PATIKIMUMO ANALIZĖS LOGIKOS TIKIMYBĖS METODAI
Bet koks patikimumo analizės metodas reikalauja sistemos veikimo sąlygų aprašymo. Tokios sąlygos gali būti suformuluotos remiantis:
Sistemos funkcionavimo struktūrinė schema (patikimumo skaičiavimo schema);
Žodinis sistemos veikimo aprašymas;
Grafinės schemos;
Logikos algebros funkcijos.
Loginis-tikimybinis patikimumo analizės metodas leidžia formalizuoti palankių hipotezių apibrėžimą ir reikšmę. Šio metodo esmė yra tokia.
Kiekvieno elemento būsena užkoduota nuliu ir vienetu:
Logikos algebros funkcijose elementų būsenos vaizduojamos tokia forma:
X i- gera elemento būklė, atitinkanti 1 kodą;
Elemento gedimo būsena, atitinkanti kodą 0.
Naudojant logikos algebros funkcijas, per jos elementų operatyvumą (būseną) rašoma sistemos veikimo sąlyga. Gauta sistemos sveikatos funkcija yra dvejetainių argumentų dvejetainė funkcija.
Gautas FAL transformuojamas taip, kad jame būtų terminai, atitinkantys palankias hipotezes teisingam sistemos veikimui.
FAL vietoj dvejetainių kintamųjų x i o tikimybės atitinkamai pakeičiamos veikimu be gedimų p i ir gedimo tikimybė q i . Jungties ir disjunkcijos požymius pakeičia algebrinė daugyba ir sudėjimas.
Gauta išraiška yra tikimybė, kad sistema veiks be gedimų PC(t).
Apsvarstykite loginį-tikimybinį metodą su pavyzdžiais.
5.10 PAVYZDYS. Sistemos blokinė schema yra pagrindinis (nuoseklus) elementų sujungimas (5.14 pav.).
Ant blokinės schemos x i, i = 1, 2,..., P- būklė i-tasis sistemos elementas, koduojamas 0, jei elementas sugedo, ir 1, jei jis tinkamas naudoti. Šiuo atveju sistema veikia, jei veikia visi jos elementai. Tada FAL yra loginių kintamųjų konjunkcija, t.y. y \u003d x 1, x 2, ... .., x p, kuri yra tobula disjunktyviai normali sistemos forma.
Vietoj loginių kintamųjų pakeitę gerų elementų būsenų tikimybes ir jungtį pakeitę algebrine daugyba, gauname:
5.11 PAVYZDYS. Sistemos blokinė schema yra dubliuota sistema su nelygiaverčiais, nuolat įjungtais posistemiais (5.15 pav.).
Ant pav. 5.15 x 1 Ir x 2- sistemos elementų būsenos. Padarykime dviejų dvejetainių kintamųjų tiesos lentelę (5.2 lentelė).
Lentelėje 0 yra elemento gedimo būsena, 1 yra gera elemento būsena. Šiuo atveju sistema veikia, jei veikia abu elementai (1,1) arba vienas iš jų ((0,1) arba (1,0)). Tada veikianti sistemos būsena aprašoma tokia loginės algebros funkcija:
Ši funkcija yra tobula disjunkcinė normalioji forma. Disjunkcijos ir konjunkcijos operacijas pakeitę algebrinėmis daugybos ir sudėjimo operacijomis, o loginius kintamuosius su atitinkamomis elementų būsenos tikimybėmis, gauname sistemos saugaus veikimo tikimybę:
5.12 PAVYZDYS. Sistemos blokinė schema yra tokia, kaip parodyta pav. 5.16.
Padarykime tiesos lentelę (53 lentelė).
Šiame pavyzdyje sistema veikia, jei veikia visi jos elementai arba elementas veikia x i ir vienas iš pasikartojančios poros elementų (x 2, x 3). Remiantis tiesos lentele, SDNF atrodys taip:
Vietoj dvejetainių kintamųjų pakeisdami atitinkamas tikimybes, o vietoj jungtukų ir disjunkcijų – algebrinį dauginimą ir sudėjimą, gauname sistemos saugaus veikimo tikimybę:
Logikos algebros funkciją galima pavaizduoti minimalia forma naudojant šias transformacijas:
Sugerties ir klijavimo operacijos algebroje netaikomos. Šiuo atžvilgiu neįmanoma sumažinti gauto FAL, o tada vietoj loginių kintamųjų pakeisti tikimybių reikšmes. Elementų būsenų tikimybės turėtų būti pakeistos į SDNF ir supaprastintos pagal algebros taisykles.
Aprašyto metodo trūkumas yra būtinybė sudaryti tiesos lentelę, kuriai reikalingas visų veikiančių sistemos būsenų surašymas.
5.3.2. Trumpiausių takų ir minimalių atkarpų metodas
Šis metodas buvo aptartas anksčiau. skyriuje 5.2.3. Pareikškime tai logikos algebros požiūriu.
Veikimo funkciją galima apibūdinti trumpiausiais sistemos ėjimo takais ir minimaliais jos gedimo atkarpomis.
Trumpiausias kelias yra minimalus darbinių: elementų stotys, kurios sudaro veikiančią sistemą.
Minimali sekcija yra minimali neveikiančių elementų būsenų, sudarančių neveikiančią sistemos būseną, jungtis.
5.13 PAVYZDYS. Būtina suformuoti sistemos veikimo funkciją, kurios blokinė schema parodyta fig. 5.17 trumpiausių takų ir minimalių atkarpų metodu.
Sprendimas.Šiuo atveju trumpiausi keliai, sudarantys veikiančią sistemą, bus: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Tada sveikatos funkciją galima parašyti kaip tokią loginės algebros funkciją:
Remiantis šiuo FAL, sistemos blokinė schema pav. 5.17 galima pavaizduoti blokine schema pav. 5.18.
Mažiausios dalys, kurios sudaro neveikiančią sistemą, yra šios: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Tada neveikiamumo funkcija gali būti įrašyta kaip tokia loginės algebros funkcija:
Pagal šį FAL sistemos blokinė schema bus pateikta Fig. 5.19.
Reikėtų nepamiršti, kad blokinės diagramos pav. 5.18 ir pav. 5.19 nėra patikimumo skaičiavimo schemos, o veikiančių ir neveikiančių būsenų FAL išraiškos nėra išraiškos, leidžiančios nustatyti veikimo be gedimų tikimybę ir gedimo tikimybę:
Pagrindiniai FAL privalumai yra tai, kad jie leidžia formaliai, nesudarant tiesos lentelės, gauti PDNF ir CKNF (tobula konjunktyvinė normalioji forma), kurie leidžia gauti be gedimų tikimybę (gedimo tikimybę). sistemą FAL vietoj loginių kintamųjų pakeičiant atitinkamas be klaidų tikimybių vertes, konjunkcijos ir disjunkcijos operacijas pakeičiant algebrinėmis daugybos ir sudėjimo operacijomis.
Norint gauti SDNF, kiekvieną FAL disjunkcinį narį reikia padauginti iš kur x i- trūkstamą argumentą ir išplėskite skliaustus. Atsakymas yra SDNF. Panagrinėkime šį metodą pavyzdžiu.
5.14 PAVYZDYS. Būtina nustatyti sistemos veikimo be gedimų tikimybę, kurios blokinė schema parodyta fig. 5.17. Elementų veikimo be gedimų tikimybės lygios 1 p, 2 p, 3 p, 4 p, r 5 .
Sprendimas. Naudokime trumpiausio kelio metodą. Loginės algebros funkcija, gauta trumpiausio kelio metodu, yra tokia:
Gauname sistemos SDNF. Norėdami tai padaryti, disjunkcinius terminus padauginame iš trūkstamų:
Išplėsdami skliaustus ir atlikdami transformacijas pagal logikos algebros taisykles, gauname SDNF:
Vietoj to pakeičiama SDNF x 1, x 2, x 3 , x 4, x 5 veikimo laiko tikimybės 1 p, 2 p, 3 p, 4 p, 5 p ir naudojant koeficientus qi = 1–p i, gauname tokią sistemos veikimo be gedimų tikimybės išraišką.
Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad trumpiausių kelių metodas išlaisvino mus nuo palankių hipotezių apibrėžimo. Tą patį rezultatą galima gauti naudojant minimalių sekcijų metodą.
5.3.3. Pjaustymo algoritmas
Pjovimo algoritmas leidžia gauti FAL, į kurį vietoj loginių kintamųjų pakeičiant elementų veikimo be gedimų tikimybę (gedimo tikimybę), galima rasti sistemos be gedimų tikimybę. Šiuo tikslu CDNF gauti nereikia.
Pjaustymo algoritmas remiasi tokia loginės algebros teorema: loginės algebros funkcija y(x b x 2,...,x n) gali būti pateikta tokia forma:
Parodykime šios teoremos pritaikymą trimis pavyzdžiais:
Taikydami antrąjį logikos algebros paskirstymo dėsnį, gauname:
5.15 PAVYZDYS. Nustatykite sistemos, kurios blokinė schema parodyta pav., veikimo be gedimų tikimybę. 5.16 naudojant pjaustymo algoritmą.
Sprendimas. Naudodami trumpiausio kelio metodą, gauname tokį FAL:
Taikykime pjovimo algoritmą:
Vietoj loginių kintamųjų dabar pakeitę tikimybes ir konjunkcijos bei disjunkcijos operacijas pakeitę algebrine daugyba ir sudėtimi, gauname:
5.16 PAVYZDYS. Nustatykite sistemos, kurios blokinė schema parodyta pav., veikimo be gedimų tikimybę. 5.17. Naudokite pjovimo algoritmą.
Sprendimas. Loginės algebros funkcija, gauta minimalių atkarpų metodu, yra tokia:
Pjovimo algoritmą įgyvendiname atsižvelgiant į X 5:
Supaprastiname gautą išraišką naudodami logikos algebros taisykles. Supaprastiname išraišką pirmuosiuose skliaustuose, naudodami skliaustų taisyklę:
Tada FAL atrodys taip:
Ši išraiška atitinka blokinę schemą Fig. 5.20.
Gauta schema taip pat yra patikimumo skaičiavimo schema, jei loginiai kintamieji pakeičiami nenutrūkstamo veikimo tikimybėmis p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, o kintamasis yra nesėkmės tikimybė q 5 . Iš pav. 5.20 matyti, kad sistemos blokinė schema redukuota į nuoseklią lygiagrečią grandinę. Veikimo be gedimų tikimybė apskaičiuojama pagal šią formulę:
Formulės aiškinti nereikia, ji rašoma tiesiai pagal blokinę schemą.
5.3.4. Ortogonalizacijos algoritmas
Ortogonalizacijos algoritmas, kaip ir pjovimo algoritmas, leidžia formalioms procedūroms sudaryti logikos algebros funkciją, į kurias vietoj loginių kintamųjų pakeičiant tikimybes, o vietoj disjunkcijų ir konjunkcijų – algebrinį sudėjimą ir daugybą, kad būtų gauta be problemų tikimybė. sistemos veikimas. Algoritmas pagrįstas loginės algebros funkcijų transformavimu į ortogonalinę disjunkcinę normaliąją formą (ODNF), kuri yra daug trumpesnė nei SDNF. Prieš aprašydami metodiką, suformuluojame keletą apibrėžimų ir pateikiame pavyzdžių.
Du jungtukai paskambino stačiakampis, jei jų produktas yra identiškas nulis. Disjunkcinė normali forma paskambino stačiakampis, jei visi jo nariai poromis statmeni. SDNF yra stačiakampė, bet ilgiausia iš visų stačiakampių funkcijų.
Stačiakampį DNF galima gauti naudojant šias formules:
Šias formules nesunku įrodyti naudojant antrąjį logikos algebros paskirstymo dėsnį ir De Morgano teoremą. Ortogonaliosios disjunkcinės normaliosios formos gavimo algoritmas yra tokia funkcijos transformavimo procedūra y(x 1, x 2,..., x n) ODNF:
Funkcija y(x 1, x 2,..., x n) konvertuojami į DNF, naudojant trumpiausių kelių arba minimalių atkarpų metodą;
Stačiakampė disjunktyvinė-normalioji forma randama naudojant (5.10) ir (5.11) formules;
Funkcija sumažinama prilyginant nuliui stačiakampius ODNF narius;
Būlio kintamieji pakeičiami sistemos elementų be trikdžių veikimo tikimybėmis (gedimų tikimybėmis);
Galutinis sprendimas gaunamas supaprastinus ankstesniame žingsnyje gautą išraišką.
Panagrinėkime techniką su pavyzdžiu.
5.17 PAVYZDYS. Nustatykite sistemos, kurios blokinė schema parodyta pav., veikimo be gedimų tikimybę. 5.17. Taikykite ortogonalizacijos metodą.
Sprendimas.Šiuo atveju sistemos veikimas apibūdinamas tokia loginės algebros funkcija (minimalių sekcijų metodas):
Pažymėti K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 \u003d x 3 x 5 x 2. Tada ODNF bus parašytas tokia forma:
Vertybės , i= 1,2,3, remiantis (5.10) formule, bus tokia:
Pakeitę šias išraiškas į (5.12), gauname:
Šios išraiškos loginius kintamuosius pakeitę atitinkamomis tikimybėmis ir atlikę algebrines sudėjimo ir daugybos operacijas, gauname sistemos saugios operacijos tikimybę:
Atsakymas toks pat kaip 5.14 pavyzdyje.
Pavyzdys rodo, kad ortogonalizacijos algoritmas yra produktyvesnis nei anksčiau aptarti metodai. Plačiau aprašyti loginiai-tikimybiniai patikimumo analizės metodai. Loginis-tikimybinis metodas, kaip ir bet kuris kitas, turi savo privalumų ir trūkumų. Jo privalumai buvo paminėti anksčiau. Nurodykime jo trūkumus.
Pradiniai duomenys loginiu-tikimybiniu metodu yra sistemos struktūrinės schemos elementų be gedimų tikimybės. Tačiau daugeliu atvejų šių duomenų gauti nepavyksta. Ir ne todėl, kad nežinomas elementų patikimumas, o todėl, kad elemento veikimo laikas yra atsitiktinis dydis. Tai įvyksta perteklinio pakeitimo atveju, gedimo pasekmių buvimu, elementų veikimo nevienalaikiškumu, atkūrimu naudojant kitokią aptarnavimo discipliną ir daugeliu kitų atvejų.
Pateiksime šiuos trūkumus iliustruojančių pavyzdžių. Sistemos blokinė schema yra tokia, kaip parodyta pav. 5.21, kur priimtini šie pavadinimai: x i- loginiai kintamieji su reikšmėmis 0 ir 1, atitinkantys elemento gedimą ir tinkamą veikimą, x i = 1, 2, 3.
Šiuo atveju loginis kintamasis ds 3 yra 0 iki pagrindinio elemento gedimo laiko τ ir 1 per laiką. (t-τ), kur t- laikas, per kurį nustatoma sistemos veikimo be gedimų tikimybė. Laikas τ yra atsitiktinė reikšmė, taigi reikšmė р(τ) nežinomas. Šiuo atveju neįmanoma sudaryti FAL, o juo labiau SDNF. Nė vienas iš mūsų svarstomų loginių-tikimybių metodų neleidžia mums nustatyti sistemos saugaus veikimo tikimybės.
Štai dar vienas tipiškas pavyzdys. Maitinimo sistema susideda iš įtampos reguliatoriaus R n ir du lygiagretūs generatoriai G 1 ir G 2 . Sistemos blokinė schema parodyta fig. 5.22.
Jei vienas iš generatorių sugenda, likęs tinkamas naudoti generatorius dirba viena bendra apkrova. Jo gedimų dažnis didėja. Jei iki vieno iš generatorių gedimo momento τ jo gedimo intensyvumas buvo lygus λ , tada po atmetimo λ1 > λ2. Nuo to laiko τ tada atsitiktinis Р(τ) nežinomas. Čia, kaip ir perteklinio pakeitimo atveju, loginiai-tikimybiniai metodai yra bejėgiai. Taigi šie loginių-tikimybių metodų trūkumai mažina jų praktinį pritaikymą sudėtingų sistemų patikimumui skaičiuoti.
5.4. Topologiniai patikimumo analizės metodai
Vadinsime topologinius metodus, kurie leidžia nustatyti patikimumo rodiklius pagal būsenos grafiką arba pagal sistemos struktūrinę schemą, nesudarant ir nesprendžiant lygčių. Topologiniams metodams skirta nemažai darbų, kuriuose aprašomi įvairūs jų praktinio įgyvendinimo būdai. Šiame skyriuje aprašomi patikimumo rodiklių nustatymo iš būsenos grafiko metodai.
Topologiniai metodai leidžia apskaičiuoti šiuos patikimumo rodiklius:
- P(t)- nenutrūkstamo veikimo tikimybė per laiką t;
- T1, - vidutinis nenutrūkstamo veikimo laikas;
– K g (t)- parengties funkcija (tikimybė, kad sistema veiks bet kuriuo savavališku momentu t);
- Kilogramas= - parengties koeficientas;
T- laikas tarp atkurtos sistemos gedimų.
Topologiniai metodai turi šias savybes:
Skaičiavimo algoritmų paprastumas;
Didelis patikimumo kiekybinių charakteristikų nustatymo procedūrų aiškumas;
Apytikslių sąmatų galimybė;
Nėra jokių blokinės diagramos tipo apribojimų (sistemos, atkuriamos ir neatkuriamos, neperteklinės ir perteklinės su bet kokio tipo pertekliumi ir bet kokiu daugialypumu).
Šiame skyriuje bus aptariami topologinių metodų apribojimai:
Sudėtingos sistemos elementų gedimų ir atkūrimo rodikliai yra pastovios reikšmės“;
Laplaso transformacijose nustatomi patikimumo laiko rodikliai, tokie kaip veikimo be gedimų tikimybė ir prieinamumo funkcija;
Sunkumai, kai kuriais atvejais neįveikiami, analizuojant sudėtingų sistemų, aprašytų daugkartinio ryšio būsenos grafiku, patikimumą.
Topologinių metodų idėja yra tokia.
Būsenos grafikas yra vienas iš būdų aprašyti sistemos funkcionavimą. Jis nustato diferencialinių lygčių tipą ir jų skaičių. Perėjimų intensyvumai, apibūdinantys elementų patikimumą ir jų atkuriamumą, lemia diferencialinių lygčių koeficientus. Pradinės sąlygos parenkamos koduojant grafiko mazgus.
Būsenos grafike yra visa informacija apie sistemos patikimumą. Ir tai yra priežastis manyti, kad patikimumo rodiklius galima apskaičiuoti tiesiai iš būsenos grafiko.
5.4.1. Sistemos būsenų tikimybių nustatymas
Tikimybė rasti atkuriamos sistemos būseną i fiksuotu laiko momentu t Laplaso transformacijoje galima parašyti tokia forma:
kur ∆ (-iai)- Laplaso transformacijomis užrašytų diferencialinių lygčių sistemos pagrindinis determinantas; Δi yra privatus sistemos determinantas.
Iš (5.13) išraiškos matyti, kad Pi bus nustatytas, jei laipsniai bus rasti iš būsenos grafiko tipo skaitiklio ir vardiklio daugianariai, taip pat koeficientai Bij (j = 0,1,2,..., m) Ir A i(i = 0,1, 2,..., n-1).
Pirmiausia panagrinėkime nustatymo metodą Pi tik tokių sistemų būsenų grafikas, kurių būsenų grafe nėra perėjimų per būsenas. Tai apima visas neperteklines sistemas, perteklines sistemas su bendru pertekliumi su sveikųjų ir trupmeninių skaičių, bet kokios struktūros perteklines sistemas su sugedusių įrenginių priežiūra atvirkštine tvarka, kai jie buvo gauti taisyti. Šiai sistemų klasei taip pat priklauso kai kurios perteklinės sistemos su vienodai patikimais įrenginiais, kurių priežiūra skiriasi.
Sistemos funkcionavimas apibūdinamas diferencialinėmis lygtimis, kurių skaičius lygus grafo mazgų skaičiui. Tai reiškia, kad pagrindinis sistemos determinantas ∆ (-iai) apskritai bus daugianario n laipsnis, kur n yra būsenos grafo mazgų skaičius. Nesunku parodyti, kad vardiklio daugianario nėra pertraukos. Tiesa, nuo tada funkcijos vardiklis Pi turi būti s kaip veiksnys, kitu atveju galutinė tikimybė Pi (∞) bus lygus nuliui. Išimtis yra tada, kai remonto darbų skaičius yra ribotas.
Skaitiklio daugianario laipsnis∆ i rasta iš posakio:
m i \u003d n - 1 - l i,
kur n- būsenos grafiko mazgų skaičius; l i- perėjimų skaičius iš pradinės sistemos būsenos, nulemtas pradinių jos funkcionavimo sąlygų, į būseną i trumpiausiu keliu.
Jei pradinė sistemos būsena yra būsena, kai visi įrenginiai veikia, tada l i- valstybinio lygio numeris i, t.y. l i yra lygus minimaliam sugedusių sistemos įrenginių skaičiui valstybėje i. Taigi tikimybės skaitiklio daugianario laipsnis P i (s) sistemos buvimas viduje i- būsena priklauso nuo valstybės numerio i ir nuo pradinių sąlygų. Nuo perėjimų skaičiaus l i gal 0,1,2,..., n-1, tada daugianario laipsnisΔi remiantis (5.14), taip pat gali imti reikšmes m i = 0,1,2,..., n-1.
LVM atsirado dėl sudėtingų sistemų saugumo problemų tyrimų. Jis gali būti naudojamas sudėtingos sistemos gedimo tikimybei įvertinti.
LVM reiškia aksiomatinius sprendimų priėmimo metodus stochastinio neapibrėžtumo sąlygomis. Tai leidžia sumažinti šį neapibrėžtumą įrodymais pagrįstu požiūriu ir eksperimentiniais rezultatais – alternatyvų tikimybinėmis charakteristikomis.
Vadove LVM nagrinėjamas patikimiausios informacinės sistemos pasirinkimo problemos sprendimo pavyzdžiu.
Tegul alternatyvų rinkinys yra informacinės sistemos (IS) rizikos rodiklių rinkinys. Būtina rasti tokią IS, kurios rizika yra minimali.
Pagal sistemos rizika atsižvelgiama į išteklių, iš kurių ji susideda, rizikos suma:
kur R i- rizika i- išteklius, n- išteklių kiekis. Kiekvienas išteklius yra susietas su pavojingų būsenų (OS) rinkiniu, kurį įgyvendinus šis išteklius sugenda.
Informaciniai ištekliai, paslaugos, fiziniai ar techninės įrangos ištekliai, programinė įranga gali būti IP išteklių pavyzdžiai. Vienas iš informacijos šaltinio pavyzdžių yra IP duomenų bazė.
Pagal i-oji išteklių rizika Rizikos, susijusios su tam tikro ištekliaus pavojingų būsenų įgyvendinimu, suma suprantama:
kur r i j– realizavimo rizika j- pavojinga būsena i-tas išteklius, ; M i– pavojingų būsenų skaičius i– išteklius.
Išteklių „DB“ OS pavyzdžiai yra informacijos konfidencialumo pažeidimas, visiškas ar dalinis informacijos praradimas dėl laikmenos gedimo, prieigos pažeidimas.
Pagal i-ojo ištekliaus j-osios pavojingos būklės rizika suprantamas kaip tikimybės sandauga P ij ir nuostolių kaina C ij nuo šios pavojingos išteklių būklės suvokimo:
.
Taigi sistemos rizikos vertinimo užduotį galima suskirstyti į šiuos etapus:
1. sistemos išteklių struktūros aprašymas;
2. sistemos išteklių pavojingų būsenų rinkinio aprašymas;
3. tikimybių įvertinimas P ij pavojingų būsenų įgyvendinimas, įskaitant grėsmių įtakos pavojingų būsenų įgyvendinimui masto nustatymą;
4. įvertinti nuostolių kainą C ij nuo pavojingų būsenų realizavimo.
Pagrindinės loginio-tikimybinio metodo nuostatos
Loginis-tikimybinis sudėtingų techninių sistemų saugos analizės metodas buvo pasiūlytas XX amžiaus aštuntajame dešimtmetyje.
I. A. Ryabininas. Pagrindinė šio metodo idėja yra sujungti loginį ir tikimybinį metodą, vertinant sudėtingų techninių, ekonominių, socialinių sistemų ir kitų sistemų patikimumo rodiklius.
LVM sąvokos naudojamos kaip pagrindinės pavojinga sistemos būsena Ir pavojų – sistemos gebėjimas pereiti į pavojingą būseną. Pavojingos sistemos būklės aprašymas pradedamas kompiliavimu pavojaus scenarijus (OS), kuri sukurta naudojant operacijų disjunkciją ir jungtį per inicijavimo sąlygos Ir įvykius .
Vieno ar kelių sistemos elementų gedimai veikia kaip pradinės sąlygos ir įvykiai. Kiekvienas sistemos elementas yra susietas loginis kintamasis x k() su dviem galimomis būsenomis (pavyzdžiui, veikimas / gedimas, parengtis / nepasiekiamumas ir kt.) su nurodytais tikimybiniais šių būsenų parametrais p k Ir q k =1-p k.
Scenarijus yra loginės funkcijos arba logikos algebros (FAL) funkcijos, apibūdinančios pavojingą sistemos būseną, sudarymo pagrindas.
Kitas žingsnis – loginės algebros funkcijos pavertimas tikimybine funkcija, kuri toliau naudojama norint gauti kiekybinį pavojingos būsenos realizavimo tikimybės įvertinimą.
Taigi, viena vertus, metodas suteikia sistemos pavojingų būsenų rinkinio formalizavimo mechanizmą, kita vertus, teoriškai pagrįstą požiūrį į sistemos kiekybinį rizikos vertinimą.
Sistemai, susidedančiai iš įvairių išteklių, LVM naudojamas kiekybiniams pavojingų būsenų tikimybių įvertinimams kiekvienam išteklių tipui gauti. Savo ruožtu kiekvienas LVM išteklius taip pat laikomas atskira sistema.
Išteklių pavojingų būsenų realizavimo tikimybių įvertinimo problemos teiginys
Duota:
1. Išteklius su numeriu i, kurioms išskiriamos pavojingos būsenos Sij, , kur m yra galimų būsenų skaičius.
2. OS struktūra ir įvykių (grėsmių) inicijavimo tikimybės x k, .
Būtina rasti:
Tikimybės P ij pavojingų būsenų įgyvendinimas Sij, .
Sprendimo algoritmas
1 veiksmas: pavojingos būklės scenarijus Sij.
2 veiksmas: Būlio algebros funkcijos (FAL) kūrimas 
naudojant konjunkcijos ir disjunkcijos operacijas pagal pavojingos būsenos scenarijų Sij.
3 veiksmas. Tikimybių funkcijos (WF) kūrimas 
remiantis logikos algebros funkcija.
4 veiksmas. Tikimybių skaičiavimas P ij pavojingos būsenos realizavimas tikimybinės funkcijos pagalba.
LVM teoriniai pagrindai
Šiuo metu matematinė logika ir tikimybių teorija yra derinamos loginio-tikimybinio skaičiavimo pagrindu. Daroma prielaida, kad tikimybių teorija leidžia kiekybiškai įvertinti sistemų, kurių struktūra aprašyta matematine logika, patikimumą arba saugumą.
Pagrindinė LVM praktinio taikymo problema yra savavališkų FAL konvertavimas į perėjimo prie visiško pakeitimo (TFS) formas. Kad ši transformacija būtų standartinė ir matematiškai griežta, reikia kreiptis į specialų teorinį aparatą, kurio pagrindinės sąvokos ir teoremos bus pateiktos žemiau.
Darysime prielaidą, kad kiekvienas sistemos elementas yra priskirtas loginis kintamasis x k ,() su dviem galimomis būsenomis (sveika / gedimas, paruošta / neparengta ir tt) su nurodytais tikimybiniais šių būsenų parametrais p k Ir q k =1-p k :
Be to, daroma prielaida, kad visi įvykiai x k yra nepriklausomi visumoje ir kad nagrinėjamu sistemos veikimo laiko intervalu pradiniai elementų skirstinių dėsnių parametrai nekinta.
Formos išraiška 
paskambino elementarioji jungtis
K rangas r. Formos išraiška, kur yra skirtingų rangų elementarieji jungtukai, vadinama disjunkcinė normalioji forma
(DNF). Jei funkcija parašytas DNF, o kiekvieno elementariojo jungtuko rangas yra lygus n, tada toks DNF vadinamas tobula disjunkcinė normalioji forma
(SDNF).
Formos išraiška 
paskambino elementari disjunkcija
rangas r.
Du elementarieji jungtukai vadinami stačiakampis , jei jų sandauga lygi nuliui (pavyzdys: ir ).
DNF vadinamas stačiakampė disjunkcinė normalioji forma (ODNF), jei visi jo terminai poromis yra stačiakampiai.
Pasikartojantis DNF(BDNF) yra DNF, kuriame kiekvienas loginis kintamasis įvyksta tiksliai vieną kartą.
De Morgan taisyklės leisti loginį dauginimą išreikšti teiginių inversijų loginės sumos neigimu, o loginę sumą – atvirkštinių teiginių loginės sandaugos neigimu. Ateityje jie bus naudojami FAL perkėlimui į specialią formą:
Ir 
Tikimybinė funkcija(WF) vadinsime FAL tiesos tikimybę:
P(f(x 1 , x 2 , …, x h)=1 )
Logikos algebros funkcijas, leidžiančias tiesiogiai pereiti prie tikimybinės funkcijos, pakeičiant loginius kintamuosius tikimybėmis, o loginius veiksmus – atitinkamomis aritmetinėmis operacijomis, vadinsime perėjimo prie pakeitimo formos (FPZ).
Perėjimo prie visiško pakeitimo formos(FPZ) vadinami FPZ, kuriuose visi loginiai kintamieji keičiami vienu metu.
loginis skirtumas funkcijas 
argumentu x k paskambino
kur simbolis " " reiškia loginę operaciją "sum modulo two".
Funkcija 
paskambino monotoniškas
, jei bet kokiems rinkiniams ( a 1 , …, a h) Ir ( b 1 , …, b h), kad , ( k=1,2,…,h) yra ryšys f(a 1 , …, a h) f(b 1 , …, b h). Toliau apsvarstysime keletą pagrindinių teoremų.
1 teorema. Monotoninio FAL tiesos tikimybės dalinė išvestinė su argumento teisingumo tikimybe x k skaitine prasme yra lygus šios funkcijos Būlio skirtumo tiesos tikimybei argumento atžvilgiu x k:
2 teorema. Savavališko FAL tiesos tikimybė, pavaizduota ODNF, yra lygi visų stačiakampių šio FAL narių tiesos tikimybių sumai:
,
kur O tu yra ne tik elementarios ODNF jungtukai, bet ir bet kokie FAL, poriniai ortogonaliniai.
3 teorema. Stačiakampių nesikartojančių formų disjunkcija konjunkcijos-neigimo pagrindu yra perėjimo į visišką pakeitimą forma.
Šiuo metu yra žinomi keli FFPP: tobula disjunkcinė normalioji forma (PDNF), ortogoninė disjunkcinė normalioji forma (ODNF) ir nesikartojantys FAL (BFAL) konjunkcijos neigimo pagrindu.
Jei FAL pavaizduotas FPPZ, tada perėjimas prie tikimybinės funkcijos atliekamas pagal šias taisykles:
1. Kiekvienas FFPP loginis kintamasis pakeičiamas tikimybe, kad jis bus lygus vienetui:
, ;
2. Funkcijos neigimas pakeičiamas skirtumu tarp vieneto ir tikimybės, kad ši funkcija lygi vienetui;
3. Loginės daugybos ir sudėties operacijos pakeičiamos aritmetinio daugybos ir sudėjimo operacijomis.
Pavojingos būklės scenarijus
Pavojingos IS būsenos scenarijaus sudarymas gali būti pavaizduotas kaip tokia veiksmų seka:
1. galutinio įvykio parinkimas – pavojinga būsena (gedimas),
2. tarpinių įvykių, vedančių į pavojingos būsenos realizavimą ir gaunamų kaip dviejų ar daugiau pradinių įvykių derinys, parinkimas,
3. inicijuojančių įvykių-grėsmių parinkimas.
Pavojingai būsenai pavaizduoti naudojamas įvykių arba gedimų medis.
Ant pav. 5.2 pateiktas pavojingos būsenos scenarijaus pavyzdys įvykių medžio pavidalu.
Ryžiai. 5.2. Įvykių medžio, skirto pavojingai sistemos būsenai apibūdinti, pavyzdys
Būlio algebros funkcijos kūrimas
Naudojant įvykių medį, sudaroma loginės algebros funkcija, kuri apibūdina sistemos perėjimo į pavojingą būseną sąlygas.
Norėdami apibūdinti sistemos perėjimo į pavojingą būseną sąlygas, sąvoka " trumpiausias kelias iki pavojingos operacijos » (KPOF), kuris suprantamas kaip minimalaus sistemos elementų rinkinio, kuris kartu užtikrina sistemos perėjimą į pavojingą būseną, junginys:
,
kur Kwl yra kintamųjų skaičių, atitinkančių nurodytą kelią, rinkinys.
Sistemos perėjimo į pavojingą būseną sąlyga gali būti pavaizduotas kaip visų turimų KPOF disjunkcija:
.
Pavyzdys. Tegul įvykių medis turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 5.2.
Tada KPOF yra: , , , .
Sistemos perėjimo į pavojingą būseną sąlyga yra tokia:
Tikimybių funkcijos konstravimas
Ankstesniame etape buvo gautas FAL 
, kuris apibūdina pavojingą sistemos būseną kaip visų KPOF disjunkciją. Kitas žingsnis yra FAL konvertavimas į FPPP – SDNF, ODNF arba nesikartojantį FAL konjunkcijos neigimo pagrindu (BFAL).
Tikimybinės funkcijos konstravimas, pagrįstas FPP, atliekamas pagal aukščiau aprašytas taisykles. Šio etapo rezultatas yra tikimybės funkcija
Pavojingos būklės realizavimo tikimybės įverčio apskaičiavimas
Pakeičiančios vertybes 
ankstesniame etape gautame WF gauname pavojingos būsenos realizavimo tikimybės įvertį P ij.
Pavyzdys
Panagrinėkime LVM panaudojimo pavyzdį pavojingos būsenos „IS duomenų bazės (IS DB) konfidencialumo pažeidimas“ įgyvendinimo rizikai įvertinti.
1 žingsnis. Pavojingos ištekliaus būsenos scenarijus (5.3 pav.).
Ryžiai. 5.3. Scenarijus OS "DB IS konfidencialumo pažeidimas"
2 žingsnis Loginės algebros funkcijos kūrimas Pagal aprašytą scenarijų loginė funkcija yra tokia:
F=X 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 x 12 x 13 x 14 x 15
Loginių-tikimybinių metodų esmė slypi loginių algebros funkcijų (FAL) panaudojime analitiniam sistemos veikimo sąlygų fiksavimui ir perėjimu nuo FAL prie tikimybinių funkcijų (WF), kurios objektyviai išreiškia sistemos patikimumą. Tie. taikant loginį-tikimybinį metodą, matematinės logikos aparatu galima aprašyti IC grandines patikimumui skaičiuoti, o vėliau – tikimybių teorijos panaudojimas nustatant patikimumo rodiklius.
Sistema gali būti tik dviejų būsenų: visiško veikimo ( adresu= 1) ir visiško gedimo būsenoje ( adresu= 0). Daroma prielaida, kad sistemos veikimas deterministiškai priklauso nuo jos elementų veikimo, t.y. adresu yra funkcija X 1 , X 2 , … , x i , … , x n. Elementai taip pat gali būti tik dviejų nesuderinamų būsenų: visiškos sveikatos ( x i= 1) ir visiškas gedimas ( x i = 0).
Logikos algebros funkcija, siejanti elementų būseną su sistemos būkle adresu (X 1 , X 2 ,…,xn) yra vadinami sveikatos funkcija sistemos F(y)= 1.
Norint įvertinti veikiančias sistemos būsenas, naudojamos dvi sąvokos:
1) trumpiausias sėkmingo veikimo kelias (KPUF), kuris yra toks jo elementų junginys, kurio nė vienas komponentas negali būti pašalintas nepažeidžiant sistemos veikimo. Toks jungtukas parašytas tokiu FAL:
kur i– priklauso skaičių aibei, atitinkančiai duotąją
l-mu būdu.
Kitaip tariant, sistemos KPUF apibūdina vieną iš galimų jos veikiančių būsenų, kurią lemia minimalus veikiančių elementų rinkinys, kuris yra būtinai reikalingas sistemai nurodytoms funkcijoms atlikti.
2) minimalus sistemos gedimo skerspjūvis (MSF), kuris yra toks jo elementų neigimų junginys, kurio nė vienas komponentas negali būti pašalintas nepažeidžiant sistemos neveikimo sąlygų. Toks jungtukas gali būti parašytas tokiu FAL:
kur žymi skaičių aibę, atitinkančią nurodytą skyrių.
Kitaip tariant, sistemos MCO aprašo vieną iš galimų būdų sutrikdyti sistemą naudojant minimalų sugedusių elementų rinkinį.
Kiekviena perteklinė sistema turi ribotą trumpiausių kelių skaičių ( l= 1, 2,…, m) ir minimalūs skerspjūviai ( j = 1, 2,…, m).
Naudodamiesi šiomis sąvokomis galime užrašyti sistemos veikimo sąlygas.
1) visų galimų trumpiausių kelių sėkmingam veikimui disjunkcija.
;
2) visų MCO neigimų konjunkcijos forma
;
Taigi realios sistemos veikimo sąlygos gali būti vaizduojamos kaip kokios nors lygiavertės (patikimumo požiūriu) sistemos, kurios struktūra yra trumpiausių sėkmingo veikimo kelių lygiagretus ryšys, arba kitos lygiavertės sistemos, struktūros, veikimo sąlygos. iš kurių yra minimalių atkarpų neiginių derinys.
Pavyzdžiui, IC tilto struktūrai, sistemos sveikatos funkcija naudojant KPUF bus parašyta taip:
;
tos pačios sistemos veikimo funkcija per MCO gali būti parašyta tokia forma:
Esant nedideliam elementų skaičiui (ne daugiau kaip 20), patikimumui apskaičiuoti gali būti naudojamas lentelės metodas, pagrįstas jungtinių įvykių tikimybių sudėjimo teoremos naudojimu.
Tikimybę, kad sistema veiks be gedimų, galima apskaičiuoti pagal formulę (per tikimybinę formos funkciją):
Loginiai-tikimybiniai metodai (metodai: pjovimas, lentelė, ortogonalizacija) yra plačiai naudojami diagnostinės procedūros statant gedimų medžius ir nustatant pagrindinius (pradinius) įvykius, dėl kurių sistema sugenda.
Kompiuterinės sistemos su sudėtinga atleidimo struktūra patikimumui galima naudoti statistinio modeliavimo metodą.
Metodo idėja yra generuoti loginius kintamuosius x i su nurodyta vieneto atsiradimo tikimybe pi, kurie savavališkai pakeičiami į modeliuojamos sistemos loginę struktūrinę funkciją, o tada apskaičiuojamas rezultatas.
Suvestinė X 1 , X 2 ,…, x n nepriklausomi atsitiktiniai įvykiai, sudarantys visą grupę, apibūdinami kiekvieno įvykio tikimybe p(x i), ir .
Norint imituoti šį atsitiktinių įvykių rinkinį, naudojamas atsitiktinių skaičių generatorius, tolygiai paskirstytas intervale
Reikšmė pi parenkamas lygus veikimo be gedimų tikimybei i posistemis. Tokiu atveju skaičiavimo procesas kartojamas N 0 kartų su naujomis nepriklausomomis atsitiktinių argumentų reikšmėmis x i(tai skaičiuoja skaičių N(t) atskiros loginės struktūrinės funkcijos reikšmės). Požiūris N(t)/N 0 yra statistinis veikimo laiko tikimybės įvertinimas
kur N(t) – nepriekaištingai veikiančių iki tam tikro momento skaičius t objektai su pirminiu numeriu.
Atsitiktinių Būlio kintamųjų generavimas x i su nurodyta tikimybe atsirasti vienas p i atliekama remiantis tolygiai intervale paskirstytais atsitiktiniais dydžiais, gautais naudojant standartines programas, įtrauktas į visų šiuolaikinių kompiuterių programinę įrangą.
1. Pavadinkite IS patikimumo vertinimo metodą, kai sistemos veikimo be gedimų tikimybė apibrėžiama kaip Rn ≤R su ≤R in.
2. Kurių sistemų patikimumui apskaičiuoti naudojamas takų ir atkarpų metodas?
3. Kokiu metodu galima įvertinti tiltinio tipo įrenginių patikimumą?
4. Kokie yra žinomi atkuriamų sistemų patikimumo rodiklių nustatymo metodai?
5. Struktūriškai pavaizduokite tilto grandinę kaip minimalių takų ir atkarpų rinkinį.
6. Apibrėžkite minimalų kelią ir mažiausią atkarpą.
7. Įrašyti šakotojo įrenginio sveikatos funkciją?
8. Kas vadinama sveikatos funkcija?
9. Koks trumpiausias kelias į sėkmingą veiklą (KPUF). Užrašykite darbo sąlygas KPUF forma.
10. Kur taikomas loginis-tikimybinis patikimumo vertinimo metodas?
Literatūra: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Tema: Atkuriamų sistemų patikimumo skaičiavimas (diferencialinių lygčių metodas)
1. Bendrieji atkuriamų sistemų patikimumo skaičiavimo metodai.
2. Galimų sistemos būsenų grafiko sudarymas atkurtų sistemų patikimumui įvertinti.
3. Diferencialinių lygčių sistemų (SDE) metodas, SDE sudarymo Kolmogorovo taisyklė
4. SDE sprendimo normalizavimas ir pradinės sąlygos.
Raktažodžiai
Atkuriamoji sistema, kiekybinės patikimumo charakteristikos, būsenos grafikas, veikianti būsena, diferencialinių lygčių sistema, Kolmogorovo taisyklė, be gedimų veikimo tikimybė, atkūrimo greitis, gedimų dažnis, normalizavimo sąlygos, pradinės sąlygos, patikimumo parametrai, neperteklinė sistema.
Pagrindinis suprojektuotų IS patikimumo skaičiavimo uždavinys yra matematinių modelių, adekvačių jų funkcionavimo tikimybiniams procesams, sukūrimas. Šie modeliai leidžia įvertinti suprojektuotų ar eksploatuojamų sistemų patikimumo reikalavimų tenkinimo laipsnį.
Matematinio modelio tipas nulemia galimybę gauti skaičiavimo formules. Atkuriamų perteklinių ir neperteklinių sistemų patikimumui apskaičiuoti naudojami: integralinių lygčių metodas, diferencialinių lygčių metodas, pereinamųjų intensyvumų metodas, patikimumo įvertinimo galimų būsenų grafiku ir kt. .
Integralinių lygčių metodas. Integralinių lygčių metodas yra pats bendriausias, juo galima apskaičiuoti bet kurios (atkuriamos ir neatkuriamos) sistemos patikimumą bet kokiam FBG pasiskirstymui ir atkūrimo laikui.
Šiuo atveju, norint nustatyti sistemos patikimumo rodiklius, sudaromos ir išsprendžiamos integralinės ir integralinės diferencialinės lygtys, kurios susieja FBG skirstinio charakteristikas, o atkurtoms sistemoms – elementų atsistatymo laiką.
Sudarant integralias lygtis paprastai išskiriamas vienas ar keli be galo maži laiko intervalai, kuriems laikomi sudėtingi įvykiai, pasireiškiantys kartu veikiant keliems veiksniams.
Bendruoju atveju sprendimai randami skaitiniais metodais, naudojant kompiuterį. Integralinių lygčių metodas nėra plačiai naudojamas dėl sprendimo sudėtingumo.
Diferencialinių lygčių metodas. Metodas naudojamas atkuriamų objektų patikimumui įvertinti ir remiasi eksponentinio laiko tarp gedimų (darbo laiko) ir atkūrimo laiko pasiskirstymo prielaida. Šiuo atveju gedimo srauto parametras w =λ = 1/t cp . ir atkūrimo intensyvumas µ = 1/ t in, kur t cp .- vidutinis veikimo laikas, t in yra vidutinis atkūrimo laikas.
Norint taikyti metodą, būtina turėti galimų sistemos būsenų aibės matematinį modelį S ={S 1 , S 2 ,…, S n), kuriame jį galima rasti sistemos gedimų ir atkūrimo metu. Kartas nuo karto sistema S peršoka iš vienos būsenos į kitą veikiant gedimams ir atskirų jos elementų atstatymams.
Analizuojant sistemos elgseną laiku susidėvėjimo metu, patogu naudoti būsenos grafiką. Būsenos grafikas yra nukreiptas grafikas, kuriame apskritimai arba stačiakampiai reiškia galimas sistemos būsenas. Jame yra tiek viršūnių, kiek gali būti įvairių objekto ar sistemos būsenų. Grafiko kraštai atspindi galimus perėjimus iš vienos būsenos į visas kitas su gedimo ir atkūrimo rodiklių parametrais (šalia rodyklių rodomi perėjimų greičiai).
Kiekvienas sugedusių ir veikiančių posistemių būsenų derinys atitinka vieną sistemos būseną. Sistemos būsenų skaičius n= 2k, kur k– posistemių (elementų) skaičius.
Ryšys tarp tikimybių rasti sistemą visose galimose būsenose išreiškiamas Kolmogorovo diferencialinių lygčių (pirmos eilės lygčių) sistema.
Kolmogorovo lygčių struktūra sudaryta pagal šias taisykles: kiekvienos lygties kairėje pusėje parašyta tikimybės, kad objektas bus nagrinėjamoje būsenoje (grafo viršūnė), išvestinė, o dešinėje – tiek pat. nariai, nes yra su šia viršūne susietos būsenos grafiko briaunos. Jei briauna nukreipta iš tam tikros viršūnės, atitinkamas terminas turi minuso ženklą, jei į nurodytą viršūnę – pliuso ženklą. Kiekvienas narys yra lygus gedimo (atkūrimo) intensyvumo parametro, susieto su tam tikra briauna, sandaugai ir tikimybės būti grafiko, iš kurio kyla briauna, viršūnėje.
Kolmogorovo lygčių sistema apima tiek lygčių, kiek viršūnių yra objekto būsenos grafike.
Diferencialinių lygčių sistema papildyta normalizavimo sąlyga:
kur Pj(t j-toji valstybė;
n yra galimų sistemos būsenų skaičius.
Lygčių sistemos sprendimas konkrečiomis sąlygomis duoda norimų tikimybių reikšmę Pj(t).
Visas galimų sistemos būsenų rinkinys yra padalintas į dvi dalis: būsenų poaibį n 1 , kurioje veikia sistema, ir būsenų poaibį n 2, kai sistema neveikia.
Sistemos paruošimo funkcija:
KAM G 
,
kur Pj(t) yra tikimybė rasti sistemą j darbo būklė;
n 1 yra būsenų, kuriose sistema veikia, skaičius.
Kai reikia apskaičiuoti sistemos prieinamumo koeficientą arba prastovos koeficientą (leidžiami sistemos pertrūkiai), atsižvelkite į pastovų veikimą t→∞. Šiuo atveju visos išvestinės ir diferencialinių lygčių sistema paverčiama algebrinių lygčių sistema, kurios yra lengvai išsprendžiamos.
Neperteklinės atkuriamos sistemos būsenos grafiko pavyzdys su n- elementai parodyti fig. vienas.
Ryžiai. 1. Atkurtos sistemos būsenų grafikas (tamsesnės būsenos rodo neveikiančias būsenas)
Apsvarstykite galimas būsenas, kuriose gali būti sistema. Čia galimos šios būsenos:
S 0 - visi elementai veikia;
S 1 - pirmasis elementas neveikia, likusieji veikia;
S 2 - antrasis elementas neveikia, likusieji veikia;
S n – n Antrasis elementas neveikia, o kiti veikia.
Tikimybė, kad vienu metu pasirodys du neveikiantys elementai, yra nereikšminga. Simboliai λ 1 , λ2 ,…, λ n nurodomi gedimų rodikliai, µ 1 , µ 2 ,…, µ n atitinkamų elementų atkūrimo intensyvumas;
Pagal būsenų grafiką (1 pav.) jie sudaro diferencialinių lygčių sistemą (būsenos lygtį). S 0 praleistas dėl sudėtingumo):
Esant normalizavimo sąlygai: .
Pradinės sąlygos:
Esant pastoviam režimui (kai t→∞) turime:
Išsprendę gautą algebrinių lygčių sistemą, atsižvelgdami į normalizavimo sąlygą, randame patikimumo rodiklius.
Sprendžiant lygčių sistemą, galima naudoti Laplaso transformaciją būsenų tikimybei arba skaitiniams metodams.
Kontroliniai klausimai ir užduotys
1. Kokie yra žinomi atkuriamų sistemų patikimumo rodiklių nustatymo metodai?
2. Kaip nustatomos IS elementų ir įrenginių būsenos?
3. Kaip nustatyti sveikų sistemos būsenų sritis?
4. Kodėl diferencialinių lygčių metodas plačiai taikomas vertinant atkurtų sistemų patikimumą?
5. Kokia būtina sąlyga sprendžiant diferencialinių lygčių sistemas?
6. Kaip sudaromos diferencialinės lygtys IS patikimumo parametrams nustatyti?
7. Kokią sąlygą reikėtų įtraukti į diferencialinių lygčių sistemą (SDE), kad sprendimas būtų efektyvesnis.
8. Užrašykite sistemos, susidedančios iš trijų elementų, veikimo sąlygas.
9. Kiek yra įrenginio, susidedančio iš keturių elementų, būsenų?
10. Kokia taisyklė naudojama sudarant CDS?
Literatūra: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Tema: Markovo modeliai, skirti perteklinių atkuriamų informacinių sistemų patikimumui įvertinti
1. Markovo savybės samprata, sistemos būsenos apibrėžimas.
2. Markovo modelio konstravimo metodika ir algoritmas.
3. Skaičiavimo formulės transporto priemonės patikimumo rodikliams apskaičiuoti
4. Pereinamojo laikotarpio intensyvumo matrica, skirta perteklinių atkuriamų IC patikimumo rodikliams įvertinti.
Raktažodžiai
Markovo modelis, sistemos būsena, našumas, perėjimo intensyvumo matrica, būsenos grafikas, atkuriama sistema, perteklius, nuosekli grandinė, pastovus rezervas, diferencialinių lygčių sistema, Kolmogorovo taisyklė, patikimumo skaičiavimo schema, apytikslis metodas, SDE konstravimo algoritmai, normalizavimo sąlygos, pradinės sąlygos , veikimo be gedimų tikimybė, gedimų dažnis.
IS ir jų komponentų veikimas gali būti pavaizduotas kaip perėjimo iš vienos būsenos į kitą procesų visuma, veikiama bet kokių priežasčių.
Atkurtų IS patikimumo požiūriu jų būsena kiekvienu laiko momentu apibūdinama tuo, kuris iš elementų veikia, o kurie yra atkuriami.
Jei kiekvienas galimas veikiančių (neveikiančių) elementų rinkinys yra susietas su objekto būsenų rinkiniu, tada elementų gedimai ir atstatymai bus rodomi objektui pereinant iš vienos būsenos į kitą:
Pavyzdžiui, tegul objektas susideda iš dviejų elementų. Tada jis gali būti vienoje iš keturių būsenų: n = 2k = 2 2 = 4.
S 1 - abu elementai veikia;
S 2 - neveikia tik pirmasis elementas;
S 3 - tik antrasis elementas neveikia;
S 4 – abu elementai neveikia.
Galimų objektų rinkinys nurodo: S ={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.
Visas tiriamos sistemos būsenų rinkinys gali būti atskiras arba tęstinis (nepertraukiamai užpildykite vieną ar daugiau skaitinės ašies intervalų).
Toliau apžvelgsime sistemas su diskrečiąja būsenos erdve. Tokios sistemos būsenų seka ir perėjimo iš vienos būsenos į kitą procesas vadinama grandine.
Atsižvelgiant į laiką, kurį sistema praleidžia kiekvienoje būsenoje, išskiriami procesai su nepertraukiamu laiku ir procesai su diskrečiu laiku. Nepertraukiamo laiko procesuose sistemos perėjimas iš vienos būsenos į kitą vyksta bet kuriuo metu. Antruoju atveju laikas, kurį sistema praleidžia kiekvienoje būsenoje, yra fiksuojamas taip, kad perėjimo momentai laiko ašyje būtų išdėstyti vienodais intervalais.
Šiuo metu labiausiai ištirtos grandinės su Markovo savybe. Perėjimo tikimybės žymimos simboliais P ij(t), ir procesas P ij perėjimai vadinami Markovo grandine arba Markovo grandine.
Markovo nuosavybė yra susijusi su pasekmės nebuvimu. Tai reiškia, kad sistemos elgesys ateityje priklauso tik nuo jos būsenos tam tikru momentu ir nepriklauso nuo to, kaip ji į šią būseną atėjo.
Markovo procesai leidžia aprašyti gedimų-atstatymų sekas sistemose, aprašytose naudojant būsenos grafiką.
Dažniausiai naudojamas patikimumo skaičiavimo metodas yra nepertraukiamo laiko Markovo grandinės, pagrįstos diferencialinių lygčių sistema, kurią matricos forma galima parašyti taip:
,
kur P(t)=P 0 – pradinės sąlygos;
,
o Λ yra perėjimo intensyvumo matrica (koeficiento prie būsenos tikimybių matrica):
kur λ ij– sistemos perėjimo iš i-osios būsenos į j-ąją intensyvumas;
Pj yra tikimybė, kad sistema yra j-oje būsenoje.
Vertinant sudėtingų perteklinių ir atkuriamų sistemų patikimumą, Markovo grandinės metodas lemia sudėtingus sprendimus dėl didelio būsenų skaičiaus. To paties tipo posistemių, veikiančių tomis pačiomis sąlygomis, atveju, siekiant sumažinti būsenų skaičių, naudojamas agregavimo metodas. Sujungiamos valstybės, turinčios tiek pat posistemių. Tada lygčių matmenys mažėja.
Perteklinių atkuriamų sistemų patikimumo įvertinimo Markovo grandinės metodu metodikos seka yra tokia:
1. Išanalizuojama įrenginio sudėtis ir sudaroma patikimumo struktūrinė diagrama. Pagal schemą sudaromas grafikas, kuriame atsižvelgiama į visas įmanomas būsenas;
2. Visos grafo viršūnės blokinės diagramos analizės rezultate yra suskirstytos į du poaibius: viršūnes, atitinkančias operatyvią sistemos būseną, ir viršūnes, atitinkančias sistemos neveikiančią būseną.
3. Būsenos grafo pagalba sudaroma diferencialinių lygčių sistema (naudojama Kolmogorovo taisyklė);
4. Parenkamos pradinės problemos sprendimo sąlygos;
5. Nustatomos tikimybės, kad sistema bus darbinėje būsenoje tam tikru laiko momentu;
6. Nustatyta tikimybė, kad sistema veiks be problemų;
7. Jei reikia, nustatomi kiti rodikliai.
Kontroliniai klausimai ir užduotys
1. Ką reiškia Markovo grandinė?
2. Pateikite IS patikimumo įvertinimo algoritmą naudojant Markovo modelius.
3. Kaip sudaromos diferencialinės lygtys IS patikimumo parametrams nustatyti?
4. Kokių patikimumo rodiklių reikšmę galima gauti naudojant Markovo metodą?
5. Išvardykite pagrindinius Markovo modelio kūrimo etapus kompleksinės sistemos patikimumui.
6. Kokia būtina sąlyga sprendžiant diferencialinių lygčių sistemas?
7. Kaip nustatomos CS elementų ir įrenginių būsenos?
8. Apibrėžkite atkuriamų sistemų sąvoką.
9. Kas yra Markovo grandinėlė?
10. Kokios sistemos vertinamos naudojant Markovo patikimumo modelius?
Literatūra: 1, 2, 3, 10, 11.
Tema: Apytiksliai IS techninės įrangos patikimumo skaičiavimo metodai
1. Pagrindinės prielaidos ir apribojimai vertinant nuosekliųjų lygiagrečių konstrukcijų patikimumą.
2. Apytiksliai atkuriamų IC patikimumo skaičiavimo metodai, nuosekliai ir lygiagrečiai įtraukiant IC posistemius.
3. IS patikimumo skaičiavimo struktūrinės schemos.
Raktažodžiai
Patikimumas, nuoseklioji lygiagreti struktūra, apytiksliai patikimumo skaičiavimo metodai, patikimumo skaičiavimo blokinė diagrama, gedimų dažnis, atkūrimo rodiklis, prieinamumo koeficientas, atkūrimo laikas, kompiuterinė sistema.
maitinimo šaltinis naudojant gedimų medį
Loginis-tikimybinis metodas, naudojant gedimų medį, yra dedukcinis (nuo bendro iki konkretaus) ir naudojamas tais atvejais, kai skirtingų sistemos gedimų skaičius yra palyginti mažas. Gedimų medžio naudojimas sistemos gedimo priežastims aprašyti palengvina perėjimą nuo bendro gedimo apibrėžimo prie konkrečių gedimų apibrėžimų ir jo elementų veikimo režimų, kurie yra suprantami tiek pačios sistemos, tiek elementų kūrėjams. . Perėjimas nuo gedimų medžio prie loginio gedimo funkcijos atveria galimybes formaliai analizuoti sistemos gedimo priežastis. Loginio gedimo funkcija leidžia gauti analitinio sistemos gedimų dažnio ir tikimybės skaičiavimo formules, remiantis žinomu elementų gedimų dažnumu ir tikimybe. Analitinių išraiškų naudojimas skaičiuojant patikimumo rodiklius suteikia pagrindą taikyti tikslumo teorijos formules, kad būtų galima įvertinti rezultatų šaknies-vidurtinę paklaidą.
Objekto, veikiančio kaip sudėtingas įvykis, gedimas yra veikimo sutrikimo įvykio ir įvykio suma 
, susidedantis iš kritinių išorinių poveikių atsiradimo. Sistemos gedimo sąlygą formuluoja konkrečių sistemų srities specialistai, remdamiesi techniniu sistemos projektu ir jos veikimo analize įvykus įvairiems įvykiams naudojant pareiškimus.
Teiginiai gali būti galutiniai, tarpiniai, pirminiai, paprasti, sudėtingi. Paprastas pasiūlymas reiškia įvykį ar būseną, kuri pati nėra laikoma kitų įvykių ar būsenų logine suma „ARBA“ arba loginiu sandauga „IR“. Kompleksinis teiginys, kuris yra kelių teiginių (paprastų ar sudėtingų) disjunkcija, nurodomas operatoriumi „ARBA“, kuris žemesnio lygio teiginius jungia su aukštesnio lygio teiginiais (3.15 pav., a). Kompleksinis teiginys, kuris yra kelių teiginių (paprastų ar sudėtingų) junginys, nurodomas operatoriumi „AND“, kuris žemesnio lygio teiginius jungia su aukštesnio lygio teiginiais (3.15 pav., b).
3.15 pav. Loginio vaizdavimo elementai
Patogu užkoduoti teiginius taip, kad pagal kodą būtų galima spręsti, ar jis paprastas ar sudėtingas, kokiame lygyje nuo galutinio jis yra ir kas tai yra (įvykis, būsena, operacijos gedimas, elemento tipas) .
Grafų teorijoje medis yra sujungtas grafikas, kuriame nėra uždarų kontūrų. Gedimų medis – tai loginis medis (3.16 pav.), kuriame lankai vaizduoja gedimų įvykius sistemos, posistemių ar elementų lygyje, o viršūnės – loginės operacijos, susiejančios pradinį ir atsiradusią gedimo įvykius.
Ryžiai. 3.16. Gedimų medžio kūrimo pavyzdys
Gedimų medžio konstravimas prasideda galutinio teiginio apie sistemos gedimą suformulavimu. Siekiant apibūdinti sistemos patikimumą, galutinis teiginys nurodomas į įvykį, kuris tam tikromis sąlygomis sukelia gedimą per nagrinėjamą laiko intervalą. Tas pats pasakytina apie pasirengimo charakteristikas.
8 pavyzdys. Sukurkime 3.17 pav. parodytos tinklo diagramos gedimų medį.
3.17 pav. Tinklo diagrama
Pastotės IN Ir NUO maitinama pastotėmis BET. Galutinis gedimų medžio įvykis yra visos sistemos gedimas. Ši nesėkmė apibrėžiama kaip įvykis, kuris
1) arba pastotė IN arba pastotę NUO visiškai prarasti maistą;
2) galia tiekti bendrai pastočių apkrovai IN Ir NUO turi būti perduodama viena linija.
Remdamiesi pabaigos įvykio apibrėžimu ir sistemos schema, sudarome gedimų medį (žemyn nuo pabaigos įvykio) (3.18 pav.). Gedimų medžio analizės tikslas – nustatyti pabaigos įvykio tikimybę. Kadangi galutinis įvykis yra sistemos gedimas, analizė suteikia tikimybę R(F).
Analizės metodas pagrįstas aibių suradimu ir apskaičiavimu minimalūs skyriai. skerspjūvis Vadinamas elementų rinkinys, kurio visiškas gedimas sukelia sistemos gedimą. Minimali sekcija yra toks elementų rinkinys, iš kurio negalima pašalinti nei vieno elemento, kitaip jis nustoja būti sekcija.
Judėdami vienu lygiu žemyn nuo viršūnės (pabaigos) įvykio, pereiname per „OR“ mazgą, kuris rodo trijų sekcijų egzistavimą: ( P}, {K}, {R} (R,K, R– nesėkmės įvykiai). Kiekvieną iš šių ruožų galima suskirstyti į daugiau atkarpų, tačiau gali būti nustatyta, kad atkarpų gedimą sukelia keli įvykiai, priklausomai nuo to, kokio tipo loginis mazgas aptinkamas maršrute.
3.18 pav. Sistemos gedimų medis pagal schemą pav. 3.17:
– posistemių gedimai, kuriuos galima toliau analizuoti;
Pavyzdžiui, (Q) pirmiausia virsta sekcija (3, T), tada T padalintas į skyrius ( X, Y), todėl vietoj vienos dalies (3, T) pasirodo du: (3, X}, {3,At}.
Kiekviename paskesniame etape nustatomi sekcijų rinkiniai:
Minimalūs skyriai yra skiriamieji skyriai (3,4,5), (2.3), (1.3), (1.2). Skyrius (1,2,3) nėra minimalus, nes (1,2) taip pat yra skyrius. Paskutiniame etape sekcijų rinkinius sudaro tik elementai.
Metodas pagrįstas matematiniu logikos algebros aparatu. Valdymo sistemos patikimumo skaičiavimas apima ryšį tarp sudėtingo įvykio (sistemos gedimo) ir įvykių, nuo kurių jis priklauso (sistemos elementų gedimai). Vadinasi, patikimumo skaičiavimai grindžiami operacijų su įvykiais ir teiginiais atlikimu, kurie priimami kaip teiginiai apie elemento (sistemos) veikimą ar gedimą. Kiekvienas sistemos elementas yra pavaizduotas loginiu kintamuoju, kurio reikšmė yra 1 arba 0.
Įvykiai ir teiginiai disjunkcijos, konjunkcijos ir neigimo operacijų pagalba sujungiami į logines lygtis, atitinkančias sistemos veikimo sąlygą. Sudaroma loginė sveikatos funkcija. Skaičiavimas, pagrįstas tiesioginiu loginių lygčių naudojimu, vadinamas loginiu-tikimybiniu ir atliekamas septyniais etapais:
1. Žodinis objekto eksploatavimo sąlygų suformulavimas. Aprašoma informacinės sistemos sveikatos priklausomybė nuo atskirų jos elementų būklės.
2. Sveikatos loginės funkcijos sudarymas. Tai loginė lygtis, atitinkanti valdymo sistemos veikimo sąlygą
kuris išreiškiamas disjunktyvine forma, pavyzdžiui:
kur x i yra veikimo sąlyga i - elementas Fl; X i = 1 yra veikianti būsena, X i = 0 yra neveikianti būsena.
3. Sveikatos F L loginės funkcijos suvedimas į stačiakampę nesikartojančią formą F L . Sudėtinga loginė darbingumo funkcija turi būti sumažinta iki stačiakampės, nesikartojančios formos.
Formos (2.2) funkcija vadinama stačiakampe, jei visi jos nariai D i yra poriniai stačiakampiai (tai yra, jų sandauga lygi nuliui), ir nesikartojančia, jei kiekvienas jos narys D i susideda iš raidžių xi , su skirtingomis skaičiai (ty nėra pasikartojančių argumentų ), pavyzdžiui: elementariųjų jungtukų x 1, x 2, x 4 ir x 3, x 2 sandauga yra nulis, nes viename iš jų yra x2, ir kitas x2, todėl jie yra stačiakampiai; D 1 \u003d x 1 × x 2 × x 2, kur x2 ir x 2 turi tą patį skaičių, todėl terminas D 1 nesikartoja.
– stačiakampė nesikartojanti forma;
- stačiakampė, bet ne pasikartojanti forma.
Funkcija F l gali būti transformuota į stačiakampę nesikartojančią formą F lo, naudojant sudėtingų teiginių transformacijos dėsnius ir taisykles. Skaičiuojant dažniausiai naudojamos šios taisyklės:
1) x 1 × x 2 \u003d x 2 × x 1;
4. Aritmetizavimas F lo. Aritmetinė funkcija F a (2.3) nustatoma pagal rastą stačiakampę nesikartojančią darbingumo F LO loginę funkciją.
čia A i – funkcijos F lo terminų D i aritmetinė forma.
Terminų D i aritmetizavimas bendra forma, kuriame yra disjunkcijos, konjunkcijos ir neigimo operacijos, atliekama pakeičiant logines operacijas aritmetinėmis pagal taisykles:
5. Sistemos veikimo be gedimų tikimybės nustatymas.
Sistemos veikimo be gedimų tikimybė nustatoma kaip loginės sveikatos funkcijos tiesos tikimybė, pateikta stačiakampe nesikartojančia forma, ir apskaičiuojama kaip visų stačiakampių sistemos narių tiesos tikimybių suma. ši loginės algebros funkcija. Visi įvykiai (teiginiai) pakeičiami jų tikimybėmis (atitinkamų elementų be gedimų veikimo tikimybėmis).
