X 3 0 समीकरण को हल करें। समीकरणों को हल करने की विभिन्न विधियाँ। द्विघात समीकरण को कैसे हल करें

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कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता नितांत आवश्यक है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ गुणांक a, b और c मनमानी संख्याएँ हैं, और a 0।

विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को सशर्त रूप से तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. बिल्कुल एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। आप कैसे निर्धारित करते हैं कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है। तब विवेचक केवल संख्या D = b 2 - 4ac है।

आपको इस फॉर्मूले को दिल से जानना होगा। यह कहाँ से आता है - अब कोई फर्क नहीं पड़ता। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिन्ह से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D> 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, न कि उनके सभी संकेतों को, जैसा कि किसी कारण से कई लोग मानते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

कार्य। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

आइए हम पहले समीकरण के गुणांकों को लिखें और विवेचक खोजें:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम इसी तरह दूसरे समीकरण का विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य है - एक जड़ होगी।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हाँ, यह लंबा है, हाँ, यह उबाऊ है - लेकिन आपने गुणांकों को नहीं मिलाया और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ नहीं कीं। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 समीकरणों के हल होने के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतना नहीं।

द्विघात जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D> 0, जड़ों को सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16।

D> 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 - 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64।

D> 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं

\ [\ start (संरेखण) और ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ)) = 3. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, सूत्र में नकारात्मक गुणांक को प्रतिस्थापित करते समय त्रुटियां होती हैं। यहां फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण का वर्णन करें - और बहुत जल्द आपको गलतियों से छुटकारा मिलेगा।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दिए गए समीकरण से कुछ भिन्न होता है। उदाहरण के लिए:

1. एक्स 2 + 9एक्स = 0;
2. एक्स 2 - 16 = 0।

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो, चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व पर गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b = c = 0. इस मामले में, समीकरण ax 2 = 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण का एक ही मूल होता है: x = 0.

आइए बाकी मामलों पर विचार करें। मान लीजिए b = 0, तो हमें ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

चूंकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद है, अंतिम समानता केवल (−c / a) 0 के लिए समझ में आता है। निष्कर्ष:

1. यदि असमानता (−c / a) 0, ax 2 + c = 0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण में बनी रहती है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं होती है। वास्तव में, असमानता (−c / a) ≥ 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है और देखें कि समान चिह्न के दूसरी तरफ क्या है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए ax 2 + bx = 0 के रूप के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

एक सामान्य कारक को ब्रैकेट करना

उत्पाद शून्य होता है जब कम से कम एक कारक शून्य होता है। यहीं से जड़ें हैं। अंत में, हम ऐसे कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

कार्य। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. एक्स 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, टीके। एक वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 = -1.5।

आइए हम डिग्री के मुख्य गुणों को याद करें। मान लीजिए a> 0, b> 0, n, m कोई वास्तविक संख्या है। फिर
1) ए एन ए एम = ए एन + एम

2) \ (\ फ्रैक (ए ^ एन) (ए ^ एम) = ए ^ (एन-एम) \)

3) (ए एन) एम = ए एनएम

4) (एबी) एन = ए एन बी एन

5) \ (\ बाएं (\ फ्रैक (ए) (बी) \ दाएं) ^ एन = \ फ्रैक (ए ^ एन) (बी ^ एन) \)

7) ए एन> 1 अगर ए> 1, एन> 0

8) ए एन 1, एन
9) ए एन> ए एम, अगर 0

व्यवहार में, y = a x के रूप के फलन अक्सर उपयोग किए जाते हैं, जहाँ a एक दी गई धनात्मक संख्या है, x एक चर है। ऐसे कार्यों को कहा जाता है सूचक... इस नाम को इस तथ्य से समझाया गया है कि घातीय फ़ंक्शन का तर्क घातांक है, और घातांक का आधार एक दी गई संख्या है।

परिभाषा।घातांकीय फलन y = a x के रूप का एक फलन है, जहाँ a एक दी गई संख्या है, a> 0, \ (a \ neq 1 \)

घातांकीय फलन में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1) घातांकीय फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है।
यह गुण इस तथ्य का अनुसरण करता है कि डिग्री a x जहां a> 0 सभी वास्तविक संख्याओं x के लिए परिभाषित है।

2) घातांकीय फलन के मानों का समुच्चय सभी धनात्मक संख्याओं का समुच्चय है।
इसे सत्यापित करने के लिए, यह दिखाना आवश्यक है कि समीकरण ax = b, जहाँ a> 0, \ (a \ neq 1 \) का कोई मूल नहीं है यदि \ (b \ leq 0 \), और किसी भी b के लिए एक मूल है > 0 ...

3) घातांकीय फलन y = a x सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर बढ़ रहा है यदि a> 1, और घट रहा है यदि 0 यह डिग्री (8) और (9) के गुणों से अनुसरण करता है

आइए एक> 0 के लिए घातीय कार्यों y = कुल्हाड़ी के ग्राफ का निर्माण करें और 0 पर विचार किए गए गुणों का उपयोग करते हुए, हम ध्यान दें कि फ़ंक्शन y = ax के लिए a> 0 का ग्राफ बिंदु (0; 1) से होकर गुजरता है और स्थित है ऑक्स अक्ष के ऊपर।
यदि x 0 है।
अगर एक्स> 0 और | एक्स | बढ़ता है, तो ग्राफ तेजी से ऊपर उठता है।

फलन y = a x का 0 पर ग्राफ यदि x> 0 और बढ़ता है, तो ग्राफ तेजी से ऑक्स अक्ष (इसे पार किए बिना) तक पहुंचता है। इस प्रकार, ऑक्स अक्ष ग्राफ का क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
यदि x

घातीय समीकरण

घातांकीय समीकरणों के कुछ उदाहरणों पर विचार करें, अर्थात्। समीकरण जिसमें अज्ञात घातांक में निहित है। घातांकीय समीकरणों का हल अक्सर समीकरण a x = a b को हल करने के लिए कम किया जाता है जहां a> 0, \ (a \ neq 1 \), x अज्ञात है। इस समीकरण को डिग्री की संपत्ति का उपयोग करके हल किया जाता है: एक ही आधार के साथ डिग्री a> 0, \ (a \ neq 1 \) बराबर हैं यदि और केवल यदि उनके घातांक समान हैं।

समीकरण को हल करें 2 3x 3 x = 576
चूँकि 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, समीकरण को 8 x 3 x = 24 2 के रूप में या 24 x = 24 2 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ से x = 2।
उत्तर x = 2

समीकरण को हल करें 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
बाईं ओर के कोष्ठकों में से सामान्य गुणनखंड 3 x - 2 लेने पर, हमें 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25 प्राप्त होता है।
जहां से 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
उत्तर x = 2

3x समीकरण को हल करें = 7x
चूंकि \ (7 ^ x \ neq 0 \), समीकरण को \ (\ frac (3 ^ x) (7 ^ x) = 1 \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां से \ (\ बायां (\ frac (3) ( 7) ) \ दाएँ) ^ x = 1 \), x = 0
उत्तर x = 0

समीकरण को हल करें 9 x - 4 3 x - 45 = 0
3 x = t के स्थान पर, यह समीकरण द्विघात समीकरण t 2 - 4t - 45 = 0 में कम हो जाता है। इस समीकरण को हल करने पर, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं: t 1 = 9, t 2 = -5, जहाँ से 3 x = 9, 3 एक्स = -5 ...
समीकरण 3 x = 9 का मूल x = 2 है, और समीकरण 3 x = -5 का कोई मूल नहीं है, क्योंकि घातांकीय फलन ऋणात्मक मान नहीं ले सकता।
उत्तर x = 2

समीकरण को हल करें 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, कहाँ से
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 एक्स - 2 23 = 5 एक्स - 2 23
\ (\ बाएँ (\ frac (2) (5) \ दाएँ) ^ (x-2) = 1 \)
एक्स - 2 = 0
उत्तर x = 2

समीकरण 3 को हल करें | x - 1 | = 3 | एक्स + 3 |
चूंकि 3> 0, \ (3 \ neq 1 \), मूल समीकरण समीकरण के बराबर है | x-1 | = | एक्स + 3 |
इस समीकरण का वर्ग करने पर, हम इसका उपफल (x - 1) 2 = (x + 3) 2 प्राप्त करते हैं, जहाँ से
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
जाँच से पता चलता है कि x = -1 मूल समीकरण का मूल है।
उत्तर x = -1

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उत्पन्न करना द्विघात समीकरण को ऑनलाइन हल करना, पहले समीकरण को सामान्य रूप में लाएं:
कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0
तदनुसार फॉर्म फ़ील्ड भरें:

द्विघात समीकरण को कैसे हल करें

द्विघात समीकरण को कैसे हल करें:	जड़ के प्रकार:
1. द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लाएं: सामान्य दृश्य Аx 2 + Bx + C = 0 उदाहरण: 3x - 2x 2 + 1 = -1 -2x 2 + 3x + 2 = 0 . पर लाएं 2. विभेदक का पता लगाएं डी। डी = बी 2 -4 * ए * सी। हमारे उदाहरण के लिए, डी = 9- (4 * (- 2) * 2) = 9 + 16 = 25। 3. समीकरण की जड़ों का पता लगाएं। x1 = (- बी + डी 1/2) / 2ए। हमारे मामले के लिए, x1 = (- 3 + 5) / (- 4) = - 0.5 x2 = (- बी-डी 1/2) / 2ए। हमारे उदाहरण के लिए, x2 = (- 3-5) / (- 4) = 2 यदि B एक सम संख्या है, तो विवेचक और मूल सूत्र द्वारा गणना करने के लिए अधिक सुविधाजनक हैं: डी = के 2-एसी x1 = (- के + डी 1/2) / ए x2 = (- के-डी 1/2) / ए, जहां के = बी / 2	1. वैध जड़ें। इसके अलावा। x1 x2 . के बराबर नहीं है स्थिति तब उत्पन्न होती है जब डी> 0 और ए 0 के बराबर नहीं होते हैं। 2. वैध जड़ें समान हैं। x1 बराबर x2 स्थिति तब उत्पन्न होती है जब डी = 0। हालांकि, इस मामले में, न तो ए, न ही बी, न ही सी 0 के बराबर होना चाहिए। 3. दो जटिल जड़ें। x1 = d + ei, x2 = d-ei, जहाँ i = - (1) 1/2 स्थिति तब उत्पन्न होती है जब द 4. समीकरण का एक हल है। ए = 0, बी और सी शून्य के बराबर नहीं हैं। समीकरण रैखिक हो जाता है। 5. समीकरण के अनगिनत हल हैं। ए = 0, बी = 0, सी = 0। 6. समीकरण का कोई हल नहीं है। ए = 0, बी = 0, सी 0 के बराबर नहीं है।

एल्गोरिदम को मजबूत करने के लिए, यहां कुछ और हैं द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण उदाहरण.

उदाहरण 1. विभिन्न वास्तविक मूलों वाले एक साधारण द्विघात समीकरण को हल करना।
एक्स 2 + 3x -10 = 0
इस समीकरण में
ए = 1, बी = 3, सी = -10
डी = बी 2 -4 * ए * सी = 9-4 * 1 * (- 10) = 9 + 40 = 49
वर्गमूल को 1/2 संख्या के रूप में दर्शाया जाएगा!
x1 = (- बी + डी 1/2) / 2 ए = (-3 + 7) / 2 = 2
x2 = (- बी-डी 1/2) / 2ए = (-3-7) / 2 = -5

जाँच करने के लिए, आइए प्रतिस्थापित करें:
(x-2) * (x + 5) = x2 -2x + 5x - 10 = x2 + 3x -10

उदाहरण 2. वास्तविक मूलों के संयोग से द्विघात समीकरण को हल करना।
एक्स 2 - 8x + 16 = 0
ए = 1, बी = -8, सी = 16
डी = के 2 - एसी = 16 - 16 = 0
एक्स = -के / ए = 4

विकल्प
(x-4) * (x-4) = (x-4) 2 = X 2 - 8x + 16

उदाहरण 3. सम्मिश्र मूलों वाले द्विघात समीकरण को हल करना।
13x 2 - 4x + 1 = 0
ए = 1, बी = -4, सी = 9
डी = बी 2 - 4एसी = 16 - 4 * 13 * 1 = 16 - 52 = -36
विवेचक नकारात्मक है - जड़ें जटिल हैं।

X1 = (- B + D 1/2) / 2A = (4 + 6i) / (2 * 13) = 2/13 + 3i / 13
x2 = (- बी-डी 1/2) / 2ए = (4-6i) / (2 * 13) = 2 / 13-3i / 13
जहां मैं -1 . का वर्गमूल हूं

ये वास्तव में द्विघात समीकरणों को हल करने के सभी संभावित मामले हैं।
हम आशा करते हैं कि हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटरआपके लिए काफी फायदेमंद साबित होगा।
अगर सामग्री मददगार थी, तो आप कर सकते हैं

आइए, समीकरणों के निकाय के दो प्रकार के हलों पर विचार करें:

1. प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणाली का समाधान।
2. प्रणाली के समीकरणों के शब्द-दर-समय जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणाली का समाधान।

समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधिआपको एक सरल एल्गोरिदम का पालन करने की आवश्यकता है:
1. हम व्यक्त करते हैं। हम किसी भी समीकरण से एक चर को व्यक्त करते हैं।
2. स्थानापन्न। हम प्राप्त मान को व्यक्त चर के बजाय दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
3. परिणामी समीकरण को एक चर में हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

समाधान करना शब्द-दर-अवधि जोड़ (घटाव) द्वारा प्रणालीज़रूरी:
1. एक चर चुनें जिसके लिए हम समान गुणांक बनाएंगे।
2. हम समीकरण जोड़ते या घटाते हैं, अंत में हमें एक चर के साथ एक समीकरण मिलता है।
3. परिणामी रैखिक समीकरण को हल करें। हम सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं।

सिस्टम का समाधान फ़ंक्शन ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए सिस्टम के समाधान पर विस्तार से विचार करें।

उदाहरण 1:

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

2x + 5y = 1 (1 समीकरण)
x-10y = 3 (2 समीकरण)

1. एक्सप्रेस
यह देखा जा सकता है कि दूसरे समीकरण में 1 के गुणांक वाला एक चर x है, जिससे यह पता चलता है कि दूसरे समीकरण से चर x को व्यक्त करना सबसे आसान है।
एक्स = 3 + 10y

2. व्यक्त करने के बाद, हम पहले समीकरण में चर x के स्थान पर 3 + 10y को प्रतिस्थापित करते हैं।
2 (3 + 10y) + 5y = 1

3. परिणामी समीकरण को एक चर में हल करें।
2 (3 + 10y) + 5y = 1 (कोष्ठक का विस्तार करें)
6 + 20y + 5y = 1
25y = 1-6
25y = -5 |: (25)
वाई = -5: 25
वाई = -0.2

समीकरण प्रणाली का समाधान ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु है, इसलिए हमें x और y खोजने की आवश्यकता है, क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु में x और y होते हैं। पहले पैराग्राफ में x खोजें, जहां हमने वहां व्यक्त किया था, हम y को प्रतिस्थापित करते हैं।
एक्स = 3 + 10y
एक्स = 3 + 10 * (- 0.2) = 1

यह डॉट्स लिखने के लिए प्रथागत है, पहली जगह में हम वेरिएबल x लिखते हैं, और दूसरे वेरिएबल y में।
उत्तर: (1; -0.2)

उदाहरण # 2:

आइए पद-दर-अवधि जोड़ (घटाव) की विधि से हल करें।

योग विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करना

3x-2y = 1 (1 समीकरण)
2x-3y = -10 (2 समीकरण)

1. एक चर चुनें, मान लें, x चुनें। पहले समीकरण में चर x का गुणांक 3 है, दूसरे 2 में। गुणांकों को समान बनाना आवश्यक है, इसके लिए हमें समीकरणों को गुणा करने या किसी भी संख्या से विभाजित करने का अधिकार है। पहले समीकरण को 2 से गुणा किया जाता है, और दूसरे को 3 से, और हमें 6 का कुल गुणनखंड प्राप्त होता है।

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | *3
6x-9y = -30

2. चर x से छुटकारा पाने के लिए पहले समीकरण से दूसरे को घटाएं। रैखिक समीकरण को हल करें।
__6x-4y = 2

5y = 32 | :5
वाई = 6.4

3. एक्स खोजें। किसी भी समीकरण में पाए गए y को प्रतिस्थापित करें, मान लें कि पहले समीकरण में।
3x-2y = 1
3x-2 * 6.4 = 1
3x-12.8 = 1
3x = 1 + 12.8
3x = 13.8 |: 3
एक्स = 4.6

प्रतिच्छेदन बिंदु x = 4.6 होगा; वाई = 6.4
उत्तर: (4.6; 6.4)

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