Išsami teorija su pavyzdžiais (2019). Aritmetinės progresijos narių suma. Aritmetinė progresija. vidutinis lygis

Taigi, susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju - jų). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris pirmasis, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų sekai:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir -tasis skaičius) visada yra vienas.
Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui:.

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaitinę seką, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Ši skaičių seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ dar VI amžiuje įvedė romėnų autorius Boethius ir jis buvo suprantamas platesne prasme kaip nesibaigianti skaičių seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kuria užsiėmė senovės graikai.

Tai skaitinė seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridedamas prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinės progresijos, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratau? Palyginkime savo atsakymus:
Yra aritmetinė progresija - b, c.
Nėra aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Prie ankstesnės progresijos skaičiaus reikšmės galime pridėti tol, kol pasieksime progresijos narį. Gerai, kad apibendrinti liko nedaug – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos narys yra lygus.

2. Metodas

O kas, jei mums reikėtų rasti progresijos e-nojo nario vertę? Sumavimas užtruktų ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad nesuklysime sudėję skaičius.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kuriuo aritmetinės progresijos skirtumo nereikia pridėti prie ankstesnės reikšmės. Atidžiai pažiūrėkite į piešinį, kurį nupiešėte... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą raštą, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, kaip pridedama šios aritmetinės progresijos nario reikšmė:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu savarankiškai rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario reikšmę.

Apskaičiuota? Palyginkite savo pastabas su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės paeiliui pridėjome aritmetinės progresijos narius.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę – pateiksime ją į bendrą formą ir gausime:

Aritmetinės progresijos lygtis.

Aritmetinė progresija didėja, o kartais mažėja.

Kylantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė narių reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė narių reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant aritmetinės progresijos didėjimo ir mažėjimo terminus.
Patikrinkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei jį apskaičiuosime naudodami savo formulę:

Nuo tada:

Taigi įsitikinome, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite patys rasti šios aritmetinės progresijos angą ir angą.

Palyginkime gautus rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Apsunkinkime užduotį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums pateikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Lengva, sakai ir pradedi skaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Leiskite, a, tada:

Visiškai teisus. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tai tame nėra nieko sudėtingo, bet jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra tikimybė, kad skaičiavimuose suklysite.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu veiksmu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir mes dabar bandysime ją pasitraukti.

Reikalingą aritmetinės progresijos narį pažymėkime kaip, žinome jo radimo formulę – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, tada:

• ankstesnis progreso narys yra:
• kitas progreso narys yra:

Apibendrinkime ankstesnius ir vėlesnius progreso narius:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra padvigubinta tarp jų esančio progresijos nario reikšmė. Kitaip tariant, norint rasti progresijos nario vertę su žinomomis ankstesnėmis ir nuosekliomis reikšmėmis, reikia jas sudėti ir padalinti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Pataisykime medžiagą. Progresavimo vertę apskaičiuokite patys, nes tai visai nesunku.

Šauniai padirbėta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Liko išmokti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, nesunkiai sau išvedė vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Karlas Gaussas...

Kai Karlui Gausui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, pamokoje iškėlė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai. “ Įsivaizduokite mokytojo nuostabą, kai vienas iš jo mokinių (tai buvo Karlas Gaussas) per minutę pateikė teisingą atsakymą į užduotį, o dauguma drąsuolio klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą...

Jaunasis Karlas Gaussas pastebėjo tam tikrą modelį, kurį galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, kurią sudaro -tieji nariai: Turime rasti nurodytų aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet kas, jei užduotyje reikia rasti jos narių sumą, kaip ir ieškojo Gaussas?

Nubraižykime duotąją progresiją. Atidžiai pažiūrėkite į paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.


Ar bandėte? Ką pastebėjote? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar pasakykite man, kiek tokių porų yra nurodytoje eigoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi ir panašių lygių porų, gauname, kad bendra suma yra:
.
Taigi, bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome termino, bet žinome progreso skirtumą. Pabandykite formulėje pakeisti sumos formulę, o formulę - ą.
Ką tu padarei?

Šauniai padirbėta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo pateiktas Karlui Gausui: apskaičiuokite patys, kokia yra skaičių, prasidedančių nuo -ojo, ir skaičių, prasidedančių nuo -ojo, suma.

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad narių suma yra lygi, o narių suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos narių sumos formulę III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir visą tą laiką sąmojingi žmonės iki galo naudojo aritmetinės progresijos savybes.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptą ir didžiausią to meto statybų aikštelę – piramidės statybą... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakai, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Ar tai ne aritmetinė progresija? Apskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei į pagrindą dedamos blokinės plytos. Tikiuosi nesuskaičiuosi pirštu perbraukęs per monitorių, ar prisimeni paskutinę formulę ir viską, ką pasakėme apie aritmetinę progresiją?

Šiuo atveju progresas atrodo taip:.
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių skaičiuosime 2 būdais).

1 būdas.

2 būdas.

O dabar galite apskaičiuoti monitoriuje: palyginkite gautas vertes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Ar susidėjo? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos terminų sumą.
Žinoma, piramidės negalima statyti iš kaladėlių prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Sportuoti

Užduotys:

1. Maša iki vasaros įgauna formą. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša pritūps per savaites, jei per pirmąją treniruotę ji pritūpė.
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Laikydami rąstus, medkirčiai juos sukrauna taip, kad kiekviename viršutiniame sluoksnyje būtų vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei rąstai yra mūro pagrindas.

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Tokiu atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Po dviejų savaičių Maša turėtų pritūpti kartą per dieną.

2. Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau šį faktą patikrinsime naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos --ajam nariui rasti:

   Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
   Pakeiskite turimus duomenis į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkime piramidės problemą. Mūsų atveju a, nes kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, tada tik sluoksnių krūva, tai yra.
   Pakeiskime duomenis į formulę:

   Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinkime

1. - skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti ir mažėti.
2. Formulės radimas Aritmetinės progresijos narys rašomas pagal formulę -, kur yra skaičių skaičius progresijoje.
3. Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur yra skaičių skaičius progresijoje.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDUTINIS LYGIS

Skaičių seka

Sėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius, jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galima pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir vieninteliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pavyzdžiui), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui:.

Labai patogu, jei sekos d-asis narys gali būti pateiktas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nurodo seką:

O formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus ir skirtumas). Arba (, skirtumas).

N-ojo termino formulė

Pasikartojančiu vadiname formulę, kurioje norint sužinoti tąjį narį, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal tokią formulę rasti progresijos th-ąjį narį, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, tegul. Tada:

Na, kokia dabar formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kam? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Ir štai kas:

(tai yra todėl, kad jis vadinamas skirtumu, kuris yra lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi formulė yra tokia:

Tada šimtasis terminas yra:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, didysis matematikas Karlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Jis pastebėjo, kad pirmojo ir paskutinio skaičių suma yra lygi, antrojo ir paskutinio, išskyrus vieną, suma yra vienoda, trečio ir trečio nuo galo suma yra vienoda ir pan. Kiek tokių porų bus? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė būtų tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų dviženklių kartotinių sumą.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra. Kiekvienas kitas gaunamas pridedant prie ankstesnio skaičiaus. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos termino formulė yra tokia:

Kiek narių yra pažangoje, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva: .

Paskutinis progreso terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas nubėga daugiau m nei praėjusią dieną. Kiek kilometrų jis nubėgs per savaites, jei pirmą dieną nubėgo km m?
2. Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei ankstesnis. Pirmą dieną nuvažiavo km. Kiek dienų jam reikia važiuoti, kad įveiktų km? Kiek kilometrų jis nuvažiuos paskutinę kelionės dieną?
3. Kasmet tiek pat mažėja šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei išparduotas už rublius, po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos narių sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikta:, reikia rasti.
   Akivaizdu, kad turite naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnėje užduotyje:
   .
   Pakeiskite reikšmes:

   Šaknis akivaizdžiai netelpa, tad atsakymas toks.
   Apskaičiuokime paskutinę dieną nuvažiuotą atstumą naudodami th termino formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota:. Rasti:.
   Tai negali būti lengviau:
   (trinti).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Tai skaitinė seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašyta formule, kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai sužinoti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Kur yra reikšmių skaičius.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. O jei perskaitėte iki galo, tuomet esate tuose 5%!

Dabar ateina pats svarbiausias dalykas.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir vėl, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už absoliučią daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Sėkmingai išlaikyti egzaminą, įstoti į institutą turint biudžetą ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai taip pat nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte tikrai geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

PADĖKITE SPRĘSTI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės kurį laiką išspręsti problemas.

Ir jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai nueisite kur nors kvailai suklydę arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – turi tai kartoti vėl ir vėl, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją ten, kur norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Norėdami užpildyti savo rankas mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Bendrinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 899 rubliai

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta vienu metu.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tik nesigilink ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

Mokantis algebros bendrojo lavinimo mokykloje (9 klasėje), viena iš svarbių temų yra skaičių sekų, apimančių progresijas – geometrines ir aritmetines, studijavimas. Šiame straipsnyje apžvelgsime aritmetinę progresiją ir pavyzdžius su sprendimais.

Kas yra aritmetinė progresija?

Norint tai suprasti, būtina pateikti nagrinėjamos progresijos apibrėžimą, taip pat pateikti pagrindines formules, kurios bus toliau naudojamos sprendžiant problemas.

Yra žinoma, kad kai kuriose algebrinės progresijos 1 narys lygus 6, o 7 narys lygus 18. Reikia rasti skirtumą ir atkurti šią seką į 7 narį.

Nežinomam nariui nustatyti naudokite formulę: a n = (n - 1) * d + a 1. Jame pakeičiame žinomus duomenis iš sąlygos, tai yra, skaičius a 1 ir a 7, turime: 18 = 6 + 6 * d. Iš šios išraiškos nesunkiai paskaičiuosite skirtumą: d = (18 - 6) / 6 = 2. Taigi atsakymas į pirmąją uždavinio dalį.

Norėdami atkurti iki 7 terminų seką, turėtumėte naudoti algebrinės progresijos apibrėžimą, ty a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ir pan. Dėl to atkuriame visą seką: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

3 pavyzdys: progresas

Dar labiau apsunkinkime problemos situaciją. Dabar reikia atsakyti į klausimą, kaip rasti aritmetinę progresiją. Galite pateikti tokį pavyzdį: pateikti du skaičiai, pavyzdžiui, - 4 ir 5. Būtina sudaryti algebrinę progresiją, kad tarp jų tilptų dar trys nariai.

Prieš pradedant spręsti šią problemą, būtina suprasti, kokią vietą pateikti skaičiai užims tolesnėje progresijoje. Kadangi tarp jų bus dar trys nariai, tada a 1 = -4 ir a 5 = 5. Tai nustatę pereiname prie problemos, kuri yra panaši į ankstesnę. Vėlgi, n-tajam nariui naudojame formulę, gauname: a 5 = a 1 + 4 * d. Iš kur: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Čia gavome ne sveiką skirtumo reikšmę, o racionalųjį skaičių, todėl algebrinės progresijos formulės išlieka tos pačios.

Dabar rastą skirtumą pridėkite prie 1 ir atkurkite trūkstamus progreso narius. Gauname: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kurie sutapo su problemos būkle.

4 pavyzdys: pirmasis progresavimo terminas

Toliau pateiksime aritmetinės progresijos su sprendimu pavyzdžius. Visuose ankstesniuose uždaviniuose buvo žinomas pirmasis algebrinės progresijos skaičius. Dabar apsvarstykite kitokio tipo uždavinį: tebūnie du skaičiai, kur a 15 = 50 ir 43 = 37. Reikia rasti skaičių, nuo kurio prasideda ši seka.

Iki šiol naudojamos formulės daro prielaidą, kad žinome apie 1 ir d. Problemos pareiškime apie šiuos skaičius nieko nežinoma. Nepaisant to, kiekvienam nariui, apie kurį yra informacijos, išrašome išraiškas: a 15 = a 1 + 14 * d ir a 43 = a 1 + 42 * d. Gautos dvi lygtys, kuriose 2 nežinomi dydžiai (a 1 ir d). Tai reiškia, kad problema redukuojama iki tiesinių lygčių sistemos sprendimo.

Šią sistemą lengviausia išspręsti, jei kiekvienoje lygtyje išreiškiate 1, o tada palyginate gautas išraiškas. Pirmoji lygtis: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; antroji lygtis: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Sulyginę šias išraiškas, gauname: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, iš kur skirtumas d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (duoti tik 3 skaitmenys po kablelio).

Žinodami d, 1 galite naudoti bet kurią iš 2 aukščiau pateiktų išraiškų. Pavyzdžiui, pirmasis: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jei abejojate dėl rezultato, galite jį patikrinti, pavyzdžiui, nustatyti sąlygoje nurodytą progresijos 43 terminą. Gauname: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Nedidelė klaida atsirado dėl to, kad skaičiavimuose buvo naudojamas apvalinimas iki tūkstantųjų dalių.

5 pavyzdys: suma

Dabar pažvelkime į keletą aritmetinės progresijos sumos sprendimų pavyzdžių.

Tegu pateikiama tokios formos skaitinė progresija: 1, 2, 3, 4, ...,. Kaip apskaičiuoti šių 100 skaičių sumą?

Tobulėjant kompiuterinėms technologijoms, šią problemą galima išspręsti, tai yra susumuoti visus skaičius paeiliui, ką kompiuteris padarys vos tik žmogui paspaudus Enter klavišą. Tačiau uždavinys gali būti išspręstas mintyse, jei atkreipsime dėmesį, kad pateikta skaičių serija yra algebrinė progresija, o jos skirtumas lygus 1. Pritaikę sumos formulę, gauname: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Įdomu pastebėti, kad ši problema vadinama „Gauso problema“, nes XVIII amžiaus pradžioje garsusis vokietis, dar būdamas vos 10 metų, sugebėjo ją savo galva išspręsti per kelias sekundes. Berniukas nežinojo algebrinės progresijos sumos formulės, tačiau pastebėjo, kad sudėjus poromis skaičius sekos kraštinėse, visada gaunamas vienas rezultatas, ty 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ir kadangi iš šių sumų bus lygiai 50 (100/2), tada norint gauti teisingą atsakymą, pakanka 50 padauginti iš 101.

6 pavyzdys: narių suma nuo n iki m

Kitas tipiškas aritmetinės progresijos sumos pavyzdys yra toks: pateikiant skaičių eilę: 3, 7, 11, 15, ..., reikia rasti, kokia bus jos narių suma nuo 8 iki 14.

Problema sprendžiama dviem būdais. Pirmasis iš jų apima nežinomų terminų nuo 8 iki 14 radimą ir jų pridėjimą iš eilės. Kadangi terminų yra nedaug, šis metodas nėra pakankamai sunkus. Nepaisant to, šią problemą siūloma spręsti antruoju metodu, kuris yra universalesnis.

Idėja yra gauti formulę algebrinės progresijos tarp terminų m ir n sumai, kur n> m yra sveikieji skaičiai. Abiem atvejais išrašykime dvi sumos išraiškas:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kadangi n> m, akivaizdu, kad 2 suma apima pirmąją. Paskutinė išvada reiškia, kad jei imame skirtumą tarp šių sumų, ir pridedame prie jo terminą a m (skirtumo ėmimo atveju jis atimamas iš sumos S n), tada gauname reikiamą problemos atsakymą. Turime: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + ryto * (1 m / 2). Šioje išraiškoje būtina pakeisti formules n ir a m. Tada gauname: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Gauta formulė yra šiek tiek sudėtinga, tačiau S mn suma priklauso tik nuo n, m, a 1 ir d. Mūsų atveju a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Pakeitę šiuos skaičius, gauname: S mn = 301.

Kaip matyti iš pateiktų sprendimų, visos problemos yra pagrįstos n-ojo nario išraiškos ir pirmųjų narių aibės sumos formulės žiniomis. Prieš sprendžiant bet kurią iš šių problemų, rekomenduojama atidžiai perskaityti sąlygą, aiškiai suprasti, ką reikia rasti, ir tik tada pereiti prie sprendimo.

Kitas patarimas yra siekti paprastumo, tai yra, jei galite atsakyti į klausimą nenaudodami sudėtingų matematinių skaičiavimų, tuomet turite tai padaryti, nes tokiu atveju tikimybė suklysti yra mažesnė. Pavyzdžiui, aritmetinės progresijos su 6 sprendimu pavyzdyje galima sustoti ties formule S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am ir pertraukti bendrąją problemą į atskiras dalis (šiuo atveju pirmiausia suraskite narius an ir am).

Jei kyla abejonių dėl gauto rezultato, rekomenduojama jį patikrinti, kaip buvo padaryta kai kuriuose aukščiau pateiktuose pavyzdžiuose. Mes supratome, kaip rasti aritmetinę progresiją. Jei išsiaiškinsi, tai nėra taip sunku.

Begalinė aritmetinė progresija a 1 , a 2 , ..., a n, ... susideda iš skirtingų natūraliųjų skaičių.

a) Ar yra tokia progresija, kurioje tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 7 ar tiksliai trys skaičiai dalijasi iš 36?

b) Ar yra tokia progresija, kurioje tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a Ar 30 lygiai 9 skaičiai dalijasi iš 36?

c) Kas yra didžiausia prigimtinė n tai gali būti tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 2n daugiau 36 kartotinių nei skaičių a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n ?

Sprendimas.

a) Tinkamas pavyzdys yra progresija su pirmuoju nariu 18 ir skirtumu 18. Iš pirmųjų septynių narių (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126) lygiai trys dalijasi iš 36.

b) Pažymėkite d aritmetinės progresijos skirtumas a 1 , a 2 , ..., a n, .... Iš sąlygos išplaukia, kad d- natūralusis skaičius. Leisti būti m ir n- sveikieji skaičiai, m > n, Gcd ( d, 36) žymi didžiausią bendrąjį skaičių daliklį d ir 36. Turime

Todėl skirtumas a m − a n dalijasi iš 36 tada ir tik tada, kai skirtumas m − n dalijasi iš Taigi, jei tarp aritmetinės progresijos narių a 1 , a 2 , ..., a n, ... yra 36 kartotiniai, tai yra terminai su skaičiais, kurių forma yra kur q- pirmojo nario skaičius, a kartotinis p eina per visus neneigiamus sveikuosius skaičius. Todėl tarp bet kurių k a 1 , a 2 , ..., a n, ... lygiai vienas dalinsis iš 36. Jei tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 30 bus bent 10 kartotinių 36. Jei tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 30 bus ne daugiau kaip 8 skaičiai, dalinami iš 36. Tai reiškia, kad nėra tokios progresijos, kurioje tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 30 yra lygiai 9 skaičiai, dalijami iš 36.

c) Pažymėkite [ x] sveikoji skaičiaus dalis x- didžiausias sveikasis skaičius, neviršijantis x... Kaip įrodyta b punkte, tarp bet kurių k nuoseklūs progresijos nariai a 1 , a 2 , ..., a n, ... lygiai vienas bus dalinamas iš 36, kur d- aritmetinės progresijos skirtumas.

Vadinasi, tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 2n ne daugiau kaip skaičiai bus 36 kartotiniai. Panašiai ir tarp skaičių a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n 36 kartotiniai bus bent skaičiai. Nelygybė tenkinama tada ir tik tada, jei ši lygybė bus patenkinta. Tada skirtumas tarp skaičių ir yra mažesnis už 1. Gauname, kad ir Reiškia, ir Kadangi skaičius k neviršija 36, ​​iš to seka, kad laikykime progresą su pirmuoju nariu 27 ir skirtumu 1. Tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 46 lygiai du dalijasi iš 36 ( a 10 = 36 ir a 46 = 72). Tarp skaičių a 47 , a 48 , ..., a 115 lygiai vienas dalijasi iš 36 ( a 82 = 108). Šis pavyzdys tai rodo n gali būti lygus 23.

Atsakymas: a) Taip, pavyzdžiui, progresija 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; b) ne; c) 23.