Diferencialas x. Diferencialinė funkcija. Funkcijos diferencialo geometrinė reikšmė

Argumento skirtumas yra jo padidėjimas dx = ∆ x .

Funkcijos skirtumas yra išvestinės ir argumento prieaugio sandauga dy = f ′( x )∙∆ x arba dy = f ′( x )∙ dx .

Komentaras:

Papildomo diferencialo palyginimas.

Leisti būti ∆ y ir ∆x yra tos pačios mažumo eilės.

Dy ir ∆x yra tos pačios mažumo, t. Y. Dy ir ∆y yra tos pačios mažumo.

α ∙ ∆x yra be galo mažas, kurio mažumas yra didesnis nei ∆x.

.Diferencialas yra pagrindinė funkcijos padidinimo dalis .

Funkcijos skirtumas skiriasi nuo funkcijos padidėjimo begaliniu skaičiumi

aukštesnės eilės nei argumento prieaugis.

Funkcijos diferencialo geometrinė reikšmė.

dy = f ′ (x) ∙ ∆x = tgφ ∙ ∆x = NT.

Diferencialas lygus liestinės ordinatės prieaugiui.

Diferencialinės savybės.

Sumos skirtumas yra lygus skirtumų sumai.

d ( u + v) = du + dv.

Diferencialinis produktas d ( u v ) = du ∙ v + u dv .

Sudėtingos funkcijos diferencialas.

y = f (u), u = φ (x), dy = y ′ x dx =

dy = f ′( u ) du - diferencialo formos nekintamumas.

Aukštesnės eilės diferencialai.

dy = f ′(x)∙ dx, iš čia

Hiperbolinės funkcijos.

Daugelyje matematinės analizės programų yra eksponentinių funkcijų derinių.

Apibrėžimai.

Iš hiperbolinių funkcijų apibrėžimų seka šie santykiai:

ch 2 x - sh 2 x = 1, sh2x = 2shx ∙ chx, ch2x = ch 2 x + sh 2 x, sh (α ± β) = shαchβ ± chαshβ. Hiperbolinių funkcijų dariniai.

Rolle teorema.

Jei funkcija f ( x ) yra apibrėžta ir tęstinė uždaru intervalu [ a , b ], turi išvestinę visuose šio intervalo vidiniuose taškuose ir intervalo pabaigoje turi vienodas reikšmes, tada intervalo viduje yra bent vienas toks taškasx = ξ toks f ′(ξ) = 0.

Geometrinė reikšmė.

y

f(a) = f(b), k cas = 0.

ACBAnt lygaus lanko [a, b] yra toks punktas

f(a) f(b) C, kur liestinė lygiagreti akordui.

a ξ b x

Lagrange teorema (1736–1813 m., Prancūzija).

Jei funkcija yra apibrėžta ir tęsiama uždaru intervalu [ a , b ] ir turi išvestį visuose šio intervalo vidiniuose taškuose, tada šio intervalo viduje yra bent vienas taškas x = ξ toks, kadf ( b ) – f ( a ) = f ′(ξ)∙( b – a ).

Geometrinė Lagrange'o teoremos reikšmė.

IR Mes piešiame lygų lanką AB.

Ant lygaus lanko AB yra taškas C, kurio liestinė yra lygiagreti stygai AB.

Įrodymas. Apsvarstykite funkciją F(x) = f(x) – λ x. Λ pasirenkame taip, kad būtų patenkintos Rolle teoremos sąlygos.

F (x) - yra apibrėžtas ir nuolat veikia [ a, b], nuo funkcija f(x),.

F′(x) = f ′(x) – λ - egzistuoja,

Pasirinkite λ taip, kad sąlygos F(a) = F(b), tie. f(a) – λ a = f(b) – λ b,

Pagal Rolle teoremą yra toks taškas x = ξЄ( a, b), ką F′(ξ) = 0, tai yra,

Funkcijų didinimas ir mažinimas.

Funkcija vadinama didėja, jei didesnė argumento vertė atitinka didesnę funkcijos reikšmę.

Jei funkcija taške skiriasi , tada jo prieaugis gali būti pavaizduotas kaip dviejų terminų suma

... Šie terminai yra be galo mažos funkcijos
Pirmasis terminas yra linijinis
, antrasis yra be galo mažas aukštesnės eilės nei
.Tikrai,

.

Taigi, antra kadencija
linkęs į nulį greičiau ir radęs funkcijos prieaugį
pagrindinis vaidmuo vaidina pagrindinį vaidmenį
arba (nuo
)
.

Apibrėžimas . Pagrindinė didinimo funkcijos dalis
taške , linijinis atžvilgiu
,vadinamas diferencialu funkcija šiuo metu ir yra žymimasdyarbadf(x)

. (2)

Taigi galime daryti išvadą: nepriklausomo kintamojo skirtumas sutampa su jo prieaugiu, tai yra
.

Santykis (2) dabar įgauna formą

(3)

Komentuoti ... Trumpumo dėlei formulė (3) dažnai rašoma kaip

(4)

Diferencialo geometrinė reikšmė

Apsvarstykite diferencijuojamos funkcijos grafiką
... Taškai
ir priklauso funkcijai grafika. Taške M nubrėžta liestinė Į prie funkcijos grafiko, kurio kampas su teigiama ašies kryptimi
žymėti
... Nubrėžkime tiesiai MN lygiagreti ašiai Jautis ir
lygiagreti ašiai Oy... Funkcijos prieaugis lygus segmento ilgiui
... Iš dešiniojo trikampio
, kuriame
, mes gauname

Aukščiau pateikti argumentai leidžia daryti išvadą:

Diferencialinė funkcija
taške pavaizduotas didinant šios funkcijos grafiko liestinės ordinatę atitinkamame taške
.

Diferencialinis-išvestinis ryšys

Apsvarstykite formulę (4)

.

Abi šios lygybės puses padalijame iš dx, tada

.

Taigi, funkcijos išvestinė yra lygi jos diferencialo ir nepriklausomo kintamojo diferencialo santykiui.

Dažnai toks požiūris yra laikomas tiesiog simboliu, reiškiančiu funkcijos išvestinę adresu argumentuodami NS.

Patogus išvestinis žymėjimas taip pat yra:

,
ir kt.

Taip pat naudojami įrašai

,
,

ypač patogu, kai imamas sudėtingos išraiškos darinys.

2. Sumos, sandaugos ir koeficiento diferencialas.

Kadangi diferencialas gaunamas iš išvestinės, padauginus jį iš nepriklausomo kintamojo diferencialo, tai žinant pagrindinių elementarių funkcijų išvestines priemones, taip pat išvestinių priemonių paieškos taisykles, galima prieiti prie panašių skirtumų nustatymo taisyklių.

1 0 . Diferencialinė konstanta yra lygi nuliui

.

2 0 . Riboto skaičiaus diferencijuojamų funkcijų algebrinės sumos skirtumas yra lygus šių funkcijų skirtumų algebrinei sumai

3 0 . Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos skirtumas yra lygus pirmosios funkcijos sandaugų sumai pagal antrosios ir antrosios funkcijų skirtumą su pirmosios funkcijos skirtumu

.

Pasekmė. Nuo diferencialo ženklo galima išimti pastovų daugiklį

.

Pavyzdys... Raskite funkcijos skirtumą.

Sprendimas: Parašykime šią funkciją kaip

,

tada gauname

.

4. Parametriškai pateiktos funkcijos, jų diferenciacija.

Apibrėžimas . Funkcija
vadinamas parametriniu, jei abu kintamieji NS ir adresu kiekvienas yra apibrėžtas atskirai kaip to paties pagalbinio kintamojo - parametro - vienos vertės funkcijost:

kurtviduje skiriasi
.

Komentuoti ... Parametrinis funkcijų nustatymas plačiai naudojamas teorinėje mechanikoje, kur parametras t žymi laiką ir lygtis
vaizduoja judančio taško projekcijų pokyčių dėsnius
ant ašies
ir
.

Komentuoti ... Pateikime apskritimo ir elipsės parametrines lygtis.

a) Apskritimas, kurio centras yra pradinėje vietoje ir spindulys r turi parametrines lygtis:

kur
.

b) Parašykime elipsės parametrines lygtis:

kur
.

Išskyrus parametrą t iš nagrinėjamų linijų parametrinių lygčių galima prieiti prie jų kanoninių lygčių.

Teorema ... Jei funkcija y nuo argumento x parametrus pateikia lygtys
, kur
ir
skiriasi pagaltfunkcijas ir
, tada

.

Pavyzdys... Raskite funkcijos išvestinę adresu nuo NS pateiktas parametrinėmis lygtimis.

Sprendimas.
.

Taikymas

Diferencialinių lygčių sprendimas internete, kad studentai galėtų įtvirtinti išlaikytą medžiagą. Ir lavinkite savo praktinius įgūdžius. Diferencialinės lygtys internete. Difura internete, matematikos sprendimas internete. Žingsnis po žingsnio matematinių problemų sprendimas internete. Diferencialinės lygties tvarka ar laipsnis yra aukščiausia į ją įtrauktų išvestinių priemonių eilė. Diferencialinės lygtys internete. Diferencialinės lygties sprendimo procesas vadinamas integracija. Diferencialinės lygties integravimo problema laikoma išspręsta, jei nežinomos funkcijos radinį galima sumažinti iki kvadratūros, neatsižvelgiant į tai, ar gautas integralas yra išreikštas baigtine forma pagal žinomas funkcijas, ar ne. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Visas diferencialines lygtis galima suskirstyti į įprastas lygtis (ODE), kurios apima tik funkcijas (ir jų darinius) iš vieno argumento, ir dalines diferencialines lygtis (PDE), kuriose gaunamos funkcijos priklauso nuo daugelio kintamųjų. Diferencialinės lygtys internete. Taip pat yra stochastinių diferencialinių lygčių (SDE), apimančių stochastinius procesus. Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Priklausomai nuo išvestinių derinių, funkcijų, nepriklausomų kintamųjų, diferencialinės lygtys skirstomos į linijines ir netiesines, su pastoviu ar kintamu koeficientu, vienalytės arba nevienalytės. Atsižvelgiant į taikomųjų programų svarbą, kvazilininės (tiesinės aukščiausiosios išvestinės dalies atžvilgiu) dalinės diferencialinės lygtys yra atskiriamos į atskirą klasę. Diferencialinių lygčių sprendimai yra suskirstyti į bendrus ir konkrečius sprendimus. Diferencialinės lygtys internete. Bendrieji sprendimai apima neapibrėžtas konstantas, o dalinėms diferencialinėms lygtims - savavališkas nepriklausomų kintamųjų funkcijas, kurias galima patikslinti papildomomis integravimo sąlygomis (pradinės įprastų diferencialinių lygčių sąlygos, pradinės ir ribinės sąlygos dalinėms diferencialinėms lygtims). Žingsnis po žingsnio diferencialinių lygčių sprendimas internete. Nustačius nurodytų pastovių ir neapibrėžtų funkcijų formą, sprendimai tampa privatūs. Ieškant įprastų diferencialinių lygčių sprendimų, buvo sukurta specialiųjų funkcijų klasė - funkcijos, su kuriomis dažnai susiduriama programose, kurios nėra išreikštos žinomomis elementariomis funkcijomis. Diferencialinės lygtys internete. Buvo išsamiai ištirtos jų savybės, sudarytos vertybių lentelės, nustatyti tarpusavio santykiai ir kt. ... Galima ištirti išvardytų skaičių rinkinį. Geriausias atsakymas į užduotį. Kaip pirmuoju suderinimu rasti išeinantį vektorių į diferencialinių lygčių konvergencijos sritį, neišsiaiškinus nustatytos viršutinės ribos. Pasirinkimas akivaizdus didinant matematines funkcijas. Yra progresyvus metodas, viršijantis tyrimo lygį. Diferencialo sprendimo suderinimas pagal pradinę problemos būklę padės rasti vienareikšmiškai pasirinktą vertę. Gali būti, kad jis iš karto gali nustatyti nežinomą. Kaip ir ankstesniame matematinės problemos sprendimo nurodymo pavyzdyje, tiesinės diferencialinės lygtys yra atsakymas į konkrečią problemą per nurodytą laikotarpį. Tyrimo procedūros priežiūra nėra lokaliai apibrėžta. Bus taip, kad kiekvienam mokiniui bus rastas pavyzdys, o diferencialinių lygčių sprendimas nustatys priskirtą atlikėją bent iš dviejų verčių. Paimkite tam tikro segmento bendros vertės funkciją ir įspėkite, išilgai kurios ašies bus tarpas. Išstudijavus diferencialines lygtis internete, galima vienareikšmiškai parodyti, koks svarbus rezultatas, jei toks pateikiamas iš pradinių sąlygų. Neįmanoma išbraukti regiono iš funkcijos apibrėžimo, nes vietoje nėra užduoties apibrėžimo. Atsakymas, rastas iš lygčių sistemos, turi kintamąjį, kurį galima apskaičiuoti bendrąja prasme, tačiau, žinoma, bus galima išspręsti diferencialinę lygtį internete be šio veiksmo, apibrėžiant minėtą sąlygą. Šalia segmento intervalo galite pamatyti, kaip sprendžiant diferencialines lygtis internete, galima perkelti tyrimo rezultatą teigiama linkme tuo metu, kai mokinys praranda žinias. Geriausias ne visada yra bendro, priimto požiūrio į verslą rezultatas. Esant 2x didinimo lygiui, galite naudingai peržiūrėti visas būtinas linijines diferencialines lygtis natūraliu būdu, tačiau galimybė apskaičiuoti skaitinę vertę padės geriau žinoti. Bet kuriai matematikos metodikai yra skirtingos lygtys, kurios pateikiamos iš esmės skirtingomis išraiškomis, pavyzdžiui, vienalytėmis ar sudėtingomis. Atlikus bendrą funkcijos tyrimo analizę, paaiškės, kad diferencialo, kaip galimybių visumos, sprendimas yra aiški reikšmių klaida. Tiesa joje slypi erdvėje virš abscisių linijų. Kažkur sudėtingos funkcijos srityje, tam tikru jos apibrėžimo momentu, linijinės diferencialinės lygtys galės pateikti atsakymą analitine forma. tai apskritai kaip esmė. Pakeitus kintamąjį, niekas nepasikeis. Tačiau į atsakymą turite žvelgti su ypatingu susidomėjimu. Tiesą sakant, skaičiuotuvas galiausiai pakeičia santykį, tai yra, kaip nurodomas diferencialinių lygčių sprendimas, proporcingas visuotinei vertei, neviršijant ieškomo sprendimo. Kai kuriais atvejais įspėjimas apie masinę klaidą yra neišvengiamas. Diferencialinės lygtys internete įgyvendina bendrą problemos idėją, tačiau galiausiai būtina kuo greičiau numatyti teigiamus kryžminio produkto aspektus. Matematikoje neretai pasitaiko skaičių teorijos klaidų. Tikrinimas tikrai bus reikalingas. Natūralu, kad šią teisę geriau suteikti savo srities profesionalams ir būtent jie padės išspręsti diferencialinę lygtį internete, nes jų patirtis yra didžiulė ir teigiama. Skirtumas ant figūrų ir srities paviršių yra toks, kad neišsprendus diferencialinių lygčių internete bus galima pamatyti, tačiau nesikertančių objektų rinkinys yra toks, kad linija būtų lygiagreti ašiai. Dėl to galite gauti dvigubai daugiau vertybių. Ne visai aiškiai, mūsų idėja apie formaliojo žymėjimo teisingumą numato linijines diferencialines lygtis tiek žiūrėjimo srityje, tiek sąmoningai pervertinus rezultato kokybę. Kelis kartus apžvalgoje skelbiama diskusija visiems studentams įdomia tema. Viso paskaitų kurso metu daug dėmesio skirsime diferencialinėms lygtims ir susijusioms mokslo studijų sritims, jei tai neprieštarauja tiesai. Kelionės pradžioje galima išvengti daugelio etapų. Jei diferencialo sprendimas studentams iš esmės vis dar yra kažkas naujo, tai senasis visai nepamirštamas, bet progresuoja į ateitį su dideliu vystymosi tempu. Iš pradžių matematikos problemos sąlygos skiriasi, tačiau tai nurodyta dešinėje esančioje pastraipoje. Pasibaigus apibrėžties nustatytam laikui, neatmetama galimybė gauti proporcingą priklausomą rezultatą skirtingose ​​vektoriaus judėjimo plokštumose. Toks paprastas atvejis yra ištaisytas, taip pat skaičiuoklėje bendros formos aprašytos tiesinės diferencialinės lygtys, todėl jis bus greitesnis ir skaičiavimai kompensuoti nesukels klaidingos nuomonės. Tik penki atvejai, pavadinti pagal teoriją, gali peržengti to, kas vyksta, ribas. Mūsų diferencialinių lygčių sprendimas padės rankiniu būdu apskaičiuoti reikšmę skaičiais jau pirmaisiais funkcinės erdvės skaidymo etapais. Tinkamose vietose būtina pavaizduoti keturių linijų sąlyčio tašką bendrąja prasme. Bet jei turėsite pakeisti užduotį, sudėtingumą bus lengva prilyginti. Pradinių duomenų pakanka gretimai kojai suprojektuoti, o internetinės diferencialinės lygtys atrodo išlygintos į kairę, o vienpusis paviršius nukreiptas į vektorinį rotorių. Virš viršutinės ribos galimos skaitinės vertės, viršijančios nurodytą sąlygą. Galima atsižvelgti į matematinę formulę ir išspręsti diferencialinę lygtį internete trijų nežinomų sąskaita bendroje proporcijos vertėje. Galioja vietinis skaičiavimo metodas. Koordinačių sistema yra stačiakampio formos santykinis plokštumos judėjimas. Bendras diferencialinių lygčių sprendimas internete leidžia vienareikšmiškai padaryti išvadą apskaičiuoto šlavimo naudai per matricos apibrėžimus visoje tiesėje, esančioje virš aiškiai nurodytos funkcijos grafiko. Tirpalas matomas pro ir per, jei judesio vektorių pritaikysite trijų pusrutulių sąlyčio taške. Cilindras gaunamas sukant stačiakampį aplink šoną, o tiesinės diferencialinės lygtys galės parodyti taško judėjimo kryptį pagal duotą jo judėjimo dėsnį. Pradiniai duomenys yra teisingi, o matematikos užduotis galima pakeisti viena paprasta sąlyga. Tačiau dėl aplinkybių, atsižvelgiant į suformuluotos papildomos problemos sudėtingumą, diferencialinės lygtys supaprastina skaitinių erdvių skaičiavimo procesą trimatės erdvės lygiu. Lengva įrodyti priešingai, tačiau to galima išvengti, kaip aukščiau pateiktame pavyzdyje. Aukštojoje matematikoje pateikiami šie punktai: kai problema sumažinama iki supaprastintos formos, į ją turi būti įtrauktos kuo daugiau studentų pastangų. Viena ant kitos uždėtos linijos yra užvedamos. Pro diferencialinis sprendimas vis dar atnaujina minėto metodo pranašumą išlenktoje linijoje. Jei iš pradžių atpažinsite neteisingą dalyką, tada matematinė formulė sudarys naują išraiškos prasmę. Tikslas - optimalus požiūris į profesoriaus iškeltų užduočių sprendimą. Nemanykite, kad linijinės diferencialinės lygtys supaprastinta forma viršys laukiamą rezultatą. Ant galutinio paviršiaus uždėkite tris vektorius. stačiakampiai vienas kitam. Apskaičiuokime produktą. Pridėkime daugiau simbolių ir iš gautos išraiškos užrašykime visus funkcijos kintamuosius. Yra proporcija. Keli veiksmai prieš skaičiavimo pabaigą, nedviprasmiškas atsakymas į diferencialinių lygčių sprendimą bus pateiktas ne iš karto, o tik pasibaigus ordinatės ašyje skirtam laikui. Į kairę nuo nepertraukiamumo taško, netiesiogiai duotas iš funkcijos, nubrėžkite ašį, statmeną geriausiai didėjančiam vektoriui, ir padėkite internetines diferencialines lygtis išilgai mažiausios matematinio objekto apatinės ribos ribinės vertės. Papildomą argumentą pridedame prie funkcijų spragos. Dešinėje nuo taškų, kuriuose yra išlenkta linija, mūsų parašytos mažinimo iki bendro vardiklio formulės padės išspręsti diferencialinę lygtį internete. Mes laikysimės vienintelio teisingo požiūrio, kuris iš teorijos į praktiką, paprastai, nedviprasmiškai nušvies neišspręstas problemas. Linijos nurodytų taškų koordinačių kryptimi niekada neuždarė kraštutinės kvadrato padėties, tačiau diferencialinių lygčių sprendimas internete padės mokytis matematikos ir studentams, ir mums, ir tik pradedantiesiems šioje srityje . Mes kalbame apie galimybę pakeisti vertės argumentą į visas reikšmes, kurios yra reikšmingos po vieno lauko eilutėmis. Iš principo, kaip ir galima tikėtis, mūsų linijinės diferencialinės lygtys yra izoliuotos į vieną nurodytos reikšmės sąvoką. Norėdami padėti studentams, vienas iš geriausių skaičiuotuvų tarp panašių paslaugų. Užbaikite visus kursus ir išsirinkite sau tinkamiausią.

=

Diferencialo apibrėžimas

Apsvarstykite funkciją \ (y = f \ left (x \ right), \), kuri yra tęstinė intervale \ (\ left [(a, b) \ right]. \) Tarkime, kad tam tikru momentu \ ((x_0) \ in \ left [(a, b) \ right] \) nepriklausomas kintamasis padidinamas \ (\ Delta x. \) Funkcijos prieaugis \ (\ Delta y, \), atitinkantis tokį argumento pakeitimą \ (\ Delta x, \) išreiškiama formule \ [\ Delta y = \ Delta f \ left (((x_0)) \ right) = f \ left (((x_0) + \ Delta x) \ right) - f \ left [([x_0]] \ right). \] Bet kurios diferencijuojamos funkcijos padidėjimas \ (\ Delta y \) gali būti pavaizduotas kaip dviejų terminų suma: \ [\ Delta y = A \ Delta x + \ omicron \ kairė ((\ Delta x) \ dešinė), \] kur pirmasis terminas (vadinamasis Pagrindinė dalis prieaugis) tiesiškai priklauso nuo prieaugio \ (\ Delta x, \), o antrasis terminas yra mažesnis, palyginti su \ (\ Delta x. \) Išraiška \ (A \ Delta x \) vadinama diferencinė funkcija ir pažymėta \ (dy \) arba \ (df \ left (((x_0)) \ \ right). \)

Apsvarstykime šią idėją padalinti funkcijos prieaugį \ (\ Delta y \) į dvi dalis paprastu pavyzdžiu. Tegul kvadratas pateikiamas kraštine \ ((x_0) = 1 \, \ text (m) \, \) (pav. \ (1 \)). Akivaizdu, kad jo plotas \ [(S_0) = x_0 ^ 2 = 1 \, \ text (m) ^ 2. \] Jei kvadrato kraštinė padidinama \ (\ Delta x = 1 \, \ text (cm) , \) tada tiksli padidinto kvadrato ploto vertė bus \ t.y. ploto prieaugis \ (\ Delta S \) yra \ [(\ Delta S = S - (S_0) = 1.0201 - 1 = 0.0201 \, \ text (m) ^ 2) = (201 \, \ text (cm) ^ 2.) \] Dabar mes parodome šį padidėjimą \ (\ Delta S \) taip: \ [\ reikalauti (atšaukti) (\ Delta S = S - (S_0) = (\ left ((((x_0)) + \ Delta x) ) \ dešinėn) ^ 2) - x_0 ^ 2) = (\ atšaukti (x_0 ^ 2) + 2 (x_0) \ Delta x + (\ kairė ((\ Delta x) \ dešinė) ^ 2) - \ atšaukti (x_0 ^ 2)) = (2 (x_0) \ Delta x + (\ kairė ((\ Delta x) \ dešinė) ^ 2)) = = (A \ Delta x + \ omicron \ kairė ((\ Delta x) \ dešinė) ) = (dy + o \ left ((\ Delta x) \ right).) \] Taigi, funkcijos \ (\ Delta S \) prieaugį sudaro pagrindinė dalis (funkcijos skirtumas), kuri yra proporcinga iki \ (\ Delta x \) ir yra lygus \ ir aukštesnio laipsnio mažumo terminas, savo ruožtu, lygus \ [\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right) = (\ left ((\ Delta x) \ dešinėn) ^ 2) = (0,01 ^ 2) = 0,0001 \, \ text (m) ^ 2 = 1 \, \ text (cm) ^ 2. \] Abu šie terminai sudaro bendrą kvadratinį plotą padidėjimas \ (200 + 1 = 201 \, \ tekstas (cm) ^ 2. \)

Atkreipkite dėmesį, kad šiame pavyzdyje koeficientas \ (A \) yra lygus funkcijos \ (S \) išvestinės vertės taške \ ((x_0): \) \ Pasirodo, kad bet kurios diferencijuojamos funkcijos atveju laiko: teorema :

Pagrindinės funkcijos prieaugio dalies koeficientas \ (A \) taške \ ((x_0) \) yra lygus išvestinės vertės \ (f "\ left (((x_0))) \ right) \) šiuo metu, tai yra, prieaugis \ (\ Delta y \) išreiškiamas formule \ [(\ Delta y = A \ Delta x + \ omicron \ left ((\ Delta x) \ right)) = (f "\ kairė (((x_0)) \ dešinė) \ Delta x + \ omicron \ kairė ((\ Delta x) \ dešinė).) \] Abi šios lygybės pusės padalintos iš \ (\ Delta x \ ne 0 , \) gauname \ [(\ frac ((\ Delta y)) ((\ Delta x)) = A + \ frac ((\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right))) ((\ Delta x))) = (f "\ kairė (((x_0)) \ dešinė) + \ frac ((\ omicron \ kairė ((\ Delta x) \ dešinė))) ((\ Delta x)).) \] Riboje kaip \ (\ Delta x \ iki 0 \) mes gauname išvestinės vertės tašką \ ((x_0): \) \ [(y "\ left (((x_0))) \ right) = \ lim \ limits _ (\ Delta x \ to 0) \ frac ((\ Delta y)) ((\ Delta x))) = = (A = f "\ kairė (((x_0)) \ dešinė).) \ ] Čia mes atsižvelgėme į tai, kad mažos vertės \ (\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right) \), didesnio mažumo, nei \ (\ Delta x, \), riba yra \ [\ lim \ limits _ (\ Delta x \ iki 0) \ frac ((\ omicron \ left ((\ Delta x) \ right))) ((\ Delta x)) = 0. \] Jei manytume, kad nepriklausomo kintamojo diferencialas \ (dx \) yra lygus jo prieaugiui \ (\ Delta x: \) \ tada iš santykio \ išplaukia, kad \ t.y. funkcijos išvestinė gali būti pavaizduota kaip dviejų skirtumų santykis.

Funkcijos diferencialo geometrinė reikšmė

\ (2 \) paveiksle schematiškai pavaizduotas funkcijos \ (\ Delta y \) padidėjimo suskirstymas į pagrindinę \ (A \ Delta x \) dalį (funkcijos skirtumas) ir aukštesnio laipsnio mažumo terminas \ (\ omicron \ kairė ((\ Delta x) \ dešinė) \).

Liestinė \ (MN \), nubrėžta į funkcijos \ (y = f \ kairė (x \ dešinė) \) kreivę taške \ (M \), žinoma, kad turi nuolydžio kampą \ (\ alfa \), kurio liestinė lygi išvestinei: \ [\ tan \ alpha = f "\ left (((x_0)) \ right). \] Kai argumentas pakeičiamas į \ (\ Delta x \), liestinė yra padidinta \ (A \ Delta x. M_1) \)) atitinka „netiesinį“ priedą, kurio mažumas yra didesnis (\ Delta x \).

Diferencialinės savybės

Tegul \ (u \) ir \ (v \) yra kintamojo \ (x \) funkcijos. Diferencialas turi šias savybes:

1. Pastovus koeficientas gali būti imamas už diferencialo ženklo ribų:

   \ (d \ kairė ((Cu) \ dešinė) = Cdu \), kur \ (C \) yra pastovus skaičius.

2. Funkcijų sumos (skirtumo) diferencialas:

   \ (d \ kairė ((u \ pm v) \ dešinė) = du \ pm dv. \)

3. Pastovios vertės skirtumas lygus nuliui:

   \ (d \ kairė (C \ dešinė) = 0. \)

4. Nepriklausomo kintamojo \ (x \) skirtumas yra lygus jo prieaugiui:

   \ (dx = \ Delta x. \)

5. Linijinės funkcijos skirtumas yra lygus jos prieaugiui:

   \ (d \ kairė ((ax + b) \ dešinė) = \ Delta \ kairė ((ax + b) \ dešinė) = a \ Delta x. \)

6. Dviejų funkcijų sandauga:

   \ (d \ kairė ((uv) \ dešinė) = du \ cdot v + u \ cdot dv. \)

7. Dviejų funkcijų koeficientas:

   \ [d \ kairė ((\ didelis \ frac (u) (v) \ normalizavimas) \ dešinė) = \ didelis \ frac ((du \ cdot v - u \ cdot dv)) (((v ^ 2))) \ normalizuoti. \)

8. Funkcijos skirtumas yra lygus darinio sandaugai ir argumento diferencialui:

   \ (dy = df \ kairė (x \ dešinė) = f "\ kairė (x \ dešinė) dx. \)

Kaip matote, funkcijos diferencialas \ (dy \) skiriasi nuo išvestinės tik veiksniu \ (dx \). Pavyzdžiui, \ [(d \ kairė (((x ^ n))) \ dešinė) = n (x ^ (n - 1)) dx,) \; \; (d \ kairė ((\ ln x) \ dešinė) = \ frac ((dx)) (x),) \; \; (d \ kairė ((\ sin x) \ dešinė) = \ cos x dx) \] ir pan.

Diferencialo formos nekintamumas

Apsvarstykite dviejų funkcijų sudėtį \ (y = f \ left (u \ right) \) ir \ (u = g \ left (x \ right), \) t.y. sudėtinga funkcija \ (y = f \ left ((g \ left (x \ right)) \ right). \) Jo išvestinė apibrėžta išraiška \ [(y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x), \] kur indeksas žymi kintamąjį, kurio atžvilgiu jis diferencijuojamas.

„Išorinės“ funkcijos diferencialas \ (y = f \ left (u \ right) \) rašomas kaip \ "Vidinės" funkcijos diferencialas \ (u = g \ left (x \ right) \) gali būti pavaizduota panašiai: \ Jei pakeisite \ (du \) į ankstesnę formulę, gausime \ Nuo \ ((y "_x) = (y" _u) \ cdot (u "_x), \) tada \ It matyti, kad sudėtingos funkcijos atveju funkcijos diferencialui gavome tą pačią formos išraišką, kaip ir „paprastos“ funkcijos atveju. Ši savybė vadinama diferencialo formos nekintamumas .