1) फ़ंक्शन का डोमेन और फ़ंक्शन का डोमेन.
फ़ंक्शन स्कोप सभी मान्य मान्य तर्क मानों का सेट है एक्स(चर एक्स) जिसके लिए समारोह वाई = एफ (एक्स)परिभाषित। किसी फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी सभी वास्तविक मानों का समुच्चय है आपजिसे फंक्शन स्वीकार करता है।
प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर किया जाता है।
2) फंक्शन जीरो.
फ़ंक्शन शून्य एक तर्क मान है जिस पर फ़ंक्शन मान शून्य के बराबर होता है।
3) फ़ंक्शन की स्थिरता के अंतराल.
किसी फ़ंक्शन के निरंतर चिह्न के अंतराल तर्क मानों के ऐसे सेट होते हैं, जिन पर फ़ंक्शन के मान केवल सकारात्मक या केवल नकारात्मक होते हैं।
4) फ़ंक्शन की एकरसता.
एक बढ़ता हुआ फलन (एक निश्चित अंतराल में) एक ऐसा फलन है जिसके लिए इस अंतराल से तर्क का एक बड़ा मान फलन के बड़े मान से मेल खाता है।
घटता हुआ कार्य (एक निश्चित अंतराल में) - एक ऐसा फ़ंक्शन जिसमें इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।
5) समता (विषम) फलन.
एक सम फलन एक ऐसा फलन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के बारे में सममित है और किसी के लिए भी एक्सडोमेन से, समानता एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)... एक सम फलन का ग्राफ कोटि अक्ष के परितः सममित होता है।
एक विषम फलन एक ऐसा फलन है जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के बारे में सममित है और किसी के लिए भी एक्सपरिभाषा का क्षेत्र समानता को संतुष्ट करता है f (-x) = - f (x .)) एक विषम फलन का आलेख मूल के परितः सममित होता है।
6) सीमित और असीमित कार्य.
एक फ़ंक्शन को बाउंडेड कहा जाता है यदि कोई धनात्मक संख्या M मौजूद हो जैसे | f (x) | एम एक्स के सभी मूल्यों के लिए। यदि ऐसी कोई संख्या नहीं है, तो फ़ंक्शन असीमित है।
7) कार्य की आवधिकता.
एक फलन f (x) आवर्त होता है यदि कोई शून्येतर संख्या T इस प्रकार है कि फलन के प्रांत से किसी x के लिए निम्नलिखित धारण करता है: f (x + T) = f (x)। इस सबसे छोटी संख्या को फलन का आवर्त कहते हैं। सभी त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं। (त्रिकोणमितीय सूत्र)।
19. बुनियादी प्राथमिक कार्य, उनके गुण और ग्राफिक्स। अर्थशास्त्र में कार्यों का अनुप्रयोग।
बुनियादी प्राथमिक कार्य। उनके गुण और रेखांकन
1. रैखिक कार्य।
रैखिक प्रकार्य रूप का एक फलन कहलाता है, जहाँ x एक चर है, a और b वास्तविक संख्याएँ हैं।
संख्या एएक सीधी रेखा का ढलान कहलाता है, यह इस सीधी रेखा के भुज अक्ष की धनात्मक दिशा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर होता है। एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है। इसे दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है।
रैखिक कार्य गुण
1. परिभाषा का क्षेत्र - सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय: D (y) = R
2. मानों का समुच्चय सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है: E (y) = R
3. फ़ंक्शन या के लिए शून्य मान लेता है।
4. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फलन बढ़ता (घटता) है।
5. रैखिक फलन परिभाषा, अवकलनीय और के संपूर्ण क्षेत्र पर सतत है।
2. द्विघात कार्य।
प्रपत्र का एक फलन, जहाँ x एक चर है, गुणांक a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं, कहलाता है द्विघात
फलन के गुणों और उनके रेखांकन का अध्ययन स्कूली गणित और बाद के पाठ्यक्रमों दोनों में महत्वपूर्ण स्थान रखता है। इसके अलावा, न केवल गणितीय और कार्यात्मक विश्लेषण के पाठ्यक्रमों में, और यहां तक कि न केवल उच्च गणित के अन्य वर्गों में, बल्कि सबसे संकीर्ण व्यावसायिक विषयों में भी। उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में - उपयोगिता, लागत, मांग, आपूर्ति और उपभोग कार्यों के कार्य ..., रेडियो इंजीनियरिंग में - नियंत्रण कार्य और प्रतिक्रिया कार्य, सांख्यिकी में - वितरण कार्य ... कार्य। ऐसा करने के लिए, निम्न तालिका का अध्ययन करने के बाद, मैं "फ़ंक्शन ग्राफ़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन" लिंक का अनुसरण करने की अनुशंसा करता हूं।
| समारोह का नाम | फंक्शन फॉर्मूला | फंक्शन ग्राफ | चार्ट का नाम | एक टिप्पणी |
|---|---|---|---|---|
| रैखिक | वाई = केएक्स | सीधा | रैखिक निर्भरता का सबसे सरल विशेष मामला प्रत्यक्ष आनुपातिकता है वाई = केएक्स, कहाँ पे क 0 - आनुपातिकता गुणांक। आंकड़ा के लिए एक उदाहरण दिखाता है क= 1, यानी वास्तव में, दिया गया ग्राफ कार्यात्मक निर्भरता को दर्शाता है, जो फ़ंक्शन के मान की समानता को तर्क के मान पर सेट करता है। | |
| रैखिक | आप = केएक्स + बी |  |
सीधा | रैखिक निर्भरता का सामान्य मामला: गुणांक कतथा बी- कोई वास्तविक संख्या। यहाँ क = 0.5, बी = -1. |
| द्विघात | वाई = एक्स 2 |  |
परवलय | द्विघात निर्भरता का सबसे सरल मामला मूल पर शीर्ष के साथ एक सममित परवलय है। |
| द्विघात | वाई = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी |  |
परवलय | द्विघात निर्भरता का सामान्य मामला: गुणांक ए- एक मनमाना वास्तविक संख्या जो शून्य के बराबर नहीं है ( एआर के अंतर्गत आता है, ए ≠ 0), बी, सी- कोई वास्तविक संख्या। |
| शक्ति | वाई = एक्स 3 |  |
घन परवलय | सबसे सरल मामला एक विषम पूर्णांक डिग्री के लिए है। गुणांक वाले मामलों का अध्ययन "फ़ंक्शन ग्राफ़ की गति" खंड में किया जाता है। |
| शक्ति | वाई = एक्स 1/2 |  |
फंक्शन ग्राफ आप = √एक्स |
भिन्नात्मक शक्ति के लिए सबसे सरल मामला ( एक्स 1/2 = √एक्स) गुणांक वाले मामलों का अध्ययन "फ़ंक्शन ग्राफ़ की गति" खंड में किया जाता है। |
| शक्ति | वाई = के / एक्स |  |
अतिशयोक्ति | ऋणात्मक पूर्णांक घात के लिए सरलतम स्थिति ( 1 / एक्स = एक्स-1) - व्युत्क्रमानुपाती संबंध। यहाँ क = 1. |
| सूचक | आप = भूतपूर्व |  |
प्रदर्शक | घातांकीय निर्भरता को आधार के लिए घातांकीय फलन कहा जाता है इ- एक अपरिमेय संख्या लगभग 2.7182818284590 के बराबर ... |
| सूचक | वाई = एक एक्स |  |
घातीय फलन ग्राफ | ए> 0 और ए ए... यहाँ के लिए एक उदाहरण है वाई = 2 एक्स (ए = 2 > 1). |
| सूचक | वाई = एक एक्स |  |
घातीय फलन ग्राफ | घातांकीय फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है ए> 0 और ए≠ 1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ अनिवार्य रूप से पैरामीटर के मान पर निर्भर करते हैं ए... यहाँ के लिए एक उदाहरण है वाई = 0.5 एक्स (ए = 1/2 < 1). |
| लघुगणक | आप= एलएन एक्स |  |
आधार के लिए लघुगणकीय फलन का ग्राफ इ(प्राकृतिक लघुगणक) को कभी-कभी लघुगणक कहा जाता है। | |
| लघुगणक | आप= लॉग एक एक्स |  |
लॉगरिदमिक फ़ंक्शन ग्राफ | लघुगणक को परिभाषित किया गया है ए> 0 और ए≠ 1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ अनिवार्य रूप से पैरामीटर के मान पर निर्भर करते हैं ए... यहाँ के लिए एक उदाहरण है आप= लॉग 2 एक्स (ए = 2 > 1). |
| लघुगणक | वाई = लॉग एक एक्स |  |
लॉगरिदमिक फ़ंक्शन ग्राफ | लघुगणक को परिभाषित किया गया है ए> 0 और ए≠ 1. फ़ंक्शन के ग्राफ़ अनिवार्य रूप से पैरामीटर के मान पर निर्भर करते हैं ए... यहाँ के लिए एक उदाहरण है आप= लॉग 0.5 एक्स (ए = 1/2 < 1). |
| साइनस | आप= पाप एक्स |  |
sinusoid | साइन त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन। गुणांक वाले मामलों का अध्ययन "फ़ंक्शन ग्राफ़ की गति" खंड में किया जाता है। |
| कोज्या | आप= कोस एक्स |  |
कोज्या | त्रिकोणमितीय कोसाइन फ़ंक्शन। गुणांक वाले मामलों का अध्ययन "फ़ंक्शन ग्राफ़ की गति" खंड में किया जाता है। |
| स्पर्शरेखा | आप= टीजी एक्स |  |
टैंगेंसॉइड | त्रिकोणमितीय स्पर्शरेखा फ़ंक्शन। गुणांक वाले मामलों का अध्ययन "फ़ंक्शन ग्राफ़ की गति" खंड में किया जाता है। |
| कोटैंजेंट | आप= सीटीजी एक्स |  |
कोटैंजेन्सॉयड | त्रिकोणमितीय कोटैंजेंट फ़ंक्शन। गुणांक वाले मामलों का अध्ययन "फ़ंक्शन ग्राफ़ की गति" खंड में किया जाता है। |
| समारोह का नाम | फंक्शन फॉर्मूला | फंक्शन ग्राफ | चार्ट का नाम |
|---|
1. भिन्नात्मक रैखिक फलन और उसका ग्राफ
y = P (x) / Q (x) के रूप का एक फलन, जहाँ P (x) और Q (x) बहुपद हैं, भिन्नात्मक परिमेय फलन कहलाता है।
आप शायद परिमेय संख्याओं की अवधारणा से पहले से ही परिचित हैं। वैसे ही तर्कसंगत कार्यऐसे फलन हैं जिन्हें दो बहुपदों के भागफल के रूप में निरूपित किया जा सकता है।
यदि एक भिन्नात्मक परिमेय फलन दो रैखिक फलनों का भागफल है - प्रथम घात के बहुपद, अर्थात्। फॉर्म का कार्य
y = (ax + b) / (cx + d), तो इसे भिन्नात्मक रैखिक कहते हैं।
ध्यान दें कि फ़ंक्शन y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (अन्यथा फ़ंक्शन रैखिक y = ax / d + b / d) बन जाता है और a / c ≠ b / d (अन्यथा फ़ंक्शन स्थिर है)। रैखिक भिन्नात्मक फलन x = -d / c को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। रैखिक-भिन्नात्मक कार्यों के ग्राफ़ उस ग्राफ़ से भिन्न नहीं होते हैं जिसे आप y = 1 / x के बारे में जानते हैं। वह वक्र जो फलन y = 1 / x का आलेख है, कहलाता है अतिशयोक्ति... निरपेक्ष मान में x में असीमित वृद्धि के साथ, फ़ंक्शन y = 1 / x निरपेक्ष मान में अनिश्चित काल के लिए घट जाता है और ग्राफ़ की दोनों शाखाएँ भुज अक्ष के पास पहुँचती हैं: दायाँ ऊपर से आता है, और बायाँ नीचे से। वे सीधी रेखाएँ जिनसे अतिपरवलय की शाखाएँ पहुँचती हैं, कहलाती हैं स्पर्शोन्मुख.
उदाहरण 1।
वाई = (2x + 1) / (एक्स - 3)।
समाधान।
आइए पूरे भाग का चयन करें: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3)।
अब यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन y = 1 / x के ग्राफ़ से निम्नलिखित परिवर्तनों द्वारा प्राप्त किया जाता है: 3 इकाई खंडों को दाईं ओर स्थानांतरित करना, ओए अक्ष के साथ 7 बार खींचना, और स्थानांतरित करना 2 इकाई खंडों से ऊपर।
किसी भी भिन्न y = (ax + b) / (cx + d) को इसी तरह से लिखा जा सकता है, "संपूर्ण भाग" को हाइलाइट करते हुए। नतीजतन, सभी रैखिक-आंशिक कार्यों के ग्राफ़ हाइपरबोला को समन्वय अक्षों के साथ विभिन्न तरीकों से स्थानांतरित कर दिया जाता है और ओए अक्ष के साथ फैलाया जाता है।
किसी भी मनमाने रैखिक भिन्नात्मक फलन का आलेख आलेखित करने के लिए, इस फलन को परिभाषित करने वाले भिन्न को रूपांतरित करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। चूँकि हम जानते हैं कि ग्राफ़ एक हाइपरबोला है, यह उन सीधी रेखाओं को खोजने के लिए पर्याप्त होगा, जिनसे इसकी शाखाएँ पहुँचती हैं - हाइपरबोला के स्पर्शोन्मुख x = -d / c और y = a / c।
उदाहरण 2।
फ़ंक्शन y = (3x + 5) / (2x + 2) के ग्राफ के अनंतस्पर्शी खोजें।
समाधान।
x = -1 होने पर फ़ंक्शन अपरिभाषित होता है। इसलिए, रेखा x = -1 एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी के रूप में कार्य करती है। क्षैतिज स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए, आइए जानें कि निरपेक्ष मान में तर्क x बढ़ने पर फ़ंक्शन y (x) के मान क्या आ रहे हैं।
ऐसा करने के लिए, अंश के अंश और हर को x से विभाजित करें:
वाई = (3 + 5 / एक्स) / (2 + 2 / एक्स)।
x → के रूप में, भिन्न की प्रवृत्ति 3/2 हो जाएगी। अत: क्षैतिज अनंतस्पर्शी सरल रेखा y = 3/2 है।
उदाहरण 3.
फलन y = (2x + 1) / (x + 1) को आलेखित करें।
समाधान।
आइए भिन्न का "संपूर्ण भाग" चुनें:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =
2 - 1 / (एक्स + 1)।
अब यह देखना आसान है कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ निम्नलिखित परिवर्तनों द्वारा फ़ंक्शन y = 1 / x के ग्राफ़ से प्राप्त किया जाता है: 1 इकाई से बाईं ओर एक शिफ्ट, ऑक्स के संबंध में एक सममित प्रदर्शन, और एक शिफ्ट ओए अक्ष के साथ 2 इकाई खंडों द्वारा।
डोमेन डी (वाई) = (-∞; -1) (-1; + )।
मानों की सीमा ई (वाई) = (-∞; 2) (2; + ∞) है।
कुल्हाड़ियों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु: सी ओए: (0; 1); ग ऑक्स: (-1/2; 0)। परिभाषा के क्षेत्र के प्रत्येक अंतराल पर फलन बढ़ता है।
उत्तर : चित्र 1.
2. भिन्नात्मक परिमेय फलन
y = P (x) / Q (x) के रूप के एक भिन्नात्मक परिमेय फलन पर विचार करें, जहाँ P (x) और Q (x) पहले की तुलना में अधिक डिग्री वाले बहुपद हैं।
ऐसे तर्कसंगत कार्यों के उदाहरण:
y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) या y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3)।
यदि फलन y = P (x) / Q (x) दो बहुपदों का एक भागफल है, जो पहले की तुलना में अधिक है, तो इसका ग्राफ, एक नियम के रूप में, अधिक कठिन होगा, और कभी-कभी इसे सटीक रूप से प्लॉट करना मुश्किल होता है, सभी विवरणों के साथ यह कभी-कभी कठिन होता है। हालांकि, यह अक्सर उन तकनीकों के समान लागू करने के लिए पर्याप्त होता है जिनके साथ हम पहले ही ऊपर मिल चुके हैं।
अंश को नियमित होने दें (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
पी (एक्स) / क्यू (एक्स) = ए 1 / (एक्स - के 1) एम 1 + ए 2 / (एक्स - के 1) एम 1-1 +… + ए एम 1 / (एक्स - के 1) +… +
एल 1 / (एक्स - के एस) एमएस + एल 2 / (एक्स - के एस) एमएस -1 +… + एल एमएस / (एक्स - के एस) +… +
+ (बी 1 एक्स + सी 1) / (एक्स 2 + पी 1 एक्स + क्यू 1) एम 1 +… + (बी एम 1 एक्स + सी एम 1) / (एक्स 2 + पी 1 एक्स + क्यू 1) +… +
+ (एम 1 एक्स + एन 1) / (एक्स 2 + पी टी एक्स + क्यू टी) एम 1 +… + (एम एम 1 एक्स + एन एम 1) / (एक्स 2 + पी टी एक्स + क्यू टी)।
स्पष्ट रूप से, एक भिन्नात्मक-परिमेय फलन का आलेख प्राथमिक भिन्नों के आलेखों के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।
भिन्नात्मक परिमेय कार्यों को प्लॉट करना
आइए एक भिन्नात्मक परिमेय फलन के आलेख बनाने के कई तरीकों पर विचार करें।
उदाहरण 4.
फ़ंक्शन y = 1 / x 2 को प्लॉट करें।
समाधान।
हम ग्राफ़ y = 1 / x 2 को प्लॉट करने के लिए फ़ंक्शन y = x 2 के ग्राफ़ का उपयोग करते हैं और ग्राफ़ को "विभाजित" करने की तकनीक का उपयोग करते हैं।
डोमेन डी (वाई) = (-∞; 0) (0; + )।
मूल्यों की सीमा ई (वाई) = (0; + )।
कुल्हाड़ियों के साथ कोई चौराहे बिंदु नहीं हैं। फ़ंक्शन सम है। अंतराल (-∞; 0) से सभी x के लिए बढ़ता है, x के लिए 0 से + तक घटता है।
उत्तर : चित्र 2.
उदाहरण 5.
फलन y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) को आलेखित कीजिए।
समाधान।
डोमेन डी (वाई) = (-∞; 3) (3; + )।
y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = - (x - 1) / 3 = -x / 3 + 1/3।
यहां हमने फैक्टरिंग, कैंसिलिंग और लीनियरिंग की ट्रिक का इस्तेमाल किया।
उत्तर : चित्र 3.
उदाहरण 6.
फलन y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) को आलेखित कीजिए।
समाधान।
परिभाषा का क्षेत्र D (y) = R. चूँकि फलन सम है, ग्राफ कोटि अक्ष के परितः सममित है। ग्राफ़ बनाने से पहले, आइए पूरे भाग को हाइलाइट करते हुए, व्यंजक को फिर से रूपांतरित करें:
वाई = (एक्स 2 - 1) / (एक्स 2 + 1) = 1 - 2 / (एक्स 2 + 1)।
ध्यान दें कि एक भिन्नात्मक-तर्कसंगत फ़ंक्शन के सूत्र में पूर्णांक भाग का चयन ग्राफ़ के निर्माण में मुख्य लोगों में से एक है।
यदि x → ± , तो y → 1, अर्थात्, रेखा y = 1 क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
उत्तर : चित्र 4.
उदाहरण 7.
फलन y = x / (x 2 + 1) पर विचार करें और इसका सबसे बड़ा मान ज्ञात करने का प्रयास करें, अर्थात। ग्राफ के दाहिने आधे हिस्से का उच्चतम बिंदु। इस ग्राफ को सटीक रूप से चित्रित करने के लिए, आज का ज्ञान पर्याप्त नहीं है। जाहिर है, हमारा वक्र बहुत ऊंचा "उठ" नहीं सकता, क्योंकि हर जल्दी से अंश को "ओवरटेक" करना शुरू कर देता है। आइए देखें कि क्या फ़ंक्शन का मान 1 के बराबर हो सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको समीकरण x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0 को हल करना होगा। इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है। इसका मतलब है कि हमारी धारणा सही नहीं है। किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करने के लिए, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सबसे बड़े A समीकरण A = x / (x 2 + 1) का हल होगा। मूल समीकरण को द्विघात समीकरण से बदलें: कुल्हाड़ी 2 - x + A = 0. इस समीकरण का एक हल होता है जब 1 - 4A 2 0. यहां से हमें सबसे बड़ा मान A = 1/2 मिलता है। 
उत्तर: चित्र 5, अधिकतम y (x) = ½।
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परिभाषा: एक संख्यात्मक फलन एक पत्राचार है जो किसी दिए गए सेट से प्रत्येक संख्या x के साथ एक एकल संख्या y को जोड़ता है।
पद:
जहाँ x स्वतंत्र चर (तर्क) है, y आश्रित चर (फ़ंक्शन) है। मान x के सेट को फ़ंक्शन का डोमेन कहा जाता है (D (f) द्वारा निरूपित)। y के मानों के समुच्चय को फलन के मानों की श्रेणी (E (f) द्वारा निरूपित) कहा जाता है। एक फ़ंक्शन का ग्राफ निर्देशांक (x, f (x)) के साथ समतल के बिंदुओं का समूह है।
फ़ंक्शन सेट करने के तरीके।
- विश्लेषणात्मक विधि (गणितीय सूत्र का उपयोग करके);
- सारणीबद्ध विधि (एक तालिका का उपयोग करके);
- एक वर्णनात्मक तरीका (मौखिक विवरण का उपयोग करके);
- ग्राफिकल तरीका (एक ग्राफ का उपयोग करके)।
समारोह के मुख्य गुण।
1. सम और विषम समता
एक फ़ंक्शन को तब भी कहा जाता है, भले ही
- फ़ंक्शन का डोमेन शून्य के संबंध में सममित है
एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)
एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के परितः सममित होता है 0y
एक फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है यदि
- फ़ंक्शन का डोमेन शून्य के संबंध में सममित है
- डोमेन से किसी भी x के लिए एफ (-एक्स) = -एफ (एक्स)
एक विषम फलन का आलेख मूल के परितः सममित होता है।
2.आवर्तता
एक फलन f (x) को आवर्त के साथ आवर्त कहा जाता है यदि डोमेन से किसी x के लिए एफ (एक्स) = एफ (एक्स + टी) = एफ (एक्स-टी) .
एक आवधिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में अनिश्चित काल तक दोहराए जाने वाले समान टुकड़े होते हैं।
3. एकरसता (वृद्धि, कमी)
फलन f (x) समुच्चय Р पर बढ़ता है यदि इस समुच्चय से किसी x 1 और x 2 के लिए इस प्रकार x 1
फ़ंक्शन f (x) सेट पर घटता है, यदि इस सेट से किसी x 1 और x 2 के लिए, जैसे कि x 1 f (x 2)।
4. चरम
बिंदु X अधिकतम को फ़ंक्शन f (x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि किसी पड़ोस X अधिकतम से सभी x के लिए, असमानता f (x) f (X अधिकतम) संतुष्ट है।
मान Y अधिकतम = f (X अधिकतम) को इस फ़ंक्शन का अधिकतम कहा जाता है।
एक्स अधिकतम - अधिकतम बिंदु
मैक्स में अधिकतम है
बिंदु X मिनट को फ़ंक्शन f (x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि किसी पड़ोस X मिनट से सभी x के लिए, असमानता f (x) f (X मिनट) संतुष्ट है।
Y min = f (X min) के मान को इस फलन का न्यूनतम मान कहा जाता है।
एक्स मिनट - न्यूनतम बिंदु
वाई मिनट - न्यूनतम
एक्स मिनट, एक्स अधिकतम - चरम अंक
वाई मिनट, वाई मैक्स - एक्स्ट्रेमा।
5. फ़ंक्शन के शून्य
फ़ंक्शन का शून्य y = f (x) तर्क x का मान है जिस पर फ़ंक्शन गायब हो जाता है: f (x) = 0।
एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3 - फ़ंक्शन y = f (x) के शून्य।
"किसी फ़ंक्शन के मूल गुण" विषय पर समस्याएं और परीक्षण
- समारोह गुण - संख्यात्मक कार्य ग्रेड 9
पाठ: 2 कार्य: 11 परीक्षण: 1
- लघुगणक के गुण
पाठ: 2 कार्य: 14 परीक्षण: 1
- वर्गमूल फलन, गुण और ग्राफ - स्क्वायर रूट फ़ंक्शन। ग्रेड 8 वर्गमूल गुण
पाठ: 1 कार्य: 9 परीक्षण: 1
- शक्ति कार्य, उनके गुण और रेखांकन - डिग्री और जड़ें। ग्रेड 11 शक्ति कार्य
पाठ: 4 कार्य: 14 परीक्षण: 1
- घातीय फलन, इसके गुण और ग्राफ - घातीय और लघुगणकीय कार्य ग्रेड 11
पाठ: 1 कार्य: 15 टेस्ट: 1
इस विषय का अध्ययन करने के बाद, आप विभिन्न कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र को खोजने में सक्षम होना चाहिए, ग्राफ़ की सहायता से किसी फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल को निर्धारित करना, सम और विषम समता के लिए कार्यों की जांच करना। आइए निम्नलिखित उदाहरणों में समान समस्याओं के समाधान पर विचार करें।
उदाहरण।
1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए।
समाधान:फ़ंक्शन का डोमेन शर्त से पाया जाता है
इसलिए, फलन f (x) सम है।
उत्तर:यहाँ तक की।
डी (एफ) = [-1; 1] - शून्य के बारे में सममित।
| 2) |
इसलिए, फलन न तो सम है और न ही विषम।
उत्तर: न तो यहां तक कि न ही।
