घर जामुन गेंद को एक प्रिज्म के पास वर्णित किया गया है। सीधा प्रिज्म (आयताकार नियमित)। बॉल सेंटर पोजीशन पर सामान्य नोट्स

जामुन

गेंद को एक प्रिज्म के पास वर्णित किया गया है। सीधा प्रिज्म (आयताकार नियमित)। बॉल सेंटर पोजीशन पर सामान्य नोट्स

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पॉलीहेड्रा के चारों ओर वर्णित गोले।

परिभाषा। एक पॉलीहेड्रॉन को एक गोले में खुदा हुआ कहा जाता है (और गोले को एक पॉलीहेड्रॉन के चारों ओर परिचालित किया जाता है) यदि पॉलीहेड्रॉन के सभी कोने इस गोले से संबंधित हों। परिणाम। वर्णित गोले का केंद्र पॉलीहेड्रॉन के सभी शीर्षों से समान दूरी पर स्थित एक बिंदु है। ओ ओ ओ. ... ...

प्रमेय 1। दो दिए गए बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह एक खंड के लिए लंबवत एक विमान है, जो इन बिंदुओं पर समाप्त होता है, जो इसके मध्य बिंदु (इस खंड के लंबवत का विमान) से गुजरता है। एबी α एओ = ओबी α ए बी ओ

प्रमेय 2। एक वृत्त पर स्थित n दिए गए बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समूह इन बिंदुओं के तल के लंबवत और उनके चारों ओर परिबद्ध वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली एक रेखा है। सी ई ए बी डी ओ ए. ... ... ... ... ... सी ई ए बी डी। ... ... ... ...

एक गोले में खुदा हुआ प्रिज्म। ओए = ओबी =… = ओएक्स = आर सपा। ओ 1. ओ ओ एसएफ ए 1 ए .ए 1 .बी 1 .सी 1 .डी 1 ई 1. एक्स 1. .ए.बी.सी.डी.ई.एक्स.एएक 1. ओ हे 1

परिणाम। 1) एक सीधे त्रिभुजाकार प्रिज्म के निकट एक गोले का वर्णन किया जा सकता है, क्योंकि आप हमेशा त्रिभुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं। 2) किसी भी सही प्रिज्म के पास एक गोले का वर्णन किया जा सकता है, क्योंकि एक नियमित प्रिज्म सीधा होता है और एक वृत्त को हमेशा एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के पास वर्णित किया जा सकता है। ओ ओ ...

समस्या संख्या 1। गेंद को एक प्रिज्म के पास वर्णित किया गया है, जिसके आधार पर 6 और 8 पैरों वाला एक समकोण त्रिभुज है। प्रिज्म का पार्श्व किनारा 24 है। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। दिया है: ABC - आयताकार; एसी = 6, बीसी = 8, एए 1 = 24। खोजें: आर डब्ल्यू =? हल: 1) OO 1 AB 1; ओओ 1 = एए 1 = 24। 2) एबीसी: एबी = 10. 3) ओ डब्ल्यू ओबी: आर डब्ल्यू = ओ डब्ल्यू बी = OO डब्ल्यू 2 + ओबी 2 = = √144 + 25 = 13 उत्तर: 13. ओ 1 ओ.. ... आर डब्ल्यू ओ डब्ल्यू एस 1 बी 1 ए 1 ए सी बी

समस्या संख्या 3. आयताकार समांतर चतुर्भुज के आयाम 2,3 और 5 हैं। परिबद्ध गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। दिया गया है: AB = a = 2; बीसी = बी = 3; सीसी 1 = सी = 5। खोजें: आर डब्ल्यू =? हल: 1) एसी 2 = ए 2 + बी 2 + सी 2। 2) ए 1 सी 2 = 25 + 9 + 4 = 38 (एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्णों की संपत्ति) 3) ए 1 सी = √38; आर डब्ल्यू = ओ डब्ल्यू सी = √38/2 उत्तर: √38/2 डी 1 सी 1 बी 1 ए 1 ए बी सी डी 5 2 3। ... ... ओउ

समस्या संख्या 3. एक नियमित त्रिभुजाकार प्रिज्म की आधार भुजा a है और भुजा का किनारा 2 a है। वर्णित गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। दिया है: AB = BC = AC = a, AA 1 ABC; एए 1 = 2ए। खोजें: आर डब्ल्यू =? हल: 1) AB = AO √3; एओ = ए / √3। 2) आर डब्ल्यू = √ ए 2 + ए 2/3 = 2 ए / √ 3 उत्तर: 2 ए / 3 सी 1 बी ए 1 सी बी 1 ए ओ डब्ल्यू आर डब्ल्यू। ओ ओ 1

परिणाम। 1) एक गोले को हमेशा त्रिभुजाकार पिरामिड के पास वर्णित किया जा सकता है, क्योंकि एक वृत्त को हमेशा एक त्रिभुज के पास वर्णित किया जा सकता है। 2) एक गोले को हमेशा एक नियमित पिरामिड के पास वर्णित किया जा सकता है। 3) यदि पिरामिड के किनारे समान हैं (समान रूप से आधार की ओर झुके हुए हैं), तो ऐसे पिरामिड के पास हमेशा एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। * पिछले दो मामलों में, गोले का केंद्र पिरामिड की ऊंचाई वाली सीधी रेखा पर स्थित है। ओ ओ

कार्य (पिरामिड के चारों ओर वर्णित क्षेत्र)। पिरामिड PABC के पास एक गेंद का वर्णन किया गया है, जिसका आधार एक समबाहु त्रिभुज ABC है जिसकी भुजा 4√3 है। पार्श्व किनारा PA पिरामिड के आधार के तल के लंबवत है और 6 के बराबर है। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। दिया गया है: AB = BC = AC = 4 √3; पीए (एबीसी); पीए = 6. खोजें: आर डब्ल्यू =? हल: 1) OO SF ┴ (ABC); O एक वृत्त का केंद्र है जो ABC के चारों ओर परिबद्ध है; के ओ एसएफ पीए; केपी = एके (केओ एसएफ साइड किनारे पीए के मध्य लंबवत में से एक); O SF वर्णित गोले का केंद्र है। 2) ओओ एसएफ ┴ (एबीसी); ओओ एसएफ (एकेओ) से संबंधित है; पीए (एबीसी); एके (एकेओ) से संबंधित है; मतलब केए || ओओ एसएफ; ... हे एस.एफ. ओ के पी ए बी सी

कार्य (पिरामिड के चारों ओर वर्णित क्षेत्र)। 3) केओ सी एफ एपी; KO c f (AOK) से संबंधित है; एओ एपी; एओ (एओके) से संबंधित है; मतलब केओ सी || एओ; 4) (2) और (3) से: AOO c K-आयत, AK = PA / 2 = 3; 5) एओ = एबी / √3 = 4; 6) एओ ओ सी एफ: एओ सी एफ = आर डब्ल्यू = 5 उत्तर: 5

कार्य (पिरामिड के चारों ओर वर्णित क्षेत्र)। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, पार्श्व पसली 45 के कोण पर आधार की ओर झुकी होती है। पिरामिड की ऊंचाई h है। परिबद्ध गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। दिया गया है: पीएबीसीडी - नियमित पिरामिड; (एपी ^ (एबीसी)) = 45 ˚; पीओ = एच। खोजें: आर डब्ल्यू =? हल: 1) एओ = ओपी = एच; एपी = एच √ 2; 2) PAP 1 - आयताकार; पीपी 1 गेंद का व्यास है; पीपी 1 = 2 आर डब्ल्यू; एपी 2 = पीपी 1 * ओपी; (एच √ 2) 2 = 2 आर डब्ल्यू * एच; आर डब्ल्यू = 2एच 2/2 एच = एच। उत्तर: एच। सी। बी ए। डी। पी। पी 1। हे

कार्य (पिरामिड के चारों ओर वर्णित क्षेत्र)। अपने आप। एक नियमित चतुष्फलक के परितः परिबद्ध गोले की त्रिज्या R है। चतुष्फलक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

कार्य (पिरामिड के चारों ओर वर्णित क्षेत्र)। अपने आप। दिया गया है: DABC - नियमित चतुष्फलक; R गोले की त्रिज्या है। खोजें: एस पूर्ण tetr। =? समाधान: 1) चूँकि चतुष्फलक सही है, वर्णित गोले का केंद्र पिरामिड की ऊँचाई वाली सीधी रेखा के अंतर्गत आता है; 2) एस पूर्ण tetr। = एक 2 3/4 * 4 = एक 2 3; 3) अंक डी, ए, डी 1 एक ही सर्कल से संबंधित हैं - विमान डीएडी 1 द्वारा गोले का खंड, इसलिए कोण डीएडी 1 व्यास के आधार पर खुदा हुआ कोण है, डीडी 1; कोण डीएडी 1 = 90 ; 4) AO - ऊँचाई ADD 1, समकोण के शीर्ष से खींची गई। एडी 2 = डीओ * डीडी 1; 5) एओ = ए / 3; डीओ = √ ए 2 -ए 2/3 = ए 2 / √ 3; ए 2 = ए 2 / √ 3 * 2 आर; ए = 2 / 3 * 2R; ए 2 = 8आर 2/3; .D 1 .D.O .B .C A. a a

कार्य (पिरामिड के चारों ओर वर्णित क्षेत्र)। अपने आप। 6) एस पूर्ण tetr। = 8R 2 √ 3/3 उत्तर: 8R 2 √ 3/3

11 वीं कक्षा के ज्यामिति पाठ्यक्रम में "पॉलीहेड्रा, सिलेंडर, शंकु और गेंद के लिए विभिन्न समस्याएं" विषय सबसे कठिन है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करने से पहले, वे आमतौर पर सिद्धांत के प्रासंगिक वर्गों का अध्ययन करते हैं, जिन्हें समस्याओं को हल करते समय संदर्भित किया जाता है। एस। अतानासियन एट अल द्वारा पाठ्यपुस्तक में। इस विषय पर (पृष्ठ 138), एक गोले के चारों ओर वर्णित एक पॉलीहेड्रॉन की केवल परिभाषाएँ पा सकते हैं, एक गोले में खुदा हुआ एक पॉलीहेड्रॉन, एक पॉलीहेड्रॉन में खुदा हुआ एक गोला, और एक क्षेत्र का वर्णन किया गया है। एक बहुफलक के पास। इस पाठ्यपुस्तक के लिए पद्धति संबंधी सिफारिशें (एस.एम. सहक्यान और वी.एफ.बुटुज़ोव, पी। 159) द्वारा "10-11 ग्रेड में ज्यामिति का अध्ययन" पुस्तक देखें) कहती है कि समस्याओं को हल करते समय निकायों के कौन से संयोजनों पर विचार किया जाता है। संख्या 629-646 , और ध्यान आकर्षित किया जाता है इस तथ्य के लिए कि "किसी विशेष समस्या को हल करते समय, सबसे पहले, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि छात्रों को स्थिति में इंगित निकायों की पारस्परिक व्यवस्था का एक अच्छा विचार है"। समस्या संख्या 638 (ए) और संख्या 640 का समाधान निम्नलिखित है।

उपरोक्त सभी को ध्यान में रखते हुए, और यह तथ्य कि छात्रों के लिए सबसे कठिन कार्य अन्य निकायों के साथ एक गेंद के संयोजन की समस्याएं हैं, संबंधित सैद्धांतिक प्रावधानों को व्यवस्थित करना और उन्हें छात्रों तक पहुंचाना आवश्यक है।

परिभाषाएँ।

1. एक पॉलीहेड्रॉन में एक गेंद को खुदा हुआ कहा जाता है, और एक पॉलीहेड्रॉन को एक गेंद के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि गेंद की सतह पॉलीहेड्रॉन के सभी चेहरों को छूती है।

2. एक गेंद को एक पॉलीहेड्रॉन के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है, और एक पॉलीहेड्रॉन को एक गेंद में खुदा हुआ कहा जाता है यदि गेंद की सतह पॉलीहेड्रॉन के सभी शीर्षों से होकर गुजरती है।

3. एक बेलन में एक गेंद को अंकित कहा जाता है, एक छोटा शंकु (शंकु), और एक बेलन, एक छोटा शंकु (शंकु), गेंद के पास वर्णित किया जाता है यदि गेंद की सतह आधारों (आधार) और सभी जेनरेटर को छूती है सिलेंडर, छोटा शंकु (शंकु)।

(इस परिभाषा से यह इस प्रकार है कि गेंद के महान चक्र को इन निकायों के किसी भी अक्षीय खंड में अंकित किया जा सकता है)।

4. यदि आधार वृत्त (आधार वृत्त और शीर्ष) गेंद की सतह से संबंधित हैं, तो एक बेलन के चारों ओर परिबद्ध एक गेंद को एक छोटा शंकु (शंकु) कहा जाता है।

(इस परिभाषा से यह इस प्रकार है कि इन निकायों के किसी भी अक्षीय खंड के बारे में गेंद के एक बड़े सर्कल की परिधि का वर्णन किया जा सकता है)।

गेंद के केंद्र की स्थिति के बारे में सामान्य टिप्पणी।

1. पॉलीहेड्रॉन में खुदी हुई गेंद का केंद्र पॉलीहेड्रॉन के सभी डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमानों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होता है। यह केवल पॉलीहेड्रॉन के अंदर स्थित होता है।

2. पॉलीहेड्रॉन के चारों ओर परिचालित गेंद का केंद्र पॉलीहेड्रॉन के सभी किनारों के लंबवत विमानों के चौराहे पर स्थित होता है और उनके मध्य बिंदुओं से गुजरता है। यह अंदर, सतह पर और पॉलीहेड्रॉन के बाहर स्थित हो सकता है।

एक प्रिज्म के साथ गेंद का संयोजन।

1. सीधे प्रिज्म में खुदी हुई गेंद।

प्रमेय 1। एक गेंद को सीधे प्रिज्म में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल अगर एक सर्कल को प्रिज्म के आधार में अंकित किया जा सकता है, और प्रिज्म की ऊंचाई इस सर्कल के व्यास के बराबर है।

कोरोलरी 1.एक सीधे प्रिज्म में खुदी हुई गेंद का केंद्र आधार में खुदे हुए वृत्त के केंद्र से गुजरते हुए प्रिज्म की ऊंचाई के बीच में स्थित होता है।

कोरोलरी 2.गेंद, विशेष रूप से, सीधी रेखाओं में अंकित की जा सकती है: त्रिकोणीय, नियमित, चतुर्भुज (जिसमें आधार के विपरीत पक्षों के योग एक दूसरे के बराबर होते हैं), बशर्ते एच = 2 आर, जहां एच प्रिज्म की ऊंचाई है , r आधार में अंकित वृत्त की त्रिज्या है।

2. एक प्रिज्म के चारों ओर घिरी हुई गेंद।

प्रमेय 2। एक गेंद को एक प्रिज्म के पास वर्णित किया जा सकता है यदि और केवल अगर प्रिज्म सीधा है और इसके आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

परिणाम 1... एक सीधे प्रिज्म के बारे में वर्णित गेंद का केंद्र आधार के बारे में वर्णित सर्कल के केंद्र के माध्यम से खींची गई प्रिज्म की ऊंचाई के बीच में स्थित है।

कोरोलरी 2.गेंद, विशेष रूप से, वर्णित किया जा सकता है: एक सीधे त्रिकोणीय प्रिज्म के पास, एक नियमित प्रिज्म के पास, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के पास, एक सीधे चतुर्भुज प्रिज्म के पास, जिसमें आधार के विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

एक प्रिज्म के साथ गेंद के संयोजन पर एल.एस. अतानासियन की पाठ्यपुस्तक से, कोई समस्या संख्या 632, 633, 634, 637 (ए), 639 (ए, बी) का सुझाव दे सकता है।

एक पिरामिड के साथ एक गेंद का संयोजन।

1. पिरामिड के चारों ओर वर्णित एक गेंद।

प्रमेय 3. एक गेंद को पिरामिड के पास वर्णित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब उसके आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

कोरोलरी 1.एक पिरामिड के चारों ओर परिचालित एक गेंद का केंद्र इस आधार के चारों ओर घिरे वृत्त के केंद्र से गुजरने वाले पिरामिड के आधार के लंबवत एक सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु पर स्थित होता है और बीच में खींचे गए किसी भी पार्श्व किनारे के लिए एक विमान लंबवत होता है। यह किनारा।

कोरोलरी 2.यदि पिरामिड के किनारे के किनारे एक दूसरे के बराबर हैं (या आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं), तो ऐसे पिरामिड के चारों ओर एक गेंद का वर्णन किया जा सकता है। इस मामले में इस गेंद का केंद्र चौराहे के बिंदु पर स्थित है समतल पार्श्व पसली और ऊँचाई में स्थित पार्श्व किनारे की समरूपता की धुरी के साथ पिरामिड की ऊँचाई (या इसकी निरंतरता)।

कोरोलरी 3.गेंद, विशेष रूप से, वर्णित किया जा सकता है: एक त्रिकोणीय पिरामिड के पास, एक नियमित पिरामिड के पास, एक चतुर्भुज पिरामिड के पास, जिसमें विपरीत कोणों का योग 180 डिग्री है।

2. एक पिरामिड में खुदी हुई गेंद।

प्रमेय 4. यदि पिरामिड के पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं, तो ऐसे पिरामिड में एक गेंद अंकित की जा सकती है।

कोरोलरी 1.एक पिरामिड में खुदी हुई गेंद का केंद्र, जिसका पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुका होता है, पिरामिड के आधार पर किसी भी डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण के द्विभाजक के साथ पिरामिड की ऊंचाई के चौराहे पर स्थित होता है, जिसके किनारे पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए पार्श्व फलक की ऊंचाई है।

कोरोलरी 2.एक गेंद को एक नियमित पिरामिड में अंकित किया जा सकता है।

एक पिरामिड के साथ गेंद के संयोजन पर एल.एस. अतानासियन की पाठ्यपुस्तक से, कोई समस्या संख्या 635, 637 (बी), 638, 639 (सी), 640, 641 का सुझाव दे सकता है।

एक काटे गए पिरामिड के साथ एक गेंद का संयोजन।

1. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के चारों ओर घिरी एक गेंद।

प्रमेय 5. किसी भी नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। (यह शर्त पर्याप्त है, लेकिन जरूरी नहीं)

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में अंकित एक गेंद।

प्रमेय 6. एक गेंद को एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब पिरामिड का एपोथेम आधारों के एपोथेम्स के योग के बराबर हो।

एल.एस. अतानासियन की पाठ्यपुस्तक (संख्या 636) में एक काटे गए पिरामिड के साथ एक गेंद के संयोजन के लिए केवल एक समस्या है।

गोल पिंडों वाली गेंद का संयोजन।

प्रमेय 7. एक बेलन के चारों ओर एक गेंद का वर्णन किया जा सकता है, एक छोटा शंकु (सीधा गोलाकार), या एक शंकु।

प्रमेय 8. एक गेंद को एक बेलन (सीधे वृत्ताकार) में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि बेलन समबाहु है।

प्रमेय 9. एक गेंद को किसी भी शंकु (सीधे गोलाकार) में अंकित किया जा सकता है।

प्रमेय 10. एक गेंद को एक काटे गए शंकु (सीधे गोलाकार) में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब उसका जनरेटर आधारों की त्रिज्या के योग के बराबर हो।

एल.एस. अतानासियन की पाठ्यपुस्तक से, गोल निकायों के साथ गेंद के संयोजन के लिए समस्याएं 642, 643, 644, 645, 646 प्रस्तावित की जा सकती हैं।

इस विषय पर सामग्री के अधिक सफल अध्ययन के लिए, पाठ के दौरान मौखिक कार्यों को शामिल करना आवश्यक है:

1. घन का किनारा बराबर है a. गेंदों की त्रिज्या खोजें: घन में अंकित और उसके चारों ओर वर्णित। (आर = ए / 2, आर = ए 3)।

2. क्या चारों ओर एक गोले (गेंद) का वर्णन करना संभव है: क) एक घन; बी) आयताकार समानांतर चतुर्भुज; ग) एक झुका हुआ समानांतर चतुर्भुज, जिसके आधार पर एक आयत है; डी) एक सीधा समानांतर चतुर्भुज; ई) एक झुका हुआ समानांतर चतुर्भुज? (ए) हाँ; बी) हाँ; ग) नहीं; घ) नहीं; ई) नहीं)

3. क्या यह सच है कि किसी त्रिभुजाकार पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है? (हां)

4. क्या किसी चतुर्भुज पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन करना संभव है? (नहीं, किसी चतुष्कोणीय पिरामिड के आसपास नहीं)

5. अपने चारों ओर के गोले का वर्णन करने के लिए पिरामिड में क्या गुण होने चाहिए? (इसके आधार पर एक बहुभुज होना चाहिए, जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके)

6. गोले में एक पिरामिड खुदा हुआ है, जिसका पार्श्व किनारा आधार के लंबवत है। मैं एक गोले का केंद्र कैसे खोजूं? (गोले का केंद्र अंतरिक्ष में बिंदुओं के दो ज्यामितीय स्थानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु है। पहला पिरामिड के आधार के तल पर खींचा गया लंबवत है, इसके चारों ओर घेरे हुए सर्कल के केंद्र के माध्यम से। दूसरा है इस पार्श्व किनारे के लंबवत समतल और इसके मध्य से होकर खींचा गया)

7. आप किन परिस्थितियों में एक प्रिज्म के चारों ओर एक गोले का वर्णन कर सकते हैं, जिसके आधार पर एक समलंब है? (सबसे पहले, प्रिज्म सीधा होना चाहिए, और दूसरी बात, समलम्बाकार समद्विबाहु होना चाहिए ताकि उसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके)

8. एक प्रिज्म को अपने चारों ओर के गोले का वर्णन करने के लिए किन शर्तों को पूरा करना चाहिए? (प्रिज्म सीधा होना चाहिए, और इसका आधार एक बहुभुज होना चाहिए, जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है)

9. एक त्रिकोणीय प्रिज्म के पास एक गोले का वर्णन किया गया है, जिसका केंद्र प्रिज्म के बाहर स्थित है। प्रिज्म का आधार कौन सा त्रिभुज है? (अधिक त्रिभुज)

10. क्या आप एक झुके हुए प्रिज्म के चारों ओर एक गोले का वर्णन कर सकते हैं? (नहीं)

11. एक सीधे त्रिभुजाकार प्रिज्म के बारे में वर्णित गोले का केंद्र किस स्थिति में प्रिज्म के एक पार्श्व फलक पर स्थित होगा? (आधार पर एक समकोण त्रिभुज है)

12. पिरामिड का आधार एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। आधार के तल पर पिरामिड के शीर्ष का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण समलंब के बाहर स्थित एक बिंदु है। क्या ऐसे समलम्ब के चारों ओर एक गोले का वर्णन करना संभव है? (हां, आप कर सकते हैं। तथ्य यह है कि पिरामिड के शीर्ष का ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण इसके आधार के बाहर स्थित है, कोई फर्क नहीं पड़ता। यह महत्वपूर्ण है कि पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलम्बाकार - एक बहुभुज जिसके चारों ओर एक चक्र हो सकता है वर्णित)

13. दाहिने पिरामिड के पास एक गोले का वर्णन किया गया है। इसका केंद्र पिरामिड के तत्वों के सापेक्ष किस प्रकार स्थित है? (गोले का केंद्र उसके केंद्र के माध्यम से आधार के तल पर खींचे गए लंबवत पर है)

14. एक सीधे त्रिकोणीय प्रिज्म के बारे में वर्णित गोले का केंद्र किस स्थिति में स्थित है: a) प्रिज्म के अंदर; बी) प्रिज्म के बाहर? (प्रिज्म के आधार पर: a) एक न्यूनकोण त्रिभुज; बी) अधिक त्रिभुज)

15. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया गया है, जिसके किनारे 1 डीएम, 2 डीएम और 2 डीएम के बराबर हैं। गोले की त्रिज्या की गणना करें। (1.5 डीएम)

16. गोले को किस काटे गए शंकु में अंकित किया जा सकता है? (एक काटे गए शंकु में, जिसके अक्षीय खंड में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। शंकु का अक्षीय खंड एक समद्विबाहु समलम्बाकार है, इसके आधारों का योग इसके पार्श्व पक्षों के योग के बराबर होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, शंकु के आधारों की त्रिज्याओं का योग जेनरेट्रिक्स के बराबर होना चाहिए)

17. एक काटे गए शंकु में एक गोला खुदा हुआ है। गोले के केंद्र से शंकु का जनक किस कोण पर दिखाई देता है? (90 डिग्री)

18. एक सीधे प्रिज्म में कौन सा गुण होना चाहिए ताकि एक गोले को उसमें अंकित किया जा सके? (सबसे पहले, एक सीधे प्रिज्म के आधार पर एक बहुभुज होना चाहिए जिसमें एक चक्र अंकित किया जा सकता है, और दूसरी बात, प्रिज्म की ऊंचाई आधार पर अंकित सर्कल के व्यास के बराबर होनी चाहिए)

19. एक पिरामिड का उदाहरण दीजिए जिसमें एक गोला खुदा नहीं जा सकता है? (उदाहरण के लिए, आधार पर एक आयत या समांतर चतुर्भुज के साथ एक चतुर्भुज पिरामिड)

20. सीधे प्रिज्म के आधार पर एक समचतुर्भुज होता है। क्या इस प्रिज्म में एक गोला खुदा जा सकता है? (नहीं, आप नहीं कर सकते, क्योंकि सामान्य स्थिति में आप एक समचतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन नहीं कर सकते हैं)

21. एक सीधे त्रिकोणीय प्रिज्म में एक गोले को किस स्थिति में अंकित किया जा सकता है? (यदि प्रिज्म की ऊंचाई आधार में अंकित वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी है)

22. एक नियमित चतुष्कोणीय काटे गए पिरामिड में एक गोले को किस स्थिति में अंकित किया जा सकता है? (यदि किसी दिए गए पिरामिड का खंड आधार के किनारे के बीच से होकर गुजरने वाले विमान द्वारा एक समद्विबाहु समलम्बाकार है जिसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है)

23. त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड में एक गोला खुदा हुआ है। पिरामिड का कौन सा बिंदु गोले का केंद्र है? (इस पिरामिड में उत्कीर्ण गोले का केंद्र आधार के साथ पिरामिड के पार्श्व फलकों द्वारा निर्मित कोणों के तीन द्विभाजित तलों के प्रतिच्छेदन पर है)

24. क्या एक बेलन के चारों ओर एक गोले का वर्णन करना संभव है (दायाँ वृत्ताकार)? (हाँ तुम कर सकते हो)

25. क्या एक शंकु, एक काटे गए शंकु (सीधे गोलाकार) के बारे में एक गोले का वर्णन करना संभव है? (हाँ, आप दोनों मामलों में कर सकते हैं)

26. क्या किसी बेलन में एक गोला खुदा जा सकता है? एक गोले को उसमें अंकित करने के लिए एक बेलन में क्या गुण होने चाहिए? (नहीं, प्रत्येक नहीं: सिलेंडर का अक्षीय खंड वर्गाकार होना चाहिए)

27. क्या प्रत्येक शंकु में एक गोला खुदा जा सकता है? एक शंकु में खुदे हुए गोले के केंद्र की स्थिति कैसे निर्धारित करें? (हां, किसी के लिए। खुदा हुआ गोले का केंद्र शंकु की ऊंचाई के चौराहे पर है और जेनरेटर के झुकाव के कोण का द्विभाजक आधार के तल पर है)

लेखक का मानना है कि "पॉलीहेड्रा, एक सिलेंडर, एक शंकु और एक गेंद के लिए विभिन्न समस्याएं" विषय पर तीन नियोजन पाठों में से दो पाठ अन्य निकायों के साथ एक गेंद के संयोजन से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए समर्पित होने चाहिए। पाठों में अपर्याप्त समय के कारण ऊपर दिए गए प्रमेयों को सिद्ध करने की अनुशंसा नहीं की जाती है। आप सबूत के पाठ्यक्रम या योजना का संकेत देकर (शिक्षक के विवेक पर) उन्हें साबित करने के लिए पर्याप्त कौशल रखने वाले छात्रों को आमंत्रित कर सकते हैं।

एक पिरामिड के चारों ओर एक गेंद का वर्णन किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब उसके आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

इस गेंद का केंद्र O बनाने के लिए, आपको चाहिए:

1. आधार के चारों ओर परिबद्ध एक वृत्त केंद्र O ज्ञात कीजिए।

2. बिंदु 0 से होकर आधार के तल पर लंबवत एक सीधी रेखा खींचिए।

3. पिरामिड के किसी भी पार्श्व किनारे के बीच से होकर इस किनारे पर लंबवत एक तल खींचिए।

4. निर्मित रेखा और समतल के प्रतिच्छेदन का बिंदु O ज्ञात कीजिए।

एक विशेष मामला: पिरामिड के किनारे बराबर हैं। फिर:

गेंद का वर्णन किया जा सकता है;

गेंद का केंद्र O पिरामिड की ऊंचाई पर स्थित है;

वर्णित गोले की त्रिज्या कहाँ है; - पार्श्व पसली; एच पिरामिड की ऊंचाई है।

5.2. गेंद और प्रिज्म

प्रिज्म के पास एक गेंद का वर्णन किया जा सकता है यदि और केवल अगर प्रिज्म सीधा है और उसके आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

गेंद का केंद्र आधारों के पास वर्णित मंडलियों के केंद्रों को जोड़ने वाले खंड का मध्य बिंदु है।

वर्णित गोले की त्रिज्या कहाँ है; - वृत्त के आधार के परितः परिबद्ध त्रिज्या; H प्रिज्म की ऊंचाई है।

5.3. गेंद और सिलेंडर

एक गेंद को हमेशा एक सिलेंडर के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है। गेंद का केंद्र सिलेंडर के अक्षीय खंड की समरूपता का केंद्र है।

5.4. गेंद और शंकु

एक गेंद को हमेशा एक शंकु के पास वर्णित किया जा सकता है। गेंद का केंद्र; शंकु के अक्षीय खंड के चारों ओर परिचालित एक वृत्त के केंद्र के रूप में कार्य करता है।

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म, जिसका आयतन 65 डीएम 3 है, एक गोले के चारों ओर वर्णित है। प्रिज्म के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और गेंद के आयतन के अनुपात की गणना करें
एक प्रिज्म को नियमित कहा जाता है यदि उसके आधार नियमित बहुभुज होते हैं, और किनारे के किनारे आधार के लंबवत होते हैं। एक नियमित चतुर्भुज एक वर्ग है। वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु इसका केंद्र है, साथ ही उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र भी है। आइए इस तथ्य को सिद्ध करें। हालांकि इस सबूत के पूछे जाने की संभावना नहीं है और इसे छोड़ा जा सकता है
एक समांतर चतुर्भुज, एक आयत और एक समचतुर्भुज के एक विशेष रूप के रूप में, वर्ग में उनके गुण होते हैं: विकर्ण बराबर होते हैं और आधे में चौराहे के बिंदु से विभाजित होते हैं, और वर्ग के कोनों के द्विभाजक होते हैं। बिंदु E से होकर AB के समांतर एक सीधी रेखा TK खींचिए। AB BC पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि TC भी BC पर लंबवत है (यदि दो समानांतर सीधी रेखाओं में से एक किसी तीसरी सीधी रेखा के लंबवत है, तो दूसरी समानांतर सीधी रेखा इस (तीसरी) सीधी रेखा के लंबवत है)। इसी तरह, हम एक सीधी रेखा MR खींचेंगे। समकोण त्रिभुज BET और AEK कर्ण और न्यून कोण में बराबर हैं (BE = AE - विकर्णों का आधा, EBT = EAK - समकोण का आधा), इसलिए ET = EK। आइए हम इसी तरह साबित करें कि EM = EP। और त्रिभुज CEP और CET (एक ही चिन्ह) की समानता से, हम देखते हैं कि ET = EP, अर्थात्। ET = EP = EK = EM या यूं कहें कि बिंदु M वर्ग की भुजाओं से समान दूरी पर है, और इसे इस वर्ग में अंकित वृत्त के केंद्र के रूप में पहचानने के लिए यह आवश्यक शर्त है।
एक आयत AVTK पर विचार करें (यह चतुर्भुज एक आयत है, क्योंकि इसके सभी कोने निर्माण द्वारा सीधी रेखाएँ हैं)। एक आयत में, विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं - AB = CT (यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि CT आधार व्यास है) - इसका मतलब है कि आधार पक्ष खुदा हुआ वृत्त व्यास के बराबर है।
आइए हम समांतर (एक ही तल पर लंबवत दो सीधी रेखाएं, समानांतर) AA 1, CC 1 और BB 1 और DD 1 के माध्यम से समतल बनाएं (समानांतर रेखाएं केवल एक विमान को परिभाषित करती हैं)। समतल AA 1 C 1 C और BB 1 D 1 D आधार ABCD पर लंबवत हैं, क्योंकि इसके लंबवत सीधी (पार्श्व पसलियों) से गुजरें।
विमान AA 1 C 1 C में बिंदु H (विकर्णों का प्रतिच्छेदन) से आधार ABCD पर लंबवत। फिर हम समतल BB 1 D 1 D में भी ऐसा ही करेंगे। प्रमेय से: यदि दो लंबवत विमानों में से एक से संबंधित बिंदु से, दूसरे तल पर लंबवत खींचें, तो यह लंबवत पहले विमान में पूरी तरह से स्थित है, हम पाते हैं कि यह लंबवत झूठ होना चाहिए और विमान एए 1 सी 1 सी और विमान बीबी 1 डी 1 डी में होना चाहिए। यह तभी संभव है जब यह लंबवत इन विमानों के चौराहे की रेखा के साथ मेल खाता हो - नहीं। वे। खंड एक सीधी रेखा नहीं है जिस पर खुदा हुआ सर्कल का केंद्र स्थित है (चूंकि यह पार्श्व चेहरों के विमानों से समान दूरी पर नहीं है, और यह बदले में संबंधित आधारों के शिखर से अंक ई और एच के समानता से अनुसरण करता है (जैसा कि सिद्ध किया गया है: विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु वर्ग की भुजाओं से समान दूरी पर है), लेकिन इस तथ्य से कि यह आधारों के लंबवत नहीं है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि गेंद का व्यास नहीं है। प्रमेय। एक गेंद एक नियमित प्रिज्म में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल यदि इसकी ऊंचाई आधार गेंद में अंकित एक वृत्त के व्यास के बराबर है, तो इसकी ऊंचाई आधार में अंकित वृत्त के व्यास के बराबर है। ए, और प्रिज्म की ऊंचाई h से परे है, तो इस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम निष्कर्ष निकालते हैं ए= h और फिर प्रिज्म का आयतन इस प्रकार पाया जा सकता है:

इसके अलावा, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि ऊंचाई खुदी हुई गेंद के व्यास और प्रिज्म के आधार की भुजा के बराबर है, हम गेंद की त्रिज्या और फिर उसका आयतन पाते हैं:

यह कहा जाना चाहिए कि पक्ष के किनारे ऊंचाई के बराबर हैं (समानांतर विमानों के बीच संलग्न समानांतर सीधी रेखाओं के खंड समान हैं), और चूंकि ऊंचाई आधार के किनारे के बराबर है, तो सामान्य तौर पर प्रिज्म के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, और सभी फलक अनिवार्य रूप से एक क्षेत्रफल वाले वर्ग हैं ए 2. वास्तव में, ऐसी आकृति को घन कहा जाता है - समानांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला। यह घन की पूरी सतह को खोजने और इसे गेंद के आयतन से जोड़ने के लिए बनी हुई है:

2. आधार पक्ष

कार्य

1. एक सीधे प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधार पर 3 और 4 के बराबर विकर्णों वाला एक समचतुर्भुज है, और एक पार्श्व किनारा 5 के बराबर है।

उत्तर : 62.

2. एक सीधे प्रिज्म के आधार पर 6 और 8 के बराबर विकर्णों के साथ एक समचतुर्भुज स्थित है। इसका सतह क्षेत्र 248 है। इस प्रिज्म के किनारे का पता लगाएं।

उत्तर: 10.

3. एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का पार्श्व किनारा ज्ञात कीजिए, यदि इसके आधार की भुजाएँ 3 हैं और पृष्ठीय क्षेत्रफल 66 है।

उत्तर - 4।

4. एक बेलन के चारों ओर एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का वर्णन किया गया है जिसका आधार त्रिज्या और ऊंचाई 2 के बराबर है। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 32.

5. एक बेलन के चारों ओर एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का वर्णन किया गया है जिसकी आधार त्रिज्या 2 है। प्रिज्म के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल 48 है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

सीधा प्रिज्म (हेक्सागोनल रेगुलर)

एक प्रिज्म जिसमें पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, और आधार समान वर्ग होते हैं।

1. पार्श्व फलक - समान आयत

2. आधार पक्ष

कार्य

1. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 1 हैं और भुजाएँ बराबर हैं।

उत्तर : 4.5.

2. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 3 हैं और ऊँचाई 6 है।

उत्तर : 108.

3. एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए जिसके सभी किनारे √3 के बराबर हों।

उत्तर: 13.5

4. एक बहुफलक का आयतन ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष बिन्दु A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म ABCDEFA1B1C1D1E1F1 हैं, जिसका आधार क्षेत्रफल 6 है और पार्श्व किनारा 2 है .

सीधा प्रिज्म (मनमाना) एन-कोयला)

एक प्रिज्म जिसमें पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, और आधार बराबर n-gons होते हैं।

1. यदि आधार एक सम बहुभुज है, तो भुजाओं के फलक समान आयत होते हैं।

2. आधार पक्ष .

पिरामिड

एक पिरामिड एक पॉलीहेड्रॉन होता है जो n-gon A1A2 ... AnA1 और n त्रिकोण (A1A2P, A1A3P, आदि) से बना होता है।

1. पिरामिड के आधार के समानांतर खंड एक आधार जैसा बहुभुज है। क्रॉस-अनुभागीय और आधार क्षेत्रों को पिरामिड के शीर्ष तक उनकी दूरी के वर्गों के रूप में संदर्भित किया जाता है।

2. एक पिरामिड को नियमित कहा जाता है यदि उसका आधार एक नियमित बहुभुज है, और शीर्ष को आधार के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे समान होते हैं, और पार्श्व किनारे समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

4. एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है।

5. एक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र आधार परिधि के आधे उत्पाद के बराबर होता है जो एपोथेम से गुणा होता है।

कार्य

1. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन कितना गुना बढ़ जाएगा यदि इसके सभी किनारों को दोगुना कर दिया जाए?

उत्तर: 8.

2. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 हैं, भुजाएँ 13 हैं। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 360.

5. आकृति में दिखाए गए पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए। इसका आधार एक बहुभुज है, जिसकी आसन्न भुजाएँ लंबवत हैं, और पार्श्व किनारों में से एक आधार तल के लंबवत है और 3 के बराबर है।

उत्तर : 27.

6. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी आधार भुजाएँ 1 के बराबर हों और ऊँचाई बराबर हो।

उत्तर: 0.25।

7. त्रिभुजाकार पिरामिड के किनारे परस्पर लंबवत हैं, उनमें से प्रत्येक 3 के बराबर है। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 4.5.

8. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार का विकर्ण 8 है। पार्श्व किनारा 5 है। पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 32.

9. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में ऊंचाई 12 है, मात्रा 200 है। पिरामिड के किनारे किनारे का पता लगाएं।

उत्तर: 13.

10. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 6 हैं, भुजाएँ 5 हैं। पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 84.

11. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन 6. आधार की भुजा 1 है। भुजा का किनारा ज्ञात कीजिए।

12. एक नियमित चतुष्फलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना गुना बढ़ जाएगा यदि इसके सभी किनारों को दोगुना कर दिया जाए?

उत्तर - 4।

13. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन 12 है। आधार के विकर्ण और विपरीत किनारे के मध्य से गुजरने वाले तल द्वारा इससे कटे हुए पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 3.

14. एक अष्टफलक का आयतन कितनी बार घटेगा यदि उसके सभी किनारों को आधा कर दिया जाए?

उत्तर: 8.

15. एक त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन 15 है। समतल इस पिरामिड के आधार के किनारे से होकर गुजरता है और पिरामिड के शीर्ष से गिनती करते हुए इसे 1: 2 के अनुपात में विभाजित करते हुए विपरीत पार्श्व किनारे को प्रतिच्छेद करता है। पिरामिडों का सबसे बड़ा आयतन ज्ञात कीजिए जिसमें समतल मूल पिरामिड को विभाजित करता है।

उत्तर: 10.

16. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जिसके आधार की भुजाएँ 2 हैं और आयतन है।

उत्तर: 3.

17. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड में, ऊंचाई 6 है, किनारे का किनारा 10 है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 256.

18. एक त्रिभुजाकार पिरामिड से, जिसका आयतन 12 है, एक त्रिभुजाकार पिरामिड पिरामिड के शीर्ष और आधार की मध्य रेखा से गुजरते हुए एक समतल द्वारा काटा जाता है। कटे हुए त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 3.

सिलेंडर

सिलेंडर - एक बेलनाकार सतह से घिरा एक शरीर और सीमाओं के साथ दो सर्कल।

एच

आर

शरीर की मात्रा	पार्श्व सतह क्षेत्र	आधार क्षेत्र	कुल सतह क्षेत्रफल

1. सिलेंडर के जेनरेटर - बेस के बीच संलग्न जेनरेटरिक्स सेगमेंट।

2. बेलन की ऊंचाई जेनरेट्रिक्स की लंबाई है।

3. अक्षीय खंड - एक आयत, जिसकी दो भुजाएँ जनक हैं, और अन्य दो बेलन के आधारों के व्यास हैं।

4. वृत्ताकार खंड - एक खंड, जिसका काटने वाला तल सिलेंडर की धुरी के लंबवत होता है।

5. सिलेंडर की पार्श्व सतह का विकास - जेनरेटर के साथ सिलेंडर की पार्श्व सतह के दो कटे हुए किनारों का प्रतिनिधित्व करने वाला एक आयत।

6. बेलन की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके झाडू का क्षेत्रफल होता है।

7. एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल पार्श्व सतह और दो आधारों के क्षेत्रफलों का योग कहलाता है।

8. एक बेलन के चारों ओर हमेशा एक गेंद का वर्णन किया जा सकता है। इसका केंद्र ऊंचाई के बीच में स्थित है। जहाँ R गोले की त्रिज्या है, r बेलन के आधार की त्रिज्या है, H बेलन की ऊँचाई है।

9. यदि बेलन के आधार का व्यास उसकी ऊंचाई के बराबर हो तो एक गेंद को बेलन में अंकित किया जा सकता है, .

कार्य

1. एक भाग को 6 लीटर पानी वाले बेलनाकार बर्तन में उतारा जाता है। इसी समय, बर्तन में तरल का स्तर 1.5 गुना बढ़ गया। भाग की मात्रा क्या है?

उत्तर: 3.

2. एक बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका आधार क्षेत्रफल 1 है और जनक 6 है और आधार तल की ओर 30° के कोण पर झुका है।

उत्तर: 3.

3. बेलन और शंकु का आधार और ऊँचाई उभयनिष्ठ है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए यदि शंकु का आयतन 50 है।

उत्तर: 150.

4. पानी, जो 12 सेमी के स्तर पर एक बेलनाकार बर्तन में था, एक बेलनाकार बर्तन में डाला गया, जो व्यास में दोगुना बड़ा था। दूसरे बर्तन में जल स्तर कितनी ऊंचाई पर होगा?

5. बेलन के अक्षीय भाग का क्षेत्रफल बराबर होता है। बेलन के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 2.

6. एक बेलन के चारों ओर एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का वर्णन किया गया है जिसका आधार त्रिज्या और ऊंचाई 2 के बराबर है। प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 32.

7. बेलन के आधार की परिधि 3 है। पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 6 है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

8. एक बेलनाकार वृत्त दूसरे की ऊंचाई से दोगुना है, लेकिन दूसरा डेढ़ गुना चौड़ा है। दूसरे वृत्त के आयतन का पहले के आयतन से अनुपात ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 1.125.

9. एक बेलनाकार बर्तन में, तरल स्तर 18 सेमी तक पहुँच जाता है। तरल स्तर कितनी ऊँचाई पर होगा यदि इसे दूसरे बर्तन में डाला जाए, जिसका व्यास पहले बर्तन का 3 गुना है?

उत्तर : 2.

शंकु

शंकु एक शंक्वाकार सतह और एक वृत्त से घिरा एक पिंड है।

शंकु अक्ष

आर

शिखर

जेनरेटर

पार्श्व सतह

आर

शरीर की मात्रा	पार्श्व सतह क्षेत्र	आधार क्षेत्र	कुल सतह क्षेत्रफल

1. शंकु की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल इसके झाडू का क्षेत्रफल है।

2. अक्षीय खंड के शीर्ष पर स्वीप कोण और कोण के बीच संबंध .

1. बेलन और शंकु का आधार और ऊंचाई समान है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए यदि शंकु का आयतन 50 है।

उत्तर: 150.

2. एक शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका आधार क्षेत्रफल 2 है, और जनक 6 है और आधार तल की ओर 30° के कोण पर झुका हुआ है।

उत्तर : 2.

3. शंकु का आयतन 12 है। शंकु के आधार के समानांतर एक खंड खींचा गया है, जो ऊंचाई को आधा में विभाजित करता है। कटे हुए शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 1.5.

4. एक नियमित चतुष्कोणीय पिरामिड के बारे में एक शंकु का आयतन इस पिरामिड में खुदे हुए शंकु के आयतन से कितनी बार वर्णित है?

उत्तर : 2.

5. शंकु की ऊँचाई 6 है, जनक 10 है। इसके आयतन से भाग ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 128.

6. बेलन और शंकु का आधार और ऊंचाई समान है। यदि बेलन का आयतन 48 है तो शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 16.

7. शंकु के आधार का व्यास 6 है, और अक्षीय खंड का शीर्ष कोण 90 डिग्री है। से विभाजित शंकु की मात्रा की गणना करें।

8. शंकु को एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के बारे में वर्णित किया गया है जिसका आधार 4 का आधार है और 6 की ऊंचाई है। इसके आयतन को विभाजित करें।

9. शंकु 6 के बराबर एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। इसके आयतन को विभाजित करके ज्ञात कीजिए।

गोला और गेंद

एक गोला एक सतह है जिसमें किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर स्थित अंतरिक्ष में सभी बिंदु होते हैं। एक गेंद एक गोले से घिरा एक पिंड है।

1. यदि गोले के केंद्र से तल तक की दूरी गोले की त्रिज्या से कम है, तो समतल द्वारा गोले का एक भाग एक वृत्त है।

2. एक समतल द्वारा एक गोले का खंड एक वृत्त होता है।

3. गोले का स्पर्शरेखा तल एक ऐसा तल होता है जिसमें गोले के साथ केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है।

4. गोले और तल की स्पर्शरेखा के बिंदु तक खींची गई गोले की त्रिज्या स्पर्शरेखा तल के लंबवत होती है।

5. यदि गोले की त्रिज्या गोले पर पड़े इसके सिरे से गुजरने वाले तल के लंबवत हो, तो यह तल गोले की स्पर्श रेखा है।

6. एक बहुफलक एक गोले के परितः परिबद्ध कहलाता है यदि गोला उसके सभी फलकों को स्पर्श करता है।

7. गोले पर एक बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं के खंड बराबर होते हैं और इस बिंदु और गोले के केंद्र से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा के साथ समान कोण बनाते हैं।

8. एक बेलनाकार सतह में एक गोला खुदा हुआ है यदि वह अपने सभी जनरेटर को छूता है।

9. एक शंक्वाकार सतह में एक गोला खुदा होता है यदि वह अपने सभी जनरेटर को छूता है।

कार्य

1. दो गेंदों की त्रिज्याएँ 6 और 8 हैं। उस गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल उनकी सतहों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।

उत्तर: 10.

2. गेंद के बड़े वृत्त का क्षेत्रफल 1 है। गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

3. गोले की त्रिज्या दोगुनी करने पर उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी?

4. तीनों गेंदों की त्रिज्याएँ 3, 4 और 5 के बराबर हैं। गेंद की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसका आयतन उनके आयतनों के योग के बराबर है।

उत्तर : 6.

5. त्रिज्या 2 के एक गोले के चारों ओर एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का वर्णन किया गया है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 96.

6. घन त्रिज्या की एक गेंद में अंकित है। एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 24.

7. त्रिज्या 2 के एक गोले के चारों ओर एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का वर्णन किया गया है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

8. गोले के चारों ओर परिबद्ध आयताकार समांतर चतुर्भुज का आयतन 216 है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 3.

9. एक गोलाकार समांतर चतुर्भुज का पृष्ठीय क्षेत्रफल 96 के बराबर है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर : 2.

10. गेंद के पास एक बेलन वर्णित है, जिसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 9 है। गेंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 9.

11. एक घन के बारे में एक गेंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल को एक ही घन में अंकित गेंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल से कितनी बार वर्णित किया जाता है?

उत्तर: 3.

12. घन त्रिज्या की एक गेंद में खुदा हुआ है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 8.

समग्र पॉलीहेड्रा

कार्य

1. आकृति एक बहुफलक को दर्शाती है, एक बहुफलक के सभी द्विफलक कोण सीधे होते हैं। शीर्ष A और C2 के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 3.

2. आकृति में दिखाए गए बहुफलक का कोना CAD2 ज्ञात कीजिए। एक बहुफलक के सभी द्विफलक कोण सीधे होते हैं। अपना उत्तर अंशों में दें।

उत्तर : 60.

3. आकृति में दिखाए गए बहुफलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (सभी द्विफलक कोण समकोण हैं)।

उत्तर: 18.

4. आकृति में दिखाए गए बहुफलक का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (सभी द्विफलक कोण समकोण हैं)।

उत्तर: 132

5. आकृति में दिखाए गए और इकाई घनों से बने स्थानिक क्रॉस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 30

6. आकृति में दिखाए गए बहुफलक का आयतन ज्ञात कीजिए (सभी द्विफलक कोण समकोण हैं)।

उत्तर: 8

7. आकृति में दिखाए गए बहुफलक का आयतन ज्ञात कीजिए (सभी द्विफलक कोण समकोण हैं)।

उत्तर: 78

8. आकृति एक बहुफलक को दर्शाती है, एक बहुफलक के सभी द्विफलक कोण सीधे होते हैं। कोण ABB3 की स्पर्श रेखा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 2

10. आकृति एक बहुफलक को दर्शाती है, एक बहुफलक के सभी द्विफलक कोण सीधे होते हैं। कोण C3D3B3 की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 3

11. त्रिकोणीय प्रिज्म के आधार की मध्य रेखा के माध्यम से, पार्श्व पसली के समानांतर एक विमान खींचा जाता है। प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि काटे गए त्रिभुजाकार प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 37 है।

उत्तर : 74.