ज्यामिति एक बहुत ही बहुआयामी विज्ञान है। वह तर्क, कल्पना और बुद्धि विकसित करती है। बेशक, इसकी जटिलता और बड़ी संख्या में प्रमेयों और स्वयंसिद्धों के कारण, स्कूली बच्चे हमेशा इसे पसंद नहीं करते हैं। इसके अलावा, आम तौर पर स्वीकृत मानकों और नियमों का उपयोग करके अपने निष्कर्षों को लगातार साबित करने की आवश्यकता है।
आसन्न और ऊर्ध्वाधर कोने ज्यामिति के अभिन्न अंग हैं। निश्चित रूप से कई स्कूली बच्चे उन्हें इस कारण से प्यार करते हैं कि उनके गुण स्पष्ट और साबित करने में आसान हैं।
कोनों का निर्माण
कोई भी कोण दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन या एक बिंदु से दो किरणें खींचकर बनता है। उन्हें या तो एक अक्षर या तीन कहा जा सकता है, जो लगातार कोने के निर्माण के बिंदुओं को निर्दिष्ट करते हैं।
कोणों को डिग्री में मापा जाता है और (उनके मूल्य के आधार पर) अलग तरीके से कहा जा सकता है। तो, एक समकोण, न्यूनकोण, अधिक कोण और खुला है। प्रत्येक नाम एक निश्चित डिग्री माप या उसके अंतराल से मेल खाता है।
एक कोण को न्यून कहा जाता है, जिसकी माप 90 डिग्री से अधिक नहीं होती है।
एक अधिक कोण 90 डिग्री से अधिक है।
एक कोण को समकोण कहा जाता है जब इसकी डिग्री माप 90 होती है।
उस स्थिति में जब यह एक ठोस रेखा से बनता है, और इसकी डिग्री माप 180 है, इसे अनफोल्डेड कहा जाता है।
वे कोण जिनका एक उभयनिष्ठ पक्ष होता है, जिसका दूसरा पक्ष एक दूसरे को जारी रखता है, आसन्न कहलाते हैं। वे या तो तेज या कुंद हो सकते हैं। रेखा का प्रतिच्छेदन आसन्न कोनों का निर्माण करता है। उनके गुण इस प्रकार हैं:
- इन कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर होगा (इसे साबित करने वाला एक प्रमेय है)। इसलिए, उनमें से एक की गणना आसानी से की जा सकती है यदि दूसरा ज्ञात हो।
- पहले बिंदु से यह इस प्रकार है कि आसन्न कोनों को दो अधिक या दो तीव्र कोनों द्वारा नहीं बनाया जा सकता है।
इन गुणों के लिए धन्यवाद, आप हमेशा एक कोण के डिग्री माप की गणना कर सकते हैं, जिसमें दूसरे कोण का मान हो, या कम से कम उनके बीच का अनुपात हो।
लंबवत कोने
कोण, जिनकी भुजाएँ एक-दूसरे की निरंतरता होती हैं, लंबवत कहलाती हैं। उनकी कोई भी किस्म ऐसी जोड़ी के रूप में कार्य कर सकती है। ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं।
वे सीधी रेखाओं के चौराहे पर बनते हैं। उनके साथ सटे हुए कोने हमेशा मौजूद रहते हैं। एक कोण एक साथ एक के निकट और दूसरे के लंबवत हो सकता है।
एक मनमानी रेखा को पार करते समय, कई और प्रकार के कोणों पर भी विचार किया जाता है। इस तरह की रेखा को एक छेदक कहा जाता है, और यह संगत, एकतरफा और क्रॉस-क्रॉसिंग कोण बनाती है। वे बराबर हैं। उन्हें उन गुणों के प्रकाश में देखा जा सकता है जो लंबवत और आसन्न कोण हैं।
इस प्रकार कोणों का विषय काफी सरल और सीधा प्रतीत होता है। उनके सभी गुणों को याद रखना और सिद्ध करना आसान है। समस्याओं को हल करना तब तक मुश्किल नहीं है जब तक कि कोण एक संख्यात्मक मान के अनुरूप हों। पहले से ही, जब पाप और कारण का अध्ययन शुरू होता है, तो आपको कई जटिल सूत्रों, उनके निष्कर्षों और परिणामों को याद रखना होगा। उस समय तक, आप केवल उन आसान कार्यों का आनंद ले सकते हैं जिनमें आपको आसन्न कोनों को खोजने की आवश्यकता होती है।
कोण जिनमें एक भुजा उभयनिष्ठ है, और दूसरी भुजाएँ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं (आकृति में, कोण 1 और 2 आसन्न हैं)। चावल। कला के लिए। बगल के कोने... महान सोवियत विश्वकोश
सतत कोनों- एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा वाले कोण, और उनकी अन्य दो भुजाएँ एक ही सीधी रेखा पर होती हैं ... बड़ा पॉलिटेक्निक विश्वकोश
कोण देखें ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश
आसन्न कोण, दो कोण जो 180 ° तक जोड़ते हैं। इनमें से प्रत्येक कोना एक दूसरे को समतल कोण पर पूरक करता है ... वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश
कोण देखें। * * *आसन्न कोने आसन्न कोण, कोण देखें (कोण देखें) ... विश्वकोश शब्दकोश
- (आसन्न कोण) वे होते हैं जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है। मुख्य रूप से, इस नाम का अर्थ ऐसे एस कोण हैं, जिनमें से अन्य दो पक्ष शीर्ष के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं ... एनसाइक्लोपीडिक डिक्शनरी ऑफ एफ.ए. ब्रोकहॉस और आई.ए. एफ्रोन
कोण देखें ... प्राकृतिक विज्ञान। विश्वकोश शब्दकोश
दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे ऊर्ध्वाधर कोनों की एक जोड़ी बनती है। एक जोड़ी में कोण ए और बी होते हैं, दूसरे सी और डी के होते हैं। ज्यामिति में, दो कोणों को लंबवत कहा जाता है यदि वे दो के चौराहे द्वारा बनाए जाते हैं ... विकिपीडिया
पूरक कोणों की एक जोड़ी जो 90 डिग्री तक एक दूसरे के पूरक हैं। पूरक कोण कोणों की एक जोड़ी है जो एक दूसरे को 90 डिग्री तक पूरक करते हैं। यदि दो पूरक कोने आसन्न हैं (अर्थात एक सामान्य शीर्ष है और केवल अलग हैं ... ... विकिपीडिया
पूरक कोणों की एक जोड़ी जो 90 डिग्री तक एक दूसरे के पूरक हैं पूरक कोण कोणों की एक जोड़ी है जो एक दूसरे को 90 डिग्री तक पूरक करते हैं। यदि दो पूरक कोने हैं ... विकिपीडिया
पुस्तकें
- ज्यामिति में प्रमाण के बारे में, फेटिसोव एआई .. एक बार, स्कूल वर्ष की शुरुआत में, मुझे दो लड़कियों के बीच बातचीत सुननी पड़ी। उनमें से सबसे बड़ा छठी कक्षा में चला गया, सबसे छोटा पाँचवीं कक्षा में। लड़कियों ने पाठों के अपने प्रभाव साझा किए,...
- ज्यामिति। 7 वीं कक्षा। ज्ञान नियंत्रण के लिए जटिल नोटबुक, I. S. Markova, S. P. Babenko। मैनुअल 7 वीं कक्षा के छात्रों के ज्ञान की गुणवत्ता के वर्तमान, विषयगत और अंतिम नियंत्रण के लिए ज्यामिति पर नियंत्रण और माप सामग्री (सीएमएम) प्रस्तुत करता है। मैनुअल की सामग्री ...
इसके आकार के आधार पर प्रत्येक कोण का अपना नाम होता है:
| कोण दृश्य | डिग्री में आकार | उदाहरण |
|---|---|---|
| मसालेदार | 90 डिग्री सेल्सियस से कम | |
| सीधा | 90 ° के बराबर। ड्राइंग में, एक समकोण को आमतौर पर कोने के एक तरफ से दूसरी तरफ खींचे गए प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। |
 |
| कुंद | 90 ° से अधिक लेकिन 180 ° . से कम |  |
| सामने आया | 180 ° . के बराबर एक समतल कोण दो समकोणों के योग के बराबर होता है, और एक समकोण समतल कोण का आधा होता है। |
 |
| उत्तल | 180 ° से अधिक लेकिन 360 ° . से कम |  |
| भरा हुआ | 360 ° . के बराबर |  |
दो कोनों को कहा जाता है सटा हुआयदि उनकी एक भुजा उभयनिष्ठ है, और अन्य दो भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं:
कोने झाड़ूतथा पॉनबीम के बाद से आसन्न सेशन- सामान्य पक्ष, और अन्य दो पक्ष - ओएमतथा परएक सीधी रेखा बनाओ।
आसन्न कोनों की उभयनिष्ठ भुजा कहलाती है एक सीधी रेखा की ओर झुका हुआ, जिस पर दो अन्य भुजाएँ केवल तभी स्थित होती हैं जब आसन्न कोण एक दूसरे के बराबर न हों। यदि आसन्न कोण बराबर हों, तो उनकी उभयनिष्ठ भुजा होगी सीधा.
आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
दो कोनों को कहा जाता है खड़ायदि एक कोने के किनारे दूसरे कोने के किनारों को सीधी रेखाओं के पूरक करते हैं:
कोने 1 और 3, साथ ही कोने 2 और 4 लंबवत हैं।
ऊर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।
आइए हम सिद्ध करें कि ऊर्ध्वाधर कोण बराबर हैं:
1 और ∠2 का योग खुला कोण है। और ∠3 और ∠2 का योग खुला कोण है। इसलिए, ये दो राशियाँ बराबर हैं:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
इस समानता में, बाएँ और दाएँ का एक ही पद है - 2। यदि बाईं और दाईं ओर के इस पद को छोड़ दिया जाए तो समानता का उल्लंघन नहीं होता है। तब हमें मिलता है।
आसन्न कोना क्या है
इंजेक्शनएक ज्यामितीय आकृति (चित्र 1) है जो दो किरणों OA और OB (कोने की भुजाओं) से बनती है, जो एक बिंदु O (कोण के शीर्ष) से निकलती है।
सतत कोनों- दो कोण, जिनका योग 180° होता है। इनमें से प्रत्येक कोने दूसरे को एक चपटा कोने में पूरक करता है।
आसन्न कोने- (एगल्स एडजेसेट) वे होते हैं जिनमें एक सामान्य शीर्ष और एक सामान्य पक्ष होता है। मुख्य रूप से इस नाम के तहत ऐसे कोण होते हैं, जो अन्य दो पक्ष एक सीधी रेखा के विपरीत दिशाओं में स्थित होते हैं।
दो कोनों को आसन्न कहा जाता है यदि उनका एक पक्ष समान है, और इन कोनों के अन्य किनारे अतिरिक्त अर्ध-रेखाएं हैं।
चावल। 2
चित्र 2 में, कोण a1b और a2b आसन्न हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा b है, और भुजाएँ a1, a2 अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं।
चावल। 3
चित्र 3 रेखा AB को दर्शाता है, बिंदु C बिंदु A और B के बीच स्थित है। बिंदु D एक ऐसा बिंदु है जो रेखा AB पर नहीं है। यह पता चला है कि कोने बीसीडी और एसीडी आसन्न हैं। उनकी एक उभयनिष्ठ भुजा CD है, और भुजाएँ CA और CB सीधी रेखा AB की अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हैं, क्योंकि बिंदु A, B को प्रारंभिक बिंदु C से अलग किया जाता है।
आसन्न कोण प्रमेय
प्रमेय:आसन्न कोणों का योग 180° . होता है
सबूत:
कोण a1b और a2b आसन्न हैं (चित्र 2 देखें) बीम b विस्तारित कोण के पक्षों a1 और a2 के बीच से गुजरता है। इसलिए, कोणों a1b और a2b का योग सामने वाले कोण के बराबर है, अर्थात 180 °। प्रमेय सिद्ध होता है।
90° के बराबर कोण को समकोण कहते हैं। आसन्न कोणों के योग पर प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक समकोण से लगा हुआ कोण भी एक समकोण होता है। 90° से कम के कोण को न्यूनकोण तथा 90° से अधिक के कोण को अधिक कोण कहते हैं। चूँकि आसन्न कोणों का योग 180° होता है, न्यून कोण से लगा हुआ कोण अधिक कोण होता है। और अधिक कोण से लगा हुआ कोण न्यून कोण होता है।
आसन्न कोने- एक सामान्य शीर्ष के साथ दो कोने, जिनमें से एक पक्ष आम है, और शेष पक्ष एक सीधी रेखा पर स्थित हैं (संयोग नहीं)। आसन्न कोणों का योग 180° होता है।
परिभाषा 1.कोण समतल का वह भाग होता है जो एक समान मूल वाली दो किरणों से घिरा होता है।
परिभाषा 1.1.कोण एक ऐसी आकृति है जिसमें एक बिंदु होता है - कोण का शीर्ष - और इस बिंदु से निकलने वाली दो अलग-अलग अर्ध-रेखाएँ - कोण की भुजाएँ।
उदाहरण के लिए, अंजीर में VOS कोण। 1 पहले दो प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं पर विचार करें। जब वे प्रतिच्छेद करते हैं तो सीधी रेखाएँ कोनों का निर्माण करती हैं। विशेष मामले हैं:
परिभाषा 2.यदि कोने की भुजाएँ एक सीधी रेखा की अतिरिक्त अर्ध-रेखाएँ हों, तो कोण को खुला हुआ कोण कहा जाता है।
परिभाषा 3.एक समकोण 90 डिग्री का कोण होता है।
परिभाषा 4. 90 डिग्री से कम के कोण को न्यून कोण कहा जाता है।
परिभाषा 5. 90 डिग्री से अधिक और 180 डिग्री से कम के कोण को अधिक कोण कहा जाता है।
सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करना।
परिभाषा 6.दो कोने, जिनमें से एक तरफ आम है, और दूसरी तरफ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, आसन्न कहलाते हैं।
परिभाषा 7.वे कोण जिनकी भुजाएँ एक-दूसरे का विस्तार करती हैं, उर्ध्वाधर कोण कहलाते हैं।
आकृति 1:
आसन्न: 1 और 2; 2 और 3; 3 और 4; 4 और 1
लंबवत: 1 और 3; 2 और 4
प्रमेय 1।आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है।
सबूत के लिए, अंजीर में विचार करें। 4 आसन्न कोने AOB और BOS। उनका योग परिनियोजित कोण AOC है। इसलिए, इन आसन्न कोणों का योग 180 डिग्री है।
चावल। 4
संगीत के साथ गणित का संबंध
"कला और विज्ञान के बारे में सोचते हुए, उनके पारस्परिक संबंधों और अंतर्विरोधों के बारे में सोचते हुए, मैं इस निष्कर्ष पर पहुंचा कि गणित और संगीत मानव आत्मा के चरम ध्रुवों पर हैं, कि ये दो प्रतिपद किसी व्यक्ति की सभी रचनात्मक आध्यात्मिक गतिविधियों को सीमित और निर्धारित करते हैं और वह सब कुछ उनके बीच स्थित है, जिसे मानव जाति ने विज्ञान और कला के क्षेत्र में बनाया है।"
जी. न्यूहौस
ऐसा लगता है कि कला गणित से एक बहुत ही अमूर्त क्षेत्र है। हालांकि, गणित और संगीत के बीच संबंध ऐतिहासिक और आंतरिक दोनों रूप से निर्धारित होता है, इस तथ्य के बावजूद कि गणित विज्ञान का सबसे सार है, और संगीत कला का सबसे अमूर्त रूप है।
व्यंजन एक तार की ध्वनि को परिभाषित करता है जो कान को भाता है
यह संगीत प्रणाली दो कानूनों पर आधारित थी जो दो महान वैज्ञानिकों - पाइथागोरस और आर्किटास के नाम पर हैं। ये कानून हैं:
1. दो बजने वाले तार एकरूपता निर्धारित करते हैं यदि उनकी लंबाई एक त्रिभुज संख्या 10 = 1 + 2 + 3 + 4 बनाने वाले पूर्णांक के रूप में संबंधित है, अर्थात। जैसे 1:2, 2:3, 3:4। इसके अलावा, n के संबंध में संख्या n जितनी छोटी होगी: (n + 1) (n = 1,2,3), परिणामी अंतराल उतना ही अधिक व्यंजन होगा।
2. साउंडिंग स्ट्रिंग की दोलन आवृत्ति w इसकी लंबाई l के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
डब्ल्यू = ए: एल,
जहां ए स्ट्रिंग के भौतिक गुणों को दर्शाने वाला एक गुणांक है।
मैं आपको दो गणितज्ञों के बीच विवाद के बारे में एक मजेदार पैरोडी भी पेश करूंगा =)
हमारे चारों ओर ज्यामिति
हमारे जीवन में ज्यामिति का बहुत महत्व है। इस तथ्य के कारण कि जब आप चारों ओर देखते हैं, तो यह नोटिस करना मुश्किल नहीं होगा कि हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों से घिरे हुए हैं। हम हर जगह उनका सामना करते हैं: सड़क पर, कक्षा में, घर पर, पार्क में, जिम में, स्कूल कैफेटेरिया में, सिद्धांत रूप में, हम कहीं भी हों। लेकिन आज के पाठ का विषय कोयले से संबंधित है। तो आइए चारों ओर देखें और इस माहौल में कोनों को खोजने का प्रयास करें। यदि आप खिड़की से बाहर ध्यान से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि पेड़ की कुछ शाखाएं आसन्न कोनों का निर्माण कर रही हैं, और गेट पर विभाजन में, आप कई लंबवत कोनों को देख सकते हैं। अपने आस-पास के कोनों के उदाहरण दीजिए जो आप अपने परिवेश में देखते हैं।
अभ्यास 1।
1. यहाँ एक बुक स्टैंड पर एक टेबल पर एक किताब है। यह किस कोण का निर्माण करता है?
2. लेकिन छात्र लैपटॉप पर काम कर रहा है। आप यहाँ क्या कोण देखते हैं?
3. स्टैंड पर फोटो फ्रेम का कोण क्या है?
4. क्या आप सोचते हैं कि दो आसन्न कोनों का बराबर होना संभव है?
कार्य 2.
आपके सामने एक ज्यामितीय आकृति है। यह आंकड़ा क्या है, इसका नाम बताएं? अब सभी आसन्न कोनों को नाम दें जिन्हें आप इस ज्यामितीय आकार में देख सकते हैं।
कार्य 3.
यहाँ एक चित्र और एक चित्र की एक तस्वीर है। उन पर ध्यान से विचार करें और मुझे बताएं कि आप चित्र में किस प्रकार के कैच देखते हैं, और चित्र में कौन से कोण हैं।
समस्याओं को सुलझा रहा
1) दो कोण दिए गए हैं, जो एक दूसरे से संबंधित हैं, 1:2, और उनके आसन्न 7:5 के रूप में। आपको इन कोणों को खोजने की आवश्यकता है।2) यह ज्ञात है कि आसन्न कोणों में से एक दूसरे से 4 गुना बड़ा है। आसन्न कोण क्या हैं?
3) आसन्न कोणों को खोजना आवश्यक है, बशर्ते कि उनमें से एक दूसरे से 10 डिग्री बड़ा हो।
पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति पर गणितीय श्रुतलेख
1) ड्राइंग को पूरा करें: सीधी रेखाएं a I b बिंदु A पर प्रतिच्छेद करती हैं। गठित कोनों में से छोटे को संख्या 1 और शेष कोनों को चिह्नित करें - क्रमिक रूप से संख्या 2,3,4 के साथ; सीधी रेखा की पूरक किरणें a1 और a2 से होकर जाती हैं, और सीधी रेखा b से b1 i b2 तक।2) पूर्ण चित्र का उपयोग करते हुए, पाठ में रिक्त स्थान में वांछित मान और स्पष्टीकरण दर्ज करें:
ए) कोण 1 और कोण…। आसन्न क्योंकि...
b) कोण 1 और कोण…। लंबवत क्योंकि ...
ग) यदि कोण 1 = 60°, तो कोण 2 = ..., क्योंकि ...
d) यदि कोण 1 = 60°, तो कोण 3 = ..., क्योंकि ...
कार्यों को हल करें:
1. क्या 2 रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले 3 कोणों का योग 100° के बराबर हो सकता है? 370 डिग्री?
2. चित्र में आसन्न कोनों के सभी जोड़े खोजें। और अब ऊर्ध्वाधर कोने। इन कोनों का नाम बताइए।
3. ऐसा कोण ज्ञात करना आवश्यक है, जब वह अपने आसन्न कोण से तीन गुना बड़ा हो।
4. दो सीधी रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं। इस चौराहे के परिणामस्वरूप, चार कोनों का निर्माण हुआ। उनमें से किसी का मान ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि:
क) चार 84 ° में से 2 कोणों का योग;
बी) उनके 2 कोणों का अंतर 45 ° के बराबर है;
ग) एक कोण दूसरे कोण से 4 गुना कम है;
d) इन तीनों कोणों का योग 290° होता है।
पाठ सारांश
1. 2 रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर कौन से कोण बनते हैं?
2. चित्र में कोणों के सभी संभावित युग्मों के नाम लिखिए और उनके स्वरूप को परिभाषित कीजिए।
होम वर्क:
1. आसन्न कोणों के डिग्री मापों का अनुपात ज्ञात कीजिए, जब उनमें से एक दूसरे से 54° अधिक है।
2. 2 सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाले कोणों को ज्ञात कीजिए, बशर्ते कि इनमें से एक कोण इसके आसन्न 2 अन्य कोणों के योग के बराबर हो।
3. आसन्न कोणों को खोजना आवश्यक है जब उनमें से एक का समद्विभाजक दूसरे कोण से एक कोण बनाता है, जो दूसरे कोण से 60 ° अधिक है।
4. 2 आसन्न कोणों के बीच का अंतर इन दोनों कोणों के योग के एक तिहाई के बराबर है। 2 आसन्न कोनों के मान निर्धारित करें।
5. अंतर और 2 आसन्न कोणों का योग क्रमशः 1:5 से संबंधित है। आसन्न कोनों का पता लगाएं।
6. दो आसन्न लोगों के बीच का अंतर उनकी राशि का 25% है। 2 आसन्न कोणों के परिमाण कैसे संबंधित हैं? 2 आसन्न कोनों के मान निर्धारित करें।
प्रशन:
- एक कोण क्या है?
- कोण कितने प्रकार के होते हैं?
- आसन्न कोनों के बारे में क्या खास है?
अध्याय 1।
मूल अवधारणा।
§ग्यारह। आसन्न और लंबवत कोण।
1. आसन्न कोने।
यदि हम किसी कोने की भुजा को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें दो कोने प्राप्त होते हैं (चित्र 72): / एक ई.पू. और / CBD, जिसमें BC की एक भुजा उभयनिष्ठ है, और अन्य दो AB और BD एक सीधी रेखा में हैं।
दो कोने जिनमें एक भुजा उभयनिष्ठ है और अन्य दो एक सीधी रेखा बनाते हैं, आसन्न कोने कहलाते हैं।
आसन्न कोण इस प्रकार भी प्राप्त किए जा सकते हैं: यदि हम एक सीधी रेखा पर किसी बिंदु से एक किरण खींचते हैं (इस सीधी रेखा पर झूठ नहीं), तो हमें आसन्न कोण मिलते हैं।
उदाहरण के लिए, /
एडीएफ और /
FDВ - आसन्न कोने (चित्र। 73)।
आसन्न कोनों में विभिन्न प्रकार के स्थान हो सकते हैं (चित्र 74)।
आसन्न कोण एक समतल कोण में जुड़ते हैं, इसलिए साथ दो आसन्न कोनों की उम्मा है 2डी।
यहाँ से, एक समकोण को उसके आसन्न कोण के बराबर कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
आसन्न कोणों में से एक का परिमाण जानने के बाद, हम दूसरे आसन्न कोण का परिमाण ज्ञात कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, यदि आसन्न कोनों में से एक 3/5 . है डी, तो दूसरा कोण होगा:
2डी- 3 / 5 डी= एल 2/5 डी.
2. लंबवत कोण।
यदि हम कोने के किनारों को उसके शीर्ष से आगे बढ़ाते हैं, तो हमें ऊर्ध्वाधर कोने मिलते हैं। 75 आरेखण में, कोण EOF और AOC लंबवत हैं; कोण AOE और COF भी लंबवत हैं।
दो कोनों को लंबवत कहा जाता है यदि एक कोने के किनारे दूसरे कोने के किनारों के विस्तार होते हैं।
होने देना / 1 = 7 / 8 डी(चित्र। 76)। उसके पास / 2 2 . के बराबर होगा डी- 7 / 8 डी, यानी 1 1/8 डी.
इसी तरह, आप गणना कर सकते हैं कि क्या हैं /
3 और /
4.
/
3 = 2डी - 1 1 / 8 डी = 7 / 8 डी; /
4 = 2डी - 7 / 8 डी = 1 1 / 8 डी(चित्र। 77)।
हम देखते है कि / 1 = / 3 और / 2 = / 4.
आप समान समस्याओं में से कई को हल कर सकते हैं, और हर बार आपको एक ही परिणाम मिलेगा: लंबवत कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि ऊर्ध्वाधर कोण हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, व्यक्तिगत संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि विशेष उदाहरणों से निकाले गए निष्कर्ष कभी-कभी गलत हो सकते हैं।
तर्क द्वारा, प्रमाण के माध्यम से ऊर्ध्वाधर कोणों के गुण की वैधता को सत्यापित करना आवश्यक है।
प्रमाण निम्नानुसार किया जा सकता है (चित्र 78):
/
ए +/
सी = 2डी;
/
बी +/
सी = 2डी;
(चूंकि आसन्न कोणों का योग 2 . है डी).
/ ए +/ सी = / बी +/ सी
(चूंकि इस समानता का बायां भाग 2 . है डी, और इसका दाहिना हाथ भी 2 . के बराबर है डी).
इस समानता में एक ही कोण शामिल है साथ.
यदि हम समान मानों में से समान रूप से घटाते हैं, तो यह समान रूप से रहेगा। परिणाम होगा: / ए = / बीअर्थात् ऊर्ध्वाधर कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।
ऊर्ध्वाधर कोणों के प्रश्न पर विचार करते समय, हमने पहले समझाया कि कौन से कोण लंबवत कहलाते हैं, अर्थात दिए गए हैं परिभाषाऊर्ध्वाधर कोनों।
फिर हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की समानता के बारे में एक निर्णय (कथन) व्यक्त किया और हम प्रमाण द्वारा इस निर्णय की वैधता के बारे में आश्वस्त थे। ऐसे निर्णय, जिनकी वैधता सिद्ध की जानी चाहिए, कहलाते हैं प्रमेयों... इस प्रकार, इस खंड में हमने ऊर्ध्वाधर कोणों की परिभाषा दी है, और उनके गुण के बारे में एक प्रमेय भी व्यक्त और सिद्ध किया है।
भविष्य में, ज्यामिति का अध्ययन करते समय, हमें लगातार प्रमेयों की परिभाषाओं और प्रमाणों का सामना करना पड़ेगा।
3. एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले कोणों का योग।
ड्राइंग 79 /
1, /
2, /
3 और /
4 एक सीधी रेखा के एक तरफ स्थित हैं और इस सीधी रेखा पर एक उभयनिष्ठ शीर्ष है। कुल मिलाकर, ये कोण विस्तारित कोण बनाते हैं, अर्थात।
/
1+ /
2+/
3+ /
4 = 2डी.
ड्राइंग 80 / 1, / 2, / 3, / 4 और / 5 एक सामान्य शीर्ष है। ये सभी कोण मिलकर पूर्ण कोण बनाते हैं, अर्थात्। / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4डी.
व्यायाम।
1. आसन्न कोणों में से एक 0.72 . है डी।इन आसन्न कोणों के द्विभाजक द्वारा बनाए गए कोण की गणना करें।
2. सिद्ध कीजिए कि दो आसन्न कोणों के समद्विभाजक एक समकोण बनाते हैं।
3. सिद्ध कीजिए कि यदि दो कोण बराबर हों, तो उनके आसन्न कोण भी बराबर होते हैं।
4. 81 ड्राइंग में आसन्न कोनों के कितने जोड़े हैं?
5. क्या आसन्न कोनों के एक जोड़े में दो नुकीले कोने हो सकते हैं? दो तिरछे कोनों से? एक समकोण और एक अधिक कोण से? एक समकोण और एक तीव्र कोण से?
6. यदि आसन्न कोणों में से एक सीधा है, तो आप आसन्न कोण के मान के बारे में क्या कह सकते हैं?
7. यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक सीधी रेखा का एक कोना है, तो आप अन्य तीन कोणों के मान के बारे में क्या कह सकते हैं?
