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सबसे पहले, आइए डिग्री और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद करें।

एक संख्या का उत्पाद एस्वयं n बार होता है, हम इस व्यंजक को a… a=a n . के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए ​​एन) एम = एक एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम \u003d ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घात (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण:

इस उदाहरण में, संख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे होती है, और चर एक्सडिग्री या माप।

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 एक्स *5=10
16x-4x-6=0

अब देखते हैं कि घातांकीय समीकरण कैसे हल किए जाते हैं?

आइए एक साधारण समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

ऐसा उदाहरण मन में भी सुलझ सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आखिरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष समान होने के लिए, आपको x के बजाय संख्या 3 डालने की आवश्यकता है।
अब देखते हैं कि यह निर्णय कैसे लिया जाना चाहिए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया एक ही आधार(अर्थात, ड्यूस) और जो बचा था उसे लिख दिया, ये डिग्री हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हमें तलाश थी।

आइए अब हमारे समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है वहीक्या समीकरण के आधार दाईं ओर और बाईं ओर हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान होने के बाद, समानताडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

अब कुछ उदाहरण हल करते हैं:

आइए सरल शुरू करें।

बाईं और दाईं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण निकला है।
एक्स = 4 - 2
एक्स = 2
उत्तर: x=2

निम्नलिखित उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं, ये 3 और 9 हैं।

3 3x - 9 x + 8 = 0

आरंभ करने के लिए, हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2 . आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x \u003d (3 2) x + 8

हमें 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 . मिलता है

3 3x \u003d 3 2x + 16 अब यह स्पष्ट है कि बाईं और दाईं ओर के आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

3x=2x+16 को सबसे सरल समीकरण मिला
3x-2x=16
एक्स = 16
उत्तर: एक्स = 16।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार अलग-अलग हैं। और हमें वही होना चाहिए। हम सूत्र (a n) m = a nm के अनुसार चौगुनी को रूपांतरित करते हैं।

4 x = (2 2) x = 2 2x

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमारे साथ हस्तक्षेप करती हैं। उनका क्या करें? यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हम 2 2x दोहराते हैं, यहाँ उत्तर है - हम कोष्ठक में से 2 2x डाल सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में व्यंजक की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

कल्पना कीजिए 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 आधार समान हैं, उन्हें त्यागें और डिग्री की बराबरी करें।
2x \u003d 2 सबसे सरल समीकरण निकला। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1।

आइए समीकरण को हल करें:

9 x - 12*3 x +27= 0

आइए रूपांतरित करें:
9 x = (3 2) x = 3 2x

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पहले ट्रिपल में दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दो बार (2x) डिग्री है। इस मामले में, आप तय कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. सबसे छोटी डिग्री वाली संख्या को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

फिर 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

हम सभी डिग्री को x के साथ समीकरण में t के साथ बदलते हैं:

टी 2 - 12टी + 27 \u003d 0
हमें द्विघात समीकरण मिलता है। हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
डी=144-108=36
t1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर वापस जाएं एक्स.

हम टी 1 लेते हैं:
टी 1 \u003d 9 \u003d 3 x

अर्थात्,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:
टी 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: एक्स 1 \u003d 2; एक्स 2 = 1.

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इस सामग्री के ढांचे में, हम विश्लेषण करेंगे कि किसी संख्या की शक्ति क्या है। बुनियादी परिभाषाओं के अलावा, हम यह भी तैयार करेंगे कि प्राकृतिक, पूर्णांक, तर्कसंगत और अपरिमेय घातांक के साथ कौन सी डिग्री हैं। हमेशा की तरह, सभी अवधारणाओं को कार्यों के उदाहरणों के साथ चित्रित किया जाएगा।

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सबसे पहले, हम एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री की मूल परिभाषा तैयार करते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें गुणन के बुनियादी नियमों को याद रखना होगा। आइए हम पहले से स्पष्ट कर दें कि कुछ समय के लिए हम एक वास्तविक संख्या को आधार के रूप में लेंगे (आइए इसे अक्षर a से निरूपित करें), और एक संकेतक के रूप में - एक प्राकृतिक संख्या (अक्षर n द्वारा निरूपित)।

परिभाषा 1

एक प्राकृतिक घातांक n के साथ n की शक्ति कारकों की nवें संख्या का गुणनफल है, जिनमें से प्रत्येक संख्या a के बराबर है। डिग्री इस तरह लिखी जाती है: एक, और एक सूत्र के रूप में, इसकी संरचना को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

उदाहरण के लिए, यदि घातांक 1 है और आधार a है, तो a की पहली घात इस प्रकार लिखी जाती है एक 1. यह देखते हुए कि a गुणनखंड का मान है और 1 गुणनखंडों की संख्या है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ए 1 = ए.

सामान्य तौर पर, हम कह सकते हैं कि डिग्री बड़ी संख्या में समान कारकों को लिखने का एक सुविधाजनक रूप है। तो, फॉर्म का एक रिकॉर्ड 8 8 8 8को घटाया जा सकता है 8 4 . लगभग उसी तरह, उत्पाद हमें बड़ी संख्या में शब्द लिखने से बचने में मदद करता है (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); हम पहले ही प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के लिए समर्पित लेख में इसका विश्लेषण कर चुके हैं।

डिग्री के रिकॉर्ड को सही तरीके से कैसे पढ़ें? आम तौर पर स्वीकृत विकल्प "एन की शक्ति के लिए ए" है। या आप "a की nth power" या "nth power" कह सकते हैं। यदि, कहते हैं, उदाहरण में एक प्रविष्टि है 8 12 , हम "8 से 12वीं शक्ति", "8 से 12 की शक्ति" या "8 की 12वीं शक्ति" पढ़ सकते हैं।

संख्या के दूसरे और तीसरे अंश के अपने सुस्थापित नाम हैं: वर्ग और घन। यदि हम दूसरी शक्ति देखते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 7 (7 2) की, तो हम "7 वर्ग" या "संख्या 7 का वर्ग" कह सकते हैं। इसी तरह थर्ड डिग्री को इस तरह पढ़ा जाता है: 5 3 "संख्या 5 का घन" या "5 घन" है। हालाँकि, मानक शब्दों का उपयोग "दूसरी / तीसरी डिग्री में" करना भी संभव है, यह कोई गलती नहीं होगी।

उदाहरण 1

आइए एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का एक उदाहरण देखें: के लिए 5 7 पांच आधार होंगे, और सात संकेतक होंगे।

आधार का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है: डिग्री के लिए (4 , 32) 9 आधार भिन्न 4, 32 होगा और घातांक नौ होगा। कोष्ठक पर ध्यान दें: ऐसा अंकन सभी डिग्री के लिए किया जाता है, जिसके आधार प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न होते हैं।

उदाहरण के लिए: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 ।

कोष्ठक किस लिए हैं? वे गणना में त्रुटियों से बचने में मदद करते हैं। मान लें कि हमारे पास दो प्रविष्टियां हैं: (− 2) 3 और − 2 3 . उनमें से पहले का अर्थ एक ऋणात्मक संख्या माइनस दो है, जिसे तीन के प्राकृतिक घातांक के साथ घात तक बढ़ा दिया गया है; दूसरी डिग्री के विपरीत मान के अनुरूप संख्या है 2 3 .

कभी-कभी किताबों में आप किसी संख्या की डिग्री की स्पेलिंग थोड़ी अलग पा सकते हैं - ए ^ एन(जहाँ a आधार है और n घातांक है)। तो 4^9 वही है 4 9 . यदि n एक बहु-अंकीय संख्या है, तो यह कोष्ठकों में संलग्न है। उदाहरण के लिए, 15 ^ (21) , (- 3 , 1) ^ (156)। लेकिन हम संकेतन का उपयोग करेंगे एकअधिक सामान्य के रूप में।

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री के मूल्य की गणना कैसे करें इसकी परिभाषा से अनुमान लगाना आसान है: आपको बस n -th संख्या को गुणा करने की आवश्यकता है। हमने इसके बारे में एक और लेख में लिखा है।

डिग्री की अवधारणा एक अन्य गणितीय अवधारणा के विपरीत है - एक संख्या की जड़। यदि हम घातांक और घातांक का मान जानते हैं, तो हम उसके आधार की गणना कर सकते हैं। डिग्री में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं जो उन समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिनका हमने एक अलग सामग्री में विश्लेषण किया है।

घातांक में न केवल प्राकृतिक संख्याएँ हो सकती हैं, बल्कि सामान्य रूप से कोई भी पूर्णांक मान हो सकता है, जिसमें ऋणात्मक और शून्य भी शामिल हैं, क्योंकि वे भी पूर्णांकों के समूह से संबंधित हैं।

परिभाषा 2

धनात्मक पूर्णांक घातांक वाली किसी संख्या की घात को सूत्र के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है: .

इसके अलावा, n कोई धनात्मक पूर्णांक है।

आइए शून्य डिग्री की अवधारणा से निपटें। ऐसा करने के लिए, हम एक दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं जो समान आधार वाली शक्तियों के लिए भागफल की संपत्ति को ध्यान में रखता है। इसे इस प्रकार तैयार किया गया है:

परिभाषा 3

समानता ए एम: ए एन = ए एम - एननिम्नलिखित परिस्थितियों में सत्य होगा: m और n प्राकृत संख्याएँ हैं, m< n , a ≠ 0 .

अंतिम शर्त महत्वपूर्ण है क्योंकि यह शून्य से विभाजित होने से बचाती है। यदि m और n के मान समान हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होंगे: ए एन: ए एन = ए एन - एन = ए 0

लेकिन साथ ही a n: a n = 1 - समान संख्याओं का भागफल एकऔर ए. यह पता चला है कि किसी भी गैर-शून्य संख्या की शून्य डिग्री एक के बराबर होती है।

हालांकि, ऐसा प्रमाण शून्य से घात शून्य के लिए उपयुक्त नहीं है। ऐसा करने के लिए, हमें शक्तियों की एक और संपत्ति चाहिए - समान आधार वाले शक्तियों के उत्पादों की संपत्ति। यह इस तरह दिख रहा है: ए एम ए एन = ए एम + एन .

यदि n 0 है, तो ए एम ए 0 = ए एम(यह समानता हमें यह भी सिद्ध करती है कि ए 0 = 1) लेकिन अगर और भी शून्य के बराबर है, तो हमारी समानता रूप लेती है 0 एम 0 0 = 0 एम, यह n के किसी भी प्राकृतिक मान के लिए सही होगा, और इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि वास्तव में डिग्री का मान क्या है 0 0 , अर्थात यह किसी भी संख्या के बराबर हो सकता है, और यह समानता की वैधता को प्रभावित नहीं करेगा। इसलिए, प्रपत्र का एक रिकॉर्ड 0 0 इसका अपना कोई विशेष अर्थ नहीं है, और हम इसका वर्णन नहीं करेंगे।

अगर वांछित है, तो इसे जांचना आसान है ए 0 = 1डिग्री संपत्ति के साथ अभिसरण करता है (ए एम) एन = एक एम एनबशर्ते कि डिग्री का आधार शून्य के बराबर न हो। इस प्रकार, शून्य घातांक वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की डिग्री एक के बराबर होती है।

उदाहरण 2

आइए विशिष्ट संख्याओं के साथ एक उदाहरण देखें: तो, 5 0 - इकाई, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , और मान 0 0 अपरिभाषित

जीरो डिग्री के बाद यह पता लगाना बाकी है कि नेगेटिव डिग्री क्या होती है। ऐसा करने के लिए, हमें समान आधारों वाली घातों के गुणनफल के समान गुण की आवश्यकता है, जिसका हम पहले ही ऊपर उपयोग कर चुके हैं: a m · a n = a m + n ।

हम शर्त का परिचय देते हैं: m = - n , तो a शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि ए - एन ए एन = ए - एन + एन = ए 0 = 1. यह पता चला है कि एक एन और एकहमारे पास पारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएं हैं।

परिणामस्वरूप, a से एक ऋणात्मक पूर्णांक घात और कुछ नहीं बल्कि एक भिन्न 1 a n है।

यह सूत्रीकरण इस बात की पुष्टि करता है कि एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली डिग्री के लिए, सभी समान गुण मान्य हैं कि एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री है (बशर्ते कि आधार शून्य के बराबर न हो)।

उदाहरण 3

एक ऋणात्मक पूर्णांक n के साथ घात a को भिन्न 1 a n के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस प्रकार, a - n = 1 a n शर्त के तहत एक 0और n कोई प्राकृत संख्या है।

आइए अपने विचार को विशिष्ट उदाहरणों के साथ स्पष्ट करें:

उदाहरण 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

पैराग्राफ के अंतिम भाग में, हम एक सूत्र में स्पष्ट रूप से कही गई हर बात को चित्रित करने का प्रयास करेंगे:

परिभाषा 4

प्राकृतिक घातांक z के साथ a की घात है: az = az, e साथ में z और z एक धनात्मक पूर्णांक 1, z = 0 और a 0 है, (यदि z = 0 और a = 0 तो हमें 0 0 प्राप्त होता है, मान व्यंजक का 0 0 निर्धारित नहीं किया जाना है) 1 az, यदि z एक ऋणात्मक पूर्णांक है और a ≠ 0 (यदि z एक ऋणात्मक पूर्णांक है और a = 0 हमें 0 z मिलता है, तो यह एक n d e n t i o n है)

एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री क्या हैं

हमने उन मामलों का विश्लेषण किया है जब घातांक एक पूर्णांक होता है। हालाँकि, आप किसी संख्या को घात तक बढ़ा सकते हैं, जब उसका घातांक भिन्नात्मक संख्या हो। इसे परिमेय घातांक वाली डिग्री कहा जाता है। इस उपधारा में हम यह सिद्ध करेंगे कि इसमें अन्य शक्तियों के समान गुण हैं।

परिमेय संख्याएँ क्या हैं? उनके सेट में पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों संख्याएँ शामिल हैं, जबकि भिन्नात्मक संख्याओं को साधारण भिन्न (सकारात्मक और ऋणात्मक दोनों) के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए हम एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या a की घात की परिभाषा तैयार करें, जहाँ n एक प्राकृत संख्या है, और m एक पूर्णांक है।

हमारे पास भिन्नात्मक घातांक a m n के साथ कुछ डिग्री है। शक्ति संपत्ति को एक डिग्री में धारण करने के लिए, समानता a m n n = a m n · n = a m सत्य होना चाहिए।

एक nवें मूल की परिभाषा को देखते हुए और यह कि a m n n = a m, हम शर्त को स्वीकार कर सकते हैं a m n = a m n यदि a m n m, n और a के दिए गए मानों के लिए समझ में आता है।

एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के उपरोक्त गुण a m n = a m n शर्त के तहत सत्य होंगे।

हमारे तर्क से मुख्य निष्कर्ष इस प्रकार है: एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ कुछ संख्या a की डिग्री संख्या a से घात m तक nth डिग्री की जड़ है। यह सच है अगर, एम, एन, और ए के दिए गए मानों के लिए, अभिव्यक्ति एम एन समझ में आता है।

1. हम डिग्री के आधार के मूल्य को सीमित कर सकते हैं: ए लें, जो एम के सकारात्मक मूल्यों के लिए 0 से अधिक या उसके बराबर होगा, और नकारात्मक मूल्यों के लिए यह सख्ती से कम होगा (क्योंकि एम के लिए) 0 हमें मिलता है 0 एम, लेकिन यह डिग्री परिभाषित नहीं है)। इस मामले में, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा इस तरह दिखेगी:

किसी धनात्मक संख्या a के लिए भिन्नात्मक घातांक m/n, m घात तक बढ़ाए गए a का nवां मूल है। इसे एक सूत्र के रूप में इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

शून्य आधार वाली डिग्री के लिए, यह प्रावधान भी उपयुक्त है, लेकिन केवल तभी जब इसका घातांक एक धनात्मक संख्या हो।

आधार शून्य के साथ एक शक्ति और एक सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक m/n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

0 m n = 0 m n = 0 धनात्मक पूर्णांक m और प्राकृत n की स्थिति में।

ऋणात्मक अनुपात m n . के साथ< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

आइए एक बिंदु पर ध्यान दें। चूंकि हमने यह शर्त पेश की है कि a शून्य से बड़ा या उसके बराबर है, इसलिए हमने कुछ मामलों को छोड़ दिया है।

अभिव्यक्ति a m n कभी-कभी a के कुछ नकारात्मक मानों और m के कुछ नकारात्मक मानों के लिए समझ में आता है। अतः प्रविष्टियाँ सही हैं (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , जिसमें आधार ऋणात्मक है।

2. दूसरा तरीका सम और विषम घातांक वाले मूल a m n पर अलग से विचार करना है। फिर हमें एक और शर्त पेश करने की आवश्यकता है: डिग्री ए, जिसके घातांक में एक कम करने योग्य साधारण अंश होता है, को डिग्री ए माना जाता है, जिसके घातांक में संबंधित इरेड्यूसबल अंश होता है। बाद में हम बताएंगे कि हमें इस स्थिति की आवश्यकता क्यों है और यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है। इस प्रकार, यदि हमारे पास a m · k n · k रिकॉर्ड है, तो हम इसे घटाकर m n कर सकते हैं और गणना को सरल बना सकते हैं।

यदि n एक विषम संख्या है और m धनात्मक है और a कोई ऋणात्मक संख्या नहीं है, तो a m n समझ में आता है। गैर-ऋणात्मक a के लिए शर्त आवश्यक है, क्योंकि सम अंश का मूल ऋणात्मक संख्या से नहीं निकाला जाता है। यदि m का मान धनात्मक है, तो a ऋणात्मक और शून्य दोनों हो सकता है, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या से विषम मूल लिया जा सकता है।

आइए परिभाषा के ऊपर के सभी डेटा को एक प्रविष्टि में संयोजित करें:

यहाँ m/n का अर्थ है एक अपरिवर्तनीय अंश, m कोई पूर्णांक है, और n कोई भी प्राकृतिक संख्या है।

परिभाषा 5

किसी भी साधारण कम किए गए अंश m · k n · k के लिए, डिग्री को m n से बदला जा सकता है।

एक अपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ a की डिग्री को निम्नलिखित मामलों में m n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: - किसी भी वास्तविक a के लिए, सकारात्मक पूर्णांक मान m और विषम प्राकृतिक मान n। उदाहरण: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19।

किसी भी गैर-शून्य वास्तविक a के लिए, m के ऋणात्मक पूर्णांक मान और n के विषम मान, उदाहरण के लिए, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

किसी भी गैर-ऋणात्मक a के लिए, m और यहां तक ​​कि n के धनात्मक पूर्णांक मान, उदाहरण के लिए, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18.

किसी धनात्मक a , ऋणात्मक पूर्णांक m और सम n के लिए, उदाहरण के लिए, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , ।

अन्य मानों के मामले में, भिन्नात्मक घातांक वाली घात निर्धारित नहीं की जाती है। ऐसी शक्तियों के उदाहरण: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 ।

अब आइए ऊपर वर्णित शर्त के महत्व की व्याख्या करें: एक अंश को एक कम करने योग्य घातांक के साथ एक भिन्न के लिए एक इरेड्यूसबल के साथ क्यों बदलें। यदि हम ऐसा नहीं करते तो ऐसी स्थितियाँ बन जातीं, मान लीजिए, 6/10 = 3/5. तब (- 1) 6 10 = - 1 3 5 सत्य होना चाहिए, लेकिन - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, और (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 ।

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा, जो हमने पहले दी थी, दूसरे की तुलना में व्यवहार में लागू करने के लिए अधिक सुविधाजनक है, इसलिए हम इसका उपयोग करना जारी रखेंगे।

परिभाषा 6

इस प्रकार, भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ एक धनात्मक संख्या a की शक्ति को 0 m n = 0 m n = 0 के रूप में परिभाषित किया गया है। नकारात्मक के मामले में एसंकेतन a m n का कोई मतलब नहीं है। सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए शून्य की डिग्री मी/एनको 0 m n = 0 m n = 0 के रूप में परिभाषित किया गया है, ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए हम शून्य की डिग्री को परिभाषित नहीं करते हैं।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि किसी भी भिन्नात्मक संकेतक को मिश्रित संख्या और दशमलव भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

गणना करते समय, घातांक को एक साधारण अंश से बदलना बेहतर होता है और फिर भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा का उपयोग करना बेहतर होता है। उपरोक्त उदाहरणों के लिए, हम प्राप्त करते हैं:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

अपरिमेय और वास्तविक घातांक के साथ डिग्री क्या हैं

वास्तविक संख्याएँ क्या हैं? उनके सेट में परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल हैं। इसलिए, यह समझने के लिए कि वास्तविक घातांक के साथ एक डिग्री क्या है, हमें परिमेय और अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित करने की आवश्यकता है। तर्कसंगत के बारे में हम पहले ही ऊपर उल्लेख कर चुके हैं। आइए चरण दर चरण अपरिमेय संकेतकों से निपटें।

उदाहरण 5

मान लीजिए हमारे पास एक अपरिमेय संख्या a है और इसके दशमलव सन्निकटन a 0 , a 1 , a 2 , का एक क्रम है। . . . उदाहरण के लिए, मान लेते हैं a = 1 , 67175331 । . . , फिर

ए 0 = 1, 6, ए 1 = 1, 67, ए 2 = 1, 671,। . . , एक 0 = 1, 67, एक 1 = 1, 6717, एक 2 = 1, 671753,। . .

हम सन्निकटन के अनुक्रमों को a 0 , a a 1 , a a 2 , घातों के अनुक्रम के साथ जोड़ सकते हैं। . . . यदि हम याद करते हैं कि हमने संख्याओं को तर्कसंगत शक्ति तक बढ़ाने के बारे में क्या बात की थी, तो हम इन शक्तियों के मूल्यों की गणना स्वयं कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए ए = 3, तो a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , । . . आदि।

डिग्री के अनुक्रम को एक संख्या में घटाया जा सकता है, जो कि आधार a और अपरिमेय घातांक a के साथ डिग्री का मान होगा। परिणामस्वरूप: फॉर्म 3 1 , 67175331 के अपरिमेय घातांक वाली डिग्री। . संख्या 6, 27 तक घटाई जा सकती है।

परिभाषा 7

अपरिमेय घातांक a के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात को a के रूप में लिखा जाता है। इसका मान अनुक्रम a a 0 , a a 1 , a a 2 , की सीमा है। . . , जहां एक 0 , एक 1 , एक 2 , . . . अपरिमेय संख्या a के क्रमिक दशमलव सन्निकटन हैं। शून्य आधार वाली डिग्री को सकारात्मक अपरिमेय घातांक के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, जबकि 0 a \u003d 0 तो, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0। और नकारात्मक लोगों के लिए, यह नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, मान 0 - 5, 0 - 2 परिभाषित नहीं है। उदाहरण के लिए, किसी भी अपरिमेय घात तक बढ़ाई गई इकाई एक इकाई बनी रहती है, और 2 और 1 - 5 में 1 2 , 1 5 1 के बराबर होगी।

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इस लेख में, हम समझेंगे कि क्या है की डिग्री. यहां हम एक संख्या की डिग्री की परिभाषा देंगे, जबकि विस्तार से सभी संभावित घातांकों पर विचार करते हुए, एक प्राकृतिक घातांक से शुरू होकर एक अपरिमेय पर समाप्त होता है। सामग्री में आपको उत्पन्न होने वाली सभी सूक्ष्मताओं को कवर करने वाली डिग्री के बहुत सारे उदाहरण मिलेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री, एक संख्या का वर्ग, एक संख्या का घन

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं । आगे देखते हुए, मान लीजिए कि प्राकृतिक घातांक n के साथ a की डिग्री की परिभाषा a के लिए दी गई है, जिसे हम कहेंगे डिग्री का आधार, और n , जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक. हम यह भी नोट करते हैं कि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री उत्पाद के माध्यम से निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए, आपको संख्याओं के गुणन के बारे में एक विचार होना चाहिए।

परिभाषा।

प्राकृतिक घातांक n के साथ संख्या a की शक्ति n रूप का एक व्यंजक है, जिसका मान n कारकों के गुणनफल के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है, अर्थात्।
विशेष रूप से, घातांक 1 वाली संख्या a की घात संख्या स्वयं ही होती है, अर्थात 1 =a।

तुरंत डिग्री पढ़ने के नियमों का उल्लेख करना उचित है। प्रविष्टि n को पढ़ने का सार्वभौमिक तरीका है: "a to power of n"। कुछ मामलों में, ऐसे विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "ए से nth पावर" और "नंबर ए की nth पावर"। उदाहरण के लिए, आइए 8 12 की शक्ति लें, यह "आठ से बारह की शक्ति", या "आठ से बारहवीं शक्ति", या "आठ की बारहवीं शक्ति" है।

किसी संख्या की दूसरी घात के साथ-साथ किसी संख्या की तीसरी घात के अपने-अपने नाम होते हैं। किसी संख्या की दूसरी घात कहलाती है एक संख्या का वर्ग, उदाहरण के लिए, 7 2 को "सात वर्ग" या "सात की संख्या का वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है। किसी संख्या की तीसरी घात कहलाती है घन संख्या, उदाहरण के लिए, 5 3 को "पांच घन" या "संख्या 5 का घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

यह लाने का समय है भौतिक संकेतकों के साथ डिग्री के उदाहरण. आइए 5 7 की शक्ति से शुरू करें, जहां 5 घात का आधार है और 7 घातांक है। आइए एक और उदाहरण दें: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 घातांक (4.32) 9 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले उदाहरण में, डिग्री 4.32 का आधार कोष्ठक में लिखा गया है: विसंगतियों से बचने के लिए, हम प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न डिग्री के सभी आधारों को कोष्ठक में लेंगे। उदाहरण के तौर पर, हम प्राकृतिक संकेतकों के साथ निम्नलिखित डिग्री देते हैं , उनके आधार प्राकृत संख्या नहीं हैं, इसलिए वे कोष्ठकों में लिखे गए हैं। खैर, इस बिंदु पर पूर्ण स्पष्टता के लिए, हम फॉर्म (−2) 3 और −2 3 के रिकॉर्ड में निहित अंतर दिखाएंगे। व्यंजक (−2) 3 प्राकृतिक घातांक 3 के साथ −2 की घात है, और व्यंजक −2 3 (इसे −(2 3) के रूप में लिखा जा सकता है) संख्या से मेल खाती है, घात 2 3 का मान।

ध्यान दें कि a^n फॉर्म के एक्सपोनेंट n के साथ a की डिग्री के लिए एक नोटेशन है। इसके अतिरिक्त, यदि n एक बहुमान प्राकृत संख्या है, तो घातांक को कोष्ठकों में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 4^9, 4 9 की घात के लिए एक और संकेतन है। और यहां "^" प्रतीक का उपयोग करके डिग्री लिखने के और उदाहरण दिए गए हैं: 14^(21) , (−2,1)^(155) । निम्नलिखित में, हम मुख्य रूप से फॉर्म की डिग्री के अंकन का उपयोग करेंगे a n ।

समस्याओं में से एक, एक प्राकृतिक घातांक के साथ घातांक का उल्टा, डिग्री के एक ज्ञात मूल्य और एक ज्ञात घातांक से डिग्री का आधार खोजने की समस्या है। इस कार्य की ओर ले जाता है।

यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्या को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या की डिग्री का अर्थ देना होगा, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। हो जाए।

फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री की संपत्ति के लिए वैध रहने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए . यदि हम परिणामी समानता और हमारे द्वारा परिभाषित तरीके को ध्यान में रखते हैं, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए एम, एन और ए के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आता है।

यह सत्यापित करना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुण इस रूप में मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।

उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है उत्पादन: यदि दिए गए m, n और a के लिए व्यंजक समझ में आता है, तो भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या a की घात घात m के लिए a की nवीं डिग्री का मूल है।

यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। यह केवल वर्णन करने के लिए रहता है जिसके लिए m, n और a व्यंजक समझ में आता है। m , n और a पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर, दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।

a को विवश करने का सबसे आसान तरीका है a≥0 को धनात्मक m के लिए और a>0 को ऋणात्मक m के लिए (क्योंकि m≤0 में 0 m की कोई शक्ति नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा।

भिन्नात्मक घातांक m/n . के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात, जहाँ m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है, संख्या a के nवें से m के घात का मूल कहलाता है, अर्थात, ।

शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को भी एकमात्र चेतावनी के साथ परिभाषित किया गया है कि घातांक सकारात्मक होना चाहिए।

परिभाषा।

भिन्नात्मक धनात्मक घातांक m/n . के साथ शून्य की घात, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है .
जब डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है, अर्थात भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा के साथ, एक बारीकियां है: कुछ नकारात्मक a और कुछ m और n के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने a≥0 शर्त पेश करके इन मामलों को त्याग दिया। उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और उपरोक्त परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ अर्थहीन हैं, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।

भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण मूल के सम और विषम घातांक पर अलग से विचार करना है। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता होती है: संख्या ए की डिग्री, जिसका घातांक है, को संख्या ए की डिग्री माना जाता है, जिसका घातांक संबंधित इरेड्यूसेबल अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे समझाया जाएगा)। अर्थात्, यदि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, तो किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए घात को पहले .

सम n और धनात्मक m के लिए, व्यंजक किसी भी गैर-ऋणात्मक a (ऋणात्मक संख्या से सम अंश की जड़ का कोई अर्थ नहीं है) के लिए समझ में आता है, ऋणात्मक m के लिए, संख्या a अभी भी शून्य से भिन्न होनी चाहिए (अन्यथा वहाँ शून्य से विभाजन होगा)। और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या a कुछ भी हो सकती है (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए विषम घात का मूल परिभाषित होता है), और ऋणात्मक m के लिए, संख्या a शून्य से भिन्न होनी चाहिए (ताकि कोई विभाजन न हो शून्य)।

उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।

परिभाषा।

मान लें कि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है। किसी भी कम करने योग्य साधारण अंश के लिए, डिग्री को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक अपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ की शक्ति के लिए है



आइए हम बताते हैं कि क्यों एक कम करने योग्य भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री को पहले एक अपरिवर्तनीय घातांक के साथ एक डिग्री से बदल दिया जाता है। यदि हम केवल डिग्री को इस रूप में परिभाषित करते हैं, और अंश m / n की अप्रासंगिकता के बारे में आरक्षण नहीं करते हैं, तो हम निम्नलिखित जैसी स्थितियों का सामना करेंगे: 6/10 = 3/5 के बाद से, समानता , लेकिन , लेकिन ।