INTERFERENCIA DE ONDA
Fenómeno interferencia consiste en tal superposición de dos (o más) ondas, que conduce a una amplificación estacionaria (independiente del tiempo) de las oscilaciones de las partículas del medio en algunos lugares y al debilitamiento (o extinción completa) en otros lugares del espacio. Si dos ondas se propagan en algún medio elástico, entonces cada partícula del medio, a través de
por el que pasan ambas ondas participarán simultáneamente en dos movimientos oscilatorios independientes provocados por cada onda. El movimiento resultante de la partícula depende de las frecuencias, amplitudes y fases iniciales de los componentes de vibración. Sin embargo, si las ondas que se propagan tienen las mismas frecuencias y si en un punto dado en el espacio hacen que la partícula oscile a lo largo de la misma línea recta, entonces se produce la amplificación de las oscilaciones o su atenuación (amortiguamiento), dependiendo de la diferencia de fase de la componentes de las oscilaciones.
Siempre hay puntos en el espacio donde la diferencia de fase de las oscilaciones entrantes es 2kπ(donde k es un número entero). En consecuencia, en estos puntos habrá una amplificación estable (invariablemente continuando todo el tiempo) de las oscilaciones de las partículas del medio. También hay puntos en los que la diferencia de fase de las oscilaciones entrantes será igual a (2k +1) π... En tales puntos del espacio se observará un debilitamiento estable de las oscilaciones de las partículas del medio. Como resultado, el área del espacio en la que las ondas se superponen entre sí será una alternancia de áreas con mayor oscilación de las partículas del medio y áreas donde las oscilaciones de las partículas se debilitan o las partículas no oscilan. en absoluto.
Está claro que un patrón de interferencia surge solo cuando se superponen tales ondas, que tienen la misma frecuencia, una diferencia de fase constante en el tiempo en cada punto del espacio y crean oscilaciones a lo largo de una línea recta en cada punto del espacio. Las ondas que satisfacen estas tres condiciones (y las fuentes que las crean) se denominan coherente.
El caso más simple de interferencia se observa cuando se superponen las ondas viajeras y reflejadas. Estas ondas son coherentes (satisfacen las tres condiciones de coherencia). La superposición de tales ondas conduce a la formación de los llamados onda estacionaria.
Desplazamiento de onda estacionaria. Escribamos las ecuaciones de dos ondas planas que tienen las mismas frecuencias y amplitudes y se propagan en direcciones opuestas:
El desplazamiento total de una partícula del medio con la coordenada NS es igual a la suma de los desplazamientos ξ 1 y ξ 2
o (después de transformaciones trigonométricas):
Esta es la ecuación de onda estacionaria. Muestra que como resultado de la superposición de ondas hacia adelante y hacia atrás, los puntos del medio vibran de manera que todos pasan simultáneamente la posición de equilibrio (sin ω t = 0) y todos ellos alcanzan simultáneamente sus mayores desviaciones (sin ω t= ± 1).
Se podría decir que las partículas de una onda estacionaria oscilan en una fase. Sin embargo, debido al hecho de que el factor tiene un signo algebraico, las partículas son en realidad
oscilan en una fase, si tienen el mismo signo, o en antifase, si tienen signos diferentes para ellos.
Para aclarar lo dicho, la Figura 4 muestra la distribución del desplazamiento de las partículas del medio para varios momentos sucesivos de tiempo. En momentos de tiempo t 1 y t 5 las partículas tienen las mayores desviaciones (si nos referimos a la onda de corte en la cuerda, entonces los gráficos describen la verdadera posición de las partículas en el espacio), mientras que sus velocidades son iguales a cero. En el momento t 3 las partículas pasan la posición de equilibrio; sus velocidades son máximas. Por momentos t 2 y t 4 muestra las distribuciones de los desplazamientos entre el desplazamiento mayor y cero. Se seleccionan tres puntos con coordenadas en el gráfico. x 1, x 2, x 3... Para cada momento en el tiempo, las flechas muestran las velocidades de estos puntos. El gráfico muestra que los puntos x 1 y x 2 oscilan en antifase, y los puntos x 1 y x 3- en una fase. Los rangos de fluctuaciones en diferentes puntos son diferentes. Entonces, apunta 4 fluctúa dentro del segmento pero, B. La amplitud de vibración de las partículas en una onda estacionaria depende de su coordenada, pero no depende del tiempo:
Aquí, el signo del módulo se establece porque la amplitud es un valor puramente positivo. Hay puntos en una onda estacionaria que permanecen inmóviles todo el tiempo. Tales puntos característicos se llaman nudos desplazamiento. Su posición está determinada por la condición
Esta ecuación se satisface para los valores del argumento
donde k= 0, 1, 2, .... De aquí
El gráfico de onda estacionaria, que se muestra en la Figura 6, es condicional: muestra los límites dentro de los cuales fluctúan diferentes puntos del medio en el que se formó la onda estacionaria. Los nodos y antinodos del desplazamiento son claramente visibles en este gráfico.
Si varias ondas se propagan simultáneamente en el medio, entonces las oscilaciones de las partículas del medio resultan ser la suma geométrica de las oscilaciones que las partículas realizarían durante la propagación de cada una de las ondas por separado. Esta declaración empírica se llama el principio de superposición (superposición) de ondas.
En el caso de que las oscilaciones causadas por ondas individuales en cada punto del medio tengan una diferencia de fase constante, las ondas se denominan coherente. Cuando se agregan ondas coherentes, ocurre el fenómeno de la interferencia, que consiste en que las oscilaciones en algunos puntos se amplifican y en otros puntos se debilitan entre sí. Un caso muy importante de interferencia ocurre cuando se superponen dos ondas planas en contrapropagación con la misma amplitud. El proceso oscilatorio resultante se llama onda estacionaria.
Onda estacionaria- Esta es una onda que se forma cuando se superponen dos ondas con la misma amplitud y frecuencia, cuando las ondas se mueven una hacia la otra.
Prácticamente, las ondas estacionarias surgen cuando las ondas se reflejan en los obstáculos. La onda que cae sobre el obstáculo y la onda reflejada que corre hacia él, superponiéndose entre sí, dan una onda estacionaria.
Escribamos las ecuaciones para dos ondas planas que se propagan a lo largo del eje X en direcciones opuestas:
Sumando estas ecuaciones y transformando el resultado por la fórmula para la suma de cosenos, obtenemos:
Para simplificar esta ecuación, elija el origen X de modo que la diferencia se vuelve igual a cero, y el origen t- de modo que la suma sea igual a cero. Entonces
- ecuación de onda estacionaria.
Reemplazo del número de onda Para su valor, obtenemos la ecuación de una onda estacionaria, que es conveniente para analizar las oscilaciones de partículas en una onda estacionaria:
.
De esta ecuación se ve que en cada punto de la onda estacionaria, ocurren oscilaciones de la misma frecuencia que las de las ondas contrapropagantes, y la amplitud de las oscilaciones depende de X:
.
En puntos cuyas coordenadas satisfacen la condición
,
la amplitud de vibración alcanza su valor máximo. Estos puntos se llaman antinodos onda estacionaria. Los valores de las coordenadas de los antinodos son iguales:
.
En puntos cuyas coordenadas satisfacen la condición:
,
la amplitud de la vibración se desvanece. Estos puntos se llaman nudos onda estacionaria. Los puntos del medio ubicados en los nodos no vibran. Las coordenadas de los nodos son:
.
De estas fórmulas se deduce que la distancia entre antinodos adyacentes, así como la distancia entre nodos adyacentes, es igual. Las protuberancias y los nodos se desplazan entre sí en un cuarto de la longitud de onda.
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La figura muestra un gráfico de desviaciones de puntos de la posición de equilibrio para el momento en el tiempo. t(línea continua) y un gráfico de desviaciones puntuales para un punto en el tiempo (línea discontinua). Como puede verse en la figura, los puntos situados en lados opuestos del nodo oscilan en antifase. Todos los puntos encerrados entre dos nodos adyacentes oscilan en fase (es decir, en la misma fase).
Una onda estacionaria no transfiere energía. Dos veces durante el período, la energía de la onda estacionaria se convierte completamente en energía potencial, concentrada principalmente cerca de los nodos de onda, y luego completamente en energía cinética, concentrada principalmente cerca de los antinodos de onda. Como resultado, hay una transición de energía de cada nodo a los antinodos vecinos y viceversa. El flujo de energía promedio en el tiempo en cualquier sección de la onda es cero.
Un caso muy importante de interferencia ocurre cuando se superponen ondas planas de la misma amplitud. El proceso oscilatorio resultante se llama onda estacionaria.
Prácticamente, las ondas estacionarias surgen cuando las ondas se reflejan en los obstáculos. La onda que cae sobre el obstáculo y la onda reflejada que corre hacia él, superponiéndose entre sí, dan una onda estacionaria.
Considere el resultado de la interferencia de dos ondas planas sinusoidales de la misma amplitud, que se propagan en direcciones opuestas.
Para simplificar el razonamiento, supongamos que ambas ondas causan oscilaciones en la misma fase en el origen.
Las ecuaciones de estas vibraciones son las siguientes:
Sumando ambas ecuaciones y transformando el resultado, usando la fórmula para la suma de senos, obtenemos:
- ecuación de onda estacionaria.
Comparando esta ecuación con la ecuación de vibraciones armónicas, vemos que la amplitud de las vibraciones resultantes es:
Desde, a, entonces.
En puntos del medio, donde no hay oscilaciones, es decir ... Estos puntos se llaman nudos de onda estacionaria.
En los puntos donde, la amplitud de las oscilaciones tiene el mayor valor, igual a. Estos puntos se llaman antinodos de onda estacionaria... Las coordenadas de los antinodos se encuentran a partir de la condición, ya que , luego .
De aquí:
Del mismo modo, las coordenadas de los nodos se encuentran a partir de la condición:
Donde:
De las fórmulas para las coordenadas de nodos y antinodos, se deduce que la distancia entre antinodos adyacentes, así como la distancia entre nodos adyacentes, es igual. Las protuberancias y los nodos se desplazan entre sí en un cuarto de la longitud de onda.
Comparemos la naturaleza de las oscilaciones en las ondas estacionarias y viajeras. En una onda viajera, cada punto oscila, cuya amplitud no difiere de la amplitud de otros puntos. Pero las fluctuaciones de varios puntos se producen a partir de diferentes fases.
En una onda estacionaria, todas las partículas del medio ubicadas entre dos sitios vecinos vibran en la misma fase, pero con diferentes amplitudes. Al pasar por el nodo, la fase de las oscilaciones cambia abruptamente a, porque el signo cambia.
Gráficamente, una onda estacionaria se puede representar de la siguiente manera:
En el momento en que todos los puntos del medio tienen desplazamientos máximos, cuya dirección está determinada por el signo. Estas compensaciones se muestran en la figura con flechas sólidas.
Después de una cuarta parte del período, cuando, las compensaciones de todos los puntos son iguales a cero. Las partículas viajan a través de la línea a diferentes velocidades.
Después de otro cuarto del período, cuando las partículas volverán a tener los desplazamientos máximos, pero en la dirección opuesta (flechas discontinuas).
Al describir procesos oscilatorios en sistemas elásticos, no solo el desplazamiento, sino también la velocidad de las partículas, así como el valor de la deformación relativa del medio, pueden tomarse como una cantidad oscilante.
Para encontrar la ley del cambio en la velocidad de una onda estacionaria, diferenciamos por la ecuación de desplazamiento de una onda estacionaria y para encontrar la ley del cambio en la deformación, diferenciamos por la ecuación de una onda estacionaria.
Analizando estas ecuaciones, vemos que los nodos y antinodos de la velocidad coinciden con los nodos y antinodos del desplazamiento; los nodos y antinodos de deformación coinciden, respectivamente, con antinodos y nodos de velocidad y desplazamiento.
Vibraciones de cuerdas
En una cuerda estirada fijada en ambos extremos, cuando se excitan las vibraciones transversales, se establecen ondas estacionarias y los nodos deben ubicarse en los lugares donde se fija la cuerda. Por lo tanto, sólo se excitan esas vibraciones en la cuerda, la mitad de la cual se ajusta a la longitud de la cuerda un número entero de veces.
Esto implica la condición:
donde es la longitud de la cadena.
O de otro modo. Estas longitudes de onda corresponden a frecuencias, donde es la velocidad de fase de la onda. Su valor está determinado por la tensión de la cuerda y su masa.
At es la frecuencia fundamental.
At - frecuencias naturales de vibraciones de la cuerda o matices.
efecto Doppler
Considere los casos más simples en los que la fuente de onda y el observador se mueven en relación con el medio a lo largo de una línea recta:
1. La fuente de sonido se mueve con relación al medio a una velocidad, el receptor de sonido está en reposo.
En este caso, durante el período de oscilaciones, la onda de sonido se alejará de la fuente a una distancia y la fuente misma se desplazará una distancia igual a.
Si la fuente se elimina del receptor, es decir, moverse en la dirección opuesta a la dirección de propagación de la onda, luego la longitud de onda.
Si la fuente de sonido se acerca al receptor, p. Ej. muévase en la dirección de propagación de la onda, entonces.
La frecuencia del sonido percibida por el receptor es igual a:
Sustituyamos en lugar de sus valores para ambos casos:
Teniendo en cuenta que, donde está la frecuencia de oscilación de la fuente, la igualdad tomará la forma:
Dividimos tanto el numerador como el denominador de esta fracción por, luego:
2. La fuente de sonido está estacionaria y el receptor se mueve en relación con el medio con velocidad.
En este caso, la longitud de onda en el medio no cambia y sigue siendo igual a. Al mismo tiempo, dos amplitudes sucesivas, que difieren en el tiempo en un período de oscilación, que llegan al receptor en movimiento, diferirán en el tiempo en los momentos en que la onda se encuentra con el receptor durante un intervalo de tiempo, cuyo valor es mayor o menor según sobre si el receptor se está alejando o acercándose a la fuente. Con el tiempo, el sonido viaja una distancia y el receptor se mueve una distancia. La suma de estos valores nos da la longitud de onda:
El período de oscilaciones percibido por el receptor está relacionado con la frecuencia de estas oscilaciones por la relación:
Sustituyendo la expresión de la igualdad (1) en lugar de ella, obtenemos:
Porque , donde es la frecuencia de oscilación de la fuente, a, entonces:
3. La fuente y el receptor de sonido se mueven en relación con el medio ambiente. Combinando los resultados obtenidos en los dos casos anteriores, obtenemos:
Ondas sonoras
Si las ondas elásticas que se propagan en el aire tienen una frecuencia en el rango de 20 a 20.000 Hz, entonces, al llegar al oído humano, provocan una sensación de sonido. Por lo tanto, las ondas que se encuentran en este rango de frecuencia se denominan ondas sonoras. Las ondas elásticas con una frecuencia inferior a 20 Hz se denominan infrasonido ... Las ondas con una frecuencia de más de 20.000 Hz se denominan ultrasonido... El oído humano no escucha ultrasonidos ni infrasonidos.
Las sensaciones sonoras se caracterizan por el tono, el timbre y el volumen. El tono está determinado por la frecuencia de vibración. Sin embargo, una fuente de sonido emite no solo una, sino todo un espectro de frecuencias. El conjunto de frecuencias de vibración presentes en un sonido dado se llama su espectro acústico... La energía vibratoria se distribuye entre todas las frecuencias del espectro acústico. El tono está determinado por uno: la frecuencia fundamental, si la parte de esta frecuencia contiene mucha más energía que la parte de otras frecuencias.
Si el espectro consiste en un conjunto de frecuencias ubicadas en el rango de frecuencia de a, entonces dicho espectro se llama sólido(ejemplo es ruido).
Si el espectro consiste en un conjunto de oscilaciones de frecuencias discretas, entonces dicho espectro se llama gobernado(ejemplo: sonidos musicales).
El espectro acústico de un sonido, dependiendo de su carácter y de la distribución de energía entre frecuencias, determina la originalidad de la sensación sonora, denominada timbre del sonido. Los diferentes instrumentos musicales tienen diferentes espectros acústicos, es decir, difieren en el timbre del sonido.
La intensidad del sonido se caracteriza por diferentes valores: vibraciones de partículas del medio, sus velocidades, fuerzas de presión, tensiones en ellas, etc.
Caracteriza la amplitud de las oscilaciones de cada una de estas cantidades. Sin embargo, dado que estas cantidades están interrelacionadas, es aconsejable introducir una única característica energética. Esta característica para olas de cualquier tipo se propuso en 1877. SOBRE EL. Umov.
Recortemos mentalmente una plataforma del frente de la ola viajera. Con el tiempo, esta área se moverá a una distancia, donde está la velocidad de la ola.
Denotemos por la energía de una unidad de volumen de un medio oscilante. Entonces la energía de todo el volumen será igual.
Esta energía fue transferida con el tiempo por una onda que se propagó por el sitio.
Dividiendo esta expresión entre y, obtenemos la energía transportada por la onda a través de una unidad de área por unidad de tiempo. Este valor se indica con una letra y se llama del vector Umov
Para el campo sonoro Vector de Umov se llama el poder del sonido.
La intensidad del sonido es una característica física de la intensidad del sonido. Lo evaluamos subjetivamente como volumen sonido. El oído humano percibe sonidos cuya fuerza supera un cierto valor mínimo, que es diferente para distintas frecuencias. Este valor se llama umbral de audición sonido. Para frecuencias medias del orden de Hz, el umbral de audibilidad es del orden de.
Con una fuerza de sonido muy grande del orden, el sonido se percibe a excepción del oído por los órganos del tacto, y en los oídos causa una sensación dolorosa.
El valor de intensidad al que esto ocurre se llama umbral del dolor... El umbral de dolor, así como el umbral de audición, dependen de la frecuencia.
Una persona tiene un aparato bastante complejo para la percepción de sonidos. Las vibraciones sonoras son recogidas por el pabellón auricular y, a través del conducto auditivo, actúan sobre el tímpano. Sus vibraciones se transmiten a una pequeña cavidad llamada cóclea. En el interior de la cóclea hay una gran cantidad de fibras con diferentes longitudes y tensiones y, por tanto, diferentes frecuencias de vibración natural. Bajo la acción del sonido, cada una de las fibras resuena con el tono, cuya frecuencia coincide con la frecuencia natural de la fibra. El conjunto de frecuencias de resonancia en el audífono determina el rango de vibraciones sonoras que percibimos.
Valorado subjetivamente por nuestro oído, el volumen aumenta mucho más lentamente que la intensidad de las ondas sonoras. Mientras que la intensidad aumenta exponencialmente, el volumen aumenta en progresión aritmética. Sobre esta base, el nivel de sonoridad se define como el logaritmo de la relación entre la intensidad de un sonido dado y la intensidad tomada como inicial.
La unidad del nivel de volumen se llama blanco... También se utilizan unidades más pequeñas: decibeles(10 veces menos blanco).
donde es el coeficiente de absorción acústica.
El coeficiente de absorción de sonido aumenta en proporción al cuadrado de la frecuencia del sonido, por lo que los sonidos bajos se propagan más lejos que los sonidos altos.
En la acústica arquitectónica para espacios grandes, los reverberación o el eco del local. Los sonidos, que experimentan múltiples reflejos de las superficies circundantes, son percibidos por el oyente durante un período de tiempo bastante largo. Esto aumenta la fuerza del sonido que nos llega, sin embargo, con una reverberación demasiado larga, los sonidos individuales se superponen entre sí y el habla deja de percibirse articuladamente. Por lo tanto, las paredes de los pasillos están cubiertas con materiales especiales que absorben el sonido para reducir la reverberación.
Cualquier cuerpo oscilante puede servir como fuente de vibraciones sonoras: una lengüeta de campana, un diapasón, una cuerda de violín, una columna de aire en los instrumentos de viento, etc. estos cuerpos también pueden servir como receptores de sonido cuando entran en movimiento bajo la influencia de las vibraciones del entorno.
Ultrasonido
Para ser direccional, es decir cerca de una onda plana, las dimensiones del emisor deben ser muchas veces mayores que la longitud de onda. Las ondas sonoras en el aire tienen una longitud de hasta 15 m, en líquidos y sólidos, la longitud de onda es aún mayor. Por lo tanto, es prácticamente imposible construir un radiador que cree una onda dirigida de tal longitud.
Las vibraciones ultrasónicas tienen una frecuencia de más de 20.000 Hz, por lo que su longitud de onda es muy pequeña. Con la disminución de la longitud de onda, el papel de la difracción en el proceso de propagación de la onda también disminuye. Por lo tanto, las ondas ultrasónicas se pueden recibir en forma de rayos direccionales, similares a los rayos de luz.
Se utilizan dos fenómenos para excitar ondas ultrasónicas: efecto piezoeléctrico inverso y magnetostricción.
El efecto piezoeléctrico inverso es que la placa de algunos cristales (sal de Rochelle, cuarzo, titanato de bario, etc.) se deforma levemente bajo la acción de un campo eléctrico. Colocándolo entre placas metálicas, a las que se aplica una tensión alterna, es posible inducir vibraciones forzadas de la placa. Estas vibraciones se transmiten al medio ambiente y generan una onda ultrasónica en él.
Magnetostricción significa que las sustancias ferromagnéticas (hierro, níquel, sus aleaciones, etc.) se deforman bajo la influencia de un campo magnético. Por lo tanto, al colocar una varilla ferromagnética en un campo magnético alterno, se pueden excitar vibraciones mecánicas.
Los altos valores de velocidades y aceleraciones acústicas, así como los métodos bien desarrollados para estudiar y recibir vibraciones ultrasónicas, hicieron posible su uso para resolver muchos problemas técnicos. Enumeremos algunos de ellos.
En 1928, el científico soviético S.Ya. Sokolov sugirió usar ultrasonido para la detección de fallas, es decir, para detectar defectos internos ocultos como cáscaras, grietas, holguras, inclusiones de escoria, etc. en productos metálicos. Si las dimensiones del defecto exceden la longitud de onda del ultrasonido, el pulso ultrasónico se refleja desde el defecto y regresa. Al enviar pulsos ultrasónicos al producto y registrar las señales de eco reflejadas, es posible no solo detectar la presencia de defectos en los productos, sino también juzgar el tamaño y la ubicación de estos defectos. Este método ahora se usa ampliamente en la industria.
Los rayos ultrasónicos direccionales se utilizan ampliamente para fines de ubicación, es decir, para detectar objetos en el agua y determinar la distancia a ellos. Por primera vez, un destacado físico francés mostró la idea de la localización ultrasónica P. Langevin y desarrollado por él durante la Primera Guerra Mundial para detectar submarinos. Actualmente, los principios del sonar se utilizan para detectar icebergs, bancos de peces, etc. Estos métodos también pueden determinar la profundidad del mar debajo del fondo del barco (ecosonda).
Las ondas ultrasónicas de alta amplitud son actualmente muy utilizadas en tecnología para el procesamiento mecánico de materiales sólidos, limpieza de objetos pequeños (partes de mecanismos de reloj, tuberías, etc.) colocados en un líquido, desgasificación, etc.
Mientras crean fuertes pulsaciones de presión en el medio durante su paso, las ondas ultrasónicas provocan una serie de fenómenos específicos: aplastamiento (dispersión) de partículas suspendidas en un líquido, formación de emulsiones, aceleración de los procesos de difusión, activación de reacciones químicas, impacto en la biología. objetos, etc.
6.1 Ondas estacionarias en un medio elástico
Según el principio de superposición, cuando varias ondas se propagan en un medio elástico simultáneamente, se superponen y las ondas no se perturban entre sí: las oscilaciones de las partículas del medio son la suma vectorial de oscilaciones que las partículas realizarían durante el propagación de cada una de las ondas por separado ...
Las ondas que crean vibraciones del medio, cuyas diferencias de fase son constantes en cada punto del espacio, se denominan coherente.
Cuando se agregan ondas coherentes, surge el fenómeno interferencia, que consiste en el hecho de que en algunos puntos del espacio las ondas se refuerzan entre sí, y en otros puntos - se debilitan. Se observa un caso importante de interferencia cuando se superponen dos ondas planas en contrapropagación con la misma frecuencia y amplitud. Las oscilaciones resultantes se denominan onda estacionaria... La mayoría de las veces, las ondas estacionarias surgen cuando una onda viajera se refleja en un obstáculo. En este caso, la onda incidente y la onda reflejada hacia ella, cuando se agregan, dan una onda estacionaria.
Obtengamos la ecuación de una onda estacionaria. Tome dos ondas armónicas planas que se propagan una hacia la otra a lo largo del eje X y tener la misma frecuencia y amplitud:
donde es la fase de oscilaciones de los puntos del medio durante el paso de la primera onda;
- la fase de oscilaciones de los puntos del medio durante el paso de la segunda onda.
Diferencia de fase en cada punto del eje X no dependerá del tiempo, es decir será constante:
Por tanto, ambas ondas serán coherentes.
La oscilación de las partículas del medio que surja como resultado de la adición de las ondas consideradas será la siguiente:
Transformamos la suma de los cosenos de los ángulos según la regla (4.4) y obtenemos:
Habiendo reordenado los factores, obtenemos:
Para simplificar la expresión, elegiremos el origen para que la diferencia de fase y el origen del tiempo para que la suma de las fases sea igual a cero :.
Entonces la ecuación para la suma de ondas tomará la forma:
La ecuación (6.6) se llama ecuación de onda estacionaria... Se puede ver en él que la frecuencia de la onda estacionaria es igual a la frecuencia de la onda viajera, y la amplitud, en contraste con la onda viajera, depende de la distancia desde el origen:
Teniendo en cuenta (6.7), la ecuación de onda estacionaria toma la forma:
Así, los puntos del medio vibran con una frecuencia que coincide con la frecuencia de la onda viajera, y con una amplitud a dependiendo de la posición del punto en el eje X... En consecuencia, la amplitud cambia de acuerdo con la ley del coseno y tiene sus propios máximos y mínimos (Fig. 6.1).
Para representar visualmente la ubicación de los mínimos y máximos de la amplitud, reemplazamos, de acuerdo con (5.29), el número de onda por su valor:
Entonces la expresión (6.7) para la amplitud toma la forma
A partir de aquí, queda claro que la amplitud del desplazamiento es máxima en, es decir, en puntos cuyas coordenadas satisfacen la condición:
De aquí obtenemos las coordenadas de los puntos donde la amplitud del desplazamiento es máxima:
Los puntos donde la amplitud de las oscilaciones del medio es máxima se denominan antinodos de onda.
La amplitud de la onda es cero en los puntos donde. La coordenada de tales puntos, llamada nudos de onda, satisface la condición:
De (6.13) se puede ver que las coordenadas de los nodos tienen valores:
En la Fig. 6.2 muestra una vista aproximada de una onda estacionaria, se marca la ubicación de los nodos y antinodos. Se puede ver que los nodos y antinodos adyacentes del desplazamiento están separados entre sí por la misma distancia.
Encontremos la distancia entre antinodos y nodos vecinos. De (6.12) obtenemos la distancia entre los antinodos:
La distancia entre los nodos se obtiene de (6.14):
De las relaciones obtenidas (6.15) y (6.16) se puede ver que la distancia entre nodos vecinos, así como entre antinodos vecinos, es constante e igual; los nodos y antinosidades se desplazan entre sí por (Fig. 6.3).
A partir de la definición de la longitud de onda, puede escribir la expresión para la longitud de la onda estacionaria: es igual a la mitad de la longitud de la onda viajera:
Escribamos, teniendo en cuenta (6.17), las expresiones para las coordenadas de nodos y antinodos:
El multiplicador que determina la amplitud de la onda estacionaria cambia su signo al cruzar el valor cero, como resultado de lo cual la fase de oscilaciones en diferentes lados del nodo difiere en. En consecuencia, todos los puntos que se encuentran en lados opuestos del nodo oscilan en antifase. Todos los puntos ubicados entre los nodos vecinos oscilan en fase.
Los nodos dividen condicionalmente el entorno en regiones autónomas, en las que las oscilaciones armónicas se producen de forma independiente. No hay transferencia de movimiento entre las regiones y, por lo tanto, no hay desbordamiento de energía entre las regiones. Es decir, no hay transmisión de perturbaciones a lo largo del eje. Por lo tanto, la ola se llama de pie.
Entonces, una onda estacionaria se forma a partir de dos ondas viajeras dirigidas de manera opuesta de frecuencias y amplitudes iguales. Los vectores Umov de cada una de estas ondas son iguales en magnitud y opuestos en dirección, y cuando se suman, dan cero. Por tanto, la onda estacionaria no transporta energía.
6.2 Ejemplos de ondas estacionarias
6.2.1 Onda estacionaria en una cuerda
Considere una cadena de longitud L, fijado en ambos extremos (Fig. 6.4).
Colocamos el eje a lo largo de la cuerda X para que el extremo izquierdo de la cadena tenga la coordenada x = 0 y el correcto es x = L... Las oscilaciones ocurren en la cuerda, descritas por la ecuación:
Anotemos las condiciones de contorno de la cuerda en cuestión. Dado que sus extremos son fijos, entonces en puntos con coordenadas x = 0 y x = L sin dudarlo:
Encontremos la ecuación de vibraciones de la cuerda basada en las condiciones de contorno escritas. Escribamos la ecuación (6.20) para el extremo izquierdo de la cadena teniendo en cuenta (6.21):
La relación (6.23) se mantiene en cualquier momento t en dos casos:
uno. . Esto es posible si no hay vibraciones en la cuerda (). Este caso no es de interés y no lo consideraremos.
2 .. Esta es la fase. Este caso nos permitirá obtener la ecuación de las vibraciones de la cuerda.
Sustituya el valor de fase obtenido en la condición de límite (6.22) para el extremo derecho de la cadena:
Teniendo en cuenta que
de (6.25) obtenemos:
Nuevamente, hay dos casos en los que se satisface la relación (6.27). No consideraremos el caso cuando no hay vibraciones en la cuerda ().
En el segundo caso, la igualdad debe ser verdadera:
y esto es posible solo cuando el argumento seno es un múltiplo entero:
Descartamos el valor, porque en este caso, y esto significaría la longitud de cadena cero ( L = 0) o número nuevo de la ola k = 0... Teniendo en cuenta la relación (6.9) entre el número de onda y la longitud de onda, se puede observar que para que el número de onda sea igual a cero, la longitud de onda debería ser infinita, y esto significaría la ausencia de oscilaciones.
De (6.28) se puede ver que el número de onda durante las vibraciones de una cuerda fija en ambos extremos puede tomar solo ciertos valores discretos:
Teniendo en cuenta (6.9), escribimos (6.30) en la forma:
de donde arrastramos la expresión para las posibles longitudes de onda en la cadena:
En otras palabras, a lo largo de la cadena L debe ajustarse a un número entero norte medias ondas:
Las frecuencias de vibración correspondientes se pueden determinar a partir de (5.7):
Aquí está la velocidad de fase de la onda, dependiendo, según (5.102), de la densidad lineal de la cuerda y la tensión de la cuerda:
Sustituyendo (6.34) en (6.33), obtenemos una expresión que describe las posibles frecuencias de las vibraciones de la cuerda:
Las frecuencias se llaman frecuencias naturales instrumentos de cuerda. Frecuencia (en norte = 1):
son llamados frecuencia fundamental(o tono básico) cadenas. Frecuencias determinadas en n> 1 son llamados matices o Armónicos... El número armónico es n-1... Por ejemplo, la frecuencia:
corresponde al primer armónico, y la frecuencia:
corresponde al segundo armónico, etc. Dado que una cuerda se puede representar como un sistema discreto con un número infinito de grados de libertad, cada armónico es Moda vibraciones de la cuerda. En general, las vibraciones de las cuerdas son una superposición de modos.
Cada armónico tiene su propia longitud de onda. Para el tono principal (en n = 1) longitud de onda:
para el primer y segundo armónico, respectivamente (en n = 2 y n = 3) las longitudes de onda serán:
La figura 6.5 muestra una vista de varios modos de vibración producidos por una cuerda.
Por lo tanto, una cuerda con extremos fijos realiza un caso excepcional dentro del marco de la física clásica: un espectro discreto de frecuencia de vibración (o longitudes de onda). La varilla elástica con uno o ambos extremos sujetos y las oscilaciones de la columna de aire en los tubos se comportan de la misma forma, que se comentará en los apartados siguientes.
6.2.2 Influencia de las condiciones iniciales en el movimiento
cadena continua. análisis de Fourier
Las vibraciones de una cuerda con extremos sujetos, además del espectro discreto de frecuencias de vibración, tienen otra propiedad importante: la forma específica de las vibraciones de la cuerda depende del método de excitación de las vibraciones, es decir. desde las condiciones iniciales. Miremos más de cerca.
La ecuación (6.20), que describe un modo de una onda estacionaria en una cuerda, es una solución particular de la ecuación de onda diferencial (5.61). Dado que la vibración de una cuerda se compone de todos los modos posibles (para una cuerda, un número infinito), entonces la solución general de la ecuación de onda (5.61) se compone de un número infinito de soluciones particulares:
donde I Es el número del modo de vibración. La expresión (6.43) se escribe teniendo en cuenta el hecho de que los extremos de la cadena son fijos:
y también teniendo en cuenta la conexión de frecuencia I-th modo y su número de onda:
Aquí está el número de onda I la moda;
- número de onda del 1er modo;
Encontremos el valor de la fase inicial para cada modo de vibración. Para hacer esto, en el momento del tiempo t = 0 dar a la cuerda la forma descrita por la función F 0 (X), cuya expresión se obtendrá de (6.43):
En la Fig. 6.6 muestra un ejemplo de la forma de una cadena descrita por una función F 0 (X).
En un momento en el tiempo t = 0 la cuerda todavía está en reposo, es decir la rapidez de todos sus puntos es cero. De (6.43) encontramos la expresión para la velocidad de los puntos de la cuerda:
y sustituyéndolo t = 0, obtenemos una expresión para la velocidad de los puntos de la cuerda en el momento inicial de tiempo:
Dado que en el momento inicial de tiempo la rapidez es igual a cero, la expresión (6.49) será igual a cero para todos los puntos de la cuerda, si. De esto se deduce que la fase inicial para todos los modos también es cero (). Teniendo esto en cuenta, la expresión (6.43), que describe el movimiento de la cuerda, toma la forma:
y la expresión (6.47), que describe la forma inicial de la cadena, se ve así:
Una onda estacionaria en una cuerda se describe mediante una función que es periódica en un intervalo en el que es igual a dos longitudes de cuerda (figura 6.7):
Esto se puede ver en el hecho de que la periodicidad en el intervalo significa:
Como consecuencia,
lo que nos lleva a la expresión (6.52).
Se sabe a partir del análisis matemático que cualquier función periódica se puede expandir con alta precisión en una serie de Fourier:
donde ,, son los coeficientes de Fourier.
En nuestro caso, cuando la función es periódica en el intervalo, los coeficientes de Fourier, según, se calculan como:
En matemáticas, en el curso del análisis de Fourier, se muestra que los coeficientes de Fourier obtenidos de esta manera para la expansión de una función periódica son de hecho los coeficientes de expansión de la función F 0 (X).
El análisis de Fourier le permite descomponer la vibración realizada por la cuerda en un espectro, es decir, averigüe qué modos de vibración ocurren realmente con un método dado de excitación de cuerdas.
Considere dos formas de excitar las vibraciones de las cuerdas.
Método 1. En el momento inicial, a la cuerda se le da una forma correspondiente al primer modo de vibración y se describe mediante la función:
Una vez que se suelta la cuerda, comienza a vibrar desde la posición inicial. Los cálculos muestran que los coeficientes de Fourier para este caso son todos iguales a cero, excepto uno, que es igual a la amplitud A:
Con este método de excitación, solo surge un modo de vibración; no hay matices.
Método 2. La cuerda se retrae de la posición de equilibrio en el medio, como ocurre en los instrumentos de cuerda. La forma inicial se muestra en la Fig. 6.8.
La forma de cuerda que se muestra en la fig. 6.8 está descrito por la función:
La función correspondiente a (6.64), y que es periódica en el intervalo, se escribe de la siguiente manera:
En, (6,65)
La forma de la función periódica (6.65) se muestra en la figura 6.9:
Los cálculos muestran que todos los coeficientes de Fourier para dicha función son iguales a cero (incluido el coeficiente). Los primeros tres coeficientes A 1 , A 2 , A 3 son respectivamente iguales:
Como ya se señaló, los coeficientes de Fourier obtenidos de esta manera para la expansión de una función periódica son de hecho los coeficientes de expansión de la función F 0 (X).
Entonces, teniendo en cuenta los tres primeros términos de la serie de Fourier, la función (6.64) se puede representar aproximadamente de la siguiente manera:
Encontramos solo los primeros tres términos de la expansión de Fourier de la función (6.64). Por supuesto, la serie de Fourier obtenida por nosotros (6.69) con un número finito de términos, en nuestro caso igual a tres, puede reproducir la función original solo aproximadamente. Sin embargo, se puede continuar con el cálculo de los coeficientes de Fourier. Resulta que en el caso de las vibraciones que estamos considerando, aparecen muchos armónicos en la cuerda (teóricamente, una serie infinita de armónicos).
Comparando el primer y segundo caso considerado, vemos que en el primero de ellos solo había un modo, y en el segundo hay muchos armónicos.
Así, los casos considerados muestran que la forma específica de vibraciones de una cuerda sujeta por ambos lados depende significativamente del método de excitación de las vibraciones, es decir, de las condiciones iniciales.
Las ondas estacionarias pueden formarse bajo una variedad de condiciones. Este fenómeno es más fácil de demostrar en un espacio reducido. Este efecto se puede lograr combinando dos vibraciones de la misma longitud de onda que se propagan en direcciones opuestas. La interferencia de las dos señales produce una onda resultante que, a primera vista, no se mueve (es decir, se mantiene en pie).
Una condición importante es que la energía debe ingresar al sistema a cierta velocidad. Esto significa que la frecuencia de excitación debe ser aproximadamente igual a la frecuencia de vibración natural. Esto también se conoce como resonancia. Las ondas estacionarias siempre están asociadas con. La aparición de resonancia se puede determinar mediante un fuerte aumento en la amplitud de las oscilaciones resultantes. Se gasta mucha menos energía para crear ondas estacionarias en comparación con las ondas viajeras que tienen las mismas amplitudes.
No olvides que en cualquier sistema donde existan ondas estacionarias, también existen numerosas frecuencias naturales. La variedad de todas las posibles ondas estacionarias se conoce como armónicos del sistema. El más simple de los armónicos se llama fundamental o primero. Las ondas estacionarias posteriores se denominan segunda, tercera, etc. Los armónicos que difieren de los fundamentales a veces se denominan subtextuales.
Tipos de ondas estacionarias
Existen varios tipos de ondas estacionarias, según las características físicas. Todos ellos pueden dividirse aproximadamente en tres grandes grupos: unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.
Las ondas estacionarias unidimensionales aparecen cuando hay un espacio cerrado plano. En este caso, la onda puede propagarse solo en una dirección: desde la fuente hasta el límite del espacio. Hay tres subgrupos de ondas estacionarias unidimensionales: con dos nudos en los extremos, con un nudo en el medio y con un nudo en uno de los extremos de la onda. Un nodo es el punto con la menor amplitud de señal y energía.
Las ondas estacionarias bidimensionales se producen cuando las oscilaciones se propagan en dos direcciones desde la fuente. Después de la reflexión del obstáculo, aparece una onda estacionaria.
Las ondas estacionarias tridimensionales son señales que se propagan en el espacio a una velocidad finita. Los nodos en este tipo de vibración serán superficies bidimensionales. Esto complica enormemente su investigación. Un ejemplo de tales ondas es la órbita de movimiento de un electrón en un átomo.
La importancia práctica de las ondas estacionarias
Las ondas estacionarias son importantes porque el sonido es una combinación de varias vibraciones. El cálculo correcto de la longitud y rigidez de las cuerdas le permite lograr el mejor sonido de un instrumento en particular.
Las ondas estacionarias también son muy importantes. En el método de estudio de partículas mediante espectroscopia de rayos X, el procesamiento de la señal reflejada permite determinar la composición cuantitativa y cualitativa aproximada del objeto.
