Задачи "на проценты" впервые появляются в жизни юных математиков в 5 классе и сопровождают их до выпускных экзаменов. Связанные с процентами задания есть в вариантах ЕГЭ (в частности, задание №17 профильного экзамена) и ОГЭ. Проценты неминуемо встретятся в курсах физики, химии, экономики. В конце концов, в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с этим понятием (вспомните, например, ставки по кредитам или щедрые обещания 90%-ных скидок в магазинах).

В данной статье мы начнем с простейших определений и примеров, будем постепенно увеличивать уровень сложности и к 4-й части доберемся до достаточно трудных задач.

Проценты. Начальные сведения.

Как найти процент от числа

Удивительно, но многие выпускники не могут вразумительно объяснить, что такое процент . А ведь все очень просто:

Процент - это сотая часть числа.

Почему именно сотая? Да просто потому, что на 100 удобно делить и сотня - это не слишком много и не слишком мало (не очень строгое определение).

Чтобы найти 1% от числа, нужно просто разделить это число на 100.

Пример 1 . Найти 1% от 1200, 1% от 2, 1% от 98765.

1% от 1200 - это 12, т. к. 1200:100 = 12;
1% от 2 - это 0,02, т. к. 2:100 = 0,02;
1% от 98765 = 98765:100 = 987,65.

Задание 1 . Вычислите 1% от 450, 1% от 12000, 1% от 9.

Задание 2 . Вычислите 1% от 1% от 6700.

Как найти несколько процентов от числа

Теперь предположим, что нам необходимо найти не 1% от числа, а, скажем, 12%. Как это сделать? Можно, конечно, сначала найти один процент, а потом полученный результат умножить на 12. Но зачем выполнять два действия, если можно обойтись одним? Один процент - это одна сотая, а t процентов - это t сотых. Чтобы найти, например, 12 сотых от числа, нужно число умножить на 0,12. Получаем универсальное правило:

Чтобы найти t% от числа, нужно умножить это число на t 100 .
t процентов от A = A ⋅ t 100

Пример 2 . Найти 17% от 300, 86% от 20, 140% от 2, 0.1% от 4000.

17% от 300 - это 51, т. к. 300*0,17 = 51 (умножаем число на семнадцать сотых);
86% от 20 - это 17,2, т. к. 20*0,86 = 17,2 (умножаем на 86/100);
140% от 2 = 2*1,4 = 2,8 (1,4 - это просто 140/100);
0.1% от 4000 = 0.001*4000 = 4 (0.001 - это 0.1/100).

Задание 3 . Вычислите 14% от 1200, 57% от 50, 250% от 4, 0.02% от 1000000.

Пример 3 . Вычислите 18% от 80% от 1000. Правда ли, что это то же самое, что 98% от 1000?

Найдем сначала 80% от 1000: 1000*0,8 = 800.
От полученного числа ищем 18%: 800*0,18 = 144.
Найдем теперь 98% от 1000. Умножаем 1000 на 98/100 и получаем 980.
Как видим, результаты получились разными.

Задание 4 . Вычислите 120% от 40% от 350.

Как найти "проценты от процентов"

А если нам нужно вычислять длинную последовательность "процентов от процентов"? Скажем, 10% от 10% от 10% от 10% от 200. Можно, конечно, действовать последовательно и разбить задачу на 4 действия, но есть способ проще.

Пример 4 . Вычислите 20% от 30% от 40% от 10000.

Зачем выполнять несколько последовательных умножений, если все можно свести к одной строке:
0,2*0,3*0,4*10000 = 24.

Видите, как все просто! Кстати, никакие скобки в данном случае не нужны.

Задание 5 . Вычислите 50% от 50% от 40% от 2000.

Задание 6 . В первую неделю января выпало 40% месячной нормы снега (90 мм), причем 90% этого количества пришлось на среду, причем в первой половине этого дня выпало 70% осадков. Сколько мм снега выпало в первой половине дня в среду?

Итак, подведем некоторые итоги:

• Процент - это сотая часть числа.
• Для вычисления 1% следует разделить число на 100 (или умножить на 0,01).
• Чтобы найти t% от числа, нужно умножить число на t сотых.

Небольшой тест на тему "Проценты"

Потратьте пару минут, пройдите небольшой тест по теме "Проценты". В ответе указывайте целое число или десятичную дробь. В качестве разделителя десятичных разрядов всегда используйте запятую (например, 1,2, но не 1.2!) Успехов!

Понятие процент встречается в нашей жизни слишком часто, поэтому очень важно знать, как решать задачи на проценты. В принципе, это дело не сложное, главное, понять принцип работы с процентами.

Что такое процент

Мы оперируем с понятием 100 процентов, и соответственно, один процент это сотая доля определенного числа. И все счисления ведутся уже исходя из этого соотношения.

Например, 1% от 50 это 0,5, 15 от 700 это 7.

Как решать

1. Зная, что один процент это одна сотая от представленного числа, можно найти любое количество требуемых процентов. Для того чтобы было нагляднее, попробуем найти 6 процентов от числа 800. Делается это просто.
   • Сначала находим один процент. Для этого 800 делим на 100. Получается 8.
   • Теперь этот самый один процент, то есть 8, умножаем на нужное нам количество процентов, то есть на 6. Получается 48.
   • Закрепим результат повторением.

   15% от 150. Решение: 150/100*15=22.

   28% от 1582. Решение: 1582/100*28=442.

2. Бывают другие задачки, когда вам даются величины, а вам нужно найти проценты. Например, вам известно, что в магазине 5 алых роз из 75 белых, и вам нужно узнать, каков процент алых. Если мы не знаем этот процент, значит, обозначим его как х.

   Для этого есть формула: 75 – 100%

   В этой формуле цифры умножаются крест на крест, то есть х=5*100/75. Получается, что х=6% Значит процент алых роз составляет 6%.

3. Существует еще один тип задач на проценты, когда вам надо найти на сколько процентов одно число больше или меньше другого. Как решать задачи с процентами в этом случае?

   В классе учится 30 человек, из них 16 мальчиков. Вопрос, на сколько процентов мальчиков больше, чем девочек. Для начала необходимо сосчитать, какой процент составляют учащиеся мальчики, затем нужно узнать, сколько процентов девочек. А уж в конце найти разницу.

   Итак, приступим. Составляем пропорцию 30 уч. – 100%

   16 уч. –х %

   Теперь считаем. Х=16*100/30, х=53,4 % от всех учащихся в классе составляют мальчики.

   Теперь найдем процент девочек в этом же классе. 100-53,4=46,6 %

Осталось теперь только найти разницу. 53,4-46,6=6,8% . Ответ: мальчиков больше, чем девочек на 6,8%.

Основные моменты в решении процентов

Итак, чтобы у вас не было проблем с тем, как решать задачи на проценты, запомните несколько основных правил:

1. Чтобы не запутаться в задачках на проценты, всегда будьте бдительны: переходите от конкретных величин к процентам и наоборот, если понадобится. Главное, никогда не путать одно с другим.
2. Будьте внимательны, когда высчитываете проценты. Важно знать, от какой конкретной величину нужно считать. При последовательных изменениях величин процент вычисляется от последнего значения.
3. Прежде, чем записать ответ еще раз прочитайте всю задачу, ведь может быть так, что вы нашли только промежуточный ответ, и вам необходимо выполнить еще одно или пару действий.

Таким образом, решение задач с процентами не такое уж и сложное дело, главное в нем внимательность и аккуратность, как впрочем, и во всей математике. И не забывайте, что для совершенствования любого навыка необходима практика. Так что решайте больше, и все у вас будет хорошо или даже отлично.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Актуальность исследования

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике.

Проценты - математическое понятие, которое часто встречается в повседневной жизни.Любой человек должен уметь решать задачи, предлагаемые самой жизнью. Мы платим налоги. Как посчитать материальное вознаграждение, которое получаем мы, когда кладем деньги на депозит, какое вознаграждение получает банк, когда мы берем кредит, ипотеку. Все эти и многие другие вопросы, касающиеся процентных исчислений, решает знание процентови умение решать задачи на проценты.

Везде - в газетах, по радио, телевидению и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, пенсии, рост стоимости акций, снижение покупательской способности населения. Так, мы часто слышим или читаем, что, например, цены повысились на 20%, молоко содержит 4% жира, пенсия повысилась на 10%, в выборах приняли участие 76 % избирателей.

Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, нужно знать размеры процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции.

Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни.

Мои наблюдения и проведённый опрос среди одноклассников и друзей показали, что мы, школьники, молодые люди, имеем самые общие и довольно небольшие знания о процентах, а о различных способах исчисления процентов и того меньше.

Выявленные недостатки в наших знаниях и умениях решать задачи на проценты объясняются наличием объективно складывающихся противоречий : между существующей потребностью вычислять процентное содержание в различных областях жизни людей и - не информированностью по этому вопросу и почти полным неумением это быстро и легко сделать.

С учётом выявленных противоречий была сформулирована проблема исследования: каковы история и способы решения задач на проценты?

Актуальность проблемы, её значимость в современном мире определили тему моего исследования : «Решение задач на проценты».

Цель исследования : изучить сведения о процентах, о типах задач, о способах их решения и научиться использовать полученные знания на практике.

Объект исследования : Проценты в прошлом и в настоящее время.

Предмет исследования : исторические сведения о процентах, решение задач на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными дробями.

В соответствие с целью исследования были поставлены следующие задачи исследования :

Изучить историю понятия ПРОЦЕНТ.

Рассмотреть использование процента в повседневной жизни.

Рассмотреть различные типы задач и их решения.

Устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины,нахождение величиныпо её проценту,нахождение процента одной величины от другой.

Обобщить полученные знания и умения и сформулировать выводы.

Вработе использовались следующие методы исследования : изучение литературы по теме, анализ, синтез, обобщение.

Глава 1. Актуальность процентов от древности до наших дней 1.1.История развития «процента»

Изучение информации в сети интернет показало, что слово «процент» происходит от латинского слова “procentum”, что означает «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях родилась ещё в древности у вавилонян.В их клинописных табличках уже содержались задачи на расчёт процентов. Были известны проценты и в Индии, где с давних пор вёлся счёт в десятичной системе счисления. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией.Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

В русском языке слово «процент» имеет и другое смысловое значение − выражает тот факт, что заёмщик помимо возврата предоставленных ему кредитором денежных средств должен дополнительно заплатить кредитору за использование этих средств. Об этом говорит, например, объявление: «Банк предоставляет населению кредиты под проценты».

Денежные расчеты с процентами были особенно распростране-ны в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, кото-рые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый про-цент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян процен-ты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять процен-ты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таб-лицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый СимонСтевин. В 1584г. он впервые опубликовал таблицу процентов.Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента.

Другая версия происхождения этого знака заключается в том, что в Париже в 1685 году наборщик книги-руководства по коммерческой арифметике допустил опечатку - вместо ctoнаписал %.

Долгое время под процентами понимались исключительно при-быль илиубыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках.Уже в далекой древности широко было распространено ростовщичество - выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20 % и более! Известно, что в XIV-XV вв. в Западной Европе широко распространились банки - учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленниками и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за еди-ницу). Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых в одних и тех же долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целым.

Процент - сотая доля числа, принимаемого за целое. Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %.

Например, 1 % от зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты - это сто сотых частей зарплаты, т. е. вся зарплата. Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть центнера- это килограмм.1% - одна сотая доля числа.

Как известно из практики, с помощью процентов часто показы-вают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характе-ризующей значимость произошедшего изменения. Величина, выраженная в процентах, является более наглядной, понятной, ее легко сравнить с другими значениями.

1.2.«Проценты» в повседневной жизни

Мы считаем, что в настоящее время актуально более углубленное изучение темы «Проценты» в разных ситуациях. Причина такой необходимости - это значимость, т. к. задания по данной теме часто встречаются на различных экзаменах, а также применяются не только на уроках математики, химии, экономики. Проценты прочно входят и в нашу повседневную жизнь: кредиты, банковские проценты, составы химических веществ.

Для полного исследования применения процентов в нашей жизни я провела опрос среди моих одноклассников, где они встречали это понятие. Результаты опроса удивили даже самих ребят. Совместно мы вспомнили так много сфер применения процента вот перечень приведённых примеров:

Проценты применяются:

При расчёте скидок в магазине, составлении договора в банке, определении остроты зрения, соотношения ниток в составе ткани, определении жирности в продуктах, определении загрузки программ в компьютере или зарядки элементов питания, значение соотношения голосов на выборах или при голосовании, при распределении прибыли фирмы, подсчёте выполнения тестов ЕГЭ, расчёт налогов от з/платы, при сборе урожая и определении его потерь от стихии, соотношение воды в организме человека, или воды и суши на Земле, в соотношении примесей и золота в украшениях, поступивших в ВУЗы от общего чиста поступающих, информация для автомобилиста об остатке бензина в баке, при рейтинге участников хит-парада, определении порога эпидемии.

Из вышесказанного видно, что проценты применяются в следующих областях: торговле, программировании, экономике, технологии производства, статистике, медицине, общественной жизни, бытовой жизни, разных областях науки, искусстве.

Проценты являются неотъемлемой частью банковских, торговых, налоговых, фармацевтических и т. д. операций. Они вошли в нашу жизнь не только с выпечкой кулинарных изделий и с приготовлением лакомств, они буквально атакуют нас в пору рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, кризисов.

Вкладчик сбережений в банке учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело. Правильно воспользоваться ипотечным кредитом в банке также помогут проценты. Грамотно проводить процентные расчеты - это значит иметь выгоду в банковских сделках, иметь рентабельный бизнес и коммерческие предложения.

Таким образом, проценты - это одно из математических понятий, которые очень часто встречаются в повседневной жизни.

После опроса стало окончательно ясно, что без умения понимать такого рода информацию в современном обществе, просто трудно было бы существовать. Поэтому возникает необходимость выявить и изучить все существующие задачи на проценты и способы их решения, что мы и раскроем в следующем параграфе.

Глава 2.Виды задач на проценты и способы их решения 2.1. Виды задач на проценты

2.1.1. Нахождение процентов от числа

Чтобы найти процент от числа, следует:

Проценты записать десятичной дробью.

Число умножить на эту десятичную дробь.

Задача: В магазин привезли 14 т капусты, 70% всей капусты продали. Сколько тонн капусты осталось?

Оставшаяся часть капусты составляет: 100% - 70% = 30% = 0,3

Ответ: 4,2 тонны.

1. 1. Нахождение числа по его процентам

Чтобы найти число по его процентам, следует:

Проценты записать десятичной дробью;

Число разделить на эту десятичную дробь.

Задача: Тракторная бригада вспахала за день 25% всего поля, что составляет 60 га. Какова площадь всего поля?

25% = 0,25;

60: 0.25 = 240

Ответ: 240 га.

1. 1. Нахождение процентного отношения чисел

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, следует:

Первое число разделить на второе.

Результат умножить на 100%.

Задача: Длина прямоугольника 40 дм, площадь 200 дм 2 . Сколько процентов составляет ширина от длины?

ширинаравна 200: 40 = 5

5:40 ·100% = 12,5%

Ответ: 12,5%

1. 1. Увеличение на р%

Чтобы увеличить положительное число а на р%, следует:

умножить числоа на коэффициент увеличения к = (1+0,01р)

Задача: Цена на яблоки выросла на 30%. Какова цена яблок после повышения, если первоначальная цена 250 рублей?

к = 1 + 0,01 ·30 = 1,3

250 · 1,3 = 325

Ответ: 325 рубля.

1. 1. Уменьшение на р%

Чтобы уменьшить положительное число а на р%, следует:

умножить числоа на коэффициент уменьшенияк = (1- 0,01·р)

Задача: Цена на путевку в санаторий снизилась на 10%. Сколько стоит путевка, если ее первоначальная цена 12 рублей?

к = 1 - 0,01·10 = 0,9;

12 · 0,9 = 10,8

Ответ: 10,8 рубля.

2.2.Решение задач на проценты составлением пропорции

При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть - величинаa - принимается заx % и составляется пропорция:

Из пропорции по двум известным величинам определяют неизвестную третьювеличину, пользуясь основным свойством пропорции: b·x =100·a

Задача 1 . В театральной студии занимаются 36 девушек. Сколько всего учащихся занимаются в данной студии, если юноши составляют 52%?

Девушки составляют 100% - 52% = 48% всех учащихся.

Девушки: 36 чел. - 48%

Всего учащихся: х чел. - 100%

Составляем пропорцию:

Ответ: 75 учащихся.

Задача 2 . Зарплату токарю повысили сначала на 10%, а затем через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата токаря по сравнению с первоначальной?

а - первоначальная зарплата

1 после повышения на 10% - 1,1 а

через год после повышения на 20% - 1,1а · 1,2 = 1,32а

Составим пропорцию:

132% - 100% = 32%

Ответ: на 32%.

2.3.Решение задач на проценты алгебраическим методом

Задача 1 . Одна сторона прямоугольника на 42% больше другой. Площадь прямоугольника 568 см 2 . Найти наименьшую из сторон.

Пусть х - одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона будет 1,42х .

Составим уравнение и решим его:

х · 1,42 х = 568

1,42х 2 = 568

х 2 = 400

х 1 = 20 и х 2 = - 20 - не подходит

Ответ: 20 см.

Задача 2. Турист прошел в первый день 40% маршрута, во второй день 45% оставшегося пути, после чего ему осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день. Весь маршрут составляет

х (км) - весь маршрут

0,4 х (км) - турист прошел в первый день пути

0,45(х - 0,4х) = 0,27х (км)- турист прошел во второй день пути

х - (0,4х + 0,27х) = 0,33х (км) - осталось пройти туристу

Т.к. туристу осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй день, составим уравнение и решим его:

0,33х - 0,27х = 6

0,06х = 6

х = 100

Ответ: 100 км.

2.4.Решение задач на концентрацию и процентное содержание

Для решения задач из этого раздела введем основные понятия:

Пусть даны два различных вещества А и В с массами m А и m В. Масса смеси, составленной из этих веществ, равна М = m А + m В.

Массовая концентрация вещества А в смеси (доля чистого вещества в смеси) С А = = .

Массовые концентрации связаны равенством: С А + С В =1

Процентное содержание вещества А в данной смеси вычисляется по формуле: Р А = С А · 100%

Задача 1. Имеется 50г раствора, содержащего 8% соли. Надо получить 5% -й раствор. Чему равна масса пресной воды, которую необходимо добавить к первоначальному раствору?

Пусть требуется добавить х кг пресной воды. За чистое вещество принимаем соль. Решение оформим таблицей.

Составим уравнение: 0,08 · 50 = (50 + х) · 0,05

50 + х = 80

Ответ: 30 кг.

Задача 2. В растворе содержится 15% соли. Если добавить 150г соли, то в растворе будет содержаться 45% соли. Найти массу соли в первоначальном растворе.

Пусть масса раствора -х г. Решение оформим таблицей.

Составим и решим уравнение: 0,15х + 150 = (х + 150) · 0,45

0,3х = 82,5

х = 275

Найдем массу чистого вещества в первоначальном растворе: 275 · 0,15 = 41,25.

Ответ: 41,25г.

Нами рассмотрено 8 видов задач на проценты. Как показывает анализ, в экзаменационных работах по ОГЭ включены задачи на проценты, некоторые из них представлены в приложении.

Заключение

В заключение хочется сказать, проценты - это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты, необходимы для каждого человека, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Поэтому считаю, что моя работа найдет практическое применение на уроках алгебры, как пример решения задач разных видов с практическим содержанием. Поможет выпускникам вспомнить основные способы решения задач на проценты.

Список литературы

Глейзер Г.И. История математики в школе (4-6 кл.): пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981.-240с.

Крамор, В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа.- М.: Просвещение 1990.-416с.

Новик, И А.Задачи по математике: 4-8-е кл. Кн. для учащихся / И. А. Новик, Н. К. Пещенко, Н. В. Бровка. - Минск:Нар.асвета, 1984. - 96 с.

«Энциклопедический словарь юного математика»

Интернет-ресурсы

Www. math-on-line.Com

Www. edu.yar.ru/russian/pedba

Www. nk/sor_uch/math/Kalmyk/

Www. procent.html

Приложение

Задачи на проценты в вариантах ОГЭ по математике

Городской бюджет составляет 45 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 12,5%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

Переведем 45млн в рубли=45000000, так как 45 млн весь бюджет следовательно - 100%, так как на статью было затрачено 12,5% от общего бюджета, обозначим через х это кол-во в рублях, составим пропорцию

45000000-100%

х-12,5%

х=45000000·12,5:100=5625000 (руб)

Ответ: 5625000(руб)

Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество шариков. Перед началом представления было продано всех воздушных шариков, а в антракте - еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков было первоначально?

Пусть осталось шариков х .

Все шарики 2х

Продали перед представлением: 2х· =2х·0,4=0,8х

Продали в антракте 12 штук

составим уравнение

2х-0,8х-12=х

2х-0,8х-х=12

0,2х=12

х=12:0,2

х= 60 шариков осталось

60·2=120 шариков было

Ответ:120 шариков

Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Через год вклад-чик по-лу-чит 20 % до-хо-да, что со-ста-вит

800 ·0,2=160 р.

Таким об-ра-зом, через год на счете будет:

800+160=960 р.

Ответ: 960р.

Товар на распродаже уценили на 20%, при этом он стал стоить 680 р. Сколько стоил товар до распродажи?Решение:100-20=80 % новая цена со-став-ля-ет 80 % от ста-рой цены.Cоставим пропорцию

680 рублей - 80 %x рублей - 100 %

680·100:80= 850 рублей стоил товар до распродажи

Ответ: 850 рублей.

Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 40 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Ре-ше-ние:

Один про-цент от 40 млн. равен: 40 000 000:100 = 400 000 руб.

На вы-пла-ту част-ным ак-ци-о-не-рам пошло: 400 000· 40= 16000000руб.

Ответ: 16000000.

Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:5. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 32 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?

Ре-ше-ние:

Пусть x млн. руб-лей при-хо-дит-ся на одну часть акции, тогда 5x при-хо-дит-ся част-ным ак-ци-о-не-рам, а 3x — го-су-дар-ству. Зная, что вся при-быль со-ста-ви-ла 32 млн. руб-лей, со-ста-вим урав-не-ние:

3x+5x=32

x=4 млн. руб.

Таким об-ра-зом, част-ным ак-ци-о-не-рам при-хо-дит-ся в пять раз боль-ше или 20 млн. руб.

Ответ: 20 000 000.

Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 1:4. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

Ре-ше-ние:

Всего де-ре-вьев пять ча-стей, из них лист-вен-ных — че-ты-ре части, это со-став-ля-ет 4: 5 = 0,8 или 80 %.

Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?

Ре-ше-ние:

Най-дем вес Сер-гея: 48· 120:100=57,6 кг.

Ответ: 57,6 кг.

В начале года число абонентов телефонной компании «Север» составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов увеличилось за год число абонентов этой компании?

Решение:Обозначим за 100% число абонентов в 200 тыс.чел. ,а за х -210 тыс. чел. абонентов.Составим пропорцию:

200 тыс.чел. - 100%210 тыс.чел. - х%

х=210·100/200=105 (%)

105%-100%=5% (на столько процентов увеличилось количество абонентов)Ответ: 5%

Тест по математике содержит 30 заданий, из которых 18 заданий по алгебре, остальные - по геометрии. В каком отношении содержатся в тесте алгебраические и геометрические задания?

Ре-ше-ние:

Ко-ли-че-ство за-да-ний по гео-мет-рии равно: 30-18=12 шт. Таким об-ра-зом, ал-геб-ра-и-че-ские и гео-мет-ри-че-ские за-да-чи на-хо-дят-ся в от-но-ше-нии: 18: 12 = 3: 2.

Ответ: 3: 2

На счет в банке, доход по которому составляет 15% годовых, внесли 24 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Ре-ше-ние:

Най-дем, сколь-ко про-цен-тов будет через год: 100%+15%=115%. Таким об-ра-зом, через год в банке будет: 2400· 115:100=27600 руб.

Ответ: 27600 руб.

Какая сумма (в рублях) будет проставлена в кассовом чеке, если стоимость товара 520 р., и покупатель оплачивает его по дисконтной карте с 5%-ной скидкой?

Ре-ше-ние:

Рас-счи-та-ем скид-ку, ко-то-рую по-лу-ча-ет по-ку-па-тель, опла-чи-вая товар по дис-конт-ной карте с 5%-ной скид-кой: 520· 5:100=26 руб. Таким об-ра-зом, ито-го-вая цена со скид-кой равна: 520 - 26 = 494 руб.

Ответ: 494.

В понедельник некоторый товар поступил в продажу по цене 1000 р. В соответствии с принятыми в магазине правилами цена товара в течение недели остается неизменной, а в первый день каждой следующей недели снижается на 20% от предыдущей цены. Сколько рублей будет стоить товар на девятый день после поступления в продажу?

Ре-ше-ние:

Как из-вест-но, в не-де-ле 7 дней. Зна-чит, 12 день вы-па-да-ет на вто-рую не-де-лю, когда цена сни-жа-ет-ся на 20%, таким об-ра-зом, товар будет сто-ить 80%. Имеем:

1000· 80:100=800

Ответ: 800.

В период распродажи магазин снижал цены дважды: в первый раз на 30%, во второй - на 50%. Сколько рублей стал стоить чайник после второго снижения цен, если до начала распродажи он стоил 700 р.?

Ре-ше-ние:

В пер-вый раз цена упала на 700 · 30:100 = 210 руб. Зна-чит, после пер-во-го по-ни-же-ния цен чай-ник стал сто-ить 700 − 210 = 490 руб. Во вто-рой раз цена упала на 490 · 45:100 = 220,5 руб. Зна-чит, после вто-ро-го по-ни-же-ния цен чай-ник стал сто-ить 490 - 220,5 = 269,5 руб.

Ответ: 269,5.

При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Николай хочет положить на счёт своего мобильного телефона не меньше 320 рублей. Какую минимальную сумму он должен положить в приемное устройство данного терминала?

Ре-ше-ние:

С уче-том ко-мис-сии, Аня долж-на вне-сти в при-ем-ное устрой-ство сумму не менее 300 + 300 · 0,05 = 315 руб-лей. Зна-чит, ми-ни-маль-ная сумма, ко-то-рую долж-на по-ло-жить Аня в при-ем-ное устрой-ство дан-но-го тер-ми-на-ла — 320 руб-лей. Про-ве-рим, что этой суммы до-ста-точ-но: 5% от нее со-став-ля-ют 16 руб. (это ко-мис-сия), остав-ши-е-ся 304 рубля пой-дут на счет те-ле-фо-на.

Ответ: 320.

Мобильный телефон стоил 5000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 3000 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Ре-ше-ние:

Цену на те-ле-фон сни-зи-ли на 5000 − 3000 = 2000 руб-лей. Раз-де-лим 2000 на 5000:

Зна-чит, цену сни-зи-ли на 40%.

На покупку планшета взяли кредит 20000 р на 1 год под 16 % годовых. Вычислите, сколько денег необходимо вернуть банку, какова ежемесячная сумма выплат?

Решение:

20000· 16:100 = 3200 (руб.) - один год

20000 + 3200 = 23200 (руб.) - полная сумма с процентами

23200:12= 1933 (руб.) - ежемесячная сумма выплат

Ответ: 1933 рубля.

Пачка чая стоила 100 рублей. Сначала цену повысили на 10%, а затем снизили на 10% (от новой цены). Сколько теперь стоит пачка чая?

Так как цену повысили на 10%, значит нужно умножить первоначальную цену на 1,1 и при понижении на 10% нужно умножить на 0,9,

100·(1+0,1) ·(1-0,1) =99 руб.

Ответ: 99 рублей.

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Ре-ше-ние:

В ок-тяб-ре ви-но-град по-до-ро-жал на 60 · 25:100 = 15 руб-лей и стал сто-ить 60 + 15 = 75 руб-лей. В но-яб-ре ви-но-град по-до-ро-жал на 75 · 20:100 = 15 руб-лей. Зна-чит, после по-до-ро-жа-ния в но-яб-ре 1 кг ви-но-гра-да стоил 75 + 15 = 90 руб-лей.

В школе 800 учеников, из них 30% — ученики начальной школы. Среди учеников средней и старшей школы 20% изучают немецкий язык. Сколько учеников в школе изучают немецкий язык, если в начальной школе немецкий язык не изучается?

Ре-ше-ние:

Уче-ни-ков на-чаль-ной школы 800 · 30:100 = 240, а уче-ни-ков сред-ней и стар-шей школы - 800 − 240 = 560. Зна-чит, не-мец-кий язык в школе изу-ча-ют 560 · 20:100 = 112 уче-ни-ков.

1% - это сотая часть числа.

1% = 0,01.

Нахождение процентов от числа.
Чтобы найти проценты от числа, можно проценты представить в виде десятичной дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.

Нахождение числа по его процентам.
Чтобы найти число по его процентам, можно проценты представить в виде десятичной дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.

Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого можно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100.

Как решать задачи на проценты. Примеры.

Нахождение процентов от числа связано с нахождением дроби от числа. Проценты - это особый способ записи обыкновенной дроби, поэтому начинать раскрывать смысл понятия процентов следует с осмысливания понятия обыкновенной дроби.

Возьмем несколько обыкновенных дробей, например,. Какой смысл вкладывается в каждую такую запись?
- Это примеры правильных обыкновенных дробей. Знаменвтель каджой из них показывает на сколько равных частей нужноразделить некий реальный или абстрактный объект, числитель показывает сколько таких частей нужно взять. Возьмем в качестве примера какую-нибудь правильную дробь. Например. Смысл этого выражения можно раскрыть следующим образом. Некий реальный объект разделили на 3 равные части и взяли из них 2 части.

В качестве реального объекта можно взять, например, прямоугольник.

Это выражение представляет собой частное чисел a и b, где b не равно 0.

Это отношение чисел a и b, где b не равно 0.

Это обыкновенная дробь. a – числитель, b – знаменатель (b не равно 0).

Пример 1. Емкость бочки 200 л.бочки заполнили водой. Какой смысл вложили в это предложение?
- эта дробь означает, что некий объект разделили на 5 равных частей и из них взяли 2 части. Объектом в данной задаче является объем бочки равный 200 л, следовательно,
200:5 = 40,
402 = 80.
В бочку налили 80 литров воды.
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение дроби от числа.

Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.

Теперь можно перейти и к процентам.

Понятие процента определяют так: 1% от числа это сотая часть числа, т. е. 1% = 0,01.

Тогда смысл предложения а% от числа b можно пояснить так. Некий объект (величина, которого равна b единиц) разделили на 100 равных частей и взяли из них a частей.

Пример 2. У Маши было 400 рублей. 24% этой суммы она израсходовала. Какой смысл заключен в этом высказывании?
Так как 24% = 0,24, а 0,24 означает, что некий объект разделили на 100 равных частей и взяли из них 24 части. В данном случае объектом является сумма денег равная 400 руб., следовательно,
400: 100 =4,
424 = 96.
Маша израсходовала 96 рублей.
Приведенный выше пример это типичный пример на нахождение процентов от числа.

Пример 3. Нужно найти р% от числа b .
Пусть x – число, которое нам нужно найти.
p% = 0,01p,
x = b 0,01p

Чтобы найти проценты от числа, нужно число процентов представить в виде десятичной дроби и данное число умножить на эту десятичную дробь.

Другой подход к этой задаче. Можно использовать понятие и свойства пропорции. Если вспомнить, что пропорция - это равенство двух отношений, а отношение двух чисел - это обыкновенная дробь, то этот способ также связан с понятием обыкновенной дроби.

b - 100%,
x - р%,
Имеем пропорцию:
b: 100 = x: р, (b относится к 100 как x относится к p) откуда,

Пример 4. Пусть имеются числа a и b , причем, a > b Тогда число a больше числа b на %.

Подойдем к этой задаче чуть-чуть иначе. Будем рассматривать простой частный случай, например такой: "На сколько процентов число 10 больше числа 2?".

1. Из большего числа вычитаем меньшее. 10 - 2 = 8. Тогда 10 больше 2 на 8.

2. Находим отношение, найденного числа к меньшему числу. 8: 2 = 4 - это отношение двух чисел!

3 Выражаем отношение в процентах 4100 = 400%.

Число 10 больше числа 2 на на 400%.

Если мы 8 разделим на 10 мы найдем отношение, показывающее на какую часть от 10 2 меньше 10 (здесь сравнение идет с числом 10.

Число 2 меньше числа 10 на 80%.

Пример 5. Тракторист вспахал 6 га, что составляетот всего поля. Чему равна площадь всего поля.
Это типичная задача нахождения числа по его дроби. Пусть площадь всего поля равна x, тогда имеем уравнение x= 6. Откуда x = 6:; x = 26. Площадь поля равна 26 га.

Чтобы найти число по его дроби, нужно число соответствующее данной дроби разделить на дробь.

Пример 6 . Дано число b, которое составляет p% от числа a. Найти число а.

p% = 0,01p
b = 0,01pa
a = b: (0,01p)

Дано число b , которое составляет p% от числа a .

Найти число а .

a - 100%

b - p%

a: 100 = b: p

Формула сложных процентов.

Если на вклад положена сумма a денежных единиц, и банк начисляет р% годовых, то через n лет сумма на вкладе составит денежных единиц, или
a(1+0,01p) n денежных единиц.

Пример 7. Постройка дома стоила 9800 рублей, из них 35% заплатили за работу, а остальные деньги за материал. Сколько рублей стоили материалы?

За работу заплатили:

0,359800 = 3430.

Следовательно, материалы стоили: 9800 - 3430 = 6370.

Ответ: 6370 руб.

Пример 8. В цистерну налили 37,4 т бензина, после чего осталось незаполненным 6,5% вместимости цистерны. Сколько бензина нужно долить в цистерну для ее заполнения?

Если незаполненная часть цистерны составляет 6,5% вместимости, то заполненная часть составляет: 100% - 6,5% = 93,5%. Тогда, если х - масса бензина, который осталось долить в цистерну, то имеем пропорцию

откуда.

Ответ: 2,6 т.

Пример 9. Найти число, зная, что 25% его равно 45% от 640.

Пусть х - искомое число. Имеем

0,25x = 0,45640.

Ответ: 1152.

Пример 10. Число а составляет 92% от числа b. Если число b увеличить на 700, то новое число будет на 9% больше числа a. Найти числа a и b.

Из условия задачи имеем систему уравнений:

Решая полученную систему, находим, а = 230000, b = 250000.

Ответ: 230000; 250000.

Пример 11. Первое число составляет 50% от второго. Сколько процентов от первого составляет второе?

Обозначим второе число через х, тогда первое число равняется 0,5х. Чтобы узнать, сколько процентов составляет число х от числа 0,5x; составим пропорцию:

из которой находим

Ответ: 200%.

Пример 12. В лицее 260 учащихся, из которых 10% неуспевающих. После отчисления некоторого числа неуспевающих, их процент снизился до 6,4%. Сколько учащихся отчислено?

До отчисления количество неуспевающих до отчисления соляло

Пусть отчислили х человек. Тогда всего в лицее осталось 260 - х учащихся, из них неуспевающих стало 26 - х. Имеем пропорцию

260 – x - 100%,

(260 – x)0,064=(26 - x)100,

Решая полученное уравнение, находим х = 10.

Пример 13. На сколько процентов число 250 превышает число 200?

Выполним два действия.

1) Выясняем, сколько процентов составляет число 250 т от числа 200:

2) Так как число 200 в данном примере составляет 100%, то число 250 больше числа 200 на 125% -100% = 25%.

Ответ: 25%.

Пример 14. На сколько процентов число 200 меньше, чем число 250?

1) Выясняем, сколько процентов составляет число 200 от числа 250 (в отличие от предыдущего примера, здесь за 100% нужно принимать число 250!):

2) Число 200 меньше числа 250 на 100% - 80% = 20%.

Ответ: 20%.

Пример 15. Длину кирпича увеличили на 30%, ширину на 20%, а высоту уменьшили на 40%. Увеличился или уменьшился от этого объем кирпича и на сколько процентов?

Пусть исходная длина кирпича - х, ширина - у, высота - z. Тогда исходный объем кирпича: V 1 = xyz. Новые размеры кирпича: 1,3х; 1,2у; 0,6z и новый объем: V 2 = 1,3х1,2у0,6z = 0,936xyz. Так как V 2 < V 1 , объем кирпича уменьшился. Уменьшение V 2 - V 1 = 0,064xyz и составляет 6,4% от V 1.

Ответ: уменьшился на 6,4%.

Пример 16. Цена товара понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной ценой?

Обозначим первоначальную цену товара через х. После первого понижения цена станет равной

х - 0, 4х = 0,6x.

Второе понижение цены составляет 25% от новой цены 0,6х, поэтому после второго понижения будем иметь цену

0,6х - 0,250,6x = 0,45x;.

После двух понижений суммарное изменение цены составляет:

х - 0,45x = 0,55х.

Так как величина 0,55x; составляет 55% от величины x, то цена товара понизилась на 55%.

Ответ: 55%.

Пример 17. Первоначальная стоимость единицы продукции равнялась 75 руб. В течение первого года производства она повысилась на некоторое, число процентов, а в течение второго года снизилась (по отношению к повышенной стоимости) на такое же число процентов, в результате чего она стала равна 72 руб. Определите проценты повышения и понижения стоимости единицы продукции.

Пусть х% - это проценты повышения (и понижения) стоимости единицы продукции. По определению х% от 75 это - 750,01x. Тогда после первого повышения цена станет равняться 75 + 0,75x.

В течение второго года цена снизится на величину

0,01x(75+0,75х) = 0,75х + 0,0075х 2 .

Теперь можно записать уравнение для окончательной цены

(75 + 0,75х) - (0,75х + 0,0075х 2) = 72;

х 2 = 400; отсюда x 1 = - 20, x 2 = 20.

Подходит только один корень этого уравнения: х 2 = 20.

Ответ: 20%.

Пример 18. На банковский счет было положено 10 тыс. руб. После того, как деньги пролежали один год со счета сняли 1 тыс. руб. Еще через год на счету стало 11 тыс. руб. Определить, какой процент годовых начисляет банк.

Пусть банк начисляет р% годовых.

1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский счет под р% годовых, через год возрастет до величины

10000 + 0,01p10000 = 10000 + 100р руб.

Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000 + 100р руб.

2) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины 9000 + 100р + 0,01p(9000 + 100р) = р 2 + 190р + 9000 руб.

По условию эта величина равна 11000 руб, поэтому имеем квадратное уравнение.

р 2 + 190р + 9000 = 11000;

р 2 + 190р - 2000 = 0
, решим это квадратное уравнение, испрльзуя теорему Виетта, p 1 = 10, p 2 = -200.

Отрицательный корень не подходит.

Ответ: 10%.

Пример 19. В городе в настоящее время 48400 жителей. Известно, что население этого города увеличивается ежегодно на 10%. Сколько жителей было в городе два года назад?

Предположим, что два года назад количество жителей город было x человек, тогда количество жителей в настоящее время выражается через х по формуле сложных процентов:

x(1+0,1) 2 = 1,21x.

Из условия задачи:

Ответ: 40000 человек.

Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.

10 яблок = 100%;

x яблок = 75%.

Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.

Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.

Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.

5 литров - 150 рублей;

30 литров - х рублей;

Решаем эту пропорцию:

x = 900 рублей.

Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.