език в училище се изучава 560 · 20:100 = 112 ученици.

1% е една стотна от числото.

1% = 0,01.

Намиране на проценти от число.
За да намерите процент от число, можете да изразите процента като десетична дроб и да умножите числото по получената десетична дроб.

Намиране на число по неговия процент.
За да намерите число по неговия процент, можете да представите процента като десетична дроб и да разделите това число на получената десетична дроб.

За да намерите колко процента е едно число от друго, можете да разделите едно число на друго и полученият продукт да умножите по 100.

Как да решим процентни проблеми. Примери.

Намирането на процент от число е свързано с намирането на част от число. Лихвата е специален начин за писане на обикновена дроб, така че трябва да започнете да разкривате значението на понятието лихва от разбирането на концепцията за обикновена дроб.

Да вземем например няколко обикновени дроби. Какво е значението на всеки такъв запис?
Това са примери за правилни дроби. Знаменателят на всеки от тях показва на колко равни части трябва да бъде разделен определен реален или абстрактен обект, числителят показва на колко такива части трябва да се вземат. Да вземем за пример обикновена дроб. Например. Значението на този израз може да се разкрие по следния начин. Някакъв реален обект беше разделен на 3 равни части и от тях бяха взети 2 части.

Като реален обект можете да вземете, например, правоъгълник.

Този израз е частното от a и b, където b не е равно на 0.

Това е съотношението на числата a и b, където b не е равно на 0.

Това е обикновена дроб. a е числителят, b е знаменателят (b не е равно на 0).

Пример 1Вместимостта на цевта беше 200 л. Бъчвите бяха пълни с вода. Какъв е смисълът на това предложение?
- тази дроб означава, че даден обект е разделен на 5 равни части и от тях са взети 2 части. Обектът в тази задача е обемът на цевта, равен на 200 литра, следователно,
200:5 = 40,
402 = 80.
80 литра вода се налива в буре.
Горният пример е типичен пример за намиране на част от число.

За да намерите част от число, трябва да умножите числото по тази дроб.

Сега можем да преминем към процентите.

Концепцията за процент се дефинира, както следва: 1% от числото е една стотна от числото, т.е. 1% = 0,01.

След това значението на изречението a% от числото bможе да се обясни така. Някакъв обект (чиято стойност е равна на бединици), разделени на 100 равни части и взети от тях ачасти.

Пример 2Маша имаше 400 рубли. Тя похарчи 24% от тази сума. Какъв е смисълът на тази поговорка?
Тъй като 24% = 0,24 и 0,24 означава, че определен обект е разделен на 100 равни части и от тях са взети 24 части. В този случай обектът е сумата пари, равна на 400 рубли, следователно,
400: 100 =4,
424 = 96.
Маша похарчи 96 рубли.
Горният пример е типичен пример за намиране на проценти от число.

Пример 3Трябва да се намери R% от номер б .
Нека x е числото, което трябва да намерим.
p% = 0,01п,
x = b 0,01стр

За да намерите проценти от число, трябва да представите броя на процентите като десетична дроб и да умножите даденото число по тази десетична дроб.

Друг подход към този проблем. Можете да използвате концепцията и свойствата на пропорцията. Ако си припомним, че пропорцията е равенството на две съотношения, а съотношението на две числа е обикновена дроб, тогава този метод също се свързва с концепцията за обикновена дроб.

б - 100%,
x - p%,
Имаме пропорция:
b: 100 = x: p, (b е към 100, както x е към p), откъдето,

Пример 4Нека има числа а и б , освен това, а >б След това числото а повече брой б на %.

Нека подходим към този проблем малко по-различно. Ще разгледаме прост специален случай, например това: "С колко процента числото 10 е по-голямо от числото 2?".

1. Извадете по-малкото число от по-голямото. 10 - 2 = 8. Тогава 10 е по-голямо от 2 на 8.

2. Намерете отношението на намереното число към по-малко число. 8:2=4 е съотношението на две числа!

3 Изразяваме съотношението като процент 4100 = 400%.

Числото 10 е по-голямо от числото 2 с 400%.

Ако разделим 8 на 10, ще намерим съотношение, показващо колко от 10 2 е по-малко от 10 (тук сравнението е с числото 10.

Числото 2 е по-малко от числото 10 с 80%.

Пример 5Трактористът изора 6 хектара, което е от цялата нива. Каква е площта на цялото поле.
Това е типичен проблем за намиране на число по неговата дроб. Нека площта на цялото поле е х, тогава имаме уравнението x= 6. Откъдето x = 6:; x = 26. Площта на полето е 26 ха.

За да намерите число по неговата дроб, трябва да разделите числото, съответстващо на дадената дроб, на дроба.

Пример 6.Даден номер б, кое е p% от номер а. Намерете число а.

p% = 0,01стр
б = 0,01па
a = b: (0,01p)

Даден номер б , кое е p% от номер а .

Намерете число а .

а - 100%

b-p%

a:100 = b:p

Формула за сложна лихва.

Ако депозитът има сума апарични единици и банковите такси R% годишно, след това през н години, сумата по депозита ще бъде парични единици, или
a(1+0.01p)n парични единици.

Пример 7Изграждането на къщата струва 9800 рубли, от които 35% са платени за работата, а останалата част е платена за материала. Колко струваха материалите?

Платено за работа:

0,359800 = 3430.

Следователно материалите струват: 9800 - 3430 = 6370.

Отговор: 6370 рубли.

Пример 8В резервоара са изляти 37,4 тона бензин, след което 6,5% от капацитета на резервоара са останали незапълнени. Колко бензин трябва да се добави към резервоара, за да се напълни?

Ако ненапълнената част на резервоара е 6,5% от капацитета, тогава напълнената част е: 100% - 6,5% = 93,5%. Тогава, ако x е масата на бензина, който остава да се добави към резервоара, тогава имаме пропорцията

където .

Отговор: 2,6 тона.

Пример 9Намерете число, знаейки, че 25% от него е 45% от 640.

Нека x е желаното число. Ние имаме

0,25x = 0,45640.

Отговор: 1152.

Пример 10Числото a е 92% от числото b. Ако числото b се увеличи със 700, тогава новото число ще бъде с 9% по-голямо от числото a. Намерете числа a и b.

От условието на задачата имаме система от уравнения:

Решавайки получената система, намираме, a = 230000, b = 250000.

Отговор: 230000; 250 000

Пример 11.Първото число е 50% от второто. Какъв процент от първото е второто?

Нека обозначим второто число с x, тогава първото число е равно на 0,5x. За да разберете какъв процент е числото x от числото 0,5x; Нека направим пропорция:

от които намираме

Отговор: 200%.

Пример 12.В лицея се обучават 260 ученици, от които 10% не успяват. След изгонването на определен брой слаби изпълнители техният процент спадна до 6,4%. Колко ученици отпаднаха?

Преди експулсирането, броят на неуспелите преди експулсирането беше единичен

Нека х хора да бъдат изгонени. Тогава общо 260 ученици останаха в лицея, от които 26 бяха неуспешни. Имаме пропорция

260 - x - 100%,

(260 - x)0,064=(26 - x)100,

Решавайки полученото уравнение, намираме x = 10.

Пример 13С колко процента 250 е по-голямо от 200?

Нека направим две неща.

1) Откриваме колко процента е числото 250 тона от числото 200:

2) Тъй като числото 200 в този пример е 100%, то числото 250 е по-голямо от числото 200 със 125% -100% = 25%.

Отговор: 25%.

Пример 14Какъв процент е 200 по-малко от 250?

1) Разберете колко процента е числото 200 от числото 250 (за разлика от предишния пример, тук трябва да вземете числото 250 като 100%!):

2) Числото 200 е по-малко от числото 250 със 100% - 80% = 20%.

Отговор: 20%.

Пример 15Дължината на тухлата е увеличена с 30%, ширината с 20%, а височината е намалена с 40%. Обемът на тухлите се увеличи или намали от това и с колко процента?

Нека първоначалната дължина на тухла е x, ширина - y, височина - z. Тогава първоначалният обем на тухла: V 1 = xyz. Нови размери тухли: 1,3x; 1,2 г.; 0,6z и нов обем: V 2 = 1,3x1,2y0,6z = 0,936xyz. От V 2< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Отговор: намалява с 6,4%.

Пример 16Цената на една стока падна с 40%, след това с още 25%. С колко процента е намаляла цената на продукта спрямо първоначалната му цена?

Нека x е първоначалната цена на продукта. След първото намаление цената ще бъде равна на

x - 0, 4x = 0,6x.

Второто намаление на цената е 25% от новата цена от 0,6x, така че след второто намаление ще имаме цената

0,6x - 0,250,6x = 0,45x;.

След два понижения общата промяна на цената е:

x - 0,45x = 0,55x.

Тъй като стойността е 0,55x; е 55% от x, тогава цената на стоката е намаляла с 55%.

Отговор: 55%.

Пример 17.Първоначалната цена на единица продукция беше 75 рубли. През първата година на производство той се увеличава с определен брой процента, а през втората година намалява (по отношение на увеличената стойност) със същия брой процента, в резултат на което става равен на 72 рубли. Определете процентното увеличение и намаляване на себестойността на единица продукция.

Нека x% е процентното увеличение (и намаляване) на цената на единица продукция. По дефиниция x% от 75 е 750,01x. Тогава след първото увеличение цената ще бъде равна на 75 + 0,75x.

През втората година цената ще намалее с

0,01x(75+0,75x) = 0,75x + 0,0075x2.

Сега можем да напишем уравнението за крайната цена

(75 + 0,75x) - (0,75x + 0,0075x 2) = 72;

x 2 \u003d 400; следователно x 1 = - 20, x 2 = 20.

Само един корен от това уравнение е подходящ: x 2 = 20.

Отговор: 20%.

Пример 18. 10 хиляди рубли бяха депозирани в банковата сметка. След като парите лежаха една година, 1 хиляда рубли бяха изтеглени от сметката. Година по-късно сметката беше 11 хиляди рубли. Определете какъв процент годишно начислява банката.

Нека банката таксува p% годишно.

1) Сумата от 10 000 рубли, депозирани в банкова сметка при p% годишно, за една година ще се увеличи до стойността

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100 rub.

Когато 1000 рубли бъдат изтеглени от сметката, там ще останат 9000 + 100 рубли.

2) След друга година последната стойност ще се увеличи до 9000 + 100r + 0,01p (9000 + 100r) = r 2 + 190r + 9000 рубли поради натрупване на лихва.

По условие тази стойност е равна на 11 000 рубли, така че имаме квадратно уравнение.

p 2 + 190r + 9000 = 11000;

r 2 + 190r - 2000 = 0
, решаваме това квадратно уравнение, използвайки теоремата на Виет, p 1 = 10, p 2 = -200.

Отрицателният корен не е подходящ.

Отговор: 10%.

Пример 19.В момента градът има 48 400 жители. Известно е, че населението на този град се увеличава всяка година с 10%. Колко жители имаше в града преди две години?

Да предположим, че преди две години броят на жителите на града е бил x души, тогава броят на жителите в момента се изразява чрез x, като се използва формулата за сложна лихва:

x(1+0.1) 2 = 1.21x.

От формулировката на проблема:

Отговор: 40 000 души.

За решаване на повечето задачи по математика в гимназията са необходими познания за пропорциониране. Това просто умение ще ви помогне не само да изпълнявате сложни упражнения от учебника, но и да се задълбочите в самата същност на математическата наука. Как да направите пропорция? Сега нека го разберем.

Най-простият пример е проблем, при който са известни три параметъра, а четвъртият трябва да бъде намерен. Пропорциите, разбира се, са различни, но често трябва да намерите някакво число по процент. Например, момчето имаше общо десет ябълки. Четвъртата част даде на майка си. Колко ябълки остават на момчето? Това е най-простият пример, който ще ви позволи да направите пропорция. Основното нещо е да го направите. Първоначално имаше десет ябълки. Нека бъде 100%. Това отбелязахме всичките му ябълки. Той даде една четвърт. 1/4=25/100. И така, той е напуснал: 100% (първоначално беше) - 25% (той даде) = 75%. Тази цифра показва процента на остатъчното количество плодове спрямо количеството плодове, което е било налично първо. Сега имаме три числа, с които вече можем да решим пропорцията. 10 ябълки - 100%, хябълки - 75%, където х е желаното количество плодове. Как да направите пропорция? Необходимо е да се разбере какво е то. Математически изглежда така. Знакът за равенство е за вашето разбиране.

10 ябълки = 100%;

х ябълки = 75%.

Оказва се, че 10/x = 100%/75. Това е основното свойство на пропорциите. В крайна сметка, колкото повече х, толкова повече процент е това число от оригинала. Решаваме тази пропорция и получаваме, че x=7,5 ябълки. Защо момчето е решило да даде нецялочислена сума, ние не знаем. Сега знаете как да направите пропорция. Основното е да намерите две съотношения, едното от които съдържа желаното неизвестно.

Решаването на пропорция често се свежда до просто умножение и след това деление. Децата не се учат в училищата защо е така. Въпреки че е важно да се разбере, че пропорционалните отношения са математическа класика, самата същност на науката. За да решите пропорциите, трябва да можете да боравите с дроби. Например, често е необходимо процентите да се преобразуват в обикновени дроби. Тоест рекорд от 95% няма да работи. И ако веднага напишете 95/100, тогава можете да направите солидни намаления, без да започвате основното броене. Струва си да се каже веднага, че ако вашата пропорция се окаже с две неизвестни, тогава тя не може да бъде решена. Никой професор не може да ви помогне тук. И вашата задача най-вероятно има по-сложен алгоритъм за правилни действия.

Помислете за друг пример, където няма проценти. Автомобилистът купи 5 литра бензин за 150 рубли. Мислеше колко ще плати за 30 литра гориво. За да решим този проблем, ние означаваме с x необходимата сума пари. Можете сами да решите този проблем и след това да проверите отговора. Ако все още не сте разбрали как да направите пропорция, вижте. 5 литра бензин са 150 рубли. Както в първия пример, нека напишем 5l - 150r. Сега нека намерим третото число. Разбира се, това е 30 литра. Съгласете се, че двойка от 30 l - x рубли е подходяща в тази ситуация. Да преминем към математическия език.

5 литра - 150 рубли;

30 литра - х рубли;

Решаваме тази пропорция:

х = 900 рубли.

Това решихме. В задачата си не забравяйте да проверите адекватността на отговора. Случва се при грешно решение колите да достигат нереалистични скорости от 5000 километра в час и т.н. Сега знаете как да направите пропорция. Също така можете да го решите. Както можете да видите, в това няма нищо сложно.