"रुचि के लिए" समस्याएं पहली बार 5 वीं कक्षा में युवा गणितज्ञों के जीवन में दिखाई देती हैं और अंतिम परीक्षा तक उनके साथ रहती हैं। रुचि से संबंधित कार्य यूएसई विकल्पों (विशेष रूप से, प्रोफाइल परीक्षा के कार्य संख्या 17) और ओजीई में उपलब्ध हैं। रुचि अनिवार्य रूप से भौतिकी, रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र के पाठ्यक्रमों में मिलेगी। आखिरकार, रोजमर्रा की जिंदगी में हम लगातार इस अवधारणा का सामना कर रहे हैं (याद रखें, उदाहरण के लिए, ऋण दरों या दुकानों में 90% छूट के उदार वादे)।

इस लेख में, हम सबसे सरल परिभाषाओं और उदाहरणों से शुरू करेंगे, हम धीरे-धीरे जटिलता के स्तर को बढ़ाएंगे, और चौथे भाग तक हमें काफी कठिन समस्याएं मिलेंगी।

रुचि। प्रारंभिक जानकारी।

किसी संख्या का प्रतिशत कैसे ज्ञात करें

हैरानी की बात है कि कई स्नातक समझदारी से समझा नहीं सकते कि क्या प्रतिशत. लेकिन सब कुछ बहुत आसान है:

प्रतिशतएक संख्या का सौवां भाग है।

सौवां क्यों? हां, सिर्फ इसलिए कि 100 से विभाजित करना सुविधाजनक है और सौ बहुत अधिक नहीं है और बहुत कम नहीं है (बहुत सख्त परिभाषा नहीं)।

किसी संख्या का 1% ज्ञात करने के लिए, आपको बस उस संख्या को 100 से भाग देना होगा।

उदाहरण 1. 1200 का 1%, 2 का 1%, 98765 का 1% खोजें।

1200 का 1%, 12 है, क्योंकि 1200:100 = 12;
2 का 1% 0.02 है क्योंकि 2:100 = 0.02;
98765 का 1% = 98765:100 = 987.65।

अभ्यास 1. 450 का 1%, 12000 का 1%, 9 का 1% की गणना करें।

टास्क 2. 6700 के 1% के 1% की गणना करें।

किसी संख्या का कुछ प्रतिशत कैसे ज्ञात करें

अब मान लीजिए कि हमें संख्या का 1% नहीं, बल्कि 12% ज्ञात करना है। यह कैसे करना है? बेशक, आप पहले एक प्रतिशत पा सकते हैं, और फिर परिणाम को 12 से गुणा कर सकते हैं। लेकिन यदि आप एक से प्राप्त कर सकते हैं तो दो क्रियाएं क्यों करें? एक प्रतिशत सौवां है, और टी प्रतिशत सौवां है। उदाहरण के लिए, किसी संख्या का 12 सौवां भाग खोजने के लिए, आपको संख्या को 0.12 से गुणा करना होगा। हमें सामान्य नियम मिलता है:

किसी संख्या का t% ज्ञात करने के लिए, उस संख्या को t 100 से गुणा करें।
ए = ए टी 100 . का टी प्रतिशत

उदाहरण 2. 300 का 17%, 20 का 86%, 2 का 140%, 4000 का 0.1% ज्ञात करें।

300 का 17% 51 है, क्योंकि 300 * 0.17 \u003d 51 (हम संख्या को सत्रह सौवें हिस्से से गुणा करते हैं);
20 का 86% 17.2 है, क्योंकि 20 * 0.86 \u003d 17.2 (86/100 से गुणा);
2 का 140% = 2*1.4 = 2.8 (1.4 सिर्फ 140/100 है);
4000 का 0.1% = 0.001*4000 = 4 (0.001, 0.1/100 है)।

टास्क 3. 1200 का 14%, 50 का 57%, 4 का 250%, 110000 का 0.02% की गणना करें।

उदाहरण 3. 1000 के 80% के 18% की गणना करें। क्या यह वास्तव में 1000 के 98% के समान है?

आइए पहले 1000 का 80% ज्ञात करें: 1000*0.8 = 800।
प्राप्त संख्या से हम 18%: 800 * 0.18 \u003d 144 की तलाश कर रहे हैं।
अब 1000 का 98% ज्ञात करते हैं। 1000 को 98/100 से गुणा करें और 980 प्राप्त करें।
जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम अलग हैं।

टास्क 4. 350 के 40% के 120% की गणना करें।

"ब्याज का प्रतिशत" कैसे खोजें

और अगर हमें "प्रतिशत प्रतिशत" के लंबे अनुक्रम की गणना करने की आवश्यकता है? मान लें कि 10% का 10%, 200 के 10% का 10% है। बेशक, आप लगातार कार्य कर सकते हैं और कार्य को 4 चरणों में विभाजित कर सकते हैं, लेकिन एक आसान तरीका है।

उदाहरण 4. 10000 के 40% के 30% के 20% की गणना करें।

जब सब कुछ एक पंक्ति में घटाया जा सकता है तो लगातार कई गुणा क्यों करें:
0,2*0,3*0,4*10000 = 24.

देखें कि यह कितना आसान है! वैसे, इस मामले में किसी कोष्ठक की आवश्यकता नहीं है।

टास्क 5. 2000 के 40% के 50% के 50% की गणना करें।

टास्क 6. जनवरी के पहले सप्ताह में, मासिक हिमपात मानदंड (90 मिमी) का 40% गिर गया, और इस राशि का 90% बुधवार को गिर गया, और 70% वर्षा इस दिन की पहली छमाही में गिर गई। बुधवार की सुबह कितने मिमी बर्फ गिरी?

तो आइए संक्षेप में कुछ बातें करते हैं:

• प्रतिशत किसी संख्या का सौवां भाग होता है।
• 1% की गणना करने के लिए, संख्या को 100 से विभाजित करें (या 0.01 से गुणा करें)।
• किसी संख्या का t% ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या को t सौवें भाग से गुणा करना होगा।

"प्रतिशत" विषय पर एक छोटा परीक्षण

कुछ मिनट लें, "रुचि" विषय पर एक छोटी परीक्षा लें। अपना उत्तर पूर्णांक या दशमलव के रूप में दें। दशमलव विभाजक के रूप में हमेशा अल्पविराम का उपयोग करें (उदाहरण 1.2, 1.2 नहीं!) शुभकामनाएँ!

प्रतिशत की अवधारणा हमारे जीवन में बहुत बार आती है, इसलिए यह जानना बहुत जरूरी है कि प्रतिशत के साथ समस्याओं को कैसे हल किया जाए। सिद्धांत रूप में, यह कोई कठिन मामला नहीं है, मुख्य बात रुचि के साथ काम करने के सिद्धांत को समझना है।

प्रतिशत क्या है

हम 100 प्रतिशत की अवधारणा के साथ काम करते हैं, और तदनुसार, एक प्रतिशत एक निश्चित संख्या का सौवां हिस्सा है। और सभी गणनाएं पहले से ही इस अनुपात पर आधारित हैं।

उदाहरण के लिए, 50 का 1% 0.5 है, 700 का 15 7 है।

कैसे तय करें

1. यह जानते हुए कि एक प्रतिशत प्रस्तुत संख्या का सौवां हिस्सा है, आप आवश्यक प्रतिशतों की कोई भी संख्या पा सकते हैं। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए 800 की संख्या का 6 प्रतिशत ज्ञात करने का प्रयास करें। यह सरलता से किया जाता है।
   • पहले हम एक प्रतिशत पाते हैं। ऐसा करने के लिए, 800 को 100 से विभाजित करें। यह 8 निकला।
   • अब हम इसे उसी एक प्रतिशत से गुणा करते हैं, जो कि 8 है, हमें जितने प्रतिशत की आवश्यकता है, उससे 6 से गुणा करें। यह 48 निकलता है।
   • पुनरावृत्ति द्वारा परिणाम को ठीक करें।

   150 का 15%। हल: 150/100*15=22।

   1582 का 28%। हल: 1582/100*28=442।

2. जब आपको मान दिए जाते हैं तो अन्य समस्याएं होती हैं, और आपको प्रतिशत ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, आप जानते हैं कि स्टोर में 75 सफेद गुलाबों में से 5 लाल रंग के गुलाब हैं, और आपको यह जानने की आवश्यकता है कि लाल रंग के कितने प्रतिशत गुलाब हैं। यदि हम इस प्रतिशत को नहीं जानते हैं, तो हम इसे x के रूप में निरूपित करेंगे।

   इसके लिए एक सूत्र है: 75 - 100%

   इस सूत्र में, संख्याओं को क्रॉस द्वारा क्रॉस गुणा किया जाता है, अर्थात x \u003d 5 * 100/75। यह पता चला है कि x \u003d 6% तो स्कार्लेट गुलाब का प्रतिशत 6% है।

3. प्रतिशत के लिए एक अन्य प्रकार की समस्या होती है, जब आपको यह ज्ञात करना होता है कि एक संख्या किस प्रतिशत से दूसरी संख्या से बड़ी या कम है। इस मामले में प्रतिशत के साथ समस्याओं को कैसे हल करें?

   कक्षा में 30 विद्यार्थी हैं, जिनमें से 16 लड़के हैं। सवाल यह है कि लड़कियों की तुलना में कितने प्रतिशत लड़के अधिक हैं। पहले आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि कितने प्रतिशत छात्र लड़के हैं, फिर आपको यह पता लगाना होगा कि लड़कियों का कितना प्रतिशत है। और अंत में अंतर खोजें।

   तो चलो शुरू करते है। हम 30 खातों का अनुपात बनाते हैं। - 100%

   16 खाते -एक्स %

   अब हम गिनते हैं। X=16*100/30, x=53.4% ​​कक्षा के सभी छात्र लड़के हैं।

   अब समान कक्षा में लड़कियों का प्रतिशत ज्ञात कीजिए। 100-53.4=46.6%

यह अब केवल अंतर खोजने के लिए रह गया है। 53.4-46.6=6.8%। उत्तर लड़कियों की तुलना में लड़कों की संख्या 6.8% अधिक है।

ब्याज समाधान में मुख्य बिंदु

इसलिए, ताकि आपको प्रतिशत के लिए समस्याओं को हल करने में कोई समस्या न हो, कुछ बुनियादी नियमों को याद रखें:

1. प्रतिशत के साथ समस्याओं में भ्रमित न होने के लिए, हमेशा सतर्क रहें: विशिष्ट मूल्यों से प्रतिशत तक जाएं और यदि आवश्यक हो तो इसके विपरीत। मुख्य बात यह है कि एक को दूसरे के साथ भ्रमित न करें।
2. प्रतिशत की गणना करते समय सावधान रहें। यह जानना महत्वपूर्ण है कि आपको किस विशिष्ट मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। मूल्यों में क्रमिक परिवर्तनों के लिए, प्रतिशत की गणना अंतिम मान से की जाती है।
3. उत्तर लिखने से पहले, पूरी समस्या को दोबारा पढ़ें, क्योंकि हो सकता है कि आपको केवल एक मध्यवर्ती उत्तर मिल गया हो, और आपको एक या दो और क्रियाएं करने की आवश्यकता हो।

इस प्रकार, प्रतिशत के साथ समस्याओं को हल करना इतना कठिन मामला नहीं है, इसमें मुख्य बात सावधानी और सटीकता है, जैसा कि वास्तव में, सभी गणित में। और यह मत भूलो कि किसी भी कौशल को सुधारने के लिए अभ्यास की आवश्यकता होती है। इसलिए अधिक निर्णय लें, और आपके लिए सब कुछ ठीक या उत्कृष्ट होगा।

काम का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना रखा गया है।
कार्य का पूर्ण संस्करण "नौकरी फ़ाइलें" टैब में पीडीएफ प्रारूप में उपलब्ध है

परिचय

अनुसंधान की प्रासंगिकता

आधुनिक जीवन ब्याज कार्यों को प्रासंगिक बनाता है, क्योंकि ब्याज गणना के व्यावहारिक अनुप्रयोग का दायरा बढ़ रहा है। महंगाई, बढ़ती कीमतों, बढ़ते स्टॉक की कीमतों, घटती क्रय शक्ति के मुद्दे हमारे समाज के हर व्यक्ति को प्रभावित करते हैं। परिवार के बजट की योजना बनाना, बैंकों में एक लाभदायक निवेश, साधारण प्रतिशत गणना करने की क्षमता के बिना असंभव है।

"प्रतिशतता" की अवधारणा को या तो लेखांकन में, या वित्तीय विश्लेषण में, या सांख्यिकी में समाप्त नहीं किया जा सकता है।

ब्याज एक गणितीय अवधारणा है जो अक्सर रोजमर्रा की जिंदगी में सामने आती है। किसी भी व्यक्ति को जीवन द्वारा पेश की जाने वाली समस्याओं को हल करने में सक्षम होना चाहिए। हम करों का भुगतान करते हैं। जब हम जमा पर पैसा डालते हैं तो हमें प्राप्त होने वाले भौतिक पारिश्रमिक की गणना कैसे करें, जब हम ऋण लेते हैं, तो बैंक को क्या पारिश्रमिक मिलता है। प्रतिशत गणना से संबंधित ये सभी और कई अन्य प्रश्न प्रतिशत के ज्ञान और प्रतिशत के लिए समस्याओं को हल करने की क्षमता से हल किए जाते हैं।

हर जगह - अखबारों में, रेडियो पर, टेलीविजन पर और काम पर, कीमतों में वृद्धि, मजदूरी, पेंशन, स्टॉक की बढ़ती कीमतों और आबादी की क्रय शक्ति में कमी की चर्चा हो रही है। इसलिए, हम अक्सर सुनते या पढ़ते हैं कि, उदाहरण के लिए, कीमतों में 20% की वृद्धि हुई है, दूध में 4% वसा है, पेंशन में 10% की वृद्धि हुई है, 76% मतदाताओं ने चुनाव में भाग लिया।

किसी कर्मचारी के वेतन की गणना करने के लिए, आपको कर कटौती का प्रतिशत जानना होगा; एक बचत बैंक के साथ एक जमा खाता खोलने के लिए, आपको जमा राशि पर ब्याज की राशि जानने की जरूरत है; आने वाले वर्ष में कीमतों में अनुमानित वृद्धि जानने के लिए, हम मुद्रास्फीति के प्रतिशत में रुचि रखते हैं।

व्यावहारिक सामग्री की गणितीय समस्याओं को हल करने से मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में गणित के महत्व के बारे में आश्वस्त होना, गणित के संभावित अनुप्रयोगों की चौड़ाई को देखना, आधुनिक जीवन में इसकी भूमिका को समझना संभव हो जाता है।

मेरे अवलोकन और सहपाठियों और दोस्तों के बीच एक सर्वेक्षण से पता चला है कि हम, स्कूली बच्चों, युवाओं को प्रतिशत के बारे में सबसे सामान्य और कम जानकारी है, और प्रतिशत की गणना के विभिन्न तरीकों के बारे में भी कम है।

हमारे ज्ञान में पहचानी गई कमियों और प्रतिशत के लिए समस्याओं को हल करने की क्षमता को उद्देश्यपूर्ण विकास की उपस्थिति से समझाया गया है विरोधाभासों: लोगों के जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में प्रतिशत की गणना करने की मौजूदा आवश्यकता और - इस मुद्दे पर जागरूकता की कमी और इसे जल्दी और आसानी से करने में लगभग पूर्ण अक्षमता के बीच।

पहचाने गए विरोधाभासों को ध्यान में रखते हुए, अनुसंधान समस्या:ब्याज की समस्याओं को हल करने का इतिहास और तरीके क्या हैं?

समस्या की तात्कालिकता, आधुनिक दुनिया में इसके महत्व का निर्धारण विषयमेरे अनुसंधान: "प्रतिशत के साथ समस्या समाधान"।

अध्ययन का उद्देश्य: प्रतिशत, कार्यों के प्रकार, उन्हें हल करने के तरीकों के बारे में जानकारी का अध्ययन करना और अभ्यास में प्राप्त ज्ञान का उपयोग करना सीखना।

अध्ययन की वस्तु: अतीत और वर्तमान हित।

अध्ययन का विषय: प्रतिशत के बारे में ऐतिहासिक जानकारी, प्रतिशत और प्रतिशत पर समस्याओं को हल करना, दशमलव और साधारण अंशों के साथ कार्रवाई के बुनियादी नियमों के प्रमुख उपयोग के साथ एकाग्रता, मिश्रण और मिश्र धातु।

अध्ययन के उद्देश्य के अनुसार, निम्नलिखित अनुसंधान के उद्देश्य:

PERCENT की अवधारणा के इतिहास का अध्ययन करना।

दैनिक जीवन में प्रतिशत के उपयोग पर विचार करें।

विभिन्न प्रकार की समस्याओं और उनके समाधानों पर विचार करें।

ब्याज के लिए बुनियादी समस्याओं को हल करने में ज्ञान अंतराल को खत्म करें: किसी मूल्य का प्रतिशत ज्ञात करना, उसके प्रतिशत से मूल्य का पता लगाना, एक मूल्य का दूसरे से प्रतिशत खोजना।

अर्जित ज्ञान और कौशल को सारांशित करें और निष्कर्ष तैयार करें।

हमने निम्नलिखित का उपयोग किया: अनुसंधान की विधियां: विषय पर साहित्य का अध्ययन, विश्लेषण, संश्लेषण, सामान्यीकरण।

अध्याय 1. पुरातनता से आज तक ब्याज की प्रासंगिकता

इंटरनेट पर जानकारी के अध्ययन से पता चला है कि "प्रतिशत" शब्द लैटिन शब्द "प्रोसेंटम" से आया है, जिसका अर्थ है "एक सौ"। पूरे के हिस्सों को समान अनुपात में लगातार व्यक्त करने का विचार प्राचीन काल में बेबीलोनियों के बीच पैदा हुआ था। उनकी क्यूनिफॉर्म गोलियों में पहले से ही ब्याज की गणना के लिए कार्य शामिल थे। ब्याज भारत में भी जाना जाता था, जहां लंबे समय तक खाते को दशमलव संख्या प्रणाली में रखा जाता था। भारतीय गणितज्ञों ने तथाकथित ट्रिपल नियम का उपयोग करके प्रतिशत की गणना की, अर्थात। अनुपात का उपयोग करते हुए। वे प्रतिशत का उपयोग करके अधिक जटिल गणना करने में भी सक्षम थे।

रूसी में, "ब्याज" शब्द का एक और अर्थपूर्ण अर्थ है - यह इस तथ्य को व्यक्त करता है कि उधारकर्ता, लेनदार द्वारा उसे प्रदान किए गए धन को वापस करने के अलावा, इन निधियों के उपयोग के लिए लेनदार को अतिरिक्त भुगतान करना होगा। इसका सबूत है, उदाहरण के लिए, घोषणा से: "बैंक आबादी को ब्याज पर ऋण प्रदान करता है।"

ब्याज के साथ नकद बस्तियां विशेष रूप से प्राचीन रोम में आम थीं। रोमनों ने ब्याज को वह धन कहा जो देनदार ने ऋणदाता को प्रत्येक सौ के लिए भुगतान किया। यहां तक ​​कि रोमन सीनेट को भी देनदार से वसूले जाने वाले अधिकतम स्वीकार्य ब्याज को स्थापित करने के लिए मजबूर किया गया था, क्योंकि कुछ ऋणदाता ब्याज राशि प्राप्त करने में उत्साही थे। रोमनों से, प्रतिशत अन्य लोगों के पास गया।

यूरोप में मध्य युग में, व्यापार के व्यापक विकास के संबंध में, ब्याज की गणना करने की क्षमता पर बहुत ध्यान दिया गया था। उस समय, न केवल ब्याज की गणना करना आवश्यक था, बल्कि ब्याज पर ब्याज, यानी चक्रवृद्धि ब्याज, जैसा कि हमारे समय में कहा जाता है। ब्याज की गणना में श्रम की सुविधा के लिए अलग-अलग कार्यालयों और उद्यमों ने अपनी विशेष तालिकाएँ विकसित कीं, जो कंपनी के व्यापार रहस्य का गठन करती थीं।

यूरोप में, दशमलव अंश 1000 साल बाद दिखाई दिए, उन्हें बेल्जियम के वैज्ञानिक साइमन स्टीविन द्वारा पेश किया गया था। 1584 में उन्होंने पहले प्रतिशत की एक तालिका प्रकाशित की। एक पदार्थ की सामग्री को दूसरे में निर्धारित करने के लिए प्रतिशत की शुरूआत सुविधाजनक थी; प्रतिशत के रूप में माल के उत्पादन में मात्रात्मक परिवर्तन, कीमतों में वृद्धि और गिरावट, धन आय की वृद्धि आदि को मापने के लिए शुरू हुआ।

माना जाता है कि संकेत "%" इतालवी शब्द सेंटो (एक सौ) से आया है, जो प्रतिशत गणना में अक्सर संक्षिप्त रूप से सीटीओ था। इससे, अक्षर t को एक स्लैश में और सरल बनाकर, प्रतिशत के लिए आधुनिक प्रतीक आया।

इस चिन्ह की उत्पत्ति का एक अन्य संस्करण यह है कि 1685 में पेरिस में, व्यावसायिक अंकगणित के लिए एक पुस्तक-गाइड के टाइपसेटर ने एक टाइपो बनाया - cto के बजाय उसने% लिखा।

लंबे समय तक, ब्याज को विशेष रूप से प्रत्येक 100 रूबल के लिए लाभ या हानि के रूप में समझा जाता था। उनका उपयोग केवल वाणिज्यिक और मौद्रिक लेनदेन में किया जाता था। पहले से ही प्राचीन काल में, सूदखोरी व्यापक थी - ब्याज पर धन जारी करना। सूदखोर को वापस की गई राशि और मूल रूप से उससे ली गई राशि के बीच के अंतर को ब्याज कहा जाता था। तो, प्राचीन बाबुल में यह 20% या उससे अधिक था! यह ज्ञात है कि XIV-XV सदियों में। पश्चिमी यूरोप में बैंक व्यापक थे - ऐसी संस्थाएँ जो राजकुमारों, व्यापारियों, कारीगरों आदि को पैसा उधार देती थीं। बेशक, बैंकों ने बिना किसी दिलचस्पी के पैसा नहीं दिया: उन्होंने प्रदान किए गए धन का उपयोग करने के लिए शुल्क लिया, जैसे प्राचीन सूदखोर। यह शुल्क आमतौर पर उधार दी गई राशि के प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता था। फिर उनके आवेदन के दायरे का विस्तार हुआ, आर्थिक और वित्तीय गणना, सांख्यिकी, विज्ञान और प्रौद्योगिकी में रुचि पाई गई।

अब प्रतिशत एक विशेष प्रकार का दशमलव अंश है, जो पूरे का सौवां हिस्सा है (एक इकाई के रूप में लिया जाता है)। प्रतिशत व्यवहार में उपयोग करने के लिए बहुत सुविधाजनक हैं, क्योंकि वे एक ही हिस्से में पूर्ण के कुछ हिस्सों को व्यक्त करते हैं। इससे गणनाओं को सरल बनाना और आसानी से एक दूसरे के साथ और पूरे के साथ भागों की तुलना करना संभव हो जाता है।

एक प्रतिशत समग्र रूप से ली गई संख्या का सौवां हिस्सा है। अगर हम किसी दी गई संख्या के प्रतिशत के बारे में बात कर रहे हैं, तो यह संख्या 100% के रूप में ली जाती है।

उदाहरण के लिए, वेतन का 1% वेतन का सौवां हिस्सा है; सैलरी का 100 फीसदी सैलरी का सौवां हिस्सा होता है, यानी पूरी सैलरी। एक मीटर का सौवां हिस्सा एक सेंटीमीटर होता है, एक सेंटीमीटर का सौवां हिस्सा एक किलोग्राम होता है। 1% एक संख्या का सौवां हिस्सा होता है।

जैसा कि अभ्यास से जाना जाता है, प्रतिशत की सहायता से, किसी विशेष मूल्य में परिवर्तन अक्सर दिखाया जाता है। यह रूप परिवर्तन की एक दृश्य संख्यात्मक विशेषता है, जो उस परिवर्तन के महत्व को दर्शाता है जो हुआ है। प्रतिशत के रूप में व्यक्त मूल्य अधिक दृश्य, समझने योग्य है, अन्य मूल्यों के साथ तुलना करना आसान है।

1.2. रोजमर्रा की जिंदगी में "रुचि"

हम मानते हैं कि विभिन्न स्थितियों में "रुचि" विषय का अधिक गहन अध्ययन वर्तमान में प्रासंगिक है। इस आवश्यकता का कारण इसका महत्व है, क्योंकि इस विषय पर कार्य अक्सर विभिन्न परीक्षाओं में पाए जाते हैं, और न केवल गणित, रसायन विज्ञान और अर्थशास्त्र के पाठों में उपयोग किए जाते हैं। ब्याज हमारे दैनिक जीवन में मजबूती से शामिल है: ऋण, बैंक ब्याज, रासायनिक संरचना।

हमारे जीवन में रुचि के उपयोग के संपूर्ण अध्ययन के लिए, मैंने अपने सहपाठियों के बीच एक सर्वेक्षण किया जहां वे इस अवधारणा से मिले थे। सर्वे के नतीजों ने खुद लोगों को भी हैरान कर दिया। हमने एक साथ रुचि के आवेदन के कई क्षेत्रों को याद किया, यहां दिए गए उदाहरणों की एक सूची है:

ब्याज लागू होता है:

एक स्टोर में छूट की गणना करते समय, एक बैंक में एक समझौता तैयार करना, दृश्य तीक्ष्णता का निर्धारण, कपड़े में धागे का अनुपात, उत्पादों में वसा की मात्रा का निर्धारण, कंप्यूटर पर कार्यक्रमों की लोडिंग का निर्धारण या बैटरी चार्ज करना, का मूल्य चुनावों में वोटों का अनुपात या मतदान करते समय, कंपनी के मुनाफे का वितरण करते समय, यूएसई परीक्षणों के प्रदर्शन की गणना, मजदूरी से करों की गणना, जब तत्वों से इसके नुकसान की कटाई और निर्धारण, मानव शरीर में पानी का अनुपात, या पानी और जमीन पर कुल शुद्ध आवक से विश्वविद्यालयों द्वारा प्राप्त गहनों में अशुद्धियों और सोने के अनुपात में पृथ्वी, टैंक में शेष गैसोलीन के बारे में मोटर चालक के लिए जानकारी, जब रेटिंग हिट परेड प्रतिभागियों, और महामारी सीमा का निर्धारण करती है।

पूर्वगामी से, यह देखा जा सकता है कि ब्याज का उपयोग निम्नलिखित क्षेत्रों में किया जाता है: व्यापार, प्रोग्रामिंग, अर्थशास्त्र, उत्पादन तकनीक, सांख्यिकी, चिकित्सा, सामाजिक जीवन, रोजमर्रा की जिंदगी, विज्ञान के विभिन्न क्षेत्र, कला।

ब्याज बैंकिंग, व्यापार, कर, फार्मास्युटिकल आदि कार्यों का एक अभिन्न अंग है। उन्होंने न केवल पाक उत्पादों और खाना पकाने के व्यंजनों के साथ हमारे जीवन में प्रवेश किया, वे अर्थव्यवस्था में बाजार संबंधों के समय, दिवालिया होने, मुद्रास्फीति और संकट के समय हम पर सचमुच हमला करते हैं।

एक बैंक में बचत का जमाकर्ता ब्याज पर जीना सीखता है, बुद्धिमानी से एक लाभदायक व्यवसाय में पैसा लगाता है। एक बैंक में एक बंधक ऋण का उचित उपयोग भी ब्याज में मदद करेगा। ब्याज गणना को सक्षम रूप से करने का अर्थ है बैंकिंग लेनदेन में लाभ होना, एक लाभदायक व्यवसाय और वाणिज्यिक प्रस्ताव होना।

इस तरह, रुचिगणितीय अवधारणाओं में से एक है जो रोजमर्रा की जिंदगी में बहुत आम है।

सर्वेक्षण के बाद, यह अंततः स्पष्ट हो गया कि आधुनिक समाज में इस तरह की जानकारी को समझने की क्षमता के बिना, अस्तित्व में रहना मुश्किल होगा। इसलिए, रुचि के लिए सभी मौजूदा कार्यों और उन्हें हल करने के तरीकों की पहचान करना और उनका अध्ययन करना आवश्यक हो जाता है, जिसे हम अगले पैराग्राफ में प्रकट करेंगे।

अध्याय 2. रुचि के लिए कार्यों के प्रकार और उन्हें हल करने के तरीके 2.1. रुचि के लिए कार्यों के प्रकार

2.1.1. किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना

किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना चाहिए:

प्रतिशत को दशमलव के रूप में लिखें।

संख्या को उस दशमलव से गुणा करें।

टास्क: 14 टन गोभी को स्टोर पर लाया गया, सभी गोभी का 70% बेचा गया। कितने टन गोभी बची है?

बाकी गोभी है: 100% - 70% = 30% = 0.3

उत्तर : 4.2 टन।

1. 1. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना

किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना चाहिए:

प्रतिशत को दशमलव के रूप में लिखें;

संख्या को उस दशमलव से भाग दें।

टास्क: ट्रैक्टर ब्रिगेड ने एक दिन में पूरे खेत की 25 फीसदी जुताई की, जो 60 हेक्टेयर है. पूरे मैदान का क्षेत्रफल कितना है?

25% = 0,25;

60: 0.25 = 240

उत्तर : 240 हेक्टेयर।

1. 1. संख्याओं का प्रतिशत ज्ञात करना

यह पता लगाने के लिए कि एक संख्या दूसरी संख्या का कितना प्रतिशत है, आपको चाहिए:

पहली संख्या को दूसरे से विभाजित करें।

परिणाम को 100% से गुणा करें।

कार्य: आयत की लंबाई 40 डीएम है, क्षेत्रफल 200 डीएम 2 है। लंबाई की चौड़ाई कितने प्रतिशत है?

चौड़ाई है 200: 40 = 5

5:40 100% = 12.5%

उत्तर: 12.5%

1. 1. पी% से बढ़ाएँ

सकारात्मक संख्या बढ़ाने के लिए एकपी% पर, एक चाहिए:

एक संख्या गुणा करें एकआवर्धन कारक के लिए कश्मीर \u003d (1 + 0.01r)

टास्क: सेब के दाम में 30 फीसदी की बढ़ोतरी. वृद्धि के बाद सेब की कीमत क्या है, यदि मूल कीमत 250 रूबल है?

कश्मीर \u003d 1 + 0.01 30 \u003d 1.3

250 1.3 = 325

उत्तर: 325 रूबल।

1. 1. पी% की कमी

एक सकारात्मक संख्या घटाने के लिए एकपी% पर, एक चाहिए:

एक संख्या गुणा करें एककमी कारक द्वारा कश्मीर \u003d (1- 0.01 पी)

टास्क: एक सेनेटोरियम के टिकट की कीमत में 10% की कमी आई। यदि टिकट की शुरुआती कीमत 12 रूबल है तो टिकट की कीमत कितनी है?

के \u003d 1 - 0.01 10 \u003d 0.9;

12 0.9 = 10.8

उत्तर: 10.8 रूबल।

2.2. अनुपात बनाकर प्रतिशत के लिए समस्याओं को हल करना

प्रतिशत के लिए समस्याओं को हल करते समय, एक निश्चित मान b को 100% के रूप में लिया जाता है, और इसका भाग मान होता है एक- के लिए लेना एक्स% और अनुपात तैयार किया गया है:

दो ज्ञात मात्राओं के अनुपात से, अनुपात की मुख्य संपत्ति का उपयोग करके अज्ञात तीसरी मात्रा निर्धारित की जाती है: बी एक्स=100 एक

कार्य 1. थिएटर स्टूडियो में 36 लड़कियां हैं। अगर लड़कों की संख्या 52% है तो इस स्टूडियो में कितने छात्र हैं?

लड़कियों की संख्या 100% - 52% = 48% है।

लड़कियाँ: 36 लोग - 48%

कुल छात्र: एक्स प्रति। - 100%

हम एक अनुपात बनाते हैं:

उत्तर : 75 विद्यार्थी।

टास्क 2. टर्नर के वेतन में पहले 10% और फिर एक साल बाद 20% की वृद्धि की गई। टर्नर के वेतन में मूल वेतन की तुलना में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

एक- प्रारंभिक वेतन

1 10% वृद्धि के बाद - 1.1 एक

20% की वृद्धि के एक वर्ष बाद - 1.1 एक 1.2 = 1.32 एक

आइए एक अनुपात बनाएं:

132% - 100% = 32%

उत्तर: 32%।

2.3. ब्याज की समस्याओं को बीजगणितीय विधि द्वारा हल करना

कार्य 1. आयत की एक भुजा दूसरी भुजा से 42% बड़ी है। आयत का क्षेत्रफल 568 सेमी2 है। सबसे छोटी भुजा ज्ञात कीजिए।

होने देना एक्स- आयत की एक भुजा, तो दूसरी भुजा 1.42 . होगी एक्स.

आइए एक समीकरण लिखें और इसे हल करें:

एक्स 1.42 एक्स = 568

1,42एक्स 2 = 568

एक्स 2 = 400

एक्स 1 = 20 और एक्स 2 = - 20 - उपयुक्त नहीं

उत्तर : 20 सेमी.

कार्य 2.पर्यटक ने पहले दिन 40% मार्ग, दूसरे दिन शेष पथ का 45% कवर किया, जिसके बाद उसे दूसरे दिन की तुलना में 6 किमी अधिक जाना पड़ा। पूरा मार्ग है

एक्स(किमी) - संपूर्ण मार्ग

0.4 x(किमी) - यात्रा के पहले दिन पर्यटक गुजरा

0.45(x - 0.4x) = 0.27x(किमी) - यात्रा के दूसरे दिन पर्यटक गुजरा

एक्स - (0.4x + 0.27x) = 0.33x(किमी) - पर्यटक को गुजरना पड़ता है

इसलिये पर्यटक को दूसरे दिन की तुलना में 6 किमी अधिक जाना पड़ता है, हम एक समीकरण बनाकर इसे हल करेंगे:

0.33x - 0.27x = 6

0.06x = 6

एक्स = 100

उत्तर : 100 किमी.

2.4. एकाग्रता और प्रतिशत की समस्याओं को हल करना

इस खंड की समस्याओं को हल करने के लिए, हम बुनियादी अवधारणाओं का परिचय देते हैं:

मान लीजिए m A और m B द्रव्यमान वाले दो अलग-अलग पदार्थ A और B दिए गए हैं। इन पदार्थों से बने मिश्रण का द्रव्यमान M = m A + m B है।

मिश्रण में पदार्थ A की द्रव्यमान सांद्रता (मिश्रण में शुद्ध पदार्थ का प्रतिशत) C A = =।

द्रव्यमान सांद्रता समानता से संबंधित हैं: C A + C B \u003d 1

इस मिश्रण में पदार्थ A के प्रतिशत की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: P A \u003d C A 100%

कार्य 1। 50 ग्राम घोल में 8% नमक होता है। आपको 5% समाधान प्राप्त करने की आवश्यकता है। मूल विलयन में मिलाए जाने वाले ताजे पानी का द्रव्यमान क्या है?

आइए जोड़ें एक्सताजा पानी का किलो। हम नमक को शुद्ध पदार्थ के रूप में लेते हैं। आइए समाधान को एक तालिका में रखें।

आइए एक समीकरण बनाते हैं: 0.08 50 = (50 + x) 0.05

50 + एक्स = 80

उत्तर : 30 किग्रा.

कार्य 2.घोल में 15% नमक होता है। यदि आप 150 ग्राम नमक मिलाते हैं, तो घोल में 45% नमक होगा। मूल विलयन में नमक का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

माना विलयन का द्रव्यमान एक्सघ. हम एक तालिका के साथ निर्णय तैयार करेंगे।

आइए समीकरण बनाएं और हल करें: 0.15x + 150 = (x + 150) 0.45

0.3x = 82.5

एक्स = 275

आइए प्रारंभिक घोल में शुद्ध पदार्थ का द्रव्यमान ज्ञात करें: 275 0.15 = 41.25।

उत्तर: 41.25 ग्राम।

हमने रुचि के लिए 8 प्रकार के कार्यों पर विचार किया है। जैसा कि विश्लेषण से पता चलता है, ओजीई के परीक्षा पत्रों में प्रतिशत के लिए कार्य शामिल हैं, उनमें से कुछ परिशिष्ट में प्रस्तुत किए गए हैं।

निष्कर्ष

अंत में, मैं यह कहना चाहूंगा कि प्रतिशत गणित में सबसे कठिन विषयों में से एक है, और कई छात्रों को यह मुश्किल लगता है या यह नहीं पता कि प्रतिशत के साथ समस्याओं को कैसे हल किया जाए। और प्रतिशत की समझ और प्रतिशत गणना करने की क्षमता प्रत्येक व्यक्ति के लिए आवश्यक है, क्योंकि हम रोजमर्रा की जिंदगी में लगातार प्रतिशत का सामना करते हैं। इसलिए, मुझे विश्वास है कि मेरे काम को बीजगणित पाठों में व्यावहारिक अनुप्रयोग मिलेगा, व्यावहारिक सामग्री के साथ विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के उदाहरण के रूप में। यह स्नातकों को प्रतिशत के साथ समस्याओं को हल करने के मुख्य तरीकों को याद रखने में मदद करेगा।

ग्रन्थसूची

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नोविक, आई ए। गणित में कार्य: 4-8 वीं कक्षा। किताब। छात्रों के लिए / I. A. Novik, N. K. Peshchenko, N. V. Brovka। - मिन्स्क: नर.अस्वेता, 1984. - 96 पी।

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वाह। एनके/सोर_उच/गणित/काल्मिक/

वाह। प्रतिशत.html

आवेदन पत्र

गणित में OGE विकल्पों में रुचि के लिए कार्य

शहर का बजट 45 मिलियन रूबल है, और इसकी एक वस्तु की लागत 12.5% ​​​​है। इस बजट मद पर कितने रूबल खर्च किए गए?

आइए 45 मिलियन को रूबल = 45,000,000 में अनुवाद करें, क्योंकि 45 मिलियन संपूर्ण बजट है, इसलिए - 100%, चूंकि कुल बजट का 12.5% ​​​​लेख पर खर्च किया गया था, द्वारा दर्शाया गया एक्सयह रूबल में संख्या है, हम एक अनुपात बनाएंगे

45000000-100%

x-12.5%

x=45000000 12.5:100=5625000(रगड़ना)

उत्तर: 5625000 (रगड़)

सर्कस में प्रस्तुति से पहले, बिक्री के लिए एक निश्चित संख्या में गुब्बारे तैयार किए गए थे। प्रदर्शन शुरू होने से पहले सभी गुब्बारे बेचे गए, और मध्यांतर के दौरान 12 और बेचे गए। उसके बाद आधी गेंदें रह गईं। मूल रूप से कितनी गेंदें थीं?

गेंदों को रहने दें एक्स.

सभी गेंदें 2x

शो से पहले बेचा गया: 2x \u003d 2x 0.4 \u003d 0.8x

मध्यांतर में बेचा गया 12 टुकड़े

एक समीकरण लिखें

2x-0.8x-12=x

2x-0.8x-x=12

0.2x=12

एक्स=12:0.2

एक्स = 60गेंदें बची हैं

60 2=120गेंदें थीं

उत्तर: 120 गेंद

बचत बैंक सावधि जमा पर प्रति वर्ष 20% अर्जित करता है। जमाकर्ता ने खाते में 800 रूबल जमा किए। यदि खाते के साथ कोई संचालन नहीं किया जाता है तो इस खाते में एक वर्ष में कितनी राशि होगी?

एक साल बाद, योगदानकर्ता-चिक पो-लू-चिट 20% तो-हो-हां, जो कि सो-स्टा-विट है

800 · 0,2=160 आर।

इस प्रकार, एक वर्ष में खाते में होगा:

800+160=960 आर।

उत्तर : 960r.

बिक्री पर उत्पाद पर 20% की छूट दी गई, जबकि इसकी कीमत 680 रूबल से शुरू हुई। बिक्री से पहले उत्पाद की लागत कितनी थी? समाधान: 100-20 = 80% नई कीमत पुरानी कीमत का 80% है। आइए अनुपात बनाते हैं

680 रूबल - 80% x रूबल - 100%

680 100:80= 850बिक्री से पहले रूबल की कीमत माल है

उत्तर: 850 रूबल।

राज्य कंपनी के 60% शेयरों का मालिक है, बाकी शेयर निजी व्यक्तियों के स्वामित्व में हैं। वर्ष के लिए करों के बाद उद्यम का कुल लाभ 40 मिलियन रूबल था। इस लाभ का कितना हिस्सा निजी शेयरधारकों को भुगतान करने के लिए जाना चाहिए?

समाधान:

40 मिलियन का एक प्रतिशत बराबर है: 40,000,000:100 \u003d 400,000 रूबल।

यू-पे-वो निजी ak-qi-o-ne-ram चला गया: 400,000 · 40= 16000000 रगड़।

उत्तर: 16000000।

कंपनी के शेयर राज्य और निजी व्यक्तियों के बीच 3:5 के अनुपात में वितरित किए जाते हैं। वर्ष के लिए करों के बाद उद्यम का कुल लाभ 32 मिलियन रूबल था। इस लाभ का कितना हिस्सा निजी शेयरधारकों को भुगतान करने के लिए जाना चाहिए?

समाधान:

होने देना एक्सशेयर के एक हिस्से के लिए मिलियन रूबल, फिर 5x with-ho-dit-sya Private ak-qi-o-ne-ram, और 3x - go-su-dar-stvo। यह जानते हुए कि सभी लाभ 32 मिलियन रूबल थे, हमने समीकरण रखा:

3x+5x=32

एक्स = 4मिलियन रूबल

इस तरह निजी ak-qi-o-ne-rams को पांच गुना अधिक या 20 मिलियन रूबल मिलते हैं।

उत्तर: 20,000,000।

पार्क में शंकुधारी वृक्षों की संख्या पर्णपाती वृक्षों की संख्या 1:4 से संबंधित है। पार्क में कितने प्रतिशत पेड़ पर्णपाती हैं?

समाधान:

कुल पाँच भाग होते हैं, जिनमें से चार भाग होते हैं, जिनमें से चार भाग होते हैं, यह 4: 5 \u003d 0.8 या 80% है।

सर्गेई के समान उम्र के लड़कों का औसत वजन 48 किलो है। सर्गेई का वजन औसत वजन का 120% है। सर्गेई का वजन कितना है?

समाधान:

सेर-गे का वजन ज्ञात कीजिए: 48 · 120:100=57.6 किग्रा.

उत्तर: 57.6 किग्रा।

वर्ष की शुरुआत में, सेवर टेलीफोन कंपनी के ग्राहकों की संख्या 200 हजार लोग थे, और वर्ष के अंत में 210 हजार लोग थे। वर्ष के दौरान इस कंपनी के ग्राहकों की संख्या में कितने प्रतिशत की वृद्धि हुई?

समाधान: आइए 200 हजार लोगों में ग्राहकों की संख्या को 100% के रूप में नामित करें। , लेकिन के लिए एक्स-210 हजार लोग ग्राहक। आइए अनुपात बनाते हैं:

200 हजार लोग - 100%210 हजार लोग - एक्स%

x=210 100/200=105 (%)

105%-100%=5% (इस प्रतिशत से ग्राहकों की संख्या में वृद्धि हुई) उत्तर: 5%

गणित की परीक्षा में 30 कार्य होते हैं, जिनमें से 18 कार्य बीजगणित में होते हैं, शेष ज्यामिति में होते हैं। परीक्षण में बीजीय और ज्यामितीय कार्य किस संबंध में निहित हैं?

समाधान:

ज्यामिति के लिए कार्यों की संख्या है: 30-18 = 12 पीसी। इस तरह, अल-गेब-रा-ए-चे-स्काई और जियो-मेट-री-चे-स्काई फॉर-दा-ची ऑन-हो-दयात-स्या इन फ्रॉम-नो-शे-एनआईआई: 18 :12= 3:2.

उत्तर: 3:2

15% प्रति वर्ष की आय के साथ 24 हजार रूबल बैंक खाते में जमा किए गए। इस खाते में एक वर्ष में कितने हजार रूबल होंगे यदि खाते के साथ कोई संचालन नहीं किया जाता है?

समाधान:

आइए जानें कि एक वर्ष में कितने प्रो-सेंट होंगे: 100% + 15% = 115%। इस प्रकार, एक वर्ष में बैंक के पास होगा: 2400 · 115:100=27600 रगड़।

उत्तर: 27600 रूबल।

नकद रसीद पर कितनी राशि (रूबल में) इंगित की जाएगी यदि माल की लागत 520 रूबल है, और खरीदार 5% छूट के साथ डिस्काउंट कार्ड का उपयोग करके इसके लिए भुगतान करता है?

समाधान:

कैलकुलेट-टा-ईट ए डिस्काउंट-कू, कोई-रु-लू-चा-एट-कू-पा-टेल, 5% छूट के साथ डिस्काउंट कार्ड का उपयोग करके माल का भुगतान करें -कोय: 520 · 5:100=26 रगड़। इस प्रकार, कुल रियायती मूल्य है: 520 - 26 = 494 रूबल।

उत्तर : 494.

सोमवार को, कुछ सामान 1000 रूबल की कीमत पर बिक्री पर गए। स्टोर में अपनाए गए नियमों के अनुसार, उत्पाद की कीमत सप्ताह के दौरान अपरिवर्तित रहती है, और प्रत्येक अगले सप्ताह के पहले दिन यह पिछली कीमत से 20% कम हो जाती है। बिक्री पर जाने के नौवें दिन उत्पाद की कीमत कितने रूबल होगी?

समाधान:

से-पश्चिम-लेकिन, नॉट-डे-ले 7 दिनों में। तो, 12वें दिन you-pa-yes-et दूसरे नॉन-दे-लू पर, जब कीमत 20% गिरती है, इस तरह, माल की कीमत 80% होगी। हमारे पास है:

1000· 80:100=800

उत्तर: 800.

बिक्री की अवधि के दौरान, स्टोर ने कीमतों में दो बार कमी की: पहली बार 30%, दूसरी बार 50%। दूसरी कीमत में कमी के बाद केतली की कीमत कितने रूबल थी, अगर बिक्री शुरू होने से पहले इसकी कीमत 700 रूबल थी?

समाधान:

पहली बार कीमत में 700 . की गिरावट आई · 30:100 = 210 रूबल तो, पहली कम कीमत के बाद, चाय की कीमत 700 - 210 = 490 रूबल होने लगी। दूसरी बार कीमत 490 . गिर गई · 45:100 = 220.5 रूबल तो, दूसरी कम कीमत के बाद, चाय की कीमत 490 - 220.5 = 269.5 रूबल होने लगी।

उत्तर : 269.5.

भुगतान टर्मिनल के माध्यम से सेवाओं के लिए भुगतान करते समय, 5% का कमीशन लिया जाता है। टर्मिनल 10 रूबल के गुणकों में राशि स्वीकार करता है। निकोलाई अपने मोबाइल फोन खाते में कम से कम 320 रूबल जमा करना चाहते हैं। इस टर्मिनल के रिसीविंग डिवाइस में उसे न्यूनतम कितनी राशि डालनी चाहिए?

समाधान:

सह-मिशन को ध्यान में रखते हुए, अन्या को कम से कम 300 + 300 . की राशि में प्राप्त करने वाले उपकरण के लिए बाहर जाना चाहिए · 0.05 = 315 रूबल। तो, एक मिनी-नो-स्मॉल राशि, किसी को अन्या को इस टेर-मी-ना-ला - 320 रगड़-लेई के प्राप्त करने वाले उपकरण में रखना चाहिए हम साबित करते हैं कि यह राशि सौ सटीक बिंदुओं तक है: इसका 5% 16 रूबल है। (यह एक कमीशन है), शेष 304 रूबल ते-ले-फो-ऑन के खाते में जाएंगे।

उत्तर : 320.

मोबाइल फोन की कीमत 5000 रूबल है। कुछ समय बाद, इस मॉडल की कीमत घटाकर 3000 रूबल कर दी गई। कीमत में कितने प्रतिशत की कमी की गई?

समाधान:

टी-ले-बैकग्राउंड की कीमत में 5000 - 3000 = 2000 रूबल की कमी करें। रज़-डी-लिम 2000 फॉर 5000:

तो, कीमत 40% कम करें।

एक टैबलेट खरीदने के लिए, उन्होंने 1 साल के लिए 16% प्रति वर्ष की दर से 20,000 रूबल का ऋण लिया। गणना करें कि आपको बैंक में वापस जाने के लिए कितना पैसा चाहिए, मासिक भुगतान की राशि क्या है?

समाधान:

20000· 16:100 = 3200 (रगड़) - एक वर्ष

20000 + 3200 = 23200 (रूबल) - ब्याज सहित पूरी राशि

23200:12= 1933 (रब.) - मासिक भुगतान राशि

उत्तर: 1933 रूबल।

चाय के एक पैकेट की कीमत 100 रूबल है। पहले, कीमत में 10% की वृद्धि की गई, और फिर 10% (नई कीमत से) की कमी की गई। अब चाय के एक पैकेट की कीमत कितनी है?

चूंकि कीमत में 10% की वृद्धि हुई थी, तो आपको मूल मूल्य को 1.1 से गुणा करना होगा और यदि आप 10% से कम करते हैं, तो आपको 0.9 से गुणा करना होगा,

100 (1 + 0.1) (1-0.1) \u003d 99 रूबल।

उत्तर: 99 रूबल।

सितंबर में, 1 किलो अंगूर की कीमत 60 रूबल थी, अक्टूबर में अंगूर की कीमत में 25% और नवंबर में 20% की वृद्धि हुई। नवंबर में कीमत में वृद्धि के बाद 1 किलो अंगूर की कीमत कितने रूबल थी?

समाधान:

60 . पर ओके-टैब-री वी-नो-ग्रेड ऑन-डू-रो-स्टिंग में · 25:100 = 15 रूबल और लागत 60 + 15 = 75 रूबल थी। 75 . पर नो-याब-रे वी-नो-ग्रेड ऑन-डू-रो-स्टिंग में · 20:100 = 15 रूबल। तो, नवंबर-जब-रे में पो-डो-रो-झा-निया के बाद, 1 किलो वी-नो-ग्रा-दा की कीमत 75 + 15 = 90 रूबल है।

स्कूल में 800 छात्र हैं, जिनमें से 30% प्राथमिक विद्यालय के छात्र हैं। मिडिल और हाई स्कूल के छात्रों में, 20% जर्मन का अध्ययन करते हैं। यदि प्राथमिक विद्यालय में जर्मन नहीं पढ़ाया जाता है तो कितने छात्र स्कूल में जर्मन पढ़ते हैं?

समाधान:

प्राथमिक विद्यालय 800 . में उचे-नी-कोव · 30:100 \u003d 240, और मध्य और उच्च विद्यालय के छात्र - 800 - 240 \u003d 560। तो, स्कूल में जर्मन भाषा का अध्ययन 560 · 20:100 = 112 छात्र।

1% किसी संख्या का सौवां भाग है।

1% = 0,01.

किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।
किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, आप प्रतिशत को दशमलव भिन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं और परिणामी दशमलव भिन्न से संख्या को गुणा कर सकते हैं।

किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।
किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करने के लिए, आप प्रतिशत को दशमलव भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं और इस संख्या को परिणामी दशमलव भिन्न से विभाजित कर सकते हैं।

यह पता लगाने के लिए कि एक संख्या दूसरे से कितने प्रतिशत है, आप एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित कर सकते हैं और परिणामी गुणनफल को 100 से गुणा कर सकते हैं।

प्रतिशत प्रश्नों को कैसे हल करें। उदाहरण।

किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना किसी संख्या के भिन्न को ज्ञात करने से संबंधित है। प्रतिशत एक साधारण भिन्न को लिखने का एक विशेष तरीका है, इसलिए साधारण भिन्न की अवधारणा को समझने से ब्याज की अवधारणा के अर्थ को प्रकट करना शुरू करना चाहिए।

उदाहरण के लिए, आइए कुछ सामान्य भिन्नों को लें। ऐसी प्रत्येक प्रविष्टि का क्या अर्थ है?
ये नियमित भिन्नों के उदाहरण हैं। उनमें से प्रत्येक का हर दिखाता है कि किसी वास्तविक या अमूर्त वस्तु को विभाजित करने के लिए आपको कितने बराबर भागों की आवश्यकता है, अंश दिखाता है कि आपको ऐसे कितने भागों को लेने की आवश्यकता है। आइए एक उदाहरण के रूप में एक नियमित अंश लेते हैं। उदाहरण के लिए। इस अभिव्यक्ति का अर्थ निम्नानुसार प्रकट किया जा सकता है। कुछ वास्तविक वस्तु को 3 बराबर भागों में बाँटा गया और उनसे 2 भाग लिए गए।

एक वास्तविक वस्तु के रूप में, आप उदाहरण के लिए, एक आयत ले सकते हैं।

यह व्यंजक a और b का भागफल है, जहाँ b 0 के बराबर नहीं है।

यह संख्या a और b का अनुपात है, जहां b 0 के बराबर नहीं है।

यह एक साधारण अंश है। ए अंश है, बी हर है (बी 0 के बराबर नहीं है)।

उदाहरण 1बैरल की क्षमता 200 लीटर थी। बैरल पानी से भरे हुए थे। क्या है इस प्रस्ताव के मायने?
- इस भिन्न का अर्थ है कि एक निश्चित वस्तु को 5 बराबर भागों में विभाजित किया गया और उनसे 2 भाग लिए गए। इस समस्या में वस्तु 200 लीटर के बराबर बैरल की मात्रा है, इसलिए,
200:5 = 40,
402 = 80.
एक बैरल में 80 लीटर पानी डाला गया।
उपरोक्त उदाहरण किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का एक विशिष्ट उदाहरण है।

किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या को उस भिन्न से गुणा करना होगा।

अब हम प्रतिशत की ओर बढ़ सकते हैं।

प्रतिशत की अवधारणा को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: किसी संख्या का 1% एक संख्या का सौवां भाग है, अर्थात 1% \u003d 0.01।

फिर वाक्य का अर्थ संख्या का एक% bइस प्रकार समझाया जा सकता है। कोई वस्तु (जिसका मान के बराबर है) बीइकाइयाँ) 100 बराबर भागों में विभाजित और उनसे ली गई एकभागों।

उदाहरण 2माशा के पास 400 रूबल थे। उसने इस राशि का 24% खर्च किया। इस कहावत का क्या अर्थ है?
चूँकि 24% \u003d 0.24, और 0.24 का अर्थ है कि एक निश्चित वस्तु को 100 बराबर भागों में विभाजित किया गया था और उनसे 24 भाग लिए गए थे। इस मामले में, वस्तु 400 रूबल के बराबर धन की राशि है, इसलिए,
400: 100 =4,
424 = 96.
माशा ने 96 रूबल खर्च किए।
उपरोक्त उदाहरण किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करने का एक विशिष्ट उदाहरण है।

उदाहरण 3ढूंढना होगा आर% नंबर . से बी .
मान लीजिए x वह संख्या है जिसे हमें खोजना है।
पी% = 0,01पी,
एक्स = बी 0,01पी

किसी संख्या का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए, आपको प्रतिशतों की संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में दर्शाना होगा और दी गई संख्या को इस दशमलव भिन्न से गुणा करना होगा।

इस समस्या का एक और तरीका। आप अनुपात की अवधारणा और गुणों का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम याद करें कि अनुपात दो अनुपातों की समानता है, और दो संख्याओं का अनुपात एक साधारण भिन्न है, तो यह विधि भी एक साधारण भिन्न की अवधारणा से जुड़ी है।

बी - 100%,
एक्स - पी%,
हमारे पास अनुपात है:
b: 100 = x: p, (b से 100 है जैसे x से p) कहाँ से,

उदाहरण 4संख्याएँ होने दें एक तथा बी , इसके अतिरिक्त, एक >बी फिर नंबर एक अधिक संख्या बी पर %।

आइए इस समस्या को थोड़ा अलग तरीके से देखें। हम एक साधारण विशेष मामले पर विचार करेंगे, उदाहरण के लिए, यह: "संख्या 10 संख्या 2 से कितने प्रतिशत अधिक है?"।

1. छोटी संख्या को बड़ी संख्या से घटाएं। 10 - 2 = 8. तो 10, 2 बटा 8 से बड़ा है.

2. पाई गई संख्या का छोटी संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए। 8:2=4 दो संख्याओं का अनुपात है!

3 हम अनुपात को 4100 = 400% प्रतिशत के रूप में व्यक्त करते हैं।

संख्या 10, संख्या 2 से 400% अधिक है।

यदि हम 8 को 10 से विभाजित करते हैं, तो हमें यह दर्शाने वाला अनुपात मिलेगा कि 10 2 का कितना 10 से कम है (यहाँ तुलना संख्या 10 के साथ है।

संख्या 2 संख्या 10 से 80% कम है।

उदाहरण 5ट्रैक्टर चालक ने 6 हेक्टेयर जोतई जो पूरे खेत से है। पूरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है।
किसी संख्या को उसके भिन्न द्वारा ज्ञात करने की यह एक विशिष्ट समस्या है। मान लीजिए पूरे खेत का क्षेत्रफल एक्स, तब हमारे पास समीकरण x= 6 है। जहाँ से x = 6:; x = 26. खेत का क्षेत्रफल 26 हेक्टेयर है।

किसी संख्या को उसके भिन्न से ज्ञात करने के लिए, आपको दिए गए भिन्न के संगत संख्या को भिन्न से भाग देना होगा।

उदाहरण 6.एक नंबर दिया गया बी, जो है पी% नंबर . से एक। एक नंबर खोजें एक।

पी% = 0,01पी
बी = 0,01देहात
ए = बी: (0.01पी)

एक नंबर दिया गया बी , जो है पी% नंबर . से एक .

एक नंबर खोजें एक .

ए - 100%

बी-पी%

ए: 100 = बी: पी

चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र।

यदि जमा में राशि है एकमौद्रिक इकाइयाँ, और बैंक शुल्क आर% प्रति वर्ष, फिर के माध्यम से एन वर्ष, जमा पर राशि मौद्रिक इकाइयाँ होंगी, या
ए(1+0.01पी)एन मौद्रिक इकाइयाँ।

उदाहरण 7घर के निर्माण की लागत 9,800 रूबल थी, जिसमें से 35% काम के लिए भुगतान किया गया था, और बाकी सामग्री के लिए भुगतान किया गया था। सामग्री की लागत कितनी थी?

काम के लिए भुगतान किया गया:

0,359800 = 3430.

इसलिए, सामग्री की लागत: 9800 - 3430 = 6370।

उत्तर: 6370 रूबल।

उदाहरण 8टैंक में 37.4 टन गैसोलीन डाला गया, जिसके बाद टैंक की क्षमता का 6.5% अधूरा रह गया। टैंक को भरने के लिए उसमें कितना पेट्रोल डालना चाहिए?

यदि टैंक का अधूरा भाग क्षमता का 6.5% है, तो भरा हुआ भाग है: 100% - 6.5% = 93.5%। फिर, यदि x गैसोलीन का द्रव्यमान है जो टैंक में जोड़ा जाना बाकी है, तो हमारे पास अनुपात है

कहाँ पे .

उत्तर : 2.6 टन।

उदाहरण 9एक संख्या ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि इसका 25% 640 का 45% है।

मान लीजिए x वांछित संख्या है। हमारे पास है

0.25x = 0.45640।

उत्तर: 1152।

उदाहरण 10संख्या a, संख्या b का 92% है। यदि संख्या b में 700 की वृद्धि की जाती है, तो नई संख्या संख्या a से 9% अधिक होगी। नंबर ए और बी खोजें।

समस्या की स्थिति से हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है:

परिणामी प्रणाली को हल करने पर, हम पाते हैं, a = 230000, b = 250000।

उत्तर: 230000; 250000.

उदाहरण 11.पहली संख्या दूसरी का 50% है। पहले का कितना प्रतिशत दूसरा है?

दूसरी संख्या को x से निरूपित करते हैं, तो पहली संख्या 0.5x के बराबर है। 0.5x संख्या की संख्या x का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए; आइए एक अनुपात बनाएं:

जिससे हम पाते हैं

उत्तर: 200%।

उदाहरण 12.गीतकार में 260 छात्र हैं, जिनमें से 10% अनुत्तीर्ण होते हैं। एक निश्चित संख्या में खराब प्रदर्शन करने वालों के निष्कासन के बाद, उनका प्रतिशत घटकर 6.4% रह गया। कितने छात्र छूटे?

निष्कासन से पहले, निष्कासन से पहले कम उपलब्धि हासिल करने वालों की संख्या एकल थी

मान लीजिए x लोगों को निष्कासित कर दिया जाता है। फिर, कुल मिलाकर, 260 छात्र लिसेयुम में रहे, जिनमें से 26 असफल रहे। हमारे पास अनुपात है

260 - x - 100%,

(260 - x)0.064=(26 - x)100,

परिणामी समीकरण को हल करने पर, हम x = 10 पाते हैं।

उदाहरण 13 250, 200 से कितने प्रतिशत अधिक है?

चलो दो काम करते हैं।

1) हमें पता चलता है कि 200 की संख्या 250 टन की संख्या कितनी प्रतिशत है:

2) चूँकि इस उदाहरण में 200 की संख्या 100% है, तो 250 की संख्या 200 की संख्या से 125% -100% = 25% अधिक है।

उत्तर: 25%।

उदाहरण 14 250 से 200 कम कितना प्रतिशत है?

1) पता करें कि 250 की संख्या 200 का कितना प्रतिशत है (पिछले उदाहरण के विपरीत, यहां आपको संख्या 250 को 100% के रूप में लेने की आवश्यकता है!):

2) संख्या 200, संख्या 250 से 100% - 80% = 20% कम है।

उत्तर: 20%।

उदाहरण 15ईंट की लंबाई में 30% की वृद्धि की गई, चौड़ाई में 20% की वृद्धि की गई, और ऊंचाई में 40% की कमी की गई। क्या इससे ईंटों का आयतन बढ़ा या घटा और कितने प्रतिशत से?

माना ईंट की मूल लंबाई x, चौड़ाई - y, ऊंचाई - z है। फिर ईंट का प्रारंभिक आयतन: V 1 = xyz। नई ईंट का आकार: 1.3x; 1.2y; 0.6z और नया वॉल्यूम: वी 2 \u003d 1.3x1.2y0.6z \u003d 0.936xyz। वी 2 . के बाद से< V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

उत्तर: 6.4% की कमी।

उदाहरण 16एक वस्तु की कीमत में 40% और फिर 25% की गिरावट आई। उत्पाद की कीमत उसके मूल मूल्य से कितने प्रतिशत कम हो गई है?

मान लीजिए x उत्पाद का मूल मूल्य है। पहली कमी के बाद, कीमत बराबर होगी

एक्स - 0, 4x = 0.6x।

दूसरी कीमत में कमी 0.6x की नई कीमत का 25% है, इसलिए दूसरी कमी के बाद हमारे पास कीमत होगी

0.6x - 0.250.6x = 0.45x;।

दो गिरावटों के बाद, कुल मूल्य परिवर्तन है:

एक्स - 0.45x = 0.55x।

चूंकि मान 0.55x है; x का 55% है, तो वस्तु की कीमत में 55% की कमी आई है।

उत्तर: 55%।

उदाहरण 17.उत्पादन की एक इकाई की प्रारंभिक लागत 75 रूबल थी। उत्पादन के पहले वर्ष के दौरान, यह एक निश्चित संख्या में प्रतिशत की वृद्धि हुई, और दूसरे वर्ष के दौरान यह (बढ़े हुए मूल्य के संबंध में) प्रतिशत की समान संख्या से घट गई, जिसके परिणामस्वरूप यह 72 रूबल के बराबर हो गया। उत्पादन की एक इकाई की लागत में प्रतिशत वृद्धि और कमी का निर्धारण करें।

मान लीजिए x% उत्पादन की एक इकाई की लागत में प्रतिशत वृद्धि (और कमी) है। परिभाषा के अनुसार, 75 का x% 750.01x है। फिर पहली वृद्धि के बाद कीमत 75 + 0.75x के बराबर होगी।

दूसरे वर्ष के दौरान, कीमत में कमी आएगी

0.01x (75+0.75x) = 0.75x + 0.0075x2।

अब हम अंतिम कीमत के लिए समीकरण लिख सकते हैं

(75 + 0.75x) - (0.75x + 0.0075x 2) = 72;

एक्स 2 \u003d 400; इसलिए x 1 = - 20, x 2 = 20।

इस समीकरण की केवल एक जड़ उपयुक्त है: x 2 \u003d 20।

उत्तर: 20%।

उदाहरण 18.बैंक खाते में 10 हजार रूबल जमा किए गए। एक साल तक पैसा पड़ा रहने के बाद खाते से 1 हजार रूबल निकाल लिए गए। एक साल बाद, खाता 11 हजार रूबल था। निर्धारित करें कि बैंक प्रति वर्ष कितने प्रतिशत शुल्क लेता है।

बता दें कि बैंक सालाना p% चार्ज करता है।

1) एक वर्ष में प्रति वर्ष p% की दर से बैंक खाते में जमा 10,000 रूबल की राशि मूल्य में बढ़ जाएगी

10000 + 0.01p10000 = 10000 + 100 रगड़।

जब खाते से 1000 रूबल निकाले जाते हैं, तो 9000 + 100 रूबल वहीं रहेंगे।

2) एक और वर्ष में, ब्याज के कारण बाद का मूल्य बढ़कर 9000 + 100r + 0.01p (9000 + 100r) = r 2 + 190r + 9000 रूबल हो जाएगा।

शर्त के अनुसार, यह मान 11,000 रूबल के बराबर है, इसलिए हमारे पास द्विघात समीकरण है।

पी 2 + 190r + 9000 = 11000;

आर 2 + 190r - 2000 = 0
, हम वियत के प्रमेय, पी 1 \u003d 10, पी 2 \u003d -200 का उपयोग करके इस द्विघात समीकरण को हल करते हैं।

नकारात्मक जड़ उपयुक्त नहीं है।

उत्तर: 10%।

उदाहरण 19.शहर में वर्तमान में 48,400 निवासी हैं। ज्ञात हो कि इस शहर की जनसंख्या में सालाना 10% की वृद्धि होती है। दो साल पहले शहर में कितने निवासी थे?

मान लीजिए कि दो साल पहले शहर के निवासियों की संख्या x लोग थे, तो निवासियों की संख्या वर्तमान में चक्रवृद्धि ब्याज सूत्र का उपयोग करके x के माध्यम से व्यक्त की जाती है:

एक्स(1+0.1) 2 = 1.21x।

समस्या कथन से:

उत्तर: 40,000 लोग।

हाई स्कूल गणित में अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए आनुपातिक ज्ञान की आवश्यकता होती है। यह सरल कौशल आपको न केवल पाठ्यपुस्तक से जटिल अभ्यास करने में मदद करेगा, बल्कि गणितीय विज्ञान के सार में भी तल्लीन होगा। अनुपात कैसे बनाएं? आइए अब इसका पता लगाते हैं।

सबसे सरल उदाहरण एक समस्या है जहां तीन पैरामीटर ज्ञात हैं, और चौथा पाया जाना चाहिए। बेशक, अनुपात अलग-अलग हैं, लेकिन अक्सर आपको प्रतिशत के आधार पर कुछ संख्या खोजने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, लड़के के पास कुल दस सेब थे। चौथा भाग उसने अपनी माँ को दिया। लड़के के पास कितने सेब बचे हैं? यह सबसे सरल उदाहरण है जो आपको अनुपात बनाने की अनुमति देगा। मुख्य बात यह करना है। मूल रूप से दस सेब थे। इसे 100% होने दें। यह हमने उसके सभी सेबों को चिह्नित किया। उन्होंने एक चौथाई दिया। 1/4=25/100. तो, उसने छोड़ दिया: 100% (यह मूल रूप से था) - 25% (उसने दिया) = 75%। यह आंकड़ा पहले उपलब्ध फलों की मात्रा से बचे हुए फलों की मात्रा का प्रतिशत दर्शाता है। अब हमारे पास तीन संख्याएँ हैं जिनके द्वारा हम पहले से ही अनुपात को हल कर सकते हैं। 10 सेब - 100%, एक्ससेब - 75%, जहां x फल की वांछित मात्रा है। अनुपात कैसे बनाएं? यह क्या है, इसे समझना जरूरी है। गणितीय रूप से ऐसा दिखता है। आपकी समझ के लिए समान चिन्ह है।

10 सेब = 100%;

एक्स सेब = 75%।

यह पता चला है कि 10/x = 100%/75। यह अनुपात की मुख्य संपत्ति है। आखिरकार, जितना अधिक x, उतना ही अधिक प्रतिशत मूल से यह संख्या है। हम इस अनुपात को हल करते हैं और x=7.5 सेब प्राप्त करते हैं। लड़के ने एक गैर-पूर्णांक राशि देने का फैसला क्यों किया, हमें नहीं पता। अब आप जानते हैं कि अनुपात कैसे बनाया जाता है। मुख्य बात दो अनुपातों को खोजना है, जिनमें से एक में वांछित अज्ञात है।

एक अनुपात को हल करना अक्सर साधारण गुणा और फिर विभाजन के लिए आता है। ऐसा क्यों है स्कूलों में बच्चों को नहीं पढ़ाया जाता है। जबकि यह समझना महत्वपूर्ण है कि आनुपातिक संबंध गणितीय क्लासिक्स हैं, विज्ञान का सार है। अनुपातों को हल करने के लिए, आपको भिन्नों को संभालने में सक्षम होना चाहिए। उदाहरण के लिए, अक्सर प्रतिशत को साधारण भिन्नों में बदलना आवश्यक होता है। यानी 95% का रिकॉर्ड काम नहीं करेगा। और अगर आप तुरंत 95/100 लिखते हैं, तो आप मुख्य गिनती शुरू किए बिना ठोस कटौती कर सकते हैं। यह तुरंत कहने योग्य है कि यदि आपका अनुपात दो अज्ञात के साथ निकला, तो इसे हल नहीं किया जा सकता है। यहां कोई प्रोफेसर आपकी मदद नहीं कर सकता। और आपके कार्य में, सबसे अधिक संभावना है, सही कार्यों के लिए अधिक जटिल एल्गोरिथम है।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें जहां कोई प्रतिशत नहीं है। मोटर चालक ने 150 रूबल के लिए 5 लीटर गैसोलीन खरीदा। उसने सोचा कि वह 30 लीटर ईंधन के लिए कितना भुगतान करेगा। इस समस्या को हल करने के लिए, हम x द्वारा आवश्यक राशि को निरूपित करते हैं। आप इस समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं और फिर उत्तर की जांच कर सकते हैं। यदि आपने अभी तक यह नहीं सोचा है कि अनुपात कैसे बनाया जाए, तो देखें। 5 लीटर गैसोलीन 150 रूबल है। जैसा कि पहले उदाहरण में है, आइए 5l - 150r लिखें। अब तीसरी संख्या ज्ञात करते हैं। बेशक, यह 30 लीटर है। सहमत हूं कि इस स्थिति में 30 एल - एक्स रूबल की एक जोड़ी उपयुक्त है। आइए गणितीय भाषा पर चलते हैं।

5 लीटर - 150 रूबल;

30 लीटर - एक्स रूबल;

हम इस अनुपात को हल करते हैं:

एक्स = 900 रूबल।

यही हमने तय किया। अपने कार्य में, उत्तर की पर्याप्तता की जाँच करना न भूलें। ऐसा होता है कि गलत निर्णय से कारें 5000 किलोमीटर प्रति घंटे की अवास्तविक गति तक पहुंच जाती हैं और इसी तरह। अब आप जानते हैं कि अनुपात कैसे बनाया जाता है। साथ ही आप इसे हल भी कर सकते हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है।