Kvadratinės funkcijos braižymas. Vaizdinis vadovas (2019). Pagal pradinę išraišką schematiškai nubrėžiame parabolę

Ant popieriaus lapo buvo pastatyta parabolė - funkcijos y=ax 2 +bx+c grafikas a>0, b>0 ir c>0, o koordinačių ašys buvo ištrintos. Kaip jie galėtų būti lokalizuoti? (Nupieškite bet kokį pavyzdį, atitinkantį nurodytus koeficientų ženklus, nekeisdami pačios parabolės padėties.)

Atsakymas: žr. pav. 10.1.

Sprendimas

Kadangi a>0, tada parabolės šakos „atsidaro“ teigiama y ašies kryptimi. Kadangi c>0, grafiko susikirtimo su ordinačių ašimi taškas turi neigiamą ordinatę. Nuo -b/2a<0, то вершина параболы находится в полуплоскости x<0.

Tikrinimo kriterijai

• „+“ – teisingas skaičius pateikiamas be paaiškinimų arba teisingas skaičius su teisingais paaiškinimais
• „±“ - rodomas teisingas paveikslas, prie kurio pateikiami paaiškinimai, kuriuose yra klaidų
• „±“ – rodoma teisinga figūra be paaiškinimų arba teisinga figūra su teisingais paaiškinimais, tačiau joje pakeičiama koordinačių sistemos orientacija (sukimas nuo OX sijos į OY siją yra pagal laikrodžio rodyklę)
• " " - rodoma teisinga figūra, tačiau parabolės padėtis buvo pakeista (ji apversta)
• " " - figūra neteisinga, bet y ašis nukreipta teisingai

2 užduotis

Dviejų sveikųjų skaičių suma lygi S . Maša kairįjį skaičių padaugino iš sveikojo skaičiaus a, dešinįjį iš sveikojo skaičiaus b, sudėjo šiuos sandaugus ir nustatė, kad gauta suma dalijasi iš S. Priešingai, Alioša kairįjį skaičių padaugino iš b, o dešinįjį - iš a. Įrodykite, kad jo suma taip pat dalijasi iš S .

Sprendimas

Tegu x yra kairysis skaičius, o y – dešinysis skaičius; pagal sąlygą: x+y=S. Tada Maša gavo skaičių ax+by, o Alioša – bx+ay. Šių skaičių suma yra ax+by+bx+ay=(a+b)(x+y)=(a+b)S, tai yra, dalijasi iš S . Kadangi vienas iš dviejų narių (Mašos skaičius) dalijasi iš S, kitas (Aliošos skaičius) taip pat dalijasi iš S, kaip reikia.

Tikrinimo kriterijai

• „–“ – problema neišspręsta arba išspręsta neteisingai

3 užduotis

Zoologijos sode yra 10 dramblių ir didžiulis svarstyklės. Yra žinoma, kad jei keturi drambliai stovės kairiajame dubenyje, o trys – dešinėje, kairysis dubuo bus didesnis už svorį. Trys drambliai stovėjo kairiajame dubenyje, o du – dešinėje. Ar būtinai kairysis dubuo nusveria?

Atsakymas : būtinai.

Sprendimas

Pirmas būdas

Tegul trys drambliai stovi ant kairiosios svarstyklių keptuvės, o du - dešinėje, ir tuo pačiu metu kairioji keptuvė neatsveria dešiniosios. Tada paprašykime, kad lengviausias iš penkių dramblių, nestovėtų ant svarstyklių, atsistotų ant kairiojo dubens, o sunkiausias – dešinėje. Šiuo atveju kairysis dubuo vis tiek negali nusverti dešiniojo, o tai prieštarauja sąlygai. Todėl kairysis dubuo tikrai atsvers.

Antras būdas

Dramblių mases parašykime didėjimo tvarka: m1 ≤ m2 ≤ … ≤ m10. Pagal sąlygą: m1 + m2 + m3 + m4 > m8 + m9 + m10. Kadangi m4 ≤ m8, tai m1 + m2 + m3 > m9 + m10. Taigi, trys lengviausi drambliai yra sunkesni už du sunkiausius, todėl bet kurie trys drambliai yra sunkesni už bet kuriuos du likusius.

Tikrinimo kriterijai

• „+“ – pateikiamas pilnas pagrįstas sprendimas (bet kokiomis priemonėmis)
• „±“ – paprastai pateikiamas teisingas samprotavimas, turintis smulkių spragų ar netikslumų
• „–“ – nagrinėjami tik ypatingi atvejai arba konkretūs pavyzdžiai
• „–“ – problema neišspręsta arba išspręsta neteisingai

4 užduotis

Nuo trikampio ABC bukojo kampo A viršūnės nuleidžiamas aukštis AD. Nubrėžiamas apskritimas, kurio centras D ir spindulys DA, kuris antrą kartą kerta kraštines AB ir AC atitinkamai taškuose M ir N. Raskite AC, jei AB = c, AM = m ir AN = n.

∙Atsakymas: mc/n.

Sprendimas

Įrodykime, kad AM∙AB = AN∙AC. Tai galima padaryti įvairiais būdais.

Pirmas būdas

Stačiakampiuose trikampiuose ADB ir ADC nubrėžiame atitinkamai aukščius DP ir DQ (žr. 10.4a pav.). Tada АР∙AB = AD2 = AQ∙AC. Kadangi trikampiai ADM ir ADN yra lygiašoniai, AP = 12AM ir AQ = 12AN.

Pakeitę АР ir АQ lygybėje АР∙AB = AQ∙AC, gauname reikiamą.

Antras būdas

Įrodykime, kad BMNC keturkampis yra įrašytasis, tada iš taškui A pritaikytos sekantinės atkarpos teoremos ir apskritimo, apibrėžiamo aplink BMNC keturkampį (žr. 10.4b pav.), išeis reikiama lygybė.

Tegu ∠ANM = α, tada ∠AOM = 2α (įbrėžtieji ir centriniai kampai pagrįsti tuo pačiu lanku). Taip pat iš lygiašonio trikampio ADM: ∠MAD = 90° - α, taigi ∠ABC = α. Iš lygybės ∠ABC = ∠ANM išplaukia, kad BMNC yra įrašytoji.

Įrodžius nurodytą lygybę, pakanka į ją pakeisti problemos būklės duomenis ir gauti atsakymą.

Trečias būdas

Tegu šis apskritimas kerta atkarpas BD ir CD atitinkamai taškuose K ir L, o jo spindulys lygus R (žr. 10.4c pav.). Tada pagal sekantinio segmento teoremą: BA∙BM = BL∙BK, tai yra, c(c – m) = BK(BK + 2R). Iš trikampio ABD pagal Pitagoro teoremą: с2 = (BK + R)2 + R2 = 2R2 + BK2 +2BK∙R. Todėl c(c – m) = с2 – 2R2, iš kur c∙m = 2R2.

Atlikę panašų argumentą šoninei AC, gauname, kad AC∙n = 2R2. Tada AC = mcn.

Atkreipkite dėmesį, kad naudojant šį sprendimo būdą vietoj Pitagoro teoremos galima taikyti kosinuso teoremą trikampiui BAK.

Tikrinimo kriterijai

• „+“ – pateikiamas pilnas pagrįstas sprendimas
• „±“ – paprastai pateikiamas teisingas samprotavimas, turintis smulkių spragų ar netikslumų (pavyzdžiui, m ir n sumaišyti)
• „±“ – sprendinių planas teisingas ir gautas teisingas atsakymas, tačiau neįrodyta dalis panaudotų faktų (pavyzdžiui, panaudota, bet neįrodyta, kad BMNC keturkampis įrašytas)
• „±“ – sprendimo planas teisingas, tačiau pačiame sprendime yra klaidų arba jis nebaigtas
• "±" - nėra aiškaus sprendimo plano, tačiau yra pagrįsti kai kurie reikšmingi faktai, iš kurių galima rasti sprendimą
• „–“ – pateikiamas tik atsakymas
• „–“ – problema neišspręsta arba išspręsta neteisingai

5 užduotis

Vasja matematikos klasėje išardė trikampės piramidės rėmą ir nori iš šešių jo kraštų padaryti du trikampius, kad kiekviena briauna būtų lygiai vieno trikampio kraštinė. Ar Vasya visada sugebės tai padaryti?

Atsakymas: visada.

Sprendimas

Atkreipkite dėmesį, kad jei Vasjai pavyksta išlenkti trikampį iš briaunų, išeinančių iš vienos tetraedro viršūnės, tada antrasis trikampis jau yra sulankstytas ir problema išspręsta.

Tegul AB yra ilgiausia tetraedro DABC briauna (žr. 10.5 pav.).

Tarkime, kad nei iš briaunų trigubo, turinčio bendrą viršūnę A, nei iš briaunų trigubo, turinčio bendrą viršūnę B, Vasja negali sudaryti trikampio. Tai reiškia, kad AB ≥ AC + AD ir AB ≥ BC + BD. Tada 2AB ≥ AC + AD + BC + BD.

Kita vertus, pagal trikampio nelygybę veidams ABD ir ABC gauname: AB< AD + BD и АВ < AC + BC. Тогда 2АВ < AC + AD + BC + BD – противоречие.

Tikrinimo kriterijai

• „+“ – pateikiamas pilnas pagrįstas sprendimas
• “ ” – yra teisinga sprendimo idėja, bet ji nebuvo baigta arba padaryta klaida
• „–“ - analizuojami tik kai kurie ypatingi atvejai (pavyzdžiui, svarstomas taisyklingas tetraedras)
• „–“ – problema neišspręsta arba išspręsta neteisingai

6 užduotis

100 įjungtų ir 100 išjungtų žibintuvėlių atsitiktinai dedami į dvi dėžutes. Kiekvienas žibintuvėlis turi mygtuką, kurį paspaudus degantis žibintuvėlis išjungiamas ir užsidega.

Jūsų akys užrištos ir nematote, ar įjungtas žibintuvėlis. Bet jūs galite perkelti žibintuvėlius iš dėžutės į dėžę ir paspausti jų mygtukus. Pagalvokite, kaip užtikrinti, kad degantys žibintai dėžėse būtų tolygiai paskirstyti.

Sprendimas

Pirmiausia perkelkime visus žibintuvėlius į dešinįjį langelį neliesdami jungiklių. Tada mes perkeliame iš dešiniojo langelio į kairę bet kurį šimtą žibintuvėlių, perjungiame kiekvieną iš jų vienu metu, ir tikslas bus pasiektas. Įrodykime tai.

Perjungiant (perjungiant) vieną žibintuvėlį, skirtumas tarp degančių žibintuvėlių skaičių dešinėje ir kairėje sumažėja 1. Išties, jei paimtume nedegantį žibintuvėlį, jį uždegtume ir pastumtume į kairę, tai skaičius degančių žibintuvėlių dešinėje nepakito, o kairėje padidėjo 1. Jei paėmėme degantį žibintuvėlį, užgesinome ir pastumėme į kairę, tai dešinėje degančių sumažėjo 1, o. kairėje liko toks pat. Tuo metu, kai visi žibintai buvo tinkamoje dėžutėje, manomas skirtumas yra 100, tai reiškia, kad po šimto pamainų jis taps lygus nuliui, ko reikia.

Yra ir kitų veiksmų algoritmų.

Tikrinimo kriterijai

• „+“ – pateikiamas pilnas pagrįstas sprendimas
• "±" - pateiktas teisingas algoritmas, bet jo pagrindimas neišsamus (pvz., sakoma, kad skirtumas tarp degančių žibintų sumažės 1, bet nepaaiškinama kodėl
• „±“ – pateikiamas tik teisingas algoritmas be jokio paaiškinimo
• „–“ – problema neišspręsta arba išspręsta neteisingai

ALGEBRA-8

Seminaro pamoka

TEMA: „Funkcija

y \u003d ax 2 + b x + c "

Pamoka vyko naudojant mobiliąją kompiuterių klasę

Pamoka - praktikumas.

"Brėžinys su funkcijų grafikais".

(Palaikoma kompiuterine programa Išplėstinė grafas .)

Mokykloje matematikos pamokose plačiai naudojamos užduotys, kuriose mokiniai stato taškus pagal koordinates ir sujungia juos nuosekliai, gaudami objekto brėžinį. Vaikams patinka ši veikla. Jie paįvairina mokinių veiklą žinių tobulinimo laikotarpiu, į pamoką įveda pramogos elementą, lavina įgūdžius.

Panašų darbą galima atlikti 8 klasėje, bet naudojant kvadratinės funkcijos grafikus, pateiktus atkarpose. Tema labai tinka šiam darbui:"Funkcija".

TIKSLAI:

Ši pamoka skirta kaip paskutinė pamoka šia tema.

Pamoka susideda iš 6 etapų.

Įranga pamokai:

1. 1. 1. 1. 1. 1. kompiuterio programa Išplėstinėgrafas, kurios pagalba vyksta šios pamokos temos studijavimas.

                  Projektorius.

                  Ekranas.

                  Dalomoji medžiaga (kortelės su individualiomis užduotimis).

Išsamus kiekvieno etapo aprašymas.

Įvadas į Advanced Grapher programos sąsają.

Mygtukas + rodomas įrankių juostoje F - Pridėti grafiką. Šį mygtuką naudosime kiekvieną kartą, kai pradėsime dirbti su nauja funkcija. Spustelėkite šį mygtuką. Atsidariusiame dialogo lange Grafiko ypatybės galime nustatyti jus dominančią funkciją, taip pat nustatyti būsimos diagramos išvaizdą (storį, linijos spalvą ir pan.).

Kai rodomas skirtukas Papildomos savybės pažymėkite intervalo langelį. Dabar galite nustatyti funkcijos apimtį.

IN naudoti mygtuką -Dokumento savybės.Arba su komandaGrafikai
Dokumento ypatybėsskambinkite dialogo langeDokumento savybės.

Atsidariusiame langekairėje, ant medžio, galite pasirinkti vieną iš jus dominančių savybių, kurias norite konfigūruoti(Statyba, ašys, legenda, tinklelis).Spustelėkite skirtuką Sukurti. Čia galite nustatyti maksimalius ir mažiausius intervalus kiekvienai ašiai atskirai. Tai gali būti naudinga kuriant tuos grafikus, kuriuose viršūnių poslinkis išilgai ašių yra reikšmingas.

Spustelėję mygtuką Plot List, turėsite prieigą prie bet kurios anksčiau naudotos funkcijos.

teorinė apklausa.

Funkcijų grafikas
yra parabolė, gauta perkeliant parabolę
išilgai koordinačių ašių.

Kolektyvinis darbas kuriant paveikslą iš parabolių. („Skėtis“)

Kiekvienam vaikui išduodama kortelė su formos kvadratinių funkcijų sąrašu
.

Dirbdami su kiekviena iš sąrašo formulių vaikai atsako į šiuos klausimus:

Koks yra šios funkcijos grafikas?

Kaip nukreiptos parabolės šakos?

Kokios yra parabolės viršūnės koordinatės?

Mokiniai atidaro dialogo langą Add Graph ir įveda formulę. Paspaudus mygtuką Gerai, gaunamas funkcijos grafiko vaizdas.

Ką reikia turėti omenyje braižant funkcijų grafiką? (apie funkcijos apimtį)

Lange Plot List du kartus spustelėję jus dominančią funkciją, turėsite prieigą prie bet kurios funkcijos, kurią anksčiau naudojote, t. y. grįšite į dialogo langą. Grafiko ypatybės. Rodydami skirtuką Papildomos savybės, pažymėkite intervalo laukelį ir nurodykite apibrėžimo sritį, kurios reikalaujama pagal šios funkcijos sąlygą. Atlikę reikiamus nustatymus, spustelėkite mygtuką Gerai. Funkcijos grafikas pakeis savo išvaizdą pagal apibrėžimo sritį.

T Kaip aptariama kiekviena sekanti funkcija. Konstrukcijos lygiagrečiai atliekamos mokinių kompiuteriuose ir prie projektoriaus prijungtame mokytojo nešiojamame kompiuteryje.

Analizuodami būsimą grafiko formą, vaikai turi galimybę iš karto patikrinti savo sprendimų teisingumą. Holistinis paveikslo vaizdas įtikins abejojantį studentą jo atliktų veiksmų teisingumu.

Savarankiškas darbas.

Mokiniams išduodamos įvairios kortelės su funkcijų sąrašu. Kiekvienas vaikas savo piešinį kuria pats, pamokos pabaigoje gauna įvertinimą.

Kortelių parinktys.

« akiniai"

"Banginis"

« šachmatų karalius"

« varlė"

Apibendrinimas ir įvertinimas.

Ko šiandien išmokote klasėje?

Jūsų medžiagos įsisavinimo kriterijus bus kiekvieno iš jūsų sukurtas piešinys.

„Puiku“ – užduotis buvo atlikta savarankiškai. Piešinys baigtas. Ant diagramų komentarų nėra. Kiekvieno grafiko domenai nustatyti teisingai.

„Gerai“ – piešinys baigtas. Yra pastabų ieškant apibrėžimo srities arba studentas kreipėsi pagalbos į dėstytoją atliekant savarankišką darbą.

„Patenkinamai“ – piešinys turi trūkumų. Mokinys nebuvo tikras savo žiniomis, nuolat kreipdavosi pagalbos į mokytoją.

Norint suprasti, kas čia bus parašyta, reikia gerai žinoti, kas yra kvadratinė funkcija ir su kuo ji valgoma. Jei laikote save kvadratinių funkcijų profesionalu, sveiki atvykę. Bet jei ne, turėtumėte perskaityti temą.

Pradėkime nuo mažo čekius:

1. Kaip kvadratinė funkcija atrodo bendra forma (formule)?
2. Kaip vadinasi kvadratinės funkcijos grafikas?
3. Kaip pirmaujantis koeficientas veikia kvadratinės funkcijos grafiką?

Jei galite iš karto atsakyti į šiuos klausimus, skaitykite toliau. Jei bent vienas klausimas sukėlė sunkumų, eikite į.

Taigi, jūs jau žinote, kaip valdyti kvadratinę funkciją, analizuoti jos grafiką ir sudaryti grafiką pagal taškus.

Na, štai: .

Greitai pažiūrėkime, ką jie daro. šansai.

1. Vyriausiasis koeficientas yra atsakingas už parabolės „statumą“ arba, kitaip tariant, už jos plotį: kuo didesnė, tuo siauresnė (statesnė) parabolė, o mažesnė – platesnė (plokštesnė).
2. Laisvasis terminas yra parabolės susikirtimo su y ašimi koordinatė.
3. O koeficientas kažkaip atsakingas už parabolės poslinkį nuo koordinačių centro. Štai dabar daugiau apie tai.

Kodėl mes visada pradedame statyti parabolę? Koks jos skiriamasis taškas?

Tai viršūnė. O kaip rasti viršūnės koordinates, pamenate?

Abscisės ieškoma pagal šią formulę:

Taip: ką daugiau, temos į kairę parabolės viršus juda.

Viršūnės ordinates galima rasti pakeitus į funkciją:

Pakeiskite save ir suskaičiuokite. Kas nutiko?

Jei viską padarysite teisingai ir kiek įmanoma supaprastinsite gautą išraišką, gausite:

Pasirodo, kuo daugiau modulo, temos aukščiau valios viršūnė parabolės.

Galiausiai pereikime prie siužeto.
Lengviausias būdas yra sukurti parabolę pradedant nuo viršaus.

Pavyzdys:

Nubraižykite funkciją.

Sprendimas:

Pirmiausia apibrėžkime koeficientus: .

Dabar apskaičiuokime viršūnių koordinates:

Ir dabar atminkite: visos parabolės su tuo pačiu pirmaujančiu koeficientu atrodo vienodai. Taigi, jei sukursime parabolę ir perkelsime jos viršūnę į tašką, gausime reikalingą grafiką:

Paprasta, tiesa?

Liko tik vienas klausimas: kaip greitai nupiešti parabolę? Net jei nubrėžtume parabolę su viršūne ištakoje, vis tiek turime ją sukurti taškas po taško, o tai yra ilga ir nepatogu. Bet visos parabolės atrodo vienodai, gal yra koks būdas pagreitinti jų piešimą?

Kai mokiausi mokykloje, mano matematikos mokytoja visiems liepė iš kartono iškirpti parabolės formos trafaretą, kad galėtų greitai jį nupiešti. Bet tu negalėsi visur vaikščioti su trafaretu, ir jiems nebus leista neštis į egzaminą. Taigi, pašalinių daiktų nenaudosime, o ieškosime rašto.

Apsvarstykite paprasčiausią parabolę. Sukurkime jį taškais:

Taisyklė čia tokia. Jei judėsime iš viršaus į dešinę (išilgai ašies) į ir aukštyn (išilgai ašies) į, tada pateksime į parabolės tašką. Be to: jei nuo šio taško judėsime į dešinę ir aukštyn, vėl pateksime į parabolės tašką. Kitas: tiesiai ir aukštyn. Kas toliau? Tiesiai ir aukštyn. Ir taip toliau: judėkite į dešinę, o kitas nelyginis skaičius aukštyn. Tada tą patį darome su kairiąja šaka (juk parabolė yra simetriška, tai yra, jos šakos atrodo taip pat):

Puiku, tai padės sukurti bet kurią parabolę iš viršūnės, kurios koeficientas yra didžiausias. Pavyzdžiui, mes sužinojome, kad parabolės viršūnė yra taške. Sukurkite (savaime, ant popieriaus) šią parabolę.

Pastatytas?

Tai turėtų pasirodyti taip:

Dabar sujungiame gautus taškus:

Tai viskas.

Gerai, dabar kurkite tik paraboles?

Žinoma ne. Dabar išsiaiškinkime, ką su jais daryti, jei.

Panagrinėkime keletą tipiškų atvejų.

Puiku, išmokome nupiešti parabolę, o dabar praktikuokime realias funkcijas.

Taigi, nubraižykite tokių funkcijų grafikus:

Atsakymai:

3. Viršus: .

Ar prisimeni, ką daryti, jei vyresnio amžiaus koeficientas mažesnis?

Žiūrime į trupmenos vardiklį: jis lygus. Taigi judėsime taip:

• dešinėn – aukštyn
• dešinėn – aukštyn
• dešinėn – aukštyn

ir taip pat į kairę:

4. Viršus: .

O, ką su juo daryti? Kaip išmatuoti ląsteles, jei viršūnė yra kažkur tarp linijų?..

Ir mes apgaudinėjame. Pirmiausia nubrėžkime parabolę ir tik tada perkelkime jos viršūnę į tašką. Netgi ne, padarykime tai dar sudėtingiau: nubrėžkime parabolę ir tada judinti ašis:- ant žemyn, a - įjungta teisingai:

Šis metodas yra labai patogus bet kokios parabolės atveju, prisiminkite tai.

Leiskite jums priminti, kad funkciją galime pavaizduoti tokia forma:

Pavyzdžiui: .

Ką tai mums duoda?

Faktas yra tas, kad skaičius, kuris atimamas iš skliaustuose () yra parabolės viršūnės abscisė, o už skliaustų () esantis terminas yra viršūnės ordinatė.

Tai reiškia, kad pastačius parabolę jums tereikia perkelkite ašį į kairę, o ašį žemyn.

Pavyzdys: nubraižykime funkcijos grafiką.

Pasirinkime visą kvadratą:

Koks numeris atimta iš skliausteliuose? Tai (o ne kaip galite nuspręsti negalvodami).

Taigi, mes sukuriame parabolę:

Dabar mes perkeliame ašį žemyn, ty aukštyn:

O dabar - į kairę, tai yra, į dešinę:

Tai viskas. Tai tas pats, kas perkelti parabolę su jos viršūne nuo pradžios iki taško, tik tiesiąją ašį daug lengviau perkelti nei kreivą parabolę.

Dabar, kaip įprasta, aš:

Ir nepamirškite ištrinti senų ašių trintuku!

Aš esu kaip atsakymai patikrinimui parašysiu jums šių parabolių viršūnių ordinates:

Ar viskas tiko?

Jei taip, tu esi puikus! Žinoti, kaip elgtis su parabole, yra labai svarbu ir naudinga, o štai mes pastebėjome, kad tai visai nesunku.

KVADRATINĖS FUNKCIJOS GRAFIKAVIMAS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

kvadratinė funkcija yra formos funkcija, kur ir yra bet kokie skaičiai (koeficientai), yra laisvasis narys.

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė.

Parabolės viršus:
, t.y. kuo didesnis \displaystyle b , tuo kairiau juda parabolės viršus.
Pakeiskite funkciją ir gaukite:
, t.y. kuo didesnis \displaystyle b modulo , tuo aukščiau bus parabolės viršus

Laisvasis terminas yra parabolės susikirtimo su y ašimi koordinatė.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtinai) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 899 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!