भाग्यशाली टिकट कैसे खोजें। हैप्पी टिकट। लकी टिकट का क्या करें

भाग्यशाली टिकटों की संख्या की गणना करने की समस्या लंबे समय से जानी जाती है। यह प्रोग्रामिंग सीखने वाले लगभग किसी भी छात्र से पूछा गया था। इंटरनेट पर, आप इसके कई समाधान विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में पा सकते हैं। ये सभी विकल्प सभी मौजूदा टिकटों को छांटने और उन्हें "भाग्य" के लिए जाँचने के लिए उबालते हैं। यह एक लाख विकल्प निकला।

लेकिन इस समस्या को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, केवल एक हजार विकल्पों के माध्यम से।

आपको याद दिला दूं कि टिकट भाग्यशाली होते हैं यदि संख्या के पहले तीन अंकों का योग संख्या के अंतिम तीन अंकों के योग के बराबर हो। उदाहरण के लिए, "546780" संख्या वाला टिकट भाग्यशाली है, क्योंकि पहले तीन अंकों (5 + 4 + 6) का योग अंतिम तीन अंकों (7 + 8 + 0) के योग के बराबर है। चुनौती यह निर्धारित करना है कि कितने भाग्यशाली टिकट हैं।

सभी उदाहरणों में, इसे सिर पर हल किया जाता है, लेकिन क्या होगा यदि हम दूसरी तरफ जाएं? सबसे पहले, आइए एक और प्रश्न का उत्तर दें। तीन संख्याओं (तीन गुना) के कितने अलग-अलग संयोजन हैं जो . का योग करते हैं एन? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको सभी संभावित त्रिगुणों (एक हजार विकल्प) को छांटना होगा।

किसी भी त्रिक का योग शून्य (0 + 0 + 0) और 27 (9 + 9 + 9) के बीच होता है। इसलिए, रकम की एक सरणी तैयार की जा सकती है:

{एन _0, एन _1, एन _2, एन _3, …., एन _25, एन _26, एन _27}

कहाँ पे एन _ मैं- योग में देने वाले त्रिकों की संख्या मैं... इस मामले में, अंकों का योग सरणी में इस तत्व के सूचकांक के बराबर है।

ठीक है, हम इस तरह एक सरणी तैयार करेंगे, लेकिन इसका टिकटों से क्या लेना-देना है? आइए एक विशेष मामले पर विचार करें। सब कुछ मौजूद है एन _25त्रिक कुल 25 देते हैं। ऐसे प्रत्येक त्रिक के लिए, है एन _25ट्रिपल, जिनमें से प्रत्येक के साथ संयुक्त होने पर आपको एक भाग्यशाली संख्या मिलती है। इसलिए वहाँ है एन _25*एन _25लकी टिकट, जिसके पहले तीन अंकों का योग 25 है। इसी तरह अन्य राशियों के लिए। इस प्रकार, भाग्यशाली टिकटों की कुल संख्या है:

एन _0*एन _0 + एन _1*एन _1 + …. + एन _26*एन _26 + एन _27*एन _27

इस एल्गोरिथम को लागू करने वाले एप्लिकेशन का पूरा स्रोत कोड नीचे दिया गया है।

#शामिल #शामिल // तीन अंकों के योग के लिए विभिन्न विकल्पों की संख्या #define COUNT_SUMS 28 // तीन अंकों के योग अहस्ताक्षरित चार योग; / ***************//* रकम की एक सरणी शुरू करता है *// *********** ** **************** / शून्य इनिटसम (शून्य) (अहस्ताक्षरित चार i; के लिए (i = 0; i)< COUNT_SUMS; i++) sums[i] = 0; } /********************************/ /*Обрабатывает трехзначное число*/ /********************************/ void PerformNumber(unsigned short number) { unsigned short sum = 0; unsigned short val = number; unsigned char digit; //Добавляем количество сотен digit = (unsigned char)(val / 100); sum += digit; //Добавляем количество десятков val %= 100; digit = (unsigned char)(val / 10); sum += digit; //Добавляем количество единиц val %= 10; sum += val; //Учитываем в массиве сумм assert(sum < COUNT_SUMS); sums++; } /***********************************************/ /*Вычисляет общее количество счастливых билетов*/ /***********************************************/ unsigned long GetFullCount(void) { unsigned long count = 0; unsigned char i; for (i = 0; i < COUNT_SUMS; i++) count += sums[i] * sums[i]; return count; } /***********************************************/ /***********Главная процедура*******************/ /***********************************************/ int main() { //Инициализируем массив сумм InitSums(); //Обрабатываем все трехзначные числа unsigned short number; for (number = 0; number < 1000; number++) PerformNumber(number); //Вычисляем количество счастливых билетов и выводим его на экран printf("%d\\r\\n", GetFullCount()); return 0; }

कोड अच्छी तरह से टिप्पणी की गई है, इसलिए कोई प्रश्न नहीं होना चाहिए।

यदि आप योगों के सरणी को देखें, तो आप दो प्रेक्षण कर सकते हैं।

1. यह सममित है:

n_13 = n_14,

n_12 = n_15,

n_11 = n_16,

n_10 = n_17,

………………

एन _1 = एन _26,

एन _0 = एन _27.

2. सबसे अधिक टिकट हैं, जिनमें से पहले तीन अंकों का योग 13 और 14 है (उनमें से 75 हैं)।

त्रिक के एक पुनरावृत्ति में 28 तत्वों के योग का एक समूह तैयार किया जाता है। इसलिए, भाग्यशाली टिकटों की संख्या की गणना करने के लिए, 1000 विकल्पों की गणना करना पर्याप्त है।

अधिकांश छात्र अच्छी तरह से जानते हैं कि "भाग्यशाली टिकट" क्या है। और अक्सर स्कूली बच्चे भी। सच है, वे वास्तव में क्या हैं और उनके साथ क्या करना है - यहां राय अक्सर भिन्न होती है।

मुख्य रूप से, "एक छात्र के रूप में खुश"एक टिकट माना जाता है, जिसके उत्तर आप जानते हैं। यहां अपनी दादी के पास भी मत जाओ - आप परीक्षा में भाग्यशाली थे, एक भाग्यशाली टिकट निकाला और इसे पहली बार पास किया, भले ही आप सौ में से केवल दो प्रश्नों को सीखने में कामयाब रहे। हां, उसने इतनी तेजी से उत्तर दिया कि शिक्षक, "रोना और नम्र" से थक गया, उसने आपको अंत तक नहीं सुना - उसने आपको रिकॉर्ड बुक में ए के साथ भेजा और बाकी को निर्देश दिया: "देखो! देखो और किसी विषय को लेना सीखो! इस अच्छे आदमी से एक उदाहरण लो!"
मैं यही समझता हूँ - "हैप्पी टिकट"!

लेकिन टिकट हैं, वे यात्रा के टिकट भी हैं, जिन्हें या तो खुश या सुंदर माना जाता है। दूसरा अत्यंत दुर्लभ है। अक्सर उन्हें "खुश" कहा जाता है! किस तरह के टिकटों को ऐसा माना जाता है?
सबसे पहले, और यह एक अत्यंत दुर्लभ मामला है, एक टिकट को भाग्यशाली माना जाता है यदि उसकी संख्या समान है या सममित रूप से व्यवस्थित है।
उदाहरण के लिए: 555555 या 252252 ... पूर्ण समरूपता है।
लेकिन समरूपता अधूरी या दर्पण जैसी है। उदाहरण के लिए इस तरह: 251251 - संख्याओं को यहाँ सममित रूप से व्यवस्थित किया गया है, लेकिन संख्याएँ नहीं हैं।
किसी भी मामले में, उपरोक्त उदाहरण वास्तव में हैं "प्रसन्न"टिकट। क्या उनमें से कई हैं? ठीक है, मुझे लगता है कि आप आसानी से वह बहुत, बहुत कम - एक हजार से दस लाख, या हर हजारवां टिकट गिन सकते हैं। इस तरह के टिकट के किसी यात्री के हाथ में पड़ने की संभावना बेहद कम है। अब तक, मेरे जीवन में केवल दो ऐसे टिकट मेरे पास गिरे हैं, हालाँकि मैं अक्सर सार्वजनिक परिवहन से यात्रा करता हूँ,
क्या आप सुख चाहते हैं? इसलिए, रास्ते की ऊब में विचित्र और तेज-तर्रार यात्री तुरंत "खुशी" के अन्य विकल्पों के साथ आए। उदाहरण के लिए, किसी संख्या में समान अंक, किसी विशेष क्रम में नहीं: 251521 , उदाहरण के लिए। यहां कोई समरूपता नहीं है, लेकिन सभी संख्याएं मौजूद हैं। आगे और भी। एक टिकट को भाग्यशाली माना जाता था यदि तीनों का योग समान था। उदाहरण के लिए, 474195:

4+7+4=15= 1+9+5

1. टिकटों के उदाहरण, "राशि में भाग्यशाली":

फिर, हर कोई जानता है कि ऐसे टिकट पाए जाते हैं, हालांकि हर दिन नहीं, लेकिन फिर भी बहुत बार। लगभग हर 18वां टिकट "राशि में भाग्यशाली" होता है। और अगर आप लगातार यात्रा करते हैं, तो वे सप्ताह में कम से कम एक बार मिलते हैं। एक बार मैंने एक छोटा सा प्रयोग किया: मैंने उन्हें फेंका नहीं, बल्कि महीने के अंत में इन टिकटों को गिनने के लिए अपने बैग की जेब में रख लिया। यह बहुत समय पहले की बात है, मुझे ठीक से याद नहीं है कि कितने, लेकिन मेरे पास महीने में कम से कम दस थे। यह देखते हुए कि मैं दिन में औसतन दो या तीन बार नगरपालिका परिवहन का उपयोग करता हूं (बाकी समय मैं मिनी बसों का उपयोग करता हूं, और किसी कारण से हम वहां टिकट जारी नहीं करते हैं), यह पता चला है कि प्रत्येक 6-9 यात्रा "पुरस्कृत" है। इतनी साधारण खुशी के साथ ... खैर, या हर तीन दिन में एक टिकट। लेकिन यह, आप देखते हैं, मुझे अभी एक भाग्यशाली महीना मिला है, क्योंकि हर 18 वें टिकट पर आना चाहिए, जैसा कि यह था, कम बार।
दरअसल, कई बार ऐसा होता है कि एक महीने में एक भी नहीं पकड़ा जाएगा। तो तुम क्या करते हो? और आविष्कार की आवश्यकता चालाक है। उदाहरण के लिए, टिकट हैं, "मास्को में खुश"(वे - "लेनिनग्राद में") - यह तब होता है जब अंकों के तीन गुना नहीं, बल्कि उनके जोड़े गिने जाते हैं। उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं वाली प्रत्येक सम संख्या का योग: 6 3 49 86 . यहाँ:

3+9+6= 18= 6+4+8

आपको क्या लगता है, क्या ऑपरेशन का उपयोग करने के अलावा, क्या यह संभव है घटाव? निःसंदेह तुमसे हो सकता है! मुख्य बात यह है कि अपने लिए तय करें कि कैसे घटाना है - क्रम में या अधिक से कम: 720821 ... यहाँ:

7-2-0=5= 8-2-1

लेकिन ... हमारे लिए यह प्रथा नहीं है कि हम किसी तरह "खुशी को घटाएं"। जब इसे जोड़ा या गुणा किया जाए तो बेहतर है!

इसलिए, मैं अपने लिए एक अन्य प्रकार के भाग्यशाली टिकट लेकर आया: "गुणा करने के लिए खुश"!
अपने आप को एक अतिरिक्त पाने के लिए संख्याओं को तीन से गुणा करना पर्याप्त है "गुणक"प्रफुल्लता। उदाहरण के लिए: 338924. यहाँ:

3*3*8=72= 9*2*4

इसे अपने स्वास्थ्य के लिए प्रयोग करें! और फिर आप सब कुछ क्यों जोड़ रहे हैं और सारांशित कर रहे हैं ... आप गुणा भी कर सकते हैं!

अद्यतन: इसके अलावा, आप केवल गुणा नहीं कर सकते हैं! यहाँ, टिप्पणियों में डॉकब्राउन्स ध्यान दिया कि आप एक शक्ति को भी बढ़ा सकते हैं! मिसाल के तौर पर 261812 :

(2^6)^1 = 64 = (8^1)^2

और यह कई बार "खुशी पाने" और यात्रा के मनोरंजन की संभावना दोनों को बढ़ा देता है।

2. टिकट का एक उदाहरण, "गुणा में खुश"एक ला:

यदि आप सार्वजनिक परिवहन का उपयोग करते हैं, तो यात्रियों पर करीब से नज़र डालें। बहुत बार, आप देख सकते हैं कि कैसे, जब वे टिकट प्राप्त करते हैं, तो वे इसकी संख्या का अध्ययन करना शुरू करते हैं। हर कोई खुशियों की तलाश में है... और फिर उसका क्या करें? एक बार मैंने दो लड़कियों के बीच बातचीत सुनी, जो परीक्षा देने जा रही थीं: "वाह! मेरे पास एक भाग्यशाली टिकट है!" एक चिल्लाया। "इसे खाओ! फिर आप परीक्षा पास करेंगे !!!" दूसरे ने तुरंत जवाब दिया। सच में, मैं हंस रहा था। बेहतर है कि वे उस खुशी की उम्मीद करें "एक छात्र के रूप में"जिस टिकट का मैंने शुरुआत में जिक्र किया था। और इससे भी बेहतर - ताकि सभी पचास कोर्स के टिकट उनके लिए खुश हों। लेकिन ... वे व्याख्यान सीखने के बजाय ट्रॉली खाएंगे।
लोग! कूपन खाने की जरूरत नहीं है! यह बिल्कुल भी उपयोगी नहीं है। और यह आपको खुशी नहीं लाएगा। लकी टिकट को आसान समझें - एक बार यह तुम्हारे लिए गिर गया, तो सुख नहीं आएगा , नहीं - तुम पहले से ही खुशया, अधिक सरलता से, भाग्यशालीइंसान! बस इतना ही। यह आपके मूड को थोड़ा सुधारने का सिर्फ एक कारण है। शगुन में विश्वास न करें - वे हमेशा तथ्यों पर आधारित होते हैं, और अक्सर वे नुकसान भी पहुंचा सकते हैं, खासकर यदि आप जमीन से चार पत्ती वाले फूल या पुनर्नवीनीकरण सामग्री से कागज के कूपन और बस में खाना शुरू करते हैं! जैसा कि उस मजाक में है: मैंने एक भाग्यशाली टिकट खा लिया, और फिर खुशी गिर गई - नियंत्रक आ गया!

"भाग्यशाली टिकट" को अंकगणितीय अभ्यासों के साथ अपनी यात्रा के समय को पारित करने के तरीके के रूप में और इसमें आनन्दित होने के एक अतिरिक्त कारण के रूप में व्यवहार करें।

वैसे, पिताजी और माताओं के लिए, ध्यान दें: बच्चों को इस तरह के अभ्यासों के बारे में बताना बहुत उपयोगी है। स्कूल में, वे वास्तव में मौखिक गिनती पसंद नहीं करते हैं, इसलिए भले ही उन्हें ट्रॉलीबसों में संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने में मज़ा आता हो। यह वयस्कों को भी नुकसान नहीं पहुंचाएगा: उत्तराधिकार में और एक के बाद एक, समानता, समरूपता, बहुलता की अवधारणाओं में महारत हासिल करना ... और आप विभाजन के साथ घटाव के बारे में भी याद कर सकते हैं। किसी भी हाल में इस तरह के मजेदार टास्क बच्चे के विकास को नुकसान नहीं पहुंचाएंगे।

और अगर आप टिकट के साथ बदकिस्मत हैं - निराश न हों! सड़क पर "भाग्यशाली संख्या" के साथ बहुत सारी कारें चल रही हैं!

सौभाग्य और खुशी!

"हैप्पी टिकट"
हम सब परिवहन के लिए जाते हैं। काम के रास्ते में, घर पर, आराम करने के लिए और
आदि। और बहुत बार हम एक यात्रा टिकट खरीदते हैं, जो कि ज्यादातर
छह अंकों की संख्या के मामले। टिकट संख्या के पहले तीन अंकों को जोड़ना और
दूसरे तीन अंकों के योग से उनकी तुलना करते हुए, हम "खुशी" को परिभाषित करते हैं
इस टिकट का। "भाग्यशाली" संख्या के साथ, सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है और
ज्यादातर लोग जानते हैं। अन्य गैर-शून्य संख्याओं के बारे में क्या? यह स्पष्ट है कि
संख्याओं में अंतर 0 से 27 तक भिन्न होता है। इस तरह इस टैबलेट का जन्म हुआ ...
टिकट की कार्रवाई तुच्छ है (वैसे, इसका होना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है!) -
टिकट सक्रियण के क्षण से या खरीद तक ​​24 घंटे के लिए वैध है
एक अर्थहीन संख्या के साथ अगला टिकट। टिकट सक्रियण
संख्या गिनने और उसका अर्थ समझने के बाद होता है - तो
एक जादू की रस्म कहो।
(नोट: यदि अगले टिकट का एक स्वतंत्र मूल्य है, और
पिछला एक अभी तक समाप्त नहीं हुआ है - एक मान दूसरे पर आरोपित है। कुंआ,
उदाहरण के लिए - आपने संख्या के अंतर के साथ टिकट लिया = 1 = - जिसका अर्थ है
दिनांक। हम दूसरे ट्रांसपोर्ट में चले गए, बिना किसी से मिले हम जानते थे -
यानी, टिकट अभी भी सक्रिय है और "ट्रिगर" नहीं किया गया है। हमने एक नया टिकट लिया - और पर
संख्याओं में उसका अंतर = 7 = - यानी चूना। तो क्या या क्या हो सकता है
दो घटनाएँ, या वे एक में विलीन हो जाती हैं - एक तिथि पर जो आपको अभी भी मिलती है
समाचार ("मैं गर्भवती हूँ!" - मजाक ...) और इसी तरह। के संयोजन
लेखकों द्वारा तीन संख्याओं के अनुक्रमों का परीक्षण नहीं किया गया - कोई बड़ा नहीं है
तीन स्थानान्तरण के साथ ड्राइविंग करते समय सांख्यिकीय डेटा - एक दुर्लभ वस्तु,
समझना)।
यह योजना अनुभवजन्य रूप से निर्धारित की जाती है। जैसा कि किसी भी प्रयोग में होता है
वास्तव में, त्रुटियां संभव हैं। अपने अवलोकन भेजें और वे करेंगे
अगली बार ध्यान में रखा गया।

संख्याओं का अंतर अर्थ व्याख्या

0 भाग्य नियोजित कोई भी व्यवसाय अच्छी तरह से समाप्त होगा या आप करेंगे
कुछ स्पष्ट रूप से भाग्यशाली है।

1 तिथि आप एक ऐसे व्यक्ति से मिलेंगे जिसे देखकर आप प्रसन्न होंगे (बैठक)
व्यक्तिगत, काम के लिए नहीं)।

2 बैठक आपके पास एक व्यावसायिक बैठक है।

3 दोहराएँ कुछ दोहराना होगा, अन्यथा यह काम नहीं करेगा।

4 चेतावनी सावधान रहें! आज आपको मामले में देर हो सकती है
गंतव्य! आराम न करें और सब कुछ सफल होगा। लेकिन अगर आप गपशप करते हैं -
देर से आने की गारंटी!

5 सुखदता कोई सुखद मुलाकात या कार्यक्रम आपके मूड को सुधारेगा!

6 परेशानी कोई अप्रिय मुलाकात या घटना आपको बर्बाद कर सकती है
मनोदशा। ज्यादा चिंता मत करो!

7 समाचार आपको किसी से समाचार प्राप्त होगा!

8 अराजकता आज कुछ एक साथ नहीं बढ़ पाएगा गोदी, खत्म...

9 बंद आज शुरू हुए कुछ कारोबार पूरी तरह बंद रहेंगे।

10 आज से तुम कोई नया काम शुरू करोगे, वा कोई नया विचार तुम्हारे मन में उठेगा,
विचार।

11 वेल वॉक, या ट्रैफिक जाम, या आपको बस टहलना है ...

12 दर्जन संभवत: शराब पी रहे थे...

13 डेविल्स दर्जन
राज्यों...

14 का मतलब कुछ नहीं
15 मतलब कुछ नहीं
16 मतलब कुछ नहीं
17 का मतलब कुछ नहीं
18 का मतलब कुछ नहीं
19 का मतलब कुछ नहीं
20 का मतलब कुछ नहीं
21 का मतलब कुछ नहीं
22 मतलब कुछ नहीं
23 मतलब कुछ नहीं
24 का कोई मतलब नहीं है
25 दोहराएँ कुछ दोहराना होगा, अन्यथा यह काम नहीं करेगा।

26 बैठक आपके पास एक व्यावसायिक बैठक है।

27 तारीख तुम एक ऐसे व्यक्ति से मिलोगे जिसे देखकर तुम प्रसन्न होओगे
(व्यक्तिगत बैठक, काम के लिए नहीं)।

50 सेंट का भुगतान करने के कितने तरीके हैं? हम मानते हैं कि आप 1 पैसा, 5 निकल, 10 डाइम्स, 25 क्वार्टर और 50 आधा डॉलर का भुगतान कर सकते हैं। Gyorgy Poya ने जनरेटिंग फ़ंक्शंस का उपयोग करके इसे हल करने के लिए एक शिक्षाप्रद तरीके का प्रदर्शन करके इस समस्या को लोकप्रिय बनाया।

आइए सभी संभावित विनिमय विधियों का प्रतिनिधित्व करने वाली अनंत राशि लिखें। शुरू करने के लिए सबसे आसान जगह है जब सिक्कों की कम किस्में होती हैं, तो आइए यह मानकर शुरू करें कि हमारे पास एक पैसे के अलावा कोई सिक्का नहीं है। एक पैसा (और केवल एक पैसा) की एक निश्चित राशि का भुगतान करने के सभी तरीकों का योग इस प्रकार लिखा जा सकता है

चूंकि प्रत्येक भुगतान विकल्प में पहले गुणक से चुने गए कई निकल शामिल होते हैं, और एक निश्चित संख्या में पेनीज़ होते हैं, जिन्हें चुना जाता है पी... (ध्यान दें कि एन बराबर नही हैं 1 + 1 + 5 + (1 + 5) 2 + (1 + 5) 3 + ... की राशि, क्योंकि इस राशि में एक से अधिक बार कई प्रकार के भुगतान शामिल हैं। उदाहरण के लिए, शब्द (1 + 5) 2 = 1 1 + 1 5 + 5 1 + 5 5, 1 5 और 5 1 को अलग-अलग मानते हैं, लेकिन हम सिक्कों के सभी सेटों को एक बार सूचीबद्ध करना चाहते हैं, चाहे उनका क्रम कुछ भी हो ।)

इसी तरह, यदि हम भी डाइम्स की अनुमति देते हैं, तो हमें एक अनंत राशि मिलती है

हमारा काम यह पता लगाना है कि कितने शब्दों में सीलागत ठीक 50 सेंट।

एक आसान से टोटके से समस्या का समाधान हो जाता है। 1 को से बदलें जेड, 5 बजे जेड 5, 10 बजे जेड 10, 25 को जेड 25 और 50 पर जेड 50. फिर प्रत्येक पद को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा जेड एन, कहाँ पे एन- पेनीज़ में मूल शब्द की लागत। उदाहरण के लिए, पद 50 10 5 5 1 बन जाता है जेड 50+10+5+5+1 = जेड 71. 13 सेंट, अर्थात् 10 1 3, 5 1 8, 5 2 1 3 और 1 13 का भुगतान करने के चार संभावित तरीकों में से प्रत्येक को घटाकर कम कर दिया जाएगा जेडतेरह; इसलिए, पर गुणांक जेड 13 के बाद जेड-प्रतिस्थापन 4 होगा।

होने देना पीएन, एनएन, डीएन, क्यूएन और सी n राशि का भुगतान करने के तरीकों की संख्या को निरूपित करें एनसेंट, यदि आप पुराने सिक्कों का उपयोग नहीं कर सकते हैं, क्रमशः 1, 5, 10, 25 और 50 सेंट। हमारे विश्लेषण से पता चला है कि ये संख्याएं गुणांक हैं जेड एनइसी शक्ति श्रृंखला में

पी =	1 + जेड + जेड 2 + जेड 3 + जेड 4 + ... ,
एन =	(1 + जेड 5 + जेड 10 + जेड 15 + जेड 20 + ...)पी,
डी =	(1 + जेड 10 + जेड 20 + जेड 30 + जेड 40 + ...)एन,
क्यू =	(1 + जेड 25 + जेड 50 + जेड 75 + जेड 100 + ...)डी,
सी =	(1 + जेड 50 + जेड 100 + जेड 150 + जेड 200 + ...)क्यू.

जाहिर सी बात है पी एन= 1 सभी के लिए एन 0. एक संक्षिप्त प्रतिबिंब पर, यह साबित करना आसान है कि एन एन = [एन/ 5] + 1: में राशि जोड़ने के लिए एनपैसे और निकल से सेंट, हमें 0, या 1, या ..., या [ एन/ 5] निकल्स, जिसके बाद आवश्यक संख्या में पेनीज़ चुनने का केवल एक ही तरीका है। तो मान पी एनतथा एन एनगणना करना आसान है, लेकिन साथ डी एन , क्यू एनतथा सी एनमामला कहीं अधिक जटिल है।

इन सूत्रों के अध्ययन के दृष्टिकोणों में से एक इस अवलोकन पर आधारित है कि 1 + जेड एम + जेड 2एम+ ... सिर्फ 1 / (1 - है) जेड एम) इसलिए, हम लिख सकते हैं

अब, गुणांकों की बराबरी करते हुए जेड एनइन समीकरणों में, हम पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करते हैं, जिससे वांछित गुणांक की गणना आसानी से की जाती है:

उदाहरण के लिए, गुणांक at जेड एनवी डी= (1 - जेड 25)क्यूके बराबर है क्यू एन – क्यू एन-25; तो वहाँ होना चाहिए क्यू एन – क्यू एन-25 = डी एनजैसा कि ऊपर लिखा गया है।

इन रिश्तों को प्रकट करना और व्यक्त करना संभव होगा क्यू एन, उदाहरण के लिए, रूप में क्यू एन = डी एन + डी एन-25 + डी एन-50 + डी एन-75 + ... जहां सूचकांक नकारात्मक होने पर योग टूट जाता है। हालांकि, मूल, गैर-पुनरावृत्तीय रूप सुविधाजनक है क्योंकि प्रत्येक गुणांक की गणना केवल एक जोड़ का उपयोग करके की जाती है, जैसा कि पास्कल के त्रिकोण में है।

हम इन संबंधों का उपयोग खोजने के लिए करते हैं सी 50. पहले तो, सी 50 = सी 0 + क्यू 50 इसलिए हमें जानने की जरूरत है क्यू 50. आगे, क्यू 50 = क्यू 25 + डी 50 और क्यू 25 = क्यू 0 + डी 25; इसलिए हम भी रुचि रखते हैं डी 50 और डी 25. ये मान डी एनबदले में निर्भर डी 40 , डी 30 , डी 20 , डी 15 , डी 10 और डी 5 और से एन 50 , एन 45 , ..., एन 5 . इस प्रकार, सभी आवश्यक गुणांक निर्धारित करने के लिए, सरल गणना करने के लिए पर्याप्त है:

एन	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
पी न	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
एन नहीं	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
डी नहीं	1	2	4	6	9	12	16		25		36
क्यू नहीं	1					13					49
सी नहीं	1										50

तालिका में सबसे नीचे उत्तर है सी 50: 50 सेंट टिपने के ठीक 50 तरीके हैं।

और के लिए बंद फॉर्म के बारे में क्या? सी एन? सभी समीकरणों को गुणा करने से हमें जनरेटिंग फंक्शन के लिए एक कॉम्पैक्ट व्यंजक मिलता है

जो का एक तर्कसंगत कार्य है जेड, जिसके हर की डिग्री 91 है। इस प्रकार, हम हर को 91 कारकों में विभाजित कर सकते हैं और व्यक्त कर सकते हैं सी एन"बंद रूप" में, 91 शब्दों से मिलकर। लेकिन इतनी भयानक अभिव्यक्ति किसी द्वार में नहीं जाती। क्या इस विशेष मामले में कुछ बेहतर खोजना संभव है, और सामान्य पद्धति को लागू नहीं करना?

और यहाँ आशा की पहली किरण है: यदि सी(जेड) 1 / (1 -) बदलें जेड) से (1 + जेड + जेड 2 + जेड 3 + जेड 4)/(1 - जेड 5):

= (1 + जेड + जेड 2 + जेड 3 + जेड 4)Č (जेड 5), Č (जेड) =

तो "निचोड़ा" फ़ंक्शन के हर की डिग्री Č (जेड) पहले से ही केवल 19 है, इसलिए यह फ़ंक्शन मूल वाले की तुलना में बहुत बेहतर है। के लिए नई अभिव्यक्ति सी(जेड) दिखाता है, विशेष रूप से, कि सी 5एन = सी 5एन+1 = सी 5एन+2 = सी 5एन+3 = सी 5एन+4; वास्तव में, इस संबंध की व्याख्या करना आसान है: 53 सेंट की एक टिप ठीक उसी तरह से दी जा सकती है जैसे 50 सेंट की नोक, क्योंकि पैसे मॉड्यूलो 5 की संख्या पहले से ज्ञात है।

हालांकि, यहां तक ​​कि के लिए Č (जेड) हर के मूल पर आधारित कोई सरल व्यंजक नहीं है। शायद बाधाओं की गणना करने का सबसे आसान तरीका Č (जेड) प्राप्त होगा यदि हम देखते हैं कि हर का प्रत्येक गुणनखंड 1 का भाजक है - जेड 10. इसलिए, हम लिख सकते हैं

यहाँ, पूर्णता के लिए, के लिए एक विस्तृत अभिव्यक्ति ए(जेड):

(1 + जेड + ... + जेड 9) 2 (1 + जेड 2 + ... + जेड 8)(1 + जेड 5) =
= 1 + 2जेड + 4जेड 2 + 6जेड 3 + 9जेड 4 + 13जेड 5 + 18जेड 6 + 24जेड 7 +
+ 31जेड 8 + 39जेड 9 + 45जेड 10 + 52जेड 11 +57जेड 12 + 63जेड 13 + 67जेड 14 + 69जेड 15 +
+ 69जेड 16 + 67जेड 17 + 63जेड 18 + 57जेड 19 + 52जेड 20 + 45जेड 21 + 39जेड 22 + 31जेड 23 +
+ 24जेड 24 + 18जेड 25 + 13जेड 26 + 9जेड 27 + 6जेड 28 + 4जेड 29 + 2जेड 30 + जेड 31 .

और अंत में, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि

हम गुणांकों के लिए निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करते हैं: Č एनडिग्री पर जेड एनसमारोह विस्तार में Č (जेड), जिसमें एन = 10क्यू + आरऔर 0≤ आर<1 0:

Č 10क्यू+आर =	∑	ए जे	(	क + 4 क	)	=
	जे, क 10क+जे=एन

= ए आर

(

क्यू + 4 क्यू

)

+ ए आर+10

(

क्यू + 3 क्यू

)

+ ए आर+20

(

क्यू + 2 क्यू

)

+ ए आर+30

(

क्यू + 1 क्यू

)

.

इसमें वास्तव में 10 अलग-अलग मामले हैं, प्रत्येक मान के लिए एक। आर; लेकिन यह अभी भी उन विकल्पों की तुलना में एक बहुत अच्छा बंद फॉर्मूला है जिसमें जटिल संख्याओं की शक्तियां शामिल हैं।

इस व्यंजक का उपयोग करके, हम उदाहरण के लिए, मान का पता लगा सकते हैं सी 50क्यू = Č 10क्यू... यहाँ आर= 0 और हमारे पास है

1 डॉलर की राशि के लिए यह निकला

(

6 4

)

+ 45

(

5 4

)

+ 52

(

4 4

)

= 292 तरीके;

और एक मिलियन डॉलर के लिए यह संख्या होगी

(

2000004 4

)

+ 45

(

2000003 4

)

+ 52

(

2000002 4

)

+ 2

(

2000001 4

)

=

= 66666793333412666685000001.