Per te perdorur pamje paraprake prezantimet krijoni vetes një llogari ( llogari) Google dhe regjistrohu: https://accounts.google.com
Titrat e rrëshqitjeve:
Sferat e përshkruara rreth poliedrit.
Përkufizimi. Një shumëfaqësh thuhet se është i gdhendur në një sferë (dhe një sferë e përshkruar rreth një shumëkëndëshi) nëse të gjitha kulmet e poliedrit i përkasin kësaj sfere. Pasoja. Qendra e sferës së rrethuar është një pikë e barabartë nga të gjitha kulmet e shumëkëndëshit. O O O . . .
Teorema 1. Bashkësia e pikave të barabarta nga dy pika të dhëna është një rrafsh pingul me një segment me skaje në pikat e dhëna, që kalon nga mesi i tij (rrafshi i përgjysmuesve pingul me këtë segment). AB ┴ α AO=OB α A B O
Teorema 2. Bashkësi pikash të barabarta nga n pikët e dhëna, i shtrirë në të njëjtin rreth, ka një vijë të drejtë pingul me rrafshin e këtyre pikave, që kalon nga qendra e rrethit të rrethuar rreth tyre. C E A B D O a . . . . . . C E A B D. . . . .
Një prizëm i gdhendur në një sferë. OA=OB=…=OX=R sf. O 1. O. O sf a 1 a .A 1 .B 1 .C 1 .D 1 E 1 . X 1. .A .B .C .D E. X. a a 1 . O. O 1
Pasojat. 1) Një sferë mund të përshkruhet rreth një prizmi trekëndor të drejtë, sepse Ju gjithmonë mund të përshkruani një rreth rreth një trekëndëshi. 2) Një sferë mund të përshkruhet rreth çdo prizmi të rregullt, sepse një prizëm i rregullt është i drejtë dhe një rreth mund të përshkruhet gjithmonë rreth një poliedri të rregullt. O. O. .
Detyra nr. 1. Topi është i rrethuar rreth një prizmi, në bazën e të cilit shtrihet një trekëndësh kënddrejtë me këmbët 6 dhe 8. Buza anësore e prizmit është 24. Gjeni rrezen e topit. Jepet: ∆ ABC – drejtkëndëshe; AC=6, BC=8, AA 1 =24. Gjeni: Rw = ? Zgjidhje: 1)OO 1 ┴AB 1 ; OO 1 =AA 1 =24. 2) ABC: AB=10. 3) O w OB: R w = O w B=√OO w 2 + OB 2 = = √144+25=13 Përgjigje: 13. O 1 O. . . R w O sh C 1 B 1 A 1 A C B
Detyra nr. 3. Dimensionet e një kuboidi janë 2,3 dhe 5. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Jepet:AB=a=2; BC=b=3; CC 1 =c=5. Gjeni: Rw = ? Zgjidhje: 1) AC 2 =a 2 +b 2 +c 2. 2) A 1 C 2 =25+9+4=38 (Veti e diagonaleve të një paralelipipedi drejtkëndor) 3) A 1 C=√38; R w = O w C = √38 /2 Përgjigje: √38 /2 D 1 C 1 B 1 A 1 A B C D 5 2 3 . . . O sh
Detyra nr. 3. Ana e bazës së një prizmi të rregullt trekëndor është e barabartë me a, dhe buza anësore është e barabartë me 2 a. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Jepet: AB=BC=AC=a, AA 1 ┴ABC ; AA 1= 2a. Gjeni: Rw = ? Zgjidhje: 1)AB=AO √3; AO=a/√3. 2)R w =√ a 2 + a 2 /3=2a/ √ 3 Përgjigje: 2a/ √ 3 C 1 B A 1 C B 1 A O w R w. O O 1
Pasojat. 1) Ju gjithmonë mund të përshkruani një sferë rreth një piramide trekëndore, pasi gjithmonë mund të përshkruani një rreth rreth një trekëndëshi. 2) Rreth piramida e rregullt gjithmonë mund ta përshkruani sferën. 3) Nëse skajet anësore të piramidës janë të barabarta (të prirur njësoj me bazën), atëherë një sferë mund të përshkruhet gjithmonë rreth një piramide të tillë. *Në dy rastet e fundit, qendra e sferës shtrihet në vijën e drejtë që përmban lartësinë e piramidës. O. O.
Problemet (sfera e përshkruar pranë piramidës). Pranë piramidës PABC, baza e së cilës është trekëndëshi i rregullt ABC me anë 4√3, përshkruhet një sferë. Buza anësore PA është pingul me rrafshin e bazës së piramidës dhe është e barabartë me 6. Gjeni rrezen e topit. Jepet: AB=BC=AC=4 √3 ; PA ┴(ABC); PA=6. Gjeni: Rw = ? Zgjidhje: 1) OO SF ┴(ABC); O – qendra e një rrethi të rrethuar rreth ∆ABC; K O SF ┴ PA; KP=AK (KO SF Një nga perpendikularët e mesit në skajin anësor PA); O SF është qendra e sferës së rrethuar. 2) OO SF ┴(ABC); OO SF i përket (AKO); PA ┴(ABC); AK i përket (AKO) ; do të thotë KA|| OO SF; . O SF. O K. P. A. B. C
Problemet (sfera e përshkruar pranë piramidës). 3) KO c f ┴AP; KO c f i përket (AOK); AO┴AP; AO i përket (AOK) ; do të thotë KO c f || AO; 4) Nga (2) dhe (3): AOO c f K- drejtkëndësh, AK=PA/2=3; 5) AO=AB/ √3 =4; 6) ∆ AO O c f: AO c f = R w =5 Përgjigje: 5
Problemet (sfera e përshkruar pranë piramidës). Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe, buza anësore është e prirur nga baza në një kënd prej 45˚. Lartësia e piramidës është h. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Jepet: PABCD – piramidë e rregullt; (AP^(ABC))=45 ˚; PO=h. Gjeni: Rw = ? Zgjidhje: 1) AO=OP=h; AP=h √ 2; 2) ∆PAP 1 – drejtkëndëshe; PP 1 - diametri i topit; PP 1 = 2 R w; AP 2 = PP 1 *OP; (h √ 2) 2 =2 R w *h; R w = 2h 2 /2h=h. Përgjigje: h. C. B A. .D .P .P 1 . O
Detyrat (sfera e përshkruar pranë piramidës). Më vete. Rrezja e një sfere të rrethuar rreth një tetraedri të rregullt është e barabartë me R. Gjeni sipërfaqen totale të tetraedrit.
Problemet (sfera e përshkruar pranë piramidës). Më vete. Jepet: DABC – tetraedron i rregullt; R është rrezja e sferës. Gjeni: S tetra të plotë. =? Zgjidhje: 1) Meqenëse tetraedri është i rregullt, qendra e sferës së rrethuar i përket vijës së drejtë që përmban lartësinë e piramidës; 2) S tetra e plotë. = a 2 √ 3/4*4= a 2 √ 3; 3) Pikat D, A, D 1 i përkasin të njëjtit rreth - seksioni i sferës nga rrafshi DAD 1, që do të thotë se këndi DAD 1 është një kënd i brendashkruar bazuar në diametrin, DD 1; këndi DAD 1 =90 ˚; 4) AO – lartësia ∆ SHTO 1 e tërhequr nga kulmi kënd i drejtë. AD 2 = DO*DD 1 ; 5) AO=a/ √ 3; DO= √ a 2 -a 2 /3=a √ 2 / √ 3; a 2 = a √ 2 / √ 3*2R; a= √ 2 / √ 3*2R; a 2 = 8R 2/3; .D 1 .D .O .B .C A. a a
Problemet (sfera e përshkruar pranë piramidës). Më vete. 6) S tet e plota. = 8R 2 √ 3/3 Përgjigje: 8R 2 √ 3/3
Tema “Probleme të ndryshme mbi poliedrin, cilindrin, konin dhe topin” është një nga më të vështirat në lëndën e gjeometrisë në klasën e 11-të. Para se të zgjidhin probleme gjeometrike, ata zakonisht studiojnë seksionet përkatëse të teorisë që përmenden kur zgjidhin probleme. Në librin shkollor të S. Atanasyan dhe të tjerëve për këtë temë (fq. 138) mund të gjenden vetëm përkufizime të një poliedri të përshkruar rreth një sfere, një poliedri të gdhendur në një sferë, një sferë të gdhendur në një shumëfaqësh dhe një sferë të përshkruar rreth një shumëkëndësh. NË rekomandimet metodologjike ky libër shkollor (shih librin "Studimi i gjeometrisë në klasat 10-11" nga S.M. Saakyan dhe V.F. Butuzov, f. 159) thotë se cilat kombinime trupash merren parasysh gjatë zgjidhjes së problemeve nr. 629-646 dhe i drejtohet vëmendje faktit se " kur zgjidhet një problem i caktuar, para së gjithash, është e nevojshme të sigurohet që studentët të kenë një kuptim të mirë të pozicioneve relative të trupave të treguar në gjendje." Më poshtë është zgjidhja e problemeve nr. 638 (a) dhe nr. 640.
Duke marrë parasysh të gjitha sa më sipër dhe faktin se problemet më të vështira për nxënësit janë kombinimi i topit me trupa të tjerë, është e nevojshme të sistemohen parimet përkatëse teorike dhe t'u komunikohen nxënësve.
Përkufizimet.
1. Një top quhet i gdhendur në një shumëfaqësh, dhe një shumëfaqësh i përshkruar rreth një topi nëse sipërfaqja e topit prek të gjitha faqet e shumëfaqëshit.
2. Një top quhet i rrethuar rreth një shumëfaqëshi, dhe një shumëfaqësh i gdhendur në një top, nëse sipërfaqja e topit kalon nëpër të gjitha kulmet e shumëkëndëshit.
3. Një top thuhet se është i gdhendur në një cilindër, kon i cunguar (kon), dhe një cilindër, kon i cunguar (kon) thuhet se është i gdhendur rreth topit nëse sipërfaqja e topit prek bazat (bazën) dhe të gjitha. gjeneratat e cilindrit, koni (koni) i cunguar.
(Nga ky përkufizim rrjedh se një rreth mund të brendashkrohet në çdo seksion boshtor të këtyre trupave rreth i madh top).
4. Një top thuhet se është i rrethuar rreth një cilindri, një kon të cunguar (kon), nëse rrathët e bazave (rrethi bazë dhe kulmi) i përkasin sipërfaqes së topit.
(Nga ky përkufizim del se rreth çdo seksioni boshtor të këtyre trupave mund të përshkruhet rrethi i një rrethi më të madh të topit).
Shënime të përgjithshme për pozicionin e qendrës së topit.
1. Qendra e një topi të gdhendur në një shumëfaqësh shtrihet në pikën e kryqëzimit të rrafsheve përgjysmuese të të gjitha këndeve dykëndore të shumëkëndëshit. Ndodhet vetëm brenda poliedrit.
2. Qendra e një topi të rrethuar rreth një poliedri shtrihet në pikën e kryqëzimit të rrafsheve pingul me të gjitha skajet e shumëfaqëshit dhe që kalon nëpër pikat e mesit të tyre. Mund të vendoset brenda, në sipërfaqe ose jashtë poliedrit.
Kombinimi i një sfere dhe një prizmi.
1. Një top i gdhendur në një prizëm të drejtë.
Teorema 1. Një sferë mund të futet në një prizëm të drejtë nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të brendashkruhet në bazën e prizmit, dhe lartësia e prizmit është e barabartë me diametrin e këtij rrethi.
Përfundimi 1. Qendra e një sfere të gdhendur në një prizëm të drejtë shtrihet në mes të lartësisë së prizmit që kalon nga qendra e rrethit të gdhendur në bazë.
Përfundimi 2. Një top, në veçanti, mund të mbishkruhet në vija të drejta: trekëndësh, i rregullt, katërkëndor (në të cilin shumat e anëve të kundërta të bazës janë të barabarta me njëra-tjetrën) nën kushtin H = 2r, ku H është lartësia e prizmi, r është rrezja e rrethit të gdhendur në bazë.
2. Sferë e rrethuar rreth një prizmi.
Teorema 2. Një sferë mund të përshkruhet rreth një prizmi nëse dhe vetëm nëse prizmi është i drejtë dhe një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së tij.
Përfundimi 1. Qendra e një sfere të rrethuar rreth një prizmi të drejtë shtrihet në mes të lartësisë së prizmit të tërhequr përmes qendrës së një rrethi të rrethuar rreth bazës.
Përfundimi 2. Një top, në veçanti, mund të përshkruhet: afër një prizmi trekëndor të drejtë, pranë një prizmi të rregullt, pranë një paralelipipedi drejtkëndor, pranë një prizmi të drejtë katërkëndor, në të cilin shuma e këndeve të kundërta të bazës është e barabartë me 180 gradë.
Nga libri shkollor i L.S. Atanasyan, problemet Nr. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) mund të sugjerohen për kombinimin e një topi dhe një prizmi.
Kombinimi i një topi me një piramidë.
1. Një top i përshkruar pranë një piramide.
Teorema 3. Një top mund të përshkruhet rreth një piramide nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së saj.
Përfundimi 1. Qendra e një sfere të rrethuar rreth një piramide shtrihet në pikën e kryqëzimit të një vije të drejtë pingul me bazën e piramidës që kalon përmes qendrës së një rrethi të rrethuar rreth kësaj baze dhe një rrafshi pingul me çdo skaj anësor të tërhequr në mes të këtë skaj.
Përfundimi 2. Nëse skajet anësore të piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën (ose të prirur njësoj me rrafshin e bazës), atëherë rreth një piramide të tillë mund të përshkruhet një top.Qendra e këtij topi në këtë rast shtrihet në pikën e kryqëzimit të lartësia e piramidës (ose shtrirja e saj) me boshtin e simetrisë së skajit anësor që shtrihet në rrafshin e skajit dhe lartësisë anësore.
Përfundimi 3. Një top, në veçanti, mund të përshkruhet: afër një piramide trekëndore, pranë një piramide të rregullt, afër një piramide katërkëndore në të cilën shuma e këndeve të kundërta është 180 gradë.
2. Një top i gdhendur në një piramidë.
Teorema 4. Nëse faqet anësore të piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me bazën, atëherë një top mund të futet në një piramidë të tillë.
Përfundimi 1. Qendra e një topi të gdhendur në një piramidë, faqet anësore të së cilës janë të prirura në mënyrë të barabartë me bazën, shtrihet në pikën e kryqëzimit të lartësisë së piramidës me përgjysmuesin e këndit linear të çdo këndi dihedral në bazën e piramidës, ana prej të cilave është lartësia e faqes anësore të tërhequr nga maja e piramidës.
Përfundimi 2. Ju mund të vendosni një top në një piramidë të rregullt.
Nga libri shkollor i L.S. Atanasyan, problemet Nr. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641 mund të sugjerohen për kombinimin e një topi me një piramidë.
Kombinimi i një topi me një piramidë të cunguar.
1. Një top i rrethuar rreth një piramide të rregullt të cunguar.
Teorema 5. Një sferë mund të përshkruhet rreth çdo piramide të rregullt të cunguar. (Ky kusht është i mjaftueshëm, por jo i nevojshëm)
2. Një top i gdhendur në një piramidë të rregullt të cunguar.
Teorema 6. Një top mund të futet në një piramidë të prerë të rregullt nëse dhe vetëm nëse apotema e piramidës është e barabartë me shumën e apotemave të bazave.
Ekziston vetëm një problem për kombinimin e një topi me një piramidë të cunguar në librin shkollor të L.S. Atanasyan (Nr. 636).
Kombinimi i topit me trupat e rrumbullakët.
Teorema 7. Një sferë mund të përshkruhet rreth një cilindri, një koni të cunguar (rrethor i drejtë) ose një kon.
Teorema 8. Një top mund të futet në një cilindër (rrethor të drejtë) nëse dhe vetëm nëse cilindri është barabrinjës.
Teorema 9. Ju mund të vendosni një top në çdo kon (rrethor i drejtë).
Teorema 10. Një top mund të futet në një kon të cunguar (rrethor i drejtë) nëse dhe vetëm nëse gjeneratori i tij është i barabartë me shumën e rrezeve të bazave.
Nga libri shkollor i L.S. Atanasyan mund të sugjerohen problemet Nr. 642, 643, 644, 645, 646 për kombinimin e një topi me trupa të rrumbullakët.
Për të studiuar më me sukses materialin për këtë temë, është e nevojshme të përfshihen detyra me gojë në mësime:
1. Buza e kubit është e barabartë me a. Gjeni rrezet e topave: të gdhendura në kub dhe të rrethuar rreth tij. (r = a/2, R = a3).
2. A është e mundur të përshkruhet një sferë (top) rreth: a) një kubi; b) paralelipiped drejtkëndor; c) një paralelipiped i pjerrët me një drejtkëndësh në bazën e tij; d) paralelipiped i drejtë; e) një paralelipiped i prirur? (a) po; b) po; c) jo; d) jo; d) jo)
3. A është e vërtetë që një sferë mund të përshkruhet rreth çdo piramide trekëndore? (Po)
4. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth ndonjë piramide katërkëndore? (Jo, jo pranë ndonjë piramide katërkëndore)
5. Çfarë veti duhet të ketë një piramidë për të përshkruar një sferë rreth saj? (Në bazën e tij duhet të ketë një shumëkëndësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth)
6. Një piramidë është e gdhendur në një sferë, buza anësore e së cilës është pingul me bazën. Si të gjeni qendrën e një sfere? (Qendra e sferës është pika e kryqëzimit të dy lokacioneve gjeometrike të pikave në hapësirë. E para është një pingul e tërhequr në rrafshin e bazës së piramidës, përmes qendrës së një rrethi të rrethuar rreth saj. E dyta është një plan pingul me një skaj të caktuar anësor dhe të tërhequr nga mesi i tij)
7. Në çfarë kushtesh mund të përshkruani një sferë rreth një prizmi, në bazën e së cilës është një trapez? (Së pari, prizmi duhet të jetë i drejtë, dhe së dyti, trapezi duhet të jetë dykëndor në mënyrë që të mund të përshkruhet një rreth rreth tij)
8. Çfarë kushtesh duhet të plotësojë një prizëm që të përshkruhet një sferë rreth tij? (Prizmi duhet të jetë i drejtë, dhe baza e tij duhet të jetë një shumëkëndësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth)
9. Një sferë përshkruhet rreth një prizmi trekëndor, qendra e të cilit shtrihet jashtë prizmit. Cili trekëndësh është baza e prizmit? (Trekëndësh i trashë)
10. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një prizmi të pjerrët? (Jo ju nuk mund)
11. Në çfarë kushti do të vendoset qendra e një sfere të rrethuar rreth një prizmi trekëndor të drejtë në njërën nga faqet anësore të prizmit? (Baza është një trekëndësh kënddrejtë)
12. Baza e piramidës është një trapez izoscelular.Projeksioni ortogonal i majës së piramidës mbi rrafshin e bazës është një pikë e vendosur jashtë trapezit. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një trapezi të tillë? (Po, mundeni. Fakti që projeksioni ortogonal i majës së piramidës ndodhet jashtë bazës së saj nuk ka rëndësi. Është e rëndësishme që në bazën e piramidës të shtrihet një trapezoid isosceles - një shumëkëndësh rreth të cilit mund të jetë një rreth. përshkruar)
13. Një sferë përshkruhet pranë një piramide të rregullt. Si ndodhet qendra e saj në raport me elementët e piramidës? (Qendra e sferës është në një pingul të tërhequr në rrafshin e bazës përmes qendrës së saj)
14. Në çfarë gjendje qëndron qendra e një sfere të përshkruar rreth një prizmi trekëndor kënddrejtë: a) brenda prizmit; b) jashtë prizmit? (Në bazën e prizmit: a) një trekëndësh i mprehtë; b) trekëndëshi i mpirë)
15. Një sferë është përshkruar rreth një paralelipipedi drejtkëndor, skajet e të cilit janë 1 dm, 2 dm dhe 2 dm. Llogaritni rrezen e sferës. (1,5 dm)
16. Në cilin kon të cunguar mund të futet një sferë? (Në një kon të cunguar, në pjesën boshtore të të cilit mund të futet një rreth. Seksioni boshtor i konit është një trapez izoscelular, shuma e bazave të tij duhet të jetë e barabartë me shumën e anëve të tij anësore. Me fjalë të tjera, shuma e rrezeve të bazave të konit duhet të jetë e barabartë me gjeneratorin)
17. Një sferë është e gdhendur në një kon të cunguar. Në çfarë këndi është e dukshme gjenerata e konit nga qendra e sferës? (90 gradë)
18. Çfarë vetie duhet të ketë një prizëm i drejtë që të futet në të një sferë? (Së pari, në bazën e një prizmi të drejtë duhet të ketë një shumëkëndësh në të cilin mund të futet një rreth dhe, së dyti, lartësia e prizmit duhet të jetë e barabartë me diametrin e rrethit të gdhendur në bazë)
19. Jepni një shembull të një piramide që nuk mund të përshtatet me një sferë? (Për shembull, një piramidë katërkëndore me një drejtkëndësh ose paralelogram në bazën e saj)
20. Në bazën e një prizmi të drejtë ndodhet një romb. A është e mundur të vendoset një sferë në këtë prizëm? (Jo, nuk mundesh, sepse afër rombit brenda rast i përgjithshëm nuk mund të përshkruaj një rreth)
21. Në çfarë kushti mund të futet një sferë në një prizëm trekëndësh të drejtë? (Nëse lartësia e prizmit është dyfishi i rrezes së rrethit të gdhendur në bazë)
22. Në çfarë kushtesh mund të futet një sferë në një piramidë të rregullt katërkëndore të cunguar? (Nëse seksioni kryq i një piramide të caktuar është një rrafsh që kalon nga mesi i anës së bazës pingul me të, ai është një trapez izoscelular në të cilin mund të futet një rreth)
23. Një sferë është e gdhendur në një piramidë të cunguar trekëndore. Cila pikë e piramidës është qendra e sferës? (Qendra e sferës së gdhendur në këtë piramidë është në kryqëzimin e tre rrafsheve dysektrale të këndeve të formuara nga faqet anësore të piramidës me bazën)
24. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një cilindri (rrethor djathtas)? (Po ti mundesh)
25. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një koni, një kon i cunguar (rrethor i drejtë)? (Po, mundeni, në të dyja rastet)
26. A mund të futet një sferë në ndonjë cilindër? Çfarë veti duhet të ketë një cilindër që të vendosë një sferë në të? (Jo, jo çdo herë: pjesa boshtore e cilindrit duhet të jetë katror)
27. A mund të futet një sferë në ndonjë kon? Si të përcaktohet pozicioni i qendrës së një sfere të gdhendur në një kon? (Po, absolutisht. Qendra e sferës së brendashkruar është në kryqëzimin e lartësisë së konit dhe përgjysmuesit të këndit të prirjes së gjeneratrit në rrafshin e bazës)
Autori beson se nga tre mësimet e planifikimit me temën "Probleme të ndryshme në poliedra, cilindër, kon dhe top", këshillohet që dy mësime t'i kushtohen zgjidhjes së problemeve për kombinimin e një topi me trupa të tjerë. Nuk rekomandohet vërtetimi i teoremave të dhëna më sipër për shkak të kohës së pamjaftueshme në klasë. Ju mund t'i ftoni studentët që kanë aftësi të mjaftueshme për këtë për t'i provuar ato duke treguar (sipas gjykimit të mësuesit) kursin ose planin e provës.
Një top mund të përshkruhet rreth një piramide nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së saj.
Për të ndërtuar qendrën O të këtij topi, ju nevojiten:
1. Gjeni qendrën O të rrethit të rrethuar rreth bazës.
2. Nëpër pikën O, vizatoni një vijë të drejtë pingul me rrafshin e bazës.
3. Vizatoni një rrafsh përmes mesit të çdo skaji anësor të piramidës pingul me këtë skaj.
4. Gjeni pikën O të kryqëzimit të drejtëzës së ndërtuar dhe rrafshit.
Rast i veçantë: skajet anësore të piramidës janë të barabarta. Pastaj:
topi mund të përshkruhet;
qendra O e topit shtrihet në lartësinë e piramidës;
Ku është rrezja e sferës së kufizuar; - brinjë anësore; H është lartësia e piramidës.
5.2. Topi dhe prizmi
Një sferë mund të përshkruhet rreth një prizmi nëse dhe vetëm nëse prizmi është i drejtë dhe një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së tij.
Qendra e topit është mesi i segmentit që lidh qendrat e rrathëve të përshkruar pranë bazave.
ku është rrezja e sferës së kufizuar; - rrezja e rrethit të përshkruar pranë bazës; H është lartësia e prizmit.
5.3. Topi dhe cilindër
Një top mund të përshkruhet gjithmonë rreth një cilindri. Qendra e topit është qendra e simetrisë së seksionit boshtor të cilindrit.
5.4. Top dhe kon
Një top mund të përshkruhet gjithmonë rreth një koni. Qendra e topit; shërben si qendër e një rrethi të rrethuar rreth seksionit boshtor të konit.
Një prizëm i rregullt katërkëndor, vëllimi i të cilit është 65 dm 3, përshkruhet rreth një sfere. Llogaritni raportin e sipërfaqes totale të prizmit dhe vëllimit të sferës
Një prizëm quhet i rregullt nëse bazat e tij janë shumëkëndësha të rregullt dhe skajet anësore të tij janë pingul me bazën. Një katërkëndësh i rregullt është një katror. Pika e kryqëzimit të diagonaleve të një katrori është qendra e tij, si dhe qendra e rrethit të gdhendur në të. Le ta vërtetojmë këtë fakt. edhe pse kjo provë nuk ka gjasa të kërkohet dhe mund të hiqet
Si një lloj i veçantë i paralelogramit, drejtkëndëshit dhe rombit, katrori ka vetitë e tij: diagonalet janë të barabarta dhe të përgjysmuara nga pika e kryqëzimit dhe janë përgjysmues të këndeve të katrorit. Nëpër pikën E vizatojmë një drejtëz TK paralele me AB. AB është pingul me BC, që do të thotë se TC është gjithashtu pingul me BC (nëse një nga dy drejtëzat paralele është pingul me ndonjë drejtëz të tretë, atëherë drejtëza e dytë paralele është pingul me këtë drejtëz (të tretë)). Në të njëjtën mënyrë ne do të kryejmë MR të drejtpërdrejtë. Trekëndëshat kënddrejtë BET dhe AEK janë të barabartë në hipotenuzë dhe kënd akut (BE=AE - gjysma e diagonaleve, ∠ EBT=∠ EAK - gjysma e këndit të drejtë), që do të thotë ET=EK. Në të njëjtën mënyrë vërtetojmë se EM=EP. Dhe nga barazia e trekëndëshave CEP dhe CET (e njëjta shenjë) shohim se ET = EP, d.m.th. ET=EP=EK=EM ose thjesht thuaj se pika M është e barabartë nga anët e katrorit, dhe kjo është kusht i nevojshëm në mënyrë që të njihet si qendra e një rrethi të gdhendur në këtë katror.
Konsideroni drejtkëndëshin AVTC (ky katërkëndësh është një drejtkëndësh, pasi të gjitha këndet në të janë kënde të drejta nga ndërtimi). Në një drejtkëndësh, anët e kundërta janë të barabarta - AB = CT (duhet të theksohet se CT është diametri i bazës) - kjo do të thotë se ana e bazës është e barabartë me diametrin e rrethit të brendashkruar.
Le të vizatojmë rrafshe përmes paraleleve (dy drejtëza pingule me të njëjtin rrafsh janë paralele) përkatësisht AA 1, CC 1 dhe BB 1 dhe DD 1 (drejtëzat paralele përcaktojnë vetëm një rrafsh). Planet AA 1 C 1 C dhe BB 1 D 1 D janë pingul me bazën ABCD, sepse kalojnë nëpër vija të drejta (brinjë anësore) pingul me të.
Nga pika H (prerja e diagonaleve) në rrafshin AA 1 C 1 C pingul me bazën ABCD. Atëherë do të bëjmë të njëjtën gjë në rrafshin BB 1 D 1 D. Nga teorema: nëse nga një pikë që i përket njërës prej të dyjave. plane pingule, vizatoni një pingul me një plan tjetër, atëherë kjo pingul shtrihet plotësisht në rrafshin e parë - gjejmë se kjo pingul duhet të shtrihet si në rrafshin AA 1 C 1 C ashtu edhe në rrafshin BB 1 D 1 D. Kjo është e mundur vetëm nëse kjo pingulja përkon me vijën e kryqëzimit të këtyre planeve - JO. ato. segmenti NUK është një vijë e drejtë në të cilën shtrihet qendra e rrethit të brendashkruar (pasi NUK është e barabartë nga rrafshet e faqeve anësore, dhe kjo rrjedh nga ekuidistanca e pikave E dhe H nga kulmet e bazave përkatëse (sipas asaj që është vërtetuar: pika e prerjes së diagonaleve është e barabartë nga anët e katrorit), dhe nga fakti se NUK është pingul me bazat, mund të konkludojmë se NUK është diametri i topit. Teorema Një top mund të futet në një prizëm të rregullt nëse dhe vetëm nëse lartësia e tij është e barabartë me diametrin e rrethit të gdhendur në bazë. Epo, ai tashmë është i gdhendur në topin tonë të prizmit, që do të thotë se lartësia e tij është e barabartë me diametrin e rrethi i brendashkruar në bazë.Nëse faqen e bazës e caktojmë si A, dhe lartësia e prizmit është h, atëherë duke përdorur këtë teoremë përfundojmë A=h dhe pastaj vëllimi i prizmit gjendet si ky: 
Më pas, duke përdorur faktin se lartësia është e barabartë me diametrin e topit të brendashkruar dhe anën e bazës së prizmit, gjejmë rrezen e topit dhe më pas vëllimin e tij: 
Duhet thënë se skajet anësore janë të barabarta me lartësinë (segmentet e vijave të drejta paralele të mbyllura ndërmjet plane paralele e barabartë), dhe meqenëse lartësia është e barabartë me anën e bazës, atëherë në përgjithësi të gjitha skajet e prizmit janë të barabarta me njëra-tjetrën, dhe të gjitha faqet janë në thelb katrore me një sipërfaqe A 2. Në fakt, një figurë e tillë quhet kub - një rast i veçantë i një paralelepipedi. Mbetet për të gjetur sipërfaqen totale të kubit dhe për ta lidhur atë me vëllimin e topit: 
2. Ana e bazës 
Detyrat
1. Gjeni sipërfaqen e një prizmi të drejtë, në bazën e të cilit shtrihet një romb me diagonale të barabarta me 3 dhe 4 dhe një buzë anësore të barabartë me 5.
Përgjigje: 62.
2. Në bazën e një prizmi të drejtë shtrihet një romb me diagonale të barabarta me 6 dhe 8. Sipërfaqja e tij është 248. Gjeni skajin anësor të këtij prizmi.
Përgjigje: 10.
3. Gjeni skajin anësor të një prizmi të rregullt katërkëndor nëse anët e bazës së tij janë 3 dhe sipërfaqja është 66.
Përgjigje: 4.
4. Një prizëm i rregullt katërkëndor është i rrethuar rreth një cilindri, rrezja dhe lartësia e bazës së të cilit janë të barabarta me 2. Gjeni sipërfaqen anësore të prizmit.
Përgjigje: 32.
5. Një prizëm i rregullt katërkëndor është i rrethuar rreth një cilindri, rrezja e bazës së të cilit është 2. Sipërfaqja anësore e prizmit është 48. Gjeni lartësinë e cilindrit.
Prizma e djathtë (gjashtëkëndore e rregullt)
Një prizëm në të cilin skajet anësore janë pingul me bazat, dhe bazat janë katrore të barabarta.
1. Fytyrat anësore - drejtkëndësha të barabartë
2. Ana e bazës 
Detyrat
1. Gjeni vëllimin e një prizmi të rregullt gjashtëkëndor, brinjët bazë të të cilit janë të barabarta me 1 dhe skajet anësore të të cilit janë të barabarta me .
Përgjigje: 4.5.
2. Gjeni sipërfaqen anësore të një prizmi të rregullt gjashtëkëndor, anët e bazës së të cilit janë 3 dhe lartësia 6.
Përgjigje: 108.
3. Gjeni vëllimin e një prizmi të rregullt gjashtëkëndor, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta me √3.
Përgjigje: 13.5
4. Gjeni vëllimin e poliedrit, kulmet e të cilit janë pikat A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 të një prizmi të rregullt gjashtëkëndor ABCDEFA1B1C1D1E1F1, sipërfaqja e bazës së të cilit është 6, dhe buza anësore është 2. .
Prizma e drejtë (arbitrare n- qymyr)
Një prizëm, skajet anësore të të cilit janë pingul me bazat, dhe bazat janë të barabarta n-gons.
1. Nëse baza është një shumëkëndësh i rregullt, atëherë faqet anësore janë drejtkëndësha të barabarta.
2. Ana e bazës 
.
Piramida
Një piramidë është një poliedron i përbërë nga një n-këndësh A1A2...AnA1 dhe n trekëndësha (A1A2P, A1A3P, etj.).
1. Seksioni paralel me bazën e piramidës është një shumëkëndësh i ngjashëm me bazën. Zonat e seksionit kryq dhe zonat e bazës lidhen si katrorët e distancave të tyre me majën e piramidës.
2. Një piramidë quhet e rregullt nëse baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe kulmi i saj është projektuar në qendër të bazës.
3. Të gjitha skajet anësore të një piramide të rregullt janë të barabarta, dhe faqet anësore janë trekëndësha të barabartë dykëndësh.
4. Lartësia e faqes anësore të një piramide të rregullt quhet apotemë.
5. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të një piramide të rregullt është e barabartë me gjysmën e produktit të perimetrit të bazës dhe apotemës.
Detyrat
1. Sa herë do të rritet vëllimi i një katërkëndëshi të rregullt nëse dyfishohen të gjitha skajet e tij?
Përgjigje: 8.
2. Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë të barabarta me 10, skajet anësore janë të barabarta me 13. Gjeni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të piramidës.
Përgjigje: 360.
5. Gjeni vëllimin e piramidës së paraqitur në figurë. Baza e tij është një shumëkëndësh, anët ngjitur të të cilit janë pingul, dhe njëra nga skajet anësore është pingul me rrafshin e bazës dhe e barabartë me 3.
Përgjigje: 27.
6. Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt trekëndore, anët e bazës së së cilës janë të barabarta me 1 dhe lartësia e së cilës është e barabartë me .
Përgjigje: 0.25.
7. Skajet anësore të një piramide trekëndore janë reciproke pingule, secila prej tyre është e barabartë me 3. Gjeni vëllimin e piramidës.
Përgjigje: 4.5.
8. Diagonalja e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore është 8. Buza anësore është 5. Gjeni vëllimin e piramidës.
Përgjigje: 32.
9. Në një piramidë të rregullt katërkëndore, lartësia është 12 dhe vëllimi është 200. Gjeni skajin anësor të piramidës.
Përgjigje: 13.
10. Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore janë të barabarta me 6, skajet anësore janë të barabarta me 5. Gjeni sipërfaqen e piramidës.
Përgjigje: 84.
11. Vëllimi i një piramide të rregullt gjashtëkëndore është 6. Ana e bazës është 1. Gjeni skajin anësor.
12. Sa herë do të rritet sipërfaqja e një tetraedri të rregullt nëse të gjitha skajet e tij dyfishohen?
Përgjigje: 4.
13. Vëllimi i një piramide të rregullt katërkëndëshe është 12. Gjeni vëllimin e piramidës së shkëputur prej saj nga një rrafsh që kalon nga diagonalja e bazës dhe mesit të skajit të kundërt.
Përgjigje: 3.
14. Sa herë do të zvogëlohet vëllimi i oktaedrit nëse të gjitha skajet e tij përgjysmohen?
Përgjigje: 8.
15. Vëllimi i një piramide trekëndore është 15. Aeroplani kalon nëpër anën e bazës së kësaj piramide dhe kryqëzon buzën anësore të kundërt në një pikë duke e ndarë atë në një raport 1: 2, duke llogaritur nga maja e piramidës. Gjeni vëllimin më të madh të piramidave në të cilat rrafshi ndan piramidën origjinale.
Përgjigje: 10.
16. Gjeni lartësinë e një piramide të rregullt trekëndore, brinjët e bazës së së cilës janë të barabarta me 2 dhe vëllimi i së cilës është i barabartë me .
Përgjigje: 3.
17. Në një piramidë të rregullt katërkëndore, lartësia është 6, buza anësore është 10. Gjeni vëllimin e saj.
Përgjigje: 256.
18. Nga një piramidë trekëndore, vëllimi i së cilës është 12, është prerë piramidë trekëndore rrafshi që kalon nga maja e piramidës dhe nga vija e mesme e bazës. Gjeni vëllimin e piramidës trekëndore të prerë.
Përgjigje: 3.
Cilindri
Cilindri është një trup i kufizuar nga një sipërfaqe cilindrike dhe dy rrathë me kufij.
| H |
| R |
| Vëllimi i trupit | Sipërfaqja anësore | Zona e bazës | Sipërfaqja totale |
 |  |  |  |
 |  |  |
1. Gjeneratorët e një cilindri - segmente gjeneratorësh të mbyllur midis bazave.
2. Lartësia e cilindrit është gjatësia e gjeneratorit.
3. Seksioni boshtor është një drejtkëndësh, dy anët e të cilit janë gjeneratorë, dhe dy të tjerat janë diametrat e bazave të cilindrit.
4. Seksion rrethor - një seksion, rrafshi i prerjes së të cilit është pingul me boshtin e cilindrit.
5. Zhvillimi i sipërfaqes anësore të cilindrit - një drejtkëndësh që përfaqëson dy skajet e prerjes së sipërfaqes anësore të cilindrit përgjatë gjeneratorit.
6. Zona e sipërfaqes anësore të cilindrit është zona e zhvillimit të tij.
7. Sipërfaqja e përgjithshme e një cilindri quhet shuma e sipërfaqeve të sipërfaqes anësore dhe dy bazave.
8. Ju gjithmonë mund të përshkruani një sferë rreth një cilindri. Qendra e saj shtrihet në mes të lartësisë. 
, ku R është rrezja e topit, r është rrezja e bazës së cilindrit, H është lartësia e cilindrit.
9. Ju mund të vendosni një top në një cilindër nëse diametri i bazës së cilindrit është i barabartë me lartësinë e tij, 
.
Detyrat
1. Një pjesë ulet në një enë cilindrike që përmban 6 litra ujë. Në të njëjtën kohë, niveli i lëngut në enë u rrit 1.5 herë. Sa është vëllimi i pjesës?
Përgjigje: 3.
2. Gjeni vëllimin e një cilindri, sipërfaqja e bazës së të cilit është 1, gjenerata e tij është 6 dhe është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 30 °.
Përgjigje: 3.
3. Cilindri dhe koni kanë një bazë dhe lartësi të përbashkët. Gjeni vëllimin e cilindrit nëse vëllimi i konit është 50.
Përgjigje: 150.
4. Uji, i vendosur në një enë cilindrike në një nivel prej 12 cm, derdhej në një enë cilindrike dy herë më të madhe në diametër. Në çfarë lartësie do të jetë niveli i ujit në enën e dytë?
5. Zona e prerjes boshtore të cilindrit është e barabartë me . Gjeni sipërfaqen anësore të cilindrit.
Përgjigje: 2.
6. Një prizëm i rregullt katërkëndor është i rrethuar rreth një cilindri, rrezja dhe lartësia e bazës së të cilit janë të barabarta me 2. Gjeni sipërfaqen anësore të prizmit.
Përgjigje: 32.
7. Perimetri i bazës së cilindrit është 3. Sipërfaqja anësore është 6. Gjeni lartësinë e cilindrit.
8. Një turi cilindrike është dy herë më e lartë se e dyta, por e dyta është një herë e gjysmë më e gjerë. Gjeni raportin e vëllimit të turit të dytë me vëllimin e të parës.
Përgjigje: 1.125.
9. Në një enë cilindrike niveli i lëngut arrin 18 cm.Në çfarë lartësie do të jetë niveli i lëngut nëse derdhet në një enë të dytë diametri i së cilës është 3 herë. më shumë se i pari?
Përgjigje: 2.
Koni
Një kon është një trup i kufizuar nga një sipërfaqe konike dhe një rreth.
  |
| boshti i konit |
| R |
| kulm |
| duke formuar |
| sipërfaqe anësore |
| r |
| Vëllimi i trupit | Sipërfaqja anësore | Zona e bazës | Sipërfaqja totale |
 |  | |  |
 |  |
1. Zona e sipërfaqes anësore të konit është zona e zhvillimit të saj.
2. Marrëdhënia midis këndit të fshirjes dhe këndit të majës së seksionit boshtor 
.
1. Një cilindër dhe një kon kanë një bazë dhe lartësi të përbashkët. Gjeni vëllimin e cilindrit nëse vëllimi i konit është 50.
Përgjigje: 150.
2. Gjeni vëllimin e një koni, sipërfaqja e bazës së të cilit është 2, gjenerata e tij është 6 dhe është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 30°.
Përgjigje: 2.
3. Vëllimi i konit është 12. Një seksion është tërhequr paralel me bazën e konit, duke e ndarë lartësinë në gjysmë. Gjeni vëllimin e konit të prerë.
Përgjigje: 1.5.
4. Sa herë vëllimi i një koni të rrethuar rreth një piramide të rregullt katërkëndëshe është më i madh se vëllimi i një koni të brendashkruar në këtë piramidë?
Përgjigje: 2.
5. Lartësia e konit është 6, gjenerata është 10. Gjeni vëllimin e tij pjesëtuar me .
Përgjigje: 128.
6. Cilindri dhe koni kanë një bazë dhe lartësi të përbashkët. Gjeni vëllimin e konit nëse vëllimi i cilindrit është 48.
Përgjigje: 16.
7. Diametri i bazës së konit është 6, dhe këndi në kulmin e seksionit boshtor është 90°. Llogaritni vëllimin e konit të pjesëtuar me .
8. Një kon përshkruhet rreth një piramide të rregullt katërkëndëshe me anë të bazës 4 dhe lartësi 6. Gjeni vëllimin e tij pjesëtuar me .
9. Një kon fitohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh rreth një këmbë të barabartë me 6. Gjeni vëllimin e tij pjesëtuar me .
Sferë dhe top
Një sferë është një sipërfaqe e përbërë nga të gjitha pikat në hapësirë të vendosura në një distancë të caktuar nga një pikë e caktuar. Një top është një trup i kufizuar nga një sferë.
1. Një pjesë e një sfere nga një plan është një rreth nëse distanca nga qendra e sferës në rrafshin është më e vogël se rrezja e sferës.
2. Seksioni i një topi nga një aeroplan është një rreth.
3. Një rrafsh tangjent me një sferë është ai rrafsh që ka vetëm një pikë të përbashkët me sferën.
4. Rrezja e sferës, e tërhequr në pikën e kontaktit të sferës dhe rrafshit, është pingul me rrafshin tangjent.
5. Nëse rrezja e një sfere është pingul me rrafshin që kalon nga fundi i saj i shtrirë në sferë, atëherë ky rrafsh është tangjent me sferën.
6. Një shumëfaqësh thuhet se është i rrethuar rreth një sfere nëse sfera prek të gjitha faqet e saj.
7. Segmentet e tangjentëve të një sfere të tërhequr nga një pikë janë të barabarta dhe arrijnë në kënde të barabarta me një vijë të drejtë që kalon nga kjo pikë dhe nga qendra e sferës.
8. Një sferë brendashkrohet në një sipërfaqe cilindrike nëse prek të gjithë gjeneratorët e saj.
9. Një sferë brendashkrohet në një sipërfaqe konike nëse prek të gjithë gjeneratorët e saj.
Detyrat
1. Rrezet e dy topave janë 6 dhe 8. Gjeni rrezen e një topi sipërfaqja e të cilit është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të tyre.
Përgjigje: 10.
2. Sipërfaqja e rrethit të madh të topit është 1. Gjeni sipërfaqen e topit.
3. Sa herë do të rritet sipërfaqja e topit nëse rrezja e tij dyfishohet?
4. Rrezet e tre topave janë 3, 4 dhe 5. Gjeni rrezen e një topi vëllimi i të cilit është i barabartë me shumën e vëllimeve të tyre.
Përgjigje: 6.
5. Një paralelepiped drejtkëndor përshkruhet rreth një sfere me rreze 2. Gjeni sipërfaqen e saj.
Përgjigje: 96.
6. Një kub është i gdhendur në një top me rreze . Gjeni sipërfaqen e kubit.
Përgjigje: 24.
7. Një paralelepiped drejtkëndor përshkruhet rreth një sfere me rreze 2. Gjeni vëllimin e saj.
8. Vëllimi i një paralelipipedi drejtkëndor të rrethuar rreth një sfere është 216. Gjeni rrezen e sferës.
Përgjigje: 3.
9. Sipërfaqja e një paralelipipedi drejtkëndor të rrethuar rreth një sfere është 96. Gjeni rrezen e sferës.
Përgjigje: 2.
10. Rreth topit është përshkruar një cilindër, sipërfaqja anësore e të cilit është 9. Gjeni sipërfaqen e topit.
Përgjigje: 9.
11. Sa herë është sipërfaqja e një sfere të rrethuar rreth një kubi? më shumë zonë sipërfaqja e një sfere të gdhendur në të njëjtin kub?
Përgjigje: 3.
12. Një kub është i gdhendur në një top me rreze . Gjeni vëllimin e kubit.
Përgjigje: 8.
Polyedra të përbëra
Detyrat
1. Figura tregon një shumëkëndësh; të gjitha këndet dykëndore të shumëfaqëshit janë kënde të drejta. Gjeni distancën midis kulmeve A dhe C2.
Përgjigje: 3.
2. Gjeni këndin CAD2 të shumëfaqëshit të paraqitur në figurë. Të gjitha këndet dihedrale të një poliedri janë kënde të drejta. Jepni përgjigjen tuaj në shkallë.
Përgjigje: 60.
3. Gjeni sipërfaqen e shumëkëndëshit të paraqitur në figurë (të gjitha këndet dihedrale janë kënde të drejta).
Përgjigje: 18.
4. Gjeni sipërfaqen e shumëfaqëshit të paraqitur në figurë (të gjitha këndet dihedrale janë kënde të drejta).
Përgjigje: 132
5. Gjeni sipërfaqen e kryqit hapësinor të paraqitur në figurë dhe të përbërë nga kube njësi.
Përgjigje: 30
6. Gjeni vëllimin e shumëfaqëshit të paraqitur në figurë (të gjithë këndet dykëndësh janë të drejtë).
Përgjigje: 8
7.Gjeni vëllimin e shumëfaqëshit të paraqitur në figurë (të gjithë këndet dykëndësh janë të drejtë).
Përgjigje: 78
8. Figura tregon një shumëkëndësh; të gjitha këndet dykëndore të shumëfaqëshit janë kënde të drejta. Gjeni tangjenten e këndit ABB3.
Përgjigje: 2
10. Figura tregon një shumëkëndësh; të gjitha këndet dykëndëshe të shumëfaqëshit janë kënde të drejta. Gjeni tangjenten e këndit C3D3B3.
Përgjigje: 3
11. Nëpër vijën e mesme të bazës së prizmit trekëndor vizatohet një rrafsh paralel me buzën anësore. Gjeni sipërfaqen anësore të prizmit nëse sipërfaqja anësore e prizmit trekëndor të prerë është 37.
Përgjigje: 74.
12. Figura tregon një shumëfaqësh; të gjitha këndet dykëndore të shumëfaqëshit janë kënde të drejta. Gjeni katrorin e distancës ndërmjet kulmeve B2 dhe D3.
Përgjigje: 11.
