Կենտրոնաձև արագացման բանաձևը արագությամբ և շառավղով. Շրջանաձև շարժում. Շարժման հավասարումը շրջանագծի մեջ. Անկյունային արագություն. Նորմալ = կենտրոնաձիգ արագացում: Ժամանակահատվածը, շրջանառության հաճախականությունը (պտույտը): Գծային և անկյունային արագության կապը

Սահմանում

կենտրոնաձիգ արագացումկոչվում է ընդհանուր արագացման բաղադրիչ նյութական կետ, շարժվելով կորագիծ հետագծով, որը որոշում է արագության վեկտորի ուղղությամբ փոփոխության արագությունը։

Ընդհանուր արագացման մյուս բաղադրիչը տանգենցիալ արագացումն է, որը պատասխանատու է արագության մեծության փոփոխության համար։ Նշեք կենտրոնաձիգ արագացումը, սովորաբար $(\overline(a))_n$: Կենտրոնաձև արագացումը կոչվում է նաև նորմալ:

Կենտրոնաձև արագացումը հետևյալն է.

\[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )=\frac(v^2)(r)(\overline(e))_r\left (1\աջ),\]

որտեղ $(\overline(e))_r=\frac(\overline(r\ ))(r)$-ը միավոր վեկտոր է, որն ուղղված է հետագծի կորության կենտրոնից մինչև դիտարկվող կետը; $r$-ը հետագծի կորության շառավիղն է նյութական կետի գտնվելու վայրում ժամանակի դիտարկվող պահին:

Հ.Հյուգենսն առաջինն էր, ով ձեռք բերեց կենտրոնաձիգ արագացումը հաշվարկելու ճիշտ բանաձևեր։

Միավորների միջազգային համակարգում կենտրոնաձիգ արագացման միավորը մետրն է, որը բաժանված է երկրորդ քառակուսու վրա.

\[\left=\frac(m)(s^2).\]

Շրջանի երկայնքով կետի միատեսակ շարժումով կենտրոնաձիգ արագացման բանաձևը

Դիտարկենք նյութական կետի միատեսակ շարժումը շրջանագծի երկայնքով: Նման տեղաշարժի դեպքում նյութական կետի արագության արժեքը մնում է անփոփոխ ($v=const$): Բայց դա չի նշանակում, որ այս տեսակի շարժման մեջ նյութական կետի ընդհանուր արագացումը զրո է։ Ակնթարթային արագության վեկտորը շոշափելիորեն ուղղված է այն շրջանագծին, որով շարժվում է կետը: Հետեւաբար, այս շարժման մեջ արագությունը անընդհատ փոխում է իր ուղղությունը։ Դրանից բխում է, որ կետն ունի արագացում։

Դիտարկենք A և B կետերը, որոնք ընկած են մասնիկի հետագծի վրա: Մենք գտնում ենք A և B կետերի արագության փոփոխության վեկտորը հետևյալ կերպ.

\[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(2\աջ):\]

Եթե ​​A կետից B կետ տեղափոխվելու ժամանակը զրոյի է ձգտում, ապա AB աղեղը շատ չի տարբերվում AB ակորդից։ AOB և BMN եռանկյունները նման են, մենք ստանում ենք.

\[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(R)=\alpha \left(3\աջ):\]

Միջին արագացման մոդուլի արժեքը որոշվում է հետևյալ կերպ.

\[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(R\Delta t)\left(4\աջ):\]

Եկեք անցնենք $\Delta t\ մինչև 0\ $ սահմանաչափը $\left\langle a\right\rangle \ \ $ բանաձևով (4):

Միջին արագացման վեկտորը կազմում է արագության վեկտորին հավասար անկյուն.

\[\բետա =\frac(\pi +\ալֆա)(2)\ձախ(6\աջ):\]

$\Delta t\to 0\ $-ի համար անկյունը $\alpha \մինչև 0.$ է Ստացվում է, որ ակնթարթային արագացման վեկտորը արագության վեկտորի հետ կազմում է $\frac(\pi )(2)$ անկյուն։

Եվ այնպես, որ շրջանագծի երկայնքով հավասարաչափ շարժվող նյութական կետն ունի արագացում, որն ուղղված է դեպի շրջանագծի կենտրոնը ($(\overline(a))_n\bot \overline(v)$), դրա արժեքը հավասար է արագությանը: քառակուսի բաժանված շառավղով շրջանագծերով.

որտեղ $\omega $-ը նյութական կետի անկյունային արագությունն է ($v=\omega \cdot R$): Վեկտորային ձևով կենտրոնաձիգ արագացման բանաձևը կարող է գրվել (7)-ի հիման վրա հետևյալ կերպ.

\[(\overline(a))_n=-(\omega )^2\overline(R)\ \left(8\աջ),\]

որտեղ $\overline(R)$-ը շառավիղ-վեկտորն է, երկարությամբ հավասար է շրջանաձև աղեղի շառավղին, որն ուղղված է կորության կենտրոնից մինչև դիտարկվող նյութական կետի տեղը:

Լուծման հետ կապված խնդիրների օրինակներ

Օրինակ 1

Առաջադրանքը.Վեկտորային հավասարում $\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin \left(\omega t\right) )\ )\ )$, որտեղ $\omega =2\ \frac(rad)(c),$-ը նկարագրում է նյութական կետի շարժումը։ Ո՞րն է այս կետի հետագիծը: Որքա՞ն է նրա կենտրոնաձիգ արագացման մոդուլը: Հաշվի առեք, որ բոլոր մեծությունները գտնվում են SI համակարգում:

Լուծում.Դիտարկենք կետի շարժման հավասարումը.

\[\overline(r)\left(t\right)=\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin (\omega t)\ )\ ) \ \ձախ (1.1\աջ):\]

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների համակարգին.

\[\ձախ\( \սկիզբ(զանգված)(c) x=(\cos \left(\omega t\right);;\ ) \\ y=(\sin \left(\omega t\աջ)\ ) \վերջ (զանգված)\ձախ (1.2\աջ).\աջ։\]

Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ հետագծով է շարժվում կետը, պետք է ժամանակը բացառել համակարգի (1.2) հավասարումներից։ Դա անելու համար մենք երկու հավասարումները քառակուսի ենք դնում և ավելացնում.

(1.3) հավասարումից տեսնում ենք, որ կետի հետագիծը $R=1$ m շառավղով շրջան (նկ. 2) է։

Կենտրոնաձև արագացումը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը.

Մենք որոշում ենք արագության մոդուլը՝ օգտագործելով հավասարումների համակարգը (1.2): Եկեք գտնենք արագության այն բաղադրիչները, որոնք հավասար են.

\[\ձախ\( \սկիզբ(զանգված)(c) v_x=\frac(dx)(dt)=-\omega (\sin \left(\omega t\աջ)\ ), \\ v_y=\frac( dy)(dt)=\omega ((\cos \left(\omega t\right)\ ) ,\ ) \վերջ (զանգված) \աջ.\ձախ (1.5\աջ).\]

Արագության մոդուլի քառակուսին հավասար կլինի.

Այն, ինչ պարզվեց արագության մոդուլը (1.6), մենք տեսնում ենք, որ մեր կետը հավասարաչափ շարժվում է շրջանագծի շուրջը, հետևաբար, կենտրոնաձիգ արագացումը կհամընկնի ընդհանուր արագացման հետ:

Փոխարինելով $v^2$-ը (1.6) բանաձևով (1.4), մենք ունենք.

Եկեք հաշվարկենք $a_n$:

$a_n=\frac(4)(1)=4\ \ձախ(\frac(m)(c^2)\աջ).$

Պատասխանել. 1) շրջան; 2) $a_n=4\ \frac(m)(c^2)$

Օրինակ 2

Առաջադրանքը.Որքա՞ն է սկավառակի եզրագծի կետերի կենտրոնաձիգ արագացումը $t=2$c պահին, եթե սկավառակը պտտվում է ըստ $\varphi (t)=3+2t^3$ հավասարման։ Սկավառակի շառավիղը $R=0,(\rm 1)$ մ է:

Լուծում.Սկավառակի կետերի կենտրոնաձիգ արագացումը կփնտրվի բանաձևի կիրառմամբ.

Մենք գտնում ենք անկյունային արագությունը՝ օգտագործելով $\varphi (t)=3+2t^3$ հավասարումը որպես.

\[\omega =\frac(d\varphi)(dt)=6t^2.\ \]

$t=2\ $c-ի համար անկյունային արագությունը հետևյալն է.

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac(rad)(c)\աջ):\]

Դուք կարող եք հաշվարկել կենտրոնաձիգ արագացումը՝ օգտագործելով բանաձևը (2.1).

Պատասխանել.$a_n=57.6\frac(m)(s^2)$

Դրանից բխող երկու ճառագայթները անկյուն են կազմում։ Դրա արժեքը կարող է սահմանվել ինչպես ռադիաններով, այնպես էլ աստիճաններով: Այժմ, կենտրոնական կետից որոշ հեռավորության վրա, մտովի գծենք շրջան: Անկյան չափը, որն արտահայտված է ռադիաններով, այս դեպքում երկու ճառագայթներով բաժանված L աղեղի երկարության մաթեմատիկական հարաբերակցությունն է միջև հեռավորության արժեքին։ կենտրոնական կետև շրջանագծի գիծը (R), այսինքն.

Եթե ​​նկարագրված համակարգը հիմա պատկերացնենք որպես նյութ, ապա դրա վրա կարելի է կիրառել ոչ միայն անկյուն և շառավիղ հասկացությունները, այլ նաև կենտրոնաձիգ արագացում, պտույտ և այլն։ Դրանցից շատերը նկարագրում են կետի պահվածքը պտտվող շրջանագծի վրա: Ի դեպ, պինդ սկավառակը կարող է ներկայացվել նաև շրջանակների մի շարքով, որոնց տարբերությունը կենտրոնից միայն հեռավորության վրա է։

Նման պտտվող համակարգի բնութագրիչներից է հեղափոխության շրջանը։ Այն ցույց է տալիս, թե որքան ժամանակ է պահանջվում, որպեսզի կամայական շրջանագծի մի կետը վերադառնա իր սկզբնական դիրքին կամ, ինչը նույնպես ճիշտ է, շրջվի 360 աստիճանով: Պտտման հաստատուն արագությամբ համապատասխանությունը T = (2 * 3.1416) / Ug է (այսուհետ՝ Ug անկյունն է):

Պտտման արագությունը ցույց է տալիս թիվը ամբողջական հեղափոխություններկատարվում է 1 վայրկյանում։ Հաստատուն արագությամբ մենք ստանում ենք v = 1 / T:

Կախված է ժամանակից և այսպես կոչված պտտման անկյունից: Այսինքն, եթե որպես սկզբնակետ վերցնենք շրջանագծի վրա գտնվող կամայական A կետը, ապա համակարգի պտույտի ժամանակ այս կետը t ժամանակով կտեղափոխվի A1՝ կազմելով անկյուն A-կենտրոնի և A1-կենտրոնի շառավիղների միջև։ Իմանալով ժամանակը և անկյունը, կարող եք հաշվարկել անկյունային արագությունը:

Եվ քանի որ կա շրջան, շարժում և արագություն, ուրեմն կա նաև կենտրոնաձիգ արագացում։ Այն կորագիծ շարժման դեպքում շարժումը նկարագրող բաղադրիչներից է։ «Նորմալ» և «կենտրոնական արագացում» տերմինները նույնական են։ Տարբերությունն այն է, որ երկրորդն օգտագործվում է շրջանով շարժումը նկարագրելու համար, երբ արագացման վեկտորն ուղղված է դեպի համակարգի կենտրոնը: Ուստի միշտ անհրաժեշտ է հստակ իմանալ, թե ինչպես է շարժվում մարմինը (կետը) և նրա կենտրոնաձիգ արագացումը։ Դրա սահմանումը հետևյալն է՝ դա արագության փոփոխության արագությունն է, որի վեկտորը ուղղահայաց է ուղղահայաց վեկտորի ուղղությանը և փոխում է վերջինիս ուղղությունը։ Հանրագիտարանում նշվում է, որ Հյուգենսը զբաղվել է այս հարցի ուսումնասիրությամբ։ Նրա առաջարկած կենտրոնաձիգ արագացման բանաձեւն այսպիսի տեսք ունի.

Acs = (v*v) / r,

որտեղ r-ը անցած ճանապարհի կորության շառավիղն է. v - շարժման արագություն.

Բանաձևը, որով հաշվարկվում է կենտրոնաձիգ արագացումը, դեռևս բուռն քննարկվում է էնտուզիաստների շրջանում: Օրինակ, վերջերս հնչեց մի հետաքրքիր տեսություն.

Հյուգենսը, հաշվի առնելով համակարգը, ելնում է նրանից, որ մարմինը շարժվում է R շառավղով շրջանագծի մեջ A ելակետում չափված v արագությամբ: Քանի որ իներցիայի վեկտորն ուղղված է երկայնքով, AB ուղիղ գծի ձևով հետագիծ է. ձեռք բերված. Այնուամենայնիվ, կենտրոնաձիգ ուժը մարմինը պահում է շրջանագծի վրա C կետում: Եթե կենտրոնը նշանակենք որպես O և գծենք AB, BO (BS և CO-ի գումարը), ինչպես նաև AO գծերը, ապա կստանանք եռանկյուն: Պյութագորասի օրենքի համաձայն.

BS=(a*(t*t)) / 2, որտեղ a-ն արագացումն է; t - ժամանակ (a * t * t - սա արագությունն է):

Եթե ​​հիմա օգտագործենք Պյութագորասի բանաձևը, ապա.

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, որտեղ R-ը շառավիղն է, իսկ այբբենական ուղղագրությունն առանց բազմապատկման նշանի աստիճանն է։

Հյուգենսը խոստովանեց, որ քանի որ t ժամանակը փոքր է, այն կարելի է անտեսել հաշվարկներում։ Փոխակերպելով նախորդ բանաձևը, նա եկավ հայտնի Acs = (v * v) / r:

Այնուամենայնիվ, քանի որ ժամանակը քառակուսի է, առաջանում է առաջընթաց. որքան մեծ է t, այնքան մեծ է սխալը: Օրինակ, 0.9-ի համար գրեթե 20% ընդհանուր արժեքը հաշվի չի առնվում։

Համար կարևոր է կենտրոնաձիգ արագացման հայեցակարգը ժամանակակից գիտ, բայց, ակնհայտորեն, դեռ վաղ է այս հարցին վերջակետ դնել։

υ հաստատուն գծային արագությամբ շրջանով շարժվելիս մարմինն ունի հաստատուն կենտրոնաձիգ արագացում՝ ուղղված դեպի շրջանի կենտրոնը։

a c \u003d υ 2 / R, (18)

որտեղ R-ը շրջանագծի շառավիղն է:

Կենտրոնաձև արագացման բանաձևի ստացում

Ըստ սահմանման.

Նկար 6 Կենտրոնաձև արագացման բանաձևի ստացում

Նկարում տեղաշարժերի և արագությունների վեկտորներով ձևավորված եռանկյունները նման են: Հաշվի առնելով դա == R և == υ, եռանկյունների նմանությունից գտնում ենք.

(20)

(21)

Եկեք սկզբնաղբյուրը դնենք շրջանագծի կենտրոնում և որպես հարթություն ընտրենք այն հարթությունը, որում ընկած է շրջանագիծը (x, y): Կետի դիրքը շրջանագծի վրա ցանկացած պահի եզակիորեն որոշվում է φ բևեռային անկյան միջոցով, որը չափվում է ռադիաններով (ռադ), և

x = R cos (φ + φ 0), y = R sin (φ + φ 0), (22)

որտեղ φ 0-ը սահմանում է սկզբնական փուլ(կետի սկզբնական դիրքը շրջանագծի վրա ժամանակի զրոյական պահին):

Միատեսակ պտույտի դեպքում φ անկյունը, որը չափվում է ռադիաններով, ժամանակի ընթացքում գծային աճում է.

φ = ωt, (23)

որտեղ ω-ն կոչվում է ցիկլային (շրջանաձև) հաճախականություն: Ցիկլային հաճախականության չափը՝ [ω] = c –1 = Հց:

Ցիկլային հաճախականությունը հավասար է պտտման անկյունին (չափվում է ռադով) միավոր ժամանակում, ուստի այն այլ կերպ կոչվում է անկյունային արագություն։

Կետի կոորդինատների կախվածությունը շրջանագծից ժամանակից՝ տվյալ հաճախականությամբ միատեսակ պտույտի դեպքում կարելի է գրել այսպես.

x= R cos(ωt + φ 0), (24)

y = R sin(ωt + φ 0):

Մեկ հեղափոխությունն ավարտելու համար պահանջվող ժամանակը կոչվում է T ժամանակաշրջան:

Հաճախականությունը ν = 1/Տ. (25)

Հաճախականության միավոր՝ [ν] = s –1 = Հց:

Ցիկլային հաճախականության կապը պարբերության և հաճախականության հետ՝ 2π = ωT, որտեղից

ω = 2π/T = 2πν. (26)

Գծային արագության և անկյունային արագության միջև կապը հայտնաբերվում է հավասարությունից.

2πR = υT, որտեղից

υ = 2πR/T = ωR. (27)

Կենտրոնաձև արագացման արտահայտությունը կարելի է գրել տարբեր ճանապարհներՕգտագործելով արագության, հաճախականության և ժամանակաշրջանի հարաբերությունները.

ա c \u003d υ 2 / R \u003d ω 2 R \u003d 4π 2 ν 2 R \u003d 4π 2 R / T 2. (28)

4.6 Թարգմանական և պտտվող շարժումների փոխհարաբերությունները

Մշտական ​​արագացումով ուղիղ գծով շարժման հիմնական կինեմատիկական բնութագրերը՝ տեղաշարժ s, արագություն υ և արագացում. ա. R շառավղով շրջանի վրա շարժվելիս համապատասխան բնութագրերը՝ անկյունային տեղաշարժ φ, անկյունային արագություն ω և անկյունային արագացում։ ε (եթե մարմինը պտտվում է փոփոխական արագությամբ):

Երկրաչափական նկատառումներից հետևում են այս բնութագրերի միջև հետևյալ հարաբերությունները.

տեղաշարժ s → անկյունային տեղաշարժ φ = s/R;

արագություն υ → անկյունային արագություն ω = υ / R;

արագացում ա→ անկյունային արագացում ε = ա/Ռ.

Ուղիղ գծի երկայնքով հավասարաչափ արագացված շարժման կինեմատիկայի բոլոր բանաձևերը կարող են վերածվել շրջանագծի երկայնքով պտտման կինեմատիկայի բանաձևերի, եթե կատարվեն նշված փոխարինումները: Օրինակ:

s = υt → φ = ωt, (29)

υ = υ 0 + ա t → ω = ω 0 + ε տ. (29ա)

Կետի գծային և անկյունային արագությունների փոխհարաբերությունները շրջանագծի շուրջ պտտվելիս կարելի է գրել վեկտորի տեսքով։ Իրոք, թող սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագիծը գտնվի հարթության մեջ (x, y): Ժամանակի ցանկացած պահի, վեկտորը , որը կազմված է կոորդինատների սկզբնակետից մինչև այն շրջանի այն կետը, որտեղ գտնվում է մարմինը, ուղղահայաց է մարմնի արագության վեկտորին ուղղված շոշափող շրջանագծին այդ կետում: Սահմանենք վեկտորը , որը բացարձակ արժեքով հավասար է ω անկյունային արագությանը և ուղղված է պտտման առանցքի երկայնքով դեպի այն կողմը, որը որոշվում է աջ պտուտակի կանոնով. կետի պտտման ուղղությունը շրջանագծի երկայնքով, ապա պտուտակի շարժման ուղղությունը ցույց է տալիս վեկտորի ուղղությունը . Այնուհետև երեք փոխադարձ ուղղահայաց վեկտորների միացում ,Եվ կարելի է գրել՝ օգտագործելով վեկտորների խաչաձեւ արտադրյալը:

Թույլ է տալիս մեզ գոյություն ունենալ այս մոլորակի վրա: Ինչպե՞ս կարող եք հասկանալ, թե ինչ է իրենից ներկայացնում կենտրոնաձիգ արագացումը: Սրա սահմանումը ֆիզիկական քանակություններկայացված ստորև.

Դիտարկումներ

Շրջանակով շարժվող մարմնի արագացման ամենապարզ օրինակը կարելի է դիտարկել պարանի վրա քարը պտտելով։ Դու քաշում ես պարանը, իսկ պարանը քարը ձգում է դեպի կենտրոն։ Ժամանակի յուրաքանչյուր պահի պարանը քարին տալիս է որոշակի շարժում և ամեն անգամ նոր ուղղությամբ: Դուք կարող եք պատկերացնել պարանի շարժումը որպես թույլ ցնցումների շարք: Հրթիռ - և պարանը փոխում է իր ուղղությունը, մեկ այլ ցնցում - ևս մեկ փոփոխություն և այլն շրջանագծի մեջ: Եթե ​​դուք հանկարծ բաց թողնեք պարանը, ցնցումները կկանգնեն, և նրանց հետ կդադարի արագության ուղղության փոփոխությունը: Քարը կշարժվի շրջանագծին շոշափող ուղղությամբ: Հարց է ծագում՝ «Ի՞նչ արագացումով է շարժվելու մարմինն այս պահին»։

Կենտրոնաձև արագացման բանաձև

Նախ, հարկ է նշել, որ մարմնի շարժումը շրջանագծով բարդ է: Քարը միաժամանակ մասնակցում է երկու տեսակի շարժման՝ ուժի ազդեցությամբ շարժվում է դեպի պտտման կենտրոն և միևնույն ժամանակ շրջանագծին շոշափող՝ հեռանում է այս կենտրոնից։ Համաձայն Նյուտոնի երկրորդ օրենքի՝ լարին քարը պահող ուժն ուղղված է դեպի այդ պարանի երկայնքով պտտվող կենտրոնը։ Այնտեղ կուղղվի նաեւ արագացման վեկտորը։

Թող որոշ ժամանակ t մեր քարը, V արագությամբ միատեսակ շարժվելով, A կետից հասնի B կետ: Ենթադրենք, որ այն պահին, երբ մարմինը հատում է B կետը, կենտրոնաձիգ ուժը դադարել է գործել դրա վրա: Այնուհետև որոշ ժամանակով այն հարվածում է K կետին: Այն ընկած է շոշափողի վրա: Եթե ​​ժամանակի նույն պահին մարմնի վրա գործեին միայն կենտրոնաձիգ ուժեր, ապա t ժամանակում, շարժվելով նույն արագացմամբ, այն կհայտնվեր O կետում, որը գտնվում է շրջանագծի տրամագիծը ներկայացնող ուղիղ գծի վրա։ Երկու հատվածներն էլ վեկտորներ են և ենթարկվում են վեկտորի գումարման կանոնին: Այս երկու շարժումների գումարման արդյունքում t ժամանակահատվածում մենք ստանում ենք ստացված շարժումը AB աղեղի երկայնքով։

Եթե ​​t ժամանակային միջակայքը աննշանորեն փոքր է, ապա AB աղեղը քիչ կտարբերվի AB ակորդից: Այսպիսով, հնարավոր է աղեղի երկայնքով շարժումը փոխարինել ակորդի երկայնքով շարժումով։ Այս դեպքում քարի շարժումը ակորդի երկայնքով կենթարկվի օրենքներին ուղղագիծ շարժում, այսինքն՝ AB անցած ճանապարհը հավասար կլինի քարի արագության և նրա շարժման ժամանակի արտադրյալին։ AB = V x t.

Ցանկալի կենտրոնաձիգ արագացումը նշանակենք a տառով։ Այնուհետև միայն կենտրոնաձիգ արագացման ազդեցության տակ անցած ճանապարհը կարող է հաշվարկվել՝ օգտագործելով հավասարաչափ արագացված շարժման բանաձևը.

AB հեռավորությունը հավասար է արագության և ժամանակի արտադրյալին, այսինքն՝ AB = V x t,

AO - ավելի վաղ հաշվարկված, օգտագործելով հավասարաչափ արագացված շարժման բանաձևը ուղիղ գծով շարժվելու համար. AO = 2/2-ում:

Այս տվյալները փոխարինելով բանաձևով և փոխակերպելով դրանք՝ մենք ստանում ենք կենտրոնաձիգ արագացման պարզ և էլեգանտ բանաձև.

Բառերով դա կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ. շրջանագծով շարժվող մարմնի կենտրոնաձիգ արագացումը հավասար է գծային արագության քառակուսի բաժանելու այն շրջանագծի շառավղով, որով մարմինը պտտվում է։ Կենտրոնաձև ուժն այս դեպքում կունենա ստորև ներկայացված նկարի տեսքը:

Անկյունային արագություն

Անկյունային արագությունը հավասար է շրջանագծի շառավղով բաժանված գծային արագությանը։ Ճիշտ է նաև հակառակը. V = ωR, որտեղ ω-ն անկյունային արագությունն է

Եթե ​​այս արժեքը փոխարինենք բանաձևով, ապա կարող ենք ստանալ անկյունային արագության կենտրոնախույս արագացման արտահայտությունը: Այն այսպիսի տեսք կունենա.

Արագացում առանց արագության փոփոխության

Եվ այնուամենայնիվ, ինչո՞ւ դեպի կենտրոն ուղղված արագացում ունեցող մարմինն ավելի արագ չի շարժվում և չի մոտենում պտտման կենտրոնին։ Պատասխանը հենց արագացման ձևակերպման մեջ է: Փաստերը ցույց են տալիս, որ շրջանաձև շարժումը իրական է, բայց այն պահպանելու համար պահանջում է արագացում դեպի կենտրոն: Այս արագացումից առաջացած ուժի ազդեցությամբ տեղի է ունենում իմպուլսի փոփոխություն, որի հետևանքով շարժման հետագիծն անընդհատ կորվում է՝ անընդհատ փոխելով արագության վեկտորի ուղղությունը, բայց չփոխելով այն։ բացարձակ արժեք. Շրջվելով մեր բազմաչարչար քարը դեպի ներս է շտապում, այլապես այն կշարունակեր շարժվել շոշափելի։ Ժամանակի ամեն պահ, թողնելով շոշափողի վրա, քարը ձգվում է դեպի կենտրոն, բայց չի ընկնում դրա մեջ։ Կենտրոնաձև արագացման մեկ այլ օրինակ կլինի ջրային դահուկորդը, որը փոքր շրջաններ է անում ջրի վրա: Մարզիկի կազմվածքը թեքված է. նա կարծես ընկնում է, շարունակում է շարժվել ու թեքվել առաջ։

Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ արագացումը չի մեծացնում մարմնի արագությունը, քանի որ արագության և արագացման վեկտորները ուղղահայաց են միմյանց: Արագության վեկտորին ավելացված՝ արագացումը փոխում է միայն շարժման ուղղությունը և մարմինը պահում ուղեծրում:

Անվտանգության սահմանաչափը գերազանցվել է

Նախկին փորձով մենք գործ ունեինք իդեալական պարանի հետ, որը չէր կոտրվում։ Բայց, ենթադրենք, մեր պարանն ամենասովորականն է, և դուք նույնիսկ կարող եք հաշվարկել այն ջանքերը, որից հետո այն պարզապես կկոտրվի: Այս ուժը հաշվարկելու համար բավական է համեմատել պարանի անվտանգության սահմանը այն ծանրաբեռնվածության հետ, որը նա զգում է քարի պտտման ժամանակ։ Քարն ավելի արագ պտտելով՝ ասում եք մեծ քանակությամբշարժում և, հետևաբար, ավելի մեծ արագացում:

Մոտ 20 մմ ջուտի պարանի տրամագծով նրա առաձգական ուժը մոտ 26 կՆ է: Հատկանշական է, որ պարանի երկարությունը ոչ մի տեղ չի երևում։ 1 մ շառավղով պարանի վրա պտտելով 1 կգ բեռը, մենք կարող ենք հաշվարկել, որ այն կոտրելու համար պահանջվող գծային արագությունը 26 x 10 3 = 1 կգ x V 2 / 1 մ է: Այսպիսով, այն արագությունը, որը վտանգավոր է գերազանցել կամքը: հավասար լինի √ 26 x 10 3 \u003d 161 մ / վ:

Ձգողության ուժը

Փորձը դիտարկելիս մենք անտեսեցինք ձգողականության գործողությունը, քանի որ նման բարձր արագության դեպքում նրա ազդեցությունը աննշանորեն փոքր է: Բայց դուք կարող եք տեսնել, որ երկար պարանը արձակելիս մարմինը նկարագրում է ավելի բարդ հետագիծ և աստիճանաբար մոտենում գետնին:

երկնային մարմիններ

Եթե ​​շրջանաձև շարժման օրենքները տեղափոխենք տարածություն և դրանք կիրառենք երկնային մարմինների շարժման վրա, կարող ենք վերագտնել մի քանի վաղուց ծանոթ բանաձևեր: Օրինակ, այն ուժը, որով մարմինը ձգվում է դեպի Երկիր, հայտնի է բանաձևով.

Մեր դեպքում g գործոնը հենց կենտրոնաձիգ արագացումն է, որը ստացվել է նախորդ բանաձևից: Միայն այս դեպքում կխաղա քարի դերը երկնային մարմին, ձգվում է դեպի Երկիր, իսկ պարանի դերը ձգողության ուժն է։ g գործակիցը արտահայտվելու է մեր մոլորակի շառավղով և նրա պտտման արագությամբ։

Արդյունքներ

Կենտրոնաձև արագացման էությունը շարժվող մարմինը ուղեծրում պահելու դժվար ու անշնորհակալ աշխատանքն է։ Կա մի պարադոքսալ դեպք, երբ մշտական ​​արագացումմարմինը չի փոխում իր արագությունը. Չմարզված մտքի համար նման հայտարարությունը բավականին պարադոքսալ է։ Այնուամենայնիվ, և՛ միջուկի շուրջ էլեկտրոնի շարժումը հաշվարկելիս, և՛ սև խոռոչի շուրջ աստղի պտտման արագությունը հաշվարկելիս, կենտրոնաձիգ արագացումը կարևոր դեր է խաղում։