Vídeotutorial 2: Teorema de las tres perpendiculares. Teoría

Vídeotutorial 3: Teorema de las tres perpendiculares. Tarea

Conferencia: Perpendicularidad de una recta y un plano, signos y propiedades; perpendicular y oblicuo; teorema de tres perpendiculares

Perpendicularidad de una recta y un plano.

Recordemos qué es realmente la perpendicularidad de las líneas. Las rectas que se cortan formando un ángulo de 90 grados son perpendiculares. En este caso, el ángulo entre ellos puede ser en el caso de intersección en algún punto o en el caso de cruce. Si algunas líneas se cruzan en ángulos rectos, también se pueden llamar líneas perpendiculares si, gracias a transferencia paralela la recta se transfiere a un punto de la segunda recta.

Definición: Si una recta es perpendicular a cualquier recta que pertenezca a un plano, entonces se puede considerar perpendicular a este plano.

Firmar: Si en un determinado plano hay dos rectas perpendiculares y una tercera recta es perpendicular a cada una de ellas, entonces esta tercera recta es perpendicular al plano.

Propiedades:

• Si algunas rectas son perpendiculares a un plano, entonces son mutuamente paralelas entre sí.

• Si hay dos planos paralelos, además de alguna recta perpendicular a uno de los planos, entonces también lo es al segundo.
• También es posible hacer la afirmación contraria: si una determinada línea es perpendicular a dos planos diferentes, entonces dichos planos son necesariamente paralelos.

Inclinado

Si alguna línea recta conecta un punto arbitrario que no se encuentra en el plano con ningún punto del plano, entonces esa línea recta se llamará inclinado.

Tenga en cuenta que está inclinado solo si el ángulo entre él y el avión no es de 90 grados.

En la figura, AB está inclinado respecto al plano α. En este caso, el punto B se llama base del inclinado.

Si dibujamos un segmento desde el punto A al plano, que formará un ángulo de 90 grados con el plano, entonces este segmento se llamará perpendicular. Perpendicular también se llama distancia más corta a un plano.

AC es una perpendicular trazada desde el punto A al plano α. En este caso, el punto C se llama base de la perpendicular.

Si en este dibujo dibujamos un segmento que conectará la base de la perpendicular (C) con la base de la inclinada (B), entonces el segmento resultante se llamará proyección.

Como resultado de construcciones simples, obtuvimos un triángulo rectángulo. En este triángulo, el ángulo ABC se llama ángulo entre el oblicuo y la proyección.

Teorema de las tres perpendiculares

Esquema de una lección de geometría en el grado 10 sobre el tema "Perpendicularidad de una línea recta y un plano"

Objetivos de la lección:

educativo

introducción del signo de perpendicularidad de una recta y un plano;

formar ideas de los estudiantes sobre la perpendicularidad de una línea recta y un plano, sus propiedades;

desarrollar la capacidad de los estudiantes para resolver problemas típicos sobre un tema, la capacidad de probar afirmaciones;

desarrollando

desarrollar independencia y actividad cognitiva;

Desarrollar la capacidad de analizar, sacar conclusiones, sistematizar la información recibida,

desarrollar el pensamiento lógico;

Desarrollar la imaginación espacial.

educativo

fomentar la cultura del habla y la perseverancia de los estudiantes;

Inculcar en los estudiantes el interés por el tema.

Tipo de lección: Lección de estudio y consolidación primaria de conocimientos.

Formas de trabajo de los estudiantes: estudio frontal.

Equipo: computadora, proyector, pantalla.

Literatura:"Geometría 10-11", Libro de texto. Atanasyan L.S. y etc.

(2009, 255 págs.)

Plan de estudios:

Organizar el tiempo(1 minuto);

Actualización de conocimientos (5 minutos);

Aprender material nuevo (15 minutos);

Consolidación primaria del material estudiado (20 minutos);

Resumiendo (2 minutos);

Tarea(2 minutos).

Durante las clases.

Momento organizacional (1 minutos)

Saludo a los estudiantes. Comprobar la preparación de los estudiantes para la lección: comprobar la disponibilidad de cuadernos y libros de texto. Control de ausencias a clase.

Actualización de conocimientos (5 minutos)

Maestro. ¿Qué recta se llama perpendicular al plano?

Alumno. Una línea perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano se llama línea perpendicular a este plano.

Maestro. ¿Cuál es el lema de dos rectas paralelas perpendiculares a una tercera?

Alumno. Si una de dos líneas paralelas es perpendicular a la tercera línea, entonces la otra línea es perpendicular a esta línea.

Maestro. Teorema sobre la perpendicularidad de dos rectas paralelas a un plano.

Alumno. Si una de dos rectas paralelas es perpendicular a un plano, entonces la segunda recta es perpendicular a ese plano.

Maestro. ¿Cuál es el recíproco de este teorema?

Alumno. Si dos rectas son perpendiculares al mismo plano, entonces son paralelas.

revisando la tarea

La tarea se revisa si los estudiantes tienen dificultades para resolverla.

Aprender material nuevo (15 minutos)

Maestro. Usted y yo sabemos que si una línea es perpendicular a un plano, entonces será perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, pero en la definición, la perpendicularidad de una línea a un plano se da como un hecho. En la práctica, a menudo es necesario determinar si una línea recta será perpendicular al plano o no. Se pueden dar ejemplos de la vida real: durante la construcción de edificios, los pilotes se hincan perpendicularmente a la superficie de la tierra, de lo contrario la estructura podría colapsar. En este caso, es imposible utilizar la definición de plano perpendicular recto. ¿Por qué? ¿Cuántas líneas rectas se pueden dibujar en un plano?

Alumno. En un plano se pueden dibujar infinitas líneas rectas.

Maestro. Bien. Y es imposible comprobar la perpendicularidad de una línea recta a cada plano individual, ya que esto llevará un tiempo infinitamente largo. Para saber si una recta es perpendicular a un plano, introducimos el signo de perpendicularidad de una recta y un plano. Anótalo en tu cuaderno. Si una línea es perpendicular a dos líneas que se cruzan en un plano, entonces es perpendicular a este plano.

Escribiendo en un cuaderno. Si una línea es perpendicular a dos líneas que se cruzan en un plano, entonces es perpendicular a este plano.

Maestro. Por tanto, no es necesario comprobar la perpendicularidad de una recta para cada plano recto, basta con comprobar la perpendicularidad sólo para dos rectas de este plano.

Maestro. Probemos este signo.

Dado: pag Y q- derecho, pag ∩ q = oh, a⊥ pag, a⊥ q, pag ϵ α, q ϵ α.

Probar: a⊥ α.

Maestro. Y sin embargo, para demostrarlo usaremos la definición de recta perpendicular a un plano, ¿qué te parece?

Alumno. Si una recta es perpendicular a un plano, entonces es perpendicular a cualquier recta que se encuentre en ese plano.

Maestro. Bien. Dibujemos cualquier recta m en el plano α. Dibujemos una línea recta l ║ m que pase por el punto O. En la recta a, marca los puntos A y B de modo que el punto O sea el punto medio del segmento AB. Dibujemos una línea recta z de tal manera que corte a las líneas p, q, l; denotamos los puntos de intersección de estas líneas como P, Q, L, respectivamente. Conectemos los extremos del segmento AB con los puntos P,Q y L.

Maestro. ¿Qué podemos decir de los triángulos ∆APQ y ∆BPQ?

Alumno. Estos triángulos serán iguales (según el tercer signo de igualdad de triángulos).

Maestro. ¿Por qué?

Alumno. Porque Las rectas p y q son bisectrices perpendiculares, entonces AP = BP, AQ = BQ y el lado PQ es común.

Maestro. Bien. ¿Qué podemos decir de los triángulos ∆APL y ∆BPL?

Alumno. Estos triángulos también serán iguales (según 1 signo de igualdad de triángulos).

Maestro. ¿Por qué?

Alumno. AP = B.P., P.L.– lado general, APL =  BPL(de la igualdad ∆ APQ y ∆ B.P.Q.)

Maestro. Bien. Esto significa AL = BL. Entonces, ¿cuál será ∆ALB?

Alumno. Esto significa que ∆ALB será isósceles.

Maestro. LO es la mediana en ∆ALB, entonces, ¿cuál será en este triángulo?

Alumno. Esto significa que LO también será la altura.

Maestro. Por lo tanto rectoyoserá perpendicular a la líneaa. Y como es rectoyoes cualquier línea recta que pertenece al plano α, entonces por definición una línea rectaa⊥ α. Q.E.D.

Probado por presentación

Maestro. ¿Qué hacer si la línea a no cruza el punto O, pero permanece perpendicular a las líneas p y q? ¿Qué pasa si la recta a corta cualquier otro punto del plano dado?

Alumno. Puedes construir una línea recta. 1 , que será paralela a la recta a, cortará el punto O, y usando el lema de dos rectas paralelas perpendiculares a la tercera, se puede demostrar quea 1 ⊥ pag, a 1 ⊥ q.

Maestro. Bien.

Consolidación primaria del material estudiado (20 minutos)

Maestro. Para consolidar el material que hemos estudiado, resolveremos el número 126. Lee la tarea.

Alumno. La recta MB es perpendicular a los lados AB y BC del triángulo ABC. Determine el tipo de triángulo МВD, donde D es un punto arbitrario de la línea AC.

Dibujo.

Dado: ∆ A B C, MEGABYTE.⊥ LICENCIADO EN LETRAS., MEGABYTE.⊥ ANTES DE CRISTO., D ϵ C.A..

Encontrar: ∆ MBD.

Solución.

Maestro. ¿Es posible dibujar un plano que pase por los vértices de un triángulo?

Alumno. Sí tu puedes. El avión se puede dibujar a lo largo de tres puntos.

Maestro. ¿Cómo se ubicarán las líneas rectas BA y NE con respecto a este plano?

Alumno. Estas líneas estarán en este plano.

Maestro. Resulta que tenemos un avión y en él hay dos líneas que se cruzan. ¿Cómo se relaciona el MV directo con estas líneas directas?

Alumno. VM directa⊥ VA, VM ⊥ VS.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. Porque VM⊥ VA, VM ⊥ VS

Maestro. Si una recta es perpendicular a dos rectas que se cruzan en un plano, ¿estará relacionada la recta con este plano?

Alumno. La recta MV será perpendicular al plano ABC.

⊥ABC.

Maestro. El punto D es un punto arbitrario en el segmento AC, entonces, ¿cómo se relaciona la línea recta BD con el plano ABC?

Alumno. Esto significa que BD pertenece al plano ABC.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. Porque BD ϵ ABC

Maestro. ¿Cuáles serán el MV y el BD directos entre sí?

Alumno. Estas líneas serán perpendiculares por definición de línea perpendicular al plano.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔ VM⊥ BD

Maestro. Si MB es perpendicular a BD, ¿cuál será el triángulo MBD?

Alumno. El triángulo MBD será rectangular.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔ ∆MBD – rectangular.

Maestro. Bien. Resolvamos el número 127. Lee la tarea.

Alumno. en un trianguloA B C suma de angulos A Y Bigual a 90°. DerechoBDperpendicular al planoA B C. Pruebalo CD⊥ C.A.

El alumno se acerca al pizarrón. Hace un dibujo.

Escribe en la pizarra y en tu cuaderno.

Dado: ∆ A B C,  A +  B= 90°, BD⊥ A B C.

Probar: CD⊥ C.A..

Prueba:

Maestro. ¿Cuál es la suma de los ángulos de un triángulo?

Alumno. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

Maestro. ¿Cuál será el ángulo C en el triángulo ABC?

Alumno. El ángulo C en el triángulo ABC será igual a 90°.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. C = 180° - A- B= 90°

Maestro. Si el ángulo C mide 90°, ¿cómo se ubicarán las líneas rectas AC y BC entre sí?

Alumno. entonces aire acondicionado⊥ dom.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔ aire acondicionado⊥ sol

Maestro. La recta BD es perpendicular al plano ABC. ¿Qué se sigue de esto?

Alumno. Entonces BD es perpendicular a cualquier recta que parta de ABC.

BD⊥ A B C ↔ BDperpendicular a cualquier rectaA B C(un priorato)

Maestro. Según esto, ¿cómo se relacionarán directamente BD y AC?

Alumno. Esto significa que estas líneas serán perpendiculares.

BD⊥ C.A.

Maestro. AC es perpendicular a dos líneas que se cruzan en el plano DBC, pero AC no pasa por el punto de intersección. ¿Como arreglarlo?

Alumno. Por el punto B trazamos una recta paralela a AC. Dado que AC es perpendicular a BC y BD, entonces a será perpendicular a BC y BD según el lema.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. Por el punto B trazamos una recta a ║AC ↔ a⊥ ANTES DE CRISTO., y ⊥ BD

Maestro. Si la recta a es perpendicular a BC y BD, ¿qué se puede decir acerca de la posición relativa de la recta a y el plano BDC?

Alumno. Esto significa que la recta a será perpendicular al plano BDC y, por tanto, la recta AC será perpendicular a BDC.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔ un⊥ BDC↔ CA ⊥ BDC.

Maestro. Si AC es perpendicular a BDC, ¿cómo se ubicarán las líneas AC y DC entre sí?

Alumno. AC y DC serán perpendiculares por definición de una línea perpendicular al plano.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. Porque C.A.⊥ BDC↔ CA ⊥ corriente continua

Maestro. Bien hecho. Resolvamos el número 129. Lea la tarea.

Alumno. DerechoSOY.perpendicular al plano del cuadradoA B C D, cuyas diagonales se cortan en el punto O. Demuestre que: a) rectaBDperpendicular al planoAmo; b)MES.⊥ BD.

Un estudiante se acerca a la pizarra. Hace un dibujo.

Escribe en la pizarra y en tu cuaderno.

Dado:A B C D- cuadrado,SOY.⊥ A B C D, C.A. ∩ BD = oh

Probar:BD⊥ AMO, MO⊥ BD

Prueba:

Maestro. Necesitamos demostrar que la línea rectaBD⊥ Amo. ¿Qué condiciones deben darse para que esto suceda?

Alumno. tiene que ser recto BD era perpendicular a al menos dos líneas rectas que se cruzaban desde el plano AMO.

Maestro. La condición dice que BD perpendicular a dos líneas que se cruzan¿AMO?

Alumno. No.

Maestro. Pero sabemos que SOY. perpendicular A B C D . ¿Qué conclusión se puede sacar de esto?

Alumno. significa que SOY. perpendicular a cualquier línea recta desde este plano, es decir SOY. perpendicular B.D.

SOY.⊥ A B C D ↔ SOY.⊥ BD(un-priorato).

Maestro. Una recta es perpendicular BD Hay. Preste atención al cuadrado, cómo se ubicarán las líneas rectas entre sí.¿AC y BD?

Alumno. C.A. será perpendicular BD por la propiedad de las diagonales de un cuadrado.

Escribe en la pizarra y en tu cuaderno. PorqueA B C D- cuadrado, entoncesC.A.⊥ BD(por la propiedad de las diagonales de un cuadrado)

Maestro. Encontramos dos líneas que se cruzan en el plano. Amo perpendicular a una recta BD . ¿Qué se sigue de esto?

Alumno. significa que BD perpendicular al plano AMO.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. PorqueC.A.⊥ BDYSOY.⊥ BD ↔ BD⊥ Amo(por atributo)

Maestro. ¿Qué recta se llama recta perpendicular a un plano?

Alumno. Una recta se llama perpendicular a un plano si es perpendicular a cualquier recta procedente de ese plano.

Maestro. Esto significa cómo se interconectan las líneas.¿BD y OM?

Alumno. entonces bd perpendicular om . Q.E.D.

Escriba en la pizarra y en cuadernos. ↔BD⊥ MES.(un-priorato). Q.E.D.

Resumiendo (2 minutos)

Maestro. Hoy estudiamos el signo de perpendicularidad de una recta y un plano. ¿Cómo suena?

Alumno. Si una línea es perpendicular a dos líneas que se cruzan en un plano, entonces esta línea es perpendicular a este plano.

Maestro. Bien. Aprendimos a utilizar esta función al resolver problemas. Enhorabuena a quienes respondieron en el pizarrón y ayudaron desde el lugar.

Tarea (2 minutos)

Maestro. El párrafo 1, párrafos 15 a 17, enseña: lema, definición y todos los teoremas. N° 130, 131.

Dos rectas en el espacio se llaman perpendiculares si el ángulo entre ellas es de 90°.

arroz. 37	Las líneas perpendiculares pueden cruzarse y estar sesgadas. Lema. Si una de dos líneas paralelas es perpendicular a la tercera línea, entonces la otra línea es perpendicular a esta línea. Definición. Una recta se llama perpendicular a un plano si es perpendicular a cualquier recta que se encuentre en el plano. También dicen que el plano es perpendicular a la recta a.
arroz. 38	Si la línea a es perpendicular al plano, entonces obviamente corta a este plano. De hecho, si la línea a no intersectara el plano, entonces estaría en este plano o sería paralela a él. Pero en ambos casos habría rectas en el plano que no son perpendiculares a la recta a, por ejemplo rectas paralelas a ella, lo cual es imposible. Esto significa que la recta a corta al plano.

La relación entre el paralelismo de las líneas y su perpendicularidad al plano.

Signo de perpendicularidad de una recta y un plano.

Notas.

1. Por cualquier punto del espacio pasa un plano perpendicular a una recta dada y, además, la única.
2. Por cualquier punto del espacio pasa una recta perpendicular a un plano dado, y sólo uno.
3. Si dos planos son perpendiculares a una recta, entonces son paralelos.

Problemas y pruebas sobre el tema "Tema 5. "Perpendicularidad de una recta y un plano".

• Perpendicularidad de una recta y un plano.
• Ángulo diedro. Perpendicularidad de los planos. - Perpendicularidad de rectas y planos, grado 10

  Lecciones: 1 Asignaciones: 10 Pruebas: 1

• Perpendicular y oblicua. Ángulo entre una recta y un plano - Perpendicularidad de rectas y planos, grado 10

  Lecciones: 2 Asignaciones: 10 Pruebas: 1

• Paralelismo de rectas, recta y plano. - Paralelismo de rectas y planos, grado 10

  Lecciones: 1 Asignaciones: 9 Pruebas: 1

• Lineas perpendiculares - Información geométrica básica 7mo grado.

  Lecciones: 1 Asignaciones: 17 Pruebas: 1

El material sobre el tema resume y sistematiza la información que conoces de la planimetría sobre la perpendicularidad de las rectas. Es recomendable combinar el estudio de teoremas sobre la relación entre paralelismo y perpendicularidad de rectas y planos en el espacio, así como del material sobre las perpendiculares e inclinadas, con la repetición sistemática del material correspondiente de la planimetría.

Las soluciones a casi todos los problemas de cálculo se reducen a la aplicación del teorema de Pitágoras y sus consecuencias. En muchos problemas, la posibilidad de utilizar el teorema de Pitágoras o sus corolarios se justifica por el teorema de las tres perpendiculares o las propiedades del paralelismo y perpendicularidad de los planos.

GEOMETRÍA
Planes de lecciones para el décimo grado

Sujeto. Propiedades de una recta y un plano perpendiculares entre sí

Objetivo de la lección: desarrollar el conocimiento de los estudiantes sobre las propiedades de las rectas y planos perpendiculares.

Equipo: conjunto estereométrico, diagrama “Propiedades de las rectas y los planos perpendiculares entre sí” (p. 116).

durante las clases

I. Revisar la tarea

1. Discusión colectiva sobre la solución al problema No. 10.

2. Dictado matemático.

Se proporciona una imagen de un cubo: opción 1 - fig. 151, opción 2 - fig. 152.

Usando la imagen, escribe:

1) un plano que pasa por el punto M de la recta AM y es perpendicular a él; (2 puntos)

2) una línea recta perpendicular al plano ABC y que pasa por el punto D; (2 puntos)

3) una línea recta perpendicular al plano ABC y que pasa por el punto N; (2 puntos)

4) un plano perpendicular a la recta BD; (2 puntos)

5) líneas rectas perpendiculares al plano AMC; (2 puntos)

6) planos que son perpendiculares a la recta DC. (2 puntos)

Opción 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (AFM); 5) BD y KN; 6) (ADK) y (BCL).

Opción 2. 1) (MNK); 2) licencia de conducir; 3) CN; 4) (AFM); 5) BD y KL; 6) (BCN) y (ADM).

II. Percepción y conciencia de material nuevo.

Propiedades de una recta y un plano perpendiculares entre sí

Teorema 1.

Si un plano es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces también lo es a la segunda.

Refinamiento

Sea a1 || a2 y a1α. Demostremos que αа2 (Fig. 153). Los puntos A1 y A2 son los puntos de intersección de a1 y a2 con el plano α.

En el plano α, por el punto A2 trazamos una recta arbitraria x2, y por el punto A1, una recta x1 tal que x1 || x2. Desde a1 || a2, x1 || x2 y a1x1, luego por el Teorema 3.1 a2x2. Dado que x2 se elige arbitrariamente en el plano α, entonces a2α.

Teorema 2.

Si dos rectas son perpendiculares al mismo plano, entonces las rectas son paralelas.

Refinamiento

Sea aα, b α . Demostremos que a || b (Figura 154). Supongamos que ab . Luego por el punto C de la recta b trazamos b 1 paralelo a a. Y dado que α , entonces b1α por el teorema probado y por la condición bα . Si los puntos A y B son los puntos de intersección de las líneas b 1 y b con el plano α, entonces se sigue del supuesto de que en el triángulo A = B = 90°, lo cual no puede ser. Por lo tanto, un || b.

resolución de problemas

1. Determine el tipo de cuadrilátero AA 1B 1B si:

a) AA1α; AA1 || BB1; Aα, Bα; AA 1 ≠ BB1 (Fig. 155);

b) AA1α; BB1α; α, Bα (Fig. 156);

c) α; α; AA1α; BB1α; AA1 = BB1 (Fig. 156).

2. Problema número 12 del libro de texto (pág. 35).

3. Problema número 13 del libro de texto (pág. 35).

4. Problema número 16 del libro de texto (pág. 35).

Teorema 3.

Si una recta es perpendicular a uno de dos planos paralelos, entonces también lo es al segundo.

Refinamiento

Sea α || β, aα. Demostremos que α β . (Figura 157). Sean los puntos A y B los puntos de intersección de la recta a con los planos α y β. En el plano β, dibuje una línea recta arbitraria b que pase por el punto B. Por la recta b y el punto A trazamos un plano γ, que corta a α a lo largo de la recta c, y con || b. Y desde α, entonces ac (por definición de línea perpendicular al plano). Entonces ac, b || c y a, b, c se encuentran en γ, luego ab. Considerando que b es una recta arbitraria del plano β, tenemos aβ.

Teorema 4.

Si dos planos son perpendiculares a la misma recta, entonces son paralelos.

Refinamiento

Sean α y β a, demostremos que α || β (Figura 158). Sean los puntos A y B los puntos de intersección de la recta a con los planos α y β. Supongamos que α β . Tomemos el punto C en la línea de intersección de los planos α y β. Ca, porque de lo contrario pasarían por el punto C, perpendicular a la recta a, dos planos diferentes α y β, lo cual es imposible. Dibujemos un plano γ que pase por el punto C y la recta a; este plano corta a α y β por las rectas AC y BC, respectivamente. Y como α, entonces aAC, similar a aBC. En consecuencia, en el plano α, dos rectas diferentes AC y BC pasan por el punto C, perpendicular a la recta a, lo cual es imposible. Por lo tanto α || β.

resolución de problemas

1. Sea ABCD un rectángulo, BSAB, AMAB (Fig. 159). ¿Cómo están ubicados los aviones AMD y BSC?

2. B1β; AA1α, AA1β; B B1 || AA1; AA1 = 12 cm, A1B = 13 cm (Fig. 160). Encuentre AB.

Definición. Un plano recto que se cruza se llama perpendicular a este plano si es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentra en el plano dado y pasa por el punto de intersección.
Firmar Perpendicularidad de una recta y un plano. Si una línea es perpendicular a dos líneas que se cruzan en un plano, entonces es perpendicular a este plano.
Prueba. Dejar A– línea recta perpendicular a líneas rectas b Y Con perteneciente al avion a. A es el punto de intersección de las rectas. En plano a trazar una línea recta que pase por el punto A d, no coincidiendo con líneas rectas b Y Con. Ahora en avión a hagamos un directo k, intersectando las líneas d Y Con y no pasando por el punto A. Los puntos de intersección son D, B y C respectivamente, graficémoslo en una línea recta. A V lados diferentes desde el punto A hay segmentos iguales AA 1 y AA 2. El triángulo A 1 CA 2 es isósceles, porque la altura AC es también la mediana (característica 1), es decir A1C=CA2. De manera similar, en el triángulo A 1 BA 2 los lados A 1 B y BA 2 son iguales. Por tanto, los triángulos A 1 BC y A 2 BC son iguales según el tercer criterio. Por tanto, los ángulos A 1 BC y A 2 BC son iguales. Esto significa que los triángulos A 1 BD y A 2 BD son iguales según el primer criterio. Por lo tanto, A 1 D y A 2 D. Por tanto, el triángulo A 1 DA 2 es isósceles por definición. En un triángulo isósceles A 1 D A 2 D A es la mediana (por construcción) y, por tanto, la altura, es decir, el ángulo A 1 AD es recto y, por tanto, recto. A perpendicular a una recta d. Por lo tanto se puede demostrar que la recta A perpendicular a cualquier recta que pase por el punto A y pertenezca al plano a. De la definición se deduce que la línea recta A perpendicular al plano a.

Construcción Línea recta perpendicular a un plano dado desde un punto fuera de este plano.
Dejar a- plano, A – el punto desde el cual se debe bajar la perpendicular. Dibujemos una línea recta en el avión. A. Por el punto A y la recta A dibujemos un avión b(una recta y un punto definen un plano, y sólo uno). En plano b desde el punto A bajamos a una línea recta A perpendicular AB. Del punto B al avión a Restablezcamos la perpendicular y designemos la línea recta en la que se encuentra esta perpendicular más allá Con. Por el segmento AB y la recta Con dibujemos un avión gramo(dos líneas que se cruzan definen un plano, y solo una). En plano gramo desde el punto A bajamos a una línea recta Con perpendicular a AC. Demostremos que el segmento AC es perpendicular al plano. b. Prueba. Derecho A perpendicular a rectas Con y AB (por construcción), lo que significa que es perpendicular al plano mismo gramo, en el que se encuentran estas dos líneas que se cruzan (basado en la perpendicularidad de la línea y el plano). Y como es perpendicular a este plano, entonces es perpendicular a cualquier línea recta en este plano, lo que significa que es una línea recta. A perpendicular a AC. La línea AC es perpendicular a dos líneas que se encuentran en el plano α: Con(por construcción) y A(según lo comprobado), significa que es perpendicular al plano α (en base a la perpendicularidad de la recta y el plano)

Teorema 1 . Si dos rectas que se cortan son paralelas a dos rectas perpendiculares, entonces también son perpendiculares.
Prueba. Dejar A Y b- lineas perpendiculares, A 1 y b 1 - líneas que se cruzan paralelas a ellas. Demostremos que las rectas A 1 y b 1 son perpendiculares.
si es heterosexual A, b, A 1 y b 1 se encuentran en el mismo plano, entonces tienen la propiedad especificada en el teorema, como se sabe por planimetría.
Supongamos ahora que nuestras líneas no se encuentran en el mismo plano. Entonces recto A Y b se encuentran en algún plano α, y las líneas rectas A 1 y b 1 - en algún plano β. Según el paralelismo de los planos, los planos α y β son paralelos. Sea C el punto de intersección de las rectas A Y b, y C 1 - intersecciones de líneas A 1 y b 1 . Dibujemos en el plano líneas paralelas. A Y A A Y A 1 en los puntos A y A 1. En el plano de rectas paralelas. b Y b 1 recta paralela a la recta CC 1. Ella cruzará las líneas b Y b 1 en los puntos B y B 1.
Los cuadriláteros CAA 1 C 1 y SVV 1 C 1 son paralelogramos, ya que sus lados opuestos son paralelos. El cuadrilátero ABC 1 A 1 también es un paralelogramo. Sus lados AA 1 y BB 1 son paralelos, porque cada uno de ellos es paralelo a la recta CC 1. Por tanto, el cuadrilátero se encuentra en el plano que pasa por las rectas paralelas AA 1 y BB 1. y ella cruza planos paralelosα y β a lo largo de líneas paralelas AB y A 1 B 1.
Dado que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales, entonces AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Según el tercer signo de igualdad, los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son iguales. Entonces, el ángulo A 1 C 1 B 1, igual al ángulo DIA, directo, es decir. derecho A 1 y b 1 son perpendiculares. Etc.

Propiedades Perpendicular a una recta y a un plano.
Teorema 2 . Si un plano es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces también lo es a la otra.
Prueba. Dejar A 1 y A 2 - dos rectas paralelas y α - un plano perpendicular a la recta A 1 . Demostremos que este plano es perpendicular a la recta. A 2 .
Dibujemos 2 intersecciones de una recta que pasa por el punto A. A 2 con plano α una recta arbitraria Con 2 en el plano α. Dibujemos en el plano α que pasa por el punto A 1 la intersección de la recta A 1 con plano α recto Con 1, paralela a la línea Con 2. ya que es recto A 1 es perpendicular al plano α, luego líneas rectas A 1 y Con 1 son perpendiculares. Y según el teorema 1, las líneas que se cruzan paralelas a ellas A 2 y Con 2 también son perpendiculares. Así, directamente A 2 es perpendicular a cualquier recta Con 2 en el plano α. Y esto significa que directamente A 2 es perpendicular al plano α. El teorema ha sido demostrado.

Teorema 3 . Dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas entre sí.
Tenemos un plano α y dos rectas perpendiculares a él. A Y b. Probemos que A || b.
A través de los puntos de intersección de las líneas rectas del avión, traza una línea recta. Con. Según la característica que obtenemos A ^ C Y b ^ C. A través de líneas rectas A Y b Dibujemos un plano (dos rectas paralelas definen un plano, y solo una). En este plano tenemos dos rectas paralelas A Y b y secante Con. Si la suma de los ángulos internos de un lado es 180°, entonces las rectas son paralelas. Tenemos un caso así: dos ángulos rectos. Es por eso A || b.