En un plano, las rectas se llaman paralelas si no tienen puntos comunes, es decir, no se cortan. Para indicar paralelismo, utilice un icono especial || (líneas paralelas a || b).
Para las líneas que se encuentran en el espacio, el requisito de que no haya puntos comunes no es suficiente: para que sean paralelas en el espacio, deben pertenecer al mismo plano (de lo contrario, se cruzarán).
No hace falta ir muy lejos para encontrar ejemplos de líneas paralelas; nos acompañan a todas partes, en una habitación: son las líneas de intersección de la pared con el techo y el suelo, en una hoja de cuaderno, bordes opuestos, etc.
Es bastante obvio que, teniendo dos rectas paralelas y una tercera paralela a una de las dos primeras, ésta también lo será a la segunda.
Las rectas paralelas en un plano están relacionadas por un enunciado que no se puede probar utilizando los axiomas de planimetría. Se acepta como un hecho, como un axioma: para cualquier punto del plano que no se encuentre sobre una recta, existe una única recta que lo atraviesa paralela a la dada. Todo alumno de sexto grado conoce este axioma.
Su generalización espacial, es decir, la afirmación de que para cualquier punto del espacio que no se encuentra en una línea, existe una única línea que lo atraviesa paralela a la dada, se prueba fácilmente utilizando el ya conocido axioma de paralelismo en el avión.
Propiedades de las rectas paralelas
- Si cualquiera de dos rectas paralelas es paralela a la tercera, entonces son mutuamente paralelas.
Las rectas paralelas tanto en el plano como en el espacio tienen esta propiedad.
Como ejemplo, consideremos su justificación en estereometría.
Supongamos que las líneas b y a son paralelas.
El caso en el que todas las rectas se encuentren en el mismo plano se dejará a la planimetría.
Supongamos que a y b pertenecen al plano beta, y gamma es el plano al que pertenecen a y c (según la definición de paralelismo en el espacio, las líneas rectas deben pertenecer al mismo plano).
Si asumimos que los planos beta y gamma son diferentes y marcamos un cierto punto B en la línea b del plano beta, entonces el plano dibujado a través del punto B y la línea c debe cruzar el plano beta en una línea recta (llamémoslo b1). .
Si la recta resultante b1 cortase el plano gamma, entonces, por un lado, el punto de intersección tendría que estar en a, ya que b1 pertenece al plano beta, y por otro lado, también debería pertenecer a c, ya que b1 pertenece al tercer plano.
Pero las líneas paralelas a y c no deben cruzarse.
Así, la recta b1 debe pertenecer al plano betta y al mismo tiempo no tener puntos comunes con a, por tanto, según el axioma del paralelismo, coincide con b.
Hemos obtenido una recta b1 coincidente con la recta b, que pertenece al mismo plano que la recta c y no la corta, es decir, b y c son paralelas
- Por un punto que no se encuentra en una recta dada, sólo puede pasar una recta paralela a la recta dada.
- Dos rectas situadas en un plano perpendicular a la tercera son paralelas.
- Si el plano corta a una de dos rectas paralelas, la segunda recta también corta al mismo plano.
- Los ángulos internos correspondientes y transversales formados por la intersección de dos rectas paralelas de un tercero son iguales, la suma de los ángulos internos unilaterales formados es 180°.
También son ciertas las afirmaciones inversas, que pueden tomarse como signos del paralelismo de dos rectas.
Condición para líneas paralelas
Las propiedades y características formuladas anteriormente representan las condiciones para el paralelismo de líneas y pueden probarse utilizando los métodos de la geometría. En otras palabras, para demostrar el paralelismo de dos rectas existentes, basta con probar su paralelismo con una tercera recta o la igualdad de los ángulos, ya sean correspondientes o transversales, etc.
Como prueba, utilizan principalmente el método “por contradicción”, es decir, asumiendo que las rectas no son paralelas. Con base en esta suposición, se puede demostrar fácilmente que en este caso se violan las condiciones especificadas, por ejemplo, los ángulos internos que se cruzan resultan desiguales, lo que demuestra que la suposición formulada es incorrecta.
Objetivos de la lección: En esta lección te familiarizarás con el concepto de “rectas paralelas”, aprenderás cómo se puede verificar el paralelismo de las rectas, así como qué propiedades tienen los ángulos formados por rectas paralelas y una transversal.
Lineas paralelas
Sabes que el concepto de “línea recta” es uno de los llamados conceptos indefinibles de geometría.
Ya sabes que dos rectas pueden coincidir, es decir, tener todos los puntos en común, o cruzarse, es decir, tener un punto en común. Las líneas rectas se cruzan en diferentes ángulos, y el ángulo entre las líneas rectas se considera el más pequeño de los ángulos formados por ellas. Un caso especial de intersección puede considerarse el caso de perpendicularidad, cuando el ángulo formado por rectas es igual a 90 0.
Pero dos líneas rectas pueden no tener puntos en común, es decir, no pueden cruzarse. Estas líneas se llaman paralelo.
trabajar con electronica recurso educativo « ».
Para familiarizarse con el concepto de "líneas paralelas", trabaje con los materiales de la lección en video.
Ahora ya conoces la definición de rectas paralelas.
De los materiales del fragmento de la lección en video que aprendió sobre varios tiposÁngulos que se forman cuando dos rectas se cortan con una tercera.
Pares de esquinas 1 y 4; 3 y 2 se llaman esquinas internas unilaterales(se encuentran entre líneas rectas a Y b).
Pares de ángulos 5 y 8; 7 y 6 se llaman esquinas externas de un lado(se encuentran fuera de las líneas a Y b).
Pares de ángulos 1 y 8; 3 y 6; 5 y 4; 7 y 2 se llaman ángulos unilaterales en ángulos rectos a Y b y secante C. Como puedes ver, de un par de ángulos correspondientes, uno se encuentra entre el ángulo recto a Y b, y el otro está fuera de ellos.
Signos de líneas paralelas
Es obvio que utilizando la definición es imposible concluir que dos rectas sean paralelas. Por lo tanto, para concluir que dos rectas son paralelas, utilice señales.
Ya puede formular uno de ellos después de familiarizarse con los materiales de la primera parte de la lección en video:
Teorema 1. Dos rectas perpendiculares a la tercera no se cruzan, es decir, son paralelas.
Te familiarizarás con otros signos de paralelismo de rectas basados en la igualdad de ciertos pares de ángulos trabajando con los materiales de la segunda parte de la videolección."Signos de líneas paralelas".
Por lo tanto, debes conocer tres signos más de líneas paralelas.
Teorema 2 (el primer signo de rectas paralelas). Si cuando dos rectas se cortan transversalmente los ángulos que forman son iguales, entonces las rectas son paralelas.
Arroz. 2. Ilustración para la primera señal paralelismo de líneasRepita el primer signo de líneas paralelas una vez más trabajando con el recurso educativo electrónico. « ».
Así, al demostrar el primer signo de paralelismo de rectas, se utiliza el signo de igualdad de triángulos (en dos lados y el ángulo entre ellos), así como el signo de paralelismo de rectas como perpendicular a una recta.
Ejercicio 1.
Anota en tus cuadernos la formulación del primer signo de rectas paralelas y su demostración.
Teorema 3 (segundo signo de rectas paralelas). Si cuando dos rectas se cortan con una transversal, los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas.
Repita una vez más el segundo signo de líneas paralelas trabajando con el recurso educativo electrónico. « ».
Al demostrar el segundo signo de paralelismo de rectas, se utiliza la propiedad de los ángulos verticales y el primer signo de paralelismo de rectas.
Tarea 2.
Anota en tus cuadernos la formulación del segundo criterio para el paralelismo de rectas y su demostración.
Teorema 4 (tercer signo de rectas paralelas). Si, cuando dos rectas se cruzan con una transversal, la suma de los ángulos unilaterales es igual a 180 0, entonces las rectas son paralelas.
Repita una vez más el tercer signo de líneas paralelas trabajando con el recurso educativo electrónico. « ».
Así, al demostrar el primer signo de paralelismo de rectas, se utiliza la propiedad de los ángulos adyacentes y el primer signo de paralelismo de rectas.
Tarea 3.
Anota en tus cuadernos la formulación del tercer criterio para rectas paralelas y su demostración.
Para practicar la resolución de problemas simples, trabaje con los materiales del recurso educativo electrónico. « ».
Los signos de paralelismo de líneas se utilizan para resolver problemas.
Ahora mire ejemplos de resolución de problemas sobre los signos de líneas paralelas, trabajando con los materiales de la lección en video.“Resolución de problemas sobre el tema “Signos de rectas paralelas”.
Ahora ponte a prueba completando las tareas del recurso educativo electrónico de control. « ».
Cualquiera que quiera trabajar en la resolución de problemas más complejos puede trabajar con los materiales del videotutorial. "Tareas sobre signos de paralelismo de líneas".
Propiedades de las rectas paralelas
Las rectas paralelas tienen un conjunto de propiedades.
Aprenderá cuáles son estas propiedades trabajando con los materiales del videotutorial. "Propiedades de las rectas paralelas".
De este modo, hecho importante Lo que debes saber es el axioma de concurrencia.
Axioma de paralelismo. A través de un punto que no se encuentra en una recta dada, es posible trazar una recta paralela a la dada y, además, solo una.
Como aprendiste en el video tutorial, a partir de este axioma se pueden formular dos consecuencias.
Corolario 1. Si una recta corta a una de las rectas paralelas, entonces también corta a la otra recta paralela.
Corolario 2. Si dos rectas son paralelas a una tercera, entonces son paralelas entre sí.
Tarea 4.
Anotad en vuestros cuadernos la formulación de los corolarios enunciados y sus demostraciones.
Las propiedades de los ángulos formados por rectas paralelas y una transversal son teoremas que son inversos a las propiedades correspondientes.
Entonces, a partir de los materiales de la lección en video, aprendió la propiedad de los ángulos cruzados.
Teorema 5 (teorema inverso al primer criterio para rectas paralelas). Cuando dos rectas paralelas se cortan transversalmente, los ángulos formados son iguales.
Tarea 5.
Repita la primera propiedad de las líneas paralelas una vez más trabajando con el recurso educativo electrónico. « ».
Teorema 6 (teorema inverso al segundo criterio para el paralelismo de rectas). Cuando dos rectas paralelas se cruzan, los ángulos correspondientes son iguales.
Tarea 6.
Anota en tus cuadernos el enunciado de este teorema y su demostración.
Repita la segunda propiedad de las líneas paralelas una vez más trabajando con el recurso educativo electrónico. « ».
Teorema 7 (teorema inverso al tercer criterio para el paralelismo de rectas). Cuando dos rectas paralelas se cruzan, la suma de los ángulos unilaterales es 180 0.
Tarea 7.
Anota en tus cuadernos el enunciado de este teorema y su demostración.
Repita la tercera propiedad de las líneas paralelas una vez más trabajando con el recurso educativo electrónico. « ».
Todas las propiedades de las rectas paralelas también se utilizan para resolver problemas.
Considerar ejemplos típicos resolver problemas trabajando con materiales de lecciones en video “Rectas paralelas y problemas sobre los ángulos entre ellas y la transversal”.
Este capítulo está dedicado al estudio de las rectas paralelas. Se llama así a dos rectas en un plano que no se cortan. Vemos segmentos de rectas paralelas en ambiente- Estos son dos bordes de una mesa rectangular, dos bordes de la cubierta de un libro, dos barras de trolebús, etc. Las líneas paralelas juegan un papel muy importante en la geometría. papel importante. En este capítulo, aprenderá cuáles son los axiomas de la geometría y cuál es el axioma de las rectas paralelas, uno de los axiomas de la geometría más famosos.
En el párrafo 1, notamos que dos líneas tienen un punto común, es decir, se cruzan, o no tienen un solo punto común, es decir, no se cruzan.
Definición
El paralelismo de las líneas a y b se denota de la siguiente manera: a || b.
La Figura 98 muestra las líneas a y b perpendiculares a la línea c. En el párrafo 12, establecimos que dichas líneas a y b no se cruzan, es decir, son paralelas.
Arroz. 98
Junto con las líneas paralelas, a menudo se consideran segmentos paralelos. Los dos segmentos se llaman paralelo, si se encuentran en líneas paralelas. En la Figura 99, los segmentos AB y CD son paralelos (AB || CD), pero los segmentos MN y CD no son paralelos. El paralelismo de un segmento y una recta (Fig. 99, b), un rayo y una recta, un segmento y un rayo, dos rayos (Fig. 99, c) se determina de manera similar.
Arroz. 99 Signos de paralelismo de dos rectas.
La recta con se llama secante en relación con las rectas ayb, si las cruza en dos puntos (Fig. 100). Cuando las líneas a y b se cruzan con la transversal c, se forman ocho ángulos, que se indican con números en la Figura 100. Algunos pares de estos ángulos tienen nombres especiales:
ángulos transversales: 3 y 5, 4 y 6;
ángulos unilaterales: 4 y 5, 3 y 6;
ángulos correspondientes: 1 y 5, 4 y 8, 2 y 6, 3 y 7.
Arroz. 100
Consideremos tres signos de paralelismo de dos rectas asociadas con estos pares de ángulos.
Teorema
Prueba
Sean iguales las líneas que se cruzan a y b transversalmente a los ángulos AB: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).
Demostremos que a || b. Si los ángulos 1 y 2 son rectos (Fig. 101, b), entonces las rectas a y b son perpendiculares a la recta AB y, por tanto, paralelas.
Arroz. 101
Consideremos el caso en el que los ángulos 1 y 2 no son correctos.
Desde el medio O del segmento AB trazamos una OH perpendicular a la recta a (Fig. 101, c). En la recta b desde el punto B trazaremos el segmento ВН 1, igual al segmento AH, como se muestra en la Figura 101, c, y dibujaremos el segmento OH 1. Los triángulos OHA y OH 1 B son iguales en ambos lados y el ángulo entre ellos (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), por lo tanto ∠3 = ∠4 y ∠5 = ∠6. De la igualdad ∠3 = ∠4 se sigue que el punto H 1 se encuentra en la continuación del rayo OH, es decir, los puntos H, O y H 1 se encuentran en la misma línea recta, y de la igualdad ∠5 = ∠6 se sigue que El ángulo 6 es una línea recta (ya que el ángulo 5 es un ángulo recto). Entonces, las líneas a y b son perpendiculares a la línea HH 1, por lo que son paralelas. El teorema ha sido demostrado.
Teorema
Prueba
Sean iguales los ángulos correspondientes cuando las líneas a y b se cruzan con la transversal c, por ejemplo ∠1 =∠2 (Fig. 102).
Arroz. 102
Como los ángulos 2 y 3 son verticales, entonces ∠2 = ∠3. De estas dos igualdades se deduce que ∠1 = ∠3. Pero los ángulos 1 y 3 son transversales, por lo que las líneas a y b son paralelas. El teorema ha sido demostrado.
Teorema
Prueba
Sea la intersección de las rectas a y b con una transversal c la suma de los ángulos unilaterales iguales a 180°, por ejemplo ∠1 + ∠4 = 180° (ver Fig. 102).
Como los ángulos 3 y 4 son adyacentes, entonces ∠3 + ∠4 = 180°. De estas dos igualdades se deduce que los ángulos transversales 1 y 3 son iguales, por lo tanto, las rectas a y b son paralelas. El teorema ha sido demostrado.
Formas prácticas de construir rectas paralelas.
Los signos de líneas paralelas son la base de los métodos de construcción de líneas paralelas utilizando diversas herramientas utilizadas en la práctica. Considere, por ejemplo, el método de construir líneas paralelas usando un cuadrado de dibujo y una regla. Para construir una línea recta que pase por el punto M y sea paralela a una línea dada a, aplicamos un cuadrado de dibujo a la línea recta a y una regla como se muestra en la Figura 103. Luego, moviendo el cuadrado a lo largo de la regla, nos aseguraremos ese punto M está en el lado del cuadrado, y trazar la recta b. Las rectas a y b son paralelas, ya que los ángulos correspondientes, designados en la Figura 103 con las letras α y β, son iguales.
Arroz. 103 La Figura 104 muestra un método para construir líneas paralelas usando una barra transversal. Este método se utiliza en la práctica del dibujo.
Arroz. 104 Se utiliza un método similar al realizar trabajos de carpintería, donde se utiliza un bloque (dos tablas de madera sujetas con una bisagra, Fig. 105) para marcar líneas paralelas.
Arroz. 105
Tareas
186. En la Figura 106, las líneas a y b están intersecadas por la línea c. Demuestre que a || b, si:
a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
segundo) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, y el ángulo 7 es tres veces mayor que el ángulo 3.
Arroz. 106
187. Con base en los datos de la Figura 107, demuestre que AB || DELAWARE.
Arroz. 107
188. Los segmentos AB y CD se cruzan en su punto medio común. Demuestre que las rectas AC y BD son paralelas.
189. Utilizando los datos de la Figura 108, demuestre que BC || ANUNCIO.
Arroz. 108
190. En la Figura 109, AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Demuestre que DE || C.A.
Arroz. 109
191. El segmento BK es la bisectriz del triángulo ABC. Se traza una línea recta que pasa por el punto K y corta al lado BC en el punto M, de modo que BM = MK. Demuestre que las rectas KM y AB son paralelas.
192. En el triángulo ABC, el ángulo A mide 40° y el ángulo ALL, adyacente al ángulo ACB, mide 80°. Demuestre que la bisectriz del ángulo ALL es paralela a la recta AB.
193. En el triángulo ABC, ∠A = 40°, ∠B = 70°. Se traza una recta BD que pasa por el vértice B de modo que el rayo BC es la bisectriz del ángulo ABD. Demuestre que las rectas AC y BD son paralelas.
194. Dibuja un triángulo. A través de cada vértice de este triángulo, usando un cuadrado de dibujo y una regla, dibuja una línea recta paralela al lado opuesto.
195. Dibuja el triángulo ABC y marca el punto D en el lado AC. A través del punto D, utilizando una escuadra y una regla, traza líneas rectas paralelas a los otros dos lados del triángulo.
§ 1. Signos de paralelismo de dos rectas - Geometría grado 7 (Atanasyan L. S.)
Breve descripción:
Aprenderá qué son las líneas paralelas en este párrafo. Obtendrá una definición simple, pero al mismo tiempo algo inusual: dos líneas en un plano se llaman paralelas si no se cruzan. En otras palabras, si dos rectas no se cruzan, entonces serán paralelas. O, si las líneas no tienen puntos de intersección, entonces son paralelas.
Lo inusual de esta definición radica en el hecho de que si hay dos líneas rectas frente a ti y no ves su punto de intersección, esto no significa en absoluto que no exista. Esto significa que es posible que simplemente no lo veas.
Por tanto, esta definición no se puede utilizar directamente para demostrar que dos rectas son paralelas. Después de todo, no se puede seguir infinitamente la continuación de las líneas para asegurarse de que no se crucen.
Pero esto no es necesario. Hay signos por los cuales se puede juzgar el paralelismo de las líneas. Hay tres de ellos. De acuerdo con cada uno de ellos, se consideran ángulos especiales o sus combinaciones, que se forman cuando estas dos rectas en estudio se cruzan con una tercera recta, una secante. Estos ángulos se utilizan para juzgar el paralelismo de líneas rectas.
Las pruebas de estos signos (teoremas sobre el paralelismo de rectas) se basan en el teorema que ya consideraste en el Capítulo 1 del libro de texto: dos rectas perpendiculares a una tercera no se cruzan. Sólo que ahora este teorema parece diferente: dos rectas perpendiculares a la tercera son paralelas.
Signos de paralelismo de dos rectas.
Teorema 1. Si, cuando dos rectas se cruzan con una secante:
los ángulos cruzados son iguales, o
los ángulos correspondientes son iguales, o
la suma de los ángulos de un lado es 180°, entonces
las lineas son paralelas(Figura 1).
Prueba. Nos limitamos a probar el caso 1.
Sean las líneas que se cruzan a y b transversales y los ángulos AB iguales. Por ejemplo, ∠ 4 = ∠ 6. Demostremos que a || b.
Supongamos que las rectas a y b no son paralelas. Luego se cortan en algún punto M y, por tanto, uno de los ángulos 4 o 6 será el ángulo externo del triángulo ABM. Para mayor precisión, sea ∠ 4 el ángulo externo del triángulo ABM y ∠ 6 el interno. Del teorema sobre el ángulo externo de un triángulo se deduce que ∠ 4 es mayor que ∠ 6, y esto contradice la condición, lo que significa que las rectas a y 6 no se pueden cruzar, por lo que son paralelas.
Corolario 1. Dos rectas diferentes en un plano perpendicular a la misma recta son paralelas(Figura 2).
Comentario. La forma en que acabamos de demostrar el caso 1 del Teorema 1 se denomina método de prueba por contradicción o reducción al absurdo. Este método recibió su primer nombre porque al comienzo del argumento se hace una suposición que es contraria (opuesta) a lo que necesita ser probado. Se llama llevar al absurdo debido a que, razonando a partir de la suposición formulada, llegamos a una conclusión absurda (al absurdo). Recibir tal conclusión nos obliga a rechazar el supuesto hecho al principio y aceptar el que faltaba demostrar.
Tarea 1. Construya una recta que pase por un punto dado M y sea paralela a una recta dada a, que no pase por el punto M.
Solución. Trazamos una recta p que pasa por el punto M perpendicular a la recta a (Fig. 3).
Luego trazamos una línea b que pasa por el punto M perpendicular a la línea p. La línea b es paralela a la línea a según el corolario del Teorema 1.
Del problema considerado se desprende una conclusión importante:
a través de un punto que no está en una recta dada, siempre es posible trazar una recta paralela a la dada.
La principal propiedad de las rectas paralelas es la siguiente.
Axioma de rectas paralelas. Por un punto dado que no se encuentra en una recta dada, sólo pasa una recta paralela a la dada.
Consideremos algunas propiedades de las rectas paralelas que se derivan de este axioma.
1) Si una línea corta a una de dos líneas paralelas, entonces también corta a la otra (Fig. 4).
2) Si dos rectas diferentes son paralelas a una tercera recta, entonces son paralelas (Fig. 5).
El siguiente teorema también es cierto.
Teorema 2. Si dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, entonces:
los ángulos transversales son iguales;
los ángulos correspondientes son iguales;
la suma de los ángulos unilaterales es 180°.
Corolario 2. Si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces también es perpendicular a la otra.(ver figura 2).
Comentario. El teorema 2 se llama la inversa del teorema 1. La conclusión del teorema 1 es la condición del teorema 2. Y la condición del teorema 1 es la conclusión del teorema 2. No todo teorema tiene una inversa, es decir, si un teorema dado es verdadero, entonces el teorema inverso puede ser falso.
Expliquemos esto usando el ejemplo del teorema sobre esquinas verticales. Este teorema se puede formular de la siguiente manera: si dos ángulos son verticales, entonces son iguales. El teorema inverso sería: si dos ángulos son iguales, entonces son verticales. Y esto, por supuesto, no es cierto. Dos ángulos iguales No es necesario que quede vertical en absoluto.
Ejemplo 1. Dos rectas paralelas son atravesadas por una tercera. Se sabe que la diferencia entre dos ángulos internos unilaterales es de 30°. Encuentra estos ángulos.
Solución. Deje que la Figura 6 cumpla la condición.
