División números naturales, especialmente los de varios valores, es conveniente llevar a cabo un método especial, que se llama división por una columna (en una columna). También puedes ver el nombre división de esquina. Inmediatamente, notamos que la columna se puede realizar tanto en la división de números naturales sin resto como en la división de números naturales con resto.

En este artículo, entenderemos cómo se realiza la división por una columna. Aquí hablaremos sobre las reglas de escritura y sobre todos los cálculos intermedios. Primero, detengámonos en la división de un número natural de varios valores por un número de un solo dígito por una columna. Después de eso, nos centraremos en los casos en los que tanto el dividendo como el divisor son números naturales de varios valores. Toda la teoría de este artículo se proporciona ejemplos típicos dividiendo por una columna de números naturales con explicaciones detalladas de la solución e ilustraciones.

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Reglas para registrar al dividir por una columna

Comencemos por estudiar las reglas para escribir el dividendo, el divisor, todos los cálculos intermedios y los resultados al dividir números naturales por una columna. Digamos de inmediato que es más conveniente dividir en una columna por escrito en papel con una línea cuadriculada, por lo que hay menos posibilidades de desviarse de la fila y la columna deseadas.

Primero, el dividendo y el divisor se escriben en una línea de izquierda a derecha, después de lo cual se muestra un símbolo de la forma entre los números escritos. Por ejemplo, si el dividendo es el número 6 105 y el divisor es 5 5, entonces su notación correcta cuando se divide en una columna será:

Eche un vistazo al siguiente diagrama que ilustra los lugares para escribir los cálculos de dividendos, divisores, cocientes, residuos e intermedios al dividir por una columna.

En el diagrama anterior se puede ver que el cociente deseado (o el cociente incompleto cuando se divide con un resto) se escribirá debajo del divisor debajo de la línea horizontal. Y los cálculos intermedios se realizarán debajo del dividendo, y debe cuidar la disponibilidad de espacio en la página con anticipación. Al hacerlo, se debe seguir la siguiente regla: mas diferencia en el número de caracteres en las entradas del dividendo y divisor, más espacio se requiere. Por ejemplo, al dividir un número natural 614 808 por 51 234 por una columna (614 808 es un número de seis dígitos, 51 234 es un número de cinco dígitos, la diferencia en el número de caracteres en los registros es 6−5=1), intermedio los cálculos requerirán menos espacio que cuando se dividen los números 8 058 y 4 (aquí la diferencia en el número de caracteres es 4−1=3 ). Para confirmar nuestras palabras, presentamos los registros completos de división por una columna de estos números naturales:

Ahora puedes ir directamente al proceso de dividir números naturales por una columna.

División por una columna de un número natural por un número natural de un solo dígito, algoritmo de división por una columna

Está claro que dividir un número natural de un solo dígito entre otro es bastante simple y no hay razón para dividir estos números en una columna. Sin embargo, será útil practicar las habilidades iniciales de división por una columna en estos ejemplos simples.

Ejemplo.

Necesitamos dividir por una columna 8 por 2.

Decisión.

Por supuesto, podemos realizar divisiones usando la tabla de multiplicar e inmediatamente escribir la respuesta 8:2=4.

Pero estamos interesados ​​en cómo dividir estos números por una columna.

Primero, escribimos el dividendo 8 y el divisor 2 como requiere el método:

Ahora empezamos a averiguar cuántas veces el divisor está en el dividendo. Para ello, multiplicamos sucesivamente el divisor por los números 0, 1, 2, 3, ... hasta que el resultado sea un número igual al dividendo (o un número mayor que el dividendo, si hay una división con resto ). Si obtenemos un número igual al dividendo, inmediatamente lo escribimos debajo del dividendo, y en lugar del privado escribimos el número por el cual multiplicamos el divisor. Si obtenemos un número mayor que el divisible, debajo del divisor escribimos el número calculado en el penúltimo paso, y en lugar del cociente incompleto escribimos el número por el cual se multiplicó el divisor en el penúltimo paso.

Vamos: 2 0=0 ; 2 1=2; 2 2=4 ; 2 3=6 ; 2 4=8 . Obtuvimos un número igual al dividendo, entonces lo escribimos debajo del dividendo, y en lugar del privado escribimos el número 4. En este caso, el registro tomará siguiente vista:

Queda la etapa final de dividir números naturales de un solo dígito por una columna. Debajo del número escrito debajo del dividendo, debe dibujar una línea horizontal y restar los números sobre esta línea de la misma manera que se hace cuando se restan números naturales con una columna. El número obtenido después de la resta será el resto de la división. Si es igual a cero, entonces los números originales se dividen sin resto.

En nuestro ejemplo, obtenemos

Ahora tenemos un registro completo de división por una columna del número 8 por 2. Vemos que el cociente 8:2 es 4 (y el resto es 0).

Responder:

8:2=4 .

Ahora considere cómo se lleva a cabo la división por una columna de números naturales de un solo dígito con un resto.

Ejemplo.

Divide por una columna 7 por 3.

Decisión.

En la etapa inicial, la entrada se ve así:

Comenzamos a averiguar cuántas veces el dividendo contiene un divisor. Multiplicaremos 3 por 0, 1, 2, 3, etc. hasta obtener un número igual o mayor que el dividendo 7. Obtenemos 3 0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (si es necesario, consulte el artículo comparación de números naturales). Debajo del dividendo escribimos el número 6 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente incompleto escribimos el número 2 (se realizó la multiplicación en el penúltimo paso).

Queda por realizar la resta, y se completará la división por una columna de números naturales de un solo dígito 7 y 3.

Entonces el cociente parcial es 2 y el resto es 1 .

Responder:

7:3=2 (descanso 1) .

Ahora podemos pasar a dividir números naturales de varios valores por números naturales de un solo dígito por una columna.

ahora vamos a analizar algoritmo de división de columnas. En cada etapa, presentaremos los resultados obtenidos al dividir el número natural polivalente 140 288 por el número natural monovalente 4 . Este ejemplo no fue elegido por casualidad, ya que al resolverlo nos encontraremos con todos los matices posibles, podremos analizarlos en detalle.

Primero, miramos el primer dígito de la izquierda en la entrada de dividendos. Si el número definido por esta cifra es mayor que el divisor, entonces en el siguiente párrafo tenemos que trabajar con este número. Si este número es menor que el divisor, entonces debemos agregar el siguiente dígito a la izquierda en el registro de dividendos y seguir trabajando con el número determinado por los dos dígitos en cuestión. Para mayor comodidad, seleccionamos en nuestro registro el número con el que trabajaremos.

El primer dígito de la izquierda en el dividendo 140,288 es el número 1. El número 1 es menor que el divisor 4, por lo que también observamos el siguiente dígito a la izquierda en el registro de dividendos. Al mismo tiempo, vemos el número 14, con el que tenemos que trabajar más. Seleccionamos este número en la notación del dividendo.

Los siguientes puntos del segundo al cuarto se repiten cíclicamente hasta completar la división de los números naturales por una columna.

Ahora necesitamos determinar cuántas veces el divisor está contenido en el número con el que estamos trabajando (por conveniencia, denotemos este número como x). Para ello multiplicamos sucesivamente el divisor por 0, 1, 2, 3,... hasta obtener el número x o un número mayor que x. Cuando se obtiene un número x, lo escribimos debajo del número seleccionado de acuerdo con las reglas de notación que se usan al restar por una columna de números naturales. El número por el cual se realizó la multiplicación se escribe en lugar del cociente durante el primer paso del algoritmo (durante los pasos posteriores de 2 a 4 puntos del algoritmo, este número se escribe a la derecha de los números que ya existen). Cuando se obtiene un número mayor que el número x, debajo del número seleccionado escribimos el número obtenido en el penúltimo paso, y en lugar del cociente (o a la derecha de los números que ya están allí) escribimos el número por que la multiplicación se realizó en el penúltimo paso. (Llevamos a cabo acciones similares en los dos ejemplos discutidos anteriormente).

Multiplicamos el divisor de 4 por los números 0 , 1 , 2 , ... hasta obtener un número igual a 14 o mayor que 14 . Tenemos 4 0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>catorce . Dado que en el último paso obtuvimos el número 16, que es mayor que 14, debajo del número seleccionado escribimos el número 12, que resultó en el penúltimo paso, y en lugar del cociente escribimos el número 3, ya que en el penúltimo párrafo la multiplicación se realizó precisamente en él.


En esta etapa, del número seleccionado, reste el número debajo de él en una columna. Debajo de la línea horizontal está el resultado de la resta. Sin embargo, si el resultado de la resta es cero, entonces no es necesario anotarlo (a menos que la resta en este punto sea la última acción que completa por completo la división por una columna). Aquí, para tu control, no estará de más comparar el resultado de la resta con el divisor y asegurarte de que es menor que el divisor. De lo contrario, se ha cometido un error en alguna parte.

Necesitamos restar el número 12 del número 14 en una columna (para la notación correcta, no debes olvidar poner un signo menos a la izquierda de los números restados). Después de completar esta acción, el número 2 apareció debajo de la línea horizontal. Ahora comprobamos nuestros cálculos comparando el número resultante con un divisor. Dado que el número 2 es menor que el divisor 4, puede pasar con seguridad al siguiente elemento.


Ahora, debajo de la línea horizontal a la derecha de los números ubicados allí (o a la derecha del lugar donde no escribimos cero), anotamos el número ubicado en la misma columna en el registro del dividendo. Si no hay números en el registro del dividendo en esta columna, la división por una columna termina aquí. Después de eso, seleccionamos el número formado debajo de la línea horizontal, lo tomamos como un número de trabajo y lo repetimos de 2 a 4 puntos del algoritmo.

Debajo de la línea horizontal a la derecha del número 2 que ya está ahí, escribimos el número 0, ya que es el número 0 que está en el registro del dividendo 140 288 en esta columna. Así, el número 20 se forma debajo de la línea horizontal.


Seleccionamos este número 20, lo tomamos como un número de trabajo y repetimos las acciones del segundo, tercer y cuarto punto del algoritmo con él.

Multiplicamos el divisor de 4 por 0 , 1 , 2 , ... hasta obtener el número 20 o un número mayor que 20 . Tenemos 4 0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Realizamos la resta por una columna. Dado que restamos números naturales iguales, entonces, debido a la propiedad de restar números naturales iguales, obtenemos cero como resultado. No escribimos cero (ya que esta no es la etapa final de dividir por una columna), pero recordamos el lugar donde podríamos escribirlo (por conveniencia, marcaremos este lugar con un rectángulo negro).


Debajo de la línea horizontal a la derecha del lugar memorizado, anotamos el número 2, ya que es ella quien está en el registro del dividendo 140 288 en esta columna. Así, debajo de la línea horizontal tenemos el número 2.


Tomamos el número 2 como número de trabajo, lo marcamos y, una vez más, tendremos que realizar los pasos de 2 a 4 puntos del algoritmo.

Multiplicamos el divisor por 0 , 1 , 2 y así sucesivamente, y comparamos los números resultantes con el número marcado 2 . Tenemos 4 0=0<2 , 4·1=4>2. Por lo tanto, debajo del número marcado, escribimos el número 0 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente a la derecha del número que ya está, escribimos el número 0 (multiplicamos por 0 en el penúltimo paso). paso).


Realizamos la resta por una columna, obtenemos el número 2 debajo de la línea horizontal. Nos comprobamos comparando el número resultante con el divisor 4 . Desde 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Debajo de la línea horizontal a la derecha del número 2, agregamos el número 8 (ya que está en esta columna en el registro del dividendo 140 288). Así, debajo de la línea horizontal está el número 28.


Aceptamos este número como trabajador, lo marcamos y repetimos los pasos 2-4 de los párrafos.

No debería haber ningún problema aquí si has tenido cuidado hasta ahora. Habiendo realizado todas las acciones necesarias, se obtiene el siguiente resultado.

Queda por última vez realizar las acciones de los puntos 2, 3, 4 (se lo proporcionamos), después de lo cual obtendrá una imagen completa de dividir los números naturales 140 288 y 4 en una columna:

Tenga en cuenta que el número 0 está escrito en la parte inferior de la línea. Si este no fuera el último paso de dividir por una columna (es decir, si hubiera números en las columnas de la derecha en el registro del dividendo), entonces no escribiríamos este cero.

Por lo tanto, mirando el registro completo de dividir el número natural de varios dígitos 140 288 por el número natural de un solo valor 4, vemos que el número 35 072 es privado (y el resto de la división es cero, está en el mismo línea de fondo).

Por supuesto, al dividir números naturales por una columna, no describirá todas sus acciones con tanto detalle. Sus soluciones se parecerán a los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

Realiza una división larga si el dividendo es 7136 y el divisor es un solo número natural 9.

Decisión.

En el primer paso del algoritmo para dividir números naturales por una columna, obtenemos un registro de la forma

Después de realizar las acciones del segundo, tercer y cuarto punto del algoritmo, el registro de división por una columna tomará la forma

Repitiendo el ciclo tendremos

Una pasada más nos dará una imagen completa de la división por una columna de números naturales 7 136 y 9

Por lo tanto, el cociente parcial es 792 y el resto de la división es 8.

Responder:

7 136:9=792 (resto 8) .

Y este ejemplo demuestra cómo debería ser la división larga.

Ejemplo.

Divide el número natural 7 042 035 por el número natural de un solo dígito 7 .

Decisión.

Es más conveniente realizar la división por una columna.

Responder:

7 042 035:7=1 006 005 .

División por una columna de números naturales multivaluados

Nos apresuramos a complacerlo: si ha dominado bien el algoritmo para dividir por una columna del párrafo anterior de este artículo, entonces ya casi sabe cómo hacerlo. división por una columna de números naturales multivaluados. Esto es cierto, ya que los pasos 2 a 4 del algoritmo permanecen sin cambios y solo aparecen cambios menores en el primer paso.

En la primera etapa de dividir en una columna de números naturales de valores múltiples, no debe mirar el primer dígito a la izquierda en la entrada de dividendos, sino tantos como dígitos haya en la entrada del divisor. Si el número definido por estos números es mayor que el divisor, entonces en el siguiente párrafo tenemos que trabajar con este número. Si este número es menor que el divisor, entonces debemos agregar a la consideración el siguiente dígito a la izquierda en el registro del dividendo. Posteriormente, se realizan las acciones indicadas en los párrafos 2, 3 y 4 del algoritmo hasta obtener el resultado final.

Solo queda ver la aplicación del algoritmo para dividir por una columna de números naturales de valores múltiples en la práctica al resolver ejemplos.

Ejemplo.

Realicemos la división por una columna de números naturales multivaluados 5562 y 206.

Decisión.

Como hay 3 caracteres involucrados en el registro del divisor 206, miramos los primeros 3 dígitos a la izquierda en el registro del dividendo 5 562. Estos números corresponden al número 556. Dado que 556 es mayor que el divisor 206, tomamos el número 556 como uno de trabajo, lo seleccionamos y pasamos a la siguiente etapa del algoritmo.

Ahora multiplicamos el divisor 206 por los números 0 , 1 , 2 , 3 , ... hasta obtener un número que sea igual a 556 o mayor que 556 . Tenemos (si la multiplicación es difícil, entonces es mejor realizar la multiplicación de números naturales en una columna): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Como obtuvimos un número mayor que 556, debajo del número seleccionado escribimos el número 412 (se obtuvo en el penúltimo paso), y en lugar del cociente escribimos el número 2 (ya que se multiplicó en el penúltimo paso) paso). La entrada de división de columna toma la siguiente forma:

Realice la resta de columnas. Obtenemos la diferencia 144, este número es menor que el divisor, por lo que puede continuar realizando las acciones requeridas de manera segura.

Debajo de la línea horizontal a la derecha del número allí disponible, escribimos el número 2, ya que está en el registro del dividendo 5 562 en esta columna:

Ahora trabajamos con el número 1442, lo seleccionamos y seguimos los pasos del dos al cuatro nuevamente.

Multiplicamos el divisor 206 por 0 , 1 , 2 , 3 , ... hasta obtener el número 1442 o un número mayor que 1442 . Vamos: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Restamos por una columna, obtenemos cero, pero no lo escribimos enseguida, sino que solo recordamos su posición, porque no sabemos si la división termina aquí, o tendremos que repetir los pasos del algoritmo. otra vez:

Ahora vemos que debajo de la línea horizontal a la derecha de la posición memorizada, no podemos anotar ningún número, ya que no hay números en el registro del dividendo en esta columna. Por lo tanto, esta división por una columna ha terminado y completamos la entrada:

• Matemáticas. Cualquier libro de texto para los grados 1, 2, 3, 4 de instituciones educativas.
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Con este programa matemático, puedes dividir polinomios por una columna.
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Primer polinomio (dividendo - lo que dividimos):

Segundo polinomio (divisor - por lo que dividimos):

Dividir polinomios

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Un poco de teoría.

División de un polinomio por un polinomio (binomio) con una columna (esquina)

en álgebra división de polinomios por una columna (esquina)- un algoritmo para dividir un polinomio f(x) por un polinomio (binomial) g(x), cuyo grado es menor o igual que el grado del polinomio f(x).

El algoritmo para dividir un polinomio por un polinomio es una forma generalizada de dividir números por una columna, que se implementa fácilmente de forma manual.

Para cualquier polinomio \(f(x) \) y \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), hay polinomios únicos \(q(x) \) y \(r( x ) \), tal que
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
donde \(r(x) \) tiene un grado menor que \(g(x) \).

El propósito del algoritmo para dividir polinomios en una columna (esquina) es encontrar el cociente \(q(x) \) y el resto \(r(x) \) para el dividendo dado \(f(x) \) y divisor distinto de cero \(g(x) \)

Ejemplo

Dividimos un polinomio por otro polinomio (binomio) con una columna (esquina):
\(\grande \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)

El cociente y el resto de la división de estos polinomios se pueden encontrar en el transcurso de los siguientes pasos:
1. Divida el primer elemento del dividendo por el elemento más alto del divisor, coloque el resultado debajo de la línea \((x^3/x = x^2) \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2 \)

3. Resta el polinomio obtenido después de la multiplicación del dividendo, escribe el resultado debajo de la línea \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2 \)

4. Repetimos los 3 pasos anteriores, usando el polinomio escrito debajo de la línea como dividendo.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x\)

5. Repita el paso 4.

\(x^3 \) \(-12x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(x^3 \) \(-3x^2 \) \(-9x^2 \) \(+0x\) \(-42 \) \(-9x^2 \) \(+27x\) \(-27x\) \(-42 \) \(-27x\) \(+81 \) \(-123 \)

\(X\) \(-3 \) \(x^2 \) \(-9x\) \(-27 \)

6. Fin del algoritmo.
Así, el polinomio \(q(x)=x^2-9x-27 \) es una división parcial de polinomios, y \(r(x)=-123 \) es el resto de la división de polinomios.

El resultado de dividir polinomios se puede escribir como dos igualdades:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 \)
o
\(\grande(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \grande(\frac(-123)(x-3)) \)

Los niños en los grados 2-3 aprenden una nueva acción matemática: la división. No es fácil para un escolar comprender la esencia de esta acción matemática, por lo que necesita la ayuda de sus padres. Los padres necesitan entender cómo presentar nueva información al niño. Los 10 mejores ejemplos les dirán a los padres cómo enseñar a los niños a dividir números por una columna.

Aprendiendo a dividir en una columna en forma de juego

Los niños se cansan en la escuela, se cansan de los libros de texto. Por lo tanto, los padres deben abandonar los libros de texto. Presente la información en forma de un juego emocionante.

Puede establecer tareas como esta:

1 Dele a su hijo un lugar para aprender en forma de juego. Planta sus juguetes en un círculo y dale al niño peras o dulces. Haga que el alumno comparta 4 dulces entre 2 o 3 muñecos. Para obtener la comprensión del niño, agregue gradualmente la cantidad de dulces hasta 8 y 10. Incluso si el bebé actuará durante mucho tiempo, no lo presione ni le grite. Necesitarás paciencia. Si un niño hace algo mal, corríjalo con calma. Luego, mientras completa la primera acción de dividir los dulces entre los participantes del juego, pídale que calcule cuántos dulces recibió cada juguete. Ahora la conclusión. Si había 8 dulces y 4 juguetes, cada uno recibió 2 dulces. Deje que su hijo entienda que compartir significa distribuir una cantidad igual de dulces a todos los juguetes.

2 Puedes enseñar acción matemática con la ayuda de los números. Que el estudiante entienda que los números se pueden calificar como peras o dulces. Decir que el número de peras a dividir es divisible. Y el número de juguetes que contienen dulces es un divisor.

3 Dele al niño 6 peras. Póngale una tarea: dividir el número de peras entre el abuelo, el perro y el papá. Luego pídale que comparta 6 peras entre el abuelo y el papá. Explíquele al niño la razón por la cual el resultado no fue el mismo al dividir.

4 Dígale al estudiante acerca de la división con un resto. Dele al niño 5 dulces y pídale que los distribuya en partes iguales entre el gato y papá. Al niño le quedará 1 dulce. Dígale a su hijo por qué sucedió de la manera que sucedió. Esta operación matemática debe considerarse por separado, ya que puede causar dificultades.

Aprender de forma lúdica puede ayudar al niño a comprender rápidamente todo el proceso de división de números. Podrá aprender que el número más grande es divisible por el más pequeño, o viceversa. Es decir, el mayor número son los dulces y el menor son los participantes. En la columna 1, el número será el número de dulces y 2 será el número de participantes.

No sobrecargue a su hijo con nuevos conocimientos. Necesitas aprender gradualmente. Necesita pasar a un nuevo material cuando el material anterior está arreglado.

Enseñar divisiones largas usando la tabla de multiplicar

Los estudiantes hasta el grado 5 podrán descifrar la división más rápido si conocen bien la multiplicación.

Los padres deben explicar que la división es similar a la tabla de multiplicar. Sólo las acciones son opuestas. Para ilustrar, aquí hay un ejemplo:

• Dígale al alumno que multiplique aleatoriamente los valores 6 y 5. La respuesta es 30.
• Dígale al alumno que el número 30 es el resultado de una operación matemática con dos números: 6 y 5. Es decir, el resultado de la multiplicación.
• Divide 30 entre 6. Como resultado de la operación matemática, obtienes 5. El alumno podrá asegurarse de que la división es lo mismo que la multiplicación, pero viceversa.

Puede usar la tabla de multiplicar para aclarar la división, si el niño la ha aprendido bien.

Aprendiendo a dividir en una columna en un cuaderno

Debe comenzar a entrenar cuando el estudiante comprenda el material sobre la división en la práctica, usando el juego y la tabla de multiplicar.

Hay que empezar a dividir de esta manera, utilizando ejemplos sencillos. Entonces, dividiendo 105 por 5.

Necesitas explicar la operación matemática en detalle:

• Escribe un ejemplo en tu cuaderno: 105 dividido por 5.
• Escríbelo como lo harías para una división larga.
• Explique que 105 es el dividendo y 5 es el divisor.
• Con un estudiante, identifique 1 número que se pueda dividir. El valor del dividendo es 1, esta cifra no es divisible por 5. Pero el segundo número es 0. El resultado será 10, este valor se puede dividir por este ejemplo. El número 5 entra dos veces en el número 10.
• En la columna de división, debajo del número 5, escribe el número 2.
• Pídale al niño que multiplique el número 5 por 2. El resultado de la multiplicación será 10. Este valor debe escribirse debajo del número 10. A continuación, debe escribir el signo de resta en la columna. De 10 necesitas restar 10. Obtienes 0.
• Escriba en la columna el número resultante de la resta: 0. A 105 le queda un número que no participó en la división: 5. Este número debe anotarse.
• El resultado es 5. Este valor debe dividirse por 5. El resultado es el número 1. Este número debe escribirse debajo de 5. El resultado de la división es 21.

Los padres deben explicar que esta división no tiene resto.

Puedes comenzar la división con números. 6,8,9, luego ve a 22, 44, 66 , y después de 232, 342, 345 , etc.

Aprendiendo a dividir con resto

Cuando el niño aprende el material sobre la división, puede complicar la tarea. La división con resto es el siguiente paso en el aprendizaje. Explique con ejemplos disponibles:

• Invite al niño a dividir 35 entre 8. Escriba la tarea en una columna.
• Para que sea lo más claro posible para el niño, puede mostrarle la tabla de multiplicar. La tabla muestra claramente que el número 35 incluye 4 veces el número 8.
• Escribe debajo del número 35 el número 32.
• El niño necesita restar 32 de 35. Resulta 3. El número 3 es el resto.

Ejemplos simples para un niño.

Puedes continuar con este ejemplo:

• Cuando 35 se divide por 8, el resto es 3. Al resto debe agregarle 0. En este caso, después del número 4 en la columna, debe colocar una coma. Ahora el resultado será fraccionario.
• Al dividir 30 entre 8, obtienes 3. Esta cifra debe escribirse después del punto decimal.
• Ahora necesitas escribir 24 debajo del valor 30 (el resultado de multiplicar 8 por 3). El resultado será 6. También debes sumar cero al número 6. Consigue 60.
• El número 8 se coloca en el número 60 7 veces. Es decir, resulta 56.
• Al restar 60 de 56, obtienes 4. También debes firmar 0 a esta cifra. Resulta 40. En la tabla de multiplicar, el niño puede ver que 40 es el resultado de multiplicar 8 por 5. Es decir, el número El 8 está incluido en el número 40 5 veces. No hay descanso. La respuesta se ve así: 4.375.

Este ejemplo puede parecer complicado para un niño. Por lo tanto, debe dividir los valores muchas veces, lo que tendrá un resto.

Aprendiendo división a través de juegos.

Los padres pueden usar juegos de división para el aprendizaje de los estudiantes. Puede darle a su hijo páginas para colorear en las que necesita determinar el color del lápiz dividiendo. Debe elegir páginas para colorear con ejemplos fáciles para que el niño pueda resolver los ejemplos en su mente.

La imagen se dividirá en partes, que contendrán los resultados de la división. Y los colores a utilizar serán ejemplos. Por ejemplo, el color rojo está marcado con un ejemplo: Divide 15 por 3 para obtener 5. Debe encontrar una parte de la imagen debajo de este número y colorearla. Las páginas para colorear de matemáticas cautivan a los niños. Por lo tanto, los padres deben probar este método de educación.

Aprendiendo a dividir la columna del número más pequeño por el más grande

La división por este método supone que el cociente comenzará con 0, y después habrá una coma.

Para que el estudiante asimile correctamente la información recibida, debe dar un ejemplo de dicho plan.

La división es una de las cuatro operaciones matemáticas básicas (suma, resta, multiplicación). La división, como otras operaciones, es importante no solo en matemáticas, sino también en la vida cotidiana. Por ejemplo, entregarás el dinero con toda una clase (25 personas) y comprarás un regalo para el profesor, pero no te gastarás todo, habrá cambio. Así que tendréis que repartir el cambio entre todos. La operación de división entra en juego para ayudarte a resolver este problema.

¡La división es una operación interesante, como veremos contigo en este artículo!

división de números

Entonces, un poco de teoría, ¡y luego práctica! ¿Qué es la división? División es dividir algo en partes iguales. Es decir, puede ser un paquete de golosinas que hay que dividir en partes iguales. Por ejemplo, hay 9 dulces en una bolsa, y la persona que quiere recibirlos tiene tres. Entonces necesitas dividir estos 9 dulces en tres personas.

Está escrito así: 9:3, la respuesta será el número 3. Es decir, al dividir el número 9 entre el número 3 se obtiene el número de números tres contenidos en el número 9. La acción inversa, la prueba, será multiplicación. 3*3=9. ¿Derecha? Absolutamente.

Entonces, considere el ejemplo de 12:6. Primero, nombremos cada componente del ejemplo. 12 - divisible, es decir. número que es divisible. 6 - divisor, este es el número de partes en que se divide el dividendo. Y el resultado será un número llamado "privado".

Divide 12 entre 6, la respuesta será el número 2. Puedes comprobar la solución multiplicando: 2*6=12. Resulta que el número 6 está contenido 2 veces en el número 12.

División con resto

¿Qué es la división con resto? Esta es la misma división, solo que el resultado no es un número par, como se muestra arriba.

Por ejemplo, dividamos 17 entre 5. Dado que el mayor número divisible por 5 de 17 es 15, la respuesta es 3 y el resto es 2, y se escribe así: 17:5=3(2).

Por ejemplo, 22:7. De la misma forma determinamos el número máximo divisible por 7 hasta 22. Este número es 21. Entonces la respuesta será: 3 y el resto 1. Y está escrito: 22:7=3(1).

División por 3 y 9

Un caso especial de división será la división entre el número 3 y el número 9. Si quieres saber si un número es divisible por 3 o por 9 sin resto, necesitarás:

Encuentra la suma de los dígitos del dividendo.

Divide por 3 o 9 (según lo que necesites).

Si la respuesta se obtiene sin resto, entonces el número se dividirá sin resto.

Por ejemplo, el número 18. La suma de los dígitos 1+8 = 9. La suma de los dígitos es divisible por 3 y 9. El número 18:9=2, 18:3=6. Dividido sin dejar rastro.

Por ejemplo, el número 63. La suma de los dígitos 6+3 = 9. Divisible tanto por 9 como por 3. 63:9 = 7 y 63:3 = 21. Este tipo de operaciones se realizan con cualquier número para averiguar si es divisible con el resto 3 o 9 o no.

Multiplicación y división

La multiplicación y la división son operaciones opuestas. La multiplicación se puede utilizar como prueba de división y la división como prueba de multiplicación. Puedes aprender más sobre la multiplicación y dominar la operación en nuestro artículo sobre la multiplicación. En el que se describe detalladamente la multiplicación y cómo realizarla correctamente. Allí también encontrarás la tabla de multiplicar y ejemplos para entrenar.

Aquí hay un ejemplo de verificación de división y multiplicación. Digamos que un ejemplo es 6*4. Respuesta: 24. Entonces comprobemos la respuesta por división: 24:4=6, 24:6=4. Decidido bien. En este caso, la comprobación se realiza dividiendo la respuesta por uno de los factores.

O se da un ejemplo para dividir 56:8. Respuesta: 7. Entonces la prueba será 8*7=56. ¿Derecha? Sí. En este caso, la comprobación se realiza multiplicando la respuesta por el divisor.

clase división 3

En el tercer grado, la división apenas comienza a pasar. Por lo tanto, los estudiantes de tercer grado resuelven los problemas más simples:

Tarea 1. A un trabajador de una fábrica se le dio la tarea de poner 56 pasteles en 8 paquetes. ¿Cuántos pasteles se deben poner en cada paquete para obtener la misma cantidad en cada uno?

Tarea 2. En la víspera de Año Nuevo, la escuela repartió 75 dulces a los niños de una clase de 15 alumnos. ¿Cuántos dulces debe recibir cada niño?

Tarea 3. Roma, Sasha y Misha recogieron 27 manzanas del manzano. ¿Cuántas manzanas recibirá cada uno si es necesario dividirlas en partes iguales?

Tarea 4. Cuatro amigos compraron 58 galletas. Pero luego se dieron cuenta de que no podían dividirlos por igual. ¿Cuántas galletas necesitas comprar para que cada niño reciba 15 galletas?

clase división 4

La división en el cuarto grado es más grave que en el tercero. Todos los cálculos se realizan dividiendo en una columna, y los números que participan en la división no son pequeños. ¿Qué es la división en una columna? Puedes encontrar la respuesta a continuación:

División larga

¿Qué es la división en una columna? Este es un método que le permite encontrar la respuesta a la división de números grandes. Si los números primos como 16 y 4 se pueden dividir, y la respuesta es clara: 4. Entonces 512:8 en la mente no es fácil para un niño. Y hablar sobre la técnica para resolver tales ejemplos es nuestra tarea.

Considere el ejemplo, 512:8.

1 paso. Escribimos el dividendo y el divisor de la siguiente manera:

El cociente se escribirá como resultado debajo del divisor, y los cálculos debajo del dividendo.

2 pasos. La división comienza de izquierda a derecha. Tomemos el número 5 primero.

3 pasos. El número 5 es menor que el número 8, lo que significa que no será posible dividir. Por lo tanto, tomamos un dígito más del dividendo:

Ahora 51 es mayor que 8. Este es un cociente incompleto.

4 pasos. Ponemos un punto debajo del divisor.

5 pasos. Después del 51 hay otro número 2, lo que significa que la respuesta tendrá un número más, o sea. cociente es un número de dos dígitos. Ponemos el segundo punto:

6 pasos. Comenzamos la operación de división. El número más grande divisible sin resto por 8 a 51 es 48. Dividiendo 48 por 8, obtenemos 6. Escribimos el número 6 en lugar del primer punto debajo del divisor:

7 pasos. Luego escribimos el número exactamente debajo del número 51 y ponemos el signo "-":

8 pasos. Luego reste 48 de 51 y obtenga la respuesta 3.

* 9 pasos*. Derribamos el número 2 y escribimos junto al número 3:

10 pasos El número resultante 32 se divide por 8 y obtenemos el segundo dígito de la respuesta: 4.

Entonces, la respuesta es 64, sin dejar rastro. Si dividimos el número 513, entonces el resto sería uno.

división de tres dígitos

La división de números de tres dígitos se realiza mediante el método de división larga, que se explicó con el ejemplo anterior. Un ejemplo del mismo número de tres dígitos.

división de fracciones

Dividir fracciones no es tan difícil como parece a primera vista. Por ejemplo, (2/3):(1/4). El método de división es bastante simple. 2/3 es el dividendo, 1/4 es el divisor. Puede reemplazar el signo de división (:) con multiplicación ( ), pero para esto necesitas intercambiar el numerador y el denominador del divisor. Es decir, obtenemos: (2/3)(4/1), (2/3) * 4, esto es igual a - 8/3 o 2 enteros y 2/3 Pongamos otro ejemplo, con una ilustración para que se entienda mejor. Considera fracciones (4/7):(2/5):

Como en el ejemplo anterior, volteamos el divisor 2/5 y obtenemos 5/2, reemplazando la división por la multiplicación. Obtenemos entonces (4/7)*(5/2). Hacemos una reducción y respondemos: 10/7, luego le quitamos la parte entera: 1 entera y 3/7.

Dividir un número en clases

Imaginemos el número 148951784296, y dividámoslo por tres dígitos: 148 951 784 296. Entonces, de derecha a izquierda: 296 es la clase de unidades, 784 es la clase de miles, 951 es la clase de millones, 148 es la clase de miles de millones A su vez, en cada clase 3 dígitos tienen su propia categoría. De derecha a izquierda: el primer dígito son unidades, el segundo dígito son decenas, el tercero son centenas. Por ejemplo, la clase de unidades es 296, 6 son unidades, 9 son decenas, 2 son centenas.

División de números naturales

La división de números naturales es la división más simple descrita en este artículo. Puede ser tanto con resto como sin resto. El divisor y el dividendo pueden ser cualquier número entero no fraccionario.

Apúntate al curso "Acelerar el conteo mental, NO la aritmética mental" para aprender a sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar al cuadrado e incluso sacar raíces de forma rápida y correcta. En 30 días, aprenderá a usar trucos fáciles para simplificar las operaciones aritméticas. Cada lección contiene nuevas técnicas, ejemplos claros y tareas útiles.

presentación de la división

La presentación es otra forma de mostrar visualmente el tema de la división. A continuación encontraremos un enlace a una excelente presentación que explica bien cómo dividir, qué es la división, qué es dividendo, divisor y cociente. ¡No pierdas tu tiempo y consolida tus conocimientos!

Ejemplos de división

Nivel fácil

Nivel medio

Nivel difícil

Juegos para el desarrollo del conteo mental.

Los juegos educativos especiales desarrollados con la participación de científicos rusos de Skolkovo ayudarán a mejorar las habilidades de conteo oral en una forma de juego interesante.

Juego "Adivina la operación"

El juego "Adivina la operación" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es elegir un signo matemático para que la igualdad sea verdadera. En la pantalla se dan ejemplos, mire con atención y ponga el signo “+” o “-” deseado para que la igualdad sea cierta. Los signos "+" y "-" se encuentran en la parte inferior de la imagen, seleccione el signo deseado y haga clic en el botón deseado. Si respondes correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Simplificar"

El juego "Simplificar" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es realizar rápidamente una operación matemática. Se dibuja un estudiante en la pantalla en la pizarra y se le da una acción matemática, el estudiante necesita calcular este ejemplo y escribir la respuesta. A continuación hay tres respuestas, cuente y haga clic en el número que necesita con el mouse. Si respondes correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Adición rápida"

El juego "Quick Addition" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es elegir números, cuya suma es igual a un número dado. A este juego se le da una matriz del uno al dieciséis. Un número dado está escrito arriba de la matriz, debe seleccionar los números en la matriz para que la suma de estos números sea igual al número dado. Si respondes correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego "Geometría Visual"

El juego "Geometría Visual" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es contar rápidamente la cantidad de objetos sombreados y seleccionarlos de la lista de respuestas. En este juego, los cuadrados azules se muestran en la pantalla durante unos segundos, se deben contar rápidamente y luego se cierran. Cuatro números están escritos debajo de la tabla, debe seleccionar un número correcto y hacer clic en él con el mouse. Si respondes correctamente, sumas puntos y continúas jugando.

Juego de la alcancía

El juego "Alcancía" desarrolla el pensamiento y la memoria. La esencia principal del juego es elegir qué alcancía tiene más dinero. En este juego, se dan cuatro alcancías, debes contar qué alcancía tiene más dinero y mostrar esta alcancía con el mouse. Si respondes correctamente, obtienes puntos y continúas jugando.

Juego "Recarga rápida adicional"

El juego "Fast Addition Reboot" desarrolla el pensamiento, la memoria y la atención. La esencia principal del juego es elegir los términos correctos, cuya suma será igual a un número dado. En este juego, se dan tres números en la pantalla y se da la tarea, agregue el número, la pantalla indica qué número agregar. Seleccionas los números deseados de los tres números y los presionas. Si respondes correctamente, obtienes puntos y continúas jugando.

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Es fácil enseñar a un niño a dividir por una columna. Es necesario explicar el algoritmo de esta acción y consolidar el material cubierto.

• De acuerdo con el plan de estudios de la escuela, los niños comienzan a explicar la división por una columna ya en el tercer grado. Los estudiantes que captan todo "sobre la marcha" entienden rápidamente este tema
• Pero, si el niño se enferma y se pierde las lecciones de matemáticas, o no entiende el tema, entonces los padres deben explicarle el material al niño por su cuenta. Es necesario transmitirle la información lo más claramente posible.
• Las mamás y los papás durante el proceso educativo del niño deben ser pacientes, mostrando tacto en la relación con su hijo. En ningún caso debes gritarle a un niño si algo no le sale bien, porque así puedes desanimarlo de todas las ganas de estudiar.

Importante: Para que un niño entienda la división de números, debe conocer a fondo la tabla de multiplicar. Si el niño no sabe bien la multiplicación, no entenderá la división.

Durante las clases adicionales en casa, se pueden usar hojas de trucos, pero el niño debe aprender la tabla de multiplicar antes de continuar con el tema "División".

Entonces, ¿cómo le explicas a un niño división de columnas:

• Trate de explicar primero en números pequeños. Tome palos de conteo, por ejemplo, 8 piezas
• Pregúntele al niño cuántos pares hay en esta fila de palos. Correcto - 4. Entonces, si divides 8 entre 2, obtienes 4, y si divides 8 entre 4, obtienes 2
• Deje que el niño divida por sí mismo otro número, por ejemplo, uno más complejo: 24:4
• Cuando el bebé haya dominado la división de números primos, puede proceder a la división de números de tres dígitos en números de un solo dígito.

La división siempre se les da a los niños un poco más difícil que la multiplicación. Pero las clases adicionales diligentes en el hogar ayudarán al bebé a comprender el algoritmo de esta acción y mantenerse al día con sus compañeros en la escuela.

Comience simple - división por un solo dígito:

Importante: Calcula en tu mente para que la división quede sin resto, de lo contrario el niño puede confundirse.

Por ejemplo, 256 dividido por 4:

• Dibuja una línea vertical en una hoja de papel y divídela por la mitad en el lado derecho. Escribe el primer número a la izquierda y el segundo a la derecha encima de la línea.
• Pregúntele al bebé cuántos cuatro caben en un dos, nada
• Luego tomamos 25. Para mayor claridad, separe este número de arriba con una esquina. Nuevamente pregúntele al niño cuántos cuatro caben en veinticinco. Así es, seis. Escribimos el número "6" en la esquina inferior derecha debajo de la línea. El niño debe usar la tabla de multiplicar para la respuesta correcta.
• Escriba el número 24 debajo de 25 y subraye para escribir la respuesta: 1
• Pregunte de nuevo: ¿cuántos cuatros caben en una unidad? No, en absoluto. Luego derribamos el número "6" a uno
• Resultó 16, ¿cuántos cuatro caben en este número? Correcto - 4. Escribimos "4" al lado de "6" en la respuesta
• Debajo de 16 escribimos 16, subrayamos y resulta “0”, lo que significa que dividimos correctamente y la respuesta resultó ser “64”

División escrita por dos dígitos

Cuando el niño haya dominado la división por un solo número, puede continuar. La división escrita por un número de dos dígitos es un poco más complicada, pero si el bebé comprende cómo se realiza esta acción, no le resultará difícil resolver tales ejemplos.

Importante: nuevamente, comience a explicar con pasos simples. El niño aprenderá a seleccionar números correctamente y le será fácil dividir números complejos.

Realicen juntos esta simple acción: 184:23 - cómo explicar:

• Primero dividimos 184 por 20, resulta aproximadamente 8. Pero no escribimos el número 8 en la respuesta, ya que este es un número de prueba.
• Compruebe si 8 encaja o no. Multiplicamos 8 por 23, resulta 184, este es exactamente el número que tenemos en el divisor. la respuesta sera 8

Importante: para que el niño entienda, intente tomar 9 en lugar de ocho, déjelo multiplicar 9 por 23, resulta 207: esto es más de lo que tenemos en el divisor. El número 9 no nos conviene.

Entonces, gradualmente, el bebé comprenderá la división y le será fácil dividir números más complejos:

• Divida 768 por 24. Determine el primer dígito del privado: dividimos 76 no por 24, sino por 20, resulta 3. Escribimos 3 en respuesta debajo de la línea a la derecha
• Debajo de 76 escribimos 72 y dibujamos una línea, escribimos la diferencia: resultó 4. ¿Esta cifra es divisible por 24? No, demolimos 8, resulta 48
• ¿48 es divisible por 24? Así es, sí. Resulta 2, escribimos esta cifra en respuesta.
• Resultó 32. Ahora puede verificar si realizamos la acción de división correctamente. Multiplique en una columna: 24x32, resulta 768, entonces todo está correcto

Si el niño ha aprendido a dividir por un número de dos dígitos, entonces debe pasar al siguiente tema. El algoritmo para dividir por un número de tres dígitos es el mismo que el algoritmo para dividir por un número de dos dígitos.

Por ejemplo:

• Divida 146064 por 716. Primero tomamos 146; pregúntele al niño si este número es divisible por 716 o no. Así es, no, entonces tomamos 1460
• ¿Cuántas veces cabe el número 716 en el número 1460? Correcto - 2, entonces escribimos esta cifra en la respuesta
• Multiplicamos 2 por 716, resulta 1432. Escribimos esta cifra debajo de 1460. Resulta que la diferencia es 28, escribimos debajo de la línea
• Demolición 6. Pregúntale al niño: ¿286 es divisible por 716? Así es, no, entonces escribimos 0 en la respuesta al lado de 2. Destruimos otro número 4
• Dividimos 2864 por 716. Tomamos 3 cada uno - un poco, 5 cada uno - mucho, lo que significa que obtenemos 4. Multiplicamos 4 por 716, obtenemos 2864
• Escribe 2864 debajo de 2864 para una diferencia de 0. Respuesta 204

Importante: para verificar la corrección de la división, multiplique junto con el niño en una columna: 204x716 = 146064. La división es correcta.

Es hora de que el niño explique que la división no solo puede ser total, sino también con un resto. El resto siempre es menor o igual que el divisor.

La división con resto debe explicarse con un ejemplo simple: 35:8=4 (resto 3):

• ¿Cuántos ochos caben en 35? Correcto - 4. Resta 3
• ¿Es este número divisible por 8? Así es, no. Entonces el resto es 3.

Después de eso, el niño debe aprender que puede continuar la división sumando 0 al número 3:

• La respuesta es el número 4. Después de él, escribimos una coma, ya que sumar cero indica que el número será con una fracción
• Resultó 30. Divida 30 por 8, resulta 3. Escribimos en respuesta, y debajo de 30 escribimos 24, subrayamos y escribimos 6
• Llevamos el número 0 al número 6. Divida 60 entre 8. Saque 7 cada uno, resulta 56. Escriba debajo de 60 y anote la diferencia 4
• Agregamos 0 al número 4 y dividimos por 8, resulta 5, lo escribimos en respuesta
• Restamos 40 de 40, obtenemos 0. Entonces, la respuesta es: 35:8=4.375

Consejo: si el niño no entiende algo, no se enfade. Deje pasar un par de días e intente explicar el material nuevamente.

Las lecciones de matemáticas en la escuela también reforzarán el conocimiento. Pasará el tiempo y el niño resolverá rápida y fácilmente cualquier ejemplo de división.

El algoritmo para dividir números es el siguiente:

• Haz una estimación del número que estará en la respuesta
• Encuentre el primer dividendo incompleto
• Determinar el número de dígitos en un cociente
• Encuentra los dígitos en cada dígito del cociente
• Encuentre el resto (si lo hay)

Según este algoritmo, la división se realiza tanto por números de un dígito como por cualquier número de varios dígitos (dos dígitos, tres dígitos, cuatro dígitos, etc.).

Cuando estudie con un niño, a menudo pídale ejemplos para hacer una estimación. Debe calcular rápidamente la respuesta en su mente. Por ejemplo:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Para consolidar el resultado, puede utilizar los siguientes juegos de división:

• "Rompecabezas". Escribe cinco ejemplos en una hoja de papel. Sólo uno de ellos debe ser con la respuesta correcta.

Condición para el niño: Entre varios ejemplos, solo uno se resuelve correctamente. Encuéntralo en un minuto.

Video: Juego de aritmética para niños suma resta división multiplicación

Vídeo: Dibujo educativo Matemáticas Aprendiendo de memoria las tablas de multiplicar y dividir por 2